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MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 14: Probabilidad

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14 ProbabilidadEl cálculo de probabilidades se aplica para estudiar fenómenos en los que interviene el azar, como los accidentes de tráfico, los incendios, los temporales que amenazan las cosechas y la inseguridad económica. Las aseguradores calculan así las primas apropiadas a cada caso.

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La ciencia en la Inglaterra de la primera mitad del siglo XVIII

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Esquema de contenidos

Probabilidad

Experimentos aleatorios

Espacio muestralL Sucesos compatibles

Diagramas de árbol Operaciones con sucesos

UniónIntersecciónComplementario

Definición de probabilidad

Regla de LaplaceAplicaciones

Propiedades de la probabilidad

Suceso seguro e imposiblePropiedad de la uniónPropiedad del contrarioClasificación en dos caracteres

Frecuencia y probabilidad

Ley de los grandes números.



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La probabilidad de la unión de sucesos

La unión de dos sucesos, AB, recoge todos los elementos que pertenecen a cada uno. Se puede representar gráficamente mediante un diagrama - llamado de Venn -, en el que los sucesos vienen representados por superficies que tienen zonas en común y zonas no comunes.

SIGUIENTE



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La unión de dos sucesos, AB, recoge todos los elementos que pertenecen a cada uno. Se puede representar gráficamente mediante un diagrama - llamado de Venn -, en el que los sucesos vienen representados por superficies que tienen zonas en común y zonas no comunes.

En total, hay cuatro zonas: AB (zona 1), la parte de A que no tiene elementos de B (zona 2), la parte de B que no tiene elementos de B (zona 3) y la zona exterior que no tiene elementos de A ni de B (zona 4).

Son zonas disjuntas, esto es, que un elemento del conjunto general sólo puede estar en una de ellas.

AB

AB

31

2

4

SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR


En total, hay cuatro zonas: AB (zona 1), la parte de A que no tiene elementos de B (zona 2), la parte de B que no tiene elementos de B (zona 3) y la zona exterior que no tiene elementos de A ni de B (zona 4). Todas las zonas son disjuntas.

AB

AB

31

2

4

Podemos resolver diversos problemas gracias a este diagrama.

En una ciudad leen el periódico A el 25% de sus habitantes y leen el periódico B el 18% de ellos. El 10 % leen los dos. Si elegimos un habitante al azar, ¿qué probabilidad hay de que lea alguno de los dos? ¿Y de que lea sólo uno de ellos?

SIGUIENTE



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AB

AB

31

2

4


Un habitante de esta ciudad sólo puede estar en una de las cuatro zonas disjuntas.

Comenzamos obligatoriamente por la

zona común, . En el enunciado se

dice el porcentaje de habitantes que se

incluyen en ella.

1

SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR


AB

32

4



Comenzamos obligatoriamente por la

zona común, . En el enunciado se

dice el porcentaje de habitantes que se

incluyen en ella.

1

Leen los dos periódicos el 10 % de la población.

10 %

SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR


AB

32

4



Seguimos con las zonas y . Sus porcentajes se obtienen restando el 10 % común a los datos del enunciado.10 %

2 3

SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR


AB

4



10 %

Para la zona , 25 % 10 % = 15 %.2

Para la zona , 18 % 10 % = 8 %.3

15 %

8 %

SIGUIENTE

Seguimos con las zonas y . Sus porcentajes se obtienen restando el 10 % común a los datos del enunciado.

2 3



ANTERIOR SALIR


AB

4



10 %

4

15 % 8 %

Para la zona , tenemos que tener en cuenta que el porcentaje de los que leen uno o dos diarios es: 15 % + 8 % + 10 % = 33 %.

Luego, en esta zona pondremos 100 % 33 % = 66 %. 66 %

SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR


AB



10 %

4

15 % 8 %

Para la zona , tenemos que tener en cuenta que el porcentaje de los que leen uno o dos diarios es: 15 % + 8 % + 10 % = 33 %.

Luego, en esta zona pondremos 100 % 33 % = 66 %. 66 %

Podemos contestar ya a las dos preguntas.

SIGUIENTE



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AB


10 %15 % 8 %

La primera ya ha sido contestada: leen alguno de los diarios el 33 % que es la suma de los porcentajes que aparecen en el interior de los sucesos.

66 %

Leen solamente uno de ellos el 23 % de los ciudadanos, que es la suma de 15 % y 8 %, correspondientes a las zonas adecuadas del gráfico.

SIGUIENTE



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La misma situación la podemos interpretar con 3 diarios, A, B y C.

Este “enrevesado” enunciado se aclara totalmente si elaboramos un diagrama de Venn que clasifique a los habitantes de esa ciudad según los diarios que leen.

En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y el 16 % leen el C.

Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que leen los tres periódicos el 9 %.

Se elige un ciudadano al azar y se desea saber:a) ¿Cuál es la probabilidad de que lea algún periódico?b) ¿Cuál es la probabilidad de que lea A y B pero no C?c) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo lea el periódico B?


SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR




21

5

4

3

67

8

Se observa que ahora hay ocho “zonas”. Lo importante es que un habitante de esta ciudad sólo puede estar en una sola de ellas.

Ha de empezarse obligatoriamente por

la zona común, . En el enunciado se

dice el porcentaje que la forman.

7


SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR

Los tres periódicos los leen el 9 % de la población.


21

5

4

3

6

8

Se observa que ahora hay ocho “zonas”. Lo importante es que un habitante de esta ciudad sólo puede estar en una sola de ellas.

Ha de empezarse obligatoriamente por

la zona común, . En el enunciado se

dice el porcentaje que la forman.7




SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR


21

5

4

3

6

8

Se sigue con las zonas comunes a dos

diarios, es decir las zonas, , y .

9 %

4 5 6

¿Puedes determinar los porcentajes de cada una a partir del enunciado?




SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR


21

5

4

3

6

8



9 %

4 5 6

Para la zona , 14 % 9 % = 5 %.4

Para la zona , 13 % 9 % = 4 %.5

Para la zona , 11 % 9 % = 2 %.6




SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR


21

3

8



9 %

4 5 6

Para la zona , 14 % 9 % = 5 %.4

Para la zona , 13 % 9 % = 4 %.5

Para la zona , 11 % 9 % = 2 %.6

5 %

4 %

2 %




SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR


21

3

8

Seguimos ahora con las zonas , ,

y .

9 %

1 2

3

5 %

4 %2 %

¿Puedes hallar los porcentajes que quedan para cada zona?




SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR


8

Seguimos ahora con las zonas , ,

y .

9 %

1 2

3

Para la zona , 30 % 5%9%4% =12 %.1

Para la zona , 20 % 5%9%2% = 4 %.2

Para la zona , 16 % 2%9%4% = 1 %.3

5 %

4 %2 %




SIGUIENTE



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8

Finalmente, completamos la distribución de

porcentajes con la zona , que es la de los

9 %

5 %

4 %2 %

12 % 4 %

1 %

8que no leen ningún diario.

¿Qué porcentaje corresponde a esta zona?




SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR


Finalmente, completamos la distribución de

porcentajes con la zona , que es la de los

9 %

5 %

4 %2 %

12 % 4 %

1 %

8que no leen ningún diario.

La suma de todos los porcentajes del gráfico da: 12 + 5+ 9+ 4+ 4+ 2 +1 = 39 %.

Por tanto, el porcentaje de los que no leen es del 100 % 39 % = 61 %.61 %

Es fácil contestar ya a las preguntas del problema.




SIGUIENTE



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9 %

5 %

4 %2 %

12 % 4 %

1 %

61 %

En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y el 16 % leen el C. Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que leen los tres periódicos el 9 %.


¿Puedes reconocer sobre la figura la zona o zonas que constituyen la respuesta a cada pregunta?


SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR

9 %

5 %

4 %2 %

12 % 4 %

1 %

61 %

En una ciudad el 30 % de sus habitantes leen el periódico A, el 20 % leen el B y el 16 % leen el C. Leen el A y el B el 14 %, el A y el C, el 13 % y el B y el C, el 11 %, mientras que leen los tres periódicos el 9 %.


a) La probabilidad de seleccionar un ciudadano que haya leído algún periódico es 39 %, suma que ya había sido obtenida.

b) La respuesta es 5 %, que está en la zona común a A y B, pero no a C.

c) La respuesta es 4 %.




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Regla de Laplace

La Regla de Laplace (enunciada por Pierre Simeon de Laplace) dice que, si todos los elementos del espacio muestral tienen las mismas posibilidades, la probabilidad de un suceso A viene dada por la expresión:

Si se pueden enumerar los casos posibles, es decir, los elementos del espacio muestral E, se simplifica el cálculo de la probabilidad de cualquier suceso en él.

posibles casos de Número

Aa favorables casos de Número=)(AP

SIGUIENTE



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Regla de Laplace



Hallar la probabilidad de que al lanzar 4 monedas salgan mayoría de caras.



SIGUIENTE



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Regla de Laplace






Una resolución incorrecta sería la que considerase que hay 5 posibilidades (“Salir 4 caras”, “Salir 3 caras y una cruz”, “Salir 2 caras y 2 cruces”, “Salir 1 cara y 3 cruces” y “Salir 4 cruces”), De ellas, las dos primeras son aquellas en las que hay mayoría de caras. Luego - razonaríamos erróneamente-, hay 2 casos de 5 y, por tanto, la probabilidad sería 2/5 = 0,4 = 40 %.

¿Por qué es errónea esta manera de razonar?

SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR

Regla de Laplace




Una resolución incorrecta sería la que considerase que hay 5 posibilidades (“Salir 4 caras”, “Salir 3 caras y una cruz”, “Salir 2 caras y 2 cruces”, “Salir 1 cara y 3 cruces” y “Salir 4 cruces”), De ellas, las dos primeras son aquellas en las que hay mayoría de caras. Luego - razonaríamos erróneamente -, hay 2 casos de 5 y, por tanto, la probabilidad sería 2/5 = 0,4 = 40 %.

¿Por qué es errónea esta manera de razonar?

El espacio muestral de casos posibles es inadecuado porque, por ejemplo, es mucho más probable “Salir 3 caras y una cruz” que “Salir 4 caras” que sólo puede salir de una manera, todas las monedas caras.



SIGUIENTE



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Regla de Laplace


Para resolver correctamente el problema, supongamos las 4 monedas diferentes. Por ejemplo, llamémoslas A, B C y D. Los casos posibles (observa que todos tienen las mismas posibilidades) pueden observarse en la siguiente tabla (C es cara, K es cruz), que no es un diagrama de árbol expresado de otra manera:

Moneda A C C C C C C C C K K K K K K K K

Moneda B C C C C K K K K C C C C K K K K

Moneda C C C K K C C K K C C K K C C K K

Moneda D C K C K C K C K C K C K C K C K

Número de caras

4 3 3 2 3 2 2 1 3 2 2 1 2 1 1 0

Como puedes observar, hay 16 casos posibles. De ellos, hay mayoría de caras en 5 casos. Por tanto, según la regla de Laplace:

%,,)( 253131250165

posibles casos de Número Aa favorables casos de Número

AP

SIGUIENTE



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Problemas con dados

Los dados típicos son cúbicos, aunque hay juegos que utilizan dados de otras formas: tetraedros, octaedros, dodecaedros...

Si se lanzan dos o más de ellos, tenemos que considerar espacios muestrales que se ajusten a la Regla de Laplace, es decir, que todos los casos tengan las mismas posibilidades de salir.

Una manera de conseguir esto es considerar los dados de distinto color. Aunque no lo sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto.

SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR

Problemas con dados

Los dados típicos son cúbicos, aunque hay juegos que utilizan dados de otras formas: tetraedros, octaedros, dodecaedros...

Si se lanzan dos o más de ellos, tenemos que considerar espacios muestrales que se ajusten a la Regla de Laplace, es decir, que todos los casos tengan las mismas posibilidades de salir.

Una manera de conseguir esto es considerar los dados de distinto color. Aunque no lo sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto.

Se lanzan dos dados cúbicos. Halla la probabilidad de que el máximo número que aparezca sea 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

SIGUIENTE



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Problemas con dados

Consideraremos los dados de distinto color, pues, como hemos dicho, aunque no lo sean, hacer esta distinción artificialmente resuelve el problema propuesto.

Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el rojo, 2 en el azul.

Escribiremos el total de los 36 casos que pueden presentarse:


SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR

Problemas con dados


Así, 23 quiere decir que sale 2 en el rojo y 3 en el azul, situación diferente a 32, 3 en el rojo, 2 en el azul. Escribiremos el total de los 36 casos que pueden presentarse:


11 12 13 14 15 16

21 22

32

42

52

6261 63 64 65 66

56

46

36

26252423

33

43

5351 54 55

41

31 34 35

4544

Ahora, llevaremos cada caso a cada uno de los sucesos del enunciado.

SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR

Problemas con dados




11 12 13 14 15 16

21 22

32

42

52

6261 63 64 65 66

56

46

36

26252423

33

43

5351 54 55

41

31 34 35

4544

“Sacar número máximo el 1”

SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR

Problemas con dados




“Sacar número máximo el 1” =11 12 13 14 15 16

21 22

32

42

52

6261 63 64 65 66

56

46

36

26252423

33

43

5351 54 55

41

31 34 35

4544


SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR

Problemas con dados




“Sacar número máximo el 1” =11 “Sacar número máximo el 2” =12,21,22


13 14 15 16

32

42

52

6261 63 64 65 66

56

46

36

26252423

33

43

5351 54 55

41

31 34 35

4544

SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR

Problemas con dados





14 15 16

42

52

6261 63 64 65 66

56

46

36

262524

43

5351 54 55

41

34 35

4544

“Sacar número máximo el 3” =13,23,31,32,33


SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR

Problemas con dados





15 16

52

6261 63 64 65 66

56

46

36

2625

5351 54 55

35

45


“Sacar número máximo el 4” =14,24,41,42,43,44


SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR

Problemas con dados





16

6261 63 64 65 66

56

46

36

26



“Sacar número máximo el 5” =15,25,35,45,51,52,53,54,55

“Sacar número máximo el 6” =SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR

Problemas con dados








“Sacar número máximo el 6” =16,26,36,46,56,61,62,63,64,65,66

SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR

Problemas con dados








“Sacar número máximo el 6” =16,26,36,46,56,61,62,63,64,65,66¿Puedes dar ya las probabilidades de cada suceso?

SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR

Problemas con dados








“Sacar número máximo el 6” =16,26,36,46,56,61,62,63,64,65,66

361

121

363

365

367

41

369

3611

SIGUIENTE



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Problemas con dos criterios de clasificación

En ciertos casos de la vida corriente, se presentan situaciones en las que hay dos criterios de clasificación y se desean conocer ciertas probabilidades. Una tabla (denominada “de contingencia”) aclara la situación por completo.

SIGUIENTE



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En el instituto de Villanueva hay 400 alumnos de enseñanza secundaria. De ellos, 230 son de primer ciclo, 250 son de Villanueva y 60 son del segundo ciclo y de fuera de esa localidad.

a) Se sortea un ordenador portátil entre todos los alumnos de secundaria. ¿Cuál es la probabilidad de que le toque a un alumno del segundo ciclo de Villanueva?

b) Del afortunado se sabe que es de fuera. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de secundo ciclo?

En ciertos casos de la vida corriente, se presentan situaciones en las que hay dos criterios de clasificación y se desean conocer ciertas probabilidades. Una tabla (denominada “de contingencia”) aclara la situación por completo.

SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR


En el instituto de Villanueva hay 400 alumnos de enseñanza secundaria. De ellos, 230 son de primer ciclo, 250 son de Villanueva y 60 son del segundo ciclo y de fuera de esa localidad. Se sortea un ordenador portátil entre todos los alumnos de secundaria.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que le toque a un alumno del segundo ciclo de Villanueva?


De Villanueva

De fuera TOTALES

De 1er ciclo

De 2.º ciclo

TOTALES

Los datos se colocan en la tabla de doble entrada siguiente:

¿Puedes ponerlos tú? SIGUIENTE



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De Villanueva

De fuera TOTALES

De 1er ciclo

De 2.º ciclo

TOTALES


60

400250

230

A partir de los totales (en vertical y horizontal) es fácil completar las restantes casillas de la tabla.

SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR





De Villanueva

De fuera TOTALES

De 1er ciclo

De 2.º ciclo

TOTALES


60

400250

23090

150

140

110 170

SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR





De Villanueva

De fuera TOTALES

De 1er ciclo

De 2.º ciclo

TOTALES

Resulta ahora fácil contestar a las preguntas:

60

400250

23090

150

140

110 170

SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR





De Villanueva

De fuera TOTALES

De 1er ciclo

De 2.º ciclo

TOTALES


60

400250

23090

150

140

110 170

a) De un total de 400 alumnos, hay 110 que cumplen la condición. La probabilidad es: 110/400 = 0,275 = 27,5 %

SIGUIENTE



ANTERIOR SALIR





De Villanueva

De fuera TOTALES

De 1er ciclo

De 2.º ciclo

TOTALES


60

400250

23090

150

140

110 170

a) De un total de 400 alumnos, hay 110 que cumplen la condición. La probabilidad es: 110/400 = 0,275 = 27,5 %

b) El total es ahora 150, los alumnos de fuera. Cumplen la condición 60 de ellos. Luego, la probabilidad es:

60/150 = 0,4 = 40 %



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Actividad: Un juego sobre la razón entre dos números

En esta dirección tenemos acceso a la comprobación experimental de ciertas paradojas de probabilidad.

Para conocerlo, sigue este enlace.

Dirección: http://www-stat.stanford.edu/~susan/surprise/

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