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Proyecto Nro. 1: Races de Funciones
Algoritmos Numricos
Jonathan Morocho Jimnez
Escuela Politcnica Nacional
Facultad de Ingeniera de Sistemas
07 de marzo de 2014
1. Mtodos de Biseccin, Iteracin de Punto Fijo y de Newton
Se pretende resolver el siguiente problema:
Dada una funcin continua, encontrar los valores de x para los cuales f(x) = 0. Los mtodos numricoscon los que se va a trabajar permitirn obtener aproximaciones numricas al problema de la bsqueda
de races de una funcin.
1.1. Criterios de Parada
Se debe tener un nmero de iteraciones para evitar que el programa se siga ejecutando en caso
de que la sucesin (pn)Nn diverge. En algunos casos se puede especicar el numero de iteraciones y en
otras se puede calcular, dependiendo del mtodo. En caso de que la sucesin converga, se utilizar un
criterio de parada basado en propiedades o teoremas de cada mtodo.
1.1.1. Criterio de Parada para el Mtodo de Biseccin
El nmero de iteraciones se puede encontrar basndonos en el siguiente teorema:
Teorema 1. (Error en el mtodo de biseccin). Si f es continua en [a, b] y f(a).f(b) < 0, el mtodode biseccin genera una sucesin (pn)
Nn que aproxima un cero p de f con la propiedad de que:
|p pn| b a2n
;n 1 (1)Como el valor |ppn| va disminuyendo en cada iteracin, se aproxima a una toleracia t seleccionaday se tiene que
|p pn| b a2n
< t (2)
Tomando los dos ltimos miembros de esta inecuacin y despejando n se tiene que el nmero deiteraciones necesarias n para llegar a la tolerancia t es:
n >
log
(b at
)log(2)(3)
Con esto se evita que se ejecute innitas iteraciones si la sucesin (pn)Nn diverge.
El criterio de parada a usar si la sucesin sea convergente, es
|bn an|2
< t (4)
1
-
2 CLCULO DE RACES DE ALGUNAS FUNCIONES
1.1.2. Criterio de Parada para el Mtodo de Iteracin de Punto Fijo
El nmero de iteraciones se puede encontrar basndonos en el corolario del siguiente teorema:
Teorema 2. Sea g una funcin continua en [a, b] tal que g(p)[a, b] para toda p en [a, b]. Ademssuponga que existe g' en [a, b] y una constante positiva K < 1 tal que |g(p)| K, para toda p[a, b],entonces para cualquier nmero p0 en [a, b], la sucesin denida por pn+1 = g(pn), converge al nicopunto jo p en [a, b].
Corolario 1. Si g satisface las hiptesis del Teorema 2, una cota para el error al aproximar el punto
jo p de g por pn es:
|p pn| Knmax {p0 a, b p0} (5)Como el valor |ppn| va disminuyendo en cada iteracin, se aproxima a una toleracia t seleccionada,si se inicia con un valor p0 se tiene que |g(p0)| K, por lo que se puede llegar a
|g(p0)|nmax {p0 a, b p0} < t (6)
Tomando los dos ltimos miembros de esta inecuacin y despejando n se tiene que el nmero deiteraciones necesarias n para llegar a la tolerancia t es:
n >
log
(t
max {p0 a, b p0})
log (|g(p0)|) (7)
si p[a, b].
Con esto se evita que se ejecute innitas iteraciones si la sucesin (pn)Nn diverge. Si |g(p0)| < 1,la funcin converge, caso contrario diverge, lo cual se puede aprovechar para optimizar el programa.
El criterio de parada a usar si la sucesin sea convergente, es
|pn pn1| < t (8)
Se debe tener en cuenta que el mtodo necesita una aproximacin p0, este se calcula como el puntomedio de a y b, por facilidad de implementacin del mtodo en Matlab, aunque existen otras formasde obtener p0.
1.1.3. Criterio de Parada para el Mtodo de Newton
El nmero de iteraciones se puede asignar de forma manual ya que la sucesin (pn)Nn converge
rpidamente. Para este proyecto se ha utilizado un limite de 15 iteraciones.
El criterio de parada a usar si la sucesin es convergente, es
|pn pn1| < t (9)
2. Clculo de races de algunas funciones
1. Dada la funcin
f(x) = 3x3 39x2 135x+ 675 (10)Utilice los mtodos de Biseccin, Iteracin de Punto Fijo y de Newton para determinar las tres
races de dicha funcin y presente los siguientes resultados (para cada una de las races):
a) Grca de la funcin.
2
-
2 CLCULO DE RACES DE ALGUNAS FUNCIONES
5 0 5 10 15 202000
1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
x
f(x)
Grafico de f(x)
Figura 1: Grca de f(x)
b) En una misma grca: las sucesiones (pn)Nn generadas por cada mtodo como funcin de n (elnumero de iteraciones).
0 5 10 155.5
5
4.5
4
3.5
3
n
p n
Grafico de pn vs n
BiseccionPto. FijoNewton
Figura 2: Grca de (pn)Nn como funcin de n para x1 = 5
3
-
2 CLCULO DE RACES DE ALGUNAS FUNCIONES
0 5 10 152.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3
3.1
3.2
3.3
n
p n
Grafico de pn vs n
BiseccionPto. FijoNewton
Figura 3: Grca de (pn)Nn como funcin de n para x2 = 3
0 2 4 6 8 10 12 14 16 1814.6
14.7
14.8
14.9
15
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
n
p n
Grafico de pn vs n
BiseccionPto. FijoNewton
Figura 4: Grca de (pn)Nn como funcin de n para x3 = 15
c) Las sucesiones (f(pn))Nn generadas por cada mtodo como funcin de n.
4
-
2 CLCULO DE RACES DE ALGUNAS FUNCIONES
0 5 10 15300
200
100
0
100
200
300
400
500
600
n
f n
Grafico de f(pn) vs n
BiseccionPto. FijoNewton
Figura 5: Grca de (f(pn))Nn como funcin de n para x1 = 5
0 5 10 15100
50
0
50
100
150
n
f n
Grafico de f(pn) vs n
BiseccionPto. FijoNewton
Figura 6: Grca de (f(pn))Nn como funcin de n para x2 = 3
5
-
2 CLCULO DE RACES DE ALGUNAS FUNCIONES
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18200
100
0
100
200
300
400
n
f n
Grafico de f(pn) vs n
BiseccionPto. FijoNewton
Figura 7: Grca de (f(pn))Nn como funcin de n para x3 = 15
d) Las sucesiones de errores (n)Nn generados (en cada mtodo) como funcin de n. n es el errorabsoluto entre pn y el valor exacto de la raz correspondiente.
0 5 10 150
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
n
E n
Grafico de En vs n
BiseccionPto. FijoNewton
Figura 8: Grca de (n)Nn como funcin de n para x1 = 5
6
-
2 CLCULO DE RACES DE ALGUNAS FUNCIONES
0 5 10 150
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
n
E n
Grafico de En vs n
BiseccionPto. FijoNewton
Figura 9: Grca de (n)Nn como funcin de n para x2 = 3
0 2 4 6 8 10 12 14 16 180
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
n
E n
Grafico de En vs n
BiseccionPto. FijoNewton
Figura 10: Grca de (n)Nn como funcin de n para x3 = 15
e) Las sucesiones de errores relativos (rn)Nn generados (en cada mtodo) como funcin de n.
7
-
2 CLCULO DE RACES DE ALGUNAS FUNCIONES
0 5 10 150
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
n
E r
Grafico de Er vs n
BiseccionPto. FijoNewton
Figura 11: Grca de (rn)Nn como funcin de n para x1 = 5
0 5 10 150
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
n
E r
Grafico de Er vs n
BiseccionPto. FijoNewton
Figura 12: Grca de (rn)Nn como funcin de n para x2 = 3
8
-
2 CLCULO DE RACES DE ALGUNAS FUNCIONES
0 2 4 6 8 10 12 14 16 180
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
n
E r
Grafico de Er vs n
BiseccionPto. FijoNewton
Figura 13: Grca de (rn)Nn como funcin de n para x3 = 15
f) Para la raz x1 = 5, la grca de la funcin y las sucesiones (f(pn))Nn como funcin de (pn)Nngeneradas a travs del mtodo de biseccin.
10 5 0 5 10 15 206000
4000
2000
0
2000
4000
6000
8000
x
f(x)
Grafico de f(x) y f(pn) vs p
n
f(x)f(p
n) vs p
n
Figura 14: Grca de f(x) y (f(pn))Nn como funcin de n para x1 = 5
g) Para la raz x2 = 3, la grca de la funcin y las sucesiones (f(pn))Nn como funcin de (pn)
Nn
generadas a travs del mtodo de punto jo.
9
-
2 CLCULO DE RACES DE ALGUNAS FUNCIONES
10 5 0 5 10 15 206000
4000
2000
0
2000
4000
6000
8000Grafico de f(x) y f(p
n) vs p
n
f(x)f(p
n) vs p
n
Figura 15: Grca de f(x) y (f(pn))Nn como funcin de n para x2 = 3
h) Para la raz x3 = 15, la grca de la funcin y las sucesiones (f(pn))Nn como funcin de (pn)
Nn
generadas a travs del mtodo de Newton.
10 5 0 5 10 15 206000
4000
2000
0
2000
4000
6000
8000Grafico de f(x) y f(p
n) vs p
n
f(x)f(p
n) vs p
n
Figura 16: Grca de f(x) y (f(pn))Nn como funcin de n para x3 = 15
i) Exprese f(x) = 0 como un problema de punto jo g(x) = x de al menos 3 formas diferentes(ed.g1(x) = x, g2(x) = x, g3(x) = x) y en una misma grca presente las sucesiones (pn)
Nn
10
-
2 CLCULO DE RACES DE ALGUNAS FUNCIONES
generadas por cada g(x) como funcin de n. Sea:
g1(x) =
3x3 135x+ 67539(11)
g2(x) = 6753x2 39x 135 (12)
g3(x) =
(39x2 + 135x 675
3
)1/3(13)
Se usan los p0 con los que se encontraron las races de la funcin f(x).
1 2 3 4 5 6 7 8 96
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
n
p n
Grafico de pn vs n
pn de g1(p)
pn de g2(p)
Figura 17: Grca de las sucesiones (pn)Nn generadas por g1(x), g2(x) y g3(x) como funcin de n para
p0 = 1,5.
11
-
2 CLCULO DE RACES DE ALGUNAS FUNCIONES
1 2 3 4 5 6 7 86
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
n
p n
Grafico de pn vs n
pn de g1(p)
pn de g2(p)
Figura 18: Grca de las sucesiones (pn)Nn generadas por g1(x), g2(x) y g3(x) como funcin de n para
p0 = 2,5.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 1815
15.05
15.1
15.15
15.2
15.25
15.3
15.35
n
p n
Grafico de pn vs n
pn de g3(p)
Figura 19: Grca de las sucesiones (pn)Nn generadas por (g1(x), g2(x) y g3(x) como funcin de n para
p0 = 15,5.
j) Las sucesiones (f(pn))Nn generadas por cada mtodo como funcin de n.
12
-
2 CLCULO DE RACES DE ALGUNAS FUNCIONES
0 5 10 15300
200
100
0
100
200
300
400
500
600
n
f n
Grafico de f(pn) vs n
BiseccionPto. FijoNewton
Figura 20: Grca de (f(pn))Nn como funcin de n para x1 = 3,14159
2. Dada la funcin
f(x) =2x2 sinx
x2 + 3(14)
Elegir un mtodo para determinar la raz de dicha funcin en el intervalo [1,5] y presente los mismos
resultados del ejercicio anterior.
El mtodo elegido es el mtodo de newton.
La ejecucin del programa muestra la siguiente salida:
Figura 21: Raiz en el intervalo [1, 5]
a) Grca de la funcin.
13
-
2 CLCULO DE RACES DE ALGUNAS FUNCIONES
10 5 0 5 10 15 202
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
f(x)
Grafico de f(x)
Figura 22: Grca de f(x)
b) En una misma grca: las sucesiones (pn)Nn generadas por cada mtodo como funcin de n (elnumero de iteraciones).
0 2 4 6 8 10 12 143.1
3.15
3.2
3.25
3.3
3.35
3.4
3.45
3.5
n
p n
Grafico de pn vs n
BiseccionNewton
Figura 23: Grca de (pn)Nn como funcin de n para x1 = 3,14159
c) Las sucesiones (f(pn))Nn generadas por cada mtodo como funcin de n.
14
-
2 CLCULO DE RACES DE ALGUNAS FUNCIONES
0 2 4 6 8 10 12 140.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.1
n
f n
Grafico de f(pn) vs n
BiseccionNewton
Figura 24: Grca de (f(pn))Nn como funcin de n para x1 = 3,14159
d) Las sucesiones de errores (n)Nn generados (en cada mtodo) como funcin de n. n es el errorabsoluto entre pn y el valor exacto de la raz correspondiente.
0 2 4 6 8 10 12 140
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
n
E n
Grafico de En vs n
BiseccionNewton
Figura 25: Grca de (n)Nn como funcin de n para x1 = 3,14159
e) Las sucesiones de errores relativos (rn)Nn generados (en cada mtodo) como funcin de n.
15
-
2 CLCULO DE RACES DE ALGUNAS FUNCIONES
0 2 4 6 8 10 12 140
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
n
E r
Grafico de Er vs n
BiseccionNewton
Figura 26: Grca de (rn)Nn como funcin de n para x1 = 3,14159
f) Para la raz x1 = 3,14159, la grca de la funcin y las sucesiones (f(pn))Nn como funcin de
(pn)Nn generadas a travs del mtodo de biseccin.
10 5 0 5 10 15 202
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
f(x)
Grafico de f(x) y f(pn) vs p
n
f(x)f(p
n) vs p
n
Figura 27: Grca de f(x) y (f(pn))Nn como funcin de n para x1 = 3,14159
g) Para la raz x1 = 3,14159, la grca de la funcin y las sucesiones (f(pn))Nn como funcin de
(pn)Nn generadas a travs del mtodo de Newton.
16
-
2 CLCULO DE RACES DE ALGUNAS FUNCIONES
10 5 0 5 10 15 202
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2Grafico de f(x) y f(p
n) vs p
n
f(x)f(p
n) vs p
n
Figura 28: Grca de f(x) y (f(pn))Nn como funcin de n para x1 = 3,14159
h) Exprese f(x) = 0 como un problema de punto jo g(x) = x de al menos 3 formas diferentes(ed.g1(x) = x, g2(x) = x, g3(x) = x) y en una misma grca presente las sucesiones (pn)
Nn
generadas por cada g(x) como funcin de n. Sea:
g1(x) = x 2x2 sinx
x2 + 3(15)
g2(x) = arcsin
((x2 + 3) sin(x)
3
)(16)
g3(x) = arcsin
(3 sin(x)
x2 + 3
)(17)
Se usan los p0 con los que se encontraron las races de la funcin f(x).
17
-
3 DISCUSIN Y CONCLUSIONES
0 20 40 60 80 100 120 140 160 1801
0.5
0
0.5
1
1.5
2
n
p n
Grafico de pn vs n
pn de g1(p)
pn de g2(p)
Figura 29: Grca de las sucesiones (pn)Nn generadas por g1(x), g2(x) y g3(x) como funcin de n para
p0 = 2,5.
3. Discusin y Conclusiones
Cuando se observa los grcos de las sucesiones (pn)Nn generadas por cada mtodo como funcin
de n se puede apreciar que el mtodo de newton es el que converge mas rpido.
Cuando se observa los grcos de las sucesiones (f(pn))Nn generadas por cada mtodo como funcin
de n se aprecia que el mtodo que realiza mas operaciones es el de punto jo, seguido por el de bisecciny el de newton. Esto se debe a que, como se debe aproximar a la raz con un valor, la sucesin puede
diverger o converger, en caso de converger, se aproxima a la raz real.
Cuando se observa los grcos de las sucesiones de errores (n)Nn y las sucesiones de errores relativos
(rn)Nn generados (en cada mtodo) como funcin de n, se aprecia que el mtodo que genera menoserrores en menos iteraciones es el mtodo de newton.
Cuando se observa los grcos de la grca de la funcin y las sucesiones (f(pn))Nn como funcin
de (pn)Nn generadas a travs de los tres mtodos, se observa que todos se aproximan a la raz real de
forma grca.
Cuando las funciones f(x) = 0 se expresan como un problema de punto jo g(x) = x, se observaque para diferentes races, las sucesiones convergen o divergen, por eso no aparecen los tres mtodos en
un mismo grco, por lo que es necesario, para cada raz, tener un g(x) = x y una buena aproximacininicial. Una funcin g(x) = x no necesariamente debe servir para hallar varias races.
18
-
REFERENCIAS REFERENCIAS
Referencias
[1] Richard L. Burden - J. Douglas Faires, Analisis Numerico, 7ma edicin, 2009
[2] http://www.matworks.com
[3] http://www.wolfram.com
[4] http://portales.puj.edu.co/objetosdeaprendizaje/Online/OA10/AnimacionesFlash/indicecap5.html
[5] http://noosfera.indivia.net/metodos/
[6] http://www.youtube.com/watch?v=idnu2cz1kTo&list=PLzSFZWTjelbLW1xL0pG1HmT6alKFJexhA
19
-
REFERENCIAS REFERENCIAS
20
-
A. Anexos
A.1. Mtodo de Biseccin
1 %Metodo de b i s e c c i o n
2 f unc t i on [ Sn Spn Sfpn SEn SEr ] = b i s e c c i o n ( fx , a , b , ra i z , t o l )
3
4
5 f = i n l i n e ( fx ) ;
6 l i m i t e I t e r a c i o n e s = int16 ( log10 ( ( ba ) / t o l ) / log10 (2 ) ) ;7 n = 1 ;
8
9 %datos para g r a f i c o s
10 Sn = [ ] ;
11 Spn = [ ] ;
12 Sfpn = [ ] ;
13 SEn = [ ] ;
14 SEr = [ ] ;
15
16 %metodo
17 f p r i n t f ( ' \ tn\ ta \ t \ tp\ t \ tb\ t \ t f ( a ) \ t \ t f (p) \ t \ t f (b) \n ' )
18
19 whi le (n 0)42 a = p ;
43 e l s e
44 b = p ;
45 end
46
47 n = n + 1 ;
-
A.2 Mtodo de Punto Fijo A ANEXOS
48 end
49
50 i f (n > l im i t e I t e r a c i o n e s ) %se e j e cu ta ron todas l a s i t e r a c i o n e s
51 f p r i n t f ( ' \nSe l l e g o a l maximo de i t e r a c i o n e s . Ajuste e l i n t e r v a l o o
l a t o l e r a n c i a . \ nPos ib l e s o l u c i on aproximada ( s i e l i n t e r v a l o es
aduecuado ) : %f \n ' ,p )
52 Sn = 1 : n1;53 e l s e %no se e j e cu ta ron todas l a s i t e r a c i o n e s
54 f p r i n t f ( ' \nLa r a i z en e l i n t e r v a l o dado es aproximadamente %.8 f \n ' ,p )
55 Sn = 1 : n ;
56 end
57
58 %GRAFICOS
59 %Graf i co de l a func ion
60 x = 10 :0 . 5 : 20 ;61 y = f (x ) ;
62 f i g u r e (1 ) ;
63 p lo t (x , y , 'b ' )
64 x l ab e l ( ' x ' )
65 y l ab e l ( ' f ( x ) ' )
66 t i t l e ( ' Gra f i co de f ( x ) ' )
67 ax i s square
68 g r id on
69
70 %Graf i co de l a func ion y f (pn) vs pn
71 f i g u r e (2 )
72 hold on
73 g r id on
74 ax i s square
75 p lo t (x , y , 'b ' )
76 p lo t (Spn , Sfpn , 'm. ' )
77 l egend ( ' f ( x ) ' , ' f (p_n) vs p_n ' )
78 t i t l e ( ' Gra f i co de f ( x ) y f (p_n) vs p_n ' )
79 x l ab e l ( ' x ' )
80 y l ab e l ( ' f ( x ) ' )
A.2. Mtodo de Punto Fijo
1 %Metodo de punto f i j o
2 f unc t i on [ Sn Spn Sfpn SEn SEr ] = pun to f i j o ( fx , gx , a , b , r a i z , t o l )
3
4 f = i n l i n e ( fx ) ;
5 g = i n l i n e ( gx ) ;
6 syms x
7 dg = d i f f ( gx , x ) ;
8
9 e r r o r = 1 ;
10 x = a + ( ( b a ) / 2) ;11 l i m i t e I t e r a c i o n e s = int16 ( c e i l ( log10 ( t o l /max ( [ xa bx ] ) ) / log10 ( abs ( eva l (dg ) ) ) ) ) ;
12
13 n = 1 ;
14
22
-
A ANEXOS A.2 Mtodo de Punto Fijo
15 %datos para g r a f i c o s
16 Sn = [ ] ;
17 Spn = [ ] ;
18 Sfpn = [ ] ;
19 SEn = [ ] ;
20 SEr = [ ] ;
21
22 %metodo
23
24 i f ( abs ( eva l ( dg ) )
-
A.3 Mtodo de Newton A ANEXOS
64 %GRAFICOS
65 %Graf i co de l a func ion
66 z = 10 :0 . 5 : 20 ;67 y = f ( z ) ;
68 f i g u r e (1 ) ;
69 p lo t ( z , y , 'b ' )
70 x l ab e l ( ' x ' )
71 y l ab e l ( ' f ( x ) ' )
72 t i t l e ( ' Gra f i co de f ( x ) ' )
73 ax i s square
74 g r id on
75
76 %Graf i co de l a func ion y f (pn) vs pn
77 f i g u r e (2 )
78 hold on
79 g r id on
80 ax i s square
81 p lo t ( z , y , 'b ' )
82 p lo t (Spn , Sfpn , 'm. ' )
83 l egend ( ' f ( x ) ' , ' f (p_n) vs p_n ' )
84 t i t l e ( ' Gra f i co de f ( x ) y f (p_n) vs p_n ' )
85
86 e l s e
87 di sp ( ' \ng (x ) d iverge , e l i j a ot ra func ion \n ' )
88 end
A.3. Mtodo de Newton
1 %Metodo de newton
2 f unc t i on [ Sn Spn Sfpn SEn SEr ] = newton ( fx , a , b , ra i z , t o l )
3
4 f = i n l i n e ( fx ) ;
5 syms x
6 d = d i f f ( fx , x ) ;
7 df = i n l i n e (d) ;
8
9 e r r o r = 1 ;
10 x = a + ( ( b a ) / 2) ;11 l i m i t e I t e r a c i o n e s = 15 ;
12 n = 1 ;
13
14 %datos para g r a f i c o s
15 Sn = [ ] ;
16 Spn = [ ] ;
17 Sfpn = [ ] ;
18 SEn = [ ] ;
19 SEr = [ ] ;
20
21 %metodo
22 f p r i n t f ( ' \ tn\tpn\n ' )
23
24 whi le (n
-
A ANEXOS A.3 Mtodo de Newton
26 xant = x ;
27 x = x ( f ( x ) / df ( x ) ) ;28 e r r o r = abs (xxant ) ;29
30 Fp = f (x ) ;
31 En = abs (xr a i z ) ;32 Er = abs (En/ r a i z ) ;
33
34 %datos para g r a f i c o s
35 Spn(n) = x ;
36 Sfpn (n) = Fp ;
37 SEn(n) = En ;
38 SEr (n) = Er ;
39
40 f p r i n t f ( ' \ t %d\ t %.8 f \n ' ,n , x )
41
42 i f ( e r r o r < t o l )
43 break
44 end
45
46 n = n+1;
47
48 end
49
50 i f (n > l im i t e I t e r a c i o n e s ) %se e j e cu ta ron todas l a s i t e r a c i o n e s
51 f p r i n t f ( ' \nSe l l e g o a l maximo de i t e r a c i o n e s . Ajuste e l i n t e r v a l o o
l a t o l e r a n c i a . \ nPos ib l e s o l u c i on aproximada ( s i e l i n t e r v a l o es
aduecuado ) : %f \n ' , x )
52 Sn = 1 : n1;53 e l s e %no se e j e cu ta ron todas l a s i t e r a c i o n e s
54 f p r i n t f ( ' \nLa r a i z en e l i n t e r v a l o dado es aproximadamente %.8 f \n ' , x )
55 Sn = 1 : n ;
56 end
57
58 %GRAFICOS
59 %Graf i co de l a func ion
60 z = 10 :0 . 5 : 20 ;61 y = subs ( fx , z ) ;
62 f i g u r e (1 ) ;
63 p lo t ( z , y , 'b ' )
64 x l ab e l ( ' x ' )
65 y l ab e l ( ' f ( x ) ' )
66 t i t l e ( ' Gra f i co de f ( x ) ' )
67 ax i s square
68 g r id on
69
70 %Graf i co de l a func ion y f (pn) vs pn
71 f i g u r e (2 )
72 hold on
73 g r id on
74 ax i s square
75 p lo t ( z , y , 'b ' )
25
-
A.4 Gracas A ANEXOS
76 p lo t (Spn , Sfpn , 'm. ' )
77 l egend ( ' f ( x ) ' , ' f (p_n) vs p_n ' )
78 t i t l e ( ' Gra f i co de f ( x ) y f (p_n) vs p_n ' )
A.4. Gracas
1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
2 %Pn vs n
3 f i g u r e (11) ;
4 hold on
5 g r id on
6 x l ab e l ( 'n ' )
7 y l ab e l ( 'p_n ' )
8
9 %Suces ion Pn vs n Metodo de B i s e c c i on
10 p lo t (bSn , bSpn , 'b. ' )11
12 %Suces ion Pn vs n Metodo de Punto f i j o
13 p lo t (pSn , pSpn , ' r . ' )14
15 %Suces ion Pn vs n Metodo de Newton
16 p lo t (nSn , nSpn , ' . ' , ' c o l o r ' , [ 0 . 0 3 5 0 .8 0 . 2 3 9 ] )17 t i t l e ( ' Gra f i co de p_n vs n ' )
18 l egend ( ' B i s e c c i on ' , ' Pto . F i j o ' , 'Newton ' )
19
20 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
21 %fn vs n
22 f i g u r e (22) ;
23 hold on
24 g r id on
25 x l ab e l ( 'n ' )
26 y l ab e l ( ' f_n ' )
27
28 %Suces ion fn vs n Metodo de B i s e c c i on
29 p lo t (bSn , bSfpn , 'b. ' )30
31 %Suces ion fn vs n Metodo de Punto f i j o
32 p lo t (pSn , pSfpn , ' r . ' )33
34 %Suces ion fn vs n Metodo de Newton
35 p lo t (nSn , nSfpn , ' . ' , ' c o l o r ' , [ 0 . 0 3 5 0 .8 0 . 2 3 9 ] )36 t i t l e ( ' Gra f i co de f (p_n) vs n ' )
37 l egend ( ' B i s e c c i on ' , ' Pto . F i j o ' , 'Newton ' )
38
39 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
40 %En vs n
41 f i g u r e (33) ;
42 hold on
43 g r id on
44 x l ab e l ( 'n ' )
45 y l ab e l ( 'E_n ' )
46
47 %Suces ion En vs n Metodo de B i s e c c i on
26
-
A ANEXOS A.5 Problema punto jo 1
48 p lo t (bSn , bSEn , 'b. ' )49
50 %Suces ion En vs n Metodo de Punto f i j o
51 p lo t (pSn , pSEn , ' r . ' )52
53 %Suces ion En vs n Metodo de Newton
54 p lo t (nSn , nSEn , ' . ' , ' c o l o r ' , [ 0 . 0 3 5 0 .8 0 . 2 3 9 ] )55 t i t l e ( ' Gra f i co de E_n vs n ' )
56 l egend ( ' B i s e c c i on ' , ' Pto . F i j o ' , 'Newton ' )
57
58 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
59 %Er vs n
60 f i g u r e (44) ;
61 hold on
62 g r id on
63 x l ab e l ( 'n ' )
64 y l ab e l ( 'E_r ' )
65
66 %Suces ion Er vs n Metodo de B i s e c c i on
67 p lo t (bSn , bSEr , 'b. ' )68
69 %Suces ion Er vs n Metodo de Punto f i j o
70 p lo t (pSn , pSEr , ' r . ' )71
72 %Suces ion Er vs n Metodo de Newton
73 p lo t (nSn , nSEr , ' . ' , ' c o l o r ' , [ 0 . 0 3 5 0 .8 0 . 2 3 9 ] )74 t i t l e ( ' Gra f i co de E_r vs n ' )
75 l egend ( ' B i s e c c i on ' , ' Pto . F i j o ' , 'Newton ' )
A.5. Problema punto jo 1
1 %Se deben co l o c a r l o s va l o r e s r e s p e c t i v o s para cada r a i z antes de
e j e cu t a r
2 %es t e s c r i p t
3
4 %a = i n i c i o de l i n t e r v a l o
5 %b = f i n de l i n t e r v a l o
6 %ra i z = r a i z exacta en e l i n t e r v a l o
7 %t = t o l e r a n c i a
8 c l e a r v a r s
9 [ p1Sn p1Spn ] = pun to f i j o ( ' 3x.^339x.^2135x+675 ' , ' (((3x^3135x+675) /39) ) ^(1/2) ' , a , b , ra i z , t )
10 [ p2Sn p2Spn ] = pun to f i j o ( ' 3x.^339x.^2135x+675 ' , ' 675/(3x^239x135) ' , a , b , ra i z , t )11 [ p3Sn p3Spn ] = pun to f i j o ( ' 3x.^339x.^2135x+675 ' , ' ( (39x^2+135x675)/3) ^(1/3) ' , a , b , ra i z , t )
12
13 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
14 %Pn vs n
15 f i g u r e (10) ;
16 hold on
17 g r id on
18 x l ab e l ( 'n ' )
27
-
A.6 Problema punto jo 2 A ANEXOS
19 y l ab e l ( 'p_n ' )
20 %Suces ion pn vs n g1 (p)
21 p lo t (p1Sn , p1Spn , 'b. ' )22
23 %Suces ion pn vs n g2 (p)
24 p lo t (p2Sn , p2Spn , ' r . ' )25
26 %Suces ion pn vs n g3 (p)
27 p lo t (p3Sn , p3Spn , ' . ' , ' c o l o r ' , [ 0 . 0 3 5 0 .8 0 . 2 3 9 ] )28 t i t l e ( ' Gra f i co de p_n vs n ' )
29 l egend ( 'p_n de g_1(p) ' , 'p_n de g_2(p) ' , 'p_n de g_3(p) ' )
A.6. Problema punto jo 2
1 %Se deben co l o c a r l o s va l o r e s r e s p e c t i v o s para cada r a i z
2 %a = i n i c i o de l i n t e r v a l o
3 %b = f i n de l i n t e r v a l o
4 %ra i z = r a i z exacta en e l i n t e r v a l o
5 %t = t o l e r a n c i a
6 c l e a r v a r s
7 [ p1Sn p1Spn ] = pun to f i j o ( ' (2x .^2 . s i n (x ) ) . / ( x .^2+3) ' , ' x((2x^2 s i n (x ) )/(x^2+3) ) ' , 2 , 3 , 3 . 14159265 ,0 . 0001 )
8 [ p2Sn p2Spn ] = pun to f i j o ( ' (2x .^2 . s i n (x ) ) . / ( x .^2+3) ' , ' a s i n ( ( ( x^2+3) s i n( x ) ) /(3) ) ' , 2 , 3 , 3 . 14159265 , 0 . 0001 )
9 [ p3Sn p3Spn ] = pun to f i j o ( ' (2x .^2 . s i n (x ) ) . / ( x .^2+3) ' , ' a s i n ( (3 s i n (x ) ) /(x^2+3) ) ' , 2 , 3 , 3 . 14159265 , 0 . 0001 )
10
11 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
12 %Pn vs n
13 f i g u r e (10) ;
14 hold on
15 g r id on
16 x l ab e l ( 'n ' )
17 y l ab e l ( 'p_n ' )
18 %Suces ion pn vs n g1 (p)
19 p lo t (p1Sn , p1Spn , 'b. ' )20
21 %Suces ion pn vs n g2 (p)
22 p lo t (p2Sn , p2Spn , ' r . ' )23
24 %Suces ion pn vs n g3 (p)
25 p lo t (p3Sn , p3Spn , ' . ' , ' c o l o r ' , [ 0 . 0 3 5 0 .8 0 . 2 3 9 ] )26 t i t l e ( ' Gra f i co de p_n vs n ' )
27 l egend ( 'p_n de g_1(p) ' , 'p_n de g_2(p) ' , 'p_n de g_3(p) ' )
28
Mtodos de Biseccin, Iteracin de Punto Fijo y de NewtonCriterios de ParadaCriterio de Parada para el Mtodo de BiseccinCriterio de Parada para el Mtodo de Iteracin de Punto FijoCriterio de Parada para el Mtodo de Newton
Clculo de races de algunas funcionesDiscusin y ConclusionesAnexosMtodo de BiseccinMtodo de Punto FijoMtodo de NewtonGraficasProblema punto fijo 1Problema punto fijo 2