Ingenieria de Control 1

Análisis de Sistemas

de Control en los

Espacios de Estados Espacios de estados

Un sistema moderno complejo posee muchas entradas y muchas salidas que se relacionan entre sí en una forma complicada. Para analizar un sistema de este tipo, es esencial reducir la complejidad de las expresiones matemáticas, además de recurrir a una computadora que realice gran parte de los tediosos cálculos necesarios en el análisis. El enfoque en el espacio de estados para los análisis de sistemas es el más conveniente desde este punto de vista.

SERGIO

Universidad autónoma del Carmen

06/12/2013

Ingeniería de Control I 1

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL CARMEN DEPENDENCIA ACADÉMICA DEL ÁREA INGENIERÍA Y TECNOLOGÍA (DAIT)

PROGRAMA EDUCATIVO:

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

NOMBRE DEL CURSO:

INGENIERÍA DE CONTROL I

TRABAJO DEL CURSO

TEMAS Y SUBTEMAS DEL CURSO QUE SE CUBREN CON ESTE TRABAJO:

TEMA 4: ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADOS. 4.1INTRODUCCIÓN.

4.2CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD. 4.3DISEÑO DE SISTEMAS DE TIPO REGULADOR MEDIANTE LA UBICACIÓN DE POLOS.

4.4 DISEÑO DE OBSERVADORES DE ESTADO. 4.5 DISEÑOS DE SISTEMAS DE SEGUIMIENTO.

NÚMERO DE CADA EJERCICIO ASIGNADO:

INVESTIGACIÓN

ALUMNOS PARTICIPANTES

071283 DIAZ LOPEZ JORGE LUIS

090068 GOMEZ GONGORA SERGIO JESUS

00000 YANCARLOS SILVA MORENO

00000 JOSE LOPEZ AYALA

PROFESOR: DR. RAMÓN GARCÍA HERNÁNDEZ

Fecha de Entrega: 2013-12-04

“La voluntad de dios nunca te llevara donde la gracia de dios no te proteja”


OBJETIVO Con el presente documento se pretende que el alumno realice su actividad de aprendizaje siguiendo los procedimientos y lineamientos descritos en la guía y propiciar el trabajo de investigación por parte del mismo.

4.1 INTRODUCCION

Un sistema moderno complejo posee muchas entradas y muchas salidas que se relacionan entre sí en una forma complicada. Para analizar un sistema de este tipo, es esencial reducir la complejidad de las expresiones matemáticas, además de recurrir a una computadora que realice gran parte de los tediosos cálculos necesarios en el análisis. El enfoque en el espacio de estados para los análisis de sistemas es el más conveniente desde este punto de vista. En tanto que la teoría de control convencional se basa en la relación entrada-salida, o función de transferencia, la teoría de control moderna se basa en la descripción de Las ecuaciones de un sistema en términos de N ecuaciones diferenciales de primer orden, que se combinan en una ecuación diferencial matricial de primer orden. El uso de la notación matricial simplifica enormemente la representación matemática de los sistemas de ecuaciones. El incremento en la cantidad de variables de estado, de entradas o de salidas no aumenta la complejidad de las ecuaciones. De hecho, el análisis

De los sistemas complicados con entradas y salidas múltiples se realiza mediante procedimientos sólo ligeramente más complicados que los requeridos para el análisis de sistemas de ecuaciones diferenciales escalares de primer orden. Control clásico

El modelado y control de sistemas basado en la transformada de Laplace, es un enfoque muy sencillo y de fácil aplicación (figura1). Permite analizar sistemas utilizando una serie de reglas algebraicas en lugar de trabajar con ecuaciones diferenciales. En este enfoque tiene más valor la simplicidad que la exactitud.

Figura1. Control clásico


Sin embargo, la descripción de sistemas mediante la función de transferencia tiene las siguientes limitaciones: • No proporciona información sobre la estructura física del sistema. • Solo es válida para sistemas lineales con una entrada y una salida e invariantes en el tiempo. • No proporciona información de lo que pasa dentro del sistema. • Se necesita que las condiciones iniciales del sistema sean nulas. Ningún sistema dinámico de interés cumple con estos requisitos, es decir: Los sistemas reales presentan no linealidades, pueden tener más de una entrada o salida, sus parámetros cambian en el tiempo y sus condiciones iniciales no siempre tienen un valor de cero.

Sistema, se entenderá como una relación entre entradas y salidas.

Un Sistema es determinista, si a cada entrada le corresponde una y solo una salida.

Sistema Monovariable. Es aquel que solo tiene una entrada y una salida. Si el sistema tiene más de una entrada o más de una salida se llamará multivariable.

Sistema causal o no anticipatorio. Es aquel que su salida para cierto tiempo t1, no depende de entradas aplicadas después de t1. Obsérvese que la definición implica que un sistema no causal es capaz de predecir entradas futuras, por lo tanto la causalidad es una

propiedad intrínseca de cualquier sistema físico.

Sistema dinámico. Es aquel cuya salida presente depende de entradas pasadas y presentes. Si el valor de la salida en t1 depende solamente de la entrada aplicada en t1, el sistema se conoce como estático o sin memoria.

4.2 CONTROLABILIDAD Y

OBSERVABILIDAD

En este tema se introducen los conceptos de controlabilidad y observabilidad. Estos conceptos describen la interacción entre el mundo externo (entradas y salidas) y las variables internas del sistema (estados). La controlabilidad es la propiedad que indica si el comportamiento de un sistema puede ser controlado por medio de sus entradas, mientras que la observabilidad es la propiedad que indica si el comportamiento interno del sistema puede detectarse en sus salidas.

Introducción

En una representación por variable de estados de un sistema lineal, con matrices A, B, C y D, que son las matrices A y C describen todo el comportamiento no-forzado del sistema (o el comportamiento a entrada-cero), mientras que la matriz B caracteriza el efecto de la entrada (o el control) sobre la dinámica del sistema.


La matriz D representa la transmisión directa de la entrada a la salida. Los conceptos de controlabilidad y observabilidad fueron introducidos por Kalman en el año 1960. Ellas afrontan respectivamente la relación que existe entre la entrada y el estado (la controlabilidad), y entre el estado y la salida (la observabilidad). En este tema, cada vez que hagamos referencia a la entrada u(t) del sistema, supondremos que esa entrada es de acción de control, y no de una entrada que sea una perturbación al sistema (la entrada u(t) es siempre una variable que podemos "manejar" de alguna manera). La controlabilidad de un sistema responde a la siguiente pregunta: ¿Existe siempre una entrada de control u(t) la cual puede transferir el sistema desde el estado inicial x0 a cualquier otro estado x1 deseado en un tiempo finito? Mientras que la observabilidad responde a la pregunta: ¿El estado inicial x0 del que parte un sistema, puede siempre identificarse mediante la observación de la salida y(t) y de la entrada u(t) sobre un tiempo finito t? Estas características del sistema pueden ser contestadas mediante las propiedades de las matrices A, B, C y D. Ya que las matrices A y B tienen que ver con la relación entre entrada y estado, a este par de matrices se las conoce como el par de controlabilidad. En cambio, como las matrices A y C involucran el estado con

la salida, a estas dos matrices se las conoce como el par de observabilidad.

Controlabilidad y observabilidad.

Se dice que un sistema es controlable en el Tiempo si se puede llevar de cualquier estado inicial a cualquier otro estado, mediante un vector de control sin restricciones, en un intervalo de tiempo finito. Se dice que un sistema es observable en el tiempo si, con el sistema en el estado , es posible determinar este estado a partir de la observación de la salida durante un intervalo de tiempo finito.

Controlabilidad

Considere el sistema lineal continuo en el tiempo representado por:

t ≥ t0, x(t0)= x0 [Ec. 1] Donde A, B, C y D son funciones continuas del tiempo. Supongamos que para alguna entrada u(t), t Î [t0,t1], y para el estado inicial x0, el estado al tiempo t1 es x1. Decimos entonces que la entrada u transfiere el sistema desde el estado x0 (en el tiempo t0) al estado x1 (al tiempo t1).

Veamos ahora entonces las definiciones de controlabilidad.


Definición I: Estado controlable El estado inicial x0 del sistema descripto por las ecuaciones [1] se dice que es controlable sobre el intervalo [t0, t1] donde t1 es un tiempo finito, si existe alguna entrada u sobre[t0, t1] el cual transfiere el sistema desde el estado x0 (al tiempo t0) al origen del espacio de estado al tiempo t1. De otra manera se dice que el estado x0 es incontrolable sobre [t0, t1]. Notar que en la definición utilizamos como estado

de arribo al origen del espacio de estado x = 0

pero esto se cumple, si y solo si, el estado final

fuera cualquier otro estado x1 (por tratarse de

sistemas lineales).

Notar además que en la definición pedimos que al

menos exista una u(t), pero esta u(t) no

necesariamente tiene que ser única (puede haber

más de una u(t) que nos lleve el sistema desde x0 a

0).

Definición II: Sistema completamente controlable Si todo estado x(t0) del sistema es controlable sobre [t0, t1], el sistema se dice que es completamente controlable sobre [t0, t1]. Ejemplo: Considere el sistema descripto por las ecuaciones [1], donde A, B, C y D son las matrices constantes:

, , D = 0

Como podemos observar, podemos escribir la ecuación de cada uno de los estados, que será:

y la ecuación de la salida:

y suponiendo que el estado inicial fuese x1(t0) = x10, y x2(t0) = x20, podemos graficar el diagrama de simulación de dicho sistema como muestra la siguiente figura 2:

Figura 2. Diagrama de simulación

Observabilidad

Considere el sistema lineal continuo en el tiempo representado por:

t ≥ t0, x(t0) = x0 [Ec. 1] Donde A, B, C y D son funciones continuas del tiempo.

t ≥ t0

El concepto de observabilidad está relacionado con el siguiente problema: dado el sistema (1) y sus entradas u(t) y sus salidas y(t) sobre un intervalo finito de tiempo [t0, t1], calcular el estado inicial x0. Formalmente demos ahora las definiciones:


Definición I: estado observable El estado inicial x0 ≠ 0 del sistema descripto por las ecuaciones (1) se dice que es observable sobre el intervalo [t0, t1] donde t1 es un tiempo finito, si el conocimiento de la entrada u(t) y de la salida y(t) sobre [t0, t1] son suficientes para determinar x0. De otra manera se dice que el estado x0 es inobservable sobre [t0, t1].

Definición II: Sistema completamente observable Si todo estado x(t0) del sistema es observable sobre [t0, t1], el sistema se dice que es completamente observable sobre [t0, t1]. Ya que la respuesta de estado cero (los términos que contienen u en (2)) pueden ser calculados directamente, el problema de la observabilidad del sistema puede ser resuelto considerando que la u=0. Esto es, el problema se hace: dado un sistema (1) y sus respuesta a entrada cero C(t).F(t,t0).x0 sobre el intervalo finito [t0, t1], encontrar el estado inicial x0. Esto inmediatamente implica que solo las matrices A y C en el sistema representado por (1) están involucradas en la caracterización de la observabilidad del sistema. Ejemplo: Considere el sistema descripto por las ecuaciones [1], donde A, B, C y D son las matrices constantes:

, , D = 0

Entonces tenemos:

,

, y la ecuación de la salida:

De todo este conjunto de ecuaciones notamos que y depende solamente de x1, y que el mismo es completamente independiente de x2. Esto es, el conocimiento de u(t) e y(t) sobre un intervalo finito [0, t1] es suficiente para determinar x10 pero no x20. Usando la definición concluimos que en este sistema solo los estados del tipo [x10, 0]T son observables. Entonces por definición II, este sistema no es completamente observable. La figura 3 muestra un diagrama de simulación de este sistema, haciendo notar que el bloque de la dinámica de la segunda componente no se encuentra conectado a la salida:

Figura 3. Diagrama de simulación


4.3 diseño de sistemas del tipo

regulador mediante la

ubicación de polos

Introducción Para diseñar un regulador por ubicación de polos, se debe conocer las relaciones entre las principales características de la respuesta en el tiempo del sistema de lazo cerrado:

sobre impulso

tiempo de subida

tiempo de estabilización

error de estado estacionario Los diferentes tipos de reguladores y compensadores

La diferencia entre un regulador y un compensador está sobre todo en la función de ese elemento durante el diseño.

Las diferentes funciones incluyen modificar o corregir el comportamiento estático o dinámico del sistema.

Compensadores y reguladores Un compensador es un elemento seleccionado con el objetivo de corregir el comportamiento dinámico de lazo cerrado. Un regulador es un elemento cuyo comportamiento de transmisión se ha seleccionado con miras a influenciar tanto el comportamiento dinámico como el comportamiento estático de lazo cerrado.

Métodos para la ubicación de polos

Realimentación de estado

Con estados medidos directamente

Con estimador de estados Diseño en el lugar de las raíces

La planta está descrita por medio de variables de estado:

Diseño con realimentación de estado

Se escoge la ubicación de los polos de acuerdo a las especificaciones o eventualmente de manera totalmente arbitraria.

Se escoge un método para el

cálculo de la matriz K, ya sea el método de sustitución e igualación de constantes del polinomio característico o un método sistemático como el de Ackerman.

Si se deben de estimar los

estados se debe recurrir a un observador de estados, en ocasiones a un filtro de Kalman, el cual elimina los efectos del ruido en el sistema.


Figura 4. Retroalimentación con simulación del estado

Diseño en el lugar de las raíces

Parte de que el sistema puede ser considerado o aproximado a uno de segundo orden

El objetivo es que los polos

dominantes de lazo cerrado del sistema compensado se ubiquen en el área escogida

Se agrega una combinación de

polos, ceros y ganancia para deformar adecuadamente el lugar de las raíces y fijar así los polos.

Ubicación de los polos de un sistema prototipo de orden 2 y la respuesta temporal

Se parte de que el sistema posee en lazo cerrado un comportamiento aproximado al de un sistema de segundo orden.

La aproximación es buena cuando el sistema en lazo

cerrado posee un par de polos dominantes

Figura 5. Ubicación de los polos del sistema de segundo orden en el plano

s Resumen

El método del lugar de

las raíces parte de que el sistema es o puede ser aproximado a uno de segundo orden y puede existir interacciones entre compensadores

El método de

realimentación de estados es directo, sirve para sistemas de orden n; pero, requiere que los estados puedan ser medibles u observables y controlables

Ambos procedimientos deben tomar en cuenta que el modelo es inexacto y que las especificaciones no pueden ser tampoco exactas y recurrir a la iteración


4.4 diseño de observadores de

estado

Introducción Hemos visto que para hacer una asignación completa de los autos valores de lazo cerrado, es necesario realimentar todos los estados del sistema. Sin embargo, es común que algunos estados no sean accesibles o que su medida no sea económicamente viable. Una alternativa para estos casos es obtener una estimación de los estados no medibles a través de un observador de estados. Un observador de estados es un sistema dinámico cuyos estados convergen a los del sistema Observado. Dependiendo del número de estados observados, el observador es de orden completo o reducido. Luego puede implementarse un control con asignación de auto valores de lazo cerrado Por realimentación de los estados observados Fig. 6.

Figura 6. Retroalimentación de estados observados.

Observador De Orden Completo Consideremos que se desea estimar los estados x de un sistema lineal

Siendo las matrices A, B y C son conocidas. Se propone la siguiente estructura genérica para el observador

Donde las matrices Ao y L deben ser diseñadas para cumplir el objetivo de forzar la convergencia de los estados del observador a los del sistema (1). Por otra parte, z es una señal a determinar, Si bien aún no es conocida es razonable pensar que dependa de la excitación u del sistema a observar. La dinámica del error definido por la diferencia entre los estados del sistema y los estados del observador resulta de la diferencia entre las ecuaciones

Para asegurar que el error e = x-´x converja a cero, más allá de la excitación u del sistema, de su salida y y del valor inicial del error e(0), la ecuación debería poder reducirse a: e_ = A~e


Luego el diseño del observador se reduce a encontrar una matriz L que asigne sus autos valores en:

1. el semiplano izquierdo, lo cual asegura la estabilidad del observador,

2. y a la izquierda de los autovalores del sistema para asegurar que la dinámica del error e_ = Aoe sea más rápida que la del sistema. >Porque? La Fig. 7 muestra un diagrama en bloques del conjunto sistema-observador. Para obtener la Fig. 8 se han realizado transformaciones elementales, obteniéndose así, el diagrama en bloques que puede encontrarse en muchos libros de texto (cuya interpretación física resulta inmediata).

Figura 7. Observador de orden completo

Figura 8. Observador de orden completo

Principio de Separación En esta sección se verá que los autovalores del observador y del sistema a lazo cerrado pueden diseñarse independientemente. Sorprendente! Lo anterior es estrictamente cierto si: - no hay perturbaciones ni ruidos de observación. En el caso en que las perturbaciones y ruidos sean blancos continua siendo válido (teorema de separación). - el modelo del sistema no presenta errores. Cuando el error de modelado no resulta despreciable, puede realizarse un diseño que no afecte considerablemente el control (robustez).

4.5 DISEÑO DE SISTEMAS DE SEGUIMIENTO

En esta sección analizaremos el enfoque de ubicación de polos para el diseño de sistemas de seguimiento de tipo 1. Aquí limitaremos cada uno de nuestros sistemas a que tenga una señal de control escalar u y una salida escalar y. A continuación, analizaremos el problema de diseñar un sistema de seguimiento de tipo 1 cuando la planta contiene un integrador. Después, analizaremos el diseño de los sistemas de seguimiento


de tipo 1 cuando la planta no tiene integrador.

Sistema de seguimiento de tipo 1 cuando la planta tiene un integrador. Suponga que la planta se define mediante: (12-89) (12-90) En donde x = vector de estado para la planta (vector de dimensión n)

Como se planteó antes, suponemos que la señal de control y la señal de salida son escalares. Mediante una elección adecuada de un conjunto de variables de estado, es posible seleccionar la salida igual a una de las variables de estado.

Figura 9. Sistema de seguimiento de tipo 1 Cuando la planta tiene un integrador

La figura 9 muestra una configuración general del sistema de seguimiento de tipo 1 cuando la planta tiene un integrador. Aquí suponemos que y = XI. En el análisis actual, suponemos que la entrada de referencia r es una función escalón. En este sistema usamos el esquema de control mediante la realimentación del estado siguiente:

[

]

(12-91) En donde Suponga que la entrada de referencia (la función escalón) se aplica a t = 0. Así, para t > 0, la dinámica del sistema se describe mediante las ecuaciones (12-89) y (12-91), o

(12-92) Diseñaremos el sistema de seguimiento de tipo 1 de modo que los polos en lazo cerrado se ubiquen en las posiciones deseadas. El sistema diseñado será un sistema asintóticamente estable y tenderá a un valor constante tenderá a cero. ( Observe que, en el estado estable, tenemos que


(12-93) Considerando que es una entrada escalón, tenemos (constante) para t > 0. Restando la ecuación (12-93) de la ecuación (12-92), obtenemos

(12-94) La ecuación (12-94) se convierte en (12-95) La ecuación (12-95) describe la dinámica del error. El diseño del sistema de seguimiento de tipo 1 se convierte aquí en el diseño de un sistema regulador asintóticamente estable tal que tienda a cero, dada cualquier condición inicial . Si el sistema definido mediante la ecuación (12-89) es de estado completamente controlable, entonces, especificando los valores característicos deseados para la matriz , la matriz se determina mediante la técnica de ubicación de polos Los valores en estado estable de se encuentran del modo siguiente: en estado estable , a partir de la ecuación (12-92), tenemos que,

Asimismo, se obtiene como

Diseño de un sistema de seguimiento de tipo 1 cuando la planta no tiene integrador. Si la planta no tiene integrador (planta de tipo 0), el principio básico del diseño de un sistema de seguimiento de tipo 1 es insertar un integrador en la trayectoria directa entre el comparador de error y la planta, como se aprecia en la figura 10. (El diagrama de bloques de la figura 12-14 es una forma básica del sistema de seguimiento de tipo 1 en donde la planta no tiene integrador.) A partir del diagrama obtenemos. (12-105)

(12-106)

(12-107)

(12-108)

En donde x = vector de estado de la planta (vector de dimensión n)

Figura 10. Sistema de seguimiento de tipo 1


Bibliografía [1]Kuo, Benjamin. „Sistemas de Control Automático“,Pearson, Prentice-Hall, 1996, 7ª edición, México [2]Ogata, Katsuhiko. „Ingeniería de Control Moderna“, Pearson, Prentice Hall, 2003, 4ª Ed., Madrid. [3]Dorf, Richard, Bishop Robert. „Sistemas de control moderno“, 10ª Ed., Prentice Hall, 2005, España.

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