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Universidad Nacional Mayor de San Marcos iver sid nal arc

INVESTIGANDO UN FENMENO DE LA NATURALEZA MOVIMIENTO PENDULAR

EXPERIENCIA N3I. INTRODUCCION En este captulo que trata de movimiento pendular daremos una serie explicaciones, grficas de movimiento, cuestionarios, etc. Pndulo, dispositivo formado por un objeto suspendido de un punto fijo y que oscila de un lado a otro bajo la influencia de la gravedad. Este movimiento fue estructurado por primera vez por Galileo Galilei, el cual construy varios pndulos para demostrar sus razonamientos. Cincuenta aos despus Huygens aplico el movimiento pendular al movimiento de los relojes. Un siglo ms tarde Len Fulcalt descubre que el movimiento pendular se debe principalmente al movimiento de rotacin de la Tierra. El estudio de este tema nos servir para comprender los movimientos pendulares; ya que son mltiples los que podemos encontraren distintas ocasiones y dimensiones, tambin a travs de esta experiencia aprenderemos a desmenuzar los distintos elementos que tiene este movimiento en particular. Les invito a leer este informe que fue dedicado por todo el grupo que lo integra, y adems dar a conocer lo que aprendimos en el laboratorio.

II.

OBJETIVOS 1. Establecer una ley mediante el movimiento de un pndulo simple. 2. Medir tiempos de eventos con una precisin determinada. 3. Calcular la aceleracin de la gravedad experimental en el laboratorio.

III.

EQUIPOS Y MATERIALES Soporte universal Varilla Cuerda Juego de pesas Cronmetro Regla mtrica Transportador circular Hojas de papel milimetrado

Hoja de papel logartmico Juego de pesas : 100g, 50g, 20g, 10g

IV. FUNDAMENTO TERICO Un pndulo simple est constituido por un cuerpo cuya masa "m" con respecto a la cuerda que lo sostiene es muy superior, de modo que se considera toda la masa concentrada en el centro de masa del cuerpo, que oscila en torno al punto fijo S. Para una pequea amplitud, el pndulo simple describe un movimiento armnico simple, cuyo periodo depende solamente de la longitud del pndulo y la aceleracin "g" debido a la fuerza de gravedad, se expresa tericamente: T = 2 (L/G)

Donde L representa la longitud medida desde el punto de suspensin hasta la masa pu ntual

Elementos y caractersticas de un pndulo simple. 1. Cuerpo de masa m tipo plomada (en relojes normalmente tiene forma de lenteja). 2. Cuerda inextensible de longitud L, de masa despreciable. 3. Amplitud es el ngulo 6 formado entre posicin de direccin vertical del

pndulo y la direccin determinada por la cuerda en una posicin de desplazamiento pequeo de la masa pendular. 4. Oscilacin completa, es el movimiento del pndulo que partiendo de una posicin extrema (un ngulo pequeo = 12), llega a la otra y vuelve a la posicin inicial. 5. El periodo T es el tiempo que demora el pndulo en realizar una oscilacin completa.

Tratamiento del movimiento del pndulo simple 1. Se aleja el pndulo de su posicin de equilibrio, considerando una amplitud angular no mayor de 12. Se observa que el pndulo oscila bajo la accin de su peso que no se equilibra con la tensin de la cuerda; resultando oscilaciones iscronas. 2. Se analiza la combinacin de la energa potencial y la energa cintica para este movimiento oscilatorio. En el siguiente espacio dibuje identificando en qu lugar del movimiento, el pndulo almacena energa potencial y en qu lugar se manifiesta la energa cintica.

Hilo (cm) Cuerpos de masa (g) Regla graduada Semicrculo graduado 12: amplitud de oscilaciones

V.PROCEDIMIENTO 1. Observe el cronmetro y analice sus caractersticas. Aprenda su manejo. Cul es el valor mnimo en la escala?, Cul es el error instrumental a considerar, consulte con su profesor? 2. Disponga un pndulo de masa m = 50 g y de longitud L = 100 cm.

3. Aleje ligeramente la masa a una posicin cerca de la posicin de equilibrio formando un ngulo , ( < 12). 4. Suelte la masa y mida con el cronmetro el tiempo t que se tarda en realizar 10 oscilaciones completas. 5. Cuando el pndulo se mueve con una L igual a 100 cm, que por efecto de ser desplazado a una amplitud de 12 de la posicin de equilibrio, inicia un movimiento de vaivn hacia el otro extremo equidistante de esta posicin, y continua este movimiento oscilatorio de 20 segundos que corresponden aproximadamente a 10 oscilaciones completas; nmero y tiempo ptimo para medir el tiempo T de una oscilacin completa. 6. Determine el periodo T de una oscilacin completa experimental de acuerdo a la siguiente relacin: T = t/N donde N es en nmero de oscilaciones completas. 7. A continuacin revisar la medida L del pndulo que hizo oscilar. Observe si la cuerda tiene el comportamiento de cuerda inextensible o hay una variacin en su medida. Coloque la nueva medida como Lfinal en la tabla N1. 8. Hacer mediciones para 10 oscilaciones completas para cada medida de L, revisando las L como el paso 7; colocar los t medidos en la Tabla N1 as como los nuevos valores de L.

VI. DATOS TABLA N1 Longitud antes (cm) L 100 80 60 50 40 30 20 10 102 82 61 51 40.5 31 21 10 Longitud Final (cm) L 22.06 19.50 17.31 16.57 14.87 13.66 11.97 10.06 2.206 1.950 1.731 1.657 1.487 1.366 1.197 1.006 4.866 3.802 2.996 2.746 2.211 1.866 1.433 1.012 T de 10 oscilaciones completas (s) T periodo (s) T (s)

9. En el papel milimetrado grafique T versus L y L versus T Qu graficas obtiene? Cul es ms fcil reconocer, segn sus estudios? La grafica de de (T vs L) tiene una forma exponencial y la grfica de (L vs T) tiene la forma de una funcin polinomica de grado 2. La ms fcil de reconocer seria la exponencial, ya que conocemos sus frmulas para hallar sus ecuaciones. 10. En el mismo papel milimetrado, grafique T versus L Qu tipo de grafica obtiene usted ahora? Es de la forma lineal donde la pendiente est dada por 0.041 11. Se establece una proporcionalidad directa entre T y L? Use la pendiente para expresar la formula experimental. La frmula experimental es: T = 0.041 L + 0.023

12. Realice mediciones para pndulos de 50 cm de longitud y diferentes valores de masas. Considere una amplitud angular de 10. Complete la Tabla N2.

TABLA N 2 m(g) t(s) T(s) 30 40 50 15.5 1.55 60 15.82 1.582 70 15.93 1.593 80 16.06 1.606 90 16.08 1.608 100 16.13 1.613

13. Realice mediciones en un pndulo de 50 cm de longitud y la masa 1 50 g para diferentes amplitudes angulares. Complete la Tabla N3 TABLA N 3 () t(s) T(s) 2 16.38 1.638 4 16.15 1.615 6 16.06 1.606 8 16.31 1.631 10 16.50 1.650 12 16.03 1.603 30 16.56 1.656 45 16.91 1.691

VII. CUESTIONARIO 2 1. De la tabla 1 grafique T (s) versus L(cm) en papel milimetrado; coloque la variable L en el eje X y la Variable T grfico calcule el valor de g. 2 en el eje Y. A partir del el error 2 porcentual

Determine

experimental con respecto al valor g = 9,78m/s gravedad en Lima) T 4.866 3.802 2.996 2.746 2.211 1.866 1.433 1.012 T =20.932 L 102 82 61 51 40.5 31 21 10 L=398.5 T * L 496.332 311.764 182.756 140.046 89.545 57.846 30.093 10.12 (T * 1318.502

(aceleracin de la

(T) 23.677 14.455 8.976 7.540 4.888 3.482 2.053 1.024 (T) = 66.095

L)=

m = 24.353

b = -13.906

CALCULO DEL VALOR EXPERIMENTALDE LA ACELERACION DE LA GRAVEDAD

La ecuacin se define como: L = m*T + b Reemplazando: L = 24.353*T - 13.906 (ECUACION DE LA RECTA) Aproximndolo seria: L (m) = 24.353 ( cm/s) T .(1) Se sabe: T = 2(L/G) .(2) Reemplazando (1) en (2) T = 2(24.353 T / Gexp) Elevando al cuadrado,

T = 4 . 24.353 T /Gexp Se simplifica T y pasamos G al primer miembro Gexp = 4(3.1415). 24.353 Gexp =961.418 (cm/s) Gexp = 9.61418 (m/s) CALCULO DEL ERROR EXPERIMENTAL AL VALOR DE g =9.78 m/s PORCENTUAL CON RESPECTO

Se sabe que el error experimental es : Eexp = Valor teorico Valor experimental Valor teorico Y que el error experimental porcentual es : %Eexp = Valor teorico Valor experimental . 100% Valor teorico

%Eexp = (9.78 9.61418) . 100% = 1.695% 9.78

2. Explique cmo se ha minimizado uno de los errores sistemticos con los pasos del procedimiento 7) 8). Se ha minimizado los error con los pasos del procedimiento 7 y 8, al utilizar una cuerda lo menos extensibles posibles, para as tener una longitud final igual que la longitud inicial.

3. Indique otros errores sistemticos que operan en este experimento para cada una de las tablas. En la primera tabla el mayor error sistemtico fue el de la variacin que sufra la cuerda ya que despus de la medicin del periodo en algunas ocasiones se observaba que la longitud final de la cuerda aumentaba algunos milmetros. En la segunda sucede lo mismo el error de clculo en la obtencin del periodo

es acerca de la longitud final, tambin est la precisin de la persona en calcular el ngulo adems del encargado de tomar el tiempo de las oscilaciones. 4. Exprese los errores aleatorios con los datos de la tabla N1. Error aleatorio de L L = 102 +82 +61+51+40.5+31+21+10 = 49.9 8 = (49.9 102) + (49.9 82) +.= 0.175 8

Error aleatorio (Ea) = 3 /n-1 Ea = 0.198

5. Halle la formula experimental cuando se linializa la grfica en papel log. de T versus L. Sugerencia el origen debe ser (100,10-1). L(cm) 102 81 61 51 40.5 31 21 10 T(s) Log(L) Log(T) 0.344 0.290 0.238 0.219 0.172 0.135 0.078 0.003 =1.479 Log(L)Log(T) 0.691 0.553 0.425 0.374 0.276 0.201 0.103 0.003 =2.626 Log(L) 4.036 3.640 3.186 2.917 2.582 2.223 1.748 1 =21.332 2

2.206 2.009 1.950 1.731 1.657 1.487 1.366 1.197 1.006 1.908 1.785 1.708 1.607 1.491 1.322 1 =12.83

m = 8(2.626)-(12.83)(1.479) = 0.336 2 8(21.332)-(12.83) b= (21.332)(1.479)-(12.83)(2.626) = -0.354 2 8(21.332)-(12.83) B = antilog (b)

-0.354 0.336 Y = 10 x

-0.354 0.336 T = 10 (L)

6. Con los datos de la tabla N2, grafique T(s) vs. m(g) en papel milimetrado. A qu conclusin llega observando la grfica?

El grfico que obtenemos es una recta, por lo tanto deducimos que el periodo no se ve afectado por la variacin de la masa del cuerpo que realiza el movimiento pendular.

7. Grafique T(s) vs (grados) en papel milimetrado. Determine los pares ordenados de la tabla N3. Existe alguna dependencia entre el periodo T con respecto a la amplitud angular ? , Si este fuera as cmo sera su dependencia?

(grados) 2 4 6 8 10 12 30 45 = 117

T (s) 1.638 1.615 1.606 1.631 1.650 1.603 1.656 1.691 = 13.09

(T )( ) 3.276 6.460 9.636 13.048 16.5 19.236 49.68 76.095 = 193.931

() 4 16 36 64 100 144 900 2025 = 3289

m = 8(193.931)-(117)(13.09) = 0.001 2 8(3289)-(117) b= (3289)(13.09)-(117)(193.931) = 1.613 8(3289)-(117) 2

T = 0.001 () + 1.613

Se demostr experimentalmente, que no existe relacin, entre la amplitud angular y el periodo del pndulo, pues para cualquier ngulo el periodo de tiempo resulto 1.6 segundos aproximadamente. Haciendo la regresin lineal se obtuvo y = 0.001x + 1.613, que la pendiente 0.001 sea muy cercana al cero quiere decir que se trata de una funcin prcticamente constante, pero podramos decir siendo bien rigurosos que la dependencia seria directa.

8.

Hasta qu valor del ngulo, el periodo cumplir con las condiciones de un pndulo simple?

La condicin principal que se debe cumplir para que se cumpla un pndulo simple, es que el ngulo se pequeo de modo que se cumpla:lim 0 sen = 1 (1)

Para responder a la pregunta, debemos preguntarnos para que ngulo el sen comienza a ser considerablemente mayor que , para ello graficaremos la funcin f ()=

Podemos observar que la relacin 1, es medianamente correcta en el intervalo de -0.1 a 0.1, considerando el valor positivo del ngulo, llegamos a la conclusin que el ngulo debe ser como mximo de 0.1 radianes.

Haciendo la conversin: 0.1x 180/3.14 = 5.73 sexagesimales 9. Comprob la dependencia de T vs L? Cmo explica la construccin de relojes de pndulo de distintos tamaos? Utilizando los valores experimentales hacemos la grfica de T vs L Experimentalmente se comprueba la dependencia directa del periodo (T) con respecto A la longitud L, mas como sabemos T = 2(L/G) , haciendo la comparacin con la formula experimental obtenida se llega a G =8.857 , pero sabemos que el valor de la aceleracin de la gravedad es 9.8 aproximadamente, de aqu podramos concluir que los efectos de la gravedad sobre el pndulo han sido disminuidos, por causas que podemos suponer como la resistencia del aire, el peso de la cuerda, la friccin de la cuerda con el eje, etc.

Si llegamos a la conclusin que el periodo no depende dela masa(g) ni de la amplitud ( ) ; el tamao en esta caso no va importar, solo se va tomar en cuenta la longitud de la cuerda y el valor de la gravedad.

10. Cuando la longitud del pndulo de un reloj se expande por efecto del calor, gana o pierde tiempo? Ya que el periodo es D.P. con la longitud de la cuerda, entonces al aumentar la

longitud de la cuerda aumenta el periodo y ya que ste es el tiempo sobre el nmero de oscilaciones, el tiempo tambin aumenta. En ese caso se ganara tiempo ya que ste aumentara. 11. Explique el significado de la afirmacin pndulo que vate el segundo. Se refiere al pndulo que cumple una oscilacin simple en un segundo. Esto en lo experimental no existe ya que la cuerda no debe rozar con la argolla y que toda la masa del pndulo debe concentrarse en un punto (en su extremo) y esto solo es posible si hablamos de un pndulo que no exista, mejor dicho un pndulo simple. 12. Por qu es necesario que la amplitud de oscilacin para cada longitud es siempre menor que un dcimo de la longitud usada? Ya que a mayor longitud de pndulo mayor ser la curvatura de la oscilacin y por lo tanto menor ser la cantidad de oscilaciones en un intervalo de tiempo, entonces la longitud del pndulo determina el periodo, siempre y cuando el arco de oscilacin sea menor que un dcimo de la longitud usada para que el periodo no dependa del ngulo. 13. En qu puntos de su oscilacin, el pndulo tiene la mayor velocidad y la mayor aceleracin? Explique. El pndulo alcanza su mayor velocidad, cuando en su oscilacin pasa por la posicin de equilibrio, es decir, cuando la amplitud de arco del sistema sea igual a cero. En otras palabras tendr la mayor velocidad en el punto ms bajo de su recorrido. Por otro lado la aceleracin tendr su mayor valor en el punto ms alto de su trayectoria, pues ah posee una mayor fuerza de empuje para realizar el vaivn.

VIII. CONCLUSIONES

El movimiento pendular es un movimiento armnico simple con frecuencia y periodo definido. El periodo depende de la longitud del pndulo y no existe relacin alguna con la masa. Al investigar este fenmeno de la naturaleza, tomando en cuenta diferentes variables como: el tamao de la cuerda que sostiene la masa del pndulo, la misma masa del pndulo y controlando los posibles errores, tanto estadsticos como sistemticos, conoceremos las causas del movimiento oscilatorio que se produce en el pndulo por el desequilibrio entre la fuerza centrpeta y el peso de la masa colocada, ya que ninguna otra fuerza acta en nuestro fenmeno fsico.

El valor del periodo es independiente del ngulo inicial de desviacin inicial.

El tratamiento de datos experimentales es muy importante en la presentacin

de resultados, su uso hace se hace indispensable. Los mtodos de linealizacin son tiles en la interpretacin y presentacin de

datos experimentales. El tamao de la masa no influye en el nmero de

p e r i o d o s y t a m b i n concluimos que entre ms larga sea la cuerda menos periodos cumple.

Las frmulas matemticas son usadas para respaldar los resultados

experimentales y para guiar el entendimiento de los mismos.