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Institut National Polytechnique de Grenoble

THESE

pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L�INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE

GRENOBLE

Discipline � Automatique � Productique

pr�sent�e et soutenue publiquement

par

Laurence ROUSSEL

le � Novembre ��

Titre �

G�n�ration de trajectoires de marcheoptimales pour un robot bip�de

Directeur de th�se �

Carlos CANUDAS de WIT

JURY

Mme� Sylviane GENTIL Pr�sident

Mr� Guy BESSONNET Rapporteur

Mr� Gabriel ABBA Rapporteur

Mr� Bernard ESPIAU Examinateur

Mr� Carlos CANUDAS Examinateur

Th�se pr�par�e au Laboratoire d�Automatique de Grenoble

�

REMERCIEMENT S

Je tiens � remercier �

Madame Sylviane Gentil� professeur � l�INPG� d�avoir accept� la pr�sidence de mon jury dethse

Messieurs Gabriel Abba� ma�tre de conf�rence � l�ENSPS � Strasbourg� et Guy Bessonnet�professeur � l�Universit� de Poitiers� de m�avoir fait l�honneur d��tre rapporteur de ce travail Jeleur apporte ma gratitude pour les discussions� les conseils et les am�liorations qu�ils ont apport�� ce manuscrit

Monsieur Bernard Espiau� directeur de recherche � l�INRIA Rh ne�Alpes� pour avoir accept�d�examiner mon travail Je le remercie �galement de m�avoir fait partager quelques magni�quescoins pour l�escalade

Monsieur Carlos Canudas de Wit� directeur de recherche au CNRS pour m�avoir accueilliau sein de l��quipe Robotique et m�avoir encadr� durant ces trois ann�es Je le remercie �galementpour ses longues discussions et ses encouragements dans les moments de doute

Tout le groupe de recherche du PRC�GDR �Robot � pattes� qui a �t� le berceau de discussionsapprofondies entre tous les protagonistes et qui� je l�espre� d�bouchera sur la construction d�unsuperbe robot bipde Bonne chance et longue vie � Rabbit

Merci � France �la litt�raire�� Mazen et Pierre�Brice pour leur aide pr�cieuse et leurs critiquesdurant la r�daction

Le secr�tariat et l��quipe technique du laboratoire toujours souriants et tellement performants

Tous les copains de l��quipe� du labo et de l�INRIA pour les moments de d�tente mais aussiles conseils avis�s Une pens�e particulire pour Ernesto et sa musique �

Je remercie vivement tous les copains de l��quipe dite du �piQniQ� qui m�ont fait passer desjeudis soirs inoubliables autant du point de vue zygomatique que cullinaire � en esp�rant que celacontinue encore longtemps et avec autant d�assiduit�

Sans oublier les copains de la montagne avec qui j�ai partag� des moments inoubliables sourcesde bien �tre et de d�compression

Je ne terminerai pas sans remercier Jo�l qui rentre dans toutes les cat�gories � labo� piQniQ�montagne� mais qui a une place bien a part� une place de choix

Last but not least� je tiens � remercier mes parents du fond du c�ur et je leur d�die cem�moire

Table des mati�res

�� Introduction �

�� Pourquoi les robots marcheurs � �

�� Etat de l�art ��

�� Les r�alisations ��

�� Mod�lisation ��

�� G�n�ration de trajectoires ��

�� Etude de cycles limites naturels ��

�� Stabilisation des trajectoires ��

�� Conclusion et plan du m�moire ��

�� Mod�lisation � de l�homme au robot ��

�� La marche humaine ��

�� Mod�lisation des robots marcheurs ��

�� Sp�ci�cit�s des robots marcheurs ��

�� Mod�lisation cin�matique ��

�� Mod�lisation dynamique ��

�� Calcul des coe�cients dynamiques sans e�orts ext�rieurs ��

� Table des mati�res

�� Introduction des e�orts ext�rieurs ��

�� Fonctionnalit� du simulateur LAPIN ��

�� Conclusion ��

� Formulation du probl�me de g�n�ration de trajectoires optimales �

�� Fonction co�t ��

�� Formulation du problme ��

�� Les di��rentes m�thodes de r�solution ��

�� Le calcul variationnel ��

�� La commande optimale ��

�� Application des m�thodes indirectes au problme ��

�� M�thodes directes ��


� Optimisation avec mod�le de contact pied�sol rigide �

�� Modle utilis� ��

�� Dynamique sur un cycle complet de marche ��

�� Simpli�cation de la dynamique ��

�� Le problme de g�n�ration de trajectoire optimale ��

�� Proc�dure d�optimisation ��

�� Comparaison de trois m�thodes de g�n�ration de trajectoires optimales ��

�� M�thode sans param�trisation de la marche ��

�� M�thode avec param�trisation de la marche ��

�� Param�trisation temporelle ��

�� Param�trisation fr�quentielle ��

�� Algorithme d�optimisation ��

Table des mati�res �

�� R�sultats et comparaison ��

�� Extension de la m�thode sans param�trisation � un cycle complet de marche ��

�� Dynamique complte et simpli��e ��

�� G�n�rateur de marche optimale en �nergie ��


�� Mod�lisation compliante du contact pied�sol �

�� Modle compliant ��

�� Modle ressort�amortisseur lin�aire ��

�� Modle ressort�amortisseur non lin�aire ��

�� Application du modle compliant non lin�aire � un robot sauteur �D ��

�� Extension du modle non lin�aire en �D ��

�� Modle de frottement dynamique ��

�� Comparaison des modles �D ��

�� R�sultats ��

�� Application du modle �D au simulateur LAPIN ��


�� Formulation du probl�me d�optimisation avec les di��rents mod�les de contact��

�� Le problme de commande optimale avec le modle de contact rigide ��

�� Le problme de commande optimale avec le modle de contact compliant ��

�� Modle compliant avec frottement dynamique ��

�� Modle compliant avec ressort amortisseur non lin�aire ��



� Table des mati�res

A� Mod�le du simulateur LAPIN ��

B� Calcul des multiplicateurs de Lagrange pendant le double support ��

Bibliographie ��

�� Introduction

�� Pourquoi les robots marcheurs �

Les robots marcheurs bipdes� quadrupdes ou autres� font partie d�une classe de robotsmobiles dite � pattes La sup�riorit� de tels robots sur les robots � roues ou � chenilles prendtoute sa dimension en terrain accident� Ceux�ci peuvent mettre � pro�t le temps durant lequelune jambe est en l�air� appel� phase de vol� pour enjamber des obstacles ou gravir des escalierset ainsi d�montrer leur capacit� d�adaptation en terrain irr�gulier

Cependant cette capacit� se fait au d�triment de la complexit� du systme En e�et� le robotmarcheur alternant des phases de support pieds en contact avec le sol! et de vol comme nousle verrons dans la section �� il verra sa dynamique r�gie par un jeu d��quations di��rentielles�une pour chaque phase De plus� les impacts du pied sur le sol �tant classiquement mod�lis�spar des �quations alg�briques� des discontinuit�s apparaissent dans la dynamique comme nous leverrons en d�tail Cette complexit� fait partie des motivations de l��tude des robots marcheursIl faut �galement noter que pour chaque allure marche� course� saut!� le robot possde unfonctionnement nominal distinct qui se traduit par une consommation �nerg�tique di��rente

Cet int�r�t ne doit cependant pas voiler l�attrait d� au champ d�application Le domaine m��dical� � travers la biom�canique� se montre int�ress� par des potentialit�s de test de prothse parexemple Le robot bipde peut �galement �tre vu comme une aide � la meilleure compr�hensiondes pathologies Mais c�est sans doute dans l�intervention en terrain hostile � l�homme que lesrobots marcheurs trouvent une autre application de taille

C�est pourquoi les robots marcheurs suscitent un tel engouement dans la recherche en ro�botique en alliant des problmes de mod�lisation� de g�n�ration de trajectoire et de commandenouveaux� � des champs d�application vari�s et pointus

� � Introduction

�gure �� Le robot huma�

no�de WABIAN � WAseda BI�

ped humANo�d

�gure �� Le robot huma�

no�de Honda

�� Etat de l�art

�� Les r�alisations

Les premires constructions dans le domaine des robots marcheurs mettent en jeu des ma�chines incroyablement lourdes� comme celle de Mosher qui construisit en �� une voiture surpattes avec un homme comme pilote Marc H Raibert dans "��# retrace l�histoire des machinesconstruites La construction des bipdes est d�licate car les machines sont instables en statique �sans aucune action� le robot ne peut rester debout Une classi�cation des robots construits parnombre de pattes est disponible sur le site web suivant � http �$$wwwfzide$divisions$ipt$WMC$walking$machines$katalog$ Une �che des principales caract�ristiques ainsi qu�un lien vers le ser�veur correspondant au prototype est disponible� d�o% sont tir�s les quelques exemples suivantsretra&ant l�avanc�e des robots bipdes A l�Universit� de Waseda� une impressionnante s�rie derobots bipdes a �t� construite en quelques ann�es pour arriver au robot humano'de WABIAN��gure �� La majorit� d�entre eux ne marche qu�en statique� ce qui �vite le problme de la stabi�lit� de la marche Un autre robot humano'de japonais est apparu l�ann�e pass�e� celui de Honda�voir �gure �� Avec ses �m�� et ses ��kg� il reste le robot le plus accompli pouvant marcher�tourner� monter des escaliers Les membres locomoteurs possdent �� degr�s de libert� et le roboten compte �� en tout Son autonomie est de quinze minutes et les transmissions d�informationse font par Internet

Certains bipdes sont inspir�s des oiseaux� avec des pattes qui plient dans le sens inverse


�gure �� Le Spring�

Flamingo du MIT

�gure �� Le Spring�Turkey

du MIT

de l�humain� comme le Spring�Turkey et le Flamingo�Spring du MIT� voir �gures �� et ��Tous les moteurs du spring�turkey sont remont�s au niveau du tronc et la transmission de puis�sance se fait par c(bles Ce systme fut abandonn�e suite � des problmes techniques en faveurdu Flamingo�Spring qui garde le m�me principe de r�partition des masses Ce dernier possdel�avantage d�avoir toutes les articulations actionn�es� y compris les chevilles Nous verrons parla suite l�importance d�avoir toutes les articulations motoris�es a�n d��viter le problme du sous

actionnement D�ailleurs� la grande majorit� des robots bipdes construits jusqu�alors possdedes chevilles actionn�es Les deux modles du MIT ont �t� construits pour mettre en oeuvre lacommande Series Elastic Actuation gr(ce � la pr�sence de ressorts lin�aires dans les actionneurset la commande Virtual Model Control Le )amand pse �� kg pour une hauteur d�environ unmtre Le robot du LSIIT Robot Bipde � a un sens d�articulation du genou semblable � celui del�humain� �gure �� Il reste le premier exemplaire fran&ais en action Tout comme le Flamingo�Spring� les chevilles du bipde sont actionn�es Sa particularit� vient surtout de sa simplicit� deconception puisque les cinq articulations sont identiques et constitu�es d�un ensemble moteurs� courant continu * r�ducteurs �picyclo�daux!"��# Dans le prototype BIP d�velopp� conjointe�ment entre l�INRIA�Rh ne�Alpes et le LMS de Poitiers� la volont� est de construire un robotanthropomorphe avec �� degr�s de libert�� gure �� La r�partition des masses s�est e�ectu�eselon les critres humains En revanche� pour la motorisation� le choix ne s�est pas tourn� versune imitation des muscles gr(ce � des systmes de d�placements antagonistes� mais plut t versune association de moteurs brushless avec vis � bille et transmission par biellette Ces choixtechnologiques sont largement d�taill�s en "��#

�� Introduction

�gure �� Le robot bip�de de

GRAVIR

�gure �� Le robot BIP du

LMS

Certaines r�alisations sont rest�es improductives car �nerg�tiquement non viables On voit l�l�importance d�une �tude pr�liminaire faisant intervenir la mod�lisation� la g�n�ration de trajec�toire ou de cycles limites naturels� et en�n� la stabilisation Nous allons voir l��tat de l�art surces quatre parties

�� Mod�lisation

Mod�lisation cin�matique

La mod�lisation d�un robot bipde est une phase importante car elle di�re de celle d�unbras manipulateur classique� mais �galement d�un robot mobile sur roues Le robot �tant librede tout mouvement� le modle doit prendre en compte le fait que le bipde peut d�coller �tout moment Ceci augmente le nombre de degr�s de libert� n�cessaire � la mod�lisation de lastructure m�canique La complexit� allant croissante avec le nombre d�articulations� il conviendrade commencer l��tude avec un systme qui soit � la fois repr�sentatif des membres locomoteurset capable de reproduire l�essence des m�canismes de la marche� tout en gardant une simplicit�n�cessaire aux �tudes pr�liminaires Le minimum requis pour reproduire une marche humaineest d�avoir des articulations aux genoux et aux hanches

Mod�lisation dynamique

Avec l�hypothse de corps rigides en contact� les impacts des pieds au sol vont venir s�ajouter� la dynamique �quations di��rentielles!� � travers des impacts qui sont r�gis la plupart dutemps par des �quations alg�briques L�ensemble des deux se traduit donc par des �quations


alg�bro�di��rentielles gouvernant l��volution du robot L��quation du mouvement du robot durantles di��rentes p�riodes de la marche� est classiquement d�riv�e des principes de la m�caniquevan de Belt dans "��# emploie la m�thode de Kane� �galement appel�e forme Lagrangienne duprincipe de d�Alembert ou principe du travail virtuel! L�avantage de cette formulation est dene pas requ�rir l��criture des forces internes de r�action comme lors d�une formulation avec laseconde loi de Newton� et de ne pas requ�rir le calcul des d�riv�es des �nergies potentielles etcin�tiques comme dans la formulation d�Euler�Lagrange Le nombre d��quations d��tat n�cessaire� la description du mouvement est minimal� n�anmoins cette formulation ne permet pas dedistinguer les termes d�inerties� de ceux de la gravit�� et de ceux dus aux forces centriptesDe m�me la commande n�appara�t pas explicitement� mais uniquement au travers des forcesengendr�es sur le corps Hormis cet exemple marginal� la communaut� s�entend pour d�riverle modle de la formulation d�Euler�Lagrange� celle�ci �tant en relation directe avec les notions�nerg�tiques� elles�m�me �troitement li�es � la marche

Mod�lisation du ph�nom�ne de contact pied�sol

Le robot est donc soumis � des contraintes unilat�rales qui emp�chent les corps de s�inter�p�n�trer A�n de ne pas augmenter le nombre de degr�s de libert�� certaines �tudes mod�lisentle robot bipde comme un bras manipulateur en supposant le pied de support �x� au sol et env�ri�ant a posteriori le non glissement ou le non d�collage du pied "��# "��# Cette mod�lisa�tion fait intervenir des contraintes bilat�rales A partir de cette hypothse� la phase de doublesupport est g�n�ralement mod�lis�e � l�aide des multiplicateurs de Lagrange qui introduisent lacontrainte due au fait que le pied qui arrive au sol doit rester sur le sol durant cette phase� dansla dynamique du double support Cette mod�lisation est adopt�e dans de nombreux articles�parmis lesquels nous pouvons citer "��#"��#"��#� et le papier de Shih et Gruver "��# s�int�ressantuniquement � la phase de double support

Jusqu�� r�cemment� la mod�lisation avec un pivot �xe �tait le seul palliatif existant� car lamod�lisation avec un modle libre soumis � des contacts multiples conservait des incoh�rencesAprs avoir montr� l�importance de la mod�lisation du ph�nomne d�impact dans la stabilisationde la marche en "��#� Hurmuzlu a le premier r�alis� une �tude trs complte mettant en lumirel��volution de deux corps rigides en contact avec le sol � une extr�mit� et rentrant en contactensemble � l�autre extr�mit� Toutes les possibilit�s de glissement� d�collage ou contact ont �t�pass�es en revue dans "��# en fonction des conditions initiales de vitesse Cette �tude est bas�e surla conservation des moments et l��criture d��quations d�impact L�extension au cas d�un bipde� � degr�s de libert� est r�alis�e dans "��# et "��# Un autre travail d�velopp� r�cemment "��# apermis de donner les conditions sur l��tat de pr��impact a�n de garantir le non�glissement en post�impact G�not et Brogliato ont d�velopp� leur modle avec une loi de frottement d�Amontons�Coulomb et une loi de restitution Les conditions sont alors obtenues en r�solvant un LinearComplementarity Problem LCP! d�licat d�un point de vue num�rique Notons que Blajer etSchielen dans "�# s�emploient � g�n�rer des trajectoires o% une contrainte veut que le pied quiarrive au sol ait une vitesse verticale nulle� ceci ne produisant pas d�impact Ce concept de marche

�� Introduction

sans impact a �t� repris dans "��#� o% la g�n�ration de trajectoires optimales se fait avec vitessede �n de phase de vol nulle

La deuxime approche pour mod�liser le contact pied$sol est d�utiliser un modle compliantbas� sur l�introduction d��l�ments compliants� ressort et amortisseur� entre les deux surfaces encontact Cette approche� fr�quemment utilis�e dans le monde de l�animation et de la simulationdynamique� a fait l�objet d�un worshop � la conf�rence IROS en �� "�# Les modles utilisentla plupart du temps un systme de ressort�amortisseur classique Or ce dernier pr�sente d�impor�tants inconv�nients du point de vue physique � au moment du collage une discontinuit� appara�tdans les forces de contact� or la force doit �tre nulle au moment du contact et cro�tre durantla phase de compression Le modle non lin�aire introduit par Hunt et Crosseley "��# en ��repris par Marhefka et Orin dans "��# pallie ces faiblesses La base de ce modle a �t� introduitepar Hertz dans la m�canique des milieux continus� largement d�taill�e dans "��# La dynamiqued�un corps en contact devient donc continue avec cette forme de mod�lisation Une �quivalenceentre le modle non lin�aire et un coe�cient de restitution fonction de la vitesse d�impact estfaite dans "��# + alors que "��# montre que l��quation dans le plan de phase d�une masse en contactavec une surface peut �tre obtenue explicitement gr(ce au modle non lin�aire

�� G�n�ration de trajectoires

La trajectoire que doit suivre un robot marcheur doit avoir les principales caract�ristiquesde la marche� � savoir �tre p�riodique une p�riode aussi appel�e cycle de marche se r�pte pourproduire la marche!� mais �tre aussi une alternance de phase de simple support et de doublesupport pieds au sol ou pied en l�air! Ces caract�ristiques de la marche seront d�taill�es auchapitre suivant Une fois la mod�lisation du robot r�alis�e sur un cycle de marche� la deuxime�tape du problme consiste � d��nir les trajectoires de marche du robot La marche est essen�tiellement d��nie par une vitesse de progression qui ne d��nit pas le mouvement complet durobot� � savoir les coordonn�es articulaires associ�es � cette t(che On voit par l� la n�cessit� deg�n�rer des trajectoires de marche pour le robot � pattes La marche humaine� par son e�cacit�et son naturel� est le modle id�al pour le robot bipde De plus� reproduire des comportementshumains reste un challenge technologique important et piquant la curiosit� de tout un chacunN�anmoins� ce qui est une marche e�cace ou naturelle pour l�homme ne l�est pas forc�ment pourle robot

Trajectoires g�n�r�es � partir de relev�s biom�caniques

Les �tudes biom�caniques� � travers des relev�s e�ectu�s sur des humains en train de mar�cher� fournissent des donn�es telles que les angles articulaires� ou les trajectoires cart�siennes dud�placement des points clefs � hanche� genou� cheville Bruneau et al dans "��# partent d�un cyclede trajectoires articulaires enregistr�es sur un homme qui marche� pour g�n�rer une famille detrajectoires en d�formant ce cycle via des rotations� translations et homoth�ties Ils obtiennent


alors les coordonn�es articulaires pour di��rentes vitesses de marche� longueur de pas� ainsi queles transitions n�cessaires pour passer d�une allure � une autre

Trajectoires g�n�r�es � partir de g�n�rateurs d�allure

Les g�n�rateurs d�allure cr�ent des marches cycliques par l�introduction d�oscillateurs stablesKatoh et Mori dans "��# choisissent des �quations de van der Pol pour d�crire l��volution descoordonn�es articulaires sur leur bipde de type compas Les di��rents �patterns� sont obtenusen faisant varier les coe�cients de l�oscillateur Les �quations de van der Pol sont �galementutilis�es dans "��# pour d�crire l��volution des angles des genoux et de la hanche En changeantles coe�cients de ces �quations� di��rentes allures peuvent �tre g�n�r�es Notons que dans "��#�les �quations dynamiques sont lin�aris�es autour de la position verticale ce qui� dans le contextede l��tude des robots marcheurs� n�apporte rien + le mouvement �tant limit� autour de la verti�cale� cela correspond � des pas d�amplitude trs r�duite n�ayant pas d�int�r�t du point de vueanthropomorphique

Trajectoires � d�pense d��nergie minimale

La troisime d�marche pour g�n�rer des trajectoires de r�f�rence� consiste � choisir les tra�jectoires n�cessitant le moins d��nergie Les robots marcheurs �tant amen�s � �tre autonomes�il est int�ressant de minimiser leurs d�penses �nerg�tiques a�n d�accro�tre leur autonomie Les�tudes biom�caniques sur le sujet� dont la plus complte est "��#� montrent que lorsque la vitessen�est pas un facteur important� l�homme va adopter sa vitesse dite naturelle qui minimise saconsommation d�oxygne et donc sa consommation d��nergie Pour traduire cela chez le robotbipde� deux types de sch�mas d�optimisation sont possibles �

, M�thode d�optimisation indirecte qui consiste � �crire les conditions d�optimalit� d�rivantde la th�orie de la commande optimale puis r�soudre ces �quations pour trouver les trajec�toires optimales La mise en �uvre num�rique devient d�licate ds lors que la connaissancea priori de la solution du systme n�est pas bonne Les conditions obtenues �tant des condi�tions n�cessaires� l�optimalit� ne peut �tre garantie que lorsque les conditions su�santesseront possible � obtenir Cette technique est employ�e par Rostami et Bessonnet dans "��#pour g�n�rer des trajectoires minimisant l��nergie d�pens�e gr(ce au Principe du Minimumde Pontriaguine Malgr� leur exp�rience dans ce domaine "�#"�#"��#� leur travail ne prenden compte que la phase de simple support et a pour but de g�n�rer une marche �lisse��c�est � dire avec vitesse normale d�arriv�e au sol nulle du pied de la jambe de balancement�a�n de s�a�ranchir du problme d�impact La phase de double support est� quant � elle�vue comme une phase pendant laquelle le robot est transf�r� dans les conditions initialesdu pas suivant� sans pour l�instant avoir de notion d�optimalit� Une m�thode de tir estutilis�e et d�crite dans "��#

, M�thode d�optimisation directe � les trajectoires optimales� et la commande en boucle ou�verte correspondante� sont obtenues directement par minimisation d�un critre re)�tantl��nergie d�pens�e au cours d�un cycle de marche Cette m�thode fait appel � la program�mation non lin�aire et implique une discr�tisation du systme La recherche de l�optimum

�� Introduction

se fait ensuite par une m�thode directe� comme le gradient� avec des degr�s de ra�ne�ment variables Abba et al dans "��# se proposent d�utiliser un algorithme g�n�tique pourtrouver les trajectoires optimales Si la convergence est robuste� elle se fait � l�aide de r��glage de paramtres pourcentage de croisement� taille de la population! n�cessitant lam�me habitude de r�glage que ceux des m�thodes du type gradient perturbation� critred�arr�t! La convergence de ces m�thodes num�riques s�avre relativement bonne sur desproblmes standard mais l�inconv�nient majeur est que l�optimalit� n�est absolument pasgarantie Ce sch�ma direct d�optimisation est employ� dans de nombreux cas � "��# "��#"��#Channon et al dans "��#"��#� param�trisent les coordonn�es cart�siennes de la marche pardes polyn mes du temps et minimisent un critre �nerg�tique gr(ce aux coe�cients de cespolyn mes L��volution des coordonn�es articulaires est quant � elle param�tris�e par uned�composition en s�rie de Fourier tronqu�e dans "��#"��#"��# Ce sont �galement les coef��cients de la s�rie qui servent de degr�s de libert� � l�optimisation du critre Dans "��#�une combinaison de polyn mes du temps et de s�rie de Fourier est utilis�e pour g�n�rer lestrajectoires � d�pense d��nergie minimale Chevallereau et Perrin dans "��#"��# "��#"��#"��#�partent de la constatation que la marche est une succession de phases de rel(chement mus�culaire et de contraction� pour faire l�hypothse que les phases de simple support sont destrajectoires balistiques et que les couples moteurs ne sont pr�sents qu�autour du moment del�impact Ceci produit des trajectoires avec forces impulsionnelles au moment de l�impactCes trajectoires balistiques sont obtenues avec comme degr� de libert� les vitesses initialesPartant du fait que les commandes impulsionnelles ne peuvent �tre r�alis�es en pratique�ces trajectoires sont d�form�es pour assurer une transition plus lisse entre les pas

Notons que quelle que soit la m�thode employ�e pour g�n�rer les trajectoires� cette d�marcheest la seule r�ellement s�rieuse car m�me si l�optimalit� n�est pas toujours garantie� elle prend encompte la dynamique du robot contrairement aux trajectoires calqu�es sur les relev�s biom�ca�niques ou g�n�r�es � partir des CPG

�� Etude de cycles limites naturels

Marche passive

Ce vers quoi veulent tendre toutes les recherches de trajectoires � �nergie minimale seraitune marche passive sans injection d��nergie La dissipation d��nergie qui a lieu durant l�impactrend cette marche impossible sur un sol plan En revanche� l��tude de la marche passive surplan inclin� est une voie de recherche toujours active Mc Geer dans "��# �tudie la marche passived�une poup�e� assimil�e � deux jambes rigides munies de pied en arc de cercle� sur un plan inclin�L��nergie perdue au moment de l�impact est alors compens�e par la perte d�altitude donnant ainsilieu � des cycles limites stables Le caractre cyclique de la marche est �tudi� � l�aide d�une sectionde Poincar� faisant le lien entre les conditions initiales de deux pas cons�cutifs Ces �tudes dem�canismes simples ont �t� reprises et �tendues par Ruina dans "��# ainsi qu�au cas de la roue


sans jante en �D par Smith "��#

Cycles limites contr�l�s

Goswami� Espiau et Keramane� dans "��# "��# "��#� ont mis en �vidence des cycles limitesstables d�un compas sur des plans inclin�s de faible pente Le domaine de stabilit� de ces cyclesnum�riques est augment� gr(ce � un contr le de l�angle inter�jambe ou de la cheville Kajita etal� dans "��#� considrent un compas id�al� jambes sans masse� et produisent des trajectoires sousforme d�orbite � �nergie potentielle constante caract�ris�e par une hauteur du tronc constante!La stabilisation intervient ensuite gr(ce � une boucle de r�tro�alimentation sur l�inclinaison etla hauteur du tronc Une �tude sur les r�gimes naturels des monopodes sauteurs est l��uvre deSamson et Fran&ois dans "��# "��# Leur robot sauteur est constitu� d�une masse attach�e par unressort de torsion � une jambe t�l�scopique munie� elle aussi� d�un ressort lin�aire lui permettantde s��tendre Ces �l�ments de stockage d��nergie vont �tre mis � pro�t pour produire les cycleslimites naturels du sauteur Les �quations dynamiques du robot sont simpli��es a�n d�obtenirun problme pouvant se traiter de manire alg�brique Les r�gimes nominaux� c�est � dire noncontr l�s� peuvent ainsi �tre obtenus explicitement� et une commande impulsionnelle pendant lecontact peut alors stabiliser le robot autour de ceux�ci Finalement� la commande impulsionnellepeut �tre remplac�e par une commande constante par morceaux� plus r�aliste � mettre en oeuvre

�� Stabilisation des trajectoires

Utilisation du centre de pression

Vukobratovic dans "��# d��nit la stabilit� dynamique de la marche gr(ce � l�expression duZMP Zero Moment Point! � si ce point d��ni comme le point o% le moment dynamique desforces normales d�appui est nul! reste dans le polygone de sustentation lui m�me d��ni commel�enveloppe convexe contenant tous les points au sol� alors la marche est dynamiquement stableLe v�ritable problme est de d��nir la stabilit� de la marche� puisqu�une succession de cyclesinstables et de mouvements en d�s�quilibre la jambe d�appui est assimil�e � un pendule inverse!mne � une marche stable Aprs avoir d��ni des trajectoires lisses � l�aide de polyn me du tempsd�ordre �� Seo and Yoon dans "��#� mettent en oeuvre une commande locale proportionnelle�d�riv�e! de suivi de trajectoire Celle�ci stabilisant chaque articulation mais non le bipde dansson entier� ils d��nissent une marge de stabilit� � l�aide du ZMP a�n de la maximiser et degarantir ainsi la stabilit� de la marche On peut noter que le ZMP est essentiellement employ� a

posteriori pour v�ri�er la stabilit� de la marche La commande intuitive d�velopp�e sur le spring�Flamingo par Pratt dans "��#� �quivaut � une version statique du ZMP en exploitant le �VirtualToe Point� correspondant au point du pied o% le moment des forces normales d�appui est nul!La commande intuitive a souvent �t� d�cri�e car ne comportant pas d�analyse math�matique�mais elle est cependant bas�e sur des intuitions provenant de l�observation de la marche� ou descritres physiques La posture va ainsi �tre command�e sans d��nition exacte d�une trajectoire� suivre� mais en stabilisant diverses grandeurs caract�ristiques de la marche �

�� Introduction

, stabilisation de la hauteur par rapport au sol par l�introduction d�un ressort virtuel entrela masse du corps et le sol�

, stabilisation de l�inclinaison du corps dans le plan sagittal tangage ou �pitch�! La stabili�sation n�cessite d�avoir un centre de gravit� au dessus de la hanche Un ressort de torsionvirtuel est �galement utilis� ici

, stabilisation de la vitesse d�avancement en changeant la longueur de pas en fonction dela vitesse� ou en d�pla&ant le virtual toe point pendant la phase de simple support � enl�avan&ant� le robot acc�lre� en le reculant� le robot ralentit La premire m�thode constitueun changement discret et la vitesse pourra �tre stabilis�e en plusieurs pas

Pour chaque grandeur � stabiliser� les auteurs commentent toutes les possibilit�s qu�ils ont misesen �uvre et les r�sultats obtenus sur le Spring�Flamingo

Stabilisation par couples calcul�s

Il n�est pas possible d�obtenir explicitement les marches ne pr�sentant pas de d�pense d��ner�gie� dont nous avons parl�es pr�c�demment Le but des recherches actuelles est de pouvoir g�n�rerdes allures � d�pense d��nergie minimale et pour se faire� plusieurs m�thodes sont employ�es Lapremire consiste� une fois les trajectoires optimales identi��es� � stabiliser le robot autour de cestrajectoires gr(ce � un couple calcul� n�cessitant une connaissance exacte de la dynamique dusystme et un actionnement complet des degr�s de libert� a�n de d�coupler le systme "��# et "��#Le fait de devoir suivre une trajectoire par une �quation d�erreur implique la perte de l�optima�lit� � les couples n�cessaires � la poursuite pourront �tre �lev�s alors que les �tats seront prochesCeci vient de la remarque que des trajectoires assez semblables peuvent �tre �nerg�tiquementtrs di��rentes

Stabilisation en boucle ferm�e

C�est pourquoi� l�avenir est plut t � la g�n�ration de trajectoires en boucle ferm�e qui d��velopperait des allures cycliques � d�penses d��nergie minimale A notre connaissance� aucune�tude g�n�rant des trajectoires avec notion d�optimalit� en boucle ferm�e n�a �t� r�alis�e � cejour Le travail de Jalics� Hemami et Clymer "��# est bas� sur une allure de marche appel�e abu�sivement adaptative En �xant seulement quelques points dans un cycle de marche et non pas latrajectoire entire� ils contr lent la rythmique du mouvement� c�est � dire la vitesse d�avancementet la fr�quence des pas Cependant pour se rendre d�un point �x� � un autre� un PID est utilis�faisant alors intervenir des acc�l�rations fortes

�� Conclusion et plan du m�moire

Nous avons vu ces dernires ann�es des r�alisations technologiquement fort accomplies� n�an�moins l��tude des robots marcheurs� et plus particulirement des bipdes� est loin d��tre termin�eLe travail men�e durant le doctorat se concentre sur les points �� et �� qui concernent res�

�� Conclusion et plan du m moire ��

pectivement la mod�lisation et la g�n�ration de trajectoires du robot bipde Ainsi� l��tude descycles limites et la stabilisation des trajectoires ne seront pas abord�es

Nous verrons tout d�abord dans le chapitre � un rappel de la marche humaine et les termescouramment utilis�s le long du m�moire� suivi d�une mod�lisation des robots bipdes tenantcompte de leur particularit� consistant principalement � ne pas �tre �x�s au sol comme unmanipulateur

Une r�)exion sur les d�penses �nerg�tiques du robot durant la marche nous amnera � �crireune fonction co�t qui nous permettra �nalement de formuler le problme de commande optimaleau chapitre � La di�cult� intrinsque du problme nous fait nous heurter � des problmesimportants dans l�application des techniques de l�optimisation indirecte

C�est pourquoi au chapitre � nous verrons la g�n�ration de trajectoires optimales gr(ce �un sch�ma direct Dans un premier temps� nous voulons mieux comprendre le m�canisme dela marche associ� � des notions de co�t �nerg�tique Nous nous attacherons � comparer desm�thodes de param�trisation de la marche � une optimisation sans param�trisation� pour la g��n�ration de trajectoires sur un modle de bipde simpli�� et uniquement sur la phase de simplesupport Puis nous �tendrons cette optimisation � un cycle complet de marche incluant les phasesde simple et double support ainsi que les transitions � impact du pied au sol et encha�nement depas L�optimisation �tant un processus lent� nous d�velopperons un g�n�rateur de trajectoires op�timales pr��enregistr�es � partir duquel nous tirerons des conclusions �nerg�tiques en comparantcertains r�sultats aux critres humains

Durant l�extension de l�optimisation au cycle complet de marche� l��tude de la litt�raturesur la mod�lisation du ph�nomne des impacts dans le cas de contacts multiples a r�v�l� unr�el problme qui n��tait pas alors entirement r�solu � notre connaissance C�est pourquoi nousnous sommes tourn�s vers les modles compliants non lin�aires permettant une extension ais�e� des cas multi�contacts Ces modles seront d�taill�s au chapitre �� et un modle de frottementdynamique sera adjoint au modle compliant classique repr�sent� par des ressorts�amortisseursNous verrons ce que peut apporter l�introduction d�un tel modle compliant Ces avantages irontde la facilit� � changer les paramtres du sol pour la simulation jusqu�� la continuit� des �quationsde la dynamique Ces modles nous permettrons ainsi d�ouvrir une porte sur une formulationg�n�rale pour la g�n�ration de trajectoires �nerg�tiquement �conomes gr(ce � une mod�lisationunique quel que soit l��tat du robot Cependant� une formulation de type commande optimalene sera pas envisageable� chapitre �

� � Introduction

�� Mod�lisation � de l�homme au robot

A�n de pouvoir juger de ce qu�est une marche optimale pour un robot bipde� il convienttout d�abord de rappeler les principaux m�canismes de la marche humaine et de clari�er lestermes biom�caniques les plus fr�quemment utilis�s le long du m�moire Nous verrons ensuitela mod�lisation d�un robot bipde en soulignant ses particularit�s Le d�tail de la mod�lisationsera donn� dans le cas d�un robot � � degr�s de libert� d�velopp� dans le cadre d�un projet dePRC�GdR du CNRS et nomm� LAPIN

�� La marche humaine

La marche est un ph�nomne trs ancien dans l��volution puisque les premires traces demarche bipodale sont apparues il y a plusieurs millions d�ann�es� et cependant� elle reste unph�nomne complexe Pour se convaincre de cette complexit�� il su�t de rappeler quelqueschi�res � l�unit� locomotrice repr�sente environ �� du poids total humain� elle met en jeux�� degr�s de libert� et n�cessite l�action de �� muscles par jambe Il faut noter �galement que lecorps dispose d�un fantastique systme de perception en la pr�sence de capteurs d�acc�l�rationsangulaires et lin�aires qui assurent la stabilisation dynamique et permettent le contr le de latrajectoire en l�absence du contr le visuel Avant de pr�tendre reproduire un pareil comportementsur un robot� quelques notions fondamentales de la marche humaine sont n�cessaires Elles sontprincipalement tir�es de l�ouvrage "��# qui fait r�f�rence dans le domaine

Les phases de la marche

Ainsi� on appelle cycle complet de marche l�activit� d�un membre inf�rieur depuis le contactdu talon� jusqu�au prochain contact Le d�coupage percentile du cycle donne naissance auxdi��rentes phases de la marche

, La phase de simple support� commence avec l�appui total d�un pied au sol jusqu�aulever du talon de ce m�me pied Cette phase repr�sente de � � �� du temps de marche�elle est donc caract�ris�e par un seul appui au sol Le poids du marcheur repose alors sur

�� Mod lisation � de l�homme au robot

00 12 30 50 62 75 85 100

Premierdoublesupport

Simplesupport

Seconddoublesupport

Bal.initial

Bal.médian

Bal.final

SOUS-PHASES

PHASESPhase de support Phase de balancement

% du CYCLE

EVENEMENTS

Ipsicontacttalon

Controdécol.orteils

Controcontacttalon

Ipsidécol.orteils

InversionSens ForceRéaction Sol

Ipsidéga -

gement

Ipsitibia

vertical

Ipsicontacttalon

IHC CTO CHC ITO IHCIFC ITV

�gure �� Les di��rentes phases d�un cycle de marche�

ce support unique La jambe d�appui durant cette phase a un mouvement de type pendule

invers� o% le point �xe est repr�sent� par le pied d�appui et l�extr�mit� libre� par la hancheSi l�on considre l�ensemble form� par les deux membres inf�rieurs durant cette phase� cetensemble constitue une cha�ne cin�matique ouverte en raison de l�appui unipodal

, La phase de balancement repr�sente la phase de passage du membre oscillant qui avanceen se pliant puis s��tendant Ce dernier ne supporte aucun poids du corps humain Lemouvement de ce membre s�apparente � un mouvement de type pendule� le point �xe �tantcette fois la hanche et l�extr�mit� libre� le pied de balancement

Remarque �� Il est � noter que cette phase se d�roule simultan�ment � la phase de

simple support mais sur des membres di��rents � lorsqu�une jambe est en phase de simple

support� l�autre est en phase de balancement �, La phase de double support repr�sente �� d�un cycle de marche� elle est ca�

ract�ris�e par le fait que les deux pieds sont au sol simultan�ment Durant cette phase� lemarcheur ayant un double support s�apparente � une cha�ne cin�matique ferm�e

�� La marche humaine ��

X

Y

Z

Plan Frontal(ou Coronal)

Plan Sagittal

PlanTransversal

�gure �� Description des plans

frontal et sagittal�

Chaque membre reproduit donc ces trois phases alternativement � phase d�appui� phase dedouble support puis phase de vol� comme le montre la �gure �� La sym�trie de marche des deuxjambes �tant acquise chez le robot bipde� � partir de maintenant� nous appellerons abusivementcycle de marche pour le robot marcheur� la moiti� d�un cycle de marche chez l�homme Ce quirepr�sente la succession d�une phase de simple et de double support ainsi que les transitionsassoci�es� quelle que soit la jambe de support

Le d�marrage n�est pas consid�r� comme un cycle de marche car ni les s�quences motricesni les e�orts musculaires mis en jeu ne sont les m�mes qu�au cours de la marche en r�gime per�manent Cependant� les forces exerc�es lors du d�marrage sont inf�rieures en intensit� � cellesmesur�es lors d�une marche �tablie Les relev�s biom�caniques supposent que le sujet est d�j� enmarche Il en sera de m�me durant ce rapport pour le robot

D�placement du centre de gravit�

Le centre de gravit� est un point essentiel pour l��tude de la marche humaine� comme pourl��tude d�un systme m�canique Celui�ci se situe � environ � de la hauteur totale d�un homme� compter de la base du pied� ce qui correspond � la deuxime vertbre sacr�e� ou� pour les nonsp�cialistes� � hauteur du bassin


Polygône de sustentation

Projection du centre de masse

�gure �� La projection du centre de

masse reste dans le polygne de sustenta�

tion dans le cas d�une marche statique�

Si l�on considre un modle cin�matique de type compas avec les membres rigides et lebassin �xe!� on observe une excursion du centre de gravit� d�au moins mm en hauteur A�nde r�duire ce d�battement� divers d�placements de segments sont mis en jeu lors de la marchechez l�homme On peut noter �

, Dans le plan sagittal� d��ni sur la �gure �� rotation du bassin autour de l�axe vertical�basculement du bassin du c t� non porteur� )exion du genou pendant l�appui� mouvementdu pied et de la cheville�

, Dans le plan frontal� d��ni sur la �gure �� d�placement lat�ral du bassin

Tous ces mouvements contribuent � diminuer consid�rablement le d�battement du centre degravit� Ils aident �galement � la continuit� trs coul�e des mouvements des membres inf�rieursdurant un cycle de marche� ce qui r�duit �galement les d�placements brutaux du centre de gravit�On passe donc ainsi d�un d�battement d�environ mm avec un minimum de degr� de libert�et sans coordination de mouvement� � un d�placement maximum voisin de � � � mm avec unmodle humain

A�n de conserver l��quilibre� il est n�cessaire de d�placer la verticale du centre de gravit�sur un pied puis sur l�autre Le centre de gravit� suit donc un double mouvement altern�� undans le plan sagittal et un dans le plan frontal� de m�me amplitude Ceci constitue un critrebiom�canique � l��tablissement d�une marche �conomique � le d�placement du centre de gravit�

dans les plans sagittal et frontal� doit tre sym�trique et p�riodique de type sinuso�dal

Il est � noter� que la rotation oppos�e de l�axe des �paules par rapport � l�axe du bassin� ainsique le balancement et le )�chissement des bras qui jouent un r le stockeur d��nergie� apparaissentcomme deux autres mouvements fondamentaux facilitant la marche La r�duction du d�battementdu centre de gravit�� travers ces mouvements complexes� aide � rendre la marche moins co�teuseen �nergie

Marche statique� marche dynamique

Il convient �galement de d��nir ce qu�est une marche statique et une marche dynamique a�n

�� Mod lisation des robots marcheurs ��

de les di��rencier La marche devient dynamique lorsque la projection du centre de masse surle sol quitte ce qui est appel� polygone de sustentation et qui peut se d��nir comme l�enveloppeconvexe joignant les points d�appui au sol� voir �gure �� La marche devient alors une successionde mouvements en d�s�quilibre Le centre de masse �tant en avant de la jambe d�appui� il d�s��quilibre le sujet vers l�avant Ce dernier entra�ne la jambe pendulaire vers l�avant qui rattrape led�s�quilibre en prenant appui au sol� puis c�est de nouveau l�avanc�e du centre de masse pendantle double support C�est ainsi que l�encha�nement des pas est assur� Par opposition� la marchestatique ne pr�sente pas de d�s�quilibre ce qui rend cette marche beaucoup plus stable� mais cetype de marche n�apporte aucun b�n��ce quant aux d�penses �nerg�tiques

Energie mise en jeu

Il faut noter que pour chaque allure marche� course� saut! l�homme� et par cons�quent unrobot marcheur� possde un fonctionnement nominal di��rent qui� cela va de soi� entra�ne uneconsommation d��nergie di��rente Chez l�homme deux vitesses sont remarquables � la vitesse

naturelle ou vitesse de confort et la vitesse rapide Cette dernire est adopt�e lorsqu�un sujet �pour but de minimiser son temps de parcours et elle se situe autour de �� m�s Par opposition�en l�absence de contraintes� le sujet se d�place � la vitesse naturelle qui varie de �� m�s

selon les personnes� et a pour caract�ristique de minimiser la d�pense d��nergie du marcheur quise mesure par le rapport consommation d�oxyg�ne�distance parcourue C�est pourquoi� lorsquenous sommes contraints � une vitesse di��rente� la fatigue survient plus rapidement� par exemplelors d�une vitesse plus �lev�e � comme pour la marche rapide� c�est le temps qui est privil�gi�plut t que l��nergie D�ailleurs� au del� d�une certaine vitesse� la course devient plus �conome�nerg�tiquement que la marche M�me si cela nous para�t moins �vident� la d�pense �nerg�tiquelors d�une marche � vitesse plus basse est �galement plus importante que lors de la vitesse deconfort� comme durant une visite de mus�e ou des courses � l��picerie C�est parce que la marchenaturelle chez l�homme est celle qui minimise sa consommation d�oxygne que nous d�sironsg�n�rer des trajectoires de marche qui soient optimales en �nergie pour le robot bipde

�� Mod�lisation des robots marcheurs

Le robot marcheur se distingue de son homologue manipulateur par le fait qu�il n�est pasrigidement �x� au sol Nous verrons dans cette section ce qu�entra�ne une telle particularit� dupoint de vue de la mod�lisation Aprs avoir soulign� les particularit�s du robot marcheur� nousverrons la cin�matique associ�e � un robot bipde simple� puis la dynamique Nous verrons en�nl�application au simulateur LAPIN d�velopp� dans le cadre du projet PRC�GdR du CNRS surles robots � pattes et servant de d�monstrateur commun


�� Sp�ci�cit�s des robots marcheurs

Le robot marcheur se distingue d�un manipulateur sur plusieurs points� ce qui entra�ne unemod�lisation tout � fait particulire Tout d�abord� il faut s�attacher � noter ses di��rences cin��matique et dynamique Au niveau de la cin�matique� un robot marcheur a pour caract�ristiquede ne pas �tre li� � une base �xe permanente� les pieds d�collant alternativement durant lamarche Ceci a pour e�et d�accro�tre le nombre de degr�s de libert� n�cessaires � la mod�lisationdu robot De plus� le fait de ne pas avoir de base �xe induit de ne pouvoir exercer qu�un couplelimit� au niveau de l�articulation de la cheville� entre le pied et le tibia de la jambe d�appui� cecouple �tant limit� par la longueur du pied de support En cas de contact ponctuel en bout depatte� aucun couple n�est alors applicable Le robot bipde est donc sous actionn� c�est � direque le nombre d�actionneurs est inf�rieur au nombre de degr�s de libert� du robot

Le mouvement de la marche est d�coup� en plusieurs phases comme nous venons de le voir�avec une mod�lisation propre suivant le nombre de point d�appui au sol Le robot marcheur verraalors sa dynamique ob�ir � un jeu d��quations di��rentielles du type �X � f X � u�� Quant auxphases de transition� que ce soit l�impact au moment de la pose du pied au sol ou la phase ded�collage permettant d�encha�ner les pas� elles sont mod�lis�es le plus souvent par des �quationsalg�briques La mod�lisation de tels ph�nomnes n�est pas entirement r�solue � ce jour et faitpartie d�un chapitre de ce m�moire Sous l�hypothse des corps rigides� le robot marcheur entrealors dans la cat�gorie des syst�mes hybrides alternant dynamique continue et discrte sur letemps

�� Mod�lisation cin�matique

La question essentielle pour e�ectuer la mod�lisation cin�matique d�un robot marcheur est desavoir quel est le nombre de degr�s de libert� minimal n�cessaire pour reproduire la marche sansatteindre une complexit� trop importante L�homme en utilisant �� il est naturel de se restreindre� un nombre bien inf�rieur C�est pourquoi le modle cin�matique doit �tre capable de reproduireles caract�ristiques principales du m�canisme de la marche humaine� tout en permettant deconserver des intuitions physiques quant � son comportement Ces raisons nous ont amen�s �choisir un modle � � degr�s de libert� dans le plan Ce modle est compos� de deux jambesarticul�es aux genoux ainsi que d�un tronc reli� aux jambes par une hanche roto'de� voir �gure ��La hanche a �t� choisie comme l�origine de la base mobile plut t qu�un pied car la mod�lisationdes deux jambes va alors devenir sym�trique quelle Le modle cin�matique est donc obtenu �

�La calligraphie de X a t introduite pour distinguer l� tat du syst�me et la variable de l�espace cart sien x


y

x

q

q q

qq

1

31 32

4142

S

S

SS

S

1

3231

4142

�gure �� Sch�ma du robot bi�

p�de � degr�s de libert� dans le

plan�

1 2

3 4

u u

uu

�gure �� Les quatre action�

neurs du robot�

l�aide des variables de con�guration suivantes �

q �

�BBBBBBBBBB�

q�q��q��q��q��x

y

�CCCCCCCCCCA

��!

x� y rep�rant la hanche� q � IR� est le vecteur des positions angulaires et des positions cart�siennesde la hanche Les degr�s de libert� du robot sont repr�sent�s par les variables de con�guration

Application au simulateur LAPIN

Les segments ont une longueur li� une masse mi et un moment d�inertie Ii par rapport � l�axecentral du segment Si� o% i � �� Pour simpli�er le d�veloppement du modle� nous allonssupposer que les centres de masse sont situ�s sur les segments et � la moiti� de la longueur Dansle simulateur� les �quations ont �t� obtenues en laissant la possibilit� d�avoir un centre de massesitu� � l��cart de l�axe de sym�trie du segment Si Les positions et vitesses des centres de masse


sont alors exprim�es dans les coordonn�es cart�siennes comme suit ��

x� � x� l�� sin q�

x�� x� l�� sin q��

x�� x� l� sin q�� l�� sin q�� q��

x�� x� l�� sin q��

x�� x� l� sin q�� l�� sin q�� q��

��

�x� � �x� l�� q� cos q�

�x�� x� l�� q�� cos q��

�x�� x� l� �q�� cos q�� l�� q�� q�� cos q�� q��

�x�� x� l�� q�� cos q��

�x�� x� l� �q�� cos q�� l�� q�� q�� cos q�� q��

��

y� � y � l�� sin q�

y�� y � l�� cos q��

y�� y � l� cos q�� l�� cos q�� q��

y�� y � l�� cos q��

y�� y � l� cos q�� l�� cos q�� q��

��

�y� � �y � l�� q� sin q�

�y�� y � l�� q�� sin q��

�y�� y � l� �q�� sin q�� l�� q�� q�� sin q�� q��

�y�� y � l�� q�� sin q��

�y�� y � l� �q�� sin q�� l�� q�� q�� sin q�� q��

��!

Remarque �� Dans un souci de d�velopper un mod�le simple� nous avons gard� comme r�f�

rence aux angles q�� et q�� la verticale plut�t que le tronc Le rep�re origine �tant �x� � la hanche�

ceci revient � exprimer les param�tres des segments des cuisses dans le rep�re de la hanche et non

du tronc L��criture des matrices composant la dynamique est ainsi consid�rablement simpli��e

Le simulateur LAPIN a �t� quant � lui d�velopp� en angles relatifs �

�� Mod�lisation dynamique

Les deux grandes formulations pour d�river les �quations de la dynamique sont les formalismesde Lagrange et de Newton�Euler Une comparaison rapide entre ces deux d�marches� tir�e de"��# montre que �

, Newton�Euler � cette formulation est plus performante au niveau du nombre d�op�rationsde calcul pour d�river les �quations de la dynamique Elle considre cependant chaque


articulation du robot en �crivant les �quations de sa quantit� de mouvement et son momentcin�tique Le couplage entre les segments intervient dans l��criture des forces et couplesappliqu�s par les segments voisins Cette mod�lisation est plus adapt�e � la d�rivationdu modle dynamique inverse� donnant le couple � appliquer pour r�aliser un mouvementdonn� C�est donc un modle d�di� plut t � la commande

, Lagrange � cette formulation traite le robot dans son ensemble en �crivant les �nergies po�tentielle et cin�tique du robot Ce formalisme� bas� sur des notions de travail et d��nergie�permet d�obtenir explicitement les matrices li�es � l�inertie� � l�acc�l�ration centripte etcentrifuge et en�n � la gravit� Ceci repr�sente un atout essentiel lors d�une �tude �ner�g�tique de la marche Cette m�thode est plus performante pour obtenir une forme ferm�ede l��volution des coordonn�es g�n�ralis�es du systme� ce qui la rend plus adapt�e � lad�rivation du modle dynamique direct De plus� en cas d��lasticit� dans les articulations�la formulation de Lagrange est clairement sup�rieure ,sans empi�ter sur la suite du m��moire� nous verrons que l�hypothse des corps rigides n�est pas forc�ment la plus adapt�eet l�introduction d��l�ments compliants n�est pas � exclure,

Pour toutes ces raisons� nous avons choisi de d�river les �quations de la dynamique par leformalisme de Lagrange

�� Calcul des coe�cients dynamiques sans e�orts ext�rieurs

La forme g�n�rale de l��quation dynamique sera la suivante �

H q��q � C q� �q� �q �G q� � Su ��!

dans laquelle q � IR�� H q� � IR�� est la matrice de l��nergie cin�tique ou matrice d�inertie +C q� �q� � IR�� est la matrice contenant les termes des acc�l�rations centriptes et des forcesde Coriolis + G q� � IR� est le vecteur des forces de gravit� + et u � IR� le vecteur des couplesd�livr�s par les actionneurs� repr�sent�s �gure ��

u �

�BBB�

u�u�u�u�

�CCCA ��!

Le nombre d�actionneurs �tant inf�rieur au nombre de degr�s de libert� du robot� ce dernierrentre dans la cat�gorie des systmes sous actionn�s S � IR�� est la matrice d��nissant lesactions des moteurs sur les articulations Elle est calcul�e � partir du principe du travail virtuel

� � Mod lisation � de l�homme au robot

Dans le cas du robot LAPIN� illustr� � la �gure �� cette matrice est d�crite ci�dessous �

S �

�BBBBBBBBBB�

��

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

�CCCCCCCCCCA

��!

Nous pouvons voir que les deux variables de con�guration x et y ne sont pas actionn�es puisqu�au�cun couple n�est directement appliqu� Ce sous actionnement du robot laisse ainsi appara�tre unedynamique z�ro qui correspond � la partie des �quations de la dynamique sans entr�e

Les coe�cients dynamiques� �l�ments des matrices H� C� G� viennent de l��criture de l��nergiecin�tique K � IR et de l��nergie potentielle P � IR Nous formons le Lagrangien L � IR commesuit �

L � K � P ��!

et �crivons l��quation de Lagrange qui donnera la dynamique �

d

dt

�L

� �q� �L

�q� Su ��!

Le Lagrangien s�obtient � partir du calcul de l��nergie cin�tique et potentielle �

Energie cin�tique �

L��nergie cin�tique du robot complet est �gale � la somme des �nergies cin�tiques Ki � IR dechaque segment �

K �nXi��

Ki �nXi��

�

� Ii�

�i �miv

�gi� ��!

�i �tant la vitesse de rotation du segment i� et vgi la vitesse lin�aire du centre de gravit� dusegment i Ii et mi sont respectivement le moment d�inertie et la masse du segment i

Energie potentielle �

Elle se compose de la somme des �nergies potentielles Pi � IR de chaque segment �

P �

nXi��

Pi � g

nXi��

miygi ��!

o% ygi est la hauteur du centre de gravit� du segment i

Les termes des matrices H� C et G sont ensuite extraites de K et P selon les calculs suivants �


, Le vecteur des forces g�n�ralis�es de gravit� est directement d�riv� du terme de l��nergiepotentielle et il est �gal � �

G q� ��P

�q ��!

, L��nergie cin�tique est une fonction quadratique de la vitesse g�n�ralis�e articulaire et est�crite comme suit �

K ��

��qTH �q ��!

Ce qui� par identi�cation� nous permet d��crire la matrice d�inertie Les �l�ments Hii sontles coe�cients de �q�i �� dans l�expression de l��nergie cin�tique venant de ��!� alors queles �l�ments Hij o% i �� j sont les coe�cients de �qi �qj

, La matrice des termes de Coriolis et centrifuges est obtenue � l�aide de la matrice d�inertiepar l�interm�diaire des symboles de Christo�el �

Ci�j�k ��

�

nXk��

��Hij

�qk��Hik

�qj� �Hjk

�qi

�qk j �� k ��!

Cette �criture permet un nombre de calculs optimal pour l��criture du modle dynamiquecar� pour un k �x�� nous avons Ci�j�k � Ci�k�j

Application au simulateur LAPIN

L��nergie cin�tique s��crit � partir des vitesses angulaires �qi et lin�aires �xi et �yi d��nies par ��!

K � ��

hm�

�x� l�

� �q� cos q�� y � l�

� �q� sin q��

�m�

�x� l�

� �q�� cos q�� y � l�

� �q�� sin q��

�m�

�x� l�

� �q�� cos q�� y � l�

� �q�� sin q��

�m�

�x� l�

� �q�� q�� q�� q��

� �y � l�� q�� q�� sin q�� q��

��

�m�

�x� l�

� �q�� q�� cos q�� q��

� �y � l�� q�� q�� sin q�� q��

��

�I� �q�� I� �q

�� q�� I� �q�� q��

� � �q�� q��

��!

La matrice d�inertie est tir�e des �quations ��! et ��! La forme g�n�rale est la suivante �

H q� �

�BBBBBBBBBBBB�

h��

� h�� h��

� h�� h�� i cos qi �i sin qi

� � � h�� h�

� � � h� h

� � � � � � �i cos qi � � � � � � m �

� � � � � � �i sin qi � � � � � � � m

�CCCCCCCCCCCCA

��!


o% m � m� � �m� � �m� est la masse totale du robot� hij repr�sente des termes non nuls� �iet �i sont des coe�cients ne d�pendant que des paramtres inertiels La matrice d�inertie �tantsym�trique� nous avons h�� h�� et h� � h�

La matrice des forces de Coriolis et des acc�l�rations centriptes a la forme g�n�rale suivante �

C q� �q� �

�BBBBBBBBBB�

� � � � � � �

� c�� c��

� c��

� � � c�� c� � �

� � � c� � � �

c� c� c� c� c � �

c�� c�� c�� c�� c� � �

�CCCCCCCCCCA

��!

Le d�tail des matrices d�inertie et des forces centriptes se trouve en annexe A

L��nergie potentielle est quant � elle obtenue � partir des positions des centres de masse yi��galement d��nies en ��!

P � g

my �m�

l��cos q� �m�

l�� cos q�� q�� cos q�� q�� !

� m�l��m�l�� cos q�� cos q��

�

Le vecteur de gravit� d�coulant de l��quation ��! s��crit alors facilement

G q� � g

�BBBBBBBBBB�

�m�l�� sin q�

� m�l�� m�l�� sin q�� m�

l�� sin q�� q��

�m�l�� sin q��

� m�l�� m�l�� sin q�� m�

l�� sin q�� q��

�m�l�� sin q��

�

m� � �m� � �m�

�CCCCCCCCCCA

��!

�� Introduction des e�orts ext�rieurs

Les e�orts ext�rieurs exerc�s par le sol sur les pieds� not�es �e� vont �tre int�gr�s � l��quationdynamique en calculant le vecteur des forces g�n�ralis�es dues aux forces exerc�es du sol sur lespieds

H q��q �C q� �q� �q �G q� � Su� �e q� �q�

�e q� �q� � JTe q�Fe q� �q� ��!


o% Fe q� �q� � IR� est compos� des forces normales et tangentielles de l�action du sol sur les pieds �

Fe �

�BBB�

Fn�Ft�Fn�Ft�

�CCCA ��!

Je q� � IR�� est la matrice Jacobienne de r�partition des forces sur les di��rentes articulationsobtenue analytiquement Elle est d�taill�e en annexe A

Quant � l�expression des forces ext�rieures� deux possibilit�s se pr�sentent �

, une formulation suivant l�hypothse des corps rigides nous amnera � �crire une �quationalg�brique au moment de l�impact du pied au sol� d�o% d�coulera une force impulsionnelleLa collision entre deux corps rigides est suppos�e avoir lieu dans un temps� consid�r�in�nit�simal� durant lequel la con�guration du robot demeure inchang�e� q � cte� alorsqu�un changement instantan� de vitesses appara�t Pendant ce laps de temps in�nit�simal�les forces impulsionnelles Fe �tant grandes par rapport aux termes centrifuge et de Coriolis�ces derniers sont n�glig�s La dynamique peut alors �tre int�gr�e� ce qui conduit � unerelation reliant les vitesses juste aprs l�impact� not�es �q�� celles juste avant l�impact�not�es �q�

H q� �q� � �q�� Ie ��!

Ie �tant le vecteur impulsion des forces g�n�ralis�es dues � l�impact De m�me que pour lecontact� une �quation alg�brique va mod�liser le d�collage du pied lors de l�encha�nementdes cycles de marche En e�et� un saut dans les vitesses va de nouveau appara�tre� sansdonner lieu� cette fois� � des forces impulsionnelles

La mod�lisation du contact des pieds au sol se fait par l�introduction de contraintes tra�duisant �xp � �� yp � � pour chaque pied Ce qui nous donne ��

��xpi � x� l� sin q�i � l� sin q�i � q�i�

ypi � y � l� cos q�i � l� cos q�i � q�i�

�xpi � �x� l� �q�i cos q�i � l� �q�i � �q�i� cos q�i � q�i�

�ypi � �y � l� �q�i sin q�i � l� �q�i � �q�i� sin q�i � q�i�

��!

xpi� ypi et �xpi� �ypi sont les positions et vitesses du pied i � �� Les deux premires �quationsavec i � �� forment la contrainte � q� � � � IR� de fermeture d�o% est obtenu le JacobienJe q� �

��q Cette matrice Jacobienne est �crite en annexe A Lorsqu�un pied est au sol� les

multiplicateurs de Lagrange �p associ�s � ce pied sont actifs alors qu�ils sont nuls lorsque lepied est en l�air Ces multiplicateurs de Lagrange repr�sentent les forces de contact Nouspouvons donc formuler de fa&on unique le fait qu�il y ait un ou deux pieds au sol Les�quations de la dynamique deviennent alors �

SS

�H q��q � C q� �q� �q � g q� � Su� Je q�

T �pH q� �q� � �q�� Ie

��!


DS

�H q��q � C q� �q� �q � g q� � Su� Je q�

T �pH q� �q� � �q��

��!

La dernire �quation sera d�taill� au chapitre suivant Cette mod�lisation introduit une�quation alg�brique dans la dynamique du robot Les phases de simple et double supportsrestant r�gies par des �quations di��rentielles� la dynamique complte devient alors hybrideet multiple Cette formulation sera d�taill�e et prise en compte pour la g�n�ration detrajectoires optimales au chapitre �

, une formulation en mod�lisant le contact pied$sol comme un contact compliant L�intro�duction de ressort�amortisseur au point de contact entre le pied et le sol engendre uneforce continue d�pendant de la position et de la vitesse du pied Cette force existe duranttout le temps ou le pied reste en contact Un chapitre sera consacr� aux di��rents modlesexistant� mais nous pouvons ds � pr�sent illustrer l�expression de la force de contact avecun modle ressort�amortisseur lin�aire classique� bien connu La force sera nulle tant quele pied ne rentrera pas en contact avec le sol ie y �!

Feni �

�� si ypi �

��c �ypi � kypi si ypi � �

Feti �

�� si ypi �

��c �xpi � k xpi � xc� si ypi � �

��!

o% k est le coe�cient de raideur et �c le coe�cient d�amortissement xc correspond �l�abscisse du contact Nous pouvons voir que l�introduction de la force de contact avec lemodle compliant rend la dynamique unique quel que soit l��tat dans lequel se trouve lerobot Cette formulation sera d�taill�e au chapitre � C�est celle adopt�e dans le simulateurLAPIN d�crit ci�aprs

�� Fonctionnalit� du simulateur LAPIN

Ce travail est une collaboration ayant pour cadre le groupe de travail sur les robots � pattesdu PRC�GdR du CNRS regroupant sept laboratoires � INRIA�Rh ne�Alpes� INRIA Sophia�Antipolis� LRP� LMS� LSIIT�GRAVIR� IRCyN et LAG Le d�veloppement d�un simulateur com�mun est apparu primordial aussi bien du point de vue de la n�cessit� d�un outil de simulation pourcomparer des trajectoires� mais �galement du point de vue des tests de r�partition des massesa�n de valider la construction d�un d�monstrateur commun En e�et� avant toute construction�il est n�cessaire de dimensionner les actionneurs en fonction de la t(che robotique � accomplirLa mission du robot est dans ce projet de pouvoir r�aliser des transitions marche$course

La structure du simulateur d�velopp�� expos�e �gure �� peut �tre vue en trois parties Lapremire est la simulation dynamique d�une structure m�canique soumise aux conditions initiales


Conditions Initiales +Paramètres Physiques

Simulation Dynamique

Présentation des résultatsAnimation graphiqueCourbes

ImplémentationLoi de commande

Paramètres mécaniquesdu système pour l'évaluation du prototype

�gure �� Structure du simulateur Lapin

ainsi qu�aux contraintes ext�rieures repr�sent�es par le sol Cette utilit� est repr�sent�e par lacolonne centrale de la �gure �� La deuxime partie permet le r�glage des lois de commande etest repr�sent�e par la partie droite du sch�ma Et en�n� la dernire partie� et non la moindre�est pour l��valuation et le dimensionnement de la structure m�canique r�partition des masses�dimensionnement actionneurs! + elle est repr�sent�e par la partie gauche du sch�ma

La facilit� d�utilisation et la portabilit� du simulateur constituaient les principales exigencesdurant son d�veloppement Nous avons donc choisi la plateforme de d�veloppement Matlab �$Si�mulink couramment utilis�e par les membres du projet Les sp�ci�cations que devaient remplirce simulateur sont les suivantes �

, Les paramtres du robot g�om�trie des segments� masses� �gure �� paramtres du sol��gure �� conditions initiales de positions et de vitesse� �gure ��! devaient �tre facilesd�accs et pouvoir �tre chang�s ais�ment Ceci a�n de permettre la validation des prototypespropos�s et de pouvoir faire �voluer le robot dans des environnements di��rents en modi�antle sol De plus� un jeu de paramtres par d�faut devaient �tre charg�s automatiquementtout en permettant la sauvegarde des paramtres d�sir�s dans un autre �chier

, Le calcul des trajectoires et des commandes doivent �tre su�samment rapide Pour cela�une compilation des �chiers contenant le calcul des matrices de la dynamique H� C� g! a�t� n�cessaire par la m�thode d�crite pr�c�demment

, Une interface graphique devait �tre d�velopp�e a�n de permettre la visualisation de lamarche� ou de charger un �chier pour rejouer un jeu de donn�es pr��enregistr�es� �gure��

, Des courbes par d�faut doivent �tre directement accessibles au trac� comme les �nergies�les couples et variables articulaires

, Tout ceci devait �tre pilot� par une fen�tre graphique principale ais�e d�utilisation� �gure��

Un site web retra&ant l�avanc�e du travail du groupe de recherche est disponible � l�adressesuivante � http � ��lagb��ensieginpgfr� De m�me� le simulateur pr�sent� dans cette section


�gure �� Fen�tre permettant

le r�glage des conditions ini�

tiales�

�gure �� Fen�tre permettant

le r�glage des param�tres iner�

tiels du robot�

est disponible par FTP en version PC d�j� compil�e ou Unix � compiler par un lien direct � lam�me adresse

�� Conclusion

Aprs avoir vu les aspects fondamentaux de la marche humaine a�n d�en mieux comprendrele fonctionnement� nous avons soulign� les particularit�s des robots marcheurs Ceux�ci voyantleurs pieds d�coller alternativement du sol� ils sont mod�lis�s par un modle � base libre Il leurest alors permis de voler� de tomber ou d�avoir les pieds qui glissent selon les couples appliqu�sCeci entra�ne une augmentation du nombre de degr�s de libert� n�cessaires � sa mod�lisation

La mod�lisation dynamique des robots bipdes a ensuite �t� d�taill�e Elle a �t� d�riv�e d�uneformulation de Lagrange� jug�e plus adapt�e � notre problme Cette mod�lisation a fait l�objetd�une mise en �uvre dans le simulateur LAPIN� d�monstrateur commun au groupe de recherchedu PRC�GdR du CNRS

Ce chapitre de mod�lisation permettant de faire le parallle entre l�homme et le robot� vaservir � la formulation du problme de marche optimale que nous allons voir au chapitre suivant


�gure �� Fen�tre permet�

tant le r�glage des param�tres

du sol�

�gure �� Fen�tre graphique

visualisant la marche du robot

et permettant l�animation de

marche pr��enregistr�es�

�gure �� Fen�tre princi�

pale permettant de lancer ou

d�arr�ter la simulation d�avoir

acc�s aux fen�tres de r�glage

des param�tres et de tracer les

courbes�

�� Formulation du probl�me de g�n�ration de

trajectoires optimales

Aprs avoir mis en lumire les critres humains susceptibles de d��nir une bonne marchepour l�homme� nous verrons comment les transposer � un robot bipde La marche r�pondant �des critres d�optimalit� �nerg�tique� nous nous int�resserons � la g�n�ration de trajectoires demarche �conome La mod�lisation du robot marcheur ayant �t� accomplie au chapitre pr�c�dent�nous allons mener une r�)exion sur le dernier �l�ment n�cessaire pour formuler notre problmeIl s�agit de la fonction co�t que devront minimiser les trajectoires du robot Cela va sans dire quecette fonction devra �tre directement li�e aux d�penses �nerg�tiques du robot Une fois le critre�tabli� nous pourrons �nalement formuler le problme de commande optimale en sp�ci�ant lesgrandeurs �x�es et �baucher les grands principes de r�solution de tels problmes

�� Fonction co�t

La marche de l�homme r�pondant � un critre de minimisation d��nergie� nous souhaitonsg�n�rer des trajectoires pour le robot qui soient minimales en d�pense d��nergie Le but est dequanti�er les d�penses actives du robot correspondant � la quantit� d��nergie n�cessaire � unpas

La d�marche classiquement rencontr�e dans la litt�rature est d��valuer les pertes �nerg�tiquesPour cela� la mod�lisation classique d�un actionneur se fait � l�aide d�un circuit r� l� E Ce modleest lin�aire mais dynamique A�n de ne pas introduire de dynamique propre aux actionneurs�le moteur peut �tre vu comme un modle statique lin�aire correspondant alors � un gain Cecientra�ne que le couple directement appliqu� � l�articulation not� u est une image directe de latension d�entr�e v

Deux types de pertes apparaissent essentiellement dans les actionneurs � les pertes �lectriques

� � Formulation du probl�me de g n ration de trajectoires optimales

et les pertes m�caniques Dans le d�veloppement suivant� les vitesses articulaires �q proviennentd�un param�trage relatif

Pertes �lectriques

Les pertes �lectriques sont dues aux pertes Joules dans la r�sistance r La puissance dissip�eest �

Pj � ri� ��!

o% i est le courant parcourant la r�sistance A travers les �quations �lectriques et m�caniques�il est possible d�exprimer successivement ces pertes comme une fonction de la tension d�entr�ev Avec le modle statique couramment utilis�� la tension v sera directement reli�e aux couplesd�livr�s par les actionneurs u et la puissance dissip�e s��crira alors �

Pj � r

k�i n�i

u� ��!

o% ki est la constante �lectrom�canique et ni le rapport de r�duction L��nergie �lectrique dissip�edans tous les actionneurs est exprim�e comme suit �

Ej �Z T

�

XPj dt �

Z T

�uT Ru dt ��!

o% R est la matrice des constantes �lectrom�caniques et T la dur�e d�une p�riode de marcheCette quantit� repr�sente l��nergie inject�e au systme durant un cycle de marche

Pertes m�caniques

Les pertes m�caniques sont essentiellement dues au frottement Ff engendr� par le contactdes surfaces en regard qui provoque un �chau�ement Cette puissance dissip�e exprim�es commej �qT Ff j peut alors �tre �crite par �qTQ �q avec une mod�lisation du frottement de type visqueuxCe qui donne pour l��nergie dissip�e sous forme de pertes m�caniques �

Em �

Z T

��qTQ �q dt ��!

La fonction co�t prenant en compte les pertes �lectriques et m�caniques s��crit alors �

J �

Z T

� �qT Q �q � uT Ru� dt ��!

Crit�res couramment utilis�s

Ce critre est utilis� sous la forme plus g�n�rale dans "��# avecZ T

� �qT Ff � uT Ru� dt qui

permet alors une mod�lisation du terme de frottement avec di��rent degr�s de ra�nement "��# se

proposent d�inclure les pertes m�caniques sous la formeZ T

�j �qT uj dt qui repr�sente le travail des

�� Fonction co�t ��

moteurs n�cessaire au mouvement du robot Les auteurs incluent de plus les forces impulsionnellesoccasionn�es par l�impact du pied au sol � travers le terme jIcont �q�� q��j Dans "��# un critre

repr�sentant la puissance m�canique est �galement utilis� sous la formeZ T

��qT u dt Or il faut

remarquer que sans valeur absolue� cette quantit� repr�sente le changement d��nergie totale dans

un cas sans frottement� c�est � dire� avec E � K�P �Z T

��qT u dt � ET �E� ce qui peut donner

un co�t n�gatif Ce critre n�est donc pas recevable pour mener � bien une minimisation

Aprs avoir commenc� notre �tude avec un critre d��ni par l��quation ��!� nous avons�nalement choisi de minimiser un critre quadratique en couple pour plusieurs raisons �

, La pond�ration des matrices Q et R n�est rigoureuse qu�en cas de mod�lisation compltedes actionneurs Ces matrices renferment alors les constantes �lectrom�caniques et les co�e�cients de frottements Dans le cas contraire� cette pond�ration se fait de manire peurigoureuse et souvent en fonction de la bonne convergence ou non de la proc�dure d�opti�misation et de l�allure de la marche obtenue

, Finalement� l��criture des pertes �lectriques et m�caniques ne repr�sente qu�une partie dela quantit� d��nergie n�cessaire � l�accomplissement de la marche En choisissant alorsde minimiser un critre quadratique en couple� nous minimisons l�image de la tensionn�cessaire � la marche Le fait d�inclure un terme re)�tant le frottement n�est alors valableque si la mod�lisation de l�actionneur est complte� c�est � dire incluant la dynamique� cequi n�est en g�n�ral pas le cas

C�est pourquoi� en faisant l�hypothse largement utilis�e en robotique du modle lin�aire statique�nous avons choisi de minimiser le critre simple suivant qui est donc un re)et direct de l��nergieinject�e �

J �

Z T

�uT u dt ��!

Ce critre� couramment utilis� dans la communaut� robotique� possde l�avantage d��tre quadra�tique Il est ainsi bien adapt� � la programmation quadratique ,d�crite au chapitre suivant, etpossde une bonne convergence

Sachant que la constante �lectrique a �t� ignor�e� elle devra par la suite �tre prise en comptea�n d�obtenir des grandeurs homognes � l��nergie Ces constantes restent de l�ordre de quelquesunit�s

�� Formulation du probl�me de g n ration de trajectoires optimales

�� Formulation du problme

La mod�lisation du robot bipde a �t� r�alis�e au chapitre pr�c�dent et les �quations de ladynamique sont r�sum�es en ��! Avec la description de la fonction co�t� il nous est maintenantpossible d��crire le problme de commande optimale

La taille du problme �tant cons�quente� nous allons nous placer dans un cas simple o% lavitesse moyenne de marche V � L�T est �x�e L est la longueur de pas et T la p�riode demarche Lorsque l�on �xe la hauteur h � laquelle se positionne la hanche et le sens d�articulationdes genoux� alors les conditions initiales et �nales de position du robot sont entirement �x�esElles doivent �tre reli�es a�n de conserver l�aspect cyclique de la marche pour que le robot seretrouve dans une con�guration similaire pour le d�but du pas suivant Elles sont n�anmoinsdi��rentes en raison du changement de pied de support� comme cela sera d�taill� au chapitresuivant � q T � � q �� cte De plus� les vitesses initiales de chaque pas doivent �tre identiques ��q T � � �q ��

Nous d��nissons l�ensemble des commandes admissibles U comme l�ensemble des signaux �puissance moyenne �nie sur l�intervalle �� T � A l�aide de l��quation ��! et de l�expression ��!� notre formulation du problme de commande optimale peut se r�sumer � �

Probl�me �� Etant donn�s les positions initiales q �� q� et �nales q T � � �qT � ainsi que la

p�riode de marche T � le probl�me est de trouver la commande optimale u� t� qui minimise la

fonction co�t J tel que le syst�me aille de �q� � �qT en T en respectant la dynamique Ce qui est

�quivalent � �

��

minu�U

J �

Z T

�uT u dt

Sous H q��q � C q� �q� �q � g q� � Su� �e q� �q�

Etant donn�s �q�� qT � T �

��!

�

Notons que les vitesses articulaires initiales et �nales sont laiss�es libres� ceci constituant un degr�de libert� suppl�mentaire pour l�optimisation Dans le cas o% l�on souhaite laisser soit la longueurde pas soit la p�riode de marche ouverte� soit les deux� la taille et la complexit� du problmeoptimal � traiter sont consid�rablement augment�es Nous verrons que la r�solution d�un telproblme �tant d�j� d�licate num�riquement� nous nous contenterons de traiter le problme ��en �xant L et T

�� Les di� rentes m thodes de r solution ��

�� Les di�rentes m�thodes de r�solution

Comme nous l�avons vu dans l��tat de l�art� plusieurs sch�mas d�optimisation sont possiblespour r�soudre un problme tel que le problme �� Dans cette section� nous verrons deux m��thodes d�optimisation indirectes Nous commencerons par le calcul variationnel puis nous verronsun rappel de commande optimale Nous verrons que plus la complexit� du problme grandit etplus sa r�solution num�rique est compromise Nous nous restreindrons au cas le moins complexequi est le n tre� o% le point �nal est �x� et o% les contraintes sont de type �galit�

�� Le calcul variationnel

C�est le nom donn� � la th�orie de l�optimisation des int�grales Le premier problme pos� parBernouilli remonte � �� et concerne le brachistochrone brachis- plus petit� Chrone-temps!Les problmes en temps minimum sont maintenant bien connus alors que les problmes � �nergieminimale restent un sujet actif largement d�taill� dans la litt�rature r�cente Tous les d�tailsdes calculs ainsi que les d�monstrations se trouvent dans quatre r�f�rences principales � "��# "��#"�# "��# Dans les problmes de calcul variationnel� l�objectif est de d�terminer une fonction quiminimise une fonctionnelle J �X � sp�ci��e� repr�sentant l�indice de performance �

J �X � �Z T

�L t�X � �X � dt ��!

o% X � IR�n est l��tat du systme et n la dimension du vecteur d��tat X �� X T � et T sont�x�s L t�X � �X � est une fonction donn�e di��rentiable

Minimisation de fonctionnelle sans contrainte

Nous cherchons donc � trouver la courbe X� qui minimise J �X � partant de X �� X� etallant � X T � � XT en T Toutes les courbes deux fois di��rentiables qui satisfont X �� X� etX T � � XT sont admissibles Nous d�sirons trouver la courbe X� t� qui minimise la fonctionnelleJ �X � �

R T� L t�X � �X� dt La condition n�cessaire� pour avoir un minimum local faible� est obtenue

sous la forme de l��quation d�Euler �

�L

�X t�X �� X �� d

dt

��L

� �X t�X�� X��

� � ��!

Remarque �� Cette condition est n�cessaire� c�est � dire que si une solution optimale X� existealors elle satisfait cette �quation� mais l��quation �� ne constitue en aucun cas une condition

su�sante pour obtenir X� Les conditions su�santes sont obtenues en ajoutant deux conditions

� l��quation d�Euler Elles ne font l�exemple que de rares cas d�application� �tant en g�n�ral trop

complexes �


Remarque �� L��quation d�Euler est g�n�ralement une �quation du second ordre� non lin�aire�

variant dans le temps et pour ces raisons di�cile � r�soudre La connaissance des �tats initiaux

et �naux X �� et X T � plut�t que les conditions initiales de l��tat et de sa d�riv�e� X �� et �X ��rend cette �quation di�cile � int�grer num�riquement �

Minimisation de fonctionnelle sous contrainte

Il s�agit maintenant de minimiser la fonctionnelle J �X � �R T� L t� X � �X� dt pour X appartenant

� une contrainte La vari�t� repr�sentant la contrainte est d��nie par l��quation suivante �

� t�X � � � � IRm m � n ��!

Un arti�ce math�matique permettant de prendre en compte la contrainte au sein de la fonction�nelle est ensuite introduit La fonctionnelle augment�e est form�e � l�aide des multiplicateurs deLagrange �� puis les conditions d�optimalit� sont �crites sur la fonctionnelle augment�e

Ja�X � �

Z T

�

�L t� X � �X� � �T � t� X �

�dt

��

Z T

�La t�X � �X � �� dt

��!

Ces multiplicateurs sont des fonctions du temps qui permettent de rester dans la vari�t� �chaque instant tout en minimisant J puisqu�il faut noter que lorsque la contrainte est satisfaiteJ � Ja �� L��quation d�Euler sur la fonctionnelle augment�e donne les conditions n�cessairessuivantes �

� t� X �� La

�X t�X�� X�� d

dt

��La

� �X t� X�� X��

� �

��!

Cette dernire �quation ��! est appel�e �quation d�Euler augment�e

�� La commande optimale

L�optimisation va maintenant porter sur un systme r�gi par une �quation di��rentielle or�dinaire repr�sentant sa dynamique et une entr�e ext�rieure� la commande u �

�X � f X � u� ��!

Le but est ici de trouver u� et X� minimisant la fonctionnelle J �X � �Z T

�L t�X � �X � u� dt sous la

contrainte �X � f X � u�� X� et XT �tant donn�s

Le parallle avec le problme �� est le suivant �


, L��tat du systme X est compos� des positions et des vitesses des � degr�s de libert�s durobot �

X �

�q

�q

� ��!

, La fonctionnelle � minimiser est repr�sent�e par la fonction co�t �Z T

�L t�X � �X � u� dt �

Z T

�uT u dt ��!

, La contrainte dynamique est repr�sent�e par l��quation ��!

Dynamique continue simple

En remarquant que la contrainte dynamique peut se mettre sous la forme �X � f X � u� � ��il est possible d�obtenir les conditions n�cessaires d�optimalit� pour la fonctionnelle augment�e� l�aide des multiplicateurs de Lagrange� par le Principe du Minimum de Pontriaguine Nousformons l�Hamiltonien H comme �tant �

H � L t� X � �X � u� � �T f X � u� ��!

o% � est le vecteur des multiplicateurs de Lagrange� aussi nomm� �tat adjoint Les conditionsn�cessaires que doivent remplir u�� X� et �� sont �

�X�T

��H��

t�X �� X �� u��

��T

� ��H�X

t� X �� X�� u��

� ��H�u

t�X �� X �� u��

��!

La di�cult� dans un problme comme celui�l� est que l��tat initial X� est connu alors que pourles multiplicateurs de Lagrange� c�est leur condition �nale qui est connue � �T � � Il faut doncint�grer l��tat dans le sens direct alors que les multiplicateurs sont int�gr�s en sens inverseCe sch�ma d�optimisation indirecte n�cessite une bonne connaissance a priori de l��volution desvariables sous peine de ne pas converger En e�et� une mauvaise estimation des conditions initialesentra�ne souvent une divergence dans l�int�gration du systme

Dynamique discontinue et multiple

Dans le cas d�une dynamique discontinue en T� et multiple� la fonctionnelle J doit �treminimis�e en respectant �

�X � f� X � u� � � t � T��X � f� X � u� T� � t � T

��!


o% f� et f� repr�sentent la dynamique du systme durant deux phases distinctes Dans le cas durobot marcheur� ces �quations mod�lisent les phases de simple et double support Entre ces deux�quations� un saut dans l��tat peut �galement exister Pour le bipde� il repr�sentera l��quationd�impact du pied au sol dans la formulation des corps rigides

��X T�� X T�� T�� T

�� !

Nous formons la fonctionnelle augment�e en int�grant toutes les contraintes gr(ce aux mul�tiplicateurs de Lagrange

Ja � T��

Z T�

��L� �T f� � �T �X � dt ��!

�

Z T

T�

�L� �T f� � �T �X � dt

est un multiplicateur de Lagrange constant servant � inclure la contrainte du point int�rieurdans la fonction co�t Dans notre cas� si nous �xons le temps de la phase de vol� alors l�instant del�impact du pied au sol T� sera �x� En posant H� � L� �T f� et H� � L� �T f� nous obtenonsune premire condition n�cessaire �

H� T�� H� T

�� T

��

�T� ��!

Aprs formation de la fonctionnelle augment�e et du calcul de sa premire variation� les conditionsd�optimalit� peuvent �tre �nalement �crites comme ��

��X�T

� ��H�

�� t� X �� X �� u�� t � T�

�X�T

� ��H�

�� t� X �� X �� u�� T� � t � Tf

��!

��

��T

� ��H�

�X t�X �� X �� u�� t � T�

��T

� ��H�

�X t�X �� X �� u�� T� � t � Tf

��!

��

�H�

�u t�X �� X�� u�� t � T�

�H�

�u t�X �� X�� u�� T� � t � Tf

��!

��

��T

T�� T��

�X T��

��T

T�� T ��

�X T�

� �

��!


Cet ensemble de conditions repr�sente les conditions n�cessaires d�Euler�Lagrange Le d�tail descalculs se trouve en "��# dans ce qui repr�sente la r�f�rence en matire de programmation nonlin�aire pour l�optimisation

�� Application des m�thodes indirectes au problme

Dans le problme de commande optimale qui nous int�resse� nous d�sirons obtenir une trajec�toire optimale X� et une commande optimale en boucle ouverte correspondante u� qui minimisentla fonctionnelle J �X � �

R T� uT u dt sous la contrainte dynamique qui r�git l��volution du systme

Dans le cas d�un systme pleinement actionn�� c�est � dire o% dim u� � dim q�� cette dyna�mique peut �tre mise sous la forme �

�X � m X� � n X�u ��!

En r�solvant cette �quation en u� il est possible d��crire u en fonction des �tats du systme commesuit �

u � M X� �N X� �X ��!

Finalement� en rempla&ant u dans la fonctionnelle par son expression� le problme peut �treformul� uniquement � partir des �tats Ceci nous ramenant � une formulation de type calculvariationnel �

J �

Z T

��M X � �N X� �X �T �M X � �N X � �X � dt ��!

L�avantage de cette formulation est qu�elle permet de formuler un problme de minimisationsous contrainte dynamique comme un calcul variationnel Ainsi les problmes de convergence dus� l�introduction des multiplicateurs de Lagrange sont �vit�s La fonctionnelle est alors directe�ment minimis�e sans avoir de contrainte dynamique La commande optimale est reconstitu�e a

posteriori

Cependant� dans le cas du bipde mod�lis� comme un systme libre de tout mouvement� lerobot est sous actionn� ce qui nous prive de l�inversion de la dynamique La formulation par lecalcul variationnel n�est alors plus possible C�est pourquoi� une formulation par la commandeoptimale est tout de m�me n�cessaire

Num�riquement� la r�solution des conditions n�cessaires pour l�obtention de u� et de X� estune a�aire compliqu�e� qui ne marche bien que pour des systmes de taille modeste Lorsque l�onse place dans le cas d�une dynamique multiple ou de discontinuit� dans l��tat� alors la r�alisationnum�rique reste exceptionnelle De plus� l�ajout de contrainte d��galit� et d�in�galit� rend lacomplexit� du problme croissant


Nous avons r�alis� une formulation par la commande optimale sur un sous problme au d�butde notre travail de thse La dynamique �tait suppos�e unique et continue ce qui correspondait� une phase de simple support sans impact L�estimation des conditions initiales des multipli�cateurs de Lagrange n�a pas permis une int�gration correcte de l��tat du systme� la solutiondivergeant Nous nous sommes alors int�ress� aux m�thodes d�optimisation directes dont nousallons brivement parler dans la section suivante avant de l�appliquer en d�tail au robot bipdeau cours du chapitre �!

�� M�thodes directes

Ces m�thodes bas�es sur la programmation non lin�aire e�ectuent une recherche num�riquede la solution optimale La solution initiale est d�form�e par un algorithme qui estime le sensde la d�formation � e�ectuer selon une m�thode de gradient Ensuite� la nouvelle solution est�valu�e puis compar�e au co�t pr�c�dent Cette recherche num�rique ne peut bien s�r se fairequ�avec un problme discr�tis� puisqu�il faut un nombre �ni de variables � optimiser

L�optimalit� n�est pas garantie car il est toujours possible de tomber dans un minimumlocal� mais il faut cependant noter que les conditions pr�sent�es avec le calcul variationnel etla commande ne sont que n�cessaires et ne pr�servent pas d�un minimum local non plus� lesconditions su�santes �tant trs di�ciles � obtenir

Il faut �galement noter que l�ajout de contrainte d��galit� ou d�in�galit� augmente la com�plexit� des problmes et d�t�riore ainsi la robustesse num�rique des algorithmes

�� Conclusion

Suite � la mod�lisation du robot marcheur� une �tude �nerg�tique a �t� men�e et a permisd��tablir un critre simple � minimiser Avec le critre quadratique en u nous avons formul�le problme de g�n�ration de trajectoires � d�penses d��nergie minimales en �xant certainesgrandeurs � la p�riode de marche T � la longueur de pas L� les conditions initiales et �nales deposition q� et qT Nous venons �galement de voir que la r�solution d�un problme de commandeoptimale est d�licate num�riquement par une voie indirecte � cause de la connaissance a priori

requise pour une bonne convergence Le problme se complique avec l�ajout de contraintes� pourtendre vers un problme dont la solution ne para�t gure envisageable pour l�instant� dans lecas d�une dynamique multiple et avec des sauts dans les �tats Le sch�ma d�optimisation directappara�t alors comme un moyen num�rique de r�soudre directement le problme� sans poser lesconditions n�cessaires d�optimalit� Nous verrons la mise en oeuvre de l�optimisation statique surle robot marcheur dans le chapitre suivant

� Optimisation avec mod�le de contact

piedsol rigide

Le robot marcheur faisant partie de la cat�gorie des robots autonomes� nous avons vu qu�ilest primordial de minimiser ses d�penses �nerg�tiques a�n d�allonger sa dur�e d�utilisation etsa distance parcourue De plus� les critres biom�caniques semblent d�montrer que l�hommes�achemine vers les trajectoires de marche � vitesse �naturelle� qui minimisent sa consommationd��nergie Pour ces raisons� nous souhaitons g�n�rer des trajectoires qui soient optimales end�penses �nerg�tiques pour le robot bipde

Le modle complexe du robot marcheur est un �l�ment qui nuit � la convergence des algo�rithmes d�optimisation C�est pourquoi nous allons apporter des simpli�cations au modle Undeuxime facteur n�faste pour la bonne convergence� est la complexit� du problme Une m�thodehabituelle pour r�duire la taille du problme consiste � param�triser la marche Ainsi l�optimi�sation ne porte plus que sur certains paramtres d��nissant la trajectoire Nous allons comparerdeux m�thodes� une de param�trisation temporelle et une fr�quentielle� � celle que nous d�ve�lopperons sans param�trisation Cette comparaison s�e�ectuera sur une phase de simple supportuniquement Au vue des r�sultats� notre m�thode sans param�trisation se r�v�lera la meilleurecompte tenu des critres choisis Nous �tendrons donc notre m�thode � un cycle complet demarche pour arriver � la g�n�ration de trajectoires optimales pour di��rentes longueurs de paset p�riodes de marche

�� Modle utilis�

Le modle utilis� ici pour l�optimisation est quelque peu di��rent de celui expos� au chapitre� En e�et� a�n de r�duire au maximum la complexit� du problme pour l�optimisation� quelquesmodi�cations et simpli�cations ont �t� apport�es �

, Les variables articulaires ont �t� prises �gales aux angles absolus plut t que relatifs a�n

� � Optimisation avec mod�le de contact pied�sol rigide

d�avoir un nombre de calcul minimal dans l�expression des matrices H� C et G et surtoutun meilleur conditionnement� ce qui n�est pas n�gligeable pour l�inversion des Jacobiens

, A�n de r�duire le nombre de degr�s de libert� n�cessaires � la mod�lisation du bipde�nous avons consid�r� que le pied de support de la phase de simple support �tait un pivot�xe Cette hypothse de pied rigidement �x� est sol est valid�e a posteriori en v�ri�antle non glissement et le non d�collage par reconstitution des forces exerc�es sur ce pivotCette hypothse est adopt�e dans de nombreux travaux parmi lesquels nous pouvons citer"��#"��# et cela semble trs satisfaisant

, Toujours dans un but de r�duction des degr�s de libert�� le tronc est repr�sent� par unemasse localis�e � la hanche ayant n�anmoins une inertie vis � vis des segments voisinsL�oscillation maximale d�un tronc lors de la marche est faible ,de l�ordre de quelquesmillimtres,� on peut pr�tendre raisonnable de le supposer vertical De plus sa masse �tantimportante par rapport � l�appareil locomoteur� un trop grand d�battement p�naliserait �la fois la stabilit� de la marche et son co�t �nerg�tique Cette hypothse se retrouve dansde nombreuses �tudes qui considrent soit un tronc vertical soit aucun tronc � "��# "��# "��#"��# "��# "�# "��# "��# Cette hypothse nous prive tout de m�me d�un stockage d��nergiepossible et d�un e�et de d�s�quilibre pour d�clencher le pas

, Les pieds sont consid�r�s sans masse et restant � l�horizontale Ceci permet de faire l�hypo�thse que la cheville du pied de support est actionn�e� le couple applicable �tant n�anmoinslimit� par la longueur du pied Le pied �tant suppos� �x� au sol� aucune limitation n�inter�vient dans notre modle On s�a�ranchit ainsi du sous actionnement qui� par la dynamiquez�ro qu�il engendre apporte une complexit� au problme

Toutes ces hypothses sont repr�sent�es dans la �gure �� qui pr�sente la cin�matique du robot� � degr�s de libert� utilis�e pour l�optimisation

q �

�BBB�

q�q�q�q�

�CCCA et u �

�BBB�

u�u�u�u�

�CCCA ��!

La dynamique d�un tel robot est alors exprim�e par les �quations suivantes �

H q��q � C q� �q� �q �G q� � u ��!

o% les matrices H q� � IR�� C q� �q� � IR�� et le vecteur G q� � IR� sont d��nis comme suit �

Hij q� � pijcos qi � qj�

Cij q� �q� � pij �qisin qi � qj� ��!

�� Mod�le utilis ��

m

m 2

m 1

u4

u3

m 2

u 2

m 1

u1

q3

q4q

2

q1

�gure �� Structure simpli��e du robot � degr�s de libert�

coplanaire

Les coe�cients pij sont les suivants �

��

p�� m�l�� m� � �m� �m�a�� I� � I

p�� m�l�� m� �m� �m�a�� I� � I

p�� m� a� � l�� m�a

�� I�

p�� m� a� � l�� I��

��p�� p�� m�a�l� � m� �m� �m�a�a�p�� p�� m�a� a� � l��m�a�a�p�� p�� m�a� a� � l��

�p�� p�� m�a� a� � l��m�a�a�p�� p�� m�a� a� � l��

p�� p�� m�a� a� � l��

��!

G q� �

�BBB�

m�l� � m� � �m� �m�a��sin q��

m�l� � m� �m� �m�a��sin q��

m� l� � a��m�a��sin q��

m� l� � a��sin q��

�CCCA ��!

�� Optimisation avec mod�le de contact pied�sol rigide

�� Dynamique sur un cycle complet de marche

Avec l�hypothse que les corps en contact sont rigides� l�instant de contact se fait � traversun impact instantan� et une loi de choc Si l�on considre deux phases� une de simple support SS! et une de double support DS!� il y a deux �quations di��rentielles de la dynamique Ces�quations de la dynamique sont reli�es par des �quations alg�briques � une �quation d�impact lorsde la pause du pied de vol au sol� et une �quation r�gissant le d�collage du pied a�n d�assurerl�aspect cyclique de la marche

, Dynamique sur la phase de simple support� de t � � � t � T� �

Gr(ce � l�hypothse du pied de support �xe� les �quations de la dynamique sont alorsd�riv�es de la formulation classique de Lagrange donnant lieu � l��quation suivante �

H q��q � C q� �q� �q �G q� � uss ��!

o% q� �q� �q � IR� sont respectivement les vecteurs des coordonn�es� vitesses et acc�l�rationsarticulaires� H q� est la matrice d�inertie� C q� �q� �q est le vecteur des termes de Corioliset des acc�l�rations centriptes� G q� le vecteur des forces de la gravit� et uss les couplesarticulaires T� est la dur�e de la phase de simple support prise �gale � �� du temps d�uncycle complet pour re)�ter la proportion humaine

, Equation d�impact lors de la pose du pied de vol au sol au temps t � T� �

Comme nous l�avons vu � la section ��!� la collision entre deux corps rigides a lieudurant un temps in�niment petit La con�guration du robot reste la m�me q � cte alorsqu�un saut dans les vitesses appara�t Le contact est suppos� in�lastique e-�! et sansglissement ce qui se traduit par le fait que le pied reste au sol aprs le contact sans rebondni glissement Les forces impulsives engendr�es pendant l�impact �tant grandes compara�tivement aux couples centriptes� la dynamique est int�gr�e pour donner lieu � la relationsuivante �

H q� �q� � �q�� Icont � Iucont � ucont��t ��!

�q� est le vecteur des vitesses juste aprs l�impact� �q� est le vecteur des vitesses juste avantl�impact� Iucont est le vecteur impulsion des couples appliqu�es et Icont le vecteur impulsiondes couples dus aux forces d�impact ucont regroupe la commande impulsionnelle et lesforces impulsionnelles et �t est le temps e�ectif de l�impact

, Dynamique sur la phase de double support� de t � T� � t � T �

Comme dans la phase de simple support� la dynamique d�coule de la formulation de La�grange Le fait que le pied de vol reste au sol durant la phase de double support ajouteune contrainte cin�matique � q� � � � IRm m � n traduisant xpied � L� ypied � � Cettecontrainte est appel�e condition de fermeture

� q� �

��a� sin q� � a� sin q� � a� sin q� � a� sin q� � L

a� cos q� � a� cos q� � a� cos q� � a� cos q� � � ��!


�gure �� Encha�nement de deux pas cons�cutifs avec chan�

gement de pied de support servant de pied de r�f�rence�

�� q� �

��a� �q� sin q� � a� �q� sin q� � a� �q� sin q� � a� �q� sin q��a� �q� cos q� � a� �q� cos q� � a� �q� cos q� � a� �q� cos q�

��!

Cette contrainte r�duit l�ensemble admissible des coordonn�es articulaires et elle est intro�duite dans la dynamique � l�aide des multiplicateurs de Lagrange �p qui repr�sentent lesforces de contact � �

H q��q � C q� �q� �q �G q� � uds � J q�T �psous � q� � �

��!

o% J q� ��

�q� uds est le vecteur des couples appliqu�s durant le double support� et T le

temps d�un cycle complet de marche

, Equation d�encha�nement des cycles de marche qui est charg�e de conserver le

caract�re cyclique de la marche � t � T �

De m�me que dans le cas de l�impact nous sommes en pr�sence d�une �quation alg�brique o%la con�guration du robot reste inchang�e Le saut dans les vitesses est cette fois n�cessaireau caractre cyclique de la marche a�n de repartir au pas suivant avec les m�mes conditionsinitiales qu�au pas actuel En e�et� les conditions initiale et �nale de vitesse �tant libres�nous n�imposons pas au pied de commencer le pas avec un vitesse nulle

H q� �q� � �q�� Iuench � uench��t ��!

Iuench est le vecteur des couples impulsionnels appliqu�s � t � T Il faut noter que leterme uench ne contient pas de vecteur de force impulsionnelle car aucun impact n�a lieu�q� est la vitesse juste avant l�encha�nement et elle est exprim�e comme par le vecteur �

�q� �

�BBB�

�q� T��

�q� T��

�q� T��

�q� T��

�CCCA ��!


Le vecteur des vitesse �q� doit correspondre � la vitesse initiale du pas suivant en tenantcompte du fait que c�est le pied de la jambe de balancement qui doit maintenant avoir lesconditions initiales de vitesse Ce vecteur est alors �gal � �

�q� �

�BBB�

�q� T��

�q� T��

�q� T��

�q� T��

�CCCA �

�BBB�

�q� ��

�q� ��

�q� ��

�q� ��

�CCCA ��!

Au d�but du pas suivant� il est ensuite n�cessaire d�e�ectuer un changement de repre depied de support comme le montre la �gure �� On peut donc relier les conditions �nalesde positions d�un pas aux conditions initiales du pas suivant par une transformation ��

BBB�q��q��q��q��

�CCCA �

�BBB�

� � � �

� � � �

� � � �

� � � �

�CCCA�BBB�

q��q��q��q��

�CCCA�

�BBB�

�

��

�

�CCCA

q� �� q� � �

��!

Nous d��nissons alors le vecteur des couples appliqu�s u comme suit �

u �

��

uss � � t � T�ucont t � T�uds T� � t � T

uench t � T

��!

La dynamique complte est r�sum�e par les �quations suivantes �

H q��q � C q� �q� �q �G q� � uss ��a!

H q� �q� � �q�� ucont��t ��b!�H q��q � C q� �q� �q �G q� � uds � J q�T �psous � q� � �

��c!

H q� �q� � �q�� uench��t ��d!

Pour la suite du m�moire� nous utiliserons une repr�sentation d��tat � l�aide du vecteur d��tatcompos� des positions et vitesses articulaires �

X �

�X�

X�

��

�q

�q

� ��!

Les �quations ��a!� ��d! peuvent alors �tre �crites sous la forme suivante �

SS �

��X� � X�

�X� � H X��uss � C X��X��X � �G X��

��a!


Impact �

�X�� X��

X�� X�� H X��

��ucont��t ��b!

DS �

��

�X� � X�

�X� � H X��uds � J X��

T �p�C X�� X ��X� �G X��

sous � X ��

��c!

Ench �

�X�� X��

X�� X�� H X��

��uench��t ��d!

Validation de la marche

L�obtention des trajectoires optimales de marche se fait en consid�rant que le pied de supportest suppos� �x� au sol de manire rigide� comme dans le cas d�un robot manipulateur Le non�glissement ou le non�d�collage est v�ri�� a posteriori par la reconstitution des forces normalesFn et tangentielles Ft exerc�es sur les deux pieds qui doivent alors v�ri�er trois conditions �

, condition de support le pied est en contact avec le sol! �

Fn � � ��!

, condition de non�d�collage � si le pied n�est plus en contact avec le sol� les forces normaless�annulent Pour que le pied reste en contact� il faut donc v�ri�er �

Fn � ��!

, condition de non�glissement � pour que le pied reste en place aprs le contact�

jFtj � ��jFnj ��!

o% �� est le coe�cient de frottement sec �gal � �� ce qui correspond au coe�cient defrottement entre l�asphalt et le caoutchouc en conditions sches mod�lisant au mieux lecontact pied$sol

La reconstruction des forces durant le double support se fait � l�aide de la conservation de laquantit� de mouvement et des moments cin�tiques Ce calcul peut �tre �vit� en consid�rant lesmultiplicateurs de Lagrange qui correspondent aux forces appliqu�es N�anmoins� il est int�res�sant de reconstruire ces forces par une autre m�thode introduisant ainsi un point de v�ri�cation

�� Simpli�cation de la dynamique

Suite � une mauvaise convergence de l�optimisation� dont nous reparlerons par la suite� et� un temps de calcul consid�rable� nous avons �t� amen�s � simpli�er la dynamique Pour cela


nous allons �tudier l�importance du terme C q� �q� �q par rapport aux termes H q��q et G q�� cesdeux derniers �tant du m�me ordre de grandeur au cours des trajectoires optimales En majorantles normes des cosinus et sinus � �� H q��q est homogne � cte �q et C q� �q� �q � cte �q� Or lestermes constants �tant du m�me ordre de grandeur� nous avons compar� les normes de �q auxnormes de �q�

Les calculs r�alis�s sur plusieurs trajectoires optimales montrent que les termes d�acc�l�rationsont plus grands en norme que les termes quadratiques de vitesses Le terme d�inertie est enmoyenne �� fois sup�rieur au terme de Coriolis A ce stade il appara�t possible de conclureque le terme de Coriolis est petit devant le terme d�inertie Or ce n�est pas parce qu�un termeest petit devant un autre qu�il est n�gligeable En e�et� un terme petit peut trs bien �tre unterme d�stabilisateur Nous avons donc v�ri�� l�in)uence du terme C q� �q� �q sur la convergence del�optimisation Nous allons perturber la dynamique simpli��e de la norme maximale de C q� �q� �q

c�est � dire environ �� H q��q L�id�al serait de se placer dans le cas le plus d�favorable quiconsisterait � faire agir cette norme maximale dans le sens qui p�nalise le plus l�optimisationNous nous sommes content� d�ajouter une fonction du temps de cette perturbation� par exemple�� H q��q t Plusieurs fonctions ont �t� test�es et le minimum obtenu n�a pas �t� a�ect� parces perturbations

Une autre simpli�cation a �t� r�alis�e sur la matrice d�inertie Nous avons consid�r� sestermes diagonaux comme constants et les termes non diagonaux nuls Cette hypothse peut �trerenforc�e par le fait que les motorisations couramment utilis�s dans les manipulateurs sont desmoteurs � courant direct poss�dant des rapports de r�duction importants

Une des solutions qui permettraient de prendre en compte la dynamique complte serait ded�former le systme par homothopie Partant du systme simpli�� on va le d�former progres�sivement pour arriver au systme complet en gardant un conditionnement correct puisque lad�formation ne sera pas brusque et ne changera pas radicalement la con�guration du terraind�optimisation Nous avons n�anmoins choisi de garder le modle simpli�� et de nous concentrersur l�extension de notre m�thode d�optimisation � un cycle complet de marche

Avec ces hypothses simpli�catrices� les �quations de la dynamique ��!� ��! deviennent �

H �q �G q� � uss ��a!

H �q� � �q�� ucont��t ��b!�H �q �G q� � uds � J q�T �psous � q� � �

��c!

H �q� �H �q� � uench��t ��d!

�� Le probl�me de g n ration de trajectoire optimale ��

L��criture � l�aide du vecteur d��tat X nous donne �

SS �

��X� � X�

�X� � H��uss �G X�� a!

Impact �

�X�� X��

X�� X�� H��ucont��t

��b!

DS �

��

�X� � X�

�X� � H��uds � J X ��T �p �G X��

sous � X ��

��c!

Ench �

�X�� X��

X�� X�� H��uench��t

��d!

Ces �quations peuvent se mettre sous la forme compacte suivante �

�X � fss X � uss� � � t � T�X T�

� � � �cont X T�� ucont� t � T��X � fds X � uds� �p� T� � t � T

X T�� ench X T�� uench� t � T

��!

�� Le problme de g�n�ration de trajectoire optimale

Suite � la mod�lisation simpli��e du robot marcheur sur un cycle complet de marche� nousallons tout d�abord r��crire la fonction co�t pour ce cycle complet� puis �tendre la formulationdu problme g�n�ral ��! au problme de g�n�ration de trajectoires comprenant les phases desimple et double supports ainsi que les transitions

En consid�rant un cycle complet de marche� la fonction co�t d�crite au chapitre pr�c�dentpar l��quation ��! s��crit maintenant �

J �

Z T

�uT u dt

�

Z T�

�uTssuss dt � ucont T��

T ucont T��t

�

Z T

T�

uTdsuds dt � uench T �T uench T ��t

��!

Remarque �� Notons que nous incluons directement ucont qui contient les forces impulsion

nelles ainsi que de la commande impulsionnelle appliqu�e au moment de l�impact du pied au sol


Ceci simpli�e le calcul en �liminant la reconstruction des forces impulsionnelles par une �quation

de loi de choc� tout en minimisant l�impulsion au moment du contact Il nous est paru int�ressant

de prendre en compte cette quantit� dans la minimisation a�n de r�duire les chocs brutaux Des

travaux tels que �� ou �� se concentrent mme sur l�obtention d�une marche sans impact �Comme dans le problme g�n�ral� nous allons �xer la vitesse moyenne de marche V � L�T

ce qui revient � �xer la longueur de pas et la p�riode de marche Nous allons �galement �xer letemps de vol T� et la hauteur de hanche h ainsi que le sens d�articulation des genoux a�n ded��nir la position initiale du robot � celle prise � la �n du simple support ,�gale � celle du d�butdu double support,� ainsi que la position �nale A l�aide des �quations ��! et ��!� notreformulation du problme de commande optimale peut se r�sumer � �

Probl�me �� Etant donn�s les positions initiales X� �� X�� m�dianes X� T�� X�T� et

�nales X��T �� X �T � ainsi que les intervalles de temps T� et T � le probl�me est de trouver la com

mande optimale u� t� qui minimise la fonction co�t J tel que le syst�me aille de X� �� X� T �

Ce qui est �quivalent � ��

minu�U

J �

Z T

�uT u dt

Sous

��

�X � fss X � uss� � � t � T�X T�

� � � �cont X T�� ucont� t � T��Xsous

� fds X � uds� �p�� X ��

T� � t � T


Etant donn�s �X�� X�T� � �X �T � T�� T �

��!

�

�� Proc�dure d�optimisation

Bien qu�ayant d�gag� un sous problme du problme global des bipdes gr(ce aux simpli�ca�tions du modle� la complexit� de la commande optimale en boucle ouverte sur un tel problmen�en reste pas moins d�licate C�est pourquoi nous avons dans un premier temps opt� pour unem�thode directe d�optimisation tir�e de "��#"��# Bien que ces techniques soient limit�es en r�sul�tat et ne garantissent pas le minimum� cette premire �tape permet une meilleure connaissancedu problme� de son conditionnement� et de ses particularit�s Nous allons donc proc�der � ladiscr�tisation du systme en faisant l�hypothse suivante �

Hypoth�se �� La commande u est suppos�e constante par morceaux Ensuite� le problme sous contraintes dynamiques sera transform� en un problme statique via

une discr�tisation Avec l�hypothse �� nous notons N� le nombre d��chantillons sur la phase de

�� Proc dure d�optimisation ��

simple support et N le nombre d��chantillon sur les deux phases � N � T��t o% �t est la p�rioded��chantillonnage Nous pouvons alors d��nir la s�quence de commande U � IR�n�N��

U � � u�� u�� u�� uN�� z �Uss

� ucont � uN�� uN�� z �Uds

� uench � ��!

o% U � U est d��ni comme une s�quence constante par morceaux born�e Avec cette hypothse�nous pouvons maintenant r��crire la fonction co�t ��! comme une somme des �chantillons �

C ��

N� � �

N��Xk��

u�k�T u�k��t � ucont�T��T ucont�T��t

��

N �N� � �

N��Xk�N�

u�k�T u�k��t � uench�T �T uench�T ��t ��a�

��

N

NXk��

u�k�T u�k��t ��b�

Ici �t� temps e�ectif de l�impact� est pris �gal � �t Nous pouvons remarquer que les co�ts sur laphase de simple support et double support sont normalis�s a�n de ne pas avoir de co�t croissantavec le nombre d�intervalle

La discr�tisation est appliqu�e en approchant l�op�rateur d�rivation par la formule d�Eulerdurant les phases de simple support et de double support Les deux �quations de transitions�tant d�j� sous une forme alg�brique� cette approximation n�in)uence pas leur �criture

, Simple support �

D�aprs l��quation ��!� et en appliquant l�op�rateur d�Euler� nous obtenons �

�Xk�� Xk�� Xk

�t� fss Xk� uk� ��!

Il est alors possible d�exprimer l��tat � l�instant k � � comme une fonction de l��tat �l�instant k et de la commande � l�instant k �

Xk�� Xk ��tfss Xk� uk� ��!

�� Fss Xk� uk�

En d�veloppant l��criture du vecteur d��tat� l��quation ��! donne ��qk��

�qk��

��

�qk ��t �qk�qk ��tH��uk � g qk��

� ��!

De la m�me manire� il est possible d�exprimer l��tat � l�instant k en fonction de l��tat �l�instant k � � et de la commande � l�instant k � �

Xk � Xk�� tfss Xk�� uk�� !


D�o%� l��tat Xk�� peut alors s��crire comme une fonction de Xk�� et uk��

Xk�� Xk�� tfss Xk�� uk��

��tfss �Xk�� tfss Xk�� uk�� uk� ��a!

� Fss Fss Xk�� uk�� uk� ��b!

� Fss � Fss Xk�� uk�� c!

Ce qui donne �

�qk��

�qk��

��

�� qk�� t �qk�� t� �qk�� tH��uk�� g�qk��

�qk�� tH��uk�� g�qk��

��tH��uk � g�qk�� t �qk��

�A ��

Finalement� par r�currence� l��tat �nal de la phase de simple support s�exprime en fonctionde l��tat initial du simple support X �� et de la suite de commande Uss �

XN�� Fss Fss Fss � � �

Fss X�� u�� u�� u� � � � uN�� a!

� Fss X�� u� uN�� b!

� Fss X�� Uss� ��c!

Pour satisfaire la contrainte de position imposant la con�guration �nale de la phase desimple support� il faut alors que la position calcul�e par l�optimisation satisfasse �

X�N�� F �

ss X �� Uss� � �X�T� ��!

o% F �ss est la partie de Fss relative aux positions

, Contact �

Cette transition �tant d�j� sous forme discrte� son �criture reste inchang�e et elle permetde relier l��tat � l�instant N� � � � l��tat � l�instant N� et � la commande ucont �

XN�� cont XN�� ucont� ��!

Cette phase fournit de fa&on unique les conditions initiales de la phase de double supportcomme une fonction des conditions �nales de la phase de simple support

, Double support �

L�op�rateur d�Euler est appliqu� � la dynamique de la phase de double support �

Xk�� Xk ��tfds Xk� uk� �pk� ��!

�� Fds Xk� uk�

�� Proc dure d�optimisation ��

Il est possible d�exprimer les multiplicateurs de Lagrange en fonction de l��tat Xk et dela commande uk� comme d�taill� dans l�annexe B C�est pourquoi la l�expression de Fds

ne d�pend plus de �pk De la m�me manire que pour la phase de simple support� il estpossible d�exprimer l��tat �nal de la phase de double support en fonction de la suite decommande du DS et de l��tat initial de cette phase qui provient de l��quation de contact ��! �

XN � Fds Fds Fds � � �Fds X �� u�� u�� u� � � � uN�

� ��a!

� Fds XN�� uN�� uN�� b!

� Fds XN�� Uds� ��c!

Le fait d�imposer la con�guration �nale se traduit cette fois par la contrainte �

X�N � F �ds XN�� Uds� � �X�T ��!

, Encha�nement �

De m�me que pour le contact� l��tat � l�instant N � � est obtenu en fonction de l��tat �l�instant N venant de ��c!� et la commande uench �

XN�� ench XN � uench� ��!

Exemple �� Prenons un syst�me simple � une dimension o� l��quation de la dynamique s��crit

comme suit �

�X � aX � u ��!

Alors l�application de la proc�dure d�optimisation donne �

�Xk�� Xk�� Xk

�t� aXk � uk

Xk�� Xk ��t aXk � uk�

avec

Xk � Xk�� t aXk�� uk��d�o�

Xk�� Xk�� t aXk�� uk��t�Xk�� t aXk�� uk�� uk�

��!

d�o� par r�currence on obtient �

XN � X� ��t aX� � u��

��t�a X� ��t aX� � u�� u��

� � � ��t�a X� � � � ��t aX� � u�� uN �

��!


ou de mani�re factoris�e �XN � X� � � a�t�N

�u��t � � a�t�N��

�u��t � � a�t�N��

� � � ��uN�t

��!

Le problme �� est transform� en un problme d�optimisation statique sous la forme suivante �

Probl�me �� Etant donn�s les positions articulaires initiales X� �� X�� m�dianes X� N��

�X�T� et �nales X� N� � �X�T � ainsi que les intervalles de temps T� et T � le probl�me est de trouver

la s�quence de commande optimale U� qui minimise la fonction co�t C tel que le syst�me aille de

�X�� X�T en passant par �X�T� � T� Ce qui est �quivalent � ��

minU �U

C � �N��

N��Xk��

uTk uk�t � uTcontucont�t

� �N�N��

N��Xk�N�

uTk uk�t � uTenchuench�t

Sous

��

X� N�� F �ss X �� Uss� � �X�T�

X N� � �� cont X N�� ucont�

X� N� � F �ds X N� � �� Uds� � �X�T

X N � �� ench X N�� uench�

Etant donn�s �X�� X�T� � �X�T � T�� T�N�� N�

��!

�

�� Comparaison de trois m�thodes de g�n�ration de trajectoires

optimales

Deux classes d�optimisation vont �tres �tudi�es dans cette partie Nous allons tout d�abordvoir deux m�thodes de param�trisation de la marche Cette param�trisation permet de r�duirele nombre de variables par rapport auxquelles l�optimisation est men�e La premire m�thodeconsiste � contraindre le vecteur des coordonn�es cart�siennes Y t� � un polyn me du tempsalors que la seconde approxime le d�placement articulaire q t� par une d�composition en s�rie deFourier L�autre cat�gorie d�optimisation est une optimisation sans restriction particulire sur lescoordonn�es cart�siennes ou articulaires La seule hypothse r�alis�e est celle de la commandeconstante par morceaux

�� Comparaison de trois m thodes de g n ration de trajectoires optimales ��

Ces trois m�thodes d�optimisation vont �tre compar�es sur la phase de simple support uni�quement� dans une optique de simpli�cation et a�n d�am�liorer la convergence des algorithmesd�optimisation La dynamique du robot ob�it � la simpli�cation vue pr�c�demment et elle estr�sum�e par l��quation suivante �

H �q �G q� � uss ��!

Ne consid�rant pas le double support� les �quations de l�impact du pied au sol et d�encha�ne�ment des phases pour retrouver les conditions initiales de vitesses� ne font qu�une Les forcesimpulsionnelles sont pr�sentes de m�me que le changement de pied de support

H �q� � �q�� ucont��t ��!

�� M�thode sans param�trisation de la marche

La m�thode que nous avons d�velopp�e ici n�est bas�e sur aucune param�trisation de lamarche L�approximation formul�e est la discr�tisation du systme n�cessaire a�n de rendre leproblme d�optimisation de dimension �nie

En se focalisant sur la phase de simple support� la dynamique simpli��e continue est �crite en ��! et nous appliquons la discr�tisation d�Euler � cette �quation en supposant la commandeconstante par morceaux de la m�me fa&on qu�� la section ��! Le problme d�optimisationstatique sur la phase de simple support devient �

Probl�me � Etant donn�s les positions articulaires initiales X� �� X�� et �nales X� N��

�X�T� � ainsi que l�intervalle de temps T�� le probl�me est de trouver la s�quence de commande

optimale U�ss qui minimise la fonction co�t C tel que le syst�me aille de �X�� X�T� Ce qui est

�quivalent � � ��

minU �U

�N��

N��Xk��

uTsskussk�t

Sous X� N�� F �ss X �� Uss� � �X�T�

Etant donn�s �X�� X�T� � T�� N��

��!

�

�� M�thode avec param�trisation de la marche

�� Param�trisation temporelle

Cette premire m�thode param�trise les d�placements cart�siens par un polyn me du tempsLe vecteur Y t� est compos� des coordonn�es du pied de vol et de la hanche ce qui� sur une phase


x

y

L/2

L

xy

p

p

xy

h

h

�gure �� Les d�placements cart�siens de la

hanche et du pied de vol sont param�tris�s par

des polynmes du temps�

de simple support� su�t � d��nir le mouvement d�un robot � � degr�s de libert�� voir �gure ��

Y �

��

yh � a� cos q�� a� cos q��

xh � � a� sin q�� a� sin q��

yp � yh � a� cos q�� a� cos q��

xp � xh � a� sin q�� a� sin q��

Y �� W q�

��!

Comme propos� en "��#"��#� ce vecteur est approch� par un polyn me d�ordre m �

Y t� � p� � p�t� � � �� pmtm ��!

p� �tant le vecteur des positions initiales� il est �x� et la matrice des �m paramtres de la marches��crit �

P � �p� � � � pm� ��!

Par d�rivations successives� nous obtenons les vitesses et acc�l�rations cart�siennes �

�Y t� � p� � �p�t� � � ��mpmtm��

�Y t� � �p� � � � ��m m� ��pmtm�� !

puis �nalement� � travers la g�om�trie inverse� la cin�matique inverse et la dynamique inverse�nous obtenons les positions vitesses et acc�l�rations articulaires �

q � W�� Y��q � J�� Y�q � J��Y � �JJ�� Y�

��!


o% J ��W

�q

Test la matrice Jacobienne non singulire sur l�espace admissible des coordonn�es

�Y d��nie comme suit �

J q� �

�BBB�

�a� sin q�� a� sin q��

�a� cos q�� a� cos q��

�a� sin q�� a� sin q�� a� sin q�� a� sin q��a� cos q�� a� cos q�� a� cos q�� a� cos q��

�CCCA ��!

Nous pouvons remarquer que les singularit�s ne sont jamais atteintes durant la marche humainepuisque le genou n�arrive jamais � l�extension complte "��#

En utilisant ��! dans ��!� nous �crivons la commande uss comme une fonction du vecteurdes paramtres P �

uss � HJ��Y �HJ�� JJ�� Y �G W�� Y�� !

� �p P� t� ��!

Exemple �� Pour illustrer cette m�thode� prenons un pendule de longueur �� de masse m Son

�volution est r�gie par �

m�q �mg cos q� � u ��!

En consid�rant uniquement l��volution de y et en la param�trisant par un polyn�me du troisi�me

ordre� nous obtenons � ��

y � a� � a�t� a�t�

�y � a� � �a�t

�y � �a�

��!

La g�om�trie inverse� cin�matique inverse et dynamique inverse donnent alors ��

q � arcsin a� � a�t� a�t��

�q �a� � �a�t

cos q�

�q ��

cos q� �a� �

a� � �a�t� a� � a�t� a�t��

cos q��

��!

alors l�expression de la commande u appliqu�e � la masse va s��crire �gr�ce � l��quation dyna

mique� �

u �I

cos q�

��a� �

a� � �a�t� a� � a�t� a�t��

cos q�

�mg cos arcsin a� � a�t� a�t

�� !

Avec la discr�tisation� la commande uk devient �

uk �I

cos qk� �a� �

a� � �a�k�t� a� � a�k�t� a� k�t��

cos qk��

�mg cos arcsin a� � a�k�t� a� k�t�� !


La fonction co�t� quadratique en u peut alors s�exprimer uniquement � partir des param�tresa� a� a� et du temps �

C ��

N� � �

N��Xk��

uTkuk�t ��

��

N� � �

N��Xk��

�I

cos�qk�

�a� �

�a� � a�k�t��a� � a�k�t� a��k�t��

cos�qk�

�

�mg cos�arcsin�a� � a�k�t� a��k�t��T

�I

cos�qk�

�a� �

�a� � a�k�t��a� � a�k�t� a��k�t��

cos�qk�

�

�mg cos�arcsin�a� � a�k�t� a��k�t��t ��

Le problme d�optimisation statique �� peut alors �tre r��crit en fonction du vecteur P

comme suit �

Probl�me � Etant donn�s les positions articulaires initiales X� �� X�� et �nales X� N��

�X�T� � ainsi que l�intervalle de temps T�� le probl�me est de trouver les param�tres optimaux P �

qui minimisent la fonction co�t C tel que le syst�me aille de �X�� X�T� Ce qui est �quivalent � ��

minp

�N��

N��Xk��

�p P� k�T �p P� k��t

Sous X� N�� F �ss�p X �� P � � �X�T�

Etant donn�s �X�� X�T� � T�� N��

��!

�

Remarque �� Il est tout � fait possible d�approcher directement les d�placements articulaires

q t� par un polyn�me� mais cette d�marche est moins visuelle par rapport � la �gure �� De plus�

nous avons voulu reproduire le travail expos� en �� Un autre avantage de la param�trisation

des coordonn�es cart�siennes est que Y T�� s��crit facilement en fonction des positions initiales

et de la longueur de pas L �

Y T�� Y ��

�BBBBBB�

�

L��

�

L

�CCCCCCA

��!

�

Remarque � Notons �galement que l�encha�nement des pas se fait facilement dans le cas o�

la marche est vue comme une succession de simples supports reli�s par des impacts en op�rant un


changement de rep�re L�extension au cas avec double support est moins ais�e puisque les pieds

restent au sol et qu�aucun mouvement n�est enregistr� Ceci se traduit par des coe�cients des

polyn�mes relatifs au pied nuls �

�� Param�trisation fr�quentielle

Ce sont cette fois directement les d�placements articulaires qui sont approch�s par une d�com�position en s�rie de Fourier tronqu�e Cette approche peut �tre vue comme une d�compositionfr�quentielle

q t� � a� �

KXl��

�al cos l�t� � bl sin l�t�� !

al et bl sont les coe�cients de Fourier et � � ��T� est la fr�quence de marche De m�me que pourles coordonn�es cart�siennes� les coordonn�es articulaires �nales sont di��rentes des conditionsinitiales ce qui se traduit par un biais important Ce dernier emp�che une d�composition e�caceen s�rie de Fourier car il g�nre un saut dans les �tats Pour r�soudre ce problme� il est propos�dans "��# d�ajouter un polyn me du temps a�n d�absorber ce biais Les auteurs ajoutent unpolyn me du eme ordre ce qui a pour e�et de �noyer� l�in)uence de la s�rie de Fourier + unpolyn me d�ordre �tant su�sant � la description du mouvement Une autre solution consiste� mener une optimisation sur deux pas "��# Comme la transition au moment du contact estdiscrte� une discontinuit� va appara�tre dans les vitesses qui ne pourra �tre prise en compteque si la d�composition possde un grand nombre d�harmoniques Au vu de ces deux solutions�nous choisissons de nous int�resser au d�placement articulaire sur un seul pas en ajoutant unpolyn me du premier ordre �

q t� � a� � ct�

KXl��

�al cos l�t� � bl sin l�t�� !

La matrice des paramtres de la marche est caract�ris�e par �

D � �a�� a�� aK � b� � � � � bK � c� ��!

Les vitesses et acc�l�rations articulaires sont obtenues par d�rivation successives de ��! �

�q t� � c�

KXl��

��all� sin l�t� � bll� cos l�t��

�q t� �

KXl��

��al l�� cos l�t�� bl l�� sin l�t��

��!

En introduisant ��! et ��! dans ��!� la commande s��crit en fonction des paramtres Dcomme �

uss � �f D� t� ��!


Exemple � L�illustration de cette m�thode se fait �galement avec un pendule de masse m Son

�volution est cette fois approch�e par une d�composition en s�rie de Fourier tronqu�e au premier

ordre ��

q � a� � a� cos wt� � b� sin wt�

�q � �a�w sin wt� � a�w cos wt�

�q � � a�w� cos wt� � b�w� sin wt��

��!

La commande peut alors s�exprimer en fonction des param�tre a� a� b� et du temps �

u � �m a�w� cos wt� � b�w

� sin wt��

�mg cos a� � a� cos wt� � b� sin wt�� !

Le terme uk exprim� apr�s la discr�tisation donne �

uk � �m a�w� cos wk�t� � b�w

� sin wk�t�� !

�mg cos a� � a� cos wk�t� � b� sin wk�t��

Une fois la discr�tisation op�r�e� la fonction co�t s�exprime en fonction des param�tres �

C ��

N� � �

N��Xk��

uTk uk�t ��!

��

N� � �

N��Xk��

��m a�w� cos wk�t� � b�w

� sin wk�t��

�mg cos a� � a� cos wk�t� � b� sin wk�t��T��m a�w

� cos wk�t� � b�w� sin wk�t��

�mg cos a� � a� cos wk�t� � b� sin wk�t�� t

Le problme �� devient alors �

Probl�me �� Etant donn�s les positions articulaires initiales X� �� X�� et �nales X� N��

�X�T� � ainsi que l�intervalle de temps T�� le probl�me est de trouver les param�tres optimaux D�

qui minimisent la fonction co�t C tel que le syst�me aille de �X�� X�T� Ce qui est �quivalent � ��

minD�D

�N��

N��Xk��

�f D� k�T �f D� k��t

Sous X� N�� F �ss�f X ��D� � �X�T�

Etant donn�s �X �� X �T� � T�� N��

��!

�


�� Algorithme doptimisation

En optimisation sous contraintes� le but est de transformer le problme non lin�aire contrainten un sous�problme pouvant �tre r�solu et qui est utilis� comme la base du processus it�ratifL�algorithme employ� pour la minimisation consiste en une programmation quadratique s�quen�tielle SQP Sequential Quadratic Programming! La r�solution d�un problme d�optimisations�e�ectue toujours de fa&on it�rative � pour un �tat xk� on d��ni dk la direction de descentePuis un processus de recherche lin�aire intervient Contrairement aux descentes de gradient� lesm�thodes Newtonniennes s�appuient sur une approximation au second ordre pour le choix de ladirection de descente Dans le cadre d�un problme non lin�aire� chaque it�ration va s�e�ectuersur une approximation au second ordre du problme� nous amenant � r�soudre des problmesquadratiques s�quentiels� d�o% le nom de m�thode SQP Le problme non lin�aire � r�soudre estsous la forme � ��

��minx

f x�

sous gi x� � � i � �� p p � n

��!

x � IRn est le vecteur des paramtres � optimiser� f x� � IR est la fonction co�t et g x� � IRp

est le vecteur des contraintes Nous nous contenterons de traiter le cas des contraintes d��galit�Les contraintes sont prisent en compte dans la minimisation gr(ce � l��criture du Lagrangien �

L x� �� f x� �

pXi��

�igi x� ��!

o% � est le vecteur des multiplicateurs de Lagrange

Les conditions n�cessaires d�optimalit� que doit remplir x� avec le problme contraint sontr�sum�es par les �quations de Kuhn�Tucker KT! �

fx x��

pXi��

��i gxi x�� !

��i gi x�� !

o% fx x� ��f x�

�xest le gradient de la fonction f � gxi x� �

�gi x�

�xest le gradient de la contrainte

i L��quation ��! traduit l�annulation du gradient de la fonction avec le gradient des contraintesau point solution La r�solution des �quations de KT va donc se faire it�rativement� chaqueit�ration int�grant � �tapes �

� A�n de travailler sur une approximation au second ordre� il est n�cessaire d�obtenir le

Hessien du Lagrangien d��ni comme � H ��L�

�xi�xj Le calcul de la matrice Hessienne �tant

lourd en temps de calcul� elle est estim�e � partir du gradient et de l�estim�e de la Hessienne


pr�c�dente L�estim�e prend alors en compte l�historique des it�rations pr�c�dentes et doncde l�optimisation Cette mise � jour se fait � chaque it�ration par une m�thode de BFGS Broyden� Fletcher� Goldfarb� Shanno! �

Hk�� Hk �qkq

Tk

qTk sk� HT

k Hk

sTkHksk ��!

avec ��!

sk � xk�� xk

qk � fx xk��

pXi��

�igxi xk�� fx xk��pX

i��

�igxi xk�

L�initialisation de ce calcul se fait avec une matrice sym�trique d��nie positive La matriceidentit� sera utilis�e dans notre cas

� A chaque it�ration le problme non lin�aire sous contraintes est approch� par un sousproblme quadratique QP Quadratic Programming! Ce problme quadratique tangentest une approximation du problme non lin�aire au second ordre �

f xk � dk� � f xk� � fTx xk�dk ��

�dTk Hkdk ��!

g xk � dk� � g xk� � gTx xk�dk ��!

Le problme quadratique revient donc � ��mindk

��dTkHkdk � fTx xk�dk

sous gTxi xk�dk � gi xk� � � i � �� p p � n

Il est r�solu par une m�thode de projection d�crite plus loin La r�solution de ce problmequadratique nous donne d�k� la direction de recherche

� Le long de cette direction de recherche� la taille du saut n�cessaire� not� ak� donnera le pointsuivant o% le problme non lin�aire sera de nouveau approch� par le problme quadratiqueak est choisi tel qu�une fonction de m�rite � d�croisse su�samment Cette fonction estconstruite comme suit �

� xk� � f xk� �

pXi��

rigi xk� ��!

ri � maxf�i� �� rik�� i�g i � �p

L�initialisation de ri est donn�e par �

ri �k fx x� kk gxi x� k ��!

L��tape qui calcule la direction de recherche et le saut � e�ectuer est appel�e �tape derecherche lin�aire A partir de la solution d�k et du saut ak� l��tat suivant est calcul� �

xk�� xk � akd�k ��!


� Retour au � avec k � k � �

Puisque les contraintes sont uniquement des �galit�s� la r�solution du QP ��! peut se fairedirectement � l�aide d�une m�thode de projection du gradient sur Zk � IRn��n�p�� base du sous�espace orthogonale aux contraintes ,ZTk gx � �,� "�# Le gradient est projet� sur le noyau descontraintes Les �tapes de la r�solution sont les suivantes �

, La premire �tape consiste � d�terminer un point r�alisable de la direction de recherche�not� dik qui satisfasse les contraintes du problme quadratique

, Ensuite le point r�alisable est modi�� comme suit �

dk � dik � ZTk pk ��!

Le problme quadratique tangent d��ni par l��quation ��! est alors r�duit � une seule�quation puisque la contrainte est satisfaite sur Zk Il devient alors �

minpk

�

� dik � ZTk pk�

THk dik � ZTk pk� � fTx xk� d

ik � ZTk pk� ��!

A�n de trouver le pk qui minimise la fonction� nous allons �crire le gradient et l��galer �z�ro �

ZkHkZTk pk � Zk fx xk� �Hkd

ik� � � ��!

d�o%

p�k � ZkHkZTk �

��Zk fx xk� �Hkdik� ��!

o% l�on voit appara�tre une �quation de projection ZkHkZTk �

��Zk A l�aide de cette valeur�nous calculons le d�k qui correspond � la direction de recherche du SQP qui permettrad��valuer l��tat suivant et ainsi de pouvoir �valuer le problme non lin�aire au pas suivant �

d�k � dik � ZTk pk ��!

La boucle principale de r�solution du SQP et la boucle secondaire du problme quadratiquesont illustr�es sch�matiquement sur les �gures �� et ��

Il est cependant utile de remarquer que la convergence d�une telle optimisation n�est pas sansposer de di�cult�s Le problme �tant mal conditionn� et ayant une taille non n�gligeable� ler�glage des paramtres d�optimisation joue un r le trs important dans la convergence vers unesolution Laquelle n�est que locale

Plusieurs remarques importantes sont � noter �

Remarque � Cette m�thode permet la violation des contraintes durant l�optimisation ce qui

est consid�r� comme n�cessaire a�n de ne pas restreindre le champ d�investigation de l�algorithme

En e�et� l�ensemble des �tats r�alisables n�est pas forc�ment convexe et mme connexe Le fait

d�imposer les contraintes � z�ro fait que l�on peut ne pas converger vers un point qui n�cessite la

violation des contraintes pour y arriver �


SQP

Mise à jourdu Hessien

à l'aide d'un BFGS

Résolution du QPCalcul de la

direction de descente

Non

Oui

Sortir x *

Direction de rechercheà l 'aide d'une

Fonction de mérite

Calcul de x k+1

Test finx -x εk + 1 k <|| ||

�gure �� Organi�

gramme de r�solution du

SQP�

QP

Calcul du d

Calcul d'unpoint réalisable

Calcul du Gradientprojeté sur les

contraintes

k*

�gure �� Organi�

gramme de r�solution du

probl�me quadratique�

Remarque �� Dans notre cas� les contraintes sont exclusivement sous la forme d��galit� Ceci

facilite la recherche du minimum alors que l�introduction de contraintes d�in�galit�s impose un

processus de r�solution beaucoup plus compliqu� et qui converge plus di�cilement �

�� R�sultats et comparaison

Nous avons �tabli une liste de critres � prendre en compte a�n de r�aliser une comparaisondes di��rentes m�thodes �

, Dans un but de comparaison des m�thodes nous nous sommes concentr�s sur la phase desimple support La fonction co�t C est un re)et de l��nergie inject�e dans le systme pourr�aliser une phase de simple support

, Le co�t n�cessaire � l�encha�nement des phases de simple support Bien que ne faisant paspartie de la fonction co�t � optimiser� il est n�cessaire de voir si les di��rentes trajectoires


entra�nent une di��rence de co�t d�encha�nement des cycles � cause de di��rences tropimportantes entre conditions initiales et �nales de vitesses Dans ce cas� la d�pense d��nergien�cessaire pour amener le systme dans les conditions initiales du pas suivant sera grandeCette quantit� est repr�sent�e par uTcontucont� o% ucont provient de l��quation ��!

, Le temps de calcul CPU est une autre quantit� int�ressante � prendre en compte car unedes grandes faiblesses de l�optimisation est d��tre un processus long en temps et co�teuxen calcul La proc�dure de param�trisation de la marche est introduite dans de nombreuxtravaux pour diminuer le nombre de paramtres par rapport auxquels l�optimisation estmen�e et donc� normalement� diminuer le temps de calcul

, Le nombre de paramtres � optimiser est �galement une quantit� signi�cative des m�thodesIl va d�pendre soit du nombre d�intervalle de tempsN pour la m�thode sans param�trisationde la marche� de l�ordre de troncature du polyn me m ou de la s�rie de Fourier K pour lesm�thodes avec param�trisation

Nombre de param�tres

L�ordre de troncature des param�trisations de la marche est important car il laisse plus oumoins de degr�s de libert� � l�optimisation tout en augmentant la taille du problme Quandle nombre de paramtre cro�t� la con�guration du terrain de l�optimisation est d�t�rior�e� cequi rend la probabilit� de tomber dans un minimum local plus forte Il est alors int�ressant detrouver un compromis Pour la m�thode de param�trisation des polyn mes en temps� nous avonsremarqu� que la fonction co�t ne changeait plus de manire signi�cative au del� de l�ordre �Nous avons donc choisi m-� Quant aux s�ries de Fourier� une analyse spectrale de l��volutiondes coordonn�es articulaires q t� permet de savoir quels sont les coe�cients signi�catifs et lesfr�quences auxquelles ils seront n�gligeables Cependant� la forme du signal va �voluer au coursde l�optimisation et avec elle� les fr�quences signi�catives La troncature de la d�composition ens�rie de Fourier ne peut donc �tre optimis�e de cette fa&on l� L�observation de la fonction co�tmontre qu�au del� de K � �� l�augmentation du nombre de paramtres et la d�t�rioration dutemps de calcul ne se justi�ent plus

Pour la m�thode sans param�trisation de la marche� le nombre de paramtres � optimiser vad�pendre du nombre d�intervalles pris par p�riode de marche c�est � dire de la p�riode d��chan�tillonnage Nous avons fait varier N de �� ce qui correspond � un �chantillonnage de �� s

� �� s pour une p�riode de marche de � s La discr�tisation r�alis�e � ms se rapprochebeaucoup plus du cas continu N�anmoins� aucune di��rence majeure n�est � relever sur le co�tet sur la trajectoire� voir �gure �� et ��

Dans le but de pouvoir comparer ces trois m�thodes d�optimisation� nous prendrons N � ��

a�n d�avoir un nombre de paramtres pour l�optimisation qui soit comparable dans les trois casDans le cas sans param�trisation le nombre sera de nN�� le �� venant desvitesses initiales qui sont libres La m�thode des polyn mes n�cessite nm�� paramtres�et pour les s�ries de Fourier n �K � ��


�gure �� Marche opti�

male obtenue avec une p�riode

d��chantillonnage �gale ��s

�gure �� Marche opti�

male obtenue avec une p��

riode d��chantillonnage �gale

��s

Tronc F�mur Tibia

Masse Kg� m � �� m� � � m� � �

Longueur m� a � � a� � �� a� � ��

Centre de masse m� l � � l� � �� l� � ��

Inertie kgm�� I � �� I� � �� I� � ��

Tab� �� Param�tres du robot simple utilis� dans l�optimisation avec mod�le rigide�

Marche optimale

Les optimisations ont �t� r�alis�es avec le modle cin�matique d��ni dans la table �� pourune longueur de pas de L � �� m et une p�riode de marche T� � � s La hauteur de hancheest prise �gale � �� m Nous pouvons voir sur les �gures ��a� ��b� ��c les marches obtenuesrespectivement avec la m�thode sans param�trisation� la param�trisation par polyn me et lad�composition en s�rie de Fourier La principale di��rence � noter sur ces �gures est la di��rencede trajectoire du pied de la jambe pendulaire Les trajectoires sont similaires dans le cas de lad�composition en s�rie de Fourier ou en polyn me� alors que le mouvement est beaucoup plusample dans le cas sans param�trisation Pour le mouvement de la hanche� le d�battement estsimilaire dans le cas Fourier et sans param�trisation alors qu�il est plus petit avec les polyn mesLes variations maximales de la hanche sont en g�n�ral plus faibles que les variations du pied devol� et ceci en raison de la forte masse due au tronc Ces mouvements sont repr�sent�s � la �gure��

Il faut remarquer que ces r�sultats sont obtenus sans ajouts de contraintes cin�matiquessur les articulations� comme le fait van de Belt dans "��#� par exemple La majorit� des tra�vaux contraignent le genou � ne pas plier � l�envers� le pied � ne pas rentrer dans le sol etc Enrajoutant des contraintes � satisfaire� la con�guration de l�espace admissible change consid�rable�ment et l�optimisation �galement Les r�sultats avec contrainte suppl�mentaire nous ont toujours


−0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20.66

0.67

0.68

0.69

0.7

X(m)

Y(m

)

Trajectoire de la hanche

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3−0.1

0

0.1

0.2

0.3

X(m)

Y(m

)Trajectoire du pied de vol

�gure �� Trajectoires de la hanche et du pied de

vol obtenues avec une p�riode d��chantillonnage

�gale �� s en � � �� et �� s en �

Crit�re Sans param� Polyn�mes S�rie de Fourier

Co�t C N�m�s� ��

Ench N�m�s� ��

NbrPar nN � � � �� nm� � � �� n �K � ��

Tps CPU s� � ��

Tab� �� Comparaison des di��rents crit�res pour les trois m�thodes d�optimisation�

conduits � un minimum ayant un co�t plus �lev� que lorsqu�aucune contrainte n�est rajout�e etque la validit� de la marche optimale est v�ri��e a posteriori Nous pouvons d�ailleurs remarquerque la marche obtenue sans ajout de contraintes �physiologiques� ou physiques possde une allureanthropomorphe

Fonction co�t

En regardant la fonction co�t associ�e � chacun de ces mouvements� nous pouvons voir dans latable �� que dans le cas sans param�trisation le re)et de l��nergie consomm�e est quasiment nulCela veut dire que l�optimisation trouve les conditions initiales de vitesses telles que le pied devol parte su�samment haut a�n d�atteindre la position �nale demand�e � travers un mouvementlibre La jambe de vol a alors le comportement d�un pendule comme lors de la marche humaineLe co�t n�cessaire � l�encha�nement de phase de simple support reste du m�me ordre de grandeurpour la m�thode des polyn mes et la m�thode sans param�trisation Pour la d�composition ens�rie de Fourier� la di��rence des vitesses initiales et �nales fait que ce co�t est moins grandLes vitesses d�impact pour les trois r�sultats sont montr�es dans le tableau �� o% l�on voit que


�gure �� Cette �gure montre les marches optimales obtenues sur la phase de simple support

avec les m�thodes suivantes � a�commande constante par morceaux sans autre param�trisation

b�approximation polynmiale c�d�composition en s�rie de Fourier�

les vitesses normales sont relativement faibles ce qui nous garanti contre un choc violent pourla m�canique De plus� nous pouvons voir dans ce tableau que les �nergies cin�tiques initiale et�nale de la m�thode sans param�trisation sont sup�rieures aux autres m�thodes Nous voyons�galement sur les �gures �� et �� que le transfert �nergie cin�tique� �nergie potentielle estutilis� au maximum dans cette m�thode

Temps de calcul

Pour le m�me ordre de grandeur de paramtres � optimiser� le temps de calcul est bien plusrapide pour la m�thode sans param�trisation qu�au cours des deux autres m�thodes Et ceci�malgr� la param�trisation qui est cens�e r�duire la taille du problme pour am�liorer du m�mecoup le temps de calcul

En conclusion� la m�thode sans param�trisation� pour un m�me �e�ort� de calcul� appara�tsup�rieure aux deux autres de par sa signi�cation pas de restriction sur la marche!� son temps


−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20.66

0.67

0.68

0.69

0.7

X(m)

Y(m

)

Trajectoire de la hanche

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3−0.1

0

0.1

0.2

0.3

X(m)

Y(m

)

Trajectoire du pied de vol

�gure �� Trajectoires de la hanche et du pied

de vol durant une phase de simple support avec

les trois m�thodes � � Fourier � � �� Polynme

� � � Sans param�trisation�

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−5

0

5

10

15

Temps

Ene

rgie

cin

étiq

ue

�gure �� Energie cin�tique

durant une phase se simple

support pour les trois m��

thodes � � Fourier � � �� Po�

lynme � � � Sans param�trisa�

tion�

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 140

42

44

46

48

50

52

54

56

58

60

Temps

Ene

rgie

pot

entie

lle

�gure �� Energie poten�

tielle durant une phase se

simple support pour les trois

m�thodes � � Fourier �� Po�

lynme � � � Sans param�trisa�

tion�

M�thode �ypied ms�� xpied ms�� Ecini J� Ecfin J�

SansParam � ��

Polyn mes ��

Fourier ��

Tab� �� Vitesses normales et tangentielles d�impact du pied de la jambe de balancement pour les trois

m�thodes et �nergies cin�tiques associ�es�


�gure �� Marche optimale

r�alis�e sur la dynamique com�

pl�te pour une longueur de pas

L � �� m une p�riode de

marche T � � s n�cessitant un

co�t de �� N�m��

�gure �� Marche optimale

obtenue sur la dynamique sim�

pli��e pour une longueur de

pas L � �� m une p�riode de

marche T � � s n�cessitant un

co�t de �� N�m��

de calcul et son co�t C�est donc cette m�thode employ�e ici uniquement sur la phase de simplesupport qui sera d�velopp�e et �tendue � un cycle complet de marche � la section suivante

�� Extension de la m�thode sans param�trisation un cycle

complet de marche

Au vu des r�sultats de la comparaison sur la phase de simple support� nous avons choisid��tendre notre m�thode sans param�trisation � un cycle complet de marche pour la g�n�ra�tion de trajectoires optimales Le problme dynamique de commande optimale r�sum� par leproblme �� est transform� en problme statique �� par la discr�tisation A partir de l�� nousallons comparer les r�sultats obtenus sur la dynamique complte puis simpli��e Ensuite� avec ladynamique simpli��e nous �tablirons un g�n�rateur de marche optimale pr��calcul�e pour di��rentes valeurs de longueurs de pas et de p�riodes de marche Nous comparerons certains r�sultatsavec des r�sultats provenant de relev�s biom�caniques

�� Dynamique complte et simpli��e

Sur un cycle complet de marche la formulation du problme de commande optimale statiquepar la m�thode sans param�trisation se r�sume au problme �� Nous avons pu comparer lesr�sultats obtenus avec la dynamique complte du robot� d�crite par les �quations ��!� ��!� etla dynamique simpli��e� r�sum�e en ��!

La trajectoire de marche optimale obtenue avec le modle complet a �t� obtenue avec unelongueur de pas de L � �� m et une p�riode de cycle de marche de T � � s L�optimisation

�� Extension de la m thode sans param trisation � un cycle complet de marche ��

Générateur de trajectoire optimale

S

T

q*

u*

�gure �� Sch�ma de principe du g�n�rateur

de marches optimales d�velopp� sous Matlab�

statique a �t� men�e � bien avec le m�me algorithme pr�sent� pr�c�demment La comparaisonde la dynamique complte et de la dynamique simpli��e montre une di��rence non n�gligeablede comportement sur les �gures �� et �� et de co�t � �� Nm�� pour le modle complet et�� Nm�� pour le modle simpli�� N�anmoins� le temps de calcul consid�rable ainsi que l�in�certitude de la convergence avec le modle complet nous ont fait choisir la dynamique simpli��eCeci nous a permis d�obtenir des trajectoires de marche sous�optimales pour divers paramtreset ainsi pouvoir exploiter ces r�sultats �nerg�tiques

La plus grande di��rence � observer sur la marche avec modle simpli�� sur un cycle completde marche par rapport � la phase de simple support seule� est que le mouvement du pied est moinsample Dans le cas de la phase de simple support� le pied avait un mouvement quasi�balistiquealors que durant un cycle complet il est plus contr l� Ceci est d� au fait que l�optimisation prenden compte toutes les phases Une phase balistique en simple support peut trs bien induire unco�t excessif durant les transitions et la phase de double support L�optimisation pr�fre alorsd�penser de l��nergie durant le simple support pour limiter les d�penses durant l�impact Nouspouvons voir l� l�importance d�inclure une phase de double support dans l�optimisation pourreproduire une marche anthropomorphique

�� G�n�rateur de marche optimale en �nergie

L�optimisation �tant une proc�dure num�riquement sensible et co�teuse en temps de calcul� latendance est d��tablir une base de donn�es de trajectoires optimales pr��calcul�es� qui sont ensuiteprises comme r�f�rences � suivre Les trajectoires et commandes optimales ont �t� obtenues pourdes longueurs de pas variant de L � �� m � L � � m par variation de cm et pour desp�riodes de marche allant de T � �� s � T � �� s par variation de �� s� ce qui donne desvitesses moyennes de marche de �� m�s � � m�s� voir sch�ma de principe �gure ��

Initialisation de l�optimisation

L�initialisation �tant extr�mement importante pour la bonne convergence d�une optimisation�il convient de choisir une trajectoire qui satisfasse les contraintes ,en l�occurrence les positionsinitiales� interm�diaires et �nales, C�est pourquoi nous avons choisi comme trajectoire initialeune trajectoire o% les d�placements cart�siens de la hanche et du pied sont approch�s par des


−0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

0.525

0.53

0.535

0.54

X (m)

Y (

m)

Déplacement du centre de gravité

�gure �� D�placement

du centre de gravit� pour la

marche optimale de �� m de

longueur de pas�

0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9320

340

360

380

400

420

440

Ratio SS/DS

Coû

t opt

imal

(N

.m)2

�gure �� Fonction co�t

en fonction du ratio simple et

double support dans le cas L �

��m et T � �s

polyn mes d�ordre � Ceci permet de calculer les coe�cients de fa&on unique � l�aide des positionset vitesses initiales et �nales �

Y t� � p� � p�t� p�t� � p�t

� ��!

Les coe�cients pi sont alors donn�s par �

p� � Y �� !

p� � Y T�� !

p� ��

T ��

�� Y T�� Y �� T� �Y T�� Y �� !

p� � � �

T ��

Y T�� Y ��

T ��

�Y T�� Y �� !

Marche optimale

Comme toute optimisation� la trajectoire optimale trouv�e d�pend de la trajectoire initialeet surtout de ses conditions initiales Cependant� on peut noter quelques invariants �

, La trajectoire d�crite par la hanche est de forme sinuso'dale

, Le pied de vol � toujours une vitesse initiale en x n�gative� ce qui correspond � un d�collagedu pied vers l�arrire quelles que soient les conditions initiales de vitesses de la trajectoired�initialisation

, La jambe de support ne se tend jamais pour ne pas �lever le centre de masse inutilement

On peut donc penser que ces caract�ristiques� valables quels que soient les paramtres L et T �sont les sp�ci�cit�s d�une marche optimale pour notre modle du robot bipde simpli��

La �gure �� montre l��volution du centre de masse au cours d�un cycle complet de marchepour une longueur de pas �gale � L � �� m et pour une p�riode de marche T � �� s On peut

�� Extension de la m thode sans param trisation � un cycle complet de marche ��

0 0.5 1 1.50

500

1000

1500

time

Con

trol

1 (

N/m

)

0 0.5 1 1.5−500

−400

−300

−200

−100

0

time

Con

trol

2 (

N/m

)

0 0.5 1 1.5−300

−200

−100

0

100

time

Con

trol

3 (

N/m

)

0 0.5 1 1.5−150

−100

−50

0

50

time

Con

trol

4 (

N/m

)

�gure �� Commandes optimales en boucle ou�

verte appliquer aux � actionneurs

remarquer que le centre de masse ne d�crit pas une sinuso'de parfaite comme dans le cas humain �durant la phase de DS le centre de gravit� d�crit une sinuso'de vers le bas Nous avons �galementnot� que pour une m�me longueur de pas� le d�placement du centre de gravit� est d�autant plusample que le temps pour parcourir cette distance est grand D�ailleurs les mouvements ,piedet hanche, sont plus amples� ce qui� au del� d�un certain seuil� va p�naliser le co�t De m�mequand il faut parcourir cette distance en un temps court� le mouvement ne pourra pas exploiterl�amplitude au maximum pour tendre vers un mouvement balistique� mais privil�giera l�e�cacit�pour arriver � temps � la position �nale Ceci se traduisant par un co�t plus �lev�

Le ratio temps de simple support$temps de double support a �t� choisi �gal � �� a�n dese placer dans le cas de la marche humaine Bien que l�introduction de ce rapport comme unevariable d�optimisation � part entire n�ait pas �t� possible en raison de la mauvaise convergencedu problme � optimiser� nous avons r�ussi � faire varier celui�ci de �� Nous pouvonsvoir sur la �gure �� que l�optimum de la fonction co�t se situe e�ectivement � �� Les autrescas trait�s� en dessous de �� et au dessus de �� n�ont pas donn� lieu � une convergence del�optimisation

La �gure �� montre l��volution des commandes optimales en boucle ouverte obtenue del�optimisation dans le cas d�une longueur de pas de L � �� m et une p�riode de marche T � �� sL� encore� on retrouve un mouvement de simple support quasi balistique avec des couples trsfaibles alors que l�impact et l�encha�nement demande de fort couples La phase de double supportest �galement assez contr l�e

Pour mieux comparer nos r�sultats avec ceux pr�sents dans la litt�rature biom�canique� nousavons exprim� la fonction co�t C en calorie$mtre$kg de masse du robot� en supposant que la


0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2J=f(V)

V (m/s)

J (c

al/m

/kg)

L=0,3 m

L=0.65 m

�gure �� La fonction co�t

C comme une fonction de la

vitesse V pour di��rentes va�

leurs de longueur de pas L�

Ene

rgy

expe

nditu

re p

er d

ista

nce

per

body

wei

ght (

cal/m

/kg)

10050 150 200

Walking speed, (m/min)

1.0

1.5

�gure �� Consommation

d�oxyg�ne en fonction de la vi�

tesse de marche dans le cas hu�

main�

constante reliant le couple d�livr� � la tension d�entr�e des actionneurs �tait unitaire

La �gure �� montre le co�t comme une fonction de la vitesse de marche pour deux longueursde pas Nous voyons appara�tre une vitesse optimale� ce qui veut dire que pour chaque longueurde pas� une vitesse de marche optimale existe et donc une p�riode T optimale Cette �gure peut�tre compar�e � celle tir�e de "��# montrant que chez l�homme une vitesse dite naturelle existeaussi et minimise sa consommation d�oxygne

La �gure �� montre quant � elle� que quelle que soit la vitesse de marche employ�e� unelongueur de pas optimale existe Cette longueur est �gale � �� m pour la morphologie du robotd�crite dans la table ��! Il faut noter que quelle que soit la vitesse d�sir�e� la marche avecde petits pas est plus co�teuse en �nergie En e�et� le nombre de transition impact au sol etencha�nement! et de phase de double support s�accro�t pour parcourir la m�me distance

La variation de r�partition des masses nous a montr� que pour un m�me poids� il est pr�f�rabled�avoir des cuisses plus lourdes que les tibias Cette r�partition est �nerg�tiquement plus rentablem�me si les trajectoires obtenues gardent un pro�l semblable L�alourdissement des tibias a poure�et de g�n�rer des mouvements de la jambe de balancement plus tendus ce qui entra�ne un co�t�lev� Nous avons en e�et vu que le mouvement de simple support d�allure balistique vers quoinous souhaitons tendre est r�alis� avec un mouvement ample de la jambe

La �gure �� montre le pourcentage d��nergie d�pens�e au cours des phases de simple supportet de double support ainsi qu�au cours des transitions Nous pouvons remarquer tout d�abordque la quantit� perdue au cour de l�impact n�est pas aussi importante que l�on aurait pu lepenser En tenant compte de toutes les phases et transition� l�optimisation r�alise un compromisa�n d�obtenir une d�pense d��nergie r�partie au long du cycle plut t que d�avoir une succession


0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.650

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5J=f(S)

S (m)

J (c

al/m

/kg)

V=0,2 m/s

V=1.6 m/s

�gure �� La fonction co�t

C en fonction de la longueur de

pas L pour di��rentes valeurs

de la vitesse V �

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

S (m)

% of Consumed Energy in function of the Step Length

SS

DS

link

Imp

�gure �� R�partition de

la consommation d��nergie au

cours d�un cycle complet de

marche�

de mouvements balistiques et des pertes importantes d��nergie lors des impacts N�anmoins� onpeut voir que ce co�t perdu durant l�impact augmente avec la longueur de pas

�� Conclusion

Dans ce chapitre nous avons vu la mod�lisation cin�matique et dynamique du robot bipdecoplanaire � � degr�s de libert� La dynamique a �t� simpli��e en vue de l�optimisation qui s�avrenum�riquement di�cile

Une fois le problme d�optimisation dynamique pos�� celui�ci est transform� en un problmestatique via une discr�tisation Dans un premier temps� cette technique d�optimisation directeest appliqu�e � la phase de simple support uniquement a�n de comparer di��rentes m�thodes deparam�trisation de la marche param�trisation temporelle et fr�quentielle! � une m�thode sansparam�trisation qui s�est r�v�l�e plus e�cace

La m�thode sans param�trisation apparaissant sup�rieure aux autres pour un m�me �e�ort�de calcul� elle a �t� �tendue � un cycle complet de marche incluant les phases de simple et doublesupport ainsi que les transitions Un g�n�rateur de trajectoires optimales a �t� d�velopp� pourdi��rentes longueurs de pas et p�riodes de marche Des r�sultats �nerg�tiques ont �t� compar�s� des r�sultats biom�caniques qui mettent en avant une vitesse de marche dite naturelle chez lerobot comme chez l�homme� produisant une marche �conome

L�extension � un cycle complet de marche a r�v�l� que des lacunes sur le modle de contactrigide perdurait dans le cas multi�contacts Dans l�optique d�un modle libre� c�est � dire sansl�hypothse d�un pivot �xe� nous nous sommes int�ress� de plus prs � la mod�lisation des ph��nomnes de contacts De plus l�introduction d�une semelle nous a fait pencher sur les modles


compliants C�est ce que nous allons voir dans le chapitre suivant

�� Mod�lisation compliante du contact piedsol

Une di��rence fondamentale entre notre robot et les autres de type manipulateur� r�side dansle contact avec le support qui est unilat�ral et non pas bilat�ral� c�est � dire que le contact peut �trerompu sous l�e�et de la dynamique Deux grandes ��coles� s�a�rontent quant � la mod�lisation del�interaction d�un tel robot avec le sol La premire consiste en une approche rigide qui considreles corps en contact comme id�alement rigides Cette hypothse a �t� utilis�e au chapitre � pour�tablir le modle de contact La deuxime� celle d�taill�e dans ce chapitre� mod�lise l�interactiondes surfaces en contact comme un ph�nomne compliant en introduisant des ressorts�amortisseurssur l�une des surfaces en contact� voir �gure �� Il est alors possible de simuler facilementdi��rents types de surface en changeant les coe�cients de raideur et d�amortissement Un desavantages des modles compliants est qu�il n�est pas utile de faire l�hypothse de corps rigidesen contact� ce qui semble �tre r�aliste en ce qui concerne un contact pied$sol qui se d�roule avecdes semelles souples! L�avantage principal de tels modles est que la dynamique est continueet d��nie par des �quations di��rentielles alors qu�avec une approche rigide� les �quations de ladynamiques deviennent des �quations alg�bro�di��rentielles ou hybrides Il est � noter que� quelleque soit l�approche utilis�e en simulation� la pr�cision de la d�tection du contact va d�pendre desperformances de l�int�grateur utilis�� ce qui in)uera sur les r�sultats num�riques

Notre objectif est de d�velopper un modle qui soit le plus r�aliste possible pour la simulation

NTF

F

�gure �� Visualisation des deux approches de

mod�lisation du contact pied�sol � rigide ou com�

pliant�

�� Mod lisation compliante du contact pied�sol

Ce modle doit reproduire au mieux le comportement physique lors d�impacts d�objets avec le solPour cela� nous verrons tout d�abord le modle compliant ressort�amortisseur lin�aire Certainsd�fauts lui sont associ�s et en font un modle mal adapt� � ce type de problmes En revanche�une �tude de la litt�rature nous a montr� que des modles compliants de type non lin�aireexistaient Nous les d�taillerons ensuite Bien que physiquement repr�sentatif du ph�nomne decontact� l�extension au cas � deux dimensions de tels modles nous a amen�s � introduire unmodle de frottement dynamique pour la mod�lisation du contact dans le sens tangentiel Nousverrons l�application de ce modle au simulateur LAPIN

�� Modle compliant

La rigidit� parfaite dans les articulations n�existant pas et les modles rigides pr�sentantcertaines ind�terminations� nous nous sommes pench�s sur l�exploitation des modles compliantsNotre �tude des modles compliants se situe en parallle de "��# et "��#� et est � l�origine d�uner�)exion commune sur les lacunes de la mod�lisation du ph�nomne d�impact Voyons toutd�abord le modle compliant le plus simple consistant en un ressort�amortisseur lin�aire� puisnous verrons l�extension non lin�aire de ce modle� sur une masse en une dimension dans unpremier temps Finalement� nous verrons l�extension de tels modles dans le cas � deux dimensionstoujours sur une masse� prise comme cas d��tude pour la validation des modles

�� Modle ressort�amortisseur lin�aire

Le mod�le

Mod�liser le contact d�une masse avec son environnement par un modle de ressort�amortisseursemble naturel ds lors qu�il y a d�formation Le modle lin�aire classique tel qu�il appara�t dansl��quation suivante possde certaines faiblesses

F � ��c �y � ky

o% k est le coe�cient de raideur en �Nm�� c le coe�cient d�amortissement en �Nsm�� y lap�n�tration en �m�� et �y la vitesse de p�n�tration en �ms�� Si l�on prend l�exemple d�une masseponctuelle entrant en contact avec une surface compliante en y � �� les �quations dynamiquess��crivent comme suit � �

�y � �g y �

�y � �g � �cm �y � k

my y � � ��!

Remarque �� Consid�rer que la compliance appara�t au niveau de l�objet qui rentre en contact

avec une surface rigide� ou consid�rer que c�est un objet rigide qui rentre en contact avec le

sol compliant est �quivalent Par la suite� en simulation� ce sera la deuxi�me hypoth�se qui sera

�� Mod�le compliant ��

0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0.46 0.48 0.5 0.52

−50

0

50

100

150

�gure �� Force de contact du mod�le li�

n�aire avec discontinuit� au collage et d��

collage et force n�gative qui tend garder

les corps en contact au d�collage�

trait�e� mme si dans le cas d�un bip�de� la compliance se manifestera surtout au niveau des

semelles �Les limitations du modle lin�aire ressort�amortisseur sont les suivantes �

, Au moment du collage de l�objet avec la surface� appara�t une discontinuit� dans la force�ainsi que dans les �tats� en particulier l�acc�l�ration Cette discontinuit� est due au terme��c �y qui n�est pas nul � cet instant car la vitesse �y ne l�est pas Or physiquement� laforce d�interaction entre les surfaces en contact est nulle � l�instant de collage� puis aug�mente progressivement durant le contact� pour �nalement revenir � z�ro au d�collage Cettediscontinuit� est visible �gure ��

, De plus� avec un modle lin�aire� le coe�cient de restitution� liant les vitesses d�entr�e etde sortie de la surface du sol� d�pend de la masse du corps� et non de la vitesse d�impactSi l�on suppose qu�une masse m rentre en contact avec un objet massif� comme le sol� lecoe�cient de restitution provenant du modle lin�aire est e � exp ��c��

p�mk � ��c� Or

le coe�cient de restitution est une propri�t� de la surface Il ne doit donc pas d�pendre dela masse en contact

En revanche� le fait que ce modle soit lin�aire pr�sente un certain nombre d�avantagesEn particulier� il est possible d�obtenir analytiquement la trajectoire de l�objet en fonction descoe�cients du sol On peut ainsi ma�triser le transitoire� tel que la masse ne ressorte pas dusol par exemple� par un choix de paramtres Ces coe�cients correspondent alors � un mat�riaudonn� avec lequel on peut pr�tendre r�aliser la semelle du robot bipde

R�glage des param�tres

Le r�glage le plus facile et le plus direct est celui du paramtre de la raideur k En e�et� en�xant une p�n�tration stationnaire dans la surface �valu�e en �y � �y � � la raideur est �x�e en


fonction de la masse Ceci est �quivalent � �xer la d�formation stationnaire de la semelle si onsuppose le sol rigide

yss � �mgk

k � �mgyss

��!

La premire �valuation du robot RABBIT qui sera construit � partir du simulateur LAPIN dansle cadre du projet CNRS .Robot � Pattes.� nous a donn� une masse d�environ �� kg Avec cetexemple� nous pouvons supposer qu�une d�formation stationnaire souhait�e de � mm pour unesemelle est un maximum acceptable Ceci nous donne un coe�cient de raideur du mat�riau dek � �� Nm��

Pour d��nir le paramtre �c� deux choix sont possibles �

, Si l�on veut que la masse se stabilise directement � la p�n�tration yss d�sir�e sans oscillation�le r�gime transitoire doit �tre amorti� � �� ce qui� d�aprs l�identi�cation de ��! avecun second ordre donne �

� � �c�pkm

�

�c �pkm

Sur la �gure �� le r�gime transitoire amorti est obtenu pour une masse de �� kg� unep�n�tration stationnaire yss � � mm� ce qui donne une raideur k � �� Nm�� et uncoe�cient d�amortissement �c � �� Nsm��

, En revanche� si l�on souhaite que le pied se pose sans red�coller� mais avec possibilit�d�oscillation de la semelle avant le r�gime permanent� le coe�cient d�amortissement �c seramoins restrictif Ainsi� l�int�gration de l��quation di��rentielle du second ordre ��! � partirde la surface de contact ie y� � �� y� � vi! en supposant que le r�gime est oscillatoire�c�est � dire que les p les sont complexes conjugu�s� donne �

y t� � e�t vi�sin �t�� mg

k ��!

o% � � ��c��m et � �p�km� ��c�m sont respectivement les parties r�elle et imaginaire

des p les Le d�passement de la r�ponse de ce second ordre� doit rester inf�rieur � � pourque le pied ne red�colle pas On obtient ainsi une �quation qui� aprs r�solution num�rique�permet d�obtenir une valeur de �c pour une vitesse d�attaque au sol vi� k et m �tant �x�s voir �gure ��!

�cp�km� ��c

arctan

p�km� ��c��c � �� ln �mg

kvi

p�km� ��cm

� � � ��!


0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55−20

−15

−10

−5

0

5

x 10−3

Temps (s)

traj

ecto

ire (

m)

Régime transitoire amorti de la pose du pied

�gure �� R�gime transitoire

amorti d�une masse de � kg

l�ch�e � cm du sol sans

vitesse initiale ayant comme

p�n�tration �nale mm c�est

dire une raideur de k �

�� N�m�� ce qui fait un �c �

�� N�s�m��

0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55

−20

−15

−10

−5

0

5

x 10−3

Temps (s)

traj

ecto

ire (

m)

Régime transitoire de la pose du pied sans redécollage

�gure �� R�gime transitoire

d�une masse de � kg l�ch�e

� cm du sol sans vitesse ini�

tiale ayant comme p�n�tration

�nale mm c�est dire une

raideur de k � �� N�m�� ce qui

fait un �c � �� N�s�m��

�� Modle ressort�amortisseur non lin�aire

Le mod�le

Suite aux limitations du modle lin�aire� il parait naturel d�introduire un modle non lin�airecorrigeant ces faiblesses Hertz a d�velopp� en �� un modle non lin�aire issu de la th�orie del��lasticit� et de la m�canique des contacts �

F � �kyn ��!

o% n est caract�ristique de la forme des surfaces en contact et n � �� si l�on considre deuxsphres en contact Il subsiste cependant un inconv�nient majeur� car aucune dissipation d��nergien�est associ�e � ce modle

Hunt et Crosseley "��#� puis Orin et Marhefka "��# ont alors introduit un modle de ressort�amortisseur non lin�aire qui pr�sente l�avantage de conduire � une continuit� dans la force voir�gure ��! et dans les �tats du systme tout en ayant un terme dissipatif Celui�ci est proportionnel� la p�n�tration de l�objet dans la surface� ce qui quanti�e le fait que plus la p�n�tration estgrande� plus la surface en contact est grande� et plus l��nergie n�cessaire � la p�n�tration estgrande

F � ��cjyjn �y � kjyjn ��!

o% y est la p�n�tration dans la surface y � �!� �y est la vitesse de l�objet et n caract�rise la formedu contact Ce coe�cient n��tant bien caract�ris� que dans le cas d�un contact sph�rique� nousprendrons n � � dans un but de simpli�cation

� � Mod lisation compliante du contact pied�sol

0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6

0

20

40

60

80

100

120

140

temps

For

ce d

e C

onta

ct (

N)

Modèle Non Linéaire

�gure �� Force de contact du mod�le non

lin�aire avec continuit� aux instants de col�

lage et d�collage�

Deux propri�t�s importantes de ce modle ont �t� montr�es par Marhefka dans "��#

, Si l�on considre une masse m en contact avec une surface compliante mod�lis�e par ��!�il est possible d�obtenir explicitement la position y comme une fonction de la vitesse v � �y�de la vitesse d�attaque au sol au moment du contact vi� ainsi que de la position initiale yi

y � � yi� vi� v� ��!

� � �m n� ��

��k

�� v � vi�� ln

�� vi�� v

��

� �yi�n��

n�� !

o% � � ��k��c en �s�m� Les valeurs admissibles de � pour les mat�riaux courants vontde �� sm�� correspond � un mat�riau trs �lastique Des valeurssup�rieures � �� existent mais remettent en question les hypothses selon lesquelles lemodle a �t� d�velopp� "��#

, Pour de petites vitesses d�entr�e dans la surface de contact vi et pour des � petits� alors une�quivalence avec le modle de type coe�cient de restitution peut �tre �tablie e � �� vi

Coe�cient de restitution �quivalent

Si l�on d�sire voir ce modle compliant comme une �bo�te noire�� fournissant les vitesses desortie de la surface en fonction des vitesses d�entr�e et du rapport des coe�cients du sol� cemodle peut �tre vu comme un coe�cient de restitution non lin�aire e � f vi� �� Pour cela� ilfaut �valuer ��! en yi � �� y � �� v � v� ce qui donne l��quation transcendente suivante �

v� ��

��ln �� v��

� � vi ��

��ln �� vi�

�


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Vitesses au moment du contact (m.s−1)

Coe

ffici

ent d

e re

stitu

tion

e=f(α, vi)

α=0.01

α=0.05

α=0.1

α=0.2

α=0.3

α=0.5

�gure �� Coe�cient de restitution en

fonction des vitesses d�entr�e et des para�

m�tres du sol�

� � ��c��k est proportionnel au rapport des coe�cients de caract�ristique du sol Il est �noter que vi �tant n�gatif� et l�amortisseur �tant dissipatif� on a v� ��vi�� ce qui permet des�lectionner une seule des racines de l��quation

On voit ais�ment sur la �gure �� que pour un domaine de travail des vitesses initiales allantjusqu�� m�s� le coe�cient de restitution est fortement non lin�aire par rapport aux vitesseslorsque les valeurs de � augmentent Ceci justi�e l�emploi des modles compliants vis��vis desmodles rigides qui utilisent une loi de choc de type coe�cient de restitution constant En se�xant un domaine de travail� il est alors possible d�approcher le coe�cient de restitution nonlin�aire par une fonction Avec le choix du domaine admissible vi � ��ms�� nous avonsobtenu l�approximation suivante �

e vi� �� a� a exp ��vi� ��!

o% a � �� provient d�un calcul de digression de moindres carr�s

R�glage des param�tres

Comme dans le cas du modle lin�aire� le calcul du paramtre k s�e�ectue en imposant unep�n�tration statique lorsque la masse est en �quilibre avec la surface en contact � �y � �y � �� etconduit � la m�me formule que dans le cas du modle lin�aire

yss � �mgk

k � �mgyss

��!


ym a xy

λ'

λ

�gure �� Caract��

ristique du coe�cient

d�amortissement non li�

n�aire�

En ce qui concerne le coe�cient d�amortissement �c� la non lin�arit� du modle nous privede l�int�gration temporelle de la trajectoire ce qui nous interdit un calcul exact pour faire ensorte que le pied se pose sans red�coller comme en ��! En revanche� on peut �crire la forced�interaction du modle non lin�aire avec un nouveau coe�cient ��c � �cy qui repr�sente uncoe�cient d�amortissement lin�aire �quivalent virtuel Il est alors possible de r�gler ��c comme lecoe�cient lin�aire Ensuite pour revenir � l�estimation de �c � ��c�y� il faut choisir une valeurde y Pour avoir une �quivalence parfaite� l��nergie d�pens�e par l�amortissement d� au ��c et d�au �c doit �tre identique Z

��c �y dy �

Z�cy �y dy ��!

En choisissant ��c � �cymax� ymax �tant la p�n�tration maximale souhait�e� le coe�cient d�amor�tissement non lin�aire que l�on obtiendra sera minimum � �c � ��c�ymax Ceci ne su�ra pas pourgarantir que le point de contact ne red�colle pas En regardant la �gure �� il vient � l�id�e deprendre ��c � �c

ymax

� � �cymoyen� ��c �tant calcul� comme dans le cas lin�aire La d�pense d��ner�gie sera alors calcul�e dans le cas de la moyenne du coe�cient d�amortissement non lin�aire Ler�sultat obtenu� toujours pour une masse de �� kg et une d�formation maximum de �� cm� estvisible �gure ��

Une autre approche pour trouver les coe�cients des mat�riaux a�n que le pied ne ressortepas du sol consiste � exploiter la trajectoire y � � yi� vi� v� de l��quation ��! Pour cela il faut�valuer la trajectoire en y � yss � �mg�k� v � �� yi � �

yss � � �m n� ��

��k

��vi � � ln

�� vi�

��

n��

��!

Avec l�expression de yss et n � �� alors l��quation de la trajectoire devient �

�mg�

k�� vi�� ln j�� vij� � ln � � � ��!

L��quation pr�c�dente est une �quation transcendente de la forme � � f vi� k� Elle donnenum�riquement le rapport k��c pour une vitesse d�attaque au sol tel que la masse ne red�colle


0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6−20

−15

−10

−5

0

5x 10

−3

Temps (s)

traj

ecto

ire (

m)

Régime transitoire de la pose du pied sans redécollage

�gure �� R�gime transitoire d�une masse

de � kg l�ch�e � cm du sol sans vi�

tesse initiale ayant comme p�n�tration ��

nale mm c�est dire une raideur de

k � �� N�m�� ce qui fait un �c �

�� N�s�m��

pas Par inspection de la fonction f � seule une racine est admissible� les autres �tant soient nulles�soient n�gatives

Il faut noter que dans cette approche� le cas consid�r� est non seulement amorti pas ded�passement de yss!� mais la masse est contrainte � arriver directement en yss avec une vitessenulle La situation est donc restrictive et impose des coe�cients plus �lev�s qu�avec le r�glagepr�c�dent Pour une m�me vitesse d�attaque au sol vi � �� m�s� correspondant � un l(cherd�une masse de �� kg � �� cm du sol� le coe�cient d�amortissement obtenu est de �� Nsm��

alors qu�avec le r�glage pr�c�dent autorisant les d�passements et n�imposant pas de vitesse nulleau premier passage en yss� le �c �tait de �� Nsm��

Choix de la semelle

Une fois la raideur id�ale �x�e� il est possible� � travers une �tude de r�sistance des mat�riaux�d�obtenir une estimation de la taille n�cessaire de la semelle La rigidit� k� ainsi appel�e enr�sistance des mat�riaux� est constante pour une g�om�trie et un mat�riau donn�s � condition quece dernier soit �lastique Si l�on suppose que l�on travaille dans le domaine �lastique du mat�riau�la loi de Hooke peut �tre appliqu�e � � � F�k� � �tant l�allongement� F la force appliqu�e� et k larigidit� Dans notre cas� la pression s�applique uniquement en y ce qui correspond � la normaleIl n�y aura donc pas de d�formation de cisaillement La g�n�ralisation de la loi de Hooke nousdonne la d�formation comme une fonction du module d�Young E et de la pression normale � �


� � ��E ��

Pression en y � � FA

D�formation en y � � �l

Module d�Young E �

��!

A �tant l�aire sur laquelle la contrainte s�applique et l l��paisseur du mat�riau En rempla&ant �et � par leur valeur dans E� on obtient �

l

A�E

k ��!

Ainsi� pour un mat�riau donn� ie un module d�Young donn�!� on obtient une relation donnantl��paisseur de la semelle en fonction de son aire en contact Ds lors qu�on parle de semelle�il semble naturel de consid�rer le caoutchouc comme le mat�riau en contact� ce qui donne unmodule d�Young variant de �� Pa � �� Pa selon la chimie du mat�riau Pour unerigidit� de k � �� Nm�� on obtient �nalement un rapport �paisseur$aire variant de ��

� �� Pour une aire de �� cm�� cm cela donne une fourchette de � � �� mm d��paisseurminimum de caoutchouc

Il est utile de remarquer que le caoutchouc a l�avantage de poss�der un coe�cient de Poisson � ��y��x pour une contrainte en x� �gal � � ce qui correspond � un mat�riau dont levolume reste constant mat�riau incompressible! De plus� sa masse volumique �tant faible� l�ajoutdu poids de la semelle pour notre exemple varie de �� g � �� g� ce qui ne constitue pasun changement de masse important pour une masse initiale de �� kg � de � � � ��

d�augmentation de masse

�� Application du modle compliant non lin�aire � un robot sauteur �D

Le robot sauteur� visualis� sur la �gure �� repr�sente un cas d��tude simple pour l��tudecontacts patte$sol Nous avons appliqu� le modle non lin�aire � la g�n�ration d�orbites p�rio�diques puis � la stabilisation du robot autour de ces trajectoires La dynamique du robot sauteur� un degr� de libert� est �

m�y �

��mg y �

�mg � �cjyjn �y � kjyjn � u y � � ��!

o% u � IR� est la commande que l�on peut appliquer uniquement durant la phase de contact etdans le sens de la pouss�e Ceci caract�rise les m�canismes de marche ayant un contact pied$solsous�actionn�

Orbites p�riodiques invariantes

De l��nergie �tant dissip�e durant le contact� la trajectoire naturelle du sauteur n�est pas


M

U

�gure �� Robot sauteur

une dimension avec sol rigide�

p�riodique� voir �gure �� C�est pour cela qu�une premire boucle interne u va caract�riser cestrajectoires p�riodiques Nous noterons par la suite illustration �gure ��! �

Dnc � f y� v� � y �g ��!

Dc� � f y� v� � y � �� v � �g ��!

Dc� � f y� v� � y � �� v � �g ��!

L�action de u �tant limit�e � la pouss�e� celle�ci ne peut avoir lieu que durant la phase d�ex�pansion c�est � dire quand y� v� � Dc�

Si le sauteur arrive au sol avec une vitesse vi� correspondant � une altitude maximale de sautde yd� sa vitesse de sortie v� doit alors �tre �gale � �vi a�n de rebondir � la m�me hauteurIl faut donc �largir l�espace admissible des vitesses de sortie tel que v� � ��v�� v� �tant lavitesse de sortie naturelle sans contr le� voir �gure �� Pour cela nous consid�rons u comme �

u �

��

� si y� v� � Dnc

mg si y� v� � Dc�

mg � �c��vi�m jyjnv � � si y� v� � Dc�

��!

Le premier terme compense la gravit� a�n de conserver la propri�t� d�int�grabilit� de la trajectoirependant le contact avec ce modle Le second repr�sente un amortisseur non lin�aire charg� decompenser la quantit� d��nergie perdue dans la phase de compression en Dc� ��c� vi� est une


v

y

D n c

D c 2D c 1

�gure �� Trajectoire dissi�

pative naturelle�

v

x

Dnc

Dc2Dc1

x= Φ*(x)

vi= -vd v0= -vd

�gure �� Domaine acces�

sible dans le plan de phase

�x v� et orbite naturelle�

constante � IR� d�pendant de la vitesse d�arriv�e au sol vi En posant �c� vi� � ��c� vi�� c� lesystme en boucle ferm�e devient �

m�y �

��mg si x� v� � Dnc

��cjyjn �y � kjyjn � u si x� v� � Dc�

�c� vi�jyjn �y � kjyjn si x� v� � Dc�

��!

Durant le contact� l�orbite naturelle dans le plan de phase est d�crite par l��quation ��!� o%nous rappelons que � est proportionnel � �c � � � ��c

�k Avec la boucle ferm�e� il est possible der��crire l��volution de l��tat y en deux parties �

y � �� c�� y� v� ��!

� �� c�� vi� �� v�� v� ��!

� � �c�� vi� v� � �� !

en �valuant cette fonction en y � � et v � �vi sortie du sol!� on obtient explicitement �

� � � �m n� ��

��k

��vi � �ln

��

� � ��vi

��

��m n� ��

��k

��vi � �ln

�� vi�

��

n��

��!

o% �� c��k Le problme revient donc � r�soudre l��quation transcendente suivante �

a�� b�� ln � � b��

� � � ln � � � ��!

avec a � ��

h��vi � ln

��vi

�

��i� et b � ��vi En regardant l��volution de la fonction� nous

pouvons voir que sur le domaine admissible �c� �� il n�existe qu�un racine � �c� � �c Cettesolution correspond � une injection d��nergie sym�trique par rapport � celle perdue sur Dc�L�orbite invariante ainsi obtenue sera not�e � y � �� v�


Stabilisation de l�orbite p�riodique

A�n de stabiliser le robot sauteur autour de cette orbite� nous allons ajouter un terme decorrection La commande u devient alors �

u �

��

� si y� v� � Dnc

mg � �c��vi�m jyjn �y si y� v� � Dc�

mg � �c��vi�m jyjn �y si y� v� � Dc�

��!

�y �tant n�gative en Dc�� u a bien toujours une action de pouss�e Cette restriction nous emp�chede rendre l�orbite attractive au sens habituel� mais il est n�anmoins possible de trouver ��c� vi�

et ��c� vi� tels que la vitesse de sortie du sol soit celle d�sir�e Deux strat�gies s�o�rent � nous �atteindre la vitesse d�sir�e en un coup ou asymptotiquement

, Commande !� r�ponse pile"

En notant �c� � ��c � ��c�� l��quation du systme en boucle ferm�e s��crit �

m�y �

��mg si y� v� � Dnc

�c�jyjn �y � kjyjn si y� v� � Dc�

�c�jyjn �y � kjyjn si y� v� � Dc�

��!

avec �c� �� c�� c� � ��c� � En calculant �c� et �c�� il est possible d�atteindrele point �y d�sir� correspondant � �� quel que soit vi �� vd� Cela vient du fait qu�ilest possible de dissiper autant d��nergie que l�on veut sur Dc�

Il est �galement possible de ressortir avec v� � vd pour n�importe quel y � ��y� �� traversl�injection d��nergie sur Dc� Cela revient � trouver �c� et �c� tels que �

�y � �� c� vi�� vi� �� Si vi �� vd�� c� yc�� yc� vd� Si yc �� x� ��!

o% yc est le point d�arriv�e sur la demie droite y � � �valu�e en �y � � �c� sera pris �galau coe�cient d�amortissement naturel ��c si vi � ��vd� �� sinon la r�solution de l��quationtranscendente sera n�cessaire �

yc �

�� c� vi�� vi� �� y Si vi �� vd�� c� vi� �� Si vi �� vd� ��

� � �� c� yc�� yc� vd� Si yc �� x�

��!

Comme dans le cas pr�c�dent� la continuit� �tant assur�e en �y � �� les deux fonctionspeuvent �tre concat�n�es �

y � �� c�� y� v� ��!

� �� c�� c�� vi� v�� v� ��!

� � �c�� c�� vi� v� � �� !


En r�solvant num�riquement les �quations ��! par un algorithme de recherche de racine ou root �nding!� il est possible de trouver �c�� c� tels qu�ils r�solvent ��! �valu� eny � � et v � vd �

� �c�� c�� vi� vd� � � ��!

Ces solutions existent et sont uniques

Regardons maintenant la section de Poincar�

S x� v� � f x� v�jx � �� v �g

L�application de Poincar� reliant la vitesse de sortie du sol � l�instant t � k � � et lavitesse de sortie � l�instant t � k� est implicitement donn� par l��quation ��! �valu�e envi � �v� k � �� et v� � v� k� et y � �

� �c� vo k � �� c� vo k � �� vo k � �� vo k�� !

Par continuit� de �� l�application de Poincar� peut �tre r��crite implicitement comme suit �

vo k� � � �c� vo k � �� c� vo k � �� vo k � �� !

En introduisant �v k� � vo k�� vd nous obtenons �

�v k� � � �c� vo k � �� c� vo k � �� vo k � �� vd ��!

Si �c� vo k � �� c� vo k � �� satisfont ��! nous avons � � vd et alors �

�v k� � � ��!

alors la commande � r�ponse pile permet bien d�atteindre vd en un coup Le problme ser�sume dans le th�orme suivant �

Th�or�me �� vd �tant la vitesse d�sir�e n�cessaire pour atteindre la hauteur de saut

d�sir�e yd� la loi de commande est alors d��nie comme suit �

u �

��

mg � �c��vi�m jyjnv Si y� v�� Dc�

mg � �c��vi�m jyjnv Si y� v�� Dc�

��!

avec les constantes ��c� vi� ��c� vi� telles qu�elles satisfassent ��#� Alors l�altitude d�sir�e

yd est atteinte en un coup ou de mani�re �quivalente� la vitesse de sortie vo k�� vd en un

pas de dur�e �nie Nous pouvons voir sur la �gure �� les trajectoires ayant comme conditions initiales y �� m et y �� m pour une hauteur d�sir�e de yd � ��m


−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Velocity (m / s)

Pos

ition

(m

)

Phase Diagram

xi=1.03 m

xi=0.11 m

�gure �� Stabilisation de

la trajectoire du sauteur en un

coup� Les param�tres de la si�

mulation sont � m � �kg � n �

� � k � ��N�m � xd � ��m �

� � ��

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Velocity (m / s)

Pos

ition

(m

)

Phase Diagram

xi=1.03 m

xi=0.11 m

�gure �� Stabilisation

asymptotique de la trajectoire

du sauteur� Les param�tres de

la simulation sont � m � �kg �

n � � � k � ��N�m � xd �

��m � � � ��

, Stabilisation asymptotique

La stabilisation asymptotique pr�sente deux grands avantages par rapport � la commande� r�ponse pile � les amplitudes des commandes requises sont moins importantes et la ro�bustesse est meilleure

Nous allons maintenant r�soudre l��quation ��! avec

vo k� � � vo k � �� vd� � vd

au lieu de vd� o% j�j � � Ce qui donne �

� �c� vo k � �� c� vo k � �� vo k � �� vo k�� !

Nous obtenons alors

�v k� � � �c� vo k � �� c� vo k � �� vo k � �� vd

� ��v k � �� !

j�j � � �tant inf�rieur � �� nous pouvons �crire �

limk��

�v k� � � ��!

Ce r�sultat est r�sum� dans le th�orme suivant �

Th�or�me �� vd �tant la vitesse d�sir�e n�cessaire pour atteindre la hauteur de saut

d�sir�e yd� la loi de commande est alors d��nie par �� avec les constantes ��c� vi� ��c� vi�

� � Mod lisation compliante du contact pied�sol

0 5 10 15 20 25 30 350

50

100

150

200

Con

trol

(N

)

Dead−beat control

0 5 10 15 20 25 30 350

50

100

150

200

Time (s)

Con

trol

(N

)

Asymptotic Stabilization

�gure �� Commandes obtenues

avec la commande r�ponse pile et

la stabilisation asymptotique�

telles qu�elles satisfassent maintenant �

yc k � ��

��

�� c� k � ��vo k � �� y

if � vo k � �� vd��

�� c� vo k � ��

if � vo k � �� vd� ��

��!

� � �� c� k � �� yc k � �� vd�

if yc k � �� y��

��!

o� �x est d��ni comme �x � �� c��vd� �� Alors les solutions satisfont �

limk��

vo k� � vd

L�altitude d�sir�e est alors atteinte asymptotiquement avec une vitesse de convergence d�

�nie par �

Nous pouvons voir sur la �gure �� les trajectoires ayant comme conditions initiales y �� m et y �� m pour une hauteur d�sir�e de yd � ��m avec la stabilisation asympto�tique La �gure �� montre quant � elle les commandes associ�es aux deux types de stabilisationce qui con�rme que la stabilisation asymptotique �vite le pic initial

�� Extension du modle non lin�aire en �D

Dans les travaux de Bruneau et Ben Ouezdou "��# "��#� l�extension du modle compliantressort�amortisseur au cas � deux degr�s de libert� pour un marcheur� s�e�ectue avec le modle


non lin�aire dans le sens normal et avec un modle ressort�amortisseur classique pour repr�senterles forces tangentielles Venant d�exposer les faiblesses et incoh�rences du modle lin�aire� il estdi�cile de motiver un tel choix En e�et� non seulement le b�n��ce de la continuit� dans les �tatsn�est plus assur�� mais de plus cette mod�lisation impose que l�on soit toujours en glissementau d�but du contact Contrairement � la force normale� la force tangentielle Ft est non nulleau collage puisque r�sultant du modle lin�aire Alors la condition pour �tre en glissement�jFtj � ��jFnj� est remplie au collage quelles que soient les conditions de vitesse� alors qu��l�instant de contact les corps sont coll�s

C�est pour ces raisons que nous avons choisi d��tendre le modle de ressort�amortisseur nonlin�aires au cas � � ddl Il faut remarquer que trois �tats sont possibles �

, la masse est en vol y �� et sa dynamique est donn�e par les �quations suivantes ��m�y � �mg

m�x � � ��!

, la masse et le sol sont en contact et il y a collage Cet �tat intervient lorsque y � � etjFtj � ��jFnj � �

m�y � �mg � �cjyjn �y � kjyjnm�x � ��cjx� xcjn �y � sign x� xc�kjx� xcjn ��!

xc repr�sente l�abscisse de collage avec le sol qui constitue l�initialisation de la d�formationdu ressort et de l�amortisseur

, la masse et le sol sont en contact et il y a glissement Cet �tat arrive si y � � et jFtj � ��jFnjDans ce cas� la force tangentielle est born�e par ��jFnj et les �quations de la dynamiquedeviennent alors � �

m�y � �mg � �cjyjn �y � kjyjnm�x � �sign �x� �� j��cjyjn �y � kjyjnj ��!

L�introduction du modle de frottement sec correspond � une limitation de l�allongementpossible des ressorts�amortisseurs du modle Une fois que la masse est en glissement� la forcetangentielle est alors satur�e en jFtsat j � ��jFnj et donc restreinte sur le c ne de frottement

Le passage de l��tat de glissement � l��tat de collage se fait ds lors que jFtj � ��jFnj Ladi�cult� r�side dans la d�tection de l�instant de collage n�cessaire pour �valuer le plus pr�cis�mentpossible l�abscisse de collage xc a�n de r�initialiser les d�formations des ressorts�amortisseurs

Ce modle� impliquant des ressorts�amortisseurs dans les deux sens� ne gre donc pas leglissement et le recollage automatiquement mais il faut r�aliser des tests permettant d�estimerl��tat dans lequel le systme se trouve Cette gestion de la dynamique �� la main� n�est pas ais�e� impl�menter C�est pourquoi l�introduction d�un modle di��rent dans le sens tangent g�rantle glissement am�liorerait la pr�cision num�rique m�me si la d�tection du y � � mat�rialisant lesol est incontournable quel que soit le modle utilis�


y > 0

y < 0 |F t| > µ |F n|

|F t| < µ |F n|

y < 0 et |F t| > µ |F n|

y > 0 et |F t| < µ |F n|

Collage

GlissementVol

�gure �� Les trois �tats possibles de la

masse avec les conditions de changement�

�� Modle de frottement dynamique

Le fait de mod�liser la d�formation verticale d�un contact par un modle de type ressortamortisseur para�t naturel ds lors qu�il y a d�formation Or le ph�nomne qui se passe dans lesens tangentiel fait appel � un autre ph�nomne physique � le frottement En e�et� s�il n�y avaitpas de frottement lors de la marche� il nous serait bien di�cile d�avancer sans que nos pieds�patinent�

Le frottement dynamique

Les frottements classiques� mod�lis�s comme une fonction statique de la vitesse des surfacesen contact� peuvent se d�composer en une combinaison de trois frottements fondamentaux� re�pr�sentant chacun un comportement du frottement pour une plage de vitesse faible� moyenne��lev�e!� ainsi que d�un comportement de transition entre les plages� comme expliqu� en "��# etvisualis� en ��

, le frottement de Coulomb qui est proportionnel au signe de la vitesse�

, le frottement statique ou sec qui repr�sente la force n�cessaire pour d�marrer le mouvement�

, le frottement visqueux qui est proportionnel � la vitesse�

, l�e�et Stribeck� qui mod�lise la transition entre le frottement sec et le frottement visqueux

Ces modles statiques pr�sentent l�inconv�nient majeur d�avoir une ind�termination de laforce appliqu�e � vitesse nulle C�est pourquoi le frottement a r�cemment fait l��uvre d�ungrand nombre de travaux de recherche aboutissant � une conclusion commune � d�un point devue physique� il semble inexacte de mod�liser le frottement seulement en fonction de la vitessealors qu�en r�alit� cette dernire est une cons�quence de la force de frottement De plus� a�nde capturer les propri�t�s physiques observ�es exp�rimentalement� telles que les mouvements

�� Mod�le de frottement dynamique ��

effet deStribeck

frottementstatique

frottement de Coulomb

fottementvisqueux

v(m/s)

F(Nm)

�gure �� Termes classiques du frottement sta�

tique�

de collage�d�collage� les micro�d�placements pendant la phase de collage� il appara�t n�cessaired�inclure une dynamique interne propre au frottement Parmi ces modles� on peut noter lemodle de Dahl , point de d�part des modles dynamiques ,� le modle de type pilosit�� et lemodle de Bliman et Sorine "�#"�# Une �tude de ces di��rents modles se trouvent dans "��#

Le mod�le LuGre

Le modle de frottement dynamique utilis� ici� nomm� LuGre� est d�crit dans "��# et "��#Les surfaces en regard �tant irr�gulires� un certain nombre d�asp�rit�s sont en contact Cesmicro contacts sont mod�lis�s par des ressorts�amortisseurs qui� si la force externe appliqu�e estsu�sante� se d�forment puis se brisent Il y a alors mouvement entre les surfaces Ce modleutilise la moyenne des d�formations de ces ressorts z qui est aussi la d�)ection moyenne� voir�gure �� C�est l��tat interne du frottement Sa dynamique propre est d�crite par l��quationsuivante �

dz

dt� �x� ��

j �xjg �x�

z ��!

�x est la vitesse entre les surfaces en contact� �� est un coe�cient de raideur des d�formationsmicroscopiques� et g �x� repr�sente une partie de la caract�ristique statique du frottement et estdonn� par � g �x� � �� exp � �x

v�� Si l�on n�glige dans un premier temps l�e�et de Stribeck

alors g �x� � �� Le frottement engendr� par le modle est alors �crit comme une sortie de l��tatinterne z �

� z� � ��z � �� z � �� x ��!

�� tant le coe�cient de frottement visqueux


σ

σ

0

1

z

�gure �� D�formation des poils �lastiques et d�tail

de la mod�lisation ressort�amortisseur du mod�le dyna�

mique LuGre�

Finalement le modle dynamique peut se r�sumer � �

�z � �x� j �xj��

z

� z� � ��z � �� z � �� x ��!

Les paramtres du modle de frottement sont �

, �� en �m� est le frottement statique et �galement le niveau du frottement de Coulomb enl�absence d�e�et de Stribeck�

, �� en �sm�� est le frottement visqueux�

, �� en �m�� est la raideur du ressort en collage�

, �� en �sm�� est l�amortissement

�� et �� sont les paramtres statiques du frottement alors que �� et �� repr�sente les paramtresdynamiques qui d�terminent la r�ponse transitoire du modle de frottement aux variations de lavitesse

Ce modle est issu de l�observation des ph�nomnes physiques mis en jeu lors de contact entresurfaces Une �tude d�Altpeter et al dans "�#� montre la parallle entre le modle LuGre et latribologie

Notons qu�en plus d��tre un modle r�aliste du point de vue de la mod�lisation physique� ilest aussi adapt� � la commande en temps r�el Dans "��#� ce modle de frottement dynamiqueest utilis� pour commander un robot industriel hydraulique L�adaptation du frottement a m�me�t� r�alis�e Dans le cas de notre robot marcheur� l�adaptatif est int�ressant dans le cas o% latexture du sol change et donc les paramtres internes du modle de frottement

�� Mod�le de frottement dynamique ��

θ

x

y.

.

x

y .

�gure �� Disque �voluant en deux

dimensions ayant comme �tat x y et

�� Sa masse est m son inertie J et

son rayon r

Simulation

La validation du modle s�est e�ectu�e sur un disque de rayon r � �� m� de r�partition desmasses uniforme� lanc� avec des conditions initiales de vitesses horizontale �x�� verticale �y� et derotation �� voir �gure �� Ces conditions initiales ont �t� choisies de telle fa&on que l�on setrouve dans un �tat de collage au moment du contact des surfaces force tangente dans le c nede frottement sec!� puis dans un �tat de glissement force tangente sur le c ne de frottementsec! Notons que la vitesse rotationnelle a �t� introduite pour produire un �e�et� sur la balle Lesforces normale et tangentielle sont calcul�es comme suit �

�Fn � ��cjyjn �y � kjyjnFt � � z� jFnj

avec�� z� � ��z � �� z � �� x

�z � �x� j �xj��

z

��!

avec � z� et z venant de ��! Ce qui donne les �quations dynamiques suivantes lorsqu�il y acontact avec le sol � ��

��m�y � �mg � Fnm�x � FtJ �� rFt

��!

Les r�sultats de la validation dans les di��rents cas �voqu�s pr�c�demment se trouvent dans les�gures �� Le d�placement du centre du disque est visible �gure ��gauche Nous pouvonsalors voir que l�e�et �r�tro� a bien lieu lorsque le disque � une vitesse de rotation vers l�arriretrs rapide� ��a� alors que la rotation dans le sens du mouvement acc�lre le disque� ��c Unsol souple� k � �� Nm�� a �t� choisi a�n de mieux visualiser l�enfoncement dans le sol Lesparamtres du modle de frottement dynamique sont � �� m�� sm�� et ��


Les forces normales et tangentielles enregistr�es dans les trois cas de �gure sont montr�es �gure��droit

�� Comparaison des modles �D

Deux modles compliants ont �t� d�velopp�s dans les sections pr�c�dentes � un comprenantdes ressort�amortisseurs non lin�aires dans le sens normal et dans le sens tangentiel� et un avecun modle ressort�amortisseur non lin�aire dans le sens normal et un modle de frottementdynamique dans le sens tangentiel Des di��rences apparaissant au niveau du sens physique etde la complexit� d�impl�mentation� il est int�ressant de comparer ces modles � travers certainscritres

Les coe�cients du sol sont r�gl�s comme pour le cas �D dans le sens normal� alors quela question se pose pour les paramtres du modle ressort�amortisseur du sens tangentiel Lescaract�ristiques des mat�riaux n��tant en g�n�ral pas les m�mes en compression et en traction�il est di�cile d��tendre le r�glage des coe�cients � l�abscisse du systme

Dans le cas de Bruneau et Ben Ouezdou� le r�glage des coe�cients se fait de manire � obtenirla courbe de force la plus proche d�une courbe de force relev�e pendant une marche humainePour ceci le coe�cient n est scind� en deux coe�cients distincts� un pour le terme ressort n etun pour le terme amortisseur m Du point de vue du sens physique� ce coe�cient caract�risantla forme des surfaces en contact� rien ne justi�e ce r�glage C�est pourquoi nous avons choisi uncoe�cient unique identique dans les deux sens

�� R�sultats

Les �gures �� et �� montrent les courbes des forces normale et tangentielle obtenuesrespectivement avec le modle ressort�amortisseur dans les deux sens et le modle mixte ressort�amortisseur dans le sens normal et le modle de frottement dans le sens tangentiel Ces courbessont obtenues pour une masse de �� kg l(ch�e � une hauteur de �� m avec une vitesse horizontalede �� ms�� Les coe�cients dans le sens normal sont r�gl�s de telle sorte que la masse rebondissea�n d�obtenir un comportement dans les trois modes dynamiques � vol� contact� glissement Cequi nous donne une raideur k � �� Nm�� et un amortissement �c � �� Nsm��

Du point de vue de la v�racit� physique des modles� l�introduction d�un terme de frottementdans le sens tangentiel semble beaucoup plus naturelle qu�un terme ressort�amortisseur En e�et�si l�oscillation de la position est commun�ment admise dans le sens normal balle qui rebondit!�elle est beaucoup plus att�nu�e dans le sens tangentiel L�e�et ressort mis en lumire par lesphysiciens est nettement moindre et est inclus dans le modle de frottement dans des proportions


physiques

De plus� pour un temps de calcul en simulation quasiment identique� le modle de frottementdynamique possde l�avantage ind�niable de g�rer automatiquement le glissement et le collagedes surfaces en contact� n�introduisant aucune d�tection num�rique de z�ro suppl�mentaire dansl�impl�mentation du modle Cet aspect rev�t toute son importance ds lors que l�on conna�t lesproblmes num�riques li�s � la d�tection de l�instant de contact ou de la position de glissement oude collage pour le sens tangentiel De l� d�pend la stabilit� num�rique des simulations et surtoutla v�racit� du comportement retranscrit Notons que dans le cas du modle ressort�amortisseurdans les deux sens� le cas de recollage n�a jamais pu �tre observ� en simulation

Pour toutes ces raisons nous avons choisi d�introduire le modle de frottement dynamique

�� Application du modle �D au simulateur LAPIN

Le modle d�crivant l�interaction d�un pied avec le sol � l�aide des ressorts�amortisseurs nonlin�aires et du frottement dynamique a �t� mis en �uvre dans le simulateur LAPIN pr�c�demmentd�crit � la section �� Le modle complet est d�crit par les �quations ��! et sa mise en �uvreest imag�e dans les �gures �� et ��

Nous pouvons voir sur la �gure �� la marche obtenue au LRP � l�aide d�un commande detype PID L��volution des forces normales et tangentielles pour chacun des pieds est montr�esur la �gure �� Cette �gure repr�sente trois cycles cons�cutifs de marche La saturation estde � N �m�� Ces simulations ont �t� obtenues avec les coe�cients du sol suivants � k �

��Nm�� c � � ��Nsm�� n � �� Nm�� Nsm��

�� Nm

�� Conclusion

Lors de l�extension de l�optimisation � un cycle de marche complet� des di�cult�s ont �t�rencontr�es pour d��nir l��tat dans lequel se trouve le robot durant la phase de double contactavec le modle de contact rigide Nous nous sommes alors pench�s sur la mod�lisation compliantedes ph�nomnes de contact

Un modle ressort�amortisseur lin�aire s�est r�v�l� peu adapt� � cause d�incoh�rence physiqueUn modle non lin�aire� issu de la th�orie de Hertz� a �t� mis en �uvre pour pallier � ces faiblessesUne extension au cas � deux dimensions a �t� r�alis�e La transition entre �tat de collage et deglissement s�e�ectue par un test� introduisant une d�tection num�rique de z�ro suppl�mentaire

C�est pourquoi� le modle de frottement dynamique LuGre a �t� introduit pour le calcul des


forces tangentielles La validation de ce modle a �t� e�ectu�e et il a �t� appliqu� au simulateurLAPIN

Ces modles compliants pr�sentent l�avantage de rendre la dynamique du robot continuequel que soit l��tat du robot vol� contact uni ou bipodal� glissement! Une discussion sur lesopportunit�s ainsi apport�es pour une formulation de commande optimale va faire suite


a a

0 0.5 1 1.5 2 2.5−150

−100

−50

0

temps [s]

F_t

[N]

Force tangentielle

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

50

100

150

200

temps [s]

F_n

[N]

Force normale

b b

0 0.5 1 1.5 2 2.5−30

−20

−10

0

10

temps [s]

F_t

[N]

Force tangentielle

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

50

100

150

200

temps [s]

F_n

[N]

Force normale

c c

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

20

40

60

80

100

temps [s]

F_t

[N]

Force tangentielle

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

50

100

150

200

temps [s]

F_n

[N]

Force normale

�gure �� A gauche nous voyons l��volution d�un disque de masse m � � kg lanc� avec des

conditions initiales de vitesse �x� � �� y� � �� La vitesse de rotation �� est de � a� �� rad�s

b� � rad�s c� �� rad�s et droite les forces normale et tangentielle enregistr�es dans le cas a�� rad�s b� �� rad�s et c� �� rad�s


a

−1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

X [m]

Y [m

]

Déplacement du centre du disque

b

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

X [m]Y

[m]


c

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

X [m]

Y [m

]


�gure �� Cette �gure montre le d�placement du centre du disque dans le cas a� �� rad�s

b� �� rad�s et c� �� rad�s�

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

1000

2000

3000

4000

Temps (s)

For

ce n

orm

ale

(N)

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

−150

−100

−50

0

For

ce ta

ngen

tielle

(N

)

Modèle avec ressort amortisseur

�gure �� Forces obte�

nues avec le mod�le ressort�

amortisseur non lin�aire dans

les deux sens�

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

1000

2000

3000

4000

Temps (s)

For

ce n

orm

ale

(N)

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6−500

−400

−300

−200

−100

0

For

ce ta

ngen

tielle

(N

)

Modèle avec frottement

�gure �� Forces obtenues

avec le mod�le de frottement

dynamique dans le sens tan�

gentiel�

�gure �� Sch�ma Simulink calculant les forces

normales avec le mod�le ressort�amortisseur non

lin�aire�


�gure �� Sch�ma Simulink calculant les forces

tangentielles l�aide du mod�le de frottement dy�

namique�

�gure �� Cycle de marche du robot LAPIN�


11 11.5 12 12.5 13 13.5

−150

−100

−50

0

Temps (s)

For

ce T

ange

ntie

lle 1

(N

)

11 11.5 12 12.5 13 13.5−100

0

100

200

300

400

500

Temps (s)

For

ce N

orm

ale

1 (N

)

11 11.5 12 12.5 13

−150

−100

−50

0

Temps (s)

For

ce T

ange

ntie

lle 2

(N

)

11 11.5 12 12.5 13

0

100

200

300

400

500

Temps (s)

For

ce N

orm

ale

2 (N

)

�gure �� Forces normales et tangentielles en r�gime

de marche du robot bip�de LAPIN�

�� Formulation du probl�me d�optimisation

avec les di �rents mod�les de contact

Dans ce chapitre� nous allons reformuler le problme de g�n�ration de trajectoires � d�pensesd��nergie minimales avec les di��rents modles de contact Le modle de robot utilis� est celuid�crit au chapitre � qui correspond au modle � base libre Le but est toujours ici de trouver lacommande en boucle ouverte permettant de minimiser la fonction co�t �

J �

Z T

�uT u dt �

Z T

�L u� dt ��!

Nous avons g�n�r� des cycles de marche avec l�hypothse des corps rigides gr(ce � un sch�mad�optimisation direct au chapitre � Nous allons voir que l��criture des conditions n�cessairesd�optimalit� n�est pas ais�e avec ce modle puisque des discontinuit�s dans l��tat existent Cesconditions sont alors quasi insolubles num�riquement

Au chapitre pr�c�dent� nous avons vu que les modles de contact pied$sol compliants incluantun modle ressort�amortisseur non lin�aire permettait d�avoir une �quation de la dynamiqueunique et continue dans l��tat quelle que soit la phase de marche Nous allons maintenant voirsi de tels modles peuvent ouvrir une porte sur l�optimisation directe

�� Le problme de commande optimale avec le modle de contact

rigide

Mod�le

Avec l�hypothse des corps rigides� l�instant de contact se fait � travers un impact instantan�Si l�on considre une phase de simple support et une de double support� il y aura deux �quationsdynamiques di��rentielles Ces �quations de la dynamique sont reli�es par des �quations alg��briques � une �quation d�impact lors de la pause du pied de vol au sol� et une �quation r�gissant

�� Formulation du probl�me d�optimisation avec les di� rents mod�les de contact

le d�collage du pied a�n d�assurer l�aspect cyclique de la marche La mod�lisation des pieds ausol se fait par l�introduction de contraintes traduisant �xpied � �� ypied � � pour chaque pied Cesquatres �quations forment la contrainte � q� �q� � � � IR� d�o% est obtenu le Jacobien J q� � ��

�q Lorsqu�un pied est au sol� les deux multiplicateurs de Lagrange associ�s sont actifs alors qu�ilssont nuls lorsque le pied est en l�air Nous pouvons donc formuler de fa&on unique le fait qu�il yait un ou deux pieds au sol��

��H q��q � C q� �q� �q � g q� � Suss � Je q�

T �pH q� �q� � �q�� SucontH q��q � C q� �q� �q � g q� � Suds � Je q�

T �pH q�� q� �H q�� q� � Suench

��!

Nous allons former le vecteur des commandes comme suit �

u � �uss ucont uds uench� ��!

L��criture � l�aide du vecteur d��tat X sous forme compacte� s�opre de la m�me manire quel��quation ��! et donne ��

��X � f X � uss� � � t � T�X T�

� � � �cont X T�� ucont� t � T��X � f X � uds� T� � t � T


��!

En supposant toujours que nous �xons les positions initiales et �nales� le problme de commandeoptimale se r�sume � �

Probl�me �� Etant donn�s les positions initiales X� �� X�� m�dianes X� T�� X�T� et

�nales X��T �� X �T � ainsi que les intervalles de temps T� et T � le probl�me est de trouver la com

mande optimale u� t� qui minimise la fonction co�t J tel que le syst�me aille de X� �� X� T �

Ce qui est �quivalent � ��

minu�U

J �

Z T

�uT u dt

Sous

��

�X � f X � uss� � � t � T�X T�

� � � �cont X T�� ucont� t � T��X � f X � uds� T� � t � T


Etant donn�s �X�� X�T� � �X �T � T�� T �

��!

�

Commande optimale

La formulation par la commande optimale d�un tel problme se r�alise en deux temps Tout

�� Le probl�me de commande optimale avec le mod�le de contact rigide ��

d�abord� a�n de tenir compte de la dynamique dans l��criture de la fonctionnelle � minimiser�nous formons les Hamiltoniens � l�aide des multiplicateurs de Lagrange ��

H� � L u� � �T f X � uss� � � t � T�H� � L u� � �T f X � uds� T� � t � Tf

��!

Ensuite� les conditions n�cessaires d�optimalit� sont obtenues d�aprs les �quations ��! � ��! ��

��X�T

� f t�X�� u�� t � T�

�X�T

� f t�X�� u�� T� � t � Tf

��!

��

��T

� ��T �f�X

t� X�� u�� t � T�

��T

� ��T �f�X

t� X�� u�� T� � t � Tf

��!

��

�L

�u t� u�� T

�f

�u t�X �� u�� t � T�

�L

�u t� u�� T

�f

�u t�X �� u�� T� � t � Tf

��!

��

��T

T�� T��cont

�X T��

��T

T�� T ��cont

�X T�

� �

��!

��

��T

T�� T��ench

�X T��

��T

T�� T ��ench

�X T��

��!

Pour l�instant la mise en �uvre num�rique d�un tel problme de commande optimale est loind��tre r�solue Mise � part pour un cas monovariable enregistr� jusque l� en "��#� la programma�tion non lin�aire s�avre ine�cace pour traiter les discontinuit�s

Une des di�cult�s dans ce problme r�side dans le fait qu�il y a un encha�nement de phasede SS puis de DS Il para�t simpliste de vouloir trouver une solution optimale pour chaque phases�par�ment et de pr�tendre avoir une solution optimale pour un cycle complet de marche Ene�et� la dynamique changeant selon les phases� il n�est pas possible de scinder l�optimisationen deux parties ind�pendantes En e�et� un extremum sur une phase ne signi�e pas qu�il soitun extremum sur cette m�me phase en prenant en compte l�ensemble de la trajectoire La plus


grande faiblesse de la commande optimale r�side dans l�estimation de la condition initiale del��tat adjoint � En e�et� pour obtenir la commande optimale puis la trajectoire optimale� il estn�cessaire de conna�tre � qui provient de l�int�gration de ��! et qui d�pend fortement de laconnaissance des conditions initiales

C�est pourquoi la mise en �uvre de r�solution par sch�ma direct� d�taill� au chapitre �� nousavait sembl� �tre la solution num�rique la mieux adapt�e � cette formulation

Remarque �� Ici� la formulation du probl�me avec la contrainte � q� � �� mod�lisant le ou

les pieds au sol� implique que ceux ci restent coll�s � l�endroit o� ils sont rentr�s en contact

avec le sol Ceci interdit une phase de glissement par exemple Cette formulation r�duit le degr�

de libert� du mouvement optimal sur lequel nous n�avons aucune connaissance a priori et pour

lequel rien ne nous indique qu�une phase de double support sans glissement soit b�n��que pour

un mouvement �nerg�tiquement int�ressant �

�� Le problme de commande optimale avec le modle de contact

compliant

Contrairement � la section pr�c�dente� la dynamique du robot marcheur devient unique etcontinue ds lors que les modles de contact compliants d�velopp�s pr�c�demment sont utilis�s

La grande di��rence dans cette formulation est que la dynamique est continue quelque soitl��tat dans lequel se trouve le systme � simple support� double support� transition Il est alorsais� de voir qu�il est possible de ne pas obliger le systme � passer par une phase de double sup�port pour accomplir une marche cyclique Laisser le ratio temps de vol$temps de double supportouvert� donne un degr� de libert� suppl�mentaire dans la recherche de trajectoire optimales sansalourdir la formulation De m�me� le modle compliant permet de ne pas imposer de contrainteen �xant le pied au sol durant la phase de double support Ces modles vont m�me plus loin�ils autorisent le glissement du pied au moment de l�arriv�e au sol� ou au d�collage par exempleCeci ne peut �tre que favorable � une marche moins brutale� et pourquoi pas � une marche plus�conomique En e�et� rien ne laisse supposer que le glissement est � exclure d�une marche �ner�g�tiquement faible et seule la formulation du problme optimal � l�aide des modles compliantspermet de laisser cette hypothse ouverte sans alourdir la complexit� du problme

Il est cependant possible de revenir � une formulation identique � la section pr�c�dente�en imposant une phase de double support et en contraignant les pieds au sol Ces contraintesdeviennent des contraintes d�in�galit�s puisqu�en e�et� il n�est plus possible d�imposer au piedde rester sur la surface en contact� celle�ci �tant compliante Il faut donc introduire le fait quele contact se fait lorsque ypied � � Cette fois la contrainte dans le sens vertical s��crit ypied � �Dans le sens tangentiel� il n�est �galement plus possible d�imposer x � cte du fait de la non

�� Le probl�me de commande optimale avec le mod�le de contact compliant ��

rigidit� du modle La contrainte va donc �tre �tablie comme une condition de non�glissement dupied sur le sol ce qui revient � imposer � jFtj � ��jFnj On perd alors l�unicit� de l�optimisationpour revenir � un problme en deux parties en ajoutant un problme num�rique de plus d� �l�unilat�ralit� de la contrainte D�taillons maintenant plus pr�cis�ment la formulation avec lesdeux modles compliants d�velopp�s pr�c�demment

�� Modle compliant avec frottement dynamique

Mod�le

La mod�lisation du contact pied$sol � l�aide du modle compliant incluant le frottement doittenir compte de la dynamique de ce frottement� ce qui se traduit par le systme d��quationsdi��rentielles suivant � �

H q��q � C q� �q� �q � g q� � Su� JTe Fe q� �q� z�

�zi � �xi � j �xij��

��zi i � ��

��!

o% q � IR�� Je q� est la matrice Jacobienne d�action du sol sur les di��rentes articulations d�taill�eau chapitre �� et �x � IR est le vecteur des vitesses relatives entre les pieds et le sol et z � IR�

est le vecteur d��tat du frottement Le vecteur des forces ext�rieures Fe � IR� est compos� desforces normales Fni et tangentes Fti d��nies comme suit pour chaque pied i �

Fni �

�� si ypi �

��cjyjnpi �ypi � kjyjnpi si ypi � �

Fti �

�� si ypi �

� z� jFnij si ypi � �

avec

�� z� � ��z � �� z � �� x

�z � �x� j �xj��

z

��!

Cette dynamique peut alors s��crire sous forme d��quation d��tat en posant

X �

�B� q

�q

z

�CA ��

�X

z

� ��!

L��tat interne du frottement doit �tre inclus dans le vecteur d��tat a�n de prendre en compte sadynamique L��criture avec le vecteur d��tat de l��quation ��! donne �

�X � ffrot X� z� u� ��!

�z � gfrot X� z� u� ��!


Commande optimale

l�Hamiltonien prend en compte les deux dynamiques � l�aide de deux multiplicateurs deLagrange �

H � L u� � �T� ffrot X � u� � �T� gfrot X � u� ��!

Une des conditions n�cessaires d�crites au chapitre � di��rentie l�Hamiltonien par rapport � X Dans notre cas� ceci donnerait �

��T

� ��T��ffrot�X

t� X �� u�� T

�

�gfrot�X

t� X �� u�� !

Or la partie de la dynamique relative � la force de contact gfrot� n�est pas d�rivable � causedes valeurs absolues pr�sentes en ��! La condition sur la dynamique d��tre C� vis � vis detoutes ses variables� n�est pas valable avec un tel modle et l��criture des conditions n�cessairesd�optimalit� compromise M�me en choisissant un coe�cient n � �� la valeur absolue dans ladynamique de l��tat interne du frottement est in�vitable� quel que soit le modle choisi Une voied�optimisation directe s�o�re alors comme la seule solution num�rique envisageable

�� Modle compliant avec ressort amortisseur non lin�aire

Mod�le

La dynamique du robot marcheur en contact avec un sol mod�lis� par le modle ressort�amortisseur non lin�aire aussi bien dans le sens tangentiel que normal� se r�sume � une seule�quation di��rentielle �

H q��q �C q� �q� �q � g q� � u� JTe Fe q� �q� ��!

En e�et les forces normales et tangentielles ne font pas intervenir la dynamique interne puisque�dans ce modle� le glissement est g�r� par un test statique � jFtj � ��jFnj Ces forces sontexprim�es comme suit �

Fni �

�� si ypi �

��cjyjnpi �ypi � kjyjnpi si ypi � �

Fti �

��

� si ypi �

��cjx� xcjn �y � kjx� xcjn si ypi � � et jFtij � ��jFnij�sign �x�� jFnij si ypi � � et jFtij � ��jFnij

��!

Commande optimale

Avec ce modle� le vecteur d��tat sera uniquement compos� des positions et vitesses articu�

laires � X �

�q

�q

�et la dynamique deviendra �X � f X � u� La formulation du problme de


commande optimale se fera avec l�Hamiltonien suivant �

H � L u� � �T fra X � u� ��!

A partir de cet Hamiltonien� la condition n�cessaire que doit remplir �� s��crit �

��T

� ��T �fra�X

t� X �� u�� !

De m�me que pour le modle avec le frottement dynamique� les �quations des forces de contactsont continues mais non di��rentiables � cause des valeurs absolues L� encore� la formulationpar commande optimale devient impossible

�� Conclusion

Les di��rents modles de contact pied$sol d�velopp�s dans ce m�moire rigide� compliant avecressort�amortisseur ou frottement dynamique!� mnent � une formulation du problme optimaldi��rente Nous avons pu voir quels �taient les limitations de l�emploi de chaque modle que nousr�sumons ci�aprs �

, Le modle de contact rigide rend la dynamique discontinue et par l� m�me exige une for�mulation des plus complexes C�est pourquoi nous nous sommes tourn�s vers une r�solutionnum�rique dans un premier temps� qui nous a permis d�obtenir des trajectoires optimalessur un cycle complet de marche En se pla&ant dans le cas le plus simple qui consiste ��xer les �tats initiaux� interm�diaires et �naux� le problme optimal doit r�pondre � desconditions n�cessaires complexes mais bien d��nies Par contre� du point de vue algorithmede r�solution num�rique rien ne permet encore de pr�tendre r�soudre de tels problmes� oualors dans des sous problmes plus simples comme dans "��#

, Dans un deuxime temps� nous avons pu voir que les modles de contact compliantsamnent une continuit� dans la dynamique qui permet de g�rer automatiquement le col�lage� d�collage ou glissement des pieds ce qui permet une formulation beaucoup plus ouvertesans imposer de phase de double support par exemple N�anmoins� si la continuit� de ladynamique n�est pas � remettre en cause� la di��rentiabilit� de tels modles l�est En e�et�les deux modles faisant intervenir des valeurs absolues� leurs �critures ne sont pas C�Nous ne pouvons alors obtenir les conditions n�cessaires d�optimalit�� et la g�n�ration detrajectoires � d�pense d��nergie minimale devra alors se faire de nouveau par un sch�mad�optimisation directe

La mise en oeuvre de cette recherche de trajectoires optimales reste entirement � faire et ellefait partie des problmes compltement ouverts malgr� l�am�lioration de la puissance et de larapidit� de calcul du mat�riel informatique Le conditionnement du problme �tant loin d��trebon� l�instabilit� num�rique restera une des di�cult�s � surmonter

�� Conclusion

Bien que ce travail se soit concentr� sur la g�n�ration de trajectoires de marches � d�pensesd��nergie minimales pour un robot bipde simple� d�autres problmes concernant la mod�lisationdes ph�nomnes de contact ont �t� abord�s au cours de notre �tude

Un �tat de l�art a tout d�abord �t� men� sur plusieurs points � les r�alisations technologiquesexistantes� la mod�lisation� la g�n�ration de trajectoires de marche et la stabilisation de cestrajectoires Une �tude de la marche humaine a ensuite permis d�en rappeler les principes fon�damentaux et de pr�ciser les termes propres � la biom�canique La mod�lisation a fait suite ensoulignant les particularit�s du robot marcheur � pas de point �xe au sol et sous actionnement enautre Avec l�hypothse des corps rigides� le mouvement sur un cycle complet de marche incluantles impacts des pieds au sol est r�git par des �quations alg�bro�di��rentielles Celles�ci nous ontemp�ch� de formuler le problme comme un problme de commande optimale � les conditionsn�cessaires d�optimalit� peuvent s��crire m�me dans le cas de dynamique discontinue et multiplemais ne font l�objet que de rare cas de mise en �uvre num�rique C�est pourquoi nous noussommes tourn�s vers l�optimisation directe � partir d�algorithmes num�riques de recherche duminimum tel que le gradient

La contribution de cette thse peut alors se scinder en deux parties �

, La g�n�ration de trajectoires � d�penses d��nergie minimales pour le robot marcheur avecun modle de contact rigide La complexit� du problme de minimisation est telle qu�unesimpli�cation de la dynamique a d� �tre r�alis�e Dans la litt�rature� la param�trisationest apparue �galement �tre une voie de simpli�cation pour la g�n�ration de trajectoireLa minimisation est alors men�e directement sur les paramtres de la marche diminuantainsi la taille de la recherche Nous avons e�ectu� une comparaison de deux m�thodes deparam�trisation une temporelle et une fr�quentielle! avec une m�thode sans param�tri�sation sur une phase de simple support Au vu des r�sultats� notre m�thode est apparuesup�rieure aux autres et a �t� �tendue � cycle complet de marche incluant les phases desimple et de double supports� l�impact du pied au sol et la transition de d�collage pourle pas suivant Surmontant les di�cult�s num�riques de convergence� nous avons pu d�ve�

�� Conclusion

lopper un g�n�rateur de marches optimales pr��enregistr�es et ainsi obtenir des r�sultats�nerg�tiques comparables � certains r�sultats enregistr�s chez l�hommeLes am�liorations a apport� au travail sur cette partie sont �

, Rel(cher les hypothses simpli�catrices du modle en consid�rant un tronc qui per�mettrait de d�clencher le pas suivant en d�s�quilibrant le robot vers l�avant� commelors de la marche humaine L�hypothse de la cheville actionn�e du pied de supportdevrait �tre �galement rel(ch�e Dans cette perspective� une �tude complte de l�e�etdu sous�actionnement sur la commande et le comportement du robot doit alors �tre�tablie

, Concernant la simpli�cation de la dynamique� une m�thode par homoth�tie peut �treenvisag�e� comme �bauch�e en section �� a�n de ne pas d�t�riorer la convergencede l�optimisation en compliquant le systme brutalement

, L�int�gration du systme peut �tre am�lior�e en rempla&ant l�approximation d�Eulerpar d�autres algorithmes tels que Runge�Kutta De m�me� le poids donn� � tous les�chantillons dans la fonction co�t peuvent devenir variable a�n de p�naliser plusl�impact par exemple

, Lors de l�extension de l�optimisation � un cycle complet de marche� la litt�rature a r�v�l�edes lacunes au niveau de la mod�lisation des ph�nomnes d�impact� surtout lorsque ceux�ci sont multiples C�est pourquoi nous nous sommes pench�s sur la mod�lisation de telsph�nomnes L�approche compliante a �t� choisie pour mod�liser le contact pied$sol enraison de la nature du contact pied$sol qui se fera � travers une semelle Les modlescompliants lin�aires ayant r�v�l�s certaines faiblesses� un modle compliant non lin�aire� detype Hertzien� a �t� utilis� pour calculer les forces normales s�appliquant au contact Dansle sens tangentiel l�utilisation du modle de frottement LuGre pour le calcul des forces a�t� motiv� par deux raisons � la v�racit� physique du modle� la gestion automatique dupassage des �tats glissement$collage Ce modle compliant avec le frottement a �t� validerpar une s�rie de tests en simulation sur un cas d��tude puis a fait l�objet d�une mise en�uvre sur un robot bipde dans le simulateur LAPINL�utilisation d�un modle compliant dans la mod�lisation du contact pied$sol permet d�avoirune �quation de la dynamique� r�gissant le mouvement du robot� unique et continue Cetteformulation ne permet n�anmoins pas d�ouvrir une porte sur l�obtention de commandesoptimales par une m�thode indirecte En e�et� la dynamique reste non di��rentiable � causede l�introduction d�outils math�matiques tels que la fonction signe et la valeur absolue L�encore� le sch�ma d�optimisation directe appara�t �tre la direction � tenir pour g�n�rer lestrajectoires � �nergies minimales � l�aide des modles compliants Cette mise en �uvrereste � ce jour un problme ouvert et n�cessitera� � n�en pas douter� une formulation desous�problmes plus simples permettant de d�gager une � une les solutions

En perspectives g�n�rales� nous pouvons souligner le fait que la g�n�ration de trajectoiresoptimales en boucle ouverte n�cessite une �tape de suivi de trajectoire qui risque d�annuler l�op�timalit� des trajectoires L��tape de g�n�ration de trajectoires permet une meilleure appr�hension

��

du problme de la marche en robotique sans toutefois pr�tendre r�soudre les problmes de com�mande En e�et� bien qu�en �tant trs proche des trajectoires optimales g�n�r�es pr�c�demment�la commande due au suivi peut n�cessit� une forte quantit� d��nergie et ainsi d�t�riorer l�aspectoptimal Il faut alors repenser le problme avec une g�n�ration de trajectoire et un suivi en boucleferm�e qui � ce jour reste inexploit�

�� Conclusion

A� Mod�le du simulateur LAPIN

Le modle du robot du simulateur LAPIN est rappel� sur la �gure A�! Le tronc a unelongueur l�� une masse m� et une inertie I� Les cuisses ont une longueur l�� une masse m� etune inertie I� et les tibias� une longueur l�� une masse m� et une inertie I�

Dans le d�tail des di��rentes matrices� les abr�viations suivantes seront employ�es

Si �� sin qi i � ��

Ci �� cos qi i � ��

Si�j �� sin qi � qj� i� j � ��

Ci�j �� cos qi � qj� i� j � ��

qpi �� qi i � ��

h��

�m�l�

� � I�

h� � h� ��

�m�l�C�

y

x

q

q q

qq

1

31 32

4142

S

S

SS

S

1

3231

4142

�gure A�� Sch�ma cin�ma�

tique du robot

�� A Mod�le du simulateur LAPIN

h�� h��

�m�l�S�

h��

�m�l�

� � l�l�S�� l��

�

�l��m� � I� � I�

h�� h��

�l�l�S��

�

�l��m� � I�

h� � h� ��

�m�l�C��

�

�l�C�� l�C��m�

h�� h��

�m�l�S��

�

�l�S�� l�S��m�

h��

�m�l�

� � I�

h� � h� ��

�m�l�C��

h�� h��

�m�l�S��

h��

�m�l�

� � l�l�S�� L��

�

�l��m� � I� � I�

h� � h� ��

�l�l�S��

�

�l��m� � I�

h� � h� ��

�m�l�C��

�

�l�C�� l�C��m�

h�� h��

�m�l�S��

�

�l�S�� l�S��m�

h ��

�m�l�

� � I�

h � h ��

�m�l�C��

h� � h� ��

�m�

c��

�l�l�C��m� �q��

c��

�C�� q��

�

�C�� q��l�l�m�

c��

�l�l�C��m� �q��

c��

�l�l�C��m� �q��

c� ��

�C�� q��

�

�C�� q��l�l�m�

c� ��

�l�l�C��m� �q��

��

c� ��

�m�l�S� �q�

c� � ��

��q��m�l�S�� q��l�S��

�S�� q��

�S�� q��l��m�

c� ��

�S�� q��

�S�� q��l�m�

c� ��

��q��m�l�S�� q��l�S��

�S�� q��

�S�� q��l��m�

c � ��

�S�� q��

�S�� q��l�m�

c��

�m�l�C� �q�

c��

��q��m�l�C�� q��l�C��

�

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�

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c��

�C�� q��

�

�C�� q��l�m�

c��

��q��m�l�C�� q��l�C��

�

�C�� q��

�

�C�� q��l��m�

c� ��

�C�� q��

�

�C�� q��l�m�

JeT �

��

� � � �

l�C�� l�C�� l�S�� l�S��

l�C�� l�S��

� � l�C�� l�C�� L�S�� l�S�� l�C�� l�S��

� � � �

� � � �

��

�� A Mod�le du simulateur LAPIN

B� Calcul des multiplicateurs de Lagrange

pendant le double support

La contrainte cin�matique � l�instant k exprimant le fait que le pied reste au sol s�exprimepar �

� qk� � � B�!

Par d�rivations successives� nous obtenons �

�� qk� �� qk�

�qk

dqkdt

� J qk� �qk � � B�!

�� qk� � �J qk� �qk � J qk��qk � � B�!

D�un autre c t�� l��quation qui r�git l��volution du systme durant la phase de double supportest donn�e par �

H �qk �G qk� � uk � JT qk��k B�!

D�o% il est possible d�exprimer qk �

�qk � H��uk � JT qk��k �G qk�� B�!

En rempla&ant �qk dans l��quation B�!� nous obtenons �

�J qk� �qk � J qk�H��uk � JT qk��k �G qk�� B�!

�J qk� �qk � J qk�H��uk � J qk�H

��JT qk��k � J qk�H��G qk� � � B�!

d�o% nous tirons �k �

�k � �J qk�H��JT qk�� J qk� �qk � J qk�H

��uk � J qk�H��G qk�� B�!

Nous voyons qu�il est alors possible d�exprimer �k comme une fonction des positions et vitesses� l�instant k� qk et �qk et de la commande � l�instant k� uk

�� B Calcul des multiplicateurs de Lagrange pendant le double support

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