Parcial_2. Control digital NRC 23909.

RESUMEN: En este artículo se muestra un reporte bibliográfico sobre los controladores PID y los sistemas discretos, analizando cada una de sus etapas o diagramas de bloques con el fin de entender el proceso que se realiza en cada una de ellas, además de esto describir la importancia, aplicación, y el tipo de respuesta de un controlador PID. Copyright © 2015 UPB.

ABSTRACT: In this article a bibliographical report appears on the controllers PID and the discreet systems, analyzing each of its stages or block diagrams in order to understand the process that is realized in each of them, in addition to this to describe the importance, application, and the type of answer of a controller PID.

KEYWORDS: Discreet systems, block diagram, process, PID, Controller.

1. INTRODUCCIÓN

El controlador digital más difundido es sin lugar a dudad el controlador PID, cuya estructura se ha obtenido por semejanza son su homónimo continuo, como se ilustra en la figura 1. Este controlador es de tipo “parámetros optimizados” y sus tres parámetros se ajustan con métodos ya muy conocidos. La implementación común de este controlador es en un procesador digital, capas de calcular una ecuación en diferencia en cada intervalo de muestreo o lo que también se llama “en tiempo real”. Esta ecuación en diferencias representa al algoritmo de control y en él están incluidos todos los parámetros del controlador. Cualquier modificación de un parámetro del controlador, implica modificar uno o más parámetros de la ecuación en diferencias. Por razones de tiempo de cálculo y facilidad para modificar los parámetros del controlador, es conveniente que esta ecuación en diferencias sea lo más simple posible. Este es justamente el objetivo con que se desarrollaron los controladores discretos de bajo orden (CDBO). Estos controladores con solo tres parámetros se pueden ajustar a un comportamiento PID, PI, PD, P, e I respectivamente [1].

Figura 1. Controlador PID discreto.

2. SISTEMAS DISCRETOS

2.1 Sistemas de tiempo discreto.

Los sistemas de control de tiempo discreto (STD) son sistemas dinámicos para los cuales una ó más de sus variables solamente son conocidas en ciertos instantes. Por lo tanto, son aquellos que manejan señales discretas, a diferencia de los sistemas de tiempo continuo (STC) en los cuales sus variables son conocidas en todo momento [2].

El hecho de que algunas funciones del tiempo propias del STD varíen en forma discreta, puede provenir de una característica inherente al sistema, como en el caso de aquellos que trabajan con algún tipo de barrido, por ejemplo: un sistema de radar. Como también la otra posibilidad es que la variación discreta provenga de un proceso de muestreo de alguna señal. Este proceso de muestreo, que convierte una señal analógica o de tiempo continuo en una señal discreta o muestreada, podría hacerse a un ritmo constante, variable según alguna ley de variación o aleatorio [2].

La discretización de una señal es el paso previo para su digitalización, proceso que agrega una determinada codificación a la señal muestreada. Y La digitalización de las señales es un proceso imprescindible para poder procesar las mismas en computadoras digitales, y presenta además las ventajas de permitir su transmisión con una mayor densidad y velocidad en la información, además de reducir el costo y volumen de los equipos debido a que se requieren magnitudes de energía significativamente más bajas, etc. [2].

Los sistemas de tiempo discreto son aquellos cuyas magnitudes sólo pueden tomar un número finito de valores las cuales son funciones de la variable discreta

Ever José Álvarez Madrid, estudiante de Ing. Electrónica, UPB Montería, calle 14 # 2A-63 Chinú-Córdoba, Tel 300-828 71 14,ever.alvarez@alfa.upb.edu.co

Escuela de ingenierías y arquitectura Universidad Pontificia Bolivariana Montería

CONTROLADOR PID Y SISTEMAS DISCRETOS.Ever José Álvarez Madrid.

Parcial_2. Control digital NRC 23909. tiempo. Los sistemas físicos existentes en la Naturaleza son siempre de tiempo continuo. Los sistemas de tiempo discreto surgen de una manera artificial al considerar, por diferentes razones, que los valores de las variables sólo existen para valores discretos del tiempo [3].

2.2 Sistemas intrínsecamente discretos.

Existen sistemas inherentemente discretos, como son los sistemas electrónicos digitales secuenciales síncronos, en los que las transiciones entre estados solo ocurren en instantes discretos de tiempo dados por un oscilador. Así, aunque las señales existen para todos los valores del tiempo, el sistema solo es activo en los instantes que va marcando el reloj; en el resto del tiempo el sistema permanece estático, no cambia. Los computadores son un claro ejemplo de este tipo de sistemas [3].

Filtros digitales

Son también sistemas intrínsecamente discretos son los filtros digitales. Un filtro digital es un programa de computador que opera sobre una secuencia numérica de entrada y obtiene como resultado otra secuencia numérica de salida [3].

Discretización del tiempo por razones de cálculo

En cierto sentido pueden considerarse discretos los sistemas que, siendo continuos, se discretizan a efectos de cómputo por resultar así más sencilla la obtención de resultados por ordenador. Ello permite la obtención de modelos digitales de sistemas continuos y su resolución por ordenador [3].

2.3 Sistemas de tiempo continúo muestreados.

El proceso de muestreo de una señal analógica consiste en sustituir la señal original continua en el tiempo por una secuencia de valores que corresponden a instantes discretos de tiempo. El muestreo de esta señal consiste en obtener la secuencia x∗(t0),x∗(t1),x∗(t2),x∗(t3),... correspondiente a los valores de x(t) en los instantes t0,t1,t2,t3,.... A este proceso sigue otro de cuantificación que consiste en convertir los valores analógicos obtenidos por el muestreo en números [3].

Figura 2. Circuito de muestreo y retencion.

En la práctica, la señal x(t) es generalmente de naturaleza eléctrica. El proceso de muestreo se realiza mediante un circuito electrónico de muestreo y retención o Sample and Hold (S&H) similar al de la figura 2. En este circuito, el interruptor S es activado por un impulso de control en cada instante de muestreo tk, cargando el condensador C a la tensión x(tk). El condensador mantiene la tensión hasta que se vuelve a cerrar S en el instante tk+1. En la figura 2 se han representado las señales de entrada x(t) y de salida xh(t) de este circuito. Si el intervalo de tiempo (tk+1 − tk) que transcurre entre cada dos muestreos consecutivos es constante el muestreo se denomina periódico y el intervalo T = (tk+1 −tk), periodo de muestreo. Otros tipos de muestreo son el de orden múltiple, el de periodo múltiple y el de periodo aleatorio. El más común es el muestreo periódico [3].

La señal de salida del circuito de muestreo y retención no es una función de tiempo discreto sino que es continua (constante) en cada periodo de muestreo, presentando discontinuidades en los instantes de muestreo [3].

Figura 3. ADC de 3 bits de tipo flash.

El proceso de cuantificación es realizado por otro circuito electrónico, un convertidor analógico digital (ADC), que obtiene el código binario de cada uno de los valores xh(t) que el circuito S&H va presentando en su salida. Entre los ADC existentes podemos reseñar los tipos de aproximaciones sucesivas, integrador, contador y paralelo (flash). Por su simplicidad se ha representado en la figura 3 un ADC de 3 bits de tipo flash. Este convertidor efectúa la conversión del valor analógico de xh(t) presentado en su entrada a código Johnson, que es convertido a binario natural por un circuito combi-nacional.

Este tipo de convertidores proporciona una gran velocidad de conversión, solo limitada por los tiempos de los comparadores y del circuito lógico combinacional [3].

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Parcial_2. Control digital NRC 23909. 2.4 Reconstrucción de la señal muestreada.

El problema complementario al de muestreo de una señal es el de la reconstrucción de la misma a partir de una secuencia de muestras. Consiste en obtener la señal original continua en el tiempo a partir de una secuencia de valores que corresponden a instantes discretos de tiempo. El método utilizado en la práctica consiste en realizar dos etapas: conversión digital-analógica y retención de la señal de salida del convertidor. Un convertidor digital-analógico realiza la primera etapa mientras que la segunda es producida por un circuito de retención incorporado generalmente en el propio convertidor. Por este método se obtiene la señal xr a partir de sus muestras x∗(t).

2.4.1 Teorema del muestreo.

Si una señal x(t) de banda limitada (ωmax = B) se muestrea con periodo Ts, tal que ωs = 2π/Ts > 2B, la señal x(t) puede ser reconstruida completamente a partir de la señal muestreada x∗(t).

Figura 4. Elemento de retención de orden cero.

2.4.2 Teorema de Shannon.

Si una señal x(t) de banda limitada (ωmax = B) se muestrea con periodo Ts, tal que ωs = 2π/Ts > 2B, la señal original x(t) viene dada por la expresión

(1)

2.4.3 El elemento de retención de orden cero (ZOH).

El filtro paso-bajo ideal realiza la operación expresada por (1). Sin embargo tal filtro no existe en la realidad por lo que la reconstrucción de la señal a partir de sus muestras debe hacerse en la práctica con filtros paso-bajo reales de orden cero, uno etc. El más sencillo es el circuito de retención de orden cero o Zero Order Hold (ZOH). Este circuito consta en esencia de un condensador que se mantiene cargado a la tensión de cada uno de los impulsos que constituyen las muestras x∗(t) (figura 2) Supongamos que, en t = 0, se aplica un impulso unitario a la entrada del ZOH. La salida es un pulso de duración T (figura 4). Las transformadas de Laplace las variables de entrada y salida son:

Y por tanto, la función de transferencia del circuito de retención de orden cero es

(2)

2.5 La transformada z.

La transformada z de una función x(t) se define como

La transformada z de una función x(t) es la transformada de Laplace de la función x∗(t) (x(t) muestreada), haciendo esT = z.

Así como la transformada de Laplace servía para modelar los sistemas continuos, la transformada z hace el mismo papel en los de los sistemas discretos [3].

2.6 transformada z inversa.

La transformada inversa Z−1 de una función X(z) es la sucesión de valores x(kT), k = 0,1,2,..., tal que Z[x(kT)] = X(z).

Hay que tener en cuenta que con Z−1 no se obtiene la función x(t), puesto que en la sucesión obtenida x(kT) no están incluidos los valores de x(t) comprendidos entre cada dos valores consecutivos de k.

2.7 Método de resolución numérica de la ecuación diferencia.

Si G(z) esta expresada en forma de cociente de polinomios en z, con coeficientes numéricos, la anti transformada y(k) puede hallarse numéricamente mediante computador, resolviendo una ecuación diferencia. Para simplificar las expresiones suponemos una G(z) con numerador de segundo orden el denominador de tercero, de la forma

Sea X(z) la función de entrada de G(z) e Y (z) la de salida. Entonces,

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1( t)-1(t-T ) δ(t)ZOH(s)

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Figura 5. Sistema SISO de tiempo discreto.

2.7 Modelos matemáticos de los sistemas de tiempo discreto.

Sabemos que un sistema de tiempo discreto es aquel cuyas variables son funciones de la variable discreta tiempo. En la figura 5. Se ha representado el diagrama de bloques de un sistema SISO de tiempo discreto. Del mismo modo que un sistema lineal y continuo en el tiempo es aquel cuyo modelo matemático es una ecuación diferencial lineal, de orden n, de coeficientes constantes, un sistema lineal de tiempo discreto es aquel cuyo modelo matemático es una ecuación diferencia lineal, de orden n. [3].

any(k) + an−1y (k − 1) +... + a0y(k − n) = bnx(k) + bn−1x(k − 1) + ... + b0x(k − n) (5)

Esta ecuación relaciona los valores de la salida discreta y (k) con los valores de la entrada discreta x (k), en los instantes k, (k −1),..., (k −n). La relación entre Y (z), transformada z de la salida y (k), y X (z), transformada z de la entrada X (k), es la función de transferencia del sistema discreto: Y (z) = G (z) X (z)

2.7.1 Filtros digitales.

La implementación de una ecuación diferencia mediante un programa de ordenador es un filtro digital. El computador genera los valores de la secuencia y (k) dados por la ecuación diferencia (5). Un filtro digital es, por naturaleza, un sistema discreto ya que las variables de entrada y de salida son discretas (secuencias de números) y la relación entre ambas es una ecuación diferencia [3].

Figura 6. Sistema continúo muestreado.

2.7.2 Sistemas continuos muestreados.

La entrada a un sistema continuo de función de transferencia G(s) es una señal x∗ (t) muestreada con per´ıodo T, dada por:

Siendo x (t) una señal de tiempo continúo. A su vez, la salida y (t) se vuelve a muestrear, con igual per´ıodo, obteni´endose y∗ (t). Deseamos hallar la relaci´on

entre la salida muestreada Y ∗(s) y la entrada muestreada X∗(s). La transformada de Laplace de la salida y (t) es

Y (s) = X∗(s) G(s)

Es decir

O bien

Este resultado dice que dado un sistema de tiempo continuo, definido por su funcio´n de transferencia G(s), con entrada x∗(t) obtenida mediante muestreo de periodo T de una señal continua x(t), y con salida continua y(t) que se muestrea con igual perıodo T para obtener y∗(t) ( figura 6.), se comporta como un sistema discreto con funcio´n de transferencia G(z), siendo G(z) la transformada z de la función ponde-ratriz g(t) del sistema [3].

2.7.3 Modelo de estado de tiempo discreto.

El acercamiento al modelo de estado de tiempo discreto puede hacerse de diferentes maneras. Una de ellas, que exponemos a continuación, consiste en convertir el modelo de estado de tiempo continuo, definido por (6), en discreto. El procedimiento que seguiremos consiste en discretizar el tiempo, es decir, dividirlo en intervalos finitos, y hallar la solución del sistema de ecuaciones diferenciales (6) en cada intervalo. El problema de hallar la solución del sistema de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes

x˙ = Ax + Bu

y = Cx + Du (6)

Figura 7. Sistema continuo muestreado.

El sistema discreto descrito por las ecuaciones

xk+1 = Aˆxk + Bˆuk

yk = Cˆxk + Cˆuk (7)

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Y(z) U(z)G(z)

X(s)G(s)

T X )s(*

x(t) x (t)*

Y(s) T Y ) ( s *

y(t) y ( t ) *

u k-2

u k-1

u k

u k+1

u k+2

u k+3

yk-2

yk-1

yk

yk+1

y k+2yk+3

Td

T

Parcial_2. Control digital NRC 23909. Estas ecuaciones se llaman ecuaciones de estado de tiempo discreto y constituyen el modelo de estado, o interno, de tiempo discreto. Obsérvese que la matriz Aˆ es la que hemos denominado matriz de transición Φ(t) en (8), para t = T. Las matrices Aˆ, Bˆ, Cˆ y Dˆ pueden hallarse fácilmente por cálculo numérico a partir de la serie (9).

La matrizΦ(t) = eAt (8)

Se denomina matriz de transición. Por ser la función exponencial de la matriz At, está definida mediante la serie [3].

(9)

3. CONTROLADOR PID

El controlador PID es uno de los más utilizados a nivel industrial, su implementación en cerca del 95% de lazos de control, muestra la preferencia del uso de leyes de control simple en gran variedad de plantas y procesos, especialmente cuando su dinámica es la apropiada y los requerimientos de variables a controlar pueden ser alcanzados. Actualmente, los principios sobre los cuales se basan los controladores PID, son complementados por una serie de prestaciones que mejoran las características en cuanto a su desempeño, tales como las técnicas antiwindup y las técnicas de conmutación de modos de control [4].

El controlador PID es una ley de control basada en el error obtenido entre la señal de referencia y la salida del proceso. Esto teniendo en cuenta que dicho controlador hace parte de un sistema realimentado, en el que se tiende a mantener una relación preestablecida entre la salida y la entrada de referencia como se ilustra en la siguiente figura 8[4].

Figura 8. Diagrama de bloques para un sistema de control con realimentacion negativa.

Un controlador PID tiene como entrada el error definido por e(t)=r(t)-y(t) y como salida la señal del control u(t), dada por la ecuación (10).

4. ESTRUCTURA DEL CONTROLADOR PID

Consideremos un lazo de control de una entrada y una salida (SISO) de un grado de libertad:

Figura 9. Diagrama de bloques.

Los miembros de la familia de controladores PID, incluyen tres acciones: proporcional (P), integral (I) y derivativa (D). Estos controladores son los denominados P, I, PI, PD y PID [5].

• P: acción de control proporcional, da una salida del controlador que es proporcional al error, es decir: u(t) = KP.e(t), que descripta desde su función de transferencia queda:

Cp(s) = Kp (11)

Donde Kp es una ganancia proporcional ajustable. Un controlador proporcional puede controlar cualquier planta estable, pero posee desempeño limitado y error en régimen permanente (off-set) [5].

• I: acción de control integral: da una salida del controlador que es proporcional al error acumulado, lo que implica que es un modo de controlar lento.

La señal de control u(t) tiene un valor diferente de cero cuando la señal de error e(t) es cero. Por lo que se concluye que dada una referencia constante, o perturbaciones, el error en régimen permanente es cero [5].

• PI: acción de control proporcional-integral, se define mediante

Donde Ti se denomina tiempo integral y es quien

ajusta la acción integral. La función de transferencia resulta:

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Con un control proporcional, es necesario que exista

error para tener una acción de control distinta de cero. Con acción integral, un error pequeño positivo siempre nos dará una acción de control creciente, y si fuera negativo la señal de control será decreciente. Este razonamiento sencillo nos muestra que el error en régimen permanente será siempre cero.

Muchos controladores industriales tienen solo acción PI. Se puede demostrar que un control PI es adecuado para todos los procesos donde la dinámica es esencialmente de primer orden. Lo que puede demostrarse en forma sencilla, por ejemplo, mediante un ensayo al escalón [5].

• PD: acción de control proporcional-derivativa, se define mediante:

Donde Td es una constante de denominada tiempo derivativo. Esta acción tiene carácter de previsión, lo que hace más rápida la acción de control, aunque tiene la desventaja importante que amplifica las señales de ruido y puede provocar saturación en el actuador. La acción de control derivativa nunca se utiliza por sí sola, debido a que solo´ es eficaz durante períodos transitorios. La función transferencia de un controlador PD resulta:

CPD(s) = Kp + sKpTd (16)

Cuando una acción de control derivativa se agrega a un controlador proporcional, permite obtener un controlador de alta sensibilidad, es decir que responde a la velocidad del cambio del error y produce una corrección significativa antes de que la magnitud del error se vuelva demasiado grande.

Aunque el control derivativo no afecta en forma directa al error en estado estacionario, añade amortiguamiento al sistema y, por tanto, permite un valor más grande que la ganancia K, lo cual provoca una mejora en la precisión en estado estable [5].

• PID: acción de control proporcional-integral-derivativa, esta acción´ combinada reúne las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuación de un controlador con esta acción combinada se obtiene mediante:

Y su función transferencia resulta:

5. BIBLIOGRAFIA

[1] «CONTROLADORES DISCRETOS DE BAJO ORDEN,» [En línea]. Available: http://dea.unsj.edu.ar/control3/teor%C3%ADa/capitulo9_controladoresDiscretos.pdf. [Último acceso: 01 10 2015].

[2] CAROLINA, «CATEDRAS.EDU,» [En línea]. Available: http://www.um.edu.ar/catedras/claroline/backends/download.php?url=L1Npc3RlbWFzX0Rpc2NyZXRvcy5kb2M%3D&cidReset=true&cidReq=SCFI. [Último acceso: 01 10 2015].

[3] J. M. G. d. Durana, «Automatizaci´on de Procesos Industriales;REPASO TEORIA DE CONTROL,» Vitoria-Gasteiz, 2002.

[4] I. A. AMAYA y D. C. AVEÑANEDO, DISEÑO E IMPLENTACION DE UN CONTROLADOR PID CON CAPACIDAD PARA COMUNICARSE EN LINEA MEDIANTE TCP/IP, BUCARAMANGA, 2008.

[5] V. Mazzone, Controladores PID, QUILMES, Marzo 2002.

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