II PRCTICAII PRCTICADAS / KASSIMALI / SAMIESTUDIANTESESTUDIANTESMarcelo Gamboa, RusselBellido Arango, MiguelDe La Cruz Quispe, GiovannyAtaucusi choquecahua, CleverVIBRACIONES MECNICASVIBRACIONES MECNICASSOLUCIN DE EJERCICIOS CON MATLABsistema con un grado de libertadAutores Autoressistema con n grados de libertadMARCELO GAMBOA RUSSELMARCELO GAMBOA RUSSELBELLIDO ARANGO MIGUEL BELLIDO ARANGO MIGUELDE LA CRUZ QUISPE GIOVANNIDE LA CRUZ QUISPE GIOVANNIATAUCUSI CHOQUECAHUA CLEVERATAUCUSI CHOQUECAHUA CLEVERUNIVERSIDADNACIONALDESANCRISTOBALDEHUAMANGAFACULTADDEINGENIERIADEMINASGEOLOGIAYCIVILESCUELADEFORMACIONPROFESIONALDEINGENIERIACIVILPRACTICA3CursoDINAMICA(IC-244)DocenteIngCristianCastroPerezEstudiantes1. MarceloGamboa,Russel2. BellidoArango,Miguel3. DeLaCruzQuispe,Giovanni4. Ataucusi choquecahua,CleverAyacucho-Per u2013Contenido1 Conceptos previos 21.1 Leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Vibracin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Sistemas discretos y Sistemas continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Vibraciones libres y forzadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6 Rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.7 Tipos de excitacin dinmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Sistemas de vibracin con un grado de libertad 62.1 Vibracin libre no amortiguada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Vibracin libre amortiguada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.1 Amortiguamiento crtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2 Amortiguaiento mayor que el crtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.3 Amortiguaiento menor que el crtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Movimiento forzado no amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Sistemas de vibracin con n grado de libertad 163.1 Movimiento libre sin amortiguamiento de n grados de libertad . . . . . . . . . . . . 163.2 Ecuacin de Lagranqe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 Movimiento libre con amortiguamiento de n grados de libertad . . . . . . . . . . . 203.4 Movimiento forzado sin amortiguamiento de n grados de libertad . . . . . . . . . . 213.5 Determinacin de los periodos y modos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.6 Movimiento amortiguado de n grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.6.1 OSCILACIN-MODOS DE VIBRACIN DE LOS EDIFICIOS. . . . . . . . 273.7 Ejercicio de aplicacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.7.1 Solucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.7.2 Solucin numrica para 10 pisos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 Programa para el clculo 404.1 Interfaz general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1.1 Interfaz "Sistema Forzado Amortiguado con 1 grado de libertad " . . . . . . 404.1.2 Interfaz "Sistema Libre Amortiguado con 1 grado de libertad " . . . . . . . . 414.1.3 Interfaz "Sistema con n grado de libertad " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 Conclusin 44CONTENIDO 16 Apreciacin crtica 511Conceptos previosVeremos a continuacin una serie de conceptos dinmicos utilizados habitualmente en el estudiode vibraciones.1.1 Leyes de Newton"Todo cuerpo permanece en su estado de reposo, o movimiento uniforme rectilneo, a menos quesea obligado a cambiar ese estado debido a la aplicacin de cualquier tipo de fuerzas."1raLey de Newton:Esta primera ley de Newton se conoce tambin con el nombre de Ley de Inercia."La fuerza que acta sobre un cuerpo y causa su movimiento, es igual a la tasa de cambio de lacantidad de movimiento del cuerpo."2daLey de Newton:F = dPdt(1.1)Denicin 1.1DondeP: cantidad de movimiento del cuerpo.F: Fuerza externa.Adems P = mv, de donde se obtiene que:3F = ma (1.2)Denicin 1.2Donde:a: aceleracin"A toda accin se opone siempre una reaccin de igual magnitud; o las acciones mutuas entre doscuerpos son siempre iguales y opuestas."3raLey de Newton:1.2 VibracinEs un movimiento oscilatorio que aparece, por lo general, en los sistemas mecnicos sometidosa la accin de fuerzas variables con el tiempo. Distinguiremos entre vibracin y oscilacin. Ladiferencia entre ellas radica en que la vibracin implica la existencia de energa potencial elstica,mientras que la oscilacin no.kmF(t)1.3 Grados de libertadEl nmero de grados de libertad de un sistema, desde el punto de vista de la dinmica, corre-sponde al nmero mnimo de coordenadas necesarias para denir la posicin en el espacio y enel tiempo de todas las partculas de masa del sistema. Por ejemplo, el sistema de la Figura ?? tiene2 grados de libertad, que son las dos coordenadas x1 y x2 que denen la posicin de cada uno delos bloques con respecto a sus posiciones de referencia.4 Conceptos previoskmkx1 x2m1.4 Sistemas discretos y Sistemas continuosSe denominan sistemas discretos aqullos que pueden ser denidos mediante un nmero nitode grados de libertad y sistemas continuos aqullos que necesitan innitos grados de libertadpara ser exactamente denidos.1.5 Vibraciones libres y forzadasEl movimiento mecnico puede ser clasicado en dos grandes grupos, los cuales son vibracioneslibres y vibraciones forzados. Vibraciones libres son las que se producen al sacar un sistema desu posicin de equilibrio y dejarlo oscilar libremente. Vibraciones forzadas son aqullas que seproducen por accin de fuerzas dependientes del tiempo.1.6 RigidezTodo cuerpo elstico que sea sometido a fuerzas externas, ya sean estticas o dinmicas , sufreuna deformacin. La rigidez se dene como la relacin entre estas fuerzas externas y las deforma-ciones que ellas inducen en el cuerpo. Toda estructura se ve afectada numerosas veces durante suvida por efectos dinmicos que van desde magnitudes despreciables, hasta efectos que puedenponer en peligro su estabilidad. Dentro de los tipos de excitacin dinmica que pueden afectaruna estructura, ms especcamente en este caso sera como afecta a los edicios.5Resortes en serieResortes en paralelo1.7 Tipos de excitacin dinmicaToda estructura se ve afectada numerosas veces durante su vida por efectos dinmicos que vandesde magnitudes despreciables, hasta efectos que pueden poner en peligro su estabilidad. Den-tro de los tipos de excitacin dinmica que pueden afectar una estructura, o un elemento estruc-tural, se cuenta (vase la gura ) entre otros:1. Causada por equipos mecnicos.Dentrodeestegrupoestnlosefectoscausadospormaquinariasyequiposquetengancomponentes que roten o se desplacen peridicamente.2. Causado por impacto.El hecho de que una masa sufra una colisin con otra, induce una fuerza impulsiva aplicadasobre las dos masas, la cual induce vibraciones.3. Causadas por el viento.La intensidad de las presiones que ejercen el viento sobre las estructuras vara en el tiempo.Esto induce efectos vibratorios sobre ellas.4. Causadas por olas.El efecto sobre las estructuras de los movimientos del terreno producidos por la ocurrenciade un sismo conduce a vibraciones importantes de la estructura.2Sistemas de vibracin conun grado de libertad2.1 Vibracin libre no amortiguadaAunque la perdida de energa en sistemas vibratorios siempre esta presente, existe ocasiones enlas que la frecuencia de la vibracin libre conocida como frecuencia natural se ve casi inalteradaal despreciar el amortiguamiento, entonces se puede eliminar este efecto y considerarlo como unsistema sin amortiguamiento. El resultado es un modelo simple de analizar y que adems pro-porcionara una serie de conclusiones importantes.El clculo de la frecuencia natural es de gran importancia ya que nos permite conocer la frecuenciaa la cul un sistema no debe ser excitado porque aparecera el efecto de la resonancia manifestn-dose como grandes amplitudes de vibracin.Por otro lado, puesto que un sistema vibratorio tiene tantas frecuencias naturales como sea elnmero de grados de libertad, en este caso nos enfocaremos solo al caso de un sistema de un sologrado de libertad y calcular entre otras cosas la frecuencia natural o de resonancia.kmkmkmVibracin libre no amortiguadaBajo el supuesto de que la fuerza ejercida para deformar el resorte, ya sea en tencin o en com-7prensin, es proporcional a la deformacin y siendo que K la constante de proporcionalidad origidez, podemos determinar la fuerza que ejerce el resorte por medio de:Fr = kx (2.1)Denicin 2.1Donde:Fr= fuerza ejercida por el resorte(N)k = rigidez del resorte (N/m)x = desplazamiento relativo entre los dos extremos del resorte (m)La fuerza inercial que se tiene en la masa m debido ala aceleracin a, esta dada, segn la segundaley de newton, por:F = m x (2.2)Denicin 2.2Donde:F = fuerza inercial que obra sobre la masa (N)m = masa (kg) x= aceleracin de la masa (m/s2)Esta fuerza inercial obra en la direccin contraria a la direccin de la aceleracin. Aplicando elprocedimientode?cuerpolibre?enlamasa,gura1.bseobtienenlasdosfuerzasqueobransobre la masa, correspondientes a la fuerza ejercida por el resorte y la fuerza inercial. Por lo tanto,aplicando el principio de DAlembert:F Fr = m x kx = 0 (2.3)Denicin 2.3Asi se obtiene la siguiente ecuacin de equilibrio correspondiente a una ecuacin diferencial linealhomognea de segundo orden:m x kx = 0 (2.4)Denicin 2.48 Sistemas de vibracin con un grado de libertadDividendo por m y llamado w2n la constante k/m, se obtiene: x +w2nx = 0Y la solucin de esta ecuacin diferencial es:x(t) = Asen(wnt) +Bcos(wnt)DondeAyB depende de las condiciones iniciales que indujeron el movimiento. Por lo tanto, si sedenex0como el desplazamiento que tenia la masa en el movimiento t= oyVcomo su velocidadtambin en el tiempo t = 0, se obtiene:x0 = Asen(wn0) +Bcos(wn0)Ahora deribando la ecuacin de la solucin : x = Awncos(wnt) +Bwnsen(wnt)Que al tiempo t=0 es igual a:v0 = Awncos(wn0) +Bwnsen(wn0) = AwnY entences:A =v0wnPor lo tanto la solucin de la ecuacin(2-5) se convierte en:x(t) =_v0wn_sen(wnt) +x0cos(wnt) (2.5)Denicin 2.5Donde:v0= velocidad de la masa en el instante t=0 (m/s)x0= desplazamiento de la masa en el instante t=0 (m)wn= frecuencia natural del sistema (rad/s)El haber introducido un desplazamiento y una velocidad iniciales a la masa ase que esta oscile conun movimiento peridico a partir del momento (t= 0) en que se introdujeron estas condicionesiniciales. En la gura 1.c se presenta el grco del desplazamiento de la masa con respecto altiempo, correspondiente a la solucin de la ecuacin de movimiento.Puede verse que se trata de un movimiento peridico. Esta periodicidad hace que el valor de xsea el mismo cada2wnsegundos. Por lo tanto, es posible denir los siguientes trminos:wn =_km :frecuencia natural del sistema por radiaciones por segundo (rad/s)9f = wn2:frecuencia natural del sistema en ciclos por segundo o Hertz (Hz o 1/s)T= 2wn=1f: periodo natural del sistema en segundos (s)Estas relaciones se han enmarcado para resaltar su importancia.2.2 Vibracin libre amortiguadaLos movimientos oscilatorios tienden a disminuir con el tiempo hasta desaparecer. Esto se debeal amortiguamiento que se presenta, el cual hace que parte de la energa se disipe. Las causas deeste amortiguamiento estn asociadas con diferentes fenmenos dentro de los cuales se puedeencontrar la friccin de la masa sobre la supercie de apoyo, el efecto del aire que rodea la masa,el cual tiene a impedir que ocurra el movimiento, la no linealidad del material de resorte, entreotros.Existen numerosas maneras de describir matemticamente el efecto de friccin. Dentro de es-tos modelos, uno de los ms utilizados es el que se conoce como amortiguamiento viscoso. Enel amortiguamiento viscoso la fuerza de amortiguamiento es directamente proporcional a la ve-locidad relativa entre los extremos del amortiguador, lo cual se puede describir por medio de lasiguiente ecuacin:Fa =c xDonde:Fa : fuerzaproducidaenelamortiguamientoc : constantedeamortiguamiento(N.s/m) x : velocidadrelativaentrelosextremosdeamortiguador(m/s)k cmEn la gura se muestra la misma lineal amortiguado de un grado de libertad. El grado de libertadesta descrito por la ordenada X, la cual indica la posicin de la masa m. a esta masa, colocadasobre una friccin, est conectado un resorte con constante de rigidez k y un amortiguador cuyoconstante es C.10 Sistemas de vibracin con un grado de libertadDe la aplicacin del procedimiento de cuerpo libre gura 2.b de la masa, se obtiene las tres fuerzasque obran sobre ella, correspondientes a la fuerza del resorte Fr = kx; la fuerza inercial producidapor la aceleracin de la masa,F= m xy por la fuerza ejercida por el amortiguador dada en laecuacin Fa = c x.Utilizando el principio de D Alembert puede plantearse la siguiente ecuacinFr +Fa +F = 0Y al reemplazar las deniciones de las diferentes fuerzas; lo cual conduce a la siguiente ecuacindiferencial lineal homognea de segundo orden:m x +c x +kx) = 0La ecuacin caracterstica de la ecuacin anterior es:m2+c+k = 0Cuyas races son:1 = c c24mk2mY2 = c +c24mk2mPor lo tanto la solucin de la ecuacin diferencial de equilibrio del sistema, es:x(t) = Ae1t+Be2t(2.6)Denicin 2.6Donde:A = constante que depende de las condiciones iniciales del movimiento.B = constante que depende de las condiciones iniciales del movimiento.e = base de los logaritmos neperianos.Existen tres casos de solucin para la ecuacin anterior dependiendo del valor del radical de laecuacin , los cuales se presentan a continuacin.2.2.1 Amortiguamiento crticoCuando el radical dela ecuacin 1y2 es igual a cero la cantidad de amortiguamiento c, se de-nomina amortiguamiento crtico y se dene como cc y se obtiene as:cc24mk = 0Por lo tanto:11cc2= 2mk = 2mwnDeniendo como el coeciente de amortiguamiento crtico, igual al cociente c/cc entonces:c = 2mwnQue al ser remplazado en las raices de la ecuacione sauciliares se obtiene:1 =_+_12_wnY2 =__12_wnAhora, los tres casos de inters se han convertido en = 1, 1y 1 , que se denomina amor-tiguamiento igual, mayor y menor del crtico, respectivamente.Para el caso de amortiguamiento igual al crtico = 1.1 = 2 =wnDebido a la doble raz la solucin para el movimiento X, es del tipo:x(t) = Aewnt+BewntRemplazando las condiciones iniciales se obtiene:x(t) = [x0 +t(v0 +x0wn)] ewnt(2.7)Denicin 2.7Donde x0 y v0 son el desplazamiento y la velocidad inicial respectivamente.0x0v0xtstees unmovimientoaperidiconohayoscilacin, comopuede verse en la gura Este es el caso en el cual el sistema re-gresa de la manera mas rpida a su condicin de reposo12 Sistemas de vibracin con un grado de libertad2.2.2 Amortiguaiento mayor que el crticoEn el caso > 1 . Tomando los valores de 1y 2de la solucin de las ecuaciones auciliares eintroducindolos en la ecuacin solucin se obtiene:x(t) =_Ae21wt+Be21wt_ewntAy B son constantes arbitrarias que dependen de las condiciones iniciales. En este caso el movimientotambin es aperidico como en el caso de amortiguamiento crtico, con la diferencia que el movimientodecrece ms lentamente que cuando se tiene amortiguamiento igual al crtico.2.2.3 Amortiguaiento menor que el crticoCorresponde a la posibilidad de mayor inters por cuanto se presenta vibracin. La gran mayorade aplicaciones prcticas en vibraciones estn rgidas por este caso debido al hecho de que lagran mayora de los sistemas estructurales tiene valores de amortiguamiento bajos. En este caso .Tomando los valores de y de las ecuaciones (2-22) y (2-23) puede verse que la parte interna de losradicales es negativa, por lo tanto la solucin es imaginaria:x(t) = ewnt_Ae12wnt+Be12wnt_Aplicando la transformacin de Euler, la cual se expresa como:eiy= cos(y) +isen(y)Yeiy= cos(y) isen(y)Se obtiene una forma no imaginaria de la ecuacin anterior:x(t) = ewnt_Ccos_12wnt_+Dsen_12wnt__Al resolver las constantes C y D para las condiciones iniciales de desplazamiento inicial y veloci-dad inicial se obtiene:x(t) = ewnt_x0cos(wdt) +_v0 +x0wnwd_Dsen(wdt)_Donde wd se conoce como la frecuencia amortiguada y est denida por:wd = wn_12El movimiento disminuye la amplitud exponencialmente como se muestra en la gura 2-8. Laporcin oscilatoria tiene un periodo un poco mayor que el que tendra un sistema no amortiguadocon la misma rigidez y masa.Td =2wd=2wn_1213Respuestas de un sistema de amortiguamiento menor del crtico.Una caja tiene una masa de 1000kg es soltada desde un metro de altura sobre el centro de laluz de una viga simplemente apoyada de masa despreciable. la viga tiene una luz de longitudL = 10M y su seccin tiene 0.2m de ancho por 0.5m de largo. est construida de un material cuyomodulo de elasticidad es E = 25000MPa (ver gura). El sistema en conjunto tiene una frecuencianatural de 50rad/s se desea encontrar la mxima amplitud del sistema dado que ahora tiene unamortiguamiento de c = 5000N.s/mEjemplo 2.1El coeciente de amortiguamiento critico. Se obtiene de: =c2mwn=50002100050= 0.05Dado que el coeciente de amortiguamiento critico es menor que la unidad. El movimiento estadescrito por:x(t) = ewnt_x0cos(wdt) +_v0 +x0wnwd_Dsen(wdt)_Al remplasar los valores apropiados. Se obtiene:x = e2.5t_4.43wdsen(wdt)_Donde:wd = wn_12= 50_1(0.05)2= 49.94rad/sEl mximo movimiento ocurre para sen(wdt) = 1.osea para wdt= /pi/2 . lo cual corresponde at = 0.0315s14 Sistemas de vibracin con un grado de libertadLa amplitud en este instante es:x = e2.50.0315_ 4.4349.941_= 0.92434.4349.94= 0.082mY la mxima fuerza inercial que se produce es:F = 0.082k = 205000N2.3 Movimiento forzado no amortiguadoEn la gura se presenta un sistema de un grado de libertad a cuya masa se le aplica una fuerza quevara en el tiempo con una periodicidad constante. Esta fuerza peridica puede describirse pormedio de F0sin(t), de donde podemos deducir que su mximo valor es F0 y tiene una frecuenciade radskmkxmF(t)Del diagrama de cuerpo libre obtenemos la siguiente ecuacin de movimientom x +kx = F0sin(t)La solucin de esta ecuacin diferencial no homognea de segundo orden se divide en dos partes:una solucin homognea y una solucin particularx = xc +xpla solucin homognea correspondiente ya se resolvi en la seccin anteriorxc = Asin(nt +)Ahora, por el mtodo de coecientes indeterminados; suponemos quexp = X sin(t)Calculando la segunda derivada con respecto al tiempo y sustituyendo en la ecuacin del movimientotendremos:X2sin(t) +km(X sin(t)) = F0m sin(t)factorizando t y resolviendo X tendremos:X=F0/m(k/m) 215X=F0/k1(/n)2Luegoxp =F0/k1(/n)2 sin(t)Adems se dene al movimiento esttico como: 0 = F0/kEntonces la solucin serx = Asin(nt +) +01(/n)2 sin(t)3Sistemas de vibracin con ngrado de libertad3.1 Movimiento libre sin amortiguamiento de n grados de libertadLa ecuacin matricial para el caso de oscilaciones libres, es en general:[M]{ u}+[C]{ u}+[K]{u} = 0 (3.1)Donde[M] = matrizdemasas[C] = matrizdeamortiguamiento[K] = matrizderigidez{u} : vector de coordenadasVeamos un ejemploDe donde obtendremos el siguiente sistema de ecuaciones diferencialesm1 x1 +(k1 +k2)x1k2x2 +(c1 +c2) x1c2 x2= 0m2 x2k2x1 +(k2 +k3)x2k3x3c2 x1 +(c2 +c3) x2c3 x3= 0m3 x3k3x2 +k3x3c3 x2 +c3 x3= 0Luego las matrices sern:[M] =__m10 00 m200 0 m3__[C] =__c1 +c2c20c2c2 +c3c30 c3c3__[K] =__k1 +k2k20k2k2 +k3k30 k3k3__17Ahora nos avocaremos a la solucin del sistema de ecuaciones diferencialesTenemos, para vibracin libre, el siguiente sistema de n ecuaciones simultneas diferenciales, deequilibrio:[M]{ u}+[K]{u} = 0 (3.2)donde las matrices[M] y[K] son las matrices de masa y de rigidez respectivamente, y ademsambas son positivamente denidas, lo cual quiere decir que para la posicin de equilibrio, laenerga potencial del sistema es cero.Se postula que la solucin del sistema anterior de ecuaciones diferenciales simultneas es del tipo:{Ui(t)} =_(i)_fi(t)lo cual corresponde a una solucin separable en un vector de amplitudes,_(i)_, y una funcin del tiempo,fi(t). Al derivar dos veces contra el tiempo la ecuacin 3.2 se obtiene la siguiente ecuacin de acelera-ciones:_Ui(t)_=_(i)_fi(t)Reemplazando las dos ltimas ecuaciones, tenemos:[M]_(i)_fi(t) +[K]_(i)_fi(t) ={0}Es decir, tenemos n ecuaciones del tipo:_nj=1mi jj(i)_fi(t) +_nj=1ki jj(i)_fi(t) = 0que es equivalente, para cualquier ecuacin i, a la solucin clsica de ecuaciones diferenciales porel mtodo de separacin de variables:fi(t)fi(t)=nj=1ki jj(i)nj=1mi jj(i)En esta ltima ecuacin podemos ver que el lado derecho no depende del tiempo, mientras queel izquierdo si. Esto quiere decir que ambos lados son iguales a una constante, que denominamosarbitrariamente como w2i. Por lo tanto la ecuacin se convierte en dos ecuaciones, una para laparte que depende del tiempo, y otra para la parte que no:fi(t) +2i fi(t) = 0ynj=1_ki ji2mi j_j(i)= 018 Sistemas de vibracin con n grado de libertadLuego nos quedafi(t) = Aisin(it) +Bicos(it)y_[K] i2[M]__(i)_={0}Esta ltima ecuacin corresponde a un sistema de ecuaciones simultneas homogneo, el cual pordenicin slo tiene solucin no trivial si el determinante de la matriz de coecientes es cero:[K] i2[M]= 0Esta expresin se denomina, entonces, el determinante del sistema de ecuaciones diferencialessimultneas. Al expandir este determinante encontramos un polinomio de orden 2n, con poten-cias pares nicamente, y con w2como variable. Esta ecuacin se llama ecuacin caracterstica oecuacin de frecuencias. Las o races de esta ecuacin son las frecuencias naturales del sistemaque se denominan valores caractersticos o valores propios, o "eigenvalores". Debido a que lasmatrices[M] y[K] son positivamente denidas, se puede probar que las races de la ecuacincaracterstica son siempre reales y positivas. Estas races se ordenan de menor a mayor as:12< 22< ... < n2Y las races cuadradas de estos trminos son las llamadas frecuencias naturales del sistema, enradianes por segundo. A la frecuencia ms pequea, w1, se le denomina frecuencia fundamental.Ahora debemos determinar los valores de las amplitudes de este movimiento armnico_(i)_, reemplazando los valores de w2ien la ecuacin, para obtener as o sistemas de ecuaciones deltipo:_[K] r2[M]__(i)_={0}Con r = 1, 2, ..., n3.2 Ecuacin de LagranqeAplicando los principios de DAlambert y Hamilton, Lagrange logr demostrar lo que se conocecon el nombre de ecuacin de Laqranqe:ddt_Ec xi_Ecxi+ Epxi= Pi(t)Con este principio obtendremos las ecuaciones de movimiento de cada cuerpoSupongamos que tenemos un edicio como el mostrado en la gura. Estamos interesados en larespuesta del edicio en la direccin x nicamente. La rigidez de cada uno de los pisos es igual yse denomina k. La masa de los pisos inferiores es el doble, para cada uno que el de la cubierta lacual se denomina m.Ejemplo 3.119La matriz de masa del sistema es el siguiente[M] =__m 0 00 2m 00 0 2m__U3U2U1Y la matriz de rigidez obtenida por el mtodo de la ecuacin de Lagrange, es la siguiente[K] =__k k 0k 2k k0 k 2k__U3U2U1Luego las ecuaciones del movimiento son__m 0 00 2m 00 0 2m_____U3U2U1___+__k k 0k 2k k0 k 2k_____U3U2U1___=___000___Ahora procedemos a encontrar la solucin de la respuesta del sistema para diferentes condicionesiniciales[K] i2[M]= 0Al reemplazar las matrices [K] y [M], tenemosk 2m k 0k 2k 22m k0 k 2k 22m= 0Lo cual nos genera la ecuacin caracterstica4m36+12km249k2m2k3= 0Resolviendo, tendremos (y considerando que 1 es el menor)21 = 0.134 km22 =km23 = 1.866 kmAhora calculemos los modos con_[K] i2[M]__(i)_={0}Reemplazando, tenemos__k 2rm k 0k 2k 2r2m k0 k 2k 2r2m_____(r)3(r)2(r)1___=___000___De donde considerando que 1 = 1.00, tendremos los siguientes modos_(1)_=___21.7321____(2)_=___101____(3)_=___21.7321___20 Sistemas de vibracin con n grado de libertad3.3 Movimiento libre con amortiguamiento de n grados de libertadCuando se trataron los sistemas de un grado de libertad se discutieron los diferentes tipos deamortiguamiento y su tratamiento matemtico. Desde este punto de vista hay razones poderosaspara adoptar la idealizacin de amortiguamiento viscoso dado que la solucin de la ecuacindiferencial de equilibrio dinmico es la ms sencilla de tratar. Cuando intentamos extender estosconceptos a sistemas de varios grados de libertad nos encontramos que en aras de obtener unasolucin matemtica expedita, la relacin entre el modelo matemtico y el fenmeno fsico es msimperfecta.Un sistema de varios grados de libertad donde hay amortiguamiento viscoso tendra el siguientesistema de ecuaciones de equilibrio en vibracin libre:[M] { x}+[C] { x}+[K] {x} ={0}El procedimiento para obtener las matrices de masa [M] y de rigidez [K] ha sido tratado en los cap-tulos anteriores. El procedimiento para denir los coecientes de la matriz de amortiguamiento[C] consiste, desde un punto de vista anlogo al empleado para determinar las matrices de masay rigidez, en imponer una velocidad unitaria a uno de los grados de libertad, mientras que lavelocidad de los otros grados de libertad se mantiene como cero. De esta forma se obtienen unasfuerzas internas de amortiguamiento en todos los grados de libertad, las cuales provienen de lavelocidad del grado de libertad seleccionado. Esas fuerzas corresponden a las constantes de lacolumna de la matriz de amortiguamiento del grado de libertad seleccionado.Realizando esta operacin sistemticamente para cada uno de los grados de libertad, se obtienela matriz de amortiguamiento [C] del sistema estructural:[C] =__C1,1C1,2... C1,nC2,1C2,2... C2,n............Cn,1Cn,2... Cn,n__En general lo que se conoce acerca del amortiguamiento de los materiales estructurales, o de loselementos estructurales construidos con estos materiales, hace que el procedimiento descrito seadifcil de aplicar en los casos prcticos, dado el gran nmero de incgnitas que existen alrededordel tema. Usualmente se emplean procedimientos por medio de los cuales se realizan aproxi-maciones basadas en casos de estructuras similares en las cuales se conoce el amortiguamientodebido a mediciones o ensayos experimentales. Estos procedimientos, en general, utilizan el con-cepto de amortiguamiento modal que se presenta a continuacin.Si la matriz [C] es desacoplada por los modos de vibracin, tendamos entonces que:[]T[C] [] = [2ii]donde la matriz [2ii] es una matriz diagonal y i es el amortiguamiento viscoso asociado con elmodo i. Este tipo de amortiguamiento en el cual la matriz de amortiguamiento [C] es desacoplablepor los modos de vibracin obtenidos de las matrices de masa [M] y rigidez [K], nicamente; seconoce con el nombre de amortiguamiento clsico. En este momento se estara planteando unamatrizdeamortiguamientocuyanicavirtudesqueesposibledesacoplarla, peroquetienepoca relacin con el fenmeno fsico que trata de describir. Dadas las imprecisiones en que se21incurrira en esta situacin, no tiene mucho sentido tratar de obtener la matriz [C] de la maneradescrita y no se comete un error grave, dados los rdenes de magnitud de los errores, si esteamortiguamiento se introduce en la ecuacin desacoplada del sistema. Por lo tanto el proced-imiento comnmente empleado consiste en denir un amortiguamiento modal; el cual es propiodel modo en su ecuacin diferencial desacoplada, por lo tanto la ecuacin se convierte en: i +2ii i +i2i = 0Si suponemos, ahora, que la matriz de amortiguamiento tiene una forma tal que sea una combi-nacin lineal de las matrices de masa [M] y de rigidez [K], de la siguiente manera:[C] = [M] +[K]Luego_+i2es una matriz diagonal. Dado que cada uno de los trminos de la diagonal de esta matriz cor-responde a 2ii, entonces el amortiguamiento i; en cada una de las ecuaciones desacopladases:i =2i+ i23.4 Movimiento forzado sin amortiguamiento de n grados de libertadEl siguiente sistema de vibracin representa una edicacin donde las rigideces Ki representan ala suma de todas las rigideces de todas las columnas del entrepiso respectivo y las masas mi esigual a la masa del piso ms la masa del medio entrepiso superior adyacente y la masa del pisoinferior inmediato.Las fuerzas Fi representan a las fuerzas horizontales (sismo, viento, etc.) que actan sobre cadamasa mi y producen desplazamientos laterales del piso i.22 Sistemas de vibracin con n grado de libertadDonde:mi= masa del entrepisoki= constante de rigidez lateral del entrepisoiFi= fuerza horizontal aplicada al pisoiVi= fuerza cortante del entrepisoixi= desplazamiento lateral del pisoiPor equilibrio de fuerzas:F = 0mi xi +vivi+1 = Fimi xi +ki(xixi1) ki+1(xi+1xi) = Fimi xiki+1xi+1 +(ki +ki+1)xikixi1 = FiLo que se requiere determinar son las caractersticas de la estructura y estas son independientesdel tipo de excitacin, por tanto podemos hacerFi = 023mi xiki+1xi+1 +(ki +ki+1)xikixi1 = 0i = 1, m1 x1k2x2 +(k1 +k2)x1 = 0i = 2, m2 x2k3x3 +(k2 +k3)x3k2x1 = 0i = 3, m3 x3k4x4 +(k3 +k4)x3k3x2 = 0...i = n, mn xnkn+1xn+1 +(kn +kn+1)xnknxn1 = 0Haciendo un cambio de variablexi = isint xi = icost xi =i2sintRemplazando y agrupando convenientemente tenemos__(k1 +k2) m12k20 . . . 0k2(k2 +k3) m22k3. . . 00 k3(k3 +k4) m32. . . 0............ kn0 0 0 knknmn2__Descomponiendo la matriz__(k1 +k2) k20 . . . 0k2(k2 +k3) k3. . . 00 k3(k3 +k4) . . . 0............ kn0 0 0 knkn____12345__2__m10 0 . . . 00 m20 . . . 00 0 m3. . . 0............ 00 0 0 0 mn____12345__=__00000__Ecuacin dinmica[K] [] 2[m] [] = 0Al reemplazar cada una de estas soluciones en (4.3) obtenemos una ecuacin de valores carac-tersticos donde es imposible obtener los valores absolutos de los desplazamientos, a menos quese conozca uno de ellos con certeza. Asumimos un valor para uno de estos desplazamientos yencontramos las dems respuestas en funcin de la asumida, por lo tanto solo es posible cono-cer la relacin que existen entre los desplazamientos relativos de los pisos para cada periodo devibracin.3.5 Determinacin de los periodos y modosPara la determinacin de las formas de modo utilizaremos el mtodo matricial.DIRECCIN X:24 Sistemas de vibracin con n grado de libertadNormalicemos los pesos y las rigideces con respecto al ltimo nivel.[M] =__1.0943m 0 0 00 1.4282m 0 00 0 1.4188m 00 0 0 m__[K] =__1.49612k k 0 0k 2k k 00 k 2k k0 0 k k__De la ecuacin dinmica[K] 2[M] = 0__1.496121.0943 1 0 01 21.4282 1 00 1 21.4188 10 0 1 1__Igualamos a cero el determinante d esta matriz. y con la ayuda de programas de computo en-contramos las races. El mtodo de Chio es apropiado para realizar los clculos manualmente yaque permite desarrollar determinantes de orden grande por medio de determinantes de segundoorden.Luego de evaluar el determinante e igualar loa cero obtenemos los siguientes races que resuelvenla ecuacin:1 = 0.06722 = 0.71053 = 1.80834 = 2.8912Inicialmente para agilizar los clculos, normalizamos las masas y rigideces respecto al nivel 4,luego las frecuencias para cada modo i se halla mediante la siguiente expresin:i =_kmiDonde k = 437.332Tn/cm y m =265.0669801 = 10.4238s12 = 33.8941s13 = 54.0726s14 = 68.3724s1T1 = 0.6028sT2 = 0.1854sT3 = 0.1162sT4 = 0.0919sPara el clculo de las formas de modo reemplazamos cada valor de lambda en la ecuacin:_[K] 2[m]{} ={0}Para resolver esta ecuacin de valores caractersticos hemos asumido 1= 1, y a partir de estacondicin hemos obtenido los dems valores de .25Por ejemplo para la primera forma de modo 1 = 0.0672, reemplazamos este valor, y obtenemos:__1.4226 1 0 01 1.9040 1 00 1 1.9047 10 0 1 0.9328_____1234___=___0000___1 = 12 = 1.42263 = 1.70864 = 1.83161=__1.83161.70861.42261__2=__1.00820.29190.71861__3=__0.88920.71880.48271__4=__0.80321.27811.33951__Normalicemos los pesos y las rigideces con respecto al ltimo nivel.[M] =__1.0943m 0 0 00 1.4282m 0 00 0 1.4188m 00 0 0 m__[K] =__1.593k 0.87605k 0 00.87605k 1.87605k k 00 k 2k k0 0 k k__[K] 2[m] = 026 Sistemas de vibracin con n grado de libertadhaciendo =2mk__1.5931.0943 0.87605 0 00.87605 1.876051.4282 1 00 1 21.41188 10 0 1 1__Resolviendo el sistema1 = 0.08022 = 0.77963 = 1.79304 = 2.5261i =_kmiDonde k = 192.848Tn/cm y m =265.0669801 = 7.5619s12 = 23.5765s13 = 35.7547s14 = 42.4394s1T1 = 0.8309sT2 = 0.2665sT3 = 0.1757sT4 = 0.1481sReemplazando los valores con en la siguiente ecuacin_[K] 2[m]{} ={0}1=__2.33812.15061.71831__2=__1.05190.23180.48851__3=__0.74090.58750.42131__4=__0.94321.43941.33711__3.6 Movimiento amortiguado de n grados de libertadConsideremos un sistema de varios grados de libertad sometida a una excitacin ssmica, la cuales representada generalmente como una aceleracin horizontal.27Para plantear la ecuacin de equilibrio dinmico del sistema de n grados de libertad podemosempezar por analizar las fuerzas que actan sobre la masa mi en cierto instante en que la masa yla base estn movindose. El caso mas sencillo de analizar es aquel en el cual las fuerzas y rigide-ces de amortiguamiento son respectivamente proporcionales al desplazamiento ya la velocidadde la masa con respecto a la base , siendo K y C las correspondientes constantes de proporcional-idad , que se se supone no cambian con el tiempo. Este conjunto constituye un sistema lineal.Planteamos el diagrama de cuerpo libre de la masa m: Para el equilibrio de fuerzasF = 0de donde obtenemos[m] { u}+[C] { u}+[K] {u} ={m} ugLa solucin de este sistema de n ecuaciones diferenciales nos dar la respuesta dinmica de unaestructura elstica de n grados de libertad sujeta al movimiento de su base.Debido a que los modos de vibracin constituyen un conjunto completo, en un instante el de-splazamiento de cualquiera de las masas puede expresarse como la suma de los desplazamientosdebido a la participacin de cada uno de los modos naturales , este permite reducir la solucinde un sistema de n grados de libertad a la solucin de n sistemas independientes de un gradode libertad, esta es una propiedad de los modos que permite expresar cualquier vector del es-pacio vectorial por ellas denida como una combinacin lineal de las formas modales y ciertasfunciones.Previamente debemos resolver el problema de valores propios o caractersticos, para determinarlas frecuencias naturales y sus correspondientes formas de modo.3.6.1 OSCILACIN-MODOS DE VIBRACIN DE LOS EDIFICIOSLos edicios, al igual que todos los cuerpos materiales, poseen distintas formas de oscilar, modosde vibrar ante las cargas dinmicas, daremos la mayor prioridad en este trabajo, en la eventual-idad de un sismo segn sea su intensidad, pueden afectar la misma en mayor o menor medida.Estas formas de vibrar se conocen como modos de vibracin que en este tema solo daremos aconocer las vibraciones-oscilaciones ms comunes que se pueden describir ya que la vibracin enedicios una innidad de maneras y direcciones de vibrar las cuales por ende son muy complejas.28 Sistemas de vibracin con n grado de libertadEn la gura se muestra los modos ms comunes en una vibracin y oscilacin debido a un sismo.OSCILACIN: MODOS DE VIBRACIN MS COMUNES EN EDIFICIOSLas oscilaciones ?modos de vibracin ms comunes en edicios que daremos a conocer se danpor los sismos que dan de acuerdo con la intensidad que se produzca.3.6.1.1 MODO N01 En la forma ms bsica, estas estructuras oscilan de un lado hacia otro omejor dicho se ladea. A este fenmeno se conoce como el modo fundamental, tal como lo muestrala siguiente gura.El movimiento en la base de la Figura, es mucho menor que en la parte superior. Esto ocurremuy a menudo por los fuertes vientos que soportan los edicios pero cuando ocurre un sismo,este movimiento de vibracin de la estructura se ve incrementado. Este fenmeno percibir yaquelagentequeseencuentranenlospisossuperiorespercibaunmovimientomayorquelagente ubicada en pisos inferiores, principalmente cuando los sismos ocurren a gran distancia oprofundidad.293.6.1.2 MODO N02 Este segundo modo consiste en una oscilacin hacia arriba y hacia abajo deforma contraria la cual se muestra en la siguiente gura.Este tercer modo tiene una forma generalizada de vibracin que describe la siguiente gura.3.6.1.3 MODO N04 Este modo de vibracin es un caso especco ya que se produce por lasfuerzas a las que se ve sometido los edicio que relacionan el peso de este con las aceleracionesque se producen en el terremoto, por lo tanto, en cada instante de tiempo estas fuerzas cambian.30 Sistemas de vibracin con n grado de libertadDe ah que el valor de aceleracin mxima, que ocurre en un instante de tiempo muy corto (frac-ciones de segundo), por lo que ella sola no es suciente para causar daos severos a las estruc-turas. La complejidad en el movimiento ssmico provoca que los edicio roten o produzcan unatorsin en el edicio, ese movimiento desgasta las uniones, ya que un edicio no est diseadopara rotar. A medida que van ocurriendo ms sismos los edicios se vuelven ms vulnerables. Loanterior es debido al comportamiento inelstico de los materiales cuando son sometidos a fuerzasde gran magnitud, por lo que guardan en memoria el deterioro que van sufriendo a lo largo deltiempo.En estos modos tenemos que tener en cuenta mucho el fenmeno de la ductilidad que esbsicoenlosdiseosdelasconstrucciones. Esogarantizaqueelediciotrabajeenunaforma elstica, y as no se producen rupturas frgiles. Normalmente los muros de abajotienen una mayor exigencia que los de arriba, pero estos ltimos se deforman ms, porqueoscilan ms.3.7 Ejercicio de aplicacinResolver segn lo explicado el caso de un edicio de 02 pisos hasta 10 pisos (segn el intervaloque dena), donde cada piso tiene 10000 Kg de masa y el valor de cada ki es de 5000Kg/s2. Obtenerlos valores propios i de la matriz A =M1K, utilizando un sistema algebraico para resolver ecua-ciones. Adems, determinar las frecuencias correspondientes wi = y los periodos Ti = 2ien segundos. Mostrar los resultados en una grca que considere nmero de pisos, frecuenciasnaturales y los periodos para cada situacin particular considerada en su solucin.3.7.1 SolucinEn este problema se realizar un modelado de un edicio de 10 pisos, donde se ver grcamenteel comportamiento dinmico de la estructura. Para analizar matemticamente, el edicio se rep-resenta mediante masa?resorte, a partir de la cual se puede analizar el comportamiento dinmicodel edicio. Para este problema tenemos los siguientes datos:31Masa de cada piso = 10000 Kg.Valor de K = 5000Kg/s2En el siguiente grco se observa el edicio de 10 pisos con su respectiva representacin masa-resorte y sus desplazamientos.Del grco del lado derecho tenemos la siguiente ecuacin:32 Sistemas de vibracin con n grado de libertadOrdenando la matriz se tiene:De la ecuacin dinmica: mx kx = 0= muku = 0Se tiene que:u = xsint u =x2sinReemplazando en la ecuacin m uku = 0mx2sint +kxsint = 0sint(mx2+kx) = 0x(k 2) = 0Reemplazando en la matriz se tiene:33En la ecuacin anterior se tena : k m2ahora se har el cambio de variable por el auto valor,para lo cual se demostrar:Hallando el determinante:det|(2)I| = det(BI) = 0det|(2)I| = 0(2)detI = 02 = 02= por lo tanto se puede sustituir el valor de 2por el auto valor , y se tiene:34 Sistemas de vibracin con n grado de libertadLuego se saca la determinante de esta matriz, para luego sacar los valores de ? que son los auto-valores, y luego se saca las frecuencias naturales. Existen mtodos numricos para resolver estetipo de sistemas, sin embargo son muy tediosos.De esta manera se puede generalizar para n pisos, sin embargo hallar la determinante de unamatriz grande es tedioso, peor aun hallar el polinomio caracterstico, sin embargo existe en laactualidad programas que pueden resolver con facilidad, el mas apropiado es el MATLAB (Lab-oratorio de Matrices), por que las matrices se generan automticamente, as como los autovaloresy es mas directo el clculo a comparacin de los restos de programas como el Visual Basic.Una vez sacado los autovalores se calcula el periodo y la frecuencia con las siguientes relaciones. =T= 23.7.2 Solucin numrica para 10 pisosDel planteamiento del problema tenemos que todas las masas de cada piso son iguales, asi comotambin la rigidez elstica son iguales, por lo tanto todas las masas se denotar por (m) y todas larigidez (k). Rescribiendo y ordenando la ecuacin anterior tenemos:Escribiendo matricialmente se tiene:35Reemplazando con sus respectivos valores numricos tenemos:Reemplazando 2por el autovalor , se tiene:36 Sistemas de vibracin con n grado de libertadDe donde operando esta matriz, se tiene el siguiente polinomio de grado 1011040x10+9.51040x9+3.81041x8+8.51041x7+1.131042x69.381041x5+4.691041x41.341041x3+1.91040x21.071039x +9.76De donde se obtiene los siguientes autovalores y frecuencias naturales y sus respectivos periodos,en la siguiente tabla se observa estos datos.Hallando los modos y sus grcos:Hallando las formas modales para = 0.011, se tiene la siguiente matriz numrica.Haciendo 1 = 1 se tiene el siguiente resultado y su grca.Primera forma de modo T1 = 59.9 s.3738 Sistemas de vibracin con n grado de libertadEn el campo de la dinmica es necesario utilizar este tipos de programas ya que son muy tiles yaque en la carrera de ingeniera civil est muy relacionado con lo tcnico tanto en la computaciny el manejo de los diferentes programas.Con este mtodo podemos analizar dinmicamente compara lo diferentes datos que obtenemosen los diferentes tipos de edicios que estudiamos; para cual necesitamos datos inciales comoaltura inicial, base inicial, peso, cargas distribuidas, inercia, elasticidad. La forma convencionalde almacenar las variables en memoria al principio del programa se declaran las variables y sereserva la cantidad de memoria necesaria. Este es el sistema que hemos utilizado hasta el mo-mento en todos los ejercicios y ejemplos.4Programa para el clculo4.1 Interfaz general4.1.1 Interfaz "Sistema Forzado Amortiguado con 1 grado de libertad "Interfaz general40 Programa para el clculoInterfaz con aplicacin4.1.2 Interfaz "Sistema Libre Amortiguado con 1 grado de libertad "Interfaz general41Interfaz con aplicacin4.1.3 Interfaz "Sistema con n grado de libertad "Interfaz general42 Programa para el clculoInterfaz con aplicacinInterfaz con aplicacin5ConclusinQue la vibracin es un movimiento oscilatorio que aparece, por lo general en los sistemasmecnicos sometidos a la accin de fuerzas variables con el tiempo.El nmero de grados de libertad de un sistema, desde el punto de vista de la dinmica,corresponde al nmero mnimo de coordenadas necesarias para denir la posicin en elespacio y en el tiempo.Las vibraciones libres se producen al sacar un sistema de su posicin de equilibrio y dejarlooscilar libremente.Vibraciones forzadas son aqullas que se producen por accin de fuerzas dependientes deltiempo.La rigidez es la relacin entre las Fuerzas externas y las deformaciones que ellas inducen enel cuerpo.Toda estructura se ve afectada durante su vida por efectos dinmicos.UnaExcitacindinmicaenediciosescausadaporequiposmecnicos,impactodelasfuerzas oscilatorias, por explosiones, por el viento, y por sismos, etc.Los edicios, al igual que todos los cuerpos materiales, poseen distintas formas de vibrarante cargas dinmicas que, en la eventualidad de un terremoto, pueden afectar la misma enmayor o menor medida.El movimiento en la base de una estructura, es mucho menor que en la parte superior y estoocurre muy a menudo por los fuertes vientos que soportan los edicios.Cuando ocurre un terremoto o un sismo en un edicio de varios pisos, este movimiento devibracin de la estructura se va incrementado en cada nivel de la estructura. Y Este fen-meno lo percibe la gente que se encuentran en los pisos superiores en un movimiento mayor,que la gente ubicada en pisos inferiores.La complejidad en el movimiento ssmico provoca que los edicios roten o produzcan unatorsin en el edicio.Los movimientos oscilatorios tienden a disminuir con el tiempo hasta desaparecer.44 ConclusinSi los movimientos oscilatorios en una construccin no llegan a disminuir, entonces el edi-cio llegara a un punto crtico llamado resonancia, haciendo que la construccin no soportey llegue a quebrarse.Desplazamiento de cualquiera de las masas puede expresarse como la suma de los desplaza-mientos debido a la participacin de cada uno de los modos naturales.Impacto ambiental.Se dene impacto ambiental como la "Modicacin del ambiente ocasionada por la accin delhombre o de la naturaleza?. Un huracn o un sismo pueden provocar impactos ambientales.El sismo afecto en gran medida el medio ambiente del pas. Como efectos directos del sismo setuvieron grandes derrumbes y deslizamientos de tierra afectando infraestructura y asentamientoshumanos.Y que tras el movimiento telrico se reportan daos a personas, alteracin a servicios bsicos oinfraestructura.Los movimientos oscilatorios hacen que una edicacin se excite y dicho edicio si no cuentascon los estudios necesarios para amortiguar las fuerzas externas o internas de la naturaleza, lle-gara a quebrarse. As generando cambios en el ecosistema de ese lugar.Las alteraciones que genera en el ambiente y en el habitad son incalculables ya que no solo deteri-oran la infraestructura del contorno sino que tambin se incrementan las necesidades de serviciosbsicos, como es la carencia de los alimentos y lo ms primordial que es el servicio de agua.Y hay personas que an viven en campamentos, la reconstruccin de lo afectado por la natu-raleza, se hace con la intervencin del estado, pero la verdadera fuerza que ha movido la recon-struccin ha sido la propia gente. Los ciudadanos y las empresas han procurado salir adelante,han aprovechado los subsidios estatales y han dado ejemplo de continuar con su vida normalpero ya no con el ambiente adecuado.45Muchos de nosotros hemos llegado a pensar que la cantidad reciente de terremotos ha ido en au-mento, que todos estos terremotos son debidos al impacto ambiental de las actividades humanaso que simplemente estn ocurriendo en ms cantidad que antes.La preocupacin por este tema es general en todo el mundo, y debido a ello, para la construccinde un edicio se requiere de un estudio global y preventivo sobre los factores que alteran la vidatil de una construccin.El principal impacto ambiental sobre las personas en un desastre es la prdida de las condicionessanitarias que se convierten en riesgos de epidemias, incluyendo la eventual contaminacin delagua. Si esta situacin no se cubre rpidamente el clera podra ser un hecho. Esencialmente laprdida de fauna marina y el cambio del nivel hdrico, tanto marino como subterrneo, son otrosde los impactos ambientales relevantes.El impacto ambiental no solo nos afecta a los seres humanos sino tambin a la ora y fauna de todoel mundo y es triste que por culpa del hombre vindose obligado por la causa de los desastresnaturales ocurridos por movimientos vibratorios y oscilatorios sobre una edicacin hace quepor su necesidad recurra a la caza de animales indefensos y deforestacin de las plantas que nospermiten respirar.46 ConclusinTambin las grandes perforadoras generan movimientos oscilatorios y vibratorios, as generandoun impacto ambiental, trayendo consigo un sin innidad de cambios en el ecosistema esencial-mente en la muerte de nuestra fauna marina y la contaminacin de nuestras aguas.Anlisis e interpretacin del fenmeno planteadoEn este apartado del trabajo explicaremos y aplicaremos el marco terico de nuestro trabajo deinvestigacin.Primero.-Evaluamos en el terreno a construirse, que impacto genera en el ambiente y en su contornosocial.Primeramente si la zona o el lugar en donde se va a construir cuenta con vegetacin, sim-plemente se tendr que arrasar con toda la ora existente en ese lugar.Si en el terreno existen diferentes especies de animales, debido a la construccin tendrn quemigrar del lugar, as produciendo un desplazamiento de la fauna, la extensin de insectos yotros microorganismos en el ambiente.Tambin los materiales a usarse, en su mayor parte son contaminantes, generando as uncabio brusco del contorno del ambiente.Las grandes construcciones generan grandes disturbios en su contorno, impidiendo la cir-culacin normal, cierre de accesos de entradas e incremento del trco vehicular.47Segundo.- Durante la construccin.Las maquinarias a usarse generan en su mayor parte que son de combustin el CO2, que esun contaminante principal y que genera ms cambios en el medio ambiente.Si el terreno es muy rocoso o las dicultades mismas que se presentan en la construccin,obligan a que el constructor use perforadoras y otras mquinas generadoras de vibracin,haciendo que este, vibre la tierra y ocasione la muerte de innidad de peces y de la extensinde nuestra ora y fauna martima.El uso de maquinarias pesadas que por el sonido que emite, perturba la tranquilidad dellugar.La falta de materiales primordiales, como es el armado, tablones, hormign, arena de asen-tar y otros, hacen que recurran al medio ambiente y dejando as un vaco o un agujero en lacorteza terrestre, un espacio donde que haba gran cantidad de rboles.Tercero.- durante la culminacin de la obra.En esta ocasin tomaremos como ejemplo en el acabado de un edicio. En el cual se us-aran gran cantidad de materiales que con el pasar del tiempo no llegan a deteriorarse, comopor ejemplo; el uso de vidrios para las ventanas de un edicio o residuos plsticos que sonsobra de las diferentes instalaciones que se realizan en un edicio, tales como las instala-ciones sanitarias, instalaciones elctricas y otros residuos, que con el pasar del tiempo no sedeterioran tan fcilmente.Tambin cuando se hace una remodelacin de un edicio, se tendr que demoler el edicioexistente, y ello generando gran cantidad de escombros, en especial de concreto que sonmaterias no transformables, as ocasionando grandes perjuicios en el ambiente, este casogran cantidad de residuos de concreto se ve por catstrofes naturales, ejemplo un terremoto,o una guerra, etc.El impacto ambiental que genera el uso de materiales que no sean biodegradables o ecolgicas,ha hecho que nuestra sociedad se contamine da a da ms, por ello el hombre necesita que de-sarrollen ms investigaciones sobre materiales de construccin que sean ecolgicos, que no con-taminen ms nuestro ecosistema. Y mencionaremos algunas alternativas para la sustitucin delhormign que en un 100% no es biodegrable y es materia prima en toda construccin.Hormign ecolgico a partir de ceniza Se ha desarrollado un tipo de hormign a partir de lascenizas procedentes de la industria, convirtiendo un desecho en una materia prima realmente til.Esas cenizas son mezcladas con varios productos qumicos orgnicos para dar como resultado unmaterial ligero, muy resistente y con unas magncas propiedades aislantes. Segn su creador,para su elaboracin no se usan elementos que s se utilizan en la fabricacin del hormign con-vencional, tales como el cemento. Este material "verde" podra sustituir al hormign o a la maderaen la construccin.48 ConclusinEl hormign reciclado Una investigacin realizada por ingenieros concluye que una mezcla con-feccionada con escombros de hormign, obtenidos de las ruinas presentes en una ciudad luegode un terremoto, y otras materias primas autctonas podra ser muy efectiva para reconstruir ylevantar nuevos edicios en el lugar. El material alcanza estndares de resistencia similares a losutilizados en Estados Unidos, siendo adems ms econmico y seguro que otras alternativas.Los escombros de hormign que han quedado luego del terremoto, junto a materias primas autc-tonas, podran ser tiles para crear un nuevo material econmico y seguro destinado a la recon-struccindelasestructurasperdidasluegodelfuertesismo. Elhormignrecicladollegaraaalcanzar los estndares de resistencia mnima que se exigen en Estados Unidos.5.0.3.1 Resonancia Nos preguntamos qu es lo que ocurre cuando hay fuerzas externas o inter-nas sobre una construccin y no exista una fuerza restauradora, para que este se estabilice este.El viento (o algunos tipos de sismos) puede llegar a hacer tambalear una estructura como la de unedicio por un efecto conocido como resonancia mecnica. Para una mejor comprensin de estehecho, detallaremos lo que es una resonancia y el efecto que causa, lo explicaremos mediante unejemplo. Supongamos que el edicio oscile con una amplitud y no deje de incrementarse como esel caso del columpio.Para que un columpio vaya aumentando su amplitud, tenemos que empujarlo cada vez que nosllega a las manos. Es decir, tenemos que empujarlo con la misma frecuencia con la que l oscila.Llega un momento en el que ya no empujamos tan fuerte y aun as va cada vez ms rpido y49no deja de subir. Esto ocurre porque la fuerza externa (nuestro empuje) est en resonancia conel columpio. Es entonces que la nica manera de detenerlo es interponernos en su camino, inter-rumpiendo as su frecuencia de oscilacin.sta no es una propiedad exclusiva de los columpios, los objetos que oscilan o vibran (resortes,cuerdas, puentes o edicios) son sistemas que puede entrar en resonancia. Cuando estos sistemasestn en resonancia oscilan tanto que pueden llegar a destruirse o caerse si no hay una fuerza quelos amortige.6Apreciacin crticaDe todo lo relacionado a la construccin especialmente en edicaciones, en lo que es la ingenieracivil, a veces equivocadamente pensamos y decimos que una construccin genera cambios bene-cios para la sociedad, en el avance tecnolgico e infraestructura, pero no nos percatamos a costode que.Por eso decimos que el hombre, mientras ms construya. Traer consigo grandes perjuicios delambiente y el cambio total de nuestro contexto.De todo ello el hombre solo es un vividor, hace el uso de los recursos ofrecidos por la naturalezaa cambio de que. Y decimos que el hombre no hace nada por la naturaleza, ms y ms lo estdeteriorando. Debido a que; debido a las grandes construcciones que requieren el uso directo delas materias primas y esto, es una destruccin total del ecosistema.Por otro lado tomando aspectos positivos que genera una construccin, es en la calidad de ser-vicios, ya que el mercado de la construccin civil es cada vez ms competitivo y en la mejoraprogresiva del diseo de la infraestructuras que sean ms sismo resistentes, debido al incrementode sismos o catstrofes naturales que a menudo afectan la base de una infraestructura.Tambin el ingeniero civil tiene que optar por otras alternativas en el uso de insumos o materiales,que en su mayor parte no son biodegradables, as generando una contaminacin en el ambientey la prdida total del terreno. En caso de que ocurra una catstrofe el ingeniero civil debe daralternativas de uso de los escombros para la reconstruccin parcial o total de la zona afectada ensu mayor parte por movimientos de las placas tectnicas, ocasionando as terremotos que consigotrae grandes perjuicios al ser humano y a su habitad.Finalmente el ingeniero civil debe realizar estudios de fenmenos o movimientos naturales, en lazona que se va a construir una edicacin de gran envergadura, y siempre respetar las reglas tc-nicas ya establecidas y no pasarlos por alto, que a futuro nos podran ocasionar prdidas humanaso grandes perjuicios en nuestra vida profesional.Bibliografa[1] WT Thomson. Teora Vibracin y Aplicaciones. Prentice-Hall, 1965.[2] Tse, Morse, Hinkle. Vibraciones mecnicas. Allyn y Bacon, 1963.[3] JP den Hartog. Las vibraciones mecnicas. Mc Graw-Hill, 1956.[4] Chen.Vibraciones, Mtodos tericas Addison Wesley.[5] AH Nayfeh. Mtodos de perturbacin. Wiley, 1973[6] JD Cole. 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