Ingenieria de La Calidad Unsa

8/17/2019 Ingenieria de La Calidad Unsa

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Ingeniería de Sistemas Aplicaciones Ingeniería de la Calidad

Sistemas de Calidad istemas de Calidad

Condición Orden x0 x1 x2 x3 y

1 5 1 +1 +1 +1 y12 1 1 +1 +1 -1 y23 3 1 +1 -1 +1 y34 8 1 +1 -1 -1 y45 7 1 –1 +1 +1 y5 2 1 –1 +1 -1 y7 1 –1 -1 +1 y78 2 1 -1 -1 -1 y8

I!"#!I#$%A 'A CA'I&A&I!"#!I#$%A 'A CA'I&A&

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Índice

$elaci*n Seal – $,ido3.ipos de relaci*n seal – r,ido3

$elaci*n s/r para Menor es Mejor 03$elaci*n s/r para Mayor es Mejor 04$elaci*n s/r para Nominal es Mejor 04

#perimentaci*n5&iseo de eperimentosAn)lisis de ariana8

An)lisis nidimensional08An)lisis idimensional013

#perimentos 6actoriales1#perimentos actoriales cl)sicos17

An)lisis de $egresi*n017

Coariana de los par)metros estimados029Codiicaci*n de datos021Simpliicaci*n de C)lc,los021Signiicancia de la $egresi*n023

&iseos de (rimer :rden25&iseos 2; 025C,rat,ra02$ed,ndancia02<#ecto de las interacciones de orden s,perior033&iseos 6raccionados =2; – p>033

&iseos de Seg,ndo :rden37

(ropiedades estadísticas relatias a la precisi*n038&iseos 3; 03<&iseo Comp,esto Central41(ropiedades #stadísticas de los &iseos Comp,estos Centrales44#strategias de :ptimiaci*n44Inormaci*n rindada por los #perimentos45?@todos de optimiaci*n eperimental45sos entaBas y &esentaBas de cada ?@todo47

&iseos de #perimentos para el &iseo de (ar)metros47

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Introducción

Relación Señal – Ruido

#l diseo de par)metros eamina la interacci*n entre los actores de control y los

actores de r,ido #sto se ace para encontrar los nieles de los par)metros para los D,e sec,mplen las sig,ientes condiciones0

1 'a característica de calidad es estaEle

2 #l costo de operaci*n es mínimo #sto implica D,e se ,tiliar)n componentes ymateriales Earatos y no se intentar) corregir o controlar las condicionesamEientales

'a orma de eal,ar el aporte de los actores de r,ido a la ariaEilidad de laresp,esta es a tra@s de la relación señal – ruido #ste es ,n estadístico D,e mide laariaEilidad del eperimento como proporci*n de la magnit,d de la media 'aorma de calc,lar la relaci*n depende del tipo de especiicaci*n de la característicade calidad $ecordemos D,e a ,na característica de calidad podía reD,erírsele ser menor D,e ,n cierto límite = y ≤ 'S#> o ser mayor D,e ,n límite = y ≥ 'I#> o Eienestar comprendida en ,n interalo ='I# ≤ y ≤ 'S#> #stos tres casos adec,ados alenoD,e Bapon@s de meBora contin,a = una continua reducción de lavariabilidad ...> se conocen como0

1 ?enor es meBor0 ya D,e no nos conormaremos con D,e y ≤ 'S# sino D,e proc,raremos la contin,a red,cci*n de s, alor así como de la ariaEilidad

2 ?ayor es meBor0 de la misma manera se proc,ra incrementar permanentementeel alor de y por encima de 'I# dismin,yendo a la e s, ariaEilidad

3 !ominal es meBor0 D,e implica enc,adrar la característica de calidad en elinteralo de especiicaci*n y tratar de D,e s,s alores se acerD,en todo lo

posiEle al nominal como tamEi@n D,e la cantidad de prod,ctos desiados seacada e menor

Tipos de relación señal – ruido

Relación s/r para Menor es Mejor :

⋅−= ∑=

n

j jdb y

n 1

21log19η (4.1)

donde las y j son las oEseraciones oEtenidas para n corridas eperimentales enig,ales condiciones de los actores de control

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Relación s/r para Mayor es Mejor :

⋅−= ∑

=

n

j j

db yn 1

2

11log19η (4.2)

Relación s/r para Nominal es Mejor :.ag,ci deine preiamente la sensibilidad del actor como0

2

1

1

= ∑

=

n

j jm y

nSC =43>

o tamEi@n0

⋅= ∑

=

2

1

1log19

n

j jmdb y

nSC =44>

siendo como de cost,mEre s2 la ariana m,estral para las n corridas en ig,alescondiciones ig,al a0

( )2

1

2

1

1 ∑=

−−

=n

j j y y

n s =45>

se deine0

−

=

−=

∑=

2

2

2

1

2

2

1

11

s

s yn

n s

sSC

n

n

j j

mη =4>

y inalmente0

−⋅=

2

21

log19 s

sSC

n

mη =47>

#sta *rm,la tiene mayor signiicado c,ando la característica y no p,ede tomar alores negatios #n caso contrario se s,ele ,tiliar0

2log19 s⋅=η =48>

Experimentación

Femos est,diado la manera de proEar ip*tesis D,e inol,craEan la comparaci*nde dos poElaciones 'as ip*tesis típicas de ese proElema son0

F9 0µ1 – µ2 G δ

H,e se res,ele por medio de ,na pr,eEa Z o t de St,dent

H 0 : σ – σ ! " δ

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H,e se res,ele con ,na pr,eEa # de Snedecor

#n amEos casos se trataEa de proElemas D,e implicaEan maneBar m,estras de dos poElaciones o sea dos ariaEles aleatorias y e y! 'a idea central es determinar si los datos

de tales m,estras diieren porD,e las ariaEles aleatorias se comportan de manera dierenteo simplemente por aar o error eperimental

#n los casos mencionados se s,pone D,e la actiidad del sistema est) siendooEserada medida y registrada sin inl,ir demasiado en ella C,ando es posiEle modiicar a ol,ntad los alores de los estím,los del sistema se dice D,e es posiEle e$%erimentar con@l 'a posiEilidad de eperimentar permite oEtener m,ca inormaci*n til y arriEar ainteresantes concl,siones soEre el comportamiento del sistema incl,yendo algn modeloempírico capa de predecir los estados ,t,ros del sistema ante ciertos estím,los

'a eperimentaci*n p,ede realiarse soEre el mismo sistema o soEre ,n modelo D,e

no es m)s D,e otro sistema D,e se comporta de la misma manera D,e el D,e se deseaest,diar #n la ind,stria se ,tilian modelos a escala de los procesos realiados conmaterial de laEoratorio o con eD,ipos especialmente constr,idos llamados %lantas %iloto(ara otros tipos de proElemas se p,eden ,tiliar otros tipos de modelos como maD,etas =enarD,itect,ra> modelos de sim,laci*n en comp,tadoras =para sistemas administratiosecon*micos ísicos etc> y ,na gran gama de otros tipos de modelos

#n c,alD,ier caso a escala real planta piloto sim,laci*n etc 'a eperimentaci*ntiene ,n costo #ste costo ser) dierente segn el tipo de sistema (ara tener ,na ideaaproimada eamos alg,nos eBemplos0

1 (roceso de ,na )Erica0 #perimentar con ,n proceso aEril implicaríamodiicar los alores de los estím,los del sistema sac)ndolo de s,s condicionesnormales de operaci*n #so signiica D,e el res,ltado inal p,ede ser meBor o

peor e incl,so p,ede llegar a arr,inarse materia prima o tener D,e descartar cantidades importantes de prod,cto ,era de especiicaci*n #l riesgo de D,eesto oc,rra deEe eal,arse como ,n costo

2 #perimento en planta piloto0 $eD,iere de inersiones en el diseo yconstr,cci*n de los eD,ipos a escala &eEe disponerse de espacio ísico para s,instalaci*n materias primas y materiales para s, operaci*n como tamEi@n de

personal dedicado a la eperimentaci*n3 #perimento de sim,laci*n en comp,tadora0 .amEi@n reD,iere de inersiones

en desarrollo y pr,eEa del modelo =,ndamentalmente tiempo de losespecialistas compra de sotJare especialiado y eD,ipamiento> y en s,operaci*n

(or todo lo dico al momento de decidir eperimentar se intentar) maimiar larelaci*n costo – Eeneicio tratando de oEtener los meBores res,ltados con el menor costo

Diseño de experimentos

'a manera de maimiar los Eeneicios de la eperimentaci*n a la e D,e seaseg,ra el grado de alide de los res,ltados oEtenidos es el &iseño de '$%erimentos #sta

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tarea consiste en seleccionar c,idadosamente las condiciones en D,e se llear) a caEo eleperimento de manera de mantener EaBo control la ariana tratando de minimiarla sinD,e los costos crecan demasiado

#l procedimiento para disear eperimentos tiene D,e er con comparar la

actiidad del sistema corriendo en condiciones dierentes para l,ego comparar como esasdierentes condiciones aectan a la resp,esta del sistema &eEe aEer ,na manera de medir los errores D,e aectan a la comparaci*n &eEe proeerse c,ando esto sea posiEle ,namanera de red,cir el error a in de D,e la comparaci*n sea m)s signiicatia

Así generalmente se comiena proponiendo ,n modelo de comportamiento delsistema D,e tenga en c,enta las raones por las D,e se prod,cen alores dierentes de laresp,esta cada e D,e se corre el eperimento =o transc,rre nat,ralmente la actiidad delsistema> #stos modelos son del tipo0

y " ()*+ , ε =4

donde0 y es la resp,esta considerada =entre arias de ,n sistema>Kε es el error eperimentalK

* representa al ector de ariaEles independientes = $ - $! - ... -$n> D,e se toman enc,enta para eplicar el comportamiento de y =p,eden ser todas las entradas conocidas delsistema o Eien solo aD,ellas D,e se consideran con m)s proEaEilidad de ser responsaEles dela ariaci*n de y .amEi@n p,eden ser entradas D,e se saEe an a camEiar y se D,iereconocer c,al ser) el eecto de tal camEio en la resp,esta del sistemaK

( es la ,nci*n D,e se propone como modelo de comportamiento del sistema

(,ede plantearse ,n modelo m)s real incorporando a,nD,e sea simE*licamentetodas las entradas del sistema =y no solo las conocidas> clasiicando por ,n lado las D,e seincorporar)n al modelo de comportamiento del sistema y por otro las D,e se incorporar)nal modelo del error0

y " ()* + , ε )* ! + =419>

donde0 y es n,eamente la resp,esta del sistemaK * es al ig,al D,e * en el modelo anterior el ector de ariaEles independientes = $ -

$! - ... -$n> D,e se toman en c,enta para eplicar el comportamiento de y ( tiene id@ntico signiicado D,e en =4K * ! es el ector de ariaEles independientes = $n, - $ n,! - ... -$ n,m> D,e son responsaEles

del error de predicci*n del modelo = ()* + >Kε es el error eperimental epresado como ,nci*n de las * !

Con ,n modelo de este tipo se p,ede tratar de encontrar ca,sas asignaEles deariaci*n lo D,e eD,ialdría a identiicar alg,nas de las componentes de * !

',ego de elegido el modelo el diseador del eperimento seleccionar) los nielesadec,ados de las ariaEles independientes con los D,e realiar) cada pr,eEa #stas pr,eEasse denominan corridas e$%erimentales y consisten en acer ,ncionar el sistema en lascondiciones seleccionadas oEserando y registrando la resp,esta de inter@s

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A in de mantener el error controlado se s,elen repetir arias eces las corridas EaBoid@nticas condiciones lo D,e se conoce como r/%licas o corridas re%licadas #sto permitemedir el error eperimental para l,ego eliminarlo de la comparaci*n entre corridas endierentes condiciones como tamEi@n comparar las diergencias D,e se aprecian entre

resp,estas de corridas distintas con el error eperimental permitiendo saEer si talesdiergencias res,ltan o no signiicatias

(or ltimo se s,ele estaElecer ,na estrategia de aleatoriaci*n D,e aseg,re D,e lascomponentes conocidas pero no eliminaEles del error se meclen de manera ,niorme entodas las corridas eitando D,e se s,perpongan en alg,nas prod,ciendo ,n sesgo ecesio#sto llea a D,e las corridas se realicen en bloues #stos EloD,es aseg,ran ig,alescondiciones a ,n gr,po de corridas ',ego los EloD,es se componen para eliminar lasdesiaciones #sto oc,rre c,ando no se p,eden aseg,rar condiciones id@nticas para todaslas corridas como oc,rre por eBemplo c,ando deEen realiarse 1 corridas de ,n proceso

pero no es posiEle prepara materia prima para todas ellas de ,na e #n ese caso se

preparar) materia prima para EloD,es de 8 corridas y deEe seleccionarse c,idadosamenteD,@ corridas deEen ir en cada EloD,e

#l eperimento ser) entonces diagramado de manera D,e se p,eda conocer lamagnit,d de la ariaci*n no asignaEle y la magnit,d de la ariaci*n D,e p,ede ser asignadaa las ,entes consideradas

(ara determinar la ariaci*n asignaEle a la ariaci*n de las ariaEles independientesconsideradas se realiar)n corridas a dierentes nieles #n la terminología del diseo deeperimentos s,ele designarse a cada niel de ,na ariaEle independiente comotratamiento y a la ariaci*n deEida al camEio de niel como variación entre tratamientos

(ara determinar la ariaci*n no asignaEle se realiar)n r@plicas en id@nticascondiciones #sto en la terminología del diseo eperimental se conoce como variacióndentro del tratamiento

.amEi@n si el eperimento se reali* en EloD,es eistir) ,na variación entrebloues D,e deEe c,antiicarse

.odo este procedimiento de an)lisis de ,entes de ariaci*n se conoce comoAn1lisis de la 2arian3a y a proporcionado la Ease para el desarrollo de n,merosos diseos

eperimentales #n lo s,cesio nos reeriremos a aD,ellos diseos de m)s ,tilidad en el)mEito de la ind,stria y en partic,lar en el meBoramiento de la calidad #n partic,lar eremos los '$%erimentos #actoriales y alg,nos aspectos generales del An)lisis deariana D,e tienen aplicaci*n dentro de ese conteto

Análisis de Varianza

#l an)lisis de ariana como t@cnica para el diseo y an)lisis de eperimentos en laind,stria res,lta generalmente m)s adec,ado para eal,ar ariaEles independientes de tipoc,alitatio C,ando los actores son en s, mayoría ariaEles c,antitatias se preieren losdiseos de eperimentos actoriales

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Análisis Unidiensional:

C,ando se desea inestigar como inl,ye ,na ariaEle de entrada = x > en ,naresp,esta = y> de ,n sistema se p,ede disear ,n eperimento (ara esto siempre D,e sea

posiEle se registran m,estras de esa resp,esta para distintos alores de la ariaEle deentrada o estím,lo Cada alor del estím,lo es ,n nivel del mismo y se denomina como x i (i=1, 2, ... ,n) 'os alores de la resp,esta D,e se registren para $i se denominar)n yij ( j=1,2, ... ,mi ) donde el s,Eíndice j indica el res,ltado del j4/simo eperimento realiado con laariaEle de entrada al niel i 'as oEseraciones de yij constit,ir)n m,estras aleatorias paracada niel i D,e segn sea la cantidad de r@plicas D,e se realicen del eperimento a cadaniel tendr)n tamaos mi no necesariamente ig,ales s,almente los nieles x i est)nig,almente espaciados para acilitar el an)lisis

'a inormaci*n se s,ele res,mir en ,na taEla como la sig,iente0

&isposici*n #perimental nidimensional

x 1 x 2 x i

x n

y y! y j yn!

yi yi! yi-j yi-n

y2,mn

5

5

5

yn,mn

y1,mn // 5 yi,mn

T 1 T 2 T i T n

.aEla 410 &isposici*n de datos para ,n diseo de eperimento ,nidimensional

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#n la taEla anterior la ltima ila contiene la s,ma total de alores oEtenidos paratodas las corridas realiadas a cada niel de la ariaEle independiente #sto es0

∑==im

jiji y6 1 =411>

Con el oEBeto de determinar el aporte a la ariaEilidad total de y deEido a cada nielo cada tratamiento se deEen calc,lar las medias m,estrales de cada niel y compararsel,ego entre sí y contra la media de todos los alores oEtenidos

∑=

==im

j i

iij

ii

m

6 y

m y

1

1=412>

∑ ∑= =

==n

i

m

jij

m

6 y

m y

i

1 1

1=413>

donde m y 6 son0

∑=

=n

iimm

1

=414>

∑=

=n

ii6 6

1

=415>

'a ariana total de la ariaEle aleatoria 7 estar) dada por0

( )

1

>=

1>=

1 1

2

2

−=

=−

−

==∑∑= =

m

7 SC

m

y y

s7 2

n

i

m

jij

i

=41>

SC)7+ se denomina s,ma de c,adrados de 7 y p,ede descomponerse de la sig,ientemanera0

( )

( ) ( )[ ]

( ) ( )∑∑ ∑∑

∑∑

∑∑

= = = =

= =

= =

−+−=

−+−=

−=

n

i

m

j

n

i

m

jiiij

n

i

m

jiiij

n

i

m

jij

i i

i

i

y y y y

y y y y

y y7 SC

1 1 1 1

2---

2-

1 1

2----

1 1

2-->=

=417>

como p,ede demostrarse teniendo en c,enta D,e0

( )9

=⋅+⋅−⋅−⋅==−⋅−−⋅=−⋅−

y y y y y y y y y y y y y y y y y y

ijiiiji

iijiijiiiij

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Analiando la =417> se oEsera D,e0

( ) ( )

6 '

n

i

m

j

n

i

m

jiiij

SC SC

y y y y7 SC i i

+=

=−+−= ∑ ∑ ∑ ∑= = = =1 1 1 1

2

2>=

=418>

o de otra manera0

( )

( )

∑ ∑

∑ ∑

∑∑ ∑

= =

= =

== =

−=

−=−=

−=−=

n

i

m

j

ij

6

n

i

m

jiij '

n

i i

n

i

m

ji6

i

i

ii

m

6 y7 SC

SC 7 SC y ySC

m

6

m

6 y ySC

1 1

22

1 1

2

2

1

2

1 1

2

>=

>= =41

donde SC ' se conoce como suma de cuadrados %ara el error y mide lasariaciones de la resp,esta dentro de ,n mismo niel de la ariaEle independiente o seadentro de ,n mismo tratamiento o la misma m,estra SC 6 se conoce como suma decuadrados %ara los tratamientos y mide la ariaci*n entre tratamientos o m,estrasdierentes

'as concl,siones inales se oEtienen de realiar ,na pr,eEa de ip*tesis D,ecompare la ariaEilidad total con la atriE,ida al error y la atriE,ida a la ariaci*n de nielesde la ariaEle independiente =tratamientos> #n otras palaEras es como comproEar las

sig,ientes ip*tesis0

H 0 : µ 1 = µ 2 = . . . = µ i = . . . =µ n =las medias de los distintos tratamientos sonig,ales o sea D,e no tiene eecto la modiicaci*n de alores de la ariaEle $>

H 1 : µ k ≠ µ l para al menos ,n par k ≠ l =lo D,e signiica D,e eiste al menos ,nniel de la ariaEle $ entre los ,tiliados para eperimentar capa de aectar a la resp,esta

y>

'a inormaci*n oEtenida del eperimento permite constr,ir los dos estadísticos 8i4

cuadrado D,e se indican a contin,aci*n0

liEertaddegrados1con>1=

liEertaddegradoscon>=

2

2

2

2

−−

=

−−

=

nnSC

nmnmSC

6 6

' '

σ χ

σ χ

=429>

Comparando amEos estadísticos se p,eden oEtener las mismas concl,siones sinnecesidad de conocer o estimar la ariana0

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[ ][ ]

>=

>1=

>=

>1=2

2

2

2

nmSC

nSC

nmSC

nSC

#

'

6

'

6

'

6

−−

=

=−−

=

==

σ

σ

χ

χ

=421>

D,e se distriE,ye # de Snedecor con =n – > y =m – n> grados de liEertad

Así se proceder) a recaar la ip*tesis n,la planteada m)s arriEa si al niel designiicancia α adoptado oc,rre D,e0

α AA1>=

>1=nmn

'

6 # nmSC

nSC −−>−

−=422>

#n ese caso se acepta la ip*tesis alterna H D,e implica aceptar D,e las ariacionesde la ariaEle independiente sí aectan a la resp,esta y

#l procedimiento de pr,eEa s,ele res,mirse en ,na taEla como al sig,iente0

A!O"A

#$en%e de "ariación &$a de

C$adrados

'rados de

ier%ad

C$adrado

*edio

+s%ad,s%ico F

1 #ntre .ratamientos SC 6 n 4 SC 6 / )n – +SC 6 / )n – +SC ' / )m – n+

2 &entro de .ratamientos SC ' m 4 n SC ' / )m – n+ LL

3. -o%al SC(Y) m 1 LL LL

.aEla 420 .aEla para An)lisis de ariana ,nidimensional

n eBemplo del ,so de esta t@cnica de diseo eperimental til para elmeBoramiento de calidad es el sig,iente0

#n ,na )Erica de pan se est) E,scando D,e el prod,cto res,lte siempre ig,almente

esponBoso deseando red,cir la ariaEilidad de esta característica Se saEe D,e la mismadepende de arios actores entre los D,e se destacan la (uer3a de la lead,ra =D,e es s,capacidad de prod,cir anídrido carE*nico> y del contenido de gl,ten de la arina =lo D,ele proporciona leiEilidad a la masa> SaEiendo D,e la ,era de la lead,ra es E,ena y nodese)ndose camEiar de marca por raones de costos se a decidido inestigar si el traEaBar con distintas marcas de arina tiene alg,na inl,encia Como en realidad se E,sca meBorar el prod,cto inal se decidi* no realiar ,n an)lisis de laEoratorio para determinar elcontenido de gl,ten sino eal,ar la resp,esta D,e se oEtenga l,ego del proceso deaEricaci*n (,esto D,e se trata de ,n pan de molde la resp,esta elegida es la dierencia dealt,ra de la masa dentro del molde antes y desp,@s del proceso de mad,raci*n promediada

para 29 moldes con masa elaEorada para cada arina #l proceso se repiti* en c,atro

oport,nidades oEteni@ndose los sig,ientes datos0

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?arca 1 ?arca 2 ?arca 3 ?arca 4

39 24 23 31

28 25 22 39

3 24 1< 227 25 39 28

121


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!ieles del #ac%or 2

! i 0 e l e s d e l # a c % o r

1

x 21 x 22 . . . x 2j . . . x 2m To"ales

x 11 y y! yj ym T 1 x 12 y! y!! y!j y!m T 2

x 1i yi yi! yij yim T i

x 1n y y! yj ym T n To"ales T 1 T 2 T j T m T

.aEla 430 #sD,ema eperimental para an)lisis de dos actores

#l símEolo yij deEe interpretarse como el res,ltado de ,na corrida eperimentallleada a caEo con el actor # 1 al niel i =es decir # 1 = x 1i > y el actor # 2 al niel j =es decir

# 2 = x 2j > Se oEsera D,e se eperimenta comEinando n nieles de # 1 y m nieles de # 2 Sise decide replicar las corridas cada ,na de ellas p,ede correrse ,na cantidad dierente deeces #n ese caso las yij representan los alores promedios de los res,ltados de cadacorrida en las condiciones i j

'a s,ma de c,adrados de Y estar) aora ormada por tres s,mandos0

SC)7+ " SC * , SC *! , SC '

&onde0

( ) ( ) ( )∑ ∑∑ ∑∑ ∑

∑ ∑

= == == =

= =⋅⋅

−+−+−−−=

−=

n

i

m

j j

n

i

m

ji

n

i

m

j jiij

n

i

m

jij

y y y y y y y y

y y7 SC

1 1

2

1 1

2

1 1

2

1 1

2>=>=

=423>

(,di@ndose escriEir como0

( )21

2

1

>=

>=2

1 1

2

2

1

2

2

1

2

* * '

n

i

m

jij

m

j

j *

n

i *

SC SC 7 SC SC

mn

6 y7 SC

mn

6

n

6 SC

mn

6

m

6 SC i

+−=

⋅−=

⋅−=

⋅−=

∑∑

∑

∑

= =

=

⋅

=

⋅

=424>

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'a correspondiente taEla de an)lisis de ariana Eidimensional tiene la sig,ienteorma0

A!O"A

#$en%e de

"ariación

&$a de

C$adrados

'rados de

ier%ad

C$adrados

*edios

+s%ad,s%ico F

1 &eEido a Q1 SC * n – SC * / )n – + SC * / )n – +SC ' / )n–+.) m–+

2 &eEido a Q2 SC *! m – SC *! 5 ) m – + SC *! 5 ) m – +SC ' / )n–+.) m–+

3 &eEido al #rror SC ' )n–+.) m–+ SC ' / )n–+.) m–+ LL

4. -o%al SC(Y) m.n ! 1

.aEla 440 .aEla para An)lisis de ariana Eidimensional'as ip*tesis a comproEar son aora dos pares de la misma nat,ralea D,e las

plantadas para el an)lisis ,nidimensional Se est) comproEando si ,no , otro o amEosactores inl,yen en la ariaEilidad de la resp,esta

Cada ,na de las ip*tesis n,las se recaar) si0

# * < # )n4+-)n4+)m4+-α = * si aecta a la resp,esta y>

# *! < # )m4+-)n4+)m4+-α = * ! si aecta a la resp,esta y>

#l sig,iente eBemplo il,strar) los conceptos epresados

na )Erica de partes para maD,inaria agrícola desea eal,ar si la calidad de ,na piea elaEorada por ,na etapa intermedia de s, proceso de prod,cci*n e aectada s,calidad por la m)D,ina en D,e se realia la operaci*n &icas m)D,inas son c,atro tornosde dierente marca y antigRedad Se traEaBa en tres t,rnos de 8 oras y las m)D,inas n,ncatraEaBan todas sim,lt)neamente dado D,e alg,nas de ellas est)n en reparaci*n mientras lasotras traEaBan y a D,e la demanda act,al no lo B,stiica 'os operarios D,e realian laoperaci*n de maD,inado son tres y tienen dierente aEilidad eco este D,e tamEi@n

podría aectar la calidad inal A in de determinar si realmente la calidad depende de lam)D,ina ,tiliada y/o del operario D,e la maneBa o de ning,no de amEos actores se adiseado ,n eperimento #l mismo consiste en acer traEaBar a cada operario en las

distintas m)D,inas realiando todas las comEinaciones m)D,ina – operario posiEles Comoresp,esta se comp,ta el porcentaBe de pieas deect,osa D,e arroBa cada comEinaci*n 'osres,ltados del eperimento se res,men en la taEla sig,iente0

Ma$1 Ma$2 Ma$% Ma$& T i '1 !.; 9.! !.0 9.! 10.'2 9. 9.= !.> !.? 12.* '% 9.= 9.; 9. 9.! 1%.*

T j .+ 10.% .% .2 %*.%

M 19


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c,antitatio adapt)ndose Eastante Eien para los casos en los D,e alg,no o alg,nos de losactores sean c,alitatios =siempre D,e no deEan considerarse m,cos nieles>

#isten n,merosos diseos D,e permiten realiar eperimentos actoriales S,conig,raci*n determinar) la cantidad de corridas D,e se reD,ieren para contemplar todas

las comEinaciones posiEles entre los distintos nieles de cada actor )sicamente ay dosgrandes gr,pos de diseos AD,ellos D,e permiten ,n nmero desig,al de nieles para cadaactor y los D,e reD,ieren ,n nmero pareBo de nieles a in de meBorar alg,nas

propiedades estadísticas =mínima ariana rotaEilidad etc> en detrimento del niel dedetalle en los res,ltados

(ara los diseos a nmero desig,al de nieles la cantidad de corridas reD,eridas para contemplar todas las comEinaciones de nieles y actores est) dado por0

m " l . l ! . l 9 ... l B donde las l i representan el nmero de nieles para el actor i y B es el nmero de actores considerados =estím,los>

(ara los diseos a n,mero pareBo de nieles se tiene0

m " l B donde l es el nmero de nieles D,e el diseo contempla para los B actoresen est,dio

#n el ltimo caso los diseos m)s ,tiliados son los 2; y en menor medida los 3;

&ado D,e la realiaci*n de cada corrida eperimental implica como ya semencion* ,n costo =materiales materia prima in,tiliada tiempo del personalamortiaci*n de eD,ipos elocidad en la consec,ci*n de res,ltados etc> se preieren losdiseos con menor nmero de nieles en la medida D,e los res,ltados así oEtenidos seanig,almente tiles #sto B,stiica la predilecci*n por los diseos a dos nieles y la aparici*nde los diseos actoriales raccionados como los 2;-p y 3;-p D,e eplotan an m)s lacapacidad de Erindar inormaci*n D,e proee cada grado de liEertad o cada corrida deleperimento

'os diseos de eperimentos actoriales permiten constr,ir modelos empíricos paralas ariaEles aleatorias seleccionadas como resp,estas del sistema procesando losres,ltados eperimentales por medio del an)lisis de regresi*n #stos modelos permitir)n

predecir el comportamiento de la media del proceso =de la ariaEle aleatoria D,e constit,ye

la resp,esta>#l &r .ag,ci propone modelar la ariaEilidad ,tiliando como resp,esta la

relaci*n seal – r,ido calc,lada para la resp,esta A este eecto propone ,n tratamiento partic,lar de los actores de r,ido D,e constit,yen ,n diseo adicional dentro del diseooriginal =el constit,ido por los actores de control>

Experimentos factoriales clásicos

Análisis de Reresión:

'a determinaci*n del diseo a ,tiliar para realiar ,n eperimento actorial yespecialmente la determinaci*n del nmero de nieles a considerar para cada actor

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depende del modelo D,e se desea ,tiliar para aproimarnos al comportamiento delsistema Como se io en los m*d,los anteriores los modelos de regresi*n simple =,n soloestím,lo para eplicar la resp,esta> podían ser lineales o polin*micos 'os modelos deregresi*n mltiple istos ,eron de tipo lineal0

η )$+ "β 0 , β $, β ! $!, ... , β n $n =425>

o Eien0

∑=

+=B

iii $ $

19>= β β η =42>

(x) es el erdadero alor de la resp,esta si se p,diera oEserar sin error =sería ,na,nci*n determinista> .amEi@n se diBo D,e0

y " η )$+ – ε y "β 0 , β $, β ! $!, ... , β n $n , ε =427>

ε " η )$+ – y

#n realidad los modelos de regresi*n mltiple p,eden ser polin*micos #sto es aeces reD,erido para oEtener mayor precisi*n en las predicciones D,e se realiar)n con elmodelo n modelo de seg,ndo orden tendría la orma sig,iente0

j

B

i jiij

B

i

B

iii

B

iii $ $ $ $ $ i ∑∑∑∑

>===+++= β β β β η

11

2

19>= =428>

D,e como emos incl,ye t@rminos c,adr)ticos p,ros D,e contemplan la c,rat,rade la ,nci*n =tamEi@n llamada s,pericie de resp,esta> y t@rminos c,adr)ticos mitos D,e

contemplan la interacci*n de dos actores

'as ec,aciones normales para este tipo de ,nciones se oEtienen m)s )cilmenterec,rriendo al )lgeEra matricial y ectorial Si se tiene en c,enta D,e en realidad lasec,aciones anteriores alen para cada corrida eperimental se tiene D,e para ,n conB,ntodado de alores de las $i se oEtiene ,n determinado alor de y =digamos y> (ara otroconB,nto de $i se oEtiene otro alor de y =digamos y!> Así l,ego de realiadas todas lacorridas eperimentales se tiene D,e y es ,n ector comp,esto por m alores y - y! ymSe constr,ye así el sistema de ec,aciones D,e sig,e0

y " β 0 + β $ + β ! $! + + β i $i + + β n $n + ε y! " β 0 + β $! + β ! $!! + + β i $i! + + β n $n! + ε !

y j " β 0 + β $!j + β ! $!j + + β i $ij + + β n $nj + ε j =42

y " β 0 + β $m + β ! $!m + + β i $im + + β n $nm + ε m

donde ε j es el error eperimental de la corrida j4esimaK $ij es el alor =niel> al D,e se iBa la ariaEle i4/sima = $i> para la j4/sima

corridaKβ i es el i4/simo par)metro =a determinar por medio de la regresi*n>

Se p,ede escriEir de manera m)s res,mida como0

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y G β 0 9 + β 2 + β ! 2 + + β i i + + β n n + ε =439>

donde ε es ,n ector col,mna c,yas componentes son los errores eperimentales delas m corridas eperimentalesK

9 es ,n ector col,mna de n componentes todas ig,ales a 1Ki =con i G 1 2 n> es ,n ector col,mna c,yas componentes son los

alores a los D,e se iB* la ariaEle i4/sima = $i> para cada ,na de las m corridasKβ i es el i4/simo par)metro del modelo de regresi*n

'a relaci*n ectorial ltima se p,ede simpliicar an m)s si se orma con losectores i ,na matri rectang,lar = n + 1 por m> D,e llamaremos Q y ,n ector col,mna=de n + 1 elementos> D,e llamaremos β0

y G β Q + ε =431>

D,e en t@rminos de alores estimados deEe escriEirse0

ε β SS yS += * =432>yyS −=ε =433>

Si se deine al error -a/r"i-o =antes deinido como la s,matoria de los errores alc,adrado> como0

ε ε SS' .= =434>

D,e reemplaando por =433> da0

β β β

β β β β

β β

SQSQyQS 2yy

SQSQSyQySQyy

>SQy=>SQy=

>yy=>yy='

.....

.....

.

.

+−=

=+−−=

=−−=

=−−=

=435>

&eriando ' con respecto a los estimadores de los par)metros e ig,alando a cero seoEtiene la condici*n de mínimo de la D,e se ded,cen las ec,aciones normales0

yQQ>=QS

normales>s=ec,acione SQQyQ

9SQQ2yQ2S

'

9S' 'min

.1-.

..

..

=

=

∴=+−=∂∂

=∂∂⇒

β

β

β β

β

=43>

'as ec,aciones normales en =43> proeen la orma de c)lc,lo de estimadores de βD,e minimian independientemente de la distriE,ci*n de

ε

.

Si se s,pone D,e0

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1 'os errores ε son tales D,e s,s alores esperados son ceroK

2 'os errores est)n independientemente distriE,idos con ariana σ 2 lo D,e seconsig,e aleatoriando las corridas y aseg,rando D,e las condiciones inicialesde cada corrida sean ig,ales =o al menos D,e no dependan de lo oc,rrido en la

corrida anterior>K

se consig,e D,e no eista coariana entre corridas es decir el error eperimental es independiente del alor D,e t,o en la corrida anterior0

co=ε> G σ ! In =437>

donde In es la matri identidad de n por n =n es la cantidad de oEseraciones>

Adem)s los s,p,estos anteriores aseg,ran ,na estimaci*n insesgada de los

coeicientes β0

[ ] [ ][ ][ ][ ] [ ]

9

#QQ>=Q#

>QQ>=QQ>=QQ>=Q#

>=QQQ>=Q#

yQQ>=Q#S#

.1-.

.1-..1-.

..1-.

.1-.

+==+=

=+=

=+=

==

β

ε β

ε β

ε β

β

=438>

Coarian5a de los paráe%ros es%iados:#l error inc,rrido al estimar los par)metros es0

>S=$ β β 4=

Si se constr,ye la matri0

.2 >S=>S=$ β β β β 44=

S, alor esperado nos da la estr,ct,ra de coariancia entre estimadores0

.>S=>S=#>Sco= β β β β β 44= =43

?yers demostr* D,e es ig,al a0

2-1.Q>=Q>S=co σ β = =449>

'o D,e signiica D,e la coariana entre estimadores se determina por el prod,ctode la matri eperimental por s, transp,esta y el niel de error en las oEseraciones = σ !>Así el eperimentador p,ede modiicar las propiedades de s,s estimadores seleccionandolos p,ntos eperimentales es decir escogiendo los alores de las ariaEles independientes

por medio de ,n c,idadoso diseo de eperimento

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Si se c,mple0

∑=

=⋅n

B

jB iB $ $1

9 =el prod,cto de dos col,mnas es n,lo> =441>

y se camEian de escala las ariaEles independientes =estím,los> de tal manera D,e0

∑=

=n

B

N $iB

1

2 =el prod,cto de ,n ector por sí mismo es !> =442>

donde ! es la cantidad total de corridas eperimentales =por eBemplo 2; >

Se tiene D,e0

IQ>=Q. ⋅= N =443>

y2-1.Q>=Q>S=co σ β =

'a =441> y =442> aseg,ran D,e los β S no se correlacionan entre sí

Codi6icación de da%os:

(ara c,mplir con lo reD,erido por =441> y =442> se ace la sig,ientetransormaci*n en las ariaEles independientes0

2

>=min>=dcon

d

ii

B

i

iiB −=−

= m1$

$ij =444>

siendo i7 el alor del par)metro i en la corrida 7K

i el promedio de los alores o nieles del par)metro iKáx(i) el niel m)s alto del par)metro iKin(i) el niel m)s EaBo del par)metro i

Aplicando la =444> y traEaBando con diseos a dos nieles solo se oEtendr)n losalores +1 y –1 para los nieles de c,alD,ier par)metro Así se c,mplen las condiciones deortogonalidad =441> y =442>

&ipli6icación de Cálc$los:

Si se los alores de la x ij de tal manera D,e se c,mplan las condiciones deortogonalidad y se codiican los datos segn =444> la matri de momentos Q .Q ser) ,namatri diagonal como sig,e0

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=

N

N

N

N

N

* * 6

999

99

99

9

99

999

9999

=444>

&onde ! es como se epreso en =442> el n,mero total de corridas no replicadas

'a matri de ariana =Q.Q>-1 se red,ce a0

n

6 N

N

N

N

N

N

* * 1

/1999

9/19

99

9

/199

99/19

9999/1

>= 1 =

=− =445>

&onde n es la matri identidad de orden n siendo n " B ,

'as ec,aciones normales =43> se res,elen entonces m,y )cilmente0

y * N

y * *+)*

* * y *

6 n

6 46

6 6

1

S

S

1

=

=

=

β =44>

H,e se trad,ce en el sig,iente sistema de ec,aciones0

( )

( )

( )

( ) ∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

⋅=⋅++⋅++⋅+⋅=

⋅=⋅++⋅++⋅+⋅=

⋅=⋅++⋅++⋅+⋅=

⋅=⋅++⋅++⋅+⋅=

N

j j jB N N B j jB B B B

N

j j ji N N i j jiiii

N

j

j j N N j j

N

j

j j N N j j

y $ N

y $ y $ y $ y $ N

y $ N

y $ y $ y $ y $ N

y $ N

y $ y $ y $ y $ N

y $ N

y $ y $ y $ y $ N

1AAA22A11A

1AAA22A11A

1

A1A1A122A111A11

1

A9A9A922A911A99

11S

11S

11S

11S

β

β

β

β

=447>

#s decir para encontrar el estimador de ,n coeiciente de regresi*n dado Easta conm,ltiplicar la col,mna correspondiente de la matri # por el ector y de res,ltados

eperimentales0

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−=⋅−⋅+±⋅±+⋅−⋅=

−=⋅−⋅−±⋅±±⋅+⋅=

==⋅−⋅−±⋅±+⋅+⋅=

∑∑

∑∑

∑

−=+=

−=+=

−+−

−+−

=−

11

11

1>11111=

1S

1>11111=

1S

1>11111=

1S

121

121

11219

ij $ij $

ij $ij $

j j N N jB

j j N N ji

N

j j N N j

y y N

y y y y y N

y y N

y y y y y N

y y N

y y y y y N

β

β

β

=448>

&ini6icancia de la Reresión:

#s posiEle realiar ,na pr,eEa # capa de determinar si la ariaEilidad oEserada enla resp,esta y oEedece a la tendencia D,e se trata de estimar por medio de la regresi*n osimplemente al error eperimental (ara ello es necesario comp,tar las sig,ientes s,mas dec,adrados0

1 S,ma de c,adrados totales =para todos los alores de y>0

SCy G y.y =44

2 S,ma de c,adrados para la regresi*n0

yS

SS

6 6

6 6 D

*

* * SC

β

β β

=

==44

3 S,ma de c,adrados para el error =toda dierencia entre la predicci*n del modeloy los alores medidos se atriE,ye al error>0

SC# G SCy – SC$ =44

$eemplaando =44 y =44 en =44 da0

>yS-y=>yS-y=

yS-yy

.

.

=

=6 6

' * SC β =459>

'a taEla de An)lisis de ariana es la sig,iente0A!O"A

#$en%e de "ariación &$a de

C$adrados

'rados de

ier%ad

C$adrado *edio +s%ad,s%ico F

1 $egresi*n SC D B SC D / B SC D / B

SC ' / )n – B+

2 #rror SC ' n – B SC ' / )n – B+ LL

3. -o%al SC y n LL LL

.aEla 450 An)lisis de ariana para la regresi*n

#l an)lisis de ariana anterior p,ede pro,ndiarse para determinar si eiste sesEo en la determinaci*n de los coeicientesβ

estimados o si el modelo lineal

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adoptado no es adec,ado para eplicar las ariaciones de las y lo D,e se conoce como (alta de ajuste A in de poder discriminar en la s,ma de c,adrados del error c,anto sedeEe atriE,ir al sesgo y alta de aB,ste y c,anto al error p,ro =propio de la ariaEilidaddel sistema y el m@todo de medici*n> deEe contarse con ,na estimaci*n de este ltimo(ara ello alg,nas de las corridas deEen replicarse #n tal caso se tiene D,e la ariana

estimada es0

∑

∑∑

=

= =

−

−

=n

ii

n

i

m

jiij

nm

y y

s

i

1

2

1 12

>=

>=

=451>

en la D,e i representa ,na condici*n eperimental dadaK j es ,na r@plica en la condici*n i Kn es la cantidad de condiciones eperimentales dierentesKmi es la cantidad de r@plicas realiadas en la condici*n i K

yij son los alores oEtenidos al correr la j4/sima r@plica en la i4/simacondici*n eperimentalK

i y es la media de todas las r@plicas =mi > realiadas en la condici*n i

Se deine entonces a la s,ma de c,adrados para el error p,ro como0

2

2

1

>=

sn

snmSC n

i

i

⋅=

⋅

−= ∑

=

ε

ε =452>

#sto permite reorm,lar la taEla de an)lisis de ariana de la orma D,e sig,e0

A!O"A

#$en%e de "ariación&$a de

C$adrados

'rados de

ier%adC$adrado *edio +s%ad,s%ico F

1 $egresi*n SC D B SC D / B SC D / B

SC ' / )n – B+

2 #rror SC ' N – B SC ' / )n – B+ LL

21 #rror (,ro SC ε nε SC ε / nε

22 6alta de AB,ste SC #F" SC ' 4 SC ε )n – B+ 4 nε SC #F 5 G)n – B+ 4 nε

3. -o%al SC y n LL LL

.aEla 40 An)lisis de ariana para determinar alta de aB,ste

Diseños de rimer !rden

8ise9os 2 :

&e ac,erdo con lo dico asta el momento se p,ede er D,e ,n diseo de este tipotendr) ,na conig,raci*n como la D,e se eBempliica a contin,aci*n para tres actores0

Condición Orden x 0 x 1 x 2 x % y

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1 5 1 +1 +1 +1 y2 1 1 +1 +1 -1 y!3 3 1 +1 -1 +1 y94 8 1 +1 -1 -1 y5 7 1 –1 +1 +1 y; 4 1 –1 +1 -1 y=

7 1 –1 -1 +1 y@ 8 2 1 -1 -1 -1 y?

.aEla 470 Arreglo para ,n diseo actorial 23

6ig,ra 410 $epresentaci*n gr)ica de p,ntos eperimentales para diseos 2; y 3;

'os diseos 22 y 23 p,eden representarse gr)icamente como se m,estra en la ig,ra41 #n esos gr)icos cada @rtice representa ,n p,nto eperimental D,e p,ede repetirse o

replicarse si ,era necesario

#l diseo 23 de la taEla 47 c,mple con todas las conenciones de escala prod,cir),na matri de momentos diagonal de la orma0

=

8999

9899

9989

9998

* * 6 =453>

'a matri de ariana = *

6

*+

4

estar) dada por 1/8 I40

=−

8999

9899

9989

9998

>=

2

2

2

2

12

σ

σ

σ

σ

σ * * 6 =454>

Se oEsera D,e0

9>SAS=co = ji β β para todo i ≠ B

: sea D,e los coeicientes de regresi*n son independientes

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$1

$3

$1

$2

$2

=1 1>=-11>

=-1-1> =1-1>


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#n consec,encia este es ,n diseo de mínima ariana s,s estimaciones de los par)metros de regresi*n ser)n insesgadas siempre D,e el modelo lineal sea s,icientementeaproimado y no aya para las ariaEles independientes ∆ $i tan grandes D,e incl,yan ,n)rea m,y c,rada de la s,pericie de resp,esta

C$ra%$ra:

#l modelo de regresi*n planteado en =42> as,me ,n comportamiento lineal de laresp,esta y al menos en el interalo de las x considerado Si en realidad la s,pericie

presenta algn grado importante de c,rat,ra en dico sector del espacio n,estrasestimaciones ser)n sesgadas Fay dos preg,ntas a responder0 c,)n sesgadas ser)n n,estrasestimaciones de par)metros y c*mo detectar si ay proElemas de c,rat,ra

eamos primero la estr,ct,ra de sesgo de ,n diseo 2; D,e se ,tilia para realiar ,na estimaci*n de par)metros de regresi*n de ,n modelo lineal como el de la ec,aci*n=42> c,ando en realidad la s,pericie de resp,esta se comporta como lo indica el modeloc,adr)tico de la =427> A in de acilitar la escrit,ra de las matrices de diseo Eas@monosen ,n eperimento 23 a,nD,e las concl,siones ser)n totalmente generales para c,alD,ier diseo 2; 0

x0 x1 x2 x3 x12 x2

2 x32 x1 x2 x1 x3 x2 x3 x1 x2 x3 y

+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 y1+1 +1 +1 -1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 y2+1 +1 -1 +1 +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 y3+1 +1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 y4+1 -1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 y5+1 -1 +1 -1 +1 +1 +1 -1 +1 -1 +1 y

+1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 +1 y7+1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 y8

.aEla 480 Arreglo para ,n diseo actorial 23 con col,mnas c,adr)ticas

Como se oEsera las col,mnas de x12 y x22 son ig,ales entre sí e ig,ales a x0 #stosigniica D,e no c,mplen la condici*n de ortogonalidad =441> por lo D,e res,ltan paralelasy eso signiica D,e los par)metros estimados por medio de esas col,mnas tendr)n el mismoalor res,ltando por lo tanto indisting,iEles0

y y N

y y y y y N

y y N y y y y y N

N

j

j N N jii

N

j j N N j

==⋅+⋅++⋅++⋅+⋅=

==⋅+⋅++⋅++⋅+⋅=

∑∑

=−

=−

1

121

11219

1>11111=

1S

1

>11111=

1S

β

β =455>

#sto signiica D,e al estimar 9 por medio del modelo lineal esta estimaci*n estar)sesgada por los t@rminos c,adr)ticos p,ros por lo D,e s, alor esperado ser)0

[ ] ∑=

+=B

i

ii ' 1

99S β β β =45>

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'os t@rminos lineales =correspondientes a los eectos principales> no se ensesgados dado D,e las col,mnas correspondientes de la matri de diseo res,ltanortogonales a las de los t@rminos c,adr)ticos y todas las dem)s0

B i ' ii A2A1A S =∀= β β =457>

Se oEsera adem)s D,e c,alD,ier diseo de primer orden 2; completo es perectamente capa de estimar los par)metros de los t@rminos c,adr)ticos mitos D,erepresentan las interacciones de dos actores y otras interacciones de orden s,perior =D,eres,ltan generalmente de menor inter@s>

'os t@rminos c,adr)ticos p,ros representan la c,rat,ra de la ,nci*n #s posiEleestimar la c,rat,ra con algn =o alg,nos> eperimento adicional en algn p,ntointermedio del interalo de eperimentaci*n D,e se ace coincidir con el origen del diseoactorial =er ig,ra 41> #sto permite c,antiicar la distancia D,e eiste entre el plano de

regresi*n y la s,pericie de resp,esta #s algo así como comparar la distancia entre el arcoy s, c,erda en ,n proElema ,nidimensional0

D0 recta de regresi*nδ0 medida de la c,rat,ra y corresponde al sesgo en β 0 β 00 ordenada al origen

6ig,ra 420 Sesgo deEido a la c,rat,ra

#l diseo se modiica de la orma D,e m,estra la taEla sig,iente0

x 0 x 1 x 2 x % y

+1 +1 +1 +1 y-+1 +1 +1 -1 y-!+1 +1 -1 +1 y-9+1 +1 -1 -1 y-+1 -1 +1 +1 y-;+1 -1 +1 -1 y-= +1 -1 -1 +1 y-@ +1 -1 -1 -1 y-?+1 9 9 9 y0-+1 9 9 9 y0-!+1 9 9 9 y0-9

+1 9 9 9 y0-

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-1 +19

δ

y

$

D

β 0


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.aEla 4 con el

promedio de los res,ltados oEtenidos de replicar el p,nto central #l alor esperado de ladierencia entre esos dos promedios es ig,al al sesgo de la estimaci*n de 00

∑

∑

=

=

=

==

c

v

n

j j

c

n

j j

v

yn

y

yn

y

1A99

91

A11

1

S1 β

=458>

&onde0 y-j son las resp,estas para los p,ntos del diseo 2; normalK

y0-j son las resp,estas para las r@plicas en el p,nto centralKnc es la cantidad de corridas replicadas en el centro del diseoKnv es la cantidad de corridas realiadas en los @rtices del diseo =2; si noay r@plicas>

[ ] ∑=

=−B

iii y y '

191 β =45

'a taEla sig,iente res,me el procedimiento0

A!O"A

#$en%e de"ariación &$a de C$adrados 'rados deier%ad C$adrado*edio +s%ad,s%ico F

1$egresi*nyS 6 6 D * SC β = B , SC D / =B,+

SC D /=B,+SC ' /)n4B4+

2#rror SC ' G y6 y – SC$ n – )B,+ SC ' / )n4B4+ LL

21#rror (,ro∑

=−−=

cn

j jc ynSC

1A9=>1=ε

nc – SC ε / )nc – + SC ε / )nc – + LLLLL SC ' /)n4B4+

226alta deAB,ste

SC #F" SC ' – SC ε )n – B – + – )nc – +

SC #F 5 )n4 B4nc + SC #F 5)n4B4nc + LLLLL

SC ' /)n4B4+ 221C,rat,ra( ) 291 y y

nn

nnSC

vc

vcC −+

⋅=

SC C SC C LLLLL SC ' /)n4B4+

222Interacci*n SC " SC #F – SC C )n – B – + – )nc – + 4

SC 5)n4B4nc4+ SC 5)n4B4nc4+ LLLLL SC ' /)n4B4+

3.-o%al SC y G yT y n LL LL

.aEla 4190 An)lisis de ariana para determinar alta de aB,ste por c,rat,ra

Red$ndancia:

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'a determinaci*n del error la alta de aB,ste y la c,rat,ra se p,do realiar graciasa ,na serie de corridas adicionales An c,ando no se ,Eieran realiado r@plicas en el

p,nto central la taEla 48 dem,estra D,e es posiEle determinar coeicientes para lasinteracciones "eneralmente las interacciones no son importantes y en m,cos casos lasariaEles independientes incorporadas an sido seleccionadas de manera D,e no sean

proEaEles las interacciones

#n general todo diseo 2; permite determinar los sig,ientes eectos0 promedioK B eectos principalesK B)B – +5!I interacciones de dos actoresK B)B – +)B – !+59Iinteracciones de tres actoresK B)B – +)B – !+ )B – 9+5 I interacciones de c,atro actoresKB)B – +)B – !+ )B – 9+5;I interacciones de cinco actoresK etc

#sto signiica D,e en realidad el diseo est) desa%rovecJando grados de liEertad yaD,e se est)n estimando eectos D,e no tienen mayor importancia o D,e simplemente noeisten C,ando este es el caso los grados de liEertad adicionales se ,san para meBorar laestimaci*n del error #sto se er) meBor en el sig,iente eBemplo0

#n ,n sistema se inestiga el eecto ca,sado por la ariaci*n de tres par)metros A y C soEre la resp,esta y Se diagram* ,n eperimento 23 D,e l,ego de realiadas las 8corridas arroB* los sig,ientes res,ltados0

x0 x1 x2 x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3 x1 x2 x3 y

+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 9+1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 72+1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 54+1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 8

+1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 52+1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 83+1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 45+1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 89

#l e(ecto de ,na ariaEle independiente soEre la resp,esta se calc,la como ladierencia de las resp,estas promedio oEtenidas con la ariaEle al m)imo niel y almínimo niel Así se tiene0

9 + 72 + 54 + 8 52 + 83 + 45 + 89 '(ecto de F " AAAAAAAAA 4 LLLLLLLL " - 15

4 4

9 + 72 + 52 + 83 54 + 8 + 45 + 89 '(ecto de K " AAAAAA LLL 4 LLLLLLLL " 5

4 4

9 + 54 + 52 + 45 72 + 8 + 83 + 89 '(ecto de C " AAAAAAA LL 4 AA LLLLLL " - 23

4 4

9 + 8 + 83 + 45 54 + 8 + 52 + 83

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'(ecto de F K " LLLLLLLL 4 LLLLLLLL " 94 4

9 + 54 + 83 + 89 72 + 8 + 52 + 45 '(ecto de F C " AAAAAAAAA 4 LLLLLLLLL " 19

4 4

9 + 8 + 52 + 89 72 + 54 + 83 + 45 '(ecto de K C " LLLLLLLLL 4 LLLLLLLLL " 15

4 4

9 + 8 + 83 + 45 72 + 54 + 52 + 89 '(ecto de F K C " LLLLLLLL 4 LLLLLLLL " -95

4 4

Se podrían aEer calc,lado los estimadores de los par)metros de regresi*n deac,erdo con =448> y la nica dierencia sería D,e aEríamos oEtenido alores ig,ales a lamitad de los eectos calc,lados #sto no es cas,al dado D,e en realidad los eectos ,eron

proocados por ,na ariaci*n de dos ,nidades =de –1 a +1> en los actores Con los aloresde los par)metros estimados se p,ede reconstr,ir el modelo de regresi*n de la ec,aci*n=439> y ,tiliarlo para realiar algn tipo de predicci*n #se no es n,estro oEBetio por elmomento

$es,miendo los c)lc,los realiados se tiene0

+6ec%o +s%iado

1. *edia ;4


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+6ec%o +s%iado +s%iado2

2 #ectos (rincipales 21 A -159 2253 Interacciones de 2 6actores 31 A 999 999

33 C 159 2254 Interacciones de 3 6actores 41 A C -959 925

.otal 475

#l error estimado ser)0s2 G 475 / 4 G 11875s G =11875 >1/2 G 198

#sa preoc,paci*n por el costo de la actiidad eperimental llea a deinir laredundancia del diseo como la relaci*n entre el nmero de corridas eperimentales ogrados de liEertad disponiEles y el nmero de eectos estimados

Adem)s en la taEla 48 y en la matri de diseo del eBemplo anterior p,ede erseD,e ,n diseo 2; es capa de generar col,mnas ortogonales para el c)lc,lo de las

interacciones de dos tres y m)s actores Así el nmero de estimaciones insesgadas D,e p,ede generar ,n diseo 2; es para distintos alores de ; como se indica en la sig,ientetaEla0

k! .nf!(k-nf)!

"

nf # $ % & ' ( ) *Media + 1 1 1 1 1 1 1 1

Ef. Principales , 2 3 4 5 6 7 8 9

I n e r a c c i ! n e s

# 1 3 6 1" 15 21 28 36

$ 1 4 1" 2" 35 56 84

% 1 5 15 35 7" 126& 1 6 21 56 126

' 1 7 28 84

( 1 8 36

) 1 9

* 1

#. $e %. % ) ,' $# '% ,#) #&' &,#

.aEla 4110 so de los "rados de liEertad de los diseos 2;

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+6ec%o de las in%eracciones de orden s$perior:

:Es@rese en la taEla 411 de D,@ manera a,menta la cantidad de interacciones conk deEido a D,e las comEinaciones D,e se p,eden acer de 2 3 4 , =k > 2> y =k – 1>actores es l*gicamente ,n nmero r)pidamente creciente con k #s raonaEle pensar D,e

en los sistemas de prod,cci*n de Eienes y sericios las interacciones entre actores sea ,ncaso m)s Eien raro 'a interacci*n signiica D,e el eecto del camEio de alor de ,n actor soEre la resp,esta ser) m)s D,e proporcional o menos D,e proporcional segn sea el alor de otro actor n caso en el D,e aparece este tipo de en*meno es en ,n proceso catalítico#n ellos es m,y comn D,e el rendimiento de la reacci*n o grado de conersi*n decomponentes en prod,cto aríe si se camEia el tipo de cataliador #s posiEle tamEi@n D,e,n cataliador res,lte meBor D,e otro c,ando se traEaBa a ,na temperat,ra y peor c,ando setraEaBa a otra temperat,ra #sto se deEe B,stamente a la interacci*n temperat,ra-cataliador

Si la interacci*n de dos actores es algo diícil de encontrar las de tres y m)s

actores son todaía m)s raras (or esta ra*n es D,e se considera poco til aplicar gradosde liEertad costosamente oEtenidos a partir de m)s corridas eperimentales para calc,lar eectos D,e a priori saEemos D,e ser)n despreciaEles o ineistentes

8ise9os #raccionados (2 > p):

#stos diseos son ,na consec,encia de la preoc,paci*n por la red,cci*n del costode eperimentaci*n a partir de dismin,ir la red,ndancia Consisten en ,tiliar los grados deliEertad D,e proeen los diseos 2n creados para n par)metros para calc,lar lasinteracciones =en especial las de m)s alto orden> para calc,lar k par)metros siendo k ,n

nmero mayor D,e n D,e c,mple con n = k ! donde G 1 2 3

(ara ,tiliar los grados de liEertad destinados a la estimaci*n de las interacciones para calc,lar eectos principales de actores agregados al diseo original se deEen disponer estos en col,mnas paralelas #s decir en la matri de diseo se colocar)n los nieles de losn,eos par)metros de tal orma D,e coincidan en todas las corridas =ilas de la matri dediseo> con alg,na col,mna de interacci*n =oEtenida como prod,cto de dos o m)scol,mnas disp,estas para los eectos principales

Así si se desean est,diar 4 actores y no se desean realiar 24 G 1 corridaseperimentales se p,ede pensar en ,n diseo 24-1 G 23 D,e solo reD,iere de la mitad de las

corridas #n general a todos los diseos 2;-1 se les llama media (racción a los 2;-2 cuarta (racción etc

'a matri de diseo para el eperimento 24-1 ser) ig,al a la de ,n 23 pero,tiliaremos por eBemplo la col,mna correspondiente a la interacci*n de tres actores parael c,arto actor0

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x 0 x 1 x 2 x % x & x 1 x 2 x 1 x % x 2 x % y

+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 9+1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 -1 72+1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 54+1 +1 -1 -1 +1 -1 -1 +1 8

+1 -1 +1 +1 -1 -1 -1 +1 52+1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 83+1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 45+1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 89

.aEla 4120 &iseo raccionado 24-1

#sto a generado ,n sesgo intencional en el estimador de & ya D,e0

12344S β β β += ' =49>

Como se espera D,e 12% sea ,na componente del error eperimental no aectar) alres,ltado del eperimento

:Es@rese D,e en t@rminos de ectores se an eco ig,ales el ector x4 y el prod,cto x1.x2.x3 #n símEolos0

x4 ? x1.x2.x3 =41a>

SaEiendo adem)s D,e0

x0 G 1 por deinici*nKxi.xi ? 1 por la condici*n de ortogonalidad =ec,aci*n 441>K

se p,ede ded,cir por simple operaci*n algeEraica0

x1.x4 ? x1.(x1.x2.x3>x1.x4 ? (x1.x1).x2.x3x1.x4 ? x2.x3 =42a>

x2.x4 ? x2.(x1.x2.x3>

x2.x4 ? x1.(x2.x2).x3x2.x4 ? x1.x3 =42E>

x3.x4 ? x3.(x1.x2.x3>x3.x4 ? x1.x2.(x3.x3)

x3.x4 ? x1.x2 =42c>

x1.x4.x4 ? x1.x4.(x1.x2.x3>x1 ? (x1.x1).x2.x3.x4x1 ? x2.x3.x4 =41E>

x2.x4.x4 ? x2.x4.(x1.x2.x3>x2 ? x1.(x2.x2).x3.x4

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x2 ? x1.x3.x4 =41c>

x3.x4.x4 ? x3.x4.(x1.x2.x3>x3 ? x1. x2.(x3.x3).x4x3 ? x1.x2.x4 =41d>

'as ec,aciones =42a E y c> y =41a E c y d> nos indican D,e los estimadores detodos los eectos principales y las interacciones de dos actores se er)n sesgadas en esteltimo caso con,ndi@ndose entre sí

#sto signiica D,e a,nD,e inicialmente pens)Eamos D,e la incorporaci*n de ,nn,eo actor nos aría perder inormaci*n soEre ,na sola interacci*n emos D,e enrealidad es algo m)s lo D,e se pierde0

231423S β β β += ' =43a>

132413S β β β += ' =43E>123412

S β β β += ' =43c>

23411S β β β += ' =43d>

13422S β β β += ' =43e>

12433S β β β += ' =43>

12344S β β β += ' =43g>

&e la ec,aci*n =41> deria0

x0? x1.x2.x3.x4 =44>

D,e se conoce como ecuación Eeneradora o contraste de de(inición

&ado D,e ,n diseo del tipo 2;-1 es en rigor ,na mitad de ,n diseo 2; se p,edeoEtener la otra mitad ,tiliando ,na ec,aci*n complementaria de la =41a>0

x4 ? =x1.x2.x3 =45>

o lo D,e es lo mismo en t@rminos de ec,aci*n generadora0

x0? = x1.x2.x3.x4 =4>

Con ,n par de ec,aciones generadoras como =44> y =4> o =41a> y =45> seoEtienen matrices de diseo ortogonales como las sig,ientes0

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x 0 x 1 x 2 x % x & x 1 x 2 x 1 x % x 2 x % y

+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 y+1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 -1 y!+1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 y9+1 +1 -1 -1 +1 -1 -1 +1 y

+1 -1 +1 +1 -1 -1 -1 +1 y;+1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 y= +1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 y@ +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 y?

x 0 x 1 x 2 x % x & x 1 x 2 x 1 x % x 2 x % y

+1 +1 +1 +1 -1 +1 +1 +1 y>+1 +1 +1 -1 +1 +1 -1 -1 y0+1 +1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 y+1 +1 -1 -1 -1 -1 -1 +1 y!

+1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 +1 y9+1 -1 +1 -1 -1 -1 +1 -1 y+1 -1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 y;+1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 y=

.aEla 4130 6racciones ortogonales de ,n &iseo 24-1

!*tese D,e la dierencia radica en el signo de la col,mna x4

#n algn caso en el D,e se aya lleado a caEo ,n diseo 2 ;-1 y el an)lisis deariana posterior reelase alta de aB,ste prod,cto de interacciones es posiEle am%liar el

diseo agregando la racci*n complementaria #sto permitiría eliminar el sesgo por mediode la sig,iente operaci*n0

[ ] [ ] 1234123412341234122

SS S S 11

11β

β β β β β β β β β β β β =

−++=

+∴−=+=

−+−+ ' ' ' '

=45a>

[ ] [ ] 21342134222134221342222

SS S S β


−++=

+∴−=+=

−+−+ ' '

' '

=45E>

[ ] [ ] 312431243331243312433 22SS

S S β β β β β β β β β β β β β =−++=+∴−=+=−+

−+ ' ' ' '

=45c>

[ ] [ ] 4123423414412344123442

1

2

SS S S β


−++=

+∴−=+=

−+−+ ' ' ' '

=45d>

&onde el s,períndice ± indica de D,@ racci*n se oEt,o el estimado

A mayor k m)s racciones se p,eden tomar #stas ser)n cada e m)s peD,eas en

relaci*n con el diseo original FaEr) en ,n diseo 2=p

tantas ec,aciones generadorascomo indica el alor de A medida D,e crece a,menta la con,si*n de eectos Sin

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emEargo estos diseos son m,y pop,lares dado D,e en la ind,stria los gerentes disponende pocos rec,rsos y menos tiempo para arriEar a concl,siones (or ello se E,sca traEaBar con diseos raccionados y en Ease a los res,ltados decidir si es necesario ampliar eldiseo

A los ines del diseo roE,sto y la meBora contin,a s,elen despreciarse todo tipo deinteracciones y se traEaBa con diseos de mínima red,ndancia Se airma por otra parteD,e los res,ltados de ,n eperimento res,ltan m)s re%etibles c,ando incl,yen cantidadesgrandes de actores #sto ltimo se deEe a D,e el modelo de regresi*n ser) m)s realistac,anto m)s nos aproimemos al erdadero conB,nto de ariaEles D,e interienen en elcomportamiento del sistema

#isten n,merosos %atrones de con(usión de e(ectos para ,n actorial raccionadodependiendo de como se deina la ec,aci*n generadora @ase en o F,nter T F,nter

'stadLstica %ara nvestiEadores p)ginas 3

j

B

i jiij

B

i

B

iii

B

iii $ $ $ $ $ i

∑∑∑∑ >===+++= β β β β η

11

2

19>= =428>

D,e en la orma matricial p,ede escriEirse0

η G β 0 + β-xo @ xo- xo =47>

&onde todas los símEolos en negritas representan magnit,des matriciales0

β

- G =β β ! β i β n > D,e corresponde al ector Eradiente = ∇η > de la ,nci*n

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=

BB B B

B

B

β β β

β β β

β β β

2

2

2

5

21

22221

11211

D,e corresponde a la matri Hessiano =∇2η >

#sta orma de modelo reD,iere de la estimaci*n de0

a> 1 t@rmino independiente =media>K E> B coeicientes de primer orden =eectos principales>Kc> B =B – 1>/2 coeicientes c,adr)ticos mitos =interacciones de dos actores>Kd> B coeicientes c,adr)ticos p,ros

A tal in aEr) D,e disear ,n eperimento con al menos 1 + 2B + B =B – 1>/2 gradosde liEertad y col,mnas ortogonales para media eectos principales interacciones de dosactores y t@rminos c,adr)ticos p,ros Alg,nos diseos D,e c,mplen con esto son losactoriales 3; 3;-pK los diseños com%uestos centralesK los diseos de o-en;en y otroseremos alg,nos de ellos m)s adelante

Bropiedades es%ad,s%icas rela%ias a la precisión:

Antes de er en la conig,raci*n de los principales diseos de seg,ndo ordenanalicemos alg,nas características deseaEles de los mismos a in de ormarnos ,n criteriode selecci*n

Ua emos aElado antes de la ortogonalidad #sta característica tiene D,e er con lacoariana de los estimadores Se detecta calc,lando la matri =Q.Q> Si la misma presenta

elementos distintos de cero ,era de la diagonal los estimadores estar)n correlacionados'os diseos 2B y 2B4% est,diados se caracterian por ser ortogonales lo D,e aseg,ra D,e seande mínima ariana y D,e s,s estimados no est@n correlacionados

:tra característica deseaEle es la rotabilidad D,e implica D,e la ariana del diseono depende de s, orientaci*n espacial relatia a la orientaci*n can*nica de la s,pericie deresp,esta #l diseo ser) rotaEle si la ariana de la ,nci*n D,e representa la s,pericie deresp,esta solo depende de la distancia desde el centro del diseo y no es ,nci*n de laorientaci*n relatia del diseo con respecto a la orientaci*n can*nica de la s,pericie deresp,esta #sto p,ede ser )cilmente demostrado calc,lando la ariana del estimador de laresp,esta del sistema para ,n p,nto c,alD,iera xo0

2

o

1.

o

o

.

o

o

>QQ=

>=

>=>=

σ

β

β

−=

=

=

6 6

6

6

2ar

2ar y2ar

=48>

&onde0

>1= 21.

o B - $ - - $ - $ …= representa ,n p,nto en el diseo?,ltiplicando la =48> por ! y diidiendo por σ ! si el diseo es ortogonal se

oEtiene0

o.o2o I>=>= == y2ar N 2ar

σ =4

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'lamada ,nci*n de ariana #sta ,nci*n en s, orma m)s general es m,y,tiliada para eal,ar los diseos de seg,ndo orden

Si se trata de ,n modelo de primer orden se tiene0

>1=

>1=

>=>=

22

22

2

2

1

2

21

21

11

ρ σ

σ

β β

β β β

+=

++++= +++=

+++=

N

$ $ $ N

2a $2ar $2ar

$ $2ar y2ar

B

B o

B B o

=479>&onde ρ es la distancia #,clidiana desde el centro del diseo al p,nto eperimental

(or lo D,e se p,ede airmar D,e para los diseos de primer orden ortogonalidad implicatamEi@n rotaEilidad

(ara los diseos de seg,ndo orden deEe eal,arse la ,nci*n de ariana yseleccionar las propiedades estadísticas D,e se preieran (or eBemplo ortogonalidadrotaEilidad o precisi*n ,niorme 'a precisi*n ,niorme implica diseos con ariana

aproimadamente constante dentro de la regi*n de diseo y no ariaEle de ,n p,nto a otroc,ando los p,ntos no est) a la misma distancia del centro del diseo

8ise9os 3 :

(ara generar ,n diseo de este tipo deEe agregarse ,n tercer niel a cada actor ycomEinarse con todos los dem)s #ste tercer niel es el p,nto intermedio entre el nielm)imo y mínimo antes considerado para los diseos a dos nieles #s )cil eriicar D,ela *rm,la ,tiliada para codiicar los diseos a dos nieles sig,e siendo til y el diseoD,eda correctamente escalado para c,mplir con las condiciones de ortogonalidad0

2

>min=>m)=

dcond

ii

Bi

iiB −

=

−

=ij $ =444>Se oEsera D,e si el alor de iB G i $ij G 9 por lo D,e los tres nieles ser)n +1 9

y –1 arroBando diseos como el sig,iente0

x o x 1 x 2 x 12 x 2

2 x 1 x 21 1 1 1 1 11 1 9 1 9 91 1 -1 1 1 -11 9 1 9 1 91 9 9 9 9 9

1 9 -1 9 1 91 -1 1 1 1 -11 -1 9 1 9 91 -1 -1 1 1 1

.aEla 4120 &iseo 32

#ste diseo tiene para este alor de B ,na red,ndancia del 159O 'a sit,aci*nempeora a medida D,e crece B Así para B G 4 se tiene0

x o x 1 x 2 x 3 x 4 x 12

x 2 2

x 3 2

x 4 2

X 1 x

2 x 1 x 3 x 1 x 4 x 2 x 3 x 2 x 4 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 4 x 2 x 3 x 4 x 1 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4

, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

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# 1 1 1 1 " 1 1 1 1 " 1 " " " " 1 " " " "

$ 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1

% 1 1 1 " 1 " 1 1 " " " 1 1 1 " " " 1 " "

& 1 1 1 " " " 1 1 " " " " " " " " " " " "

' 1 1 1 " -1 " 1 1 " " " -1 -1 -1 " " " 1 " "

( 1 1 1 -1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1

) 1 1 1 -1 " 1 1 1 1 " -1 " " " " -1 " " " "

* 1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 1

,+ 1 1 " 1 1 1 1 " " 1 1 1 " " 1 " 1 " 1 1

,, 1 1 " 1 " 1 1 " " " 1 " " " " " " " " "

,# 1 1 " 1 -1 1 1 " " -1 1 -1 " " -1 " 1 " -1 1

,$ 1 1 " " 1 " 1 " 1 " " 1 " " " " " " " "

,% 1 1 " " " " 1 " 1 " " " " " " " " " " "

,& 1 1 " " -1 " 1 " 1 " " -1 " " " " " " " "

,' 1 1 " -1 1 1 1 " " -1 -1 1 " " -1 " -1 " -1 1

,( 1 1 " -1 " 1 1 " " " -1 " " " " " " " " "

,) 1 1 " -1 -1 1 1 " " 1 -1 -1 " " 1 " -1 " 1 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.aEla 4130 (rimeras 18 ilas de las 81 de ,n &iseo 34

'a red,ndancia del diseo 34 es0

3B 81$ G −−−−−−−−−−−−−−−−−− G −−−−−−−− G 549 O

1 + 2B + B =B – 1>/2 15

$es,lta casi impensaEle la ,tiliaci*n de ,n diseo 3B c,ando el nmero de actores

es 3 * m)s a menos D,e se trate de ,na sim,laci*n en comp,tadora An así ay diseosm)s eicientes e incl,so con meBores propiedades estadísticas

8ise9o Cop$es%o Cen%ral.

A partir de ,n diseo de primer orden tal como ,n 2B o ,n 2B4% es posiEle conseg,ir la ortogonalidad de las col,mnas correspondientes a los t@rminos c,adr)ticos p,ros demanera D,e se p,edan calc,lar s,s eectos y estimar los coeicientes de regresi*ncorrespondientes #sto se consig,e agregando n,eos eperimentos con n,eos nieles aldiseo original pero sin realiar todas las comEinaciones posiEles entre los nielesoriginales y los n,eos de manera tal D,e se mantenga controlada la red,ndanciaconsig,i@ndose así ,n diseo m)s l*gico y econ*mico D,e el 3B

'os n,eos eperimentos se realian soEre los eBes cartesianos a ,na distancia αdesde el centro del diseo

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$2

$1

=-11> =11>=9α >

=α,9>

=-α ,0>


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6ig,ra 430 (,ntos eperimentales para ,n diseo Comp,esto Central

'a matri de diseo para el caso m)s elemental de dos actores tal como el delgr)ico de la ig,ra 43 sería la sig,iente0

x o x 1 x 2 x 12 x 2

2 x 1 x 21 1 1 1 1 11 1 -1 1 1 -11 -1 1 1 1 -11 -1 -1 1 1 11 α 9 α 2 9 91 −α 9 α 2 9 91 9 α 9 α 2 91 9 −α 9 α 2 9

.aEla 4140 &iseo Comp,esto central a partir de ,n actorial 22'as n,eas col,mnas ya no son paralelas entre sí ni paralelas a $o pero no c,mplen

an con la condici*n de ortogonalidad =441> ya D,e0

∑=

+=⋅n

B

B

jB iB $ $

1

222 42 α =deEiera ser ig,al a cero para ser ortogonales>

∑∑==

+=⋅=n

B

B

iB iB

n

B

iB $ $ $1

2

1

2 22 α =el prod,cto de ,n ector por sí mismo ya no es ig,al

a !>

(ara resoler este inconeniente se reemplaan las col,mnas de los t@rminosc,adr)ticos por col,mnas deriadas de estas pero corregidas de la sig,iente manera0

x o x 1 x 2 x 12- x 2

2- x 1 x 2

1 1 1 1-c 1-c 11 1 -1 1-c 1-c -11 -1 1 1-c 1-c -11 -1 -1 1-c 1-c 11 α 9 α 2-c -c 91 −α 9 α 2-c -c 91 9 α -c α 2-c 91 9 −α -c α 2-c 91 9 9 -c -c 91 9 9 -c -c 9

1 9 9 -c -c 9

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=-11>=-1-1>

=9-α >


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.aEla 4150 &iseo Central Comp,esto corregido para lograr ortogonalidad

#n el diseo de la taEla 415 se an incl,ido tres eperimentos en el p,nto centraldel diseo con el oEBeto de estimar el error eperimental .amEi@n se ,tilian si secomen* realiando ,n 2B para estimar la c,rat,ra y decidir si es necesario ampliar el

diseo agregando n,eos eperimentos para poder estimar los coeicientes c,adr)ticos

#l nmero total de eperimentos D,e se realiar)n para c,mplir con el diseo ser)de0

2B deEidos al actorial de primer orden original D,e denominaremos 6K2B eperimentos adicionados a ra*n de dos en cada eBe D,e llamaremos .Kno eperimentos en el centro del diseo =r@plicas del p,nto central>K

en total 6 + . + no G 2B + 2B + no eperimentos

#l actor de correcci*n c s,rge de la sig,iente consideraci*n0

j

B

i jiij

B

i

B

iii

B

iii $ $ $ $ $ i ∑∑∑∑

>===+++= β β β β η

11

2

19>= =428>

Se deine0

6 #

# $

N $c

N

j

iji ++=== ∑ α 21 22 =472>

si en =428> se s,ma y resta ∑=

B

i

iii $1

2β se oEtiene0

j

B

i j

iij

B

i

B

i

iii

B

i

iii

B

i

ii

B

i

ii $ $ $ $ $ $ $i

∑∑∑∑∑∑ >=====++−++= β β β β β β η

11

2

1

2

1

2

1

9>=

j

B

i jiij

B

i

B

iiiii

B

iiii

B

iii $ $ $ $ $ $ $ ∑∑∑∑∑

>====

++−++= β β β β β η 11

22

1

2

1

9 >=>=

j

B

i j

iij

B

i

i

B

i

iii

B

i

ii

B

i

iii $ $ $ $ $ $ $ ∑∑∑∑∑>====

+−+++= β β β β β η 1

2

1

2

11

2

9 >=>=>=

j

B

i j

iij

B

i

B

i

iii

B

i

ii $ $c $ $ $ ∑∑∑∑>===

+−++= β β β β η 11

2

1

V

9 >=>=

'a correcci*n a introd,cido sesgo en la estimaci*n del t@rmino independienteV

9β Se oEsera D,e0

∑=

+=B

i

iii $ M ' 1

29

V9 >= β β

=473>

#l sesgo D,e se a introd,cido se p,ede calc,lar con Eastante eactit,d ya D,e iiβ

se p,ede estimar por medio de iiβ aora calc,laEle ya D,e el diseo proee col,mnas

ortogonales para los t@rminos c,adr)ticos (or otra parte 2i $ es ,n alor conocido

calc,laEle segn =472> donde la nica inc*gnita es α

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A los eectos de determinar el alor de α ser) coneniente reerirnos a ciertas propiedades estadísticas de estos diseos ya D,e las mismas dependen de la magnit,d deesta cantidad

Bropiedades +s%ad,s%icas de los 8ise9os Cop$es%os Cen%rales.

Con este tipo de diseos los estimadores de los coeicientes de regresi*n no ser)nen realidad independientes por c,anto Q.Q no es ,na matri diagonal y por lo tanto

=Q.Q>W1 no ser) ig,al a I1

N #n realidad la matri Q.Q tendr) la orma0

Q.Q xo x1 x2 x12 x22 x1x2xo ! 9 9 9 9 9x1 9 &2

0 0 0 0

x2 9 0 &2 0 0 0 x1

2 9 0 9 $ 0

x22 9 0 9 $ 9x1x2 9 0 9 9 9 #

.aEla 410 ?atri Q.Q correspondiente a ,n &iseo Central Comp,esto

'os alores % y son los sig,ientes0

6 #

6 # # #6 ccc %

+++−−

=+−+−=442

2222 >=2442>=2>1=4

α α α α =474>

6 #

# #6 ccc0

+

−−=+−+−=

422222 442>=4>1=4

α α α =475>

A los eectos de conseg,ir D,e Q.Q sea diagonal el n,merador de la =475> deEe ser ig,al a cero0

94442 =−− α α # #6 D,e permite despeBar el alor de α m)s adec,ado0

[ ]4/1

22/12/1

4

>=

−+

= # # 6 #

α =47>

+s%ra%eias de Op%ii5ación.

.ag,ci propone correr ,n diseo eperimental para determinar ,n p,nto deoperaci*n m)s coneniente D,e el act,al (ero esta meBora p,ede ser s,iciente o no Si nolo es en ingeniería de calidad se piensa inmediatamente en diseo de tolerancias SinemEargo la metodología no aseg,ra D,e el repetir el procedimiento eperimental no

permita meBorar n,eamente la sit,aci*n #s decir se E,sca ,na meBora per no se optimiala s,pericie de resp,esta encontrando s,s etremos &ico de otro modo no se aseg,raD,e se a aproecado todo el potencial del proceso

(ara llear a caEo la optimiaci*n de ,n proceso por la ía eperimentalconsiderado este como ,n sistema o caBa negra deEe tenerse en c,enta D,e s,comportamiento est) regido por ,na s,pericie de resp,esta y D,e deEe eplorarse en

EsD,eda del p,nto m)imo o mínimo #s primordial deinir correctamente el sistema

para lo c,al se eca mano a la deinici*n E)sica de cantidades eternas y nieles deresol,ci*n 'o primero es seleccionar la resp,esta a oEserar esta p,ede ser ,na

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característica de calidad ,na ,nci*n de costos o m)s en general ,na ,nci*n D,econtemple sim,lt)neamente todos los aspectos a optimiar en conB,nto

#n seg,ndo l,gar deEen seleccionarse las cantidades de entrada D,e se considera p,edan aectar a la resp,esta seleccionada

n6oración rindada por los +xperien%os.#Bec,tado ,n eperimento actorial se tendr) inormaci*n acerca de los par)metros

del modelo empírico de comportamiento del sistema #sta inormaci*n p,ede ser ,tiliada para interpolaciones D,e permitan meBorar la resp,esta .amEi@n es posiEle con ines deoptimiaci*n caracteriar la ,nci*n o s,pericie de resp,esta aproimada por el modelo

n modelo empírico de primer orden tiene la orma0Qβ = y D,e para la corrida c tendr) la orma0

∑=

+=++++=n

i

iciocnccoc $ $ $ $ y1

22211 β β β β β β

donde $ic es el alor del par)metro i4/simo en la corrida eperimental c4/sima.

Si tomamos las deriadas parciales con respecto a $i = iG1 2 Xn> se oEtendr) elector gradiente de la s,pericie de resp,esta0>AAA=>>==

21 nc $ $ y β β β ==∇

#sta ec,aci*n nos est) indicando D,e el eperimento siri* para estimar loscoeicientes y sim,lt)neamente nos proporcion* ,na aproimaci*n al gradiente de la,nci*n en el p,nto central del diseo #sto no deEe sorprender ya D,e con el eperimentoactorial de primer orden se a aproimado la s,pericie de resp,esta con ,n plano paraleloal plano tangente a esta en el p,nto considerado

'a inormaci*n del gradiente permite anticipar la pendiente de la s,pericie deresp,esta y determinar el sentido en el D,e se enc,entra la resp,esta *ptima del sistemaindic)ndonos el camino para s, EsD,eda

#n el caso de ,tiliar ,n eperimento de seg,ndo orden se tiene0

j

B

i j

iij

B

i

B

i

ii

B

i

ii $ $ $ $ y i ∑∑∑∑>===

+++= β β β β

11

2

1

9 donde la s $i representan ariaEles

#sta es ,na s,pericie c,adr)tica mediante la c,al estamos aproimando a las,pericie de resp,esta &ado D,e es ,na ,nci*n sencilla se p,ede deriar y oEtener s,

p,nto etremo

*D%odos de

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