Presentación sobre los Sistemas de Ecuaciones Lineales de Gauss y

Gauss – Jordan

ANTHONY DE LA CRUZ

Método de Gauss

• El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación (de tres incógnitas cada una) tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente. Tres ecuaciones de ejemplo:

3x+ 2y+ z=1 x+ y− z=1 5x+ 3y+ 4z=2 3x+ 2y+ z=1 x+ y− z=1 5x+ 3y+ 4z=2

Tomamos los coeficientes de todos los términos de la ecuación (incluyendo los independientes al lado de la igualación) y los escribimos en forma de matrices. En un orden de izquierda a derecha comenzando por la x, seguido por la y, luego por la z y los términos independientes de últimos y separados por una línea recta o punteada. (Columnas)

En un orden de arriba abajo, los escribimos en el orden que establecimos de las ecuaciones anteriormente con respecto a sus coeficientes. (Filas)

X Y Z = Términos IndependientesFila 1

Fila 2

Fila 3

Ahora dependiendo de cada matriz, se multiplicaran algunas filas con un número N, mediante el cual sumándolas en un distinto orden, haga que los términos de la X de la segunda y tercera fila den “0”, pero no importa que altere los demás.

Por ejemplo la Fila 2 menos 3 veces la Fila 1 y la Fila 3 menos 5 veces la fila 1.

Luego debemos volver el coeficiente del término Y de la tercera fila 0 también, formando un triangulo de ceros debajo de la diagonal (Xfila1, YFila2 y ZFila3). Pero para lograr esto, no podemos seguir trabajando con la fila 1. Porque si bien podríamos conseguir volver el termino Y “0”, desharíamos el “0” del termino X, así que estrictamente se trabajara con la segunda fila. En este caso se hará la operación Fila 3 menos 2 veces la Fila 2:

Ahora con los coeficientes que restaron, armamos un nuevo grupo de ecuaciones, pero esta vez una de ellas quedara sólo con una incógnita y así será más fácil encontrar el valor de las dos restantes.

X + Y – Z = 1 De modo que ya nos dio el valor de Z siendo 1. Con-Y + 4Z = -2 despeje podemos hallar el valor de las demás.Z = 1 -Y + 4(1) = -2 -Y + 4 = -2 -Y = -6 Y = 6

X + (6) – (1) = 1 X + 6 – 1 = 1 X + 5 = 1 X = -4

Gracias al sistema de Gauss, se determino más rápidamente el valor de las incógnitas de las ecuaciones Z = 1, Y = 6 y X = -4.

Método de Gauss - Jordan

• El Método de Gauss – Jordan es similar al de Gauss, sólo que un poco más extenso. En vez de formar un triangulo de “0” debajo de la diagonal, se hará un triangulo de “0” también encima de la diagonal y al final dará el resultado directo de cada una de las incógnitas, sin necesidad de despejar esta vez.

Un ejemplo de ecuaciones:

El proceso es similar al del método de Gauss.

Comenzamos acomodando los coeficientes de las incógnitas y términos independientes en forma de matriz. Con el orden de izquierda a derecha de X, Y, Z y TI y de arriba abajo en filas comenzando con los términos de la ecuación con los coeficientes más pequeños.

En este ejemplo, eliminamos el coeficiente de X de la Fila 2 sumando 3/2 veces la Fila 1 a la misma Fila 2 y después sumamos la Fila 1 a la Fila 3.

Ahora eliminamos Y de la Fila 1 restando 2 veces la Fila 2 a la Fila 1, y restando 4 veces la Fila 2 a la Fila 3 para eliminar Y.

Para finalmente eliminar Z de la Fila 1 restando 2 veces la Fila 3 a la Fila 1, y sumando 1/2 veces la Fila 3 a la Fila 2 para eliminar Z. Dando el siguiente resultado:

Multiplicando la Fila 1 por ½ , la Fila 2 por 2 y la Fila 3 por 1, dará el siguiente resultado:

Dando los valores de las incógnitas directamente. Siendo X = 2; Y = 3; Z = -1.