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12 Estadística

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Procesar toda la información que se produce en nuestros días, por ejemplo en la bolsa, es una tarea muy complicada, por el elevado número de datos.

La Estadística se encarga de dar solución a este y otros problemas.

ACTIVIDAD


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Principales encuestas económicas

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Desde la antigüedad se han realizado censos, encuestas…


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Esquema de contenidos

Estadística

Tipos de variable

Frecuencias. Tablas de frecuencias

Recuento de datos

Frecuencia absoluta y relativa

Frecuencia acumulada

Gráficos estadísticos

Medidas estadísticas

Medidas de centralización

Medidas de posición

Medidas de dispersión


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La Estadística es la ciencia que se ocupa de recoger y ordenar datos referidos a diversos fenómenos, para su posterior análisis e interpretación.

Estadística

Algunos términos estadísticos son:

• Población: es el conjunto formado por todos los elementos del estudio estadístico.

• Muestra: es la parte de la población que estudiamos y que nos sirve para deducir características de la población.

• Individuo: es cada uno de los elementos que forman la población o la muestra. Al número de individuos que componen una muestra se le llama tamaño de la muestra.

• Variable estadística: es cualquier cualidad que estudiamos en los individuos de la muestra o la población.

SIGUIENTE


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Variables estadísticas

Según sean los valores:

TIPOS PROPIEDADES EJEMPLOS

CUALITATIVAS Los valores no son números, sino cualidades.

Sexo, política, gustos…

CUANTITATIVAS Los valores son números.

Edad, altura, notas…

CUANTITATIVAS PROPIEDADES EJEMPLOS

DISCRETAS Solo puede tomar un número determinado de valores.

Número de votos: pueden ser 43 o 44, nunca 43,5.

CONTINUAS Puede tomar infinitos valores.

Peso: entre 50 y 60 kg, puede ser 51,30 kg.

SIGUIENTE


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Recuento de datos

Después de recoger los datos hay que contarlos y agruparlos:

• Si la variable es cuantitativa, se ordenan los valores en orden creciente y se anota el número de veces que aparece.

12 años // 2

13 años ////////////////// 18

14 años //////// 8

15 años //// 4

Preguntamos a 32 alumnos de 4ºESO por la edad.

SIGUIENTE


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azul ////// 6

verde ////////////// 14

rojo //////// 8

blanco //////// 8

negro //// 4

Preguntamos a 40 alumnos de 4ºESO por su color preferido.

Recuento de datos

• Si la variable es cualitativa, se escribe cada valor (modalidad) y se anota el número de veces que aparece.

SIGUIENTE


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Frecuencia absoluta y frecuencia relativa

La frecuencia absoluta de un dato estadístico es el número de veces que se repite. Se representa por fi .

Nfffff in...321

La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos. Se representa por hhi.

1...321 in hhhhh

SIGUIENTE


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Frecuencia absoluta y frecuencia relativa

Hacemos un recuento del color de pelo de los alumnos de una clase de 4º ESO de 40 alumnos.

castaño ////////////// 14

moreno ///////// 9

rubio ////// 6

pelirrojo / 1 xi fi hi

Castaño 14

Moreno 9

Rubio 6

Pelirrojo 1

40 1

47,030

14

3,030

9

2,030

6

03,030

1

SIGUIENTE


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Frecuencias acumuladas

La frecuencia absoluta acumulada de un dato estadístico es la suma de las frecuencias absolutas de los valores que son menores o iguales que él. Se representa por Fi .

ii Fffff ...321

La frecuencia relativa acumulada de un dato es la suma de las frecuencias relativas de los valores menores o iguales que él. Se representa por Hi i .

N

f

N

f

N

f

N

fhhhhH i

ii ...... 321321

SIGUIENTE


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Frecuencias acumuladas

Completar la tabla de frecuencias.

xi fi Fi hi Hi

0 6

1 16

2 15

3 10

4 3

50

SIGUIENTE


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Los gráficos que más se suelen utilizar son:

GRÁFICO DE BARRAS: se realiza sobre unos ejes coordenados, poniendo en el eje de abscisas los valores de la variable y en el eje de ordenadas las frecuencias.

Sobre cada valor levantamos una barra con una altura igual a la frecuencia.

HISTOGRAMA: se divide el eje de abscisas en intervalos y se levanta un rectángulo en cada tramo de altura igual a la frecuencia.

POLÍGONO DE FRECUENCIAS: se determina uniendo los extremos superiores de las barras de un diagrama de barras o los puntos medios de las partes superiores de los rectángulo de un histograma.

GRÁFICO DE SECTORES: se divide el círculo en sectores, asignando a cada sector una amplitud proporcional a la frecuencia. SIGUIENTE


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La representación gráfica dependerá del tipo de variable y del tipo de frecuencia.

VARIABLE FRECUENCIA GRÁFICO

Cualitativa

-Absoluta-Relativa-Porcentaje

-Diagrama de barras-Gráfico de sectores-Pictograma

Cuantitativa discreta Cualquier tipo

-Diagrama de barras-Polígono de frecuencias-Gráfico de sectores

Cuantitativa continua Cualquier tipo -Histograma-Polígono de frecuencias

SIGUIENTE


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Realizar un histograma y un polígono de frecuencias de los datos de la tabla siguiente:

20,10

40,30

50,40

60,50

70,60

30,20

xi fi Fi

6 6

5 11

7 18

4 22

6 28

3 31

31

SIGUIENTE


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Medidas de centralización

Las medidas de centralización más utilizadas son:

• Media

• Mediana

• Moda

x

eM

oM La media aritmética de un conjunto de datos, , es el

cociente que resulta de dividir la suma de los datos entre el

número total de ellos.La mediana de un conjunto de datos, Me , es el valor central de ellos, es decir, hay tantos valores mayores que él como menores.

La moda de un conjunto de datos, Mo , es el valor o

modalidad que más se repite, o el que tiene mayor frecuencia.

N

fxx ii

x

SIGUIENTE


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Medidas de centralización. Media

La media aritmética de un conjunto de datos, , es el


número total de ellos.

x

N

fxx ii

xi fi

0 8

1 22

2 16

3 10

4 4

60

60

4410316222180

N

fxx ii

67,160

100x

Variable discreta:

SIGUIENTE


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Medidas de centralización. Media

La media aritmética de un conjunto de datos, , es el


número total de ellos.

x

N

fxx ii

22

445735525615

N

fxx ii

09,2922

640x

Variable continua:

xi Marca de

clase

fi

15 6

25 5

35 7

45 4

22

20,10

40,30

50,40

30,20

SIGUIENTE


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Medidas de centralización. Mediana

La mediana de un conjunto de datos, Me , es el valor central de ellos, es decir, hay tantos valores mayores que él como menores.

La mediana de los siguientes datos (con número impar de datos): 0,1,1,3,4,5,5,6,7

7 6 5 5 4 3 1 1 0mediana

Variable discreta

SIGUIENTE


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Medidas de centralización. Mediana

Con variables continuas hablamos de clase mediana

Variable continua

xi Marca de

clase

fi Fi

15 6 6

25 5 11

35 7 18

45 4 22

22

20,10

40,30

50,40

30,20

El número de datos es 22, por lo que la mitad es 11.

La clase donde se alcanza el 11 es la segunda, de extremo que llamaremos clase mediana.

30,20

152

3020

eM

SIGUIENTE


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Medidas de centralización. Moda



xi fi

0 8

1 22

2 16

3 10

4 4

60

1oM

El valor que más se repite ( fi = 22 ) es 1.

Variable discreta

SIGUIENTE


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Medidas de centralización. Moda



El valor que más se repite ( fi = 7 ) está en el intervalo .

Variable continua

xi Marca de

clase

fi Fi

15 6 6

25 5 11

35 7 18

45 4 22

22

20,10

40,30

50,40

30,20 40,30

Al intervalo que contiene la moda se le llama clase modal.

Una aproximación de la moda podría ser:

35oM


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Medidas de posición

Las medidas de posición más importantes son:

• Cuartiles

• Percentiles

321 y , QQQ

kPLos cuartiles, Q1, Q2 y Q3, son medidas que dividen todos los datos en 4 partes iguales, es

decir, en cada tramo está el 25% de los datos.

Los percentiles o centiles, Pk, son las medidas que dividen la

distribución de datos en 100 partes iguales.

SIGUIENTE


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Medidas de posición. Cuartiles

Los cuartiles, Q1, Q2 y Q3, son medidas que dividen todos los datos en 4 partes iguales, es

decir, en cada tramo está el 25% de los datos.

xi fi Fi

0 8 8

1 20 28

2 16 44

3 12 56

4 4 60

60

El 25% de 60 es 15, luego Q1 debe dejar 15 datos por debajo. En las frecuencias acumuladas, el primer número mayor o igual que 15 es 28: Q1= 1

El cuartil 2 es la mediana . 22 eMQ

El 75% de 60 es 45, luego Q3 debe dejar 45 datos por debajo. En las frecuencias acumuladas, el primer número mayor o igual que 45 es 56: Q3= 3 SIGUIENTE


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Medidas de posición. Percentiles

Los percentiles o centiles, Pk, son las medidas que dividen la

distribución de datos en 100 partes iguales.

xi fi Fi

0 8 8

1 20 28

2 16 44

3 12 56

4 4 60

60

El 34% de 60 es 20,4: luego P37 debe dejar 20,4 datos por debajo. En las frecuencias acumuladas, el primer número mayor o igual que 20,4 es 28: Q1= 1.

El 95% de 60 es 57, luego P95 debe dejar 57 datos por debajo. En las frecuencias acumuladas, el primer número mayor o igual que 57 es 60: Q1= 4.

SIGUIENTE


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Medidas de dispersión

Las medidas de dispersión más importantes son:

• Rango

• Varianza

• Desviación típica

• Coeficiente de variación

El rango es la diferencia entre los valores extremos de la variable.

La varianza es la media de los cuadrados de las desviaciones

de los datos respecto de la media.

La desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza.

El coeficiente de variación es el cociente de la desviación típica

entre la media. No tiene unidades y se utiliza para comparar la

dispersión entre distintas variables estadísticas.

SIGUIENTE


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Medidas de dispersión. Varianza

La varianza es la media de los cuadrados de las desviaciones

de los datos respecto de la media.

xi fi Fi fixi fixi2

0 8 8 0 0

1 20 28 20 20

2 16 44 32 64

3 12 56 36 108

4 4 60 16 64

60 104 256

22 xN

xf ii

222 )73,1(60

256

x

N

xf ii

73,160

104

60

4412316220180

N

fxx ii

28,199,227,42

SIGUIENTE


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Medidas de dispersión. Desviación típica

xi fi Fi fixi fixi2

0 8 8 0 0

1 20 28 20 20

2 16 44 32 64

3 12 56 36 108

4 4 60 16 64

60 104 256

28,12

La desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza.

13,128,12

SIGUIENTE


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Medidas de dispersión. Desviación típica

xi fi Fi fixi fixi2

0 8 8 0 0

1 20 28 20 20

2 16 44 32 64

3 12 56 36 108

4 4 60 16 64

60 104 256

El coeficiente de variación es el cociente de la desviación típica

entre la media. No tiene unidades y se utiliza para comparar la

dispersión entre distintas variables estadísticas.

El rango es la diferencia entre los valores extremos de la variable.

404 Rango

65,073,1

13,1 x

CV

65%

El CV se suele expresar en porcentaje.

SIGUIENTE


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Actividad: ¿A qué número apostar?

Dirección: http://www.santillana.cl/mat2/unidad6a.htm

En la sección chilena de la Editorial Santillana nos recuerdan cómo diariamente estamos haciendo apuestas a posibles resultados, y como en esta actividad trataremos de cuantificarlo.

Para desarrollarla, sigue este enlace.

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