Medición del momento de inercia de un conjunto de cuerposAutores

Daniel PintoJorge LattanziBryan Malpartida

Resumen:La experiencia consiste en la medición del momento de inercia de una base cilíndrica principal, y de esta junto a otros 3 cuerpos de masa semejante: una base cilíndrica auxiliar, un anillo y una barra rectangular.

Introducción:Un cuerpo rígido es un sistema ideal de partículas que se caracteriza por conservar las distancias entre ellas. Para cualquier par de partículas P y Q de un cuerpo rígido, es necesario que la velocidad relativa de P respecto de Q sea perpendicular a la dirección que las une, en todo instante. Se demuestra [1] que existe siempre un eje instantáneo de rotación Ω, que satisface la siguiente expresión:

vQ− vP=Ω× (rQ−rP )(1)

La ecuación anterior es la condición de rigidez, en donde rQ y r P son las posiciones de las partículas P y Q respectivamente medidas desde un sistema de referencia inercial (SRI), y vQyvP son las velocidades de las partículas P y Q respectivamente medidas también desde el mismo SRI.Si el eje instantáneo de rotación pasa por el centro de masas, y el centro de masas está fijo respecto del SRI, entonces de la ecuación (1) se deduce que, para una partícula P del cuerpo rígido:vP=Ω× ( r P−rCM )(2)

Donde ( r P−rCM )=: rP' representa la posición de P respecto del centro de masas CM. La ecuación (2) puede representar más simplemente de la siguiente forma (donde rP⊥' es la componente ortogonal a Ω de r P', ver Figura 1):vP=Ω× rP⊥

' (3)

El módulo ‖rP⊥'‖ puede interpretarse como la distancia de la partícula P al eje instantáneo de rotación Ω.

Las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo rígido pueden efectuar un movimiento rototraslatorio en este. Si el cuerpo tiene un eje fijo, entonces las fuerzas externas pueden generar solamente una rotación al cuerpo rígido. La variación de la cantidad de rotación respecto del centro de masas de un sistema de N partículas se representa con el torque τ de las fuerzas externas sobre este:τCM=∑

i=1

N

(r i−rCM)× Fi(4)

Para representar el torque respecto al centro de masas de un cuerpo rígido, se lleva la ecuación (4) al límite continuo:τCM=∭

Cuerpo( r i− rCM )×ρi aidV (5)

Se demuestra que esta integral equivale a:τCM=ICM

d Ωdt

(6)

Figura 1. La velocidad de la partícula P depende sólo de la posición de esta respecto al eje instantáneo de rotación.

Donde ICM representa el momento de inercia del cuerpo rígido, que se calcula de la forma siguiente:ICM= ∭

MasaTotal

‖rP⊥'‖2dm(7)

En la figura 2 se muestra un cuerpo rígido en forma de cilindro, con esta disposición su momento de inercia se calcula de la siguiente forma:ICMCilindro=1

2M R2(8)

En la figura 3 se muestra un cuerpo rígido en forma de caja rectangular, con esta disposición su momento de inercia se calcula de la siguiente forma:ICMCaja= 1

12M (a2+b2)(9)

Figura 2. Cuerpo rígido en forma de cilindro, girando alrededor del eje Ω debido al torque efectuado por un hilo.

Si un cuerpo cilíndrico (de radio R) está rotando y trasladándose al mismo tiempo, se dice que está en rodadura cuando el punto de contacto P entre el cuerpo rígido y la superficie está quieto (cuando el cuerpo rueda sin deslizar). En este caso deja de valer la ecuación (2), y hay que utilizar la ecuación (1), de la que se puede obtener la velocidad de P:vP= vCM+Ω× ( rP−rCM )(10)

De lo anterior deduce que la condición de rodadura es:Ω=

−vCMR

(11)

Se considera un sistema como el de la figura 4, donde el cuerpo 1 es un disco de masa M y el cuerpo 2 es un bloque de masa m. El detalle de la rotación del cuerpo 1 se muestra en la figura 5.

Figura 3. Cuerpo rígido en forma de caja rectangular, girando alrededor del eje Ω.

P−T=m2 X2

Figura 4. Sistema considerado. Las fuerzas sobre el cuerpo 1 hacen que el centro de masa de este quede en equilibrio sin moverse. El cuerpo 2 está cayendo, debido a la rotación del cuerpo 1.

Figura 5. El cuerpo 1, de masa m, rota sin traslación debido al torque producido por las fuerzas FV y T.

T=m2(g− X2)

τ=I ω

I ω=|r x F|=rT=r m2(g−X2)

Diseño experimental:Para calcular el momento de inercia de los cuerpos se utilizó la configuración experimental que se esquematiza en la figura 4 y se describe a continuación.

Figura 4 - Configuración experimental usada para medir los momentos de inerciaSobre el borde de una mesa se apoyó el soporte del aparato, la cual poseía un eje giratorio. Sobre el eje se colocó la base principal, que consistió en una plataforma cilíndrica más tres anillos de distintos radios en su centro, tal como se observa en la figura. De esta manera la base principal podía girar libremente sobre el eje de la base. Sobre soporte, del lado del borde de la mesa, se fijó una polea de altura regulable.El movimiento de la base principal alrededor del eje fue originado del siguiente modo. Se fijó un extremo de un hilo a uno de los anillos del cuerpo y se lo enroscó varias veces alrededor del mismo. Del otro extremo del hilo se fijó soporte para pesas. Luego se pasó el hilo por la polea, dejando colgar las pesas de costado a la mesa. De esta manera se transmite el peso de las pesas como tensión en el hilo, generando un torque en la base principal, de radio igual al radio del anillo usado. La base principal

tiende entonces a girar sobre el eje, desenroscándose progresivamente el hilo del anillo y descendiendo las pesas.Para medir la aceleración angular de la base principal se usó una rueda giratoria en medio de un sensor de luz (fotodiodo). La rueda se apoyó en el costado del cuerpo cilíndrico tal como se observa en la figura 4 y en la figura 5. Por acción del rozamiento al girar el cuerpo 1 gira también la rueda. Este giro de la rueda es el que detecta el sensor. El sensor posee un láser que apunta hacia un detector de luz. En medio de ambos se encontraba la rueda, la cual poseía 10 aberturas huecas y 10 rayos. El Programa MotionDAQ registra sucesivamente el voltaje que mide el sensor a lo largo del tiempo. Cuando el láser se ve interrumpido por un rayo, el sensor registra un pozo en ese voltaje. Por cada giro de la rueda se registraron, en consecuencia, 10 pozos de voltaje. A partir de estos datos es posible calcular la aceleración de la rueda, y luego la de la base principal mediante la fórmula: Rw=rA ( )

Donde R es el radio de la base principal y w su aceleración, r es el radio de la rueda y A su aceleración.

Figura j+5 – Vista superior del aparato experimental utilizado para medir los momentos de inerciaEn total se midieron 4 momentos de inercia: de la base principal, de la base principal más una base auxiliar, de la base principal más un anillo, y de la base principal más una barra. En la figura 6 puede observarse la forma de estos cuerpos.

Figura 6– Cuerpos principales utilizados en la mediciónLa base principal consistió en una plataforma cilíndrica junto a tres anillos de distintos radios, uno encima del otro. El anillo menor tenía un radio(r1) de (14,85±0.02)mm, el intermedio(r2) de (19,91±0.02) mm y el mayor(r3) de (25,00±0.02)mm. Su masa total era de (974.9±0.1) g. El momento de inercia tabulado de este cuerpo era de 0,0075 kg.m^2.La base auxiliar también era una plataforma cilíndrica. Su masa junto a la base principal era de (1864.3±0.1)g y el momento de inercia total tabulado era de 0,0147 kg.m^2.La masa del anillo junto a la base principal era de (1683.8±0.1) g y el momento de inercia total tabulado era de 0,01048 kg.m^2.La masa de la barra junto a la base principal era de (1684.4±0.1) g y el momento de inercia total tabulado era de 0,00996 kg.m^2.Para la medición del momento de inercia de cada cuerpo o conjunto de cuerpos se repitió la medición enroscando el hilo en cada uno de los 3 anillos de la base principal (de distintos radios), es decir, se realizó la medición con 3 torques distintos. A partir de los datos de la masa de las pesas, el radio del torque, la aceleración medida de la base principal y los datos del cuerpo o conjunto de cuerpos en medición, utilizando la ecuación j se alcanza el valor del momento de inercia buscado.

Resultados y discusiones:

Para todas las mediciones se utilizó un soporte con una serie de pesas cuyo peso total fue de (213,40±0,01) g para tirar de los cuerpos rígidos. Dichos cuerpos rígidos eran sistemas formados por la base principal, la base principal con la base auxiliar, la base principal con el anillo metálico, y la base principal con la barra.Se dividieron las series de mediciones tomando como criterio los radios menores de la base principal.Para todos los casos, las mediciones obtenidas de la rotación (medida en ángulos) de la polea respecto del tiempo (durante la caída del soporte), se podían ajustar mediante una función cuadrática (figura 7). De la cual se despejó la aceleración angular según la ecuación (k). Y, utilizando el método R-Square, se garantizaron la validez de los parámetros.

Figura 7. Gráfico general de la rotación de la polea durante el tiempo de caída del soporte.La primer medición se hizo aplicando torque sobre el radio r1 en cada cuerpo rígido, obteniendo los resultados que muestra la tabla 1.

Cuerpo rígido Acel. angular (rad/s^2) Momento de inercia (kg.m^2)Base principal (4,164±0,002) (0,00751±0,00002)Base principal con base auxiliar (2,042±0,002) (0,01527±0,00005)Base principal con anillo (3,084±0,002) (0,01013±0,00003)Base principal con barra (2,892±0,002) (0,01105±0,00003)Tabla 1. Aceleraciones angulares y momentos de inercial calculados para los distintos cuerpos rígidos con un torque aplicado sobre r1.

La segunda medición consistió en aplicar torque sobre el radio r2 en cada cuerpo rígido. La tabla 2 muestra los valores obtenidos.Cuerpo rígido Acel. angular(rad/s^2) Momento de inercia(kg.m^2)Base principal (5,496±0,002) (0,00752±0,00002)Base principal con base auxiliar (2,764±0,002) (0,01516±0,00004)

Base principal con anillo (4,120±0,002) (0,01020±0,00003)Base principal con barra (3,834±0,001) (0,01103±0,00003)Tabla 2. Aceleraciones angulares y momentos de inercial calculados para los distintos cuerpos rígidos con un torque aplicado sobre r2.Por último, para la tercer medición se aplicó torque sobre el radio r3 en cada cuerpo rígido. La tabla 3 muestra los valores obtenidos.

Cuerpo rígido Acel. angular(rad/s^2) Momento de inercia(kg.m^2)Base principal (6,892±0,002) (0,00754±0,00002)Base principal con base auxiliar (3,404±0,002) (0,01551±0,00003)Base principal con anillo (5,101±0,002) (0,01040±0,00002)Base principal con barra (4,762±0,002) (0,01108±0,00003)Tabla 3. Aceleraciones angulares y momentos de inercial calculados para los distintos cuerpos rígidos con un torque aplicado sobre r3.De todos los valores calculados a partir de cada medición, se calculó el promedio y su desvío estándar. La tabla 4 muestra el valor promedio del momento de inercia de cada cuerpo rígido.

Cuerpo rígido Momento de inercia promediado (kg.m^2)Base principal (0,00752±0,00002)Base principal con base auxiliar (0,0151±0,0005)Base principal con anillo (0,01024±0,00002)Base principal con barra (0,01105±0,00003)Tabla 4. Promedio de los momentos de inercia obtenidos en todas las mediciones y su respectivo desvío estándar.

Comparando los valores del momento de inercia con sus valores de tabla respectivo se observó que; el momento de inercia de la base principal coincidía con su equivalente tabulado, siendo (0,00752±0,00002) kgm^2 el momento calculado y 0.0075 kgm^2 el momento tabulado. Además se observó que el método aplicado para calcular el momento resultaba en un valor más preciso que el brindado por la tabla. Al igual ocurrió con el cuerpo rígido formado por la base principal y la base auxiliar. Siendo (0,0151±0,0005) kg.m^2 el valor calculado y 0,00147 kg.m^2. Sin embargo, del rígido formado por la base principal con la barra y con el anillo se obtuvieron valores no coincidentes con los momentos de inercia tabulados. Para la base principal con el anillo se obtuvo un momento de (0,01024±0,00002) kg.m^2 mientras que su valor de tabla es 0,00996 kg.m^2. Y para la base con la barra metálica fue de (0,01105±0,00003) kg.m^2 el momento de inercia obtenido y 0.1048 en momento tabulado. Esta desigualdad entre los valores obtenidos y tabulados pudo haberse debido al efecto de rozamiento del cuerpo con la superficie sobre la que giraba o del contacto entre la base que gira y la rueda utilizada para la medición.Por otro lado, se pudo confirmar que al aumentar el radio en que se aplica torque a un cuerpo rígido (que se puede tomar como cilíndrico) se imprime una aceleración angular mayor. Como se ve para la base principal, aplicando torque el mismo torque sobre el radio r1 se obtuvo una aceleración angular (4,164±0,002) s^-2, sobre el radio r2 (5,496±0,002) s^-2 y sobre el radio r3 (6,892±0,002) s^-2.

Conclusión:Luego de calcular los valores se llegó a la siguiente conclusión: el método aplicado es efectivo a la hora de calcular el momento de inercia de cuerpos rígidos de forma cilíndrica. Esto se vio al obtener valores del momento de inercia idénticos a los tabulados para la base principal y la base principal con la base auxiliar, bases que eran geométricamente idénticas, formando al final un cuerpo cilíndrico del doble de altura de la base principal. Mientras que los cuerpos formados por la base principal con la barra metálica y la base principal con el anillo metálico, presentaban una geometría más compleja que el modelo no tomaba en cuenta.

Referencias:[1] J.G.Roederer, Mecánica elemental, Eudeba, Buenos Aires, 1981