IntroduccinSe le llama movimiento rectilneo uniformemente variado el de un mvil que recorre espacios desiguales en tiempos iguales, es decir, la trayectoria de una recta y los espacios recorridos en tiempos iguales crecen o decrecen en cantidades iguales en cada unidad de tiempo. Aspecto de la grfica Distancia - Tiempo Si los espacios crecen, el movimiento es uniformemente variado. Si los espacios decrecen el movimiento es uniformemente retardado.La velocidad en el Movimiento uniforme variado se calcula dividiendo un espacio recorrido a partir del instante considerado, por el tiempo.Cuando la velocidad de un cuerpo en movimiento no es constante se entiende por velocidad del cuerpo en un momento dado el camino que en un segundo recorrera si a partir de ese momento cesara la accin de las fuerzas que determinan la variacin de la velocidad.En el siguiente trabajo realizaremos el estudio de movimiento curvilneo cuando latrayectoria del mvil es una curva. Por ejemplo: si el mvil describe unacurva al moverse, cuando un carro da una curva,o un nio gira alrededor de un parque en su bicicleta. Segn el tipo detrayectoria los movimientos pueden clasificarse en rectilneos y curvilneos. Movimiento curvilneo es aquel que describe una curva cambiando su direccin a medida que se desplaza. Los movimientos curvilneos ms estudiados en fsica son aquellos que describen las trayectorias llamadas cnicas (distintas intersecciones de un plano con un cono): movimientos circulares, elpticos, parablicos e hiperblicos. Curvilneo: Pista de atletismo o si te refieres a movimiento el que hace un atleta al recorrer la pista.Par este tema hablaremos de sus componentes: Rectangular Cilndricas Tangencial y normal

Marco terico1. Movimiento curvilneo: se le puede considerar como la composicin de movimientos rectilneos sobre los dos ejes de coordenadas. Todo movimiento curvilneo tiene, al menos, componente normal de la aceleracin.Supongamos que el movimiento tiene lugar en el plano XY, Situamos un origen, y unos ejes, y representamos la trayectoria del mvil, es decir, el conjunto de puntos por los que pasa el mvil. Las magnitudes que describen un movimiento curvilneo son: Vector posicin r en un instantet:Como la posicin del mvil cambia con el tiempo. En el instantet,el mvil se encuentra en el punto P, o en otras palabras, su vector posicin esry en el instantet'se encuentra en el punto P', su posicin viene dada por el vectorr'.Diremos que el mvil se ha desplazadoDr=r-ren el intervalo de tiempoDt=t'-t. Dicho vector tiene la direccin de la secante que une los puntos P y P'.

Vector velocidad:El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamientoDry el tiempo que ha empleado en desplazarseDt.

El vector velocidad media tiene la misma direccin que el vector desplazamiento, la secante que une los puntos P y P1cuando se calcula la velocidad media entre los instantestyt1.El vector velocidad en un instante, es el lmite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la direccin del vector velocidad media, la recta secante que une sucesivamente los puntos P, con los puntos P1, P2....., tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto P.En el instantet, el mvil se encuentra en P y tiene una velocidadvcuya direccin es tangente a la trayectoria en dicho punto.

Vector aceleracin:En el instantetel mvil se encuentra en P y tiene una velocidadvcuya direccin es tangente a la trayectoria en dicho punto.En el instantet'el mvil se encuentra en el punto P' y tiene una velocidadv'.El mvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en mdulo como en direccin, en la cantidad dada por el vector diferenciaDv=v-v.

Se define la aceleracin media como el cociente entre el vector cambio de velocidadDvy el intervalo de tiempoDt=t'-t, en el que tiene lugar dicho cambio.

Y la aceleracinaen un instante:

Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilneo en el plano XY son

La primera fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilneo a lo largo del eje X, la segunda fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilneo a lo largo del eje Y, y lo mismo podemos decir respecto del eje Z.Nota: podemos considerar un movimiento curvilneo como la composicin de movimientos rectilneos a lo largo de los ejes coordenados.Ejemplo 1:Un automvil describe una curva plana tal que sus coordenadas rectangulares, en funcin del tiempo estn dadas por las expresiones:x=2t3-3t2,y=t2-2t+1 m. Calcular: Las componentes de la velocidad en cualquier instante.vx=6t2-6tm/svy=2t-2 m/s

Las componentes de la aceleracin en cualquier instante.ax=12tm/s2ay=2 m/s2Ejemplo 2:Un punto se mueve en el plano de tal forma que las componentes rectangulares de la velocidad en funcin del tiempo vienen dadas por las expresiones:vx=4t3+4t,vy=4tm/s. Si en el instante inicialt0=0 s, el mvil se encontraba en la posicinx0=1,y0=2 m. Calcular:

Las componentes de la aceleracin en cualquier instante

Las coordenadasxey, del mvil, en funcin del tiempo.Dada la velocidadvx=4t3+4tdel mvil, el desplazamientox-1 entre los instantes 0 ytse calcula mediante la integral

x=t4+2t2+1 mDada la velocidadvy=4tdel mvil, el desplazamientoy-2 entre los instantes 0 ytse calcula mediante la integral

y=2t2+2 m

2. Componentes rectangulares de un movimiento curvilneo:Podemos describir la trayectoria curvilnea en funcin de coordenadas x, y, z. Posicin:Describimos la trayectoria como un vector de posicin:

Posicin de la trayectoriaSabemos que x = x(t), y = y(t), z = z(t) de modo quer=r(t).La magnitud r es:

Velocidad:De igual forma que en las secciones anteriores para encontrar la velocidad realizamos la primera derivada de la partcula:

Esto implica que tenemos la direccin de cada uno de los componentes vectoriales.

La magnitud de la velocidad se determina como: Aceleracin:

Para obtener la aceleracin de la partcula se obtiene de la primera derivada con respecto al tiempo:

As obtenemos las componentes de direccin de la aceleracin:

Y la magnitud de la aceleracin es: Ejercicios:Ejercicio 1: Un proyectil se lanza desde el borde de un acantilado de 150m con una velocidad inicial de 180m/s a un angulo de 30 con una horizontal. Si se ignora la resistencia del aire, encuentre: La distancia horizontal desde el caon hasta el punto en el que el rpoyectil golpea el suelo La elevacion maxima sobre el suelo que alcanza el proyectil.

Desarrollo:Los movimientos vertical y horizontal se consideran por separado:Movimiento vertical. Movimiento uniformemente variado acelerado Eligiendo el sentido positivo del eje y hacia arriba y situando el origen O en el caon se tiene:

Al sustituir en las ecuaciones del movimiento uniformenete acelerado , se tiene

Movimiento horizontal. Movimiento uniforme.

Al elegir el sentido positivo del eje X hacia la derecha, se tiene

Al sustituir en las ecuaciones del movimiento uniforme, se obtiene

Distancia horizontal . cuando el proyectil choca con el suelo, se tiene

Al sustituir este valor en la ecuacion para el movimiento horizontal se encuentra

Si se sustituye t=19.91s en la ecuacion para el movimiento horizontal se encuentra

Elevacion maxima. Cuando el proyectil alcanza su maxima elevacion, se tiene que al considerar este valor en la ecuacion para el movimiento vertical, se escribe

Maxima elevacion sobre el suelo

Ejercicio 2:una pelota se deja caer sobre un eslabon en el punto A y rebota con una velocidad a un angulo de 15 grados con la vertical. Determine el valor de si justo antes de que la pelota rebote en el punto B su velocidad forma un angulo de 12 grados con la vertical.

Solucion:Sacamos las componentes vertical y horizontal

El punto B:

Vertical:

=78.10

3. Movimiento curvilneo: Componentes Cilndricas

El sistema de coordenadas cilndricas es una generalizacin del sistema de coordenadaspolares plano, al que se aade un tercer eje de referencia perpendicular a los otros dos. Laprimera coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, la segunda es el ngulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la tercera es la coordenada que determina la altura del cilindro. Las coordenadas cilndricas son: la altura z sobre el plano OXY , la distancia de laproyeccin del punto en el plano OXY al origen y el ngulo que forma la lnea del origen a la proyeccin con el eje OX. Como hay un slo ngulo variable, la velocidad angularresulta Y el vector posicin es:

y Calculemos las derivadas de los vectores unitariosyDerivando el vectorposicin con respecto altiemporesulta lavelocidadyDerivando el vector velocidad con respecto al tiempo resulta para la aceleracin

4. Componentes tangencial y normal de la aceleracinLas componentes rectangulares de la aceleracin no tienen significado fsico, pero si lo tienen las componentes de la aceleracin en un nuevo sistema de referencia formado por la tangente a la trayectoria y la normal a la misma.Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleracin en un determinado instante es un simple problema de geometra, tal como se ve en la figura.

Se dibujan los ejes horizontal X y vertical Y. Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleracin en dicho instante. Se representan los vectores velocidad y aceleracin en dicho sistema de referencia. Se dibujan los nuevos ejes, la direccin tangencial es la misma que la direccin de la velocidad, la direccin normal es perpendicular a la direccin tangencial. Con la regla y el cartabn se proyecta el vector aceleracin sobre la direccin tangencial y sobre la direccin normal. Se determina el nguloentre el vector velocidad y el vector aceleracin, y se calcula el valor numrico de dichas componentes:at=acosyan=asinEjemplo 3:El vector velocidad del movimiento de una partcula viene dado porv=(3t-2)i+(6t2-5)jm/s.Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleracin en el instantet=2 s. Dibujar el vector velocidad, el vector aceleracin y las componentes tangencial y normal en dicho instante.a. Dadas las componentes de la velocidad obtenemos las componentes de la aceleracinvx=3t-2 m/s,ax=3 m/s2vy=6t2-5 m/s,ay=12tm/s2b. Los valores de dichas componentes en el instantet=2 s sonvx=4 m/s,ax=3 m/s2vy=19 m/s,ay=24 m/s2

c. Dibujamos el vector velocidad y el vector aceleracin

d. Calculamos el mdulo de la aceleracinay el ngulo que forman el vector velocidad y el vector aceleracin.=arctanayaxarctanvyvx=4.76a=ax2+ay2=24.2

e. Se calculan las componentes tangencial y normal de la aceleracinat=acos=24.1m/s2an=asin=2.0 m/s2Podemos hallar la aceleracin tangencial en cualquier instante, a partir del producto escalar del vector aceleracinay el vector velocidadv.va=vacos=vatat=vav=vxax+vyayvx2+vy2La aceleracin normal, se obtiene a partir del mdulo de la aceleracinay de la aceleracin tangencialatan2=a2at2=ax2+ay2(vxax+vyay)2vx2+vy2an=axvyayvxvx2+vy2Ejercicios:Ejercicio 1: un automovilista viaja sobre una seccin curva de una autopista de 2500 ft de radio a una velocidad de 60mi/h. el automovilista aplica repentinamente los frenos, provocando que el automvil se desacelere a una tasa cste. Si se sabe que despus de 8s la velocidad se ha reducido a 45mi/h, determinar la aceleracin del automvil inmediatamente despus de que se han aplicado los frenos.

Desarrollo.Componente tangencial de la aceleracin. Primero se expresan las velocidades en ft/s

Como el automvil desacelera a una tasa cste, se tiene

Componente normal de la aceleracin: inmediatamente despus de que los frenos se han aplicado. La velocidad se mantiene a 88ft/s, y se tiene

Magnitud y direccin de la aceleracin: la magnitud y direccin de la resultante a de las componentes y son:

Ejercicio 2:En un instante determinado en una carrera de aeroplanos, el aeroplano A vuela horizontalmente en una lnea recta, y su velocidad aumenta a razn de 6. el aeroplano B vuela a la misma altura que el A y, al rodear un poste, sigue una trayectoria circular de 200m de radio. Si se sabe que en un instante determinado la velocidad de B esta disminuyendo a razn de 2 , determinar para las posiciones que se indican A) la velocidad de B relativa a A.B) la aceleracin de B relativa a A.

Solucin:A) con angulo de 60 grados y =

B) con un angulo de 60

con anulo de 30 grados

Bibliografa: Mecnica dinmica, Beer Johnston