Introduccin: La vida est llena de conflictos y competencias. Los numerosos ejemplos que involucran adversarios en conflicto incluyen juegos de mesa, combates militares, campaas polticas, competencias deportivas, campaas de publicidad y comercializacin entre empresas de negocios que compiten, entre otros. Una caracterstica bsica en muchas de estas situaciones es que el resultado final depende en primer lugar, de la combinacin de estrategias seleccionadas por los adversarios. La teora de juegos es una teora matemtica que estudia las caractersticas generales de las situaciones competitivas de tipo complicado. La teora de juegos maneja situaciones de decisin en las que hay dos oponentes inteligentes que tienen objetivos contrarios. Entre los ejemplos caractersticos estn lanzamientos de campaas de publicidad para productos que compiten, y la planeacin de estrategias blicas de los ejrcitos. La Teora de Juegos se desarrollo con el simple hecho de que un individuo se relacione con otro u otros. Hoy en da se enfrenta cotidianamente a esta teora, en cualquier momento. Para el hombre la importancia que representa la Teora de Juegos es evidente, pues a diario se enfrenta a mltiples situaciones que son juegos. Actualmente la Teora de Juegos se ocupa sobre todo de que ocurre cuando los hombres se relacionan de forma racional, es decir, cuando los individuos se interrelacionan utilizando el raciocinio. Sin embargo, la Teora de Juegos tiene todas las respuestas a los todos problemas del mundo. En el siguiente trabajo se define en qu consiste la teora de juegos, sus teoremas, aplicaciones y finalmente se desarrolla un ejemplo del dilema del prisionero aplicado a un caso de un crimen.

A.- Definicin Teora de Juegos: Disciplina matemtica que analiza el comportamiento de individuos o grupos en situaciones de interaccin estratgica. El objetivo de la Teora de Juegos es determinar patrones de comportamiento racional en situaciones en las que los resultados dependen de las acciones de jugadores interdependientes. La Teora de Juegos estudia las situaciones de interdependencia: Situaciones en las que tanto las acciones que realicen los individuos como los resultados que se esperen de ellas, dependen de las acciones que otros puedan llevar a cabo. Dado que esas situaciones de interdependencia estn tan relacionadas con lo que los otros puedan hacer, darn lugar a que se adopten diferentes Estrategias, y que se pueda intentar determinar cules son las acciones que los distintos individuos o Jugadores llevarn a cabo en la bsqueda de los mejores resultados, o Pagos posibles, la teora de juegos estudia las situaciones de interdependencia estratgica. En este entorno, el estudio se centra en los posibles resultados que el individuo pueda obtener en funcin de sus acciones y de lo que ocurra por fuerzas sobre las que l no tiene ningn control o influencia. Existen muy diversos tipos diferentes de juegos. En sus orgenes, la literatura sobre el tema analiz los juegos de suma cero, esto consiste en que cuando uno gana ha de ser necesariamente a costa de que el otro pierda. Posteriormente se estudiaron otros juegos Cooperativos, los que consisten en que los Jugadores eligen y llevan a cabo sus acciones de manera coordinada. Luego, el anlisis se centr en los juegos No Cooperativos, que son aquellos en que los jugadores adoptan sus decisiones de forma individual, pero su relacin con las decisiones de otros incorpora elementos de cooperacin y de rivalidad. Finalmente, en la actualidad se presta gran atencin a los juegos Evolutivos, en los que se supone que la informacin es imperfecta y un determinado juego se lleva a cabo repetidas veces. Elementos de los que se compone un Juego: Los elementos que necesariamente estn presentes en cada planteamiento en el mbito de la teora de juegos son: 1.- Jugadores: Son los individuos que han de tomar decisiones, suponiendo siempre que buscan obtener los mejores pagos posibles, es decir, buscan maximizar su utilidad. Cuando existen circunstancias en las cuales los jugadores no tienen ningn poder de influencia o de determinacin, se suele decir que quin juega es la naturaleza. Si se puede asignar probabilidades a cada uno de los posibles estados de la naturaleza nos encontraremos en presencia de juegos de informacin completa. En caso contrario, lgicamente, se tendr informacin incompleta. 2.- Acciones: Son cada una de las posibles alternativas que un jugador puede adoptar en cada momento en los que le toca decidir. Lgicamente, optar por una u otra buscando maximizar su utilidad, y teniendo en cuenta tanto los posibles estados de la naturaleza que puedan ocurrir, como las posibles acciones que el resto de jugadores puedan realizar.

3.- Estrategias: Especificacin completa de las acciones que ejecutar un jugador en cualquier contingencia que pueda presentarse en el desarrollo del juego. Es cada uno de los cursos de accin de cada jugador. Estrategia Dominante: Estrategia que genera en un juego los mejores resultados, independientemente de la estrategia que elija el adversario. 4.- Informacin: Es el grado de conocimiento del que se dispone en cada momento acerca de los valores de las distintas variables. 5.- Pagos o Recompensas: Representan la utilidad que reciben los jugadores al finalizar el juego, cuya valoracin no ha de ser necesariamente llevada a cabo en trminos monetarios. 6.- Equilibrio: Es el conjunto de estrategias que los jugadores llevan a cabo al participar el juego. B.- Principales Exponentes: La teora de juegos comenz analizando juegos de cartas como el pker. El trmino juego se conserv incluso despus de que la teora abandonara el estudio de los autnticos juegos y pasase a considerar situaciones estratgicas en general. Un juego, en este sentido, es cualquier situacin estratgica. James Waldegrave: En 1713 analiz un juego de cartas denominado Le Her, cuyo objetivo es obtener una carta mayor que el adversario. Los jugadores tienen posibilidad de intercambiar cartas, salvo cuando uno de ellos (quien reparte) tiene la carta ms grande (rey). El problema es encontrar la estrategia ganadora que maximice la probabilidad de ganar sin importar la eleccin del rival. La solucin de Waldegrave es una solucin mnimax que no fue generalizada, y por diversas razones fue hasta fines de la dcada de 1950 cuando se reconsider su trabajo. Antoine Augustin Cournot: Realiz un estudio sobre un duopolio en el que se llega a una versin reducida del equilibrio de Nash, ya que, se alcanza poco a poco el nivel de precios y produccin adecuado. John Von Neumann y Oskar Morgenstern: El primer trabajo importante en este campo fue Theory of Games and Economic Behavior, publicado en 1944. Los autores John Von Neumann un fsico y matemtico y Oskar Morgenstern, un economista, proponan, entre otras cosas, una nueva teora de la utilidad y una solucin algortmica para los juegos de suma cero, juegos en que uno gana lo que el otro pierde. Demostraron que estos juegos, aunque poco frecuentes en la realidad, tienen una solucin sencilla y elegante desde el punto de vista matemtico. Albert W. Tucker: En 1950 Albert W. Tucker plante formalmente las primeras discusiones del dilema del prisionero, y se emprendi un experimento acerca de este juego en la corporacin RAND. John Nash:

Los aportes principales se producen con la publicacin de varios trabajos sobre teora de juegos a cargo del matemtico John Nash (1996) en los aos 1950-1953. Nash propuso una nocin general y simple de equilibrio (el llamado Equilibrio de Nash), entendiendo por equilibrio una situacin en la que ninguno de los jugadores tiene incentivos para cambiar su eleccin. Esta nocin se aplica por igual a juegos de suma cero, en los que tal divergencia es parcial. En un equilibrio de Nash, los jugadores actan racionalmente (intentan maximizar su utilidad), y no pueden llegar a acuerdos entre s que no se sostengan sobre los propios intereses de los jugadores. Cuando sucede que no hay posibilidad de establecer acuerdos cuyo cumplimiento sea garantizado por una tercera parte, se habla de juegos cooperativos. Durante los aos ochenta se avanz en lo que se conoce como refinamientos del equilibrio de Nash, estableciendo por ejemplo los primeros modelos de negociacin basados en teora de juegos no cooperativos. John Harsanyi y Richard Selten: Las aplicaciones y desarrollos de la teora de juegos tardaron tiempo en hacerse notar. Hasta bien entrados los aos sesenta del siglo pasado no se realizaron avances tericos de importancia. John Harsanyi propuso entonces su teora de los juegos de informacin incompleta y Richard Selten, en los setenta, ofreci nuevas nociones ms refinadas de equilibrio, teniendo en cuenta los problemas de credibilidad de las promesas y amenazas que pueden intervenir en los juegos. Harsanyi y Selten colaboraron adems en un ambicioso proyecto destinado a proponer una teora del equilibrio vlido para cualquier tipo de juego que culmin con la publicacin del libro A General Theory Of Equilibrium Selection in Games en 1988. John Maynard Smith: En los ltimos veinte aos, los avances ms relevantes desde el punto de vista terico han sido dos. Por un lado, el desarrollo de los modelos evolutivos, inspirados en el trabajo pionero de John Maynard Smith (1982), en los que no se supone racionalidad a los agentes. El mecanismo de la seleccin natural. Sin embrago, produce resultados equivalentes. Sus aplicaciones no se limitan slo a la biologa: pueden encontrarse tambin en economa, psicologa, e incluso filosofa moral. Tienen la ventaja de que pueden explicar fenmenos muy generales, desde una perspectiva macro, sin necesidad de realizar supuestos exigentes sobre la racionalidad de los agentes. Por otro lado ha sido fundamental tambin la aparicin de lo que suele llamarse economa del comportamiento (Behavioral Economics). Esta teora, motivada sobre todo por los resultados de mltiples experimentos de laboratorio, intenta adoptar el instrumental de la teora de juegos a la clase de comportamientos que los seres humanos llevan a cabo en la realidad y que se desva, en ocasiones de forma muy pronunciada, de lo que postulan los modelos ms abstractos de teoras de juegos. C.- Principales Teoremas: I.- Tipos de Juegos 1.- Juegos de dos personas con suma cero: El pker o el ajedrez son ejemplos de juegos de suma cero, porque un jugador gana exactamente la cantidad que pierde su oponente. En un conflicto de juegos hay dos oponentes, llamados jugadores, y cada uno tiene una cantidad (finita o infinita) de alternativas o estrategias. Asociadas con cada par de estrategias hay una recompensa que paga un jugador al otro. A esos juegos se les llama

juegos entre dos personas con suma cero. Por que las ganancias de un jugador son igual a la prdida del otro. Si se representan los dos jugadores con A y B, con m y n estrategias, respectivamente, el juego se suele representar con la matriz de recompensa para el jugador A que es la siguiente:

La representacin indica que si A usa la estrategia i y B usa la estrategia j, la recompensa para a es aij y entonces la recompensa para B es aij. Como sus juegos tienen su base en el conflicto de intereses, la solucin ptima escoge una o ms estrategias para cada jugador, de tal modo que cualquier cambio en las estrategias elegidas no mejore la recompensa para cualquiera de los jugadores. Esas soluciones pueden tener la forma de una sola estrategia pura, o varias estrategias mezcladas de acuerdo con probabilidades predeterminadas. 2.- Juegos de Suma No Cero: En un juego de suma no nula las ganancias de un jugador difieren de las prdidas del otro (pueden ser mayores, o menores, pero no iguales). Esto significara que otras partes pueden participar en las prdidas o las ganancias. As pues, este tipo de juegos no son estrictamente competitivos, y algunas veces hay posibilidad de cooperacin. En los juegos de suma "no cero" o colaborativos, por el contrario, el resultado es ms abierto y puede ocurrir que todos pierdan o todos ganen. El "dilema del prisionero" en el que un preso se plantea si delatar a un cmplice o colaborar y que la pena sea menor para los dos, es el ejemplo que se suele poner. Y los juegos de rol son un caso ms claro todava. La mayora de ejemplos reales en negocios y poltica corresponden a este tipo. Por ejemplo, un contrato de negocios involucra un desenlace de suma positiva, donde cada oponente termina en una posicin mejor a la que tendra si no se hubiera dado el negocio. 3.- Juegos con Transferencia de Utilidad (Juegos Cooperativos): Un juego coalicional o cooperativo se caracteriza por un contrato que puede hacerse cumplir. La teora de los juegos cooperativos da justificaciones de contratos plausibles. La plausibilidad de un contrato est muy relacionada con la estabilidad. Si los jugadores pueden comunicarse entre s y negociar un acuerdo antes de los pagos, la problemtica que surge es completamente diferente. Se trata ahora de analizar la posibilidad de formar una coalicin de parte de los jugadores, de que esa coalicin sea

estable y de cmo se deben repartir las ganancias entre los miembros de la coalicin para que ninguno de ellos est interesado en romper la coalicin. 4.- Juegos No Cooperativos: Analizan situaciones en las que las ganancias (niveles de utilidad) de los agentes (econmicos) dependen de las acciones de otros jugadores y en las que los agentes o jugadores no pueden, en un principio, firmar acuerdos vinculantes acerca del curso de accin a seguir, cuyo cumplimiento pueda ser exigido por terceras partes. En la mayora de situaciones que aparecen en entornos de competencia econmica rara vez es posible implementar acuerdos vinculantes, de manera que proporciona las herramientas adecuadas para el anlisis. 5.- Juegos Simtricos: Un juego es simtrico si todos los jugadores lo ven de la misma forma. Esto se concreta en dos consideraciones importantes. Primero, cada jugador i tiene el mismo conjunto de estrategias X (i); un jugador no tiene ms estrategias diferentes que otro. En segundo lugar, cada par de jugadores i y j tienen la misma funcin de utilidad en el sentido que, dadas las estrategias del resto de jugadores, intercambiar las estrategias de los jugadores intercambia sus ganancias: ui (xi, xj, resto de las estrategias) = uj (xj, xi, resto de las estrategias). En particular, cuando dos jugadores eligen la misma estrategia xi = xj, entonces: ui (xi, xi, resto de las estrategias) = uj (xi, xi, resto de las estrategias). En un juego simtrico, cuando los jugadores escogen la misma estrategia, obtienen las mismas ganancias. Los juegos simtricos son importantes por dos razones. En primer lugar, proporcionan aproximaciones buenas a juegos complicados cuando los jugadores no son muy diferentes, y son ms fciles de resolver. En segundo lugar, los juegos simtricos sirven de inspiracin de una condicin suficiente de la solucin. Como un juego simtrico es visto de la misma forma por todos los jugadores, no hay razn para creer que un jugador tiene ventaja sobre otro. Todos los jugadores tienen las mismas oportunidades. La solucin de un juego simtrico debe reflejar esta igualdad de oportunidades. 6.- Juegos Asimtricos: Los juegos asimtricos ms estudiados son los juegos donde no hay conjuntos de estrategias idnticas para ambos jugadores. Por ejemplo, el juego del ultimtum y el juego del dictador tienen diferentes estrategias para cada jugador; no obstante, puede haber juegos asimtricos con estrategias idnticas para cada jugador. 7.- Juegos Simultneos y Secuenciales: Los juegos simultneos son juegos en los que los jugadores mueven simultneamente o en los que stos desconocen los movimientos anteriores de otros jugadores. Los juegos secuenciales (o dinmicos) son juegos en los que los jugadores posteriores tienen algn conocimiento de las acciones previas. Este conocimiento no necesariamente tiene que ser perfecto; slo debe consistir en algo de informacin. Por ejemplo, un jugador1 puede conocer que un jugador2 no realiz una accin determinada, pero no saber cul de las otras acciones disponibles eligi.

La diferencia entre juegos simultneos y secuenciales se recoge en las representaciones discutidas previamente. La forma normal se usa para representar juegos simultneos, y la extensiva para representar juegos secuenciales. 8.- Juegos de Informacin Perfecta: Un juego es de informacin perfecta si todos los jugadores conocen los movimientos que han efectuado previamente todos los otros jugadores; as que slo los juegos secuenciales pueden ser juegos de informacin perfecta, pues en los juegos simultneos no todos los jugadores (a menudo ninguno) conocen las acciones del resto. La mayora de los juegos estudiados en la teora de juegos son juegos de informacin imperfecta, aunque algunos juegos interesantes son de informacin perfecta, incluyendo el juego del ultimtum y el juego de los cien pies. Tambin muchos juegos populares son de informacin perfecta, incluyendo el ajedrez. La informacin perfecta se confunde a menudo con la informacin completa, que es un concepto similar. La informacin completa requiere que cada jugador conozca las estrategias y recompensas del resto pero no necesariamente las acciones. En los juegos de informacin completa cada jugador tiene la misma "informacin relevante al juego" que los dems jugadores. El ajedrez y el dilema del prisionero ejemplifican juegos de informacin completa. Los juegos de informacin completa ocurren raramente en el mundo real, y los tericos de los juegos, usualmente los ven slo como aproximaciones al juego realmente jugado. II.- Teoremas: 1.- Equilibrio de Nash: Combinacin de estrategias tal que la estrategia de cada jugador es la mejor que puede elegir, dada la que elige el otro. Se logra un equilibrio de Nash cuando ninguno de los jugadores tiene incentivos para alejarse de su estrategia actual. El equilibrio de Nash es un equilibrio no cooperativo, donde ninguna de las firmas tiene un incentivo para modificar su decisin de produccin. Es decir, la estrategia elegida por cada firma maximiza sus utilidades, dadas las estrategias de sus competidores. Cuando existen estrategias dominantes, si cada jugador sigue su estrategia dominante se logra un equilibrio de Nash. Pero, se puede lograr un equilibrio de Nash an cuando uno de los jugadores no tenga una estrategia dominante. En un juego puede no existir un equilibrio de Nash. 2.- Criterio Minimax: La solucin a los juegos de dos personas de suma nula se basa en el Teorema de Minimax, el cual establece que cada jugador debera jugar de tal forma que maximizara sus mnimas ganancias. Se espera que los jugadores sigan esta teora debido a: 1.- Si el jugador A maximiza el mnimo resultado, significa que puede conseguir al menos un valor de V (V Significa V o ms). 2.- Si el jugador B sigue el mtodo Minimax, puede limitar a que la ganancia de A no sea ms que V, es decir, limita las prdidas a V (V significa V o menos). El teorema Minimax de la teora de juegos establece que si se pueden utilizar estrategias mixtas, entonces siempre hay un valor de juego V, de tal forma que: V = V= V

El criterio Minimax define una solucin para los juegos de dos personas de suma nula cuando se ha hecho un gran conjunto de simplificaciones. As pues, como indica la experiencia, los jugadores a menudo no siguen el mtodo Minimax, especialmente en los casos de estrategia mixta. 3.- Estrategia Maximin: En el concepto de equilibrio de Nash es fundamental es supuesto de racionalidad de los agentes. Si un agente sospechara que su adversario no se comporta racionalmente, podra tener sentido que adoptara una estrategia maximin, esto es, aquella en la que se maximiza la ganancia mnima que puede obtenerse. Vamos a considerar un juego de suma cero. Cada jugador dispone de tres estrategias posibles a las que designaremos como A, B, y C (supongamos que son tres tarjetas con dichas letras impresas). Los premios o pagos consisten en la distribucin de diez monedas que se repartirn segn las estrategias elegidas por ambos jugadores y se muestran en la siguiente tabla llamada matriz de pagos, en la que para cualquier combinacin de estrategias, los pagos de ambos jugadores suman diez.

Por ejemplo, si Yo juego la tarjeta C y el otro jugador elige su tarjeta B, entonces yo recibir ocho monedas y el otro jugador recibir dos. ste es por tanto un juego de suma cero. Para descubrir qu estrategia me conviene ms vamos a analizar la matriz que indica mis pagos. Ignoro cul es la estrategia (la tarjeta) que va a ser elegida por el otro jugador. Una forma de analizar el juego para tomar mi decisin consiste en mirar cul es el mnimo resultado que puedo obtener con cada una de mis cartas. En la siguiente tabla se ha aadido una columna indicando mis resultados mnimos:

En efecto, Si yo elijo la tarjeta A, puedo obtener 9, 1 o 2, luego como mnimo obtendr un resultado de 1. Si elijo la tarjeta B, puedo obtener 6, 5 o 4, luego como mnimo obtendr 4. Si elijo la tarjeta C, puedo obtener 7, 8 o 3, luego como mnimo obtendr 3.

De todos esos posibles resultados mnimos, el que prefiero es 4 ya que es el mximo de los mnimos. La estrategia MAXIMIN consiste en elegir la tarjeta B ya que esa estrategia me garantiza que, como mnimo, obtendr 4. D.- Aplicaciones de la Teora de Juegos: 1.- Economa: Oligopolio de Cournot: En el oligopolio, las empresas deben decidir si lanzarn costosas campaas de publicidad, si modificarn su producto, si lo harn ms confiable o ms durable, si realizarn discriminacin de precios y, si lo hacen, entre qu grupos de clientes y hasta qu nivel; si efectuarn una gran labor de investigacin y desarrollo destinada a disminuir los costos de produccin, y si entrarn o saldrn de una industria. Todas estas elecciones pueden analizarse con la teora de juegos. Una de las aplicaciones ms fructferas de la teora de juegos es la relativa al estudio de la organizacin industrial en entornos con un nmero de agentes no muy grande, en particular el estudio de modelos de mercado con un nmero reducido de empresas. Los modelos de duopolio constituyen una aplicacin pionera de este tipo. El modelo clsico de Cournot consiste en que un pequeo nmero de empresas compiten en el mercado de un producto homogneo, decidiendo simultneamente qu cantidades de produccin van a aportar al mercado, y el precio de mercado queda determinado por la cantidad total aportada de acuerdo con la funcin demanda inversa. Aunque el mecanismo mediante el cual se vaca el mercado vendiendo toda la produccin aportada no se especifica, es til imaginar una subasta entre compradores de la produccin total. Al equilibrio resultante de ese modelo se le ha llamado tradicionalmente el equilibrio de Cournot, y se llama a veces equilibrio de Cournot-Nash para indicar que se trata del equilibrio de Nash del juego definido por el modelo de Cournot. 2.- Poltica: Con la teora de juegos podemos estudiar las coaliciones que se forman antes de las elecciones, cuando un candidato se da cuenta que otro tiene mayor probabilidad de ganar, le dice me retirar para dejarte ganar, pero despus quiero que tomes mis ideas y que me nombres en algn cargo. Es altamente til para explicar las preferencias de los grupos parlamentarios, sobre todo cuando existe disciplina de partido. En teora de juegos los partidos polticos pueden ser considerados jugadores racionales, quienes aspiran a un juego racional. La teora de juegos recomendara a cada uno de los jugadores que van a empezar un juego G, estrictamente competitivo de informacin perfecta sin jugadas al azar, que si el juego tienen valor v, las alternativas son fciles: Con seguridad cada jugador debera simplemente escoger estrategias puras que le aseguran un resultado no peor que v. Si un par as de estrategias puras (s, t) es utilizado, entonces el resultado del juego ser v. Pero debemos llevar cuidado al aceptar el par (s, t) como una solucin del juego. Los partidos polticos pueden ejecutar el Juego del Financiamiento. En este modelo los partidos polticos son los jugadores. Anlisis poltico. Las reglas electorales alteran las plataformas electorales de los candidatos y se pueden estudiar las consecuencias de distintos tipos de reglas. 3.- Biologa: En Biologa se ha utilizado ampliamente la teora de juegos para comprender y predecir ciertos resultados de la evolucin, como lo es el concepto de estrategia evolutiva estable

introducido por John Maynard Smith en su ensayo "Teora de Juegos y la Evolucin de la Lucha", as como en su libro "Evolucin y Teora de Juegos". Evolucin de las especies biolgicas. Las especies que conocemos son el producto de un largo proceso de interacciones con otras especies. Los genes y la influencia de estos sobre su comportamiento y caractersticas fsicas hacen que individuos de una especie tengan distinta capacidad reproductora, con lo que los genes ms exitosos en el juego reproductivo son los que sobreviven. 4.- Comportamiento Humano: Dilema del Prisionero: Para el comportamiento humano, la teora de juegos propone un caso muy representativo, el llamado dilema del preso, un juego cuyas reglas son las que siguen: Dos individuos han sido detenidos por cometer un crimen, y son interrogados por separado. Cada uno de ellos tiene dos opciones: declararse culpable o inocente. Entonces la combinacin de las declaraciones de los dos detenidos puede ser de tres formas: 1.- Si ambos niegan haber cometido el delito, ser muy difcil que se demuestre su culpabilidad, y por tanto, es fcil que salgan libres o sufran una pena mnima. 2.- Si los dos reconocen su culpa, recibirn la compensacin por su arrepentimiento y cumplirn una pena corta, aunque mayor que la anterior. 3.- Sin embargo. Si uno se declara inocente y el otro confiesa, la pena para el primero ser mucho mayor que para el segundo. Es decir, lo ms cmodo para cada uno de ellos individualmente sera declararse culpable, porque al no saber lo que dir el otro, la pena ser menor que si se declara inocente y el amigo hace lo contrario, es lo que se llama desertar, y no conseguir tan buen resultado como si ambos se declaran inocentes, lo que se llamara cooperar, pero la pena ser aceptable. Por el contrario, si uno coopera y el otro deserta, la pena ser la mayor para el primero. Por tanto, parece claro que lo mejor en este caso es desertar, sin embargo, podemos imaginarnos que ambos jugadores pasan por una serie de partidas consecutivas, de forma que cada uno sabe lo que ha hecho el otro en las anteriores y basa su comportamiento en ello. Adems a cada uno de los resultados posibles se le asigna una puntuacin que se va acumulando. Estas puntuaciones podran ser: Si ambos cooperan cada uno recibe 3 puntos. Si ambos desertan cada uno recibe 1 punto. Si uno deserta y el otro coopera, el primero se lleva 5 puntos y el segundo ninguno. Suponemos que estos puntos se traducen en dinero, y cabe preguntarse cul es la estrategia adecuada para ganar ms en este juego del dilema del preso repetido. Cooperar a menudo puede provocar que el rival deserte a menudo y obtenga mucho dinero a nuestra costa. Desertar a menudo causa que el competidor tambin lo haga y el beneficio para ambos sea muy inferior a la colaboracin continuada. Es claro que la cooperacin encadenada entre ambos es lo mejor para los dos, pero el peligro de traicin es evidente. 5.- Filosofa: Los especialistas en Teora de Juegos creen que pueden demostrar formalmente por qu incluso el individuo ms egosta puede descubrir que con frecuencia, cooperar con sus vecinos en una relacin a largo plazo redundar en su propio inters ilustrado. Con este fin estudian los equilibrios de juegos con repeticin (juegos que los mismos jugadores juegan una y otra vez). Pocas cosas han descubierto en esta rea hasta el presente que hubieran sorprendido a David Hume, quien hace ya unos doscientos aos articul los mecanismos esenciales. Estas ideas, sin embargo, estn ahora firmemente

basadas en modelos formales. Para avanzar ms, habr que esperar progresos en el problema de la seleccin de equilibrios en juegos con mltiples equilibrios. Cuando estos progresos se den, sospecho que la filosofa social sin Teora de Juegos ser algo inconcebible y que David Hume ser universalmente considerado como su verdadero fundador. E.- Ejercicio de Aplicacin: El dilema del Prisionero: Dos sospechosos de un crimen son capturados y retenidos en celdas separadas. Hay suficiente evidencia como para inculparlos de una parte del crimen, pero no suficiente evidencia como para inculparlos del crimen total, a menos que haya un testigo que confiese (en este caso, los nicos testigos son los dos sospechosos detenidos). Si ambos no confiesan, solo se los procesar por la fraccin del crimen cometido, equivalente a 1 ao de prisin. Ahora bien, si uno confiesa y el otro no, al que confes se le usara como testigo y adems ser liberado, dndole al otro 4 aos de prisin. Si ambos confiesan, se les dar una condena de 3 aos a cada uno (obviamente menor que 4 aos porque es el incentivo para que confiesen). Suposicin: Ambos jugadores (sospechosos) se preocupan solo, nica y exclusivamente de su bienestar personal, es decir, haran todo lo posible para que la polica los deje en libertad, incluso si eso implica traicionar al cmplice. Ambos jugadores son interrogados de forma privada, cosa que no pueden influir en la respuesta del otro. Por lo tanto, el juego ser una matriz de 2x2, y adems es un juego simtrico. Es simtrico el juego en el cual las ganancias de cada jugador, solo dependen de la estrategia utilizada, y no de quin est jugando el juego. En este caso, no importa a quien se interrogue primero, o bien a quien se quiere interrogar. Ambos sospechosos prefieren obviamente quedar en libertad, pero a la vez prefieren recibir 1 ao a que 3, y 3 aos a que 4.

Definicin del Juego: Jugadores: Delincuente 1 (Alejandro) y Delincuente 2 (Andrea). Acciones: {Cooperar (confesar el crimen), Negar (No Confesar)} = {c, n}. Ganancias: En este caso, las ganancias estn dadas por una matriz 2x2.

Alejandro n c

ANDREA n c 2,2 3

0,3 1,1

Explicacin de la Matriz de Ganancias: Quedar libre es la ganancia ms alta, por lo tanto se le adjudica el valor 3, luego, 3 aos equivalen a una ganancia 1, y 1 ao equivale a una ganancia de 2. Por ende, 4 aos equivale a una ganancia de 0.

Cuando Alejandro elige c (Cooperar) y Andrea elige n (No Cooperar), la ganancia de Alejandro ser de 3 y la de Andrea ser de cero (el par (3,0)) = Alejandro queda libre y Andrea es encarcelada con 4 aos. Tambin, cuando ambos delincuentes eligen cooperar c, las ganancias de ambos es de (1,1) = ambos obtienen 3 aos de condena. A la vez, si ambos eligen No Cooperar, la ganancia es de (2,2)= ambos obtienen 1 ao de condena. Al contrario, cuando Alejandro elige n y Andrea elige c ( par (0,3)) Alejandro es encarcelado y Andrea queda libre. Los nmeros 0, 1, 2 y 3, son totalmente arbitrarios. Lo nico importante es que esos valores representan las preferencias de los jugadores. Como se observa, las ganancias de Alejandro estn dadas por el primer componente del par {x, y} y las de Andrea por el segundo. No es importante quien actu primero. Obviamente Alejandro y Andrea, ambos quieren tener 3, pero eso es imposible. Lograr el par (3,3) no es posible segn las reglas del juego. Ahora bien, podra ser (3,0) y Alejandro obtendra 3 (Libertad), pero, por qu Andrea querra elegir 0? Por qu Andrea se ira a sacrificar? En otras palabras, sea lo que sea que haya elegido Alejandro, Andrea no elegir No Confesar, porque as corre el riesgo de obtener 0. Equilibrio: Se pensar desde el punto de vista de Alejandro. Si elige c (Cooperar) obtendra 3 o 1 dependiendo de lo que Andrea haga. Si elige n (No Cooperar), obtiene 2 o 0, dependiendo de lo que Andrea elija. Lo mismo se podra decir de Andrea (por simetra). Por ende, elegir siempre c (Cooperar) es lo ms seguro, porque as no se corre el riesgo de ganar 0, que es lo que ms buscan evitar estos delincuentes. Obtener (3,0) o (0,3) es imposible porque siempre sale alguien perjudicado, y ese alguien siempre actuar para evitar tener 0, as que cualquiera de esos pares es una situacin imposible. Luego, 2,2, donde ambos obtienen lo mismo, es la situacin mas ptima al parecer, pero no es as, porque Alejandro o Andrea obteniendo "2" cada uno, depende exclusivamente de que si el otro acta coordinadamente con el otro, o sea, si se ponen de acuerdo o bien si hay extrema confianza. Pero esto no es as, ya que si Alejandro elige no confesar para as obtener 2, Andrea podra elegir confesar y obtener ms y perjudicar a Alejandro, por ende Alejandro debe eliminar esa posibilidad. Y lo mismo para Andrea (por Simetra). Por consiguiente, la nica forma de eliminar la posibilidad de obtener 0 es eligiendo siempre Cooperar. Dicho esto, la accin Cooperar "c" es la que domina a "d". A la vez, este es el equilibrio de Nash que tanto se esperaba. Equilibrio en donde estando ah, nadie se va a querer mover a otra posicin tomando en cuenta que el otro tampoco se mueve. (3,3) es imposible segn las reglas del juego. (0,3) o (3,0) es imposible, porque cada jugador se proteger a s mismo. Los jugadores ambos quieren (2,2), pero el juego los forzar a elegir (1,1), porque es lo ms seguro. Por ende, aunque no quieran, los sospechosos tendrn que elegir confesar, ambos, y ambos confesarn y sern procesados por el crimen total.

Bibliografa: Teora de la decisin y de los juegos, Juan Carlos Aguado Franco Teora de juegos, Ignacio Snchez-Cuenca Juegos para empresarios y economistas, Roy Gardner Mtodos cuantitativos, E. Vicens Salort La economa. Virtudes e inconvenientes: manual bsico para no economistas, Claudio Flores