Iniciación al Álgebra. Ecuaciones.

El lenguaje algebraico.Ecuaciones.

Tema: 6

El lenguaje algebraico. ECUACIONES 2Tema 8

El largo de un campo de fútbol es el doble del ancho más 10 metros

Esta información podría expresarse de otra forma:Llamamos x al ancho del campo.

El doble será 2 · x

Y el doble más 10 m: 2 · x + 10

Por tanto, 2 · x + 10 expresa el largo del campo de fútbol.Las dimensiones de nuestro campo,

expresadas en forma algebraica, son:

El lenguaje algebraico utiliza letras, números y signos de operaciones para expresar información.

Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico

Largo

Anc

hox

2x + 10

6


Lenguaje ordinario

Un número aumentado en 2 a + 2 (Hemos llamado a al número)

Un número disminuido en 5

El número natural siguiente al número n

El cuadrado de un número menos el mismo número

Lenguaje algebraico

c – 5 (Llamamos c al número)

El cuadrado de un número x2

Perímetro del cuadrado de lado x

x

xx

x

4x

x2 – x

n + 1

Hoy Antonio tiene 12 años; cuando pasen x años tendrá x + 12Hoy Laura tiene 13 años; hace x años tenía: 13 – x

El lenguaje algebraico: algunos ejemplos

6


Las fórmulas que se utilizan en geometría, en ciencias y en otras materia son expresiones que contienen letras, o números y letras:

Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos por los signos de suma, resta, multiplicación, división y potencia.

Observaciones:1. El factor 1 no se escribe.

a

h

Área del triángulo:2

h · b

b

h

Área de un rectángulo: A = a · h

1 · x = x 2. El exponente 1 tampoco se escribe.3. El signo de multiplicación no suele ponerse.

x1 = x

5 · a · b = 5ab

Expresiones algebraicas

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Observa el cuadrado de lado x. Su área es x2.

Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por números y hacer las operaciones indicadas.

Ejemplos:1. El valor numérico de la expresión algebraica 4x –7

x

x

Si queremos hallar el área de un cuadrado que tenga 4 cm de lado, se sustituye x por 4:

16 es el valor numérico de la expresión x2 cuando se sustituye x por 4.

para x = 2, es: 4·2 – 7 = 1

2. El valor numérico de la expresión algebraica 5a + b para a = 4 y b = 10 es:

x2

A = x2 = 42 = 16

para x = 10, es: 4·10 – 7 = 33

5 · 4 + 10 = 20 + 10 = 30

Valor numérico de una expresión algebraica

6


Dos segmentos miden 5x y 3x.

Para que las expresiones algebraicas se puedan sumar o restar, sus partes literales (las letras) deben ser iguales. Se dice que son expresiones semejantes.

5x 3x

Si ponemos un segmento a continuación del otro, se tiene:

5x + 3x = 8x

Suma:

¿Cómo podríamos expresar la diferencias de sus longitudes?

5x – 3x = 2x

Resta:

No se pueden sumar2x + 3y

Se deja indicado

Suma y resta de expresiones algebraicas

x x xx x x x x

5x 3xx x x x x x x x

5x

x x x x x3x2x

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La balanza está equilibrada.

Una ecuación es una igualdad con letras y números relacionados por operaciones aritméticas.

10 + 2 = 4 + 8Tenemos una igualdad numérica

Toda igualdad tiene dos miembros..

Una igualdad numérica se compone de dos expresiones con números unidas por el signo =

10 + 2 = 4 + 8

x + 4 = 8 + 4

Esta segunda balanza también está en equilibrio; aunque un peso es desconocido: le llamamos x

Esta igualdad se llama ecuación. La letra x es la incógnita.

La incógnita es la letra cuyo valor se desconoce.

Igualdades y ecuaciones

2º miembro1er miembro

7


¿Cuánto pesará el trozo de queso si la balanza está equilibrada?

La solución de una ecuación es el valor de la incógnita para el que se verifica la igualdad.

Platillo izquierdo:

La incógnita x tiene que valer 600, pues: 600 + 100 = 500 + 200 = 700 El valor x = 600 es la solución de la ecuación.

Resolver una ecuación de primer grado es encontrar su solución.

Para comprobar que una solución es correcta hay que sustituir en la ecuación y ver que se cumple la igualdad.

x + 100Platillo derecho: 500 + 200

Como pesan igual, escribimos la ecuación: x + 100 = 500 + 200

Ejemplo

Solución de una ecuación

La solución de la ecuación

2x – 2 = x + 12 es x = 14porque 2 · 14 – 2 = 14 + 12 = 26

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Calcula a ojo la solución de estas dos ecuaciones

Dos ecuaciones son equivalentes si tiene la misma solución.

Observa como puedo conseguir ecuaciones equivalentes:

b) 4 + 4x = 25 – 3x

Sustituyendo x por 3:a) 7x = 21

4 + 4·3 = 25 – 3·3, o sea 16 = 16

7 · 3 = 21, o sea, 21 = 21

Una ecuación 8x = 16 Su solución es x = 2, porque 8·2 = 16

2 + 8x = 2 + 16 2 + 8x = 18Le sumamos 2 a cada miembro

2 + 8x – 6x = 18– 6x y restando 8x y 6x 2 + 2x = 18 – 6xAhora restamos 6x a cada miembro

Ecuaciones equivalentes

7

La solución de las dos ecuaciones es la misma, x = 3:Pero la primera es mucho más sencilla de resolver que la segunda

y sumando el 2 y el 18El 2 sigue siendo una solución, porque 2 + 8·2 = 18

El 2 sigue siendo una solución, porque 2 + 2·2 = 18 - 6·2


Si a los dos miembros de una ecuación se suma o resta el mismo número o la misma cantidad, se obtiene otra ecuación equivalente .

x = 10 Luego:

Para resolver ecuaciones es útil buscar otra semejante pero que sea más fácil. Para eso vamos conocer algunas reglas.

Observa: si de la balanza de la izquierda se quita de los dos platillos la pesa 5, el equilibrio se mantiene.

x + 5 = 10 + 5

Ejemplo: Para resolver la ecuación 2x + 8 = x + 25 + 8

Regla de la suma

Restamos 8: 2x = x + 25

Restamos x: x = 25La solución es x = 25

Resolución de ecuaciones. Regla de la suma

– 8 – 8

– x – x

7


Resuelve x – 5 = 13.

En el primer miembro de la ecuación para conocer el valor de x me sobra el 5

¿Cómo consigo quitarlo?: sumando 5Pero para mantener el equilibrio, también tengo que sumar 5 al otro lado.x – 5 = 13

x – 5 + 5 = 13 + 5x = 18

Escribo la ecuación original.Sumo 5 a cada lado. Simplifico.

► La solución es 18.

EJEMPLO

Solución

x – 5 = 13 Escribo la ecuación:

18 – 5 = 13

13 = 13

Sustituyo x por 18.

La solución es correcta porque

COMPROBACIÓN


7


Resuelve x + 4 = –3.EJEMPLO

x + 4 – 4 = –3 – 4Resto 4 a cada miembro.

x = –7Simplifico.

► La solución es –7.

y – 3 = –14

Resuelve y – 3 = –14.EJEMPLO

Escribo la ecuación original.

y – 3 + 3 = –14 + 3 Sumo 3 a cada miembro.

y = –11 Simplifico.


x + 4 = –3–7 + 4 = –3

–3 = –3

Sustituyo x por –7.

La solución es correcta.

COMPROBACIÓN


7


3a = 7 + 2a

Resuelve 3a = 7 + 2a.EJEMPLO


3a – 2a = 7 + 2a – 2a Resto 2a a cada miembro.

a = 7 Simplifico.


3a = 7 + 2a3·7 = 7 + 2·721 = 21

Sustituyo x por 7.


COMPROBACIÓN


7


x = 5

Si a los dos miembros de una ecuación los multiplico o divido por un número, se obtiene otra ecuación equivalente, con la misma solución.

Luego:

Observa las dos balanzas y las ecuaciones que representan:

Ejemplo: Para resolver la ecuación 4x + 3 = 2x + 9

Regla del producto

Restamos 3: 4x = 2x + 6

Restamos 2x: 2x = 6

La solución es x = 3

4x = 20Hemos dividido por 4

Dividimos por 2 x = 3

Resolución de ecuaciones. Regla del producto

__ __ 2 2

7


Resuelve 3x = 15.

3x = 15

x = 5


Simplifico.


EJEMPLO

Solución En el lado izquierdo de la ecuación, x está multiplicada por 3. Para aislar x, hay que deshacer la multiplicación con la operación inversa de dividir por 3.

Divido cada lado por 3.3x3

= 153

3x = 15Sustituyo x por 5.


COMPROBACIÓN

3·5 = 1515 = 15


7


Resuelve 7x = –56.EJEMPLO

7x = –56

x = – 8


Simplifico.



= –567

ResuelveEJEMPLO

y = 60


Simplifico.


Multiplico los dos miembros por 5.

125

y

125

y

5y

·5 = 12 · 5

7x = –56Sustituyo x por –8.


COMPROBACIÓN

7·(–8) = –56–56 = –56

COMPROBACIÓN

605

= 12


7


Resuelve 3x – 4 = 17.EJEMPLO

3x – 4 = 17 Escribo la ecuación original.

3x – 4 + 4 = 17 + 4

3x = 21


= 213

Sumo 4 a cada miembro.

Simplifico.

x = 7 Simplifico.


3x – 4 = 17

3·(7) – 4 = 17

17 = 17

COMPROBACIÓN

En los siguientes ejemplos se utilizan los dos principios, el de la suma y el del producto.

Resolución de ecuaciones. Reglas de la suma y del producto

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ResuelveEJEMPLO 85

3 n

85

3 n

n5

3 – 8 = + 8 – 8

55 n

5 5 n

5( ) ( )·5

–25 = n



Resto 8 a cada miembro.

Simplifico.

Simplifico.

Multiplico los dos miembros por 5.


7


Resuelve 5 – x = 7.EJEMPLO

5 – x = 7 Escribo la ecuación original.

–5 + 5 – x = –5 + 7

Divido por –1.–1x–1

= 2–1


Simplifico.

x = –2 Simplifico.


–1x = 2

5 – x = 7

5 – (–2) = 7

7 = 7

COMPROBACIÓN


7


Resuelve b + 8 = 18 + 3bEJEMPLO

b + 8 = 18 + 3bb – 3b + 8 = 18 + 3b – 3b

b – 3b + 8 = 18

b – 3b + 8 – 8 = 18 – 8

b – 3b = 18 – 8

–2b = 10–2b–2

= 10–2

b = –5


Divido por –2.

Resto3b a cada miembro.

Simplifico.

Simplifico.


Simplifico.

Agrupo.



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Transposición de términos en una ecuación

Para resolver ecuaciones lo que hacemos es eliminar términos sumando, restando, multiplicando o dividiendo los dos miembros de la ecuación por un mismo número. Pero podemos hacerlo de manera más rápida haciendo que ese mismo término aparezca en el otro miembro de forma «inversa»:

► Si esta sumando, cambia al otro miembro restando► Si esta restando, cambia al otro miembro sumando

► Si estaba multiplicando, aparece dividiendo, y si estaba dividiendo, aparece multiplicando.

Esta técnica se denomina transposición de términos.

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Antes sumaba un 8 a los dos miembros

Antes dividía los dos miembros por 2Ahora el 2, que está multiplicando, pasa al segundo miembro, pero dividiendo.

A esto se le llama despejar la incógnita.

2x = 14

x = = 7142

4x – 8 = 6 + 2x

4x – 2x = 6 + 8

EJEMPLO Transposición de términos

4x – 8 = 6 + 2x 4x – 8 = 6 + 2x4x – 8 + 8 = 6 + 2x + 84x = 6 + 2x + 8

Pero eso es lo mismo que pasar el 8, que está restando, al segundo miembro pero sumando.Lo mismo que 2x, que está sumando, pasa al primer miembro restando.

Transposición de términos en una ecuación

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Propiedad distributiva (Quitar paréntesis)

a(b + c) = ab + ac

–2(n – 3) = –2n + (–2)( –3) = –2n + 6

4(x – 2) = 4x + 4(–2) = 4x – 8

(y + 3)6 = y·6 + 3·6 = 6y + 18

2(x + 4) = 2x + 2·4 = 2x + 8

4(5 + 8) = (6 + 9)2 =

2(4x + 1) = 2·4x + 2·1 = 8x + 2

4·5 + 4·8 == 20 + 32 = 52

6·2 + 9·2 == 12 + 18 = 30

Con expresiones algebraicas (letras y números) funciona igual.

Cuidado con los signos negativos (–).Recuerda la regla de los signos:+ · + = ++ · – = –– · + = –– · – = –

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Resolución de ecuaciones. Ecuación con paréntesis.

x = 8

2x = 16

2x – 21 = – 5

3x – 21 = x – 5

3x – 21 = 5x – 5 – 4x

3(x – 7) = 5(x – 1) – 4x

5º. 2 pasa dividiendo

4º. 21 pasa sumando

3º. x pasa restando

2º. Hacer 5x – 4x:

1º. Quitar el paréntesis:

COMPROBACIÓN3(x – 7) = 5(x – 1) – 4x3(8 – 7) = 5(8 – 1) – 4·8

3·1 = 5·7 – 4·8

3 = 35 – 323 = 3


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6 – 4 + 10x = 2x + 2(3x + 4)

6 – 4 + 10x = 2x + 6x +8

2 + 10x = 8x + 8

10x – 8x = 8 – 2

2x = 6

x = 3

Ecuación original

Simplifica.

Quita paréntesis.

Agrupa.

Divide por 2.

Traspones términos.

Resuelve 6 – 4 + 10x = 2x + 2(3x + 4)EJEMPLO

6 – 4 + 10·3 = 2·3 + 2(3·3 + 4)

6 – 4 + 30 = 6 + 26 32 = 32

COMPROBACIÓN

Resolución de ecuaciones. Ecuación con paréntesis.

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Resolución de ecuaciones. Ecuación con denominadores.

3º. Operar 3x – 2x

2º. Restar 30:

1º. Quitar denominadores. Para ello se multiplica por 12, que es m.c.m.(4, 2, 6):

x = 30

3x – 2x = 30

3x + 30 – 2x = 60

562

54

xx

4 22 21

6 32 21

4 = 22

2 = 26 = 2·3

m.c.m.(4, 2, 6) = 22 · 3 = 12

Para el m.c.m. tomamos los factores comunes y los no comunes al mayor exponente:

Recuerda cómo se calcula el m.c.m.:

562

54

xx12·( ) ( )·12

7


21

43

21

xx

2(x + 1) + (x + 3) = 2

2x + 2 + x + 3 = 2

3x + 5 = 23x = 2 – 53x = –3

x = –133

x

21

43

21

xx

4( ) ( )4

21

43

21

xx4( ) 4( ) 4( )

EJEMPLO

1º. Quitar denominadores. Para ello se multiplica por 4, que es m.c.m.(2, 4):

2º. Quitar paréntesis.

3º. Agrupar términos semejantes.

4º. Transponer términos.

5º. Despejar la incógnita.

Resolución de ecuaciones. Ecuación con denominadores.

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1º. Interpretación del enunciado

Problema 1: La madre de Jorge tiene 39 años y dice que tiene 6 años menos que el triple de la edad de su hijo. ¿Qué edad tiene Jorge?

Edad de Jorge

2º. Plantear la ecuación

3º. Resolución de la ecuación

4º. Comprobación.

La madre de Jorge tiene 39y dice que tiene 6 años menos que el triple de la edad de Jorge

Jorge tiene 15 años

Resolución de problemas

Lenguaje algebraicox39

3x – 6Son

iguales

3x – 6 = 39

3x = 45

x = 15

Suma 6

Divide por 3

3 · 15 – 6 = 45 – 6 = 39 Correcto

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PROBLEMA 2: ¿Cuál es el número que al sumarle 20 es igual al triple de ese mismo número?

Un número

x + 20 = 3x

El número al sumarle 20

es igual a

Triple del número

x + 20 = 3x 20 = 3x – x 20 = 2x 20/2 = x x = 10

El número aumentado en 20

El triple del número

El número buscado es 10.

Nº al sumarle 20 10 + 20 = 30 Triple del número 3·10 = 30

► 4º. Comprobación.

► 3º. Resolver la ecuación.

► 2º Plantear la ecuación.

► 1º. Interpreta el enunciado y exprésalo algebraicamente.

3x

xx + 20

Correcto


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PROBLEMA 3: La base de un rectángulo es doble que la altura y el perímetro mide 78 cm. Calcular las dimensiones del rectángulo.

Lado menor xLado mayor 2x

x + 2x + x + 2x = 78

6x = 78

x = 13

Perímetro = 13 + 26 + 13 + 26 = 78 cm

2x = 26 cm

x = 13 cm

2x

xx

2x

► 4º. Comprobación.

► 3º. Resolver la ecuación.

► 2º Plantear la ecuación.

► 1º. Interpreta el enunciado y exprésalo algebraicamente.

x = 786

Perímetro 78x + 2x + x + 2x


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