INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL -...

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA UNIDAD ZACATENCO

“ANÁLISIS ESTRUCTURAL CON EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO ASISTIDO POR COMPUTADORA”

T E S I S

Para Obtener El Titulo De:

INGENIERO CIVIL

PRESENTA: PÉREZ VILLAR LUIS ALBERTO.

ASESOR: ELIU ROSETE CARRANCO.

México D. F. Febrero/2003.

ANÁLISIS ESTRUCTURAL CON EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO ASISTIDO POR COMPUTADORA

CONTENIDO

Agradecimientos

I. Introducción y Objetivo.

1.1 Objetivo. 1.2 Introducción. 1.3 Breve Historia del Elemento Finito. 1.4 Aplicaciones.

Página 1 de 4 Análisis Estructural con el Método del Elemento Finito Asistido por Computadora

24/10/2008 file://D:\Indice.htm

II. Método del Elemento Finito.

2.1 Armaduras.

2.1.1 Obtención de la Matriz de Rigideces. 2.1.2 Ejemplo Numérico de Armaduras.

2.2 Marcos.

2.2.1 Obtención de la Matriz de Rigideces. 2.2.2 Ejemplo Numérico de Marcos. 2.2.3 Obtención de la Matriz de Rigideces para Vigas. 2.2.4 Ejemplo Numérico de Vigas.

2.3 Esfuerzos y Deformaciones en el Plano.

2.3.1 Matriz de Rigideces para Elementos Triangulares. 2.3.2 Ejemplo Numérico. 2.3.3 Matriz de Rigideces para Elementos Rectangulares. 2.3.4 Ejemplo Numérico.

III. Programas de Computadora

3.1 Diagramas del Programa.

3.2 Manual del Usuario.

3.3 Ejemplos Calculados por Programas.

3.3.1 Ejemplo Armadura. 3.3.2 Ejemplo Marco. 3.3.3 Ejemplo Viga. 3.3.4 Ejemplo Placa Triangular. 3.3.5 Ejemplo Placa Rectangular.

IV. Comentarios y Recomendaciones.

V. Listado del Programa.

VI. Ejemplos Complementarios

6.1 Ejemplo de Placa Triangular de 64 Elementos. 6.2 Ejemplo de Placa Rectangular de 16 Elementos.

VII. Bibliografía.

AGRADECIMIENTOS Ante todo mis padres serán siempre las personas con quienes yo estaré muy agradecido, por su apoyo en mis decisiones, y porque siempre estuvieron a mi lado aun cuando hubiese cometido errores, nunca faltó una palabra de aliento. Ellos fueron mi guía pero más que eso una bendición en mi camino. En mi vida podré decir que algo me falto. Ahora con todo orgullo presento ante ellos el resultado de tantos años de esfuerzo y dedicación.



Por otro lado mis profesores quienes fueron otra parte esencial para mi formación Profesional también tienen un lugar especial en mi vida aun cuando varios de ellos no me logren recordar. Mis compañeros Ana, J ulio, Héctor, Nely, Omar, quienes compartieron junto conmigo momentos inolvidables los llevaré en mi corazón para toda mi vida.



de 4 Análisis Estructural con el Método del Elemento Finito Asistido por Computadora


Introducción y Objetivo

Pérez Villar Luis Alberto 3

C C Ca a ap p pi iit t tu u ul llo o o I I I I I In n nt t t r r r o o od d du u uc c cc c ci iió ó ón n n y y y o o ob b bj j je e et t t i iiv v vo o o




OBJETIVO

Ya que en la actualidad existen programas de Análisis y Diseño Estructural muy sofisticados tales como STAAD III, SAP 2000, Tricalc 5.2, etc., la finalidad de esta Tesis, al crear un programa, no es la de igualar ni mucho menos superar la capacidad de estos programas, por el contrario se pretende ayudar al aprovechamiento de estos. Esto se pretende lograr a través de dos pasos fundamentales. El primero paso es dar a conocer los conceptos básicos y el Método del Elemento Finito, método con el cual la mayoría de los programas trabajan.

La otra parte importante que se requiere para el cumplimiento de este objetivo es la Programación del Método, esto con la finalidad de esclarecer el concepto de cada dato que se da para el funcionamiento de estos programas, así como la interpretación de resultados que estos proporcionan, en cuanto a Análisis se refiere.

INTRODUCCIÓN

El acelerado desarrollo de las computadoras ha revolucionado tanto la práctica como la investigación en los campos de la ciencia y la ingeniería. En la década de los noventa las computadoras se modificaron rápidamente adquiriendo potencialidad en memoria y graficación. El sueño de que cada firma de ingeniería tendría un equipo completo de computación ha llegado a ser una realidad. En la década de los noventa las computadoras llegaron a ser tan populares tanto como las calculadoras de bolsillo lo fueron en la década de los ochenta y a su vez como las reglas de cálculo lo fueron en los sesentas y setentas. Esta tendencia ha incluido los Métodos de Análisis y Diseño que proporcionan una solución computarizada a los problemas de ciencias e ingeniería, convirtiéndose ésta práctica en una rutina diaria. Esta Tesis se concentrará en el significativo método del Elemento Finito. Aunque éste método es aplicable a muchos campos de las Ciencias e Ingeniería, el enfoque será hacia el análisis estructural.

El método del elemento finito ha sido fértil en el campo de la investigación. También se le ha utilizado como una herramienta de la investigación en los experimentos numéricos. Más importante aún, el método del elemento finito ha llegado a ser una herramienta para el diseño y análisis estructural, la cual es empleada por los ingenieros especialistas en estructuras. Por lo anterior, es necesario que los Ingenieros tomen un curso formal de éste método, mientras que los Arquitectos deben de recibir un curso elemental enfocado a la modelación de estructuras tanto en el plano como en el espacio. El objetivo en esta Tesis es incluir ambas necesidades.

El método del elemento finito en el análisis estructural es una técnica que discretiza una estructura en un conjunto o diferentes conjuntos de componentes estructurales, llamados elementos finitos, que poseen similaridad tanto en propiedades geométricas como en el comportamiento físico. Por ejemplo una estructura compuesta de trabes, columnas, muros y losas, puede modelarse usando elementos finitos tipo barra para trabes y columnas, elementos finitos tipo placa para losas y elementos finitos tipo panel para muros; en éste



ejemplo, se utilizan tres tipos o conjuntos de elementos finitos que se interconectan en puntos llamados nodos.

En todos los puntos nodales se aplican fuerzas y todos los nodos están sujetos a desplazamientos, conocidos como grados de libertad. En general, a los nodos no solo se les aplican fuerzas y desplazamientos. También es posible aplicar cantidades físicas relacionadas a calor, fluidos, electricidad, y otras más. Así, se genera un conjunto de ecuaciones lineales simultaneas que representan las variables físicas. Físicamente, el ensamble de todos esos elementos finitos representa el planteamiento de las ecuaciones matemáticas que rigen el problema. Al imponer condiciones de frontera al modelo de la estructura, se conocen las incógnitas o desplazamientos en el caso de estructuras, que a su vez son utilizadas para determinar los elementos mecánicos o los esfuerzos y deformaciones en los nodos y/o en el interior de cada elemento finito.

BREVE HISTORIA DEL ELEMENTO FINITO

Los conceptos de discretización y aproximación numérica para resolver problemas de ciencias e ingeniería son la base para la formulación del método del elemento finito. La aproximación geométrica más antigua lleva a las pirámides egipcias, hace 5000 años. Por otro lado, la aproximación numérica más antigua podría ubicarse en los registros históricos de China, Egipto y Grecia.

Los registros muestran que los Chinos calcularon el valor aproximado de π en el primer siglo de nuestra era, con un valor de 3.1547, siendo usado para calcular el volumen de un cilindro. En el segundo siglo E.C. el Astrónomo Chang Heng aproximó el valor de π como 3.1466 (730/232) y ♦10. Para el año 230 E.C. Wang Fan usó π como 3.1466 (142/45). En la dinastía del oriental Jihn (265317 E.C.), Liu Hui en su Comentario de Matemáticas , usó un polígono regular inscrito en un circulo para aproximar la circunferencia y encontró que el valor para π igual a 3.1416 (3927/1250); es interesante notar que él usó 3072 lados iguales en el polígono citado, es decir , 3072 elementos finitos. En la dinastía de Sung y Chi, el Matemático Tzu Tzon Tze(429500 E.C.), usó un polígono de 24576 lados iguales para obtener una mejor aproximación, siendo el valor 3.1415926 < π < 3.1415927.

De acuerdo con el manuscrito Ahmes, se muestra que para 1500 A.C. , los Egipcios usaban ♦10 como valor de π. Un papiro de tiempos mas tempranos, ahora en Moscú, indica que los egipcios usaron la fórmula para el volumen de una pirámide y el área de un círculo de manera aproximada en 1800 A. C.. Arquímedes, uno de los primeros Matemáticos e inventores, utilizó el concepto de elemento finito para calcular el volumen de sólidos.

De forma mas rigurosa, en el contexto estructural, las soluciones tanto en elasticidad como en análisis estructural tuvieron un inicio del Método del Elemento Finito con Timoshenko, pero si se considera que el análisis de marcos establece el inicio del método del Elemento Finito, entonces los pioneros fueron Castigliano, Mhor y Maxwell, entre otros, en el periodo 18501875.

En 1915, Maney de los Estados Unidos de Norteamérica, presentó el Método PendienteDeformación, expresando los momentos en términos de desplazamientos lineales



y angulares en los nodos de la estructura, lo cual es una de las formulaciones para plantear el Método de las Rigideces y un desarrollo similar, fue planteado por Ostenfeld en Dinamarca. En el año 1929, Hardy Cross hizo público un Método para analizar marcos basado en distribuciones angulares, el cual se utilizó por los siguientes 35 años.

En forma paralela a los primeros trabajos sobre análisis de estructuras reticulares, se resolvieron problemas de Mecánica del Medio continuo usando una analogía con estructuras formadas por barras diagonales para generar mallas con elementos triangulares. A principios de los años cuarenta Courant propuso funciones de interpolación polinomionales por secciones para formular subregiones triangulares como un caso especial del Método Variacional de RayleighRitz, que obtiene soluciones aproximadas.

Actualmente, el Método del Elemento Finito es utilizado con la ayuda de las computadoras, lo cual ha contribuido a su desarrollo al mismo ritmo que las computadoras. Las publicaciones clásicas por Argyris y Kelsey a mediados de los 50´s, hicieron surgir los conceptos de análisis de marcos discretizando no solo en nodos sino además en puntos intermedios de las barras y análisis de un continuo, lo que marcó un crecimiento explosivo en el Método del Elemento Finito.

Basándose en el planteamiento estático del Elemento Finito, se han ampliado las aplicaciones que incluyen diversos efectos físicos y vibraciones en el Análisis Dinámico, pandeo y postpandeo, no linealidades en la geometría y en el material, efectos térmicos, interacción entre fluidos y estructuras, aeroelasticidad, interacción acústicaestructura, teoría de la fractura, estructuras laminadas, propagación de oleaje, dinámica estructural, respuesta dinámica aleatoria, y muchas más aplicaciones. Como una consecuencia de tantos campos de estudio, el uso de los programas de computadora orientados a cada caso, se han convertido en una práctica en los sitios involucrados en el análisis estructural.

APLICACIONES

Aquí se describen varias clases de elementos finitos: barras de armadura (bajo el efecto de carga axial), barras de marcos (bajo los efectos de carga axial, fuerza cortante y momento flexionante), esfuerzos y deformaciones en el plano con elementos finitos triangulares y rectangulares. Cabe mencionar que otros tipos de elementos finitos, fuera del alcance de ésta Tesis son elementos tipo placa bajo cortante y flexión, elementos curvos de cascaron delgado con geometría triangular rectangular y trapecial, elementos tridimensionales para esfuerzos y deformaciones con geometría de tetraedros y hexaedros y algunos más.

Para ilustrar la aplicabilidad del método en casos prácticos, se presentan algunos ejemplos con la ayuda de algunas figuras. La figura 1.1 muestra la modelación del fuselaje y el ala de un avión, usando elementos finitos de los tipos barra, placa y cascarón. El modelo detallado de una sección que tiene un hueco, demuestra la versatilidad del método. Este modelo puede ser usado para un análisis estático de esfuerzos, vibración libre, respuesta al impacto en aterrizaje, movimientos bruscos e irregulares en los paneles y alas, y optimización de peso mínimo y resistencia máxima.



La figura 1.2 muestra un ejemplo del modelo de un edificio alto de 30 o 40 niveles, usando elementos viga, columna y placa. Este modelo puede ser usado para análisis estático, vibración libre, análisis dinámico y análisis aleatorio de viento.

Figura 1.1

Figura 1.2



La figura 1.3 muestra el modelo exterior de un antiguo generador que usando vapor genera combustible. El modelo, que consiste de una estructura metálica que sostiene al generador, usa elementos finitos viga, columna y placa, con un total de 1860 grados de libertad. Se observa en la figura que la estructura está vibrando en su tercer modo de vibración, con una frecuencia natural de 1.1 Hertz. Tanto las frecuencias de vibración como los modos, se utilizan para un análisis de la respuesta sísmica.

La figura 1.4 muestra el modelo de una torre de enfriamiento con una imperfección o falla local. Las columnas se modelan con elementos barra que consideran los efectos de axial, cortante, flexión y torsión. El cascaron hiperbólico se modela con elementos curvos de cascaron con geometría de cuadriláteros. En la zona de falla se requieren cuadriláteros pequeños. Cuadriláteros grandes y pequeños se unen con elementos triangulares curvos. Este modelo puede usarse para análisis dinámico bajo sismos y análisis aleatorio de viento. Si la falla inicial se considera en el análisis el comportamiento llega a tener no linealidad en la geometría.

Figura 1.3



La figura 1.5 muestra una estructura reticular espacial larga y flexible, con una geometría repetitiva en las celdas. La estructura puede modelarse con una gran cantidad de barras tipo armadura o con un número relativamente pequeño de elementos tipo placa, cuyo continuo contenga las propiedades de unas pocas celdas. El modelo se usa para análisis dinámico.

La figura 1.6 muestra el modelo del cinturón radial de un neumático usando elementos de cascarón asimétricos laminares. El modelo puede ser usado para análisis estático con grandes desplazamientos al inflar el neumático, vibración libre de un neumático inflado y respuesta dinámica. Para cargas durante la operación de rodado se requieren cuadriláteros.

Figura 1.4

Figura 1.5



Con el propósito de ilustrar el poderío gráfico y la utilidad de éste para modelar estructuras de geometría compleja, la figura 1.7 muestra superficies curvas ajustadas por funciones Bspline. Los nodos de la malla y sus coordenadas se almacenan en una base de datos para ser utilizados en un modelo con elementos finitos. Dicha estructura puede ser modelada con una gran cantidad de elementos planos tipo placa o con un número relativamente pequeño de elementos curvos tipo cascaron delgado.

Figura 1.6

Figura 1.7

Programas


Diagrama y Manual

C C Ca a ap p pi iit t tu u ul llo o o I I II I II I I P P Pr r r o o og g gr r r a a am m ma a as s s

Diagrama de bloques del Pr ograma.

Manual del Usuar io.

Diagrama y Manual

Programas


Diagrama y Manual

PROGRAMA

DIAGRAMA DE BLOQUES DEL PROGRAMA

Rutina principal: Entrada de Datos / Lectura de Datos, Verificación de la Geometría, Rigideces y Propiedades Elásticas, Ensamble, Solución de sistema de ecuaciones, Fuerzas Finales, Diagramas (opcional), Salida (opcional), Fin del Programa.

Entrada de datos: Opción para la creación de un archivo y guardarlo en disco, o Abrir uno existente. Definición del número de grados de libertad por nodo. Calculo de las propiedades geométricas y mecánicas de cada Elemento y asignación de Fuerzas a cada Nodo.

Verificación de la geometría: Opción para continuar o salir después de haber verificado la geometría en forma visual.

Rigidez: Calculo de Matriz de Rigideces y Propiedades Elásticas para cada Elemento según sea el tipo de estructura.

Ensamble: Obtención del número de ecuaciones. Tamaño de la Matriz total de Rigideces y generación del Vector Cargas.

Solución del sistema de ecuaciones: La solución del sistema se obtiene por el método de Cholesky.

Fuerzas Finales: Calculo de Elementos Mecánicos / Esfuerzos por Elemento y transformación del sistema global al local.

Diagramas: Opción para la presentación de los diagramas de Cortantes y Momentos (opción solo aplicable estructuras de tipo Marco)

Salida: Opción para imprimir los resultados obtenidos en un archivo.

Fin del programa.

Nota: El listado del programa se puede encontrar en el Apéndice I

Programas


Diagrama y Manual

MANUAL DEL USUARIO

ALCANCE.

Este programa esta capacitado solo para el análisis estructural de Armaduras y Marcos en el plano así como el caculo de esfuerzos en placas planas del tipo Triangular y Rectangular.

MENÚ.

Debido a que las personas tenemos ciertas preferencias en cuanto al modo de trabajar el programa tiene dos opciones para ingreso de datos (figura 3.1.1): la primera consiste en abrir un archivo ya existente en el que se pueden proporcionar los datos en forma escrita, en la segunda opción se crea un archivo por medio del programa para ser utilizado más tarde las veces que se desee. Cabe aclarar que la segunda opción es más grafica, sin embargo, aún sabiendo esto algunas personas prefieren la primera.

Figura 3.1.1

Programas


Diagrama y Manual

PRIMERA OPCIÓN PARA LA ENTRADA DE DATOS

Para este se recomienda la creación del archivo con la ayuda del Bloc de notas o cualquier otro editor de texto que permita tener las propiedades de “solo texto”.

En primera instancia se hará el listado general del tipo de datos a proporcionar.

A. Tipo de Estructura a analizar. B. Número de Nodos. C. Número de Elementos. D. Indicador de Apoyo. E. Incidencias. F. Coordenadas. G. Modulo de elasticidad. H. Sección transversal (sólo para los casos de Armaduras y Marcos). I. Momento de Inercia (sólo para el caso de Marcos). J. Espesor (para los casos de Placas Plana Triangulares o Rectangulares). K. Modulo de Poisson (Placas Planas). L. Numero de Cargas. M. Indicadores de la Carga.

A. Tipo de Estructura a analizar.

Este se indica con un carácter del cual se tienen las opciones siguientes:

a Indica que la estructura se analizará como una Armadura (solo se considerará Fuerza Axial).

m La estructura se analizará como un Marco (se considerará Fuerza Axial Cortante y Flexión).

t La estructura se analizará como Placa Plana del tipo Triangular (se calcularán Esfuerzos).

r Al igual que el anterior hace referencia a una Placa pero del tipo Rectangular.

Nota: Para el caso de vigas el programa se puede usar en modo Marcos.

B. Número de nodos.

Continuamos con el número de Nodos, este es igual al numero de puntos incidentes entre los elementos de la estructura.

Programas


Diagrama y Manual

C. Número de Elementos.

Hace referencia al número de Barras o Placas según sea el tipo de estructura que se halla declarado anteriormente.

D. Indicador de Apoyo.

Este se declara como un numero entero y tiene dos opciones a elegir que se aplican a cada Nodo por lo que el número de indicadores será igual al número de nodos. A continuación se describen estas dos opciones:

1 Indica que el Nodo referido se encuentra apoyado lo que significa que tiene ciertos grados de libertad restringidos. En otras palabras tiene restricciones de desplazamiento en determinados ejes (Xó Y) o impedimento de giro.

Esto da cabida a indicar el tipo de apoyo a usar en este nodo. Se declara con un valor entero y tiene los siguientes valores y características:

• 1 Tipo de apoyo: Empotrado. Restricciones: Ejes “X” , “Y” y Giro. Número de Grados de Libertad: 0.

• 2 Tipo de apoyo: Simplemente apoyado. Restricciones: Ejes “X” y “Y”. Número de Grados de Libertad: 1.

• 3 Tipo de apoyo: Simplemente apoyado con desplazamiento en el eje “X”. Restricciones: Eje “Y”. Número de Grados de Libertad: 2.

Nota: El indicador “Tipo de apoyo” se coloca en forma consecuente al indicador de apoyo.

2 Indica que el nodo no tiene ningún tipo de apoyo por lo que el Número de Grados de libertad es 3 y las restricciones son 0, en otras palabras no hay ninguna restricción al desplazamiento.

E. Incidencias.

Estas son equivalentes a las condiciones de frontera de cada elemento y son indicadas por el número de nodo, por lo que el número de estas dependerá del tipo de elemento. Por ejemplo para un elemento Barra solo se tienen dos nodos el inicial y el final, esto genera cierta controversia en este tipo de elementos por la indecisión de cual es cual. Sin embargo, estos pueden ser colocados en cualquier forma. A diferencia del elemento

Programas


Diagrama y Manual

placa en el que la colocación de cada nodo debe ser secuencial en el sentido contrario a las manecillas del reloj. A continuación se presentan algunos ejemplos:

Para un elemento Barra. Para un elemento Placa del tipo Triangular.

Secuencia

3 4 4 3 ó

3

4

nodos nodos 3 5 7

Secuencia

3

7

5

Figura 3.1.2 Figura 3.1.3

Para un elemento Placa del tipo Rectangular.

2 3 8 7 nodos

Secuencia 7

3

8

2

Figura 3.1.4

F. Coordenadas.

Las coordenadas corresponden a cada nodo. Estas se refieren solo a los ejes “X” y “Y”.

G. Modulo de Elasticidad.

Estas propiedades Elásticas se debe escribir en igual número de veces que el número de elementos que se tiene.

H. Sección Transversal.

Estos valores se refieren al área transversal del elemento para el caso exclusivo de Armaduras y Marcos, y se deben colocar en igual número de elementos.

I. Momento de Inercia.

El Momento de Inercia es de uso exclusivo para estructuras de tipo Marcos.

Programas


Diagrama y Manual

J . Espesor.

El espesor se debe indicar para Placas Planas en igual número de elementos.

K. Modulo de Poisson.

Este se proporciona de igual forma que el espesor.

L. Número de cargas

Se indica con un valor entero indicando el número de cargas que afectan la estructura no importando el tipo de estas.

M. Indicadores de la Carga.

El número de indicadores depende del tipo de carga que se esté indicando. Los tipos de carga que el programa acepta son los siguientes:

1 Carga Puntual Sobre Nodo (Figura 3.1.5). Requiere tres indicadores:

Magnitud de la Carga: valor absoluto. Angulo de la Carga: valor referido al eje global y se mide de 0°360°. Nodo a Cargar: valor entero.

2 ton

7

45°

Nodo

Carga

Angulo

2 Carga Puntual Sobre Elemento (Figura 3.1.6). Requiere de cuatro hasta seis indicadores:

Magnitud de la Carga: valor absoluto. Angulo de la Carga: valor referido al eje local de la barra y se mide de 0°360°. Localización de la Carga sobre el elemento: distancia medida desde nodo inicial hasta la ubicación de la carga. Elemento a Cargar: valor entero.

Figura 3.1.5

Programas


Diagrama y Manual

Nodo Inicial: Este valor es entero y debe ser indicado solo en elementos Triangulares y Rectangulares. Nodo Final: Este valor es entero y debe ser indicado solo en elementos Triangulares y Rectangulares.

45°

2 ton Angulo Carga

8

Nodo Inicial

7

Nodo final Loc. Carga = 3,76

Barra 3

2 Carga Distribuida (Figura 3.1.7). Requiere de dos hasta cuatro indicadores:

Magnitud de la Carga: valor que depende de un signo para indicar la dirección deseada. Elemento a Cargar: valor entero. Nodo Inicial: Este valor es entero y debe ser indicado solo en elementos Triangulares y Rectangulares. Nodo Final: Este valor es entero y debe ser indicado solo en elementos Triangulares y Rectangulares.

2 ton

Nodo final

3

Carga

Nodo Inicial Barra 4

7

(+) () (+)

()

Una vez creado el archivo se procede a ejecutar el programa y elegir la primera de tres opciones esta es la de Abrir y se activa con la letra “a”. Después de elegir esta opción el programa pide el nombre del archivo, este debe contener la ubicación y la extensión del mismo para poder ser abierto.

SEGUNDA OPCIÓN PARA LA ENTRADA DE DATOS

En esta opción se lleva al usuario de la mano para ir recopilando los datos necesarios para que el programa opere. El primer paso es elegir la opción Nuevo con la

Figura 3.1.6

Figura 3.1.7

Programas


Diagrama y Manual

letra “n”. A continuación el programa pide el nombre que debe de llevar el archivo, este también debe de llevar ubicación y extensión.

En esta opción se dará una clasificación diferente a los datos de entrada, estos se reducen es secciones y se enlistan de la siguiente manera:

A. Tipo de estructura. B. Número de Nodos y Elementos. C. Coordenadas e Indicador de Apoyo. D. Propiedades de los Elementos. E. Tipos de Cargas. F. Indicadores de la Carga.

A. Tipo de estructura.

El siguiente paso es elegir el modo de análisis para la estructura. El programa presenta cuatro opciones en pantalla (Figura 3.1.8) y se accionan con las letras “a”, “m”, “t”, “r”.

B. Número de Nodos y Elementos.

Al igual que se explicó en la primera opción se declara el número de nodos y elementos.

C. Coordenadas e Indicador de Apoyo.

En esta sección el programa va pidiendo las coordenadas y tipo de apoyo nodo por nodo. Figura 3.1.9.

Figura 3.1.8

Programas


Diagrama y Manual

D. Propiedades de los Elementos.

Los primeros valores, en la clasificación de propiedades, son las incidencias, estas aparecen con la legenda de Limite 1 y Limite 2 en los casos de Armaduras y Marcos. Pero para los casos de Placas Planas la legenda cambia a Vértice 1, Vértice 2, etc. Figura 3.1.10.

Los valores siguientes aparecen según el tipo de estructura:

Modulo de elasticidad. Sección transversal (sólo para los casos de Armaduras y Marcos). Momento de Inercia (sólo para el caso de Marcos). Espesor (para los casos de Placas Plana Triangulares o Rectangulares). Modulo de Poisson (Placas Planas).

E. Tipo de Cargas.

El menú para la selección del Tipo de cargas se presenta después de haber declarado las propiedades de los elementos. En esta opción no se requiere la declaración del número de cargas ya que el programa permite continuar o salir de esta sección una vez que se a asignado por lo menos un tipo de carga a la estructura. Las opciones son 1, 2,y3. Figura 3.1.11.

Figura 3.1.9

Figura 3.1.10

Programas


Diagrama y Manual

F. Indicadores de la Carga.

1 Carga Puntual Sobre Nodo (Figura 3.1.12). Requiere tres indicadores:

Magnitud de la Carga: valor absoluto. Angulo de la Carga: valor referido al eje global y se mide de 0°360°. Nodo a Cargar: valor entero.

2 ton

7

45°

Nodo

Carga

Angulo

2 Carga Puntual Sobre Elemento (Figura 3.1.13). Requiere de cuatro hasta seis indicadores:

Magnitud de la Carga: valor absoluto. Angulo de la Carga: valor referido al eje local de la barra y se mide de 0°360°. Localización de la Carga sobre el elemento: distancia medida desde nodo inicial hasta la ubicación de la carga. Elemento a Cargar: valor entero. Nodo Inicial: Este valor es entero y debe ser indicado solo en elementos Triangulares y Rectangulares. Nodo Final: Este valor es entero y debe ser indicado solo en elementos Triangulares y Rectangulares.

Figura 3.1.11

Figura 3.1.12

Programas


Diagrama y Manual

45°

2 ton Angulo Carga

8

Nodo Inicial

7

Nodo final Loc. Carga = 3,76

Barra 3

2 Carga Distribuida (Figura 3.1.14). Requiere de dos hasta cuatro indicadores:

Magnitud de la Carga: valor que depende de un signo para indicar la dirección deseada. Elemento a Cargar: valor entero. Nodo Inicial: Este valor es entero y debe ser indicado solo en elementos Triangulares y Rectangulares. Nodo Final: Este valor es entero y debe ser indicado solo en elementos Triangulares y Rectangulares.

2 ton

Nodo final

3

Carga

Nodo Inicial Barra 4

7

(+) () (+)

()

VERIFICACIÓN DE LA GEOMETRÍA

Después de haber asignado los datos al programa, con la primera o segunda opción, se despliega una ventana en la que se muestra la geometría para una verificación visual de esta. Se tienen dos opciones Continuar o Repetir (Figura 3.1.15) y estas se accionan al presionar las teclas C o R respectivamente. Si se elige la opción Repetir el programa termina y los datos del archivo creado se pueden corregir en cualquier editor de texto.

Figura 3.1.13

Figura 3.1.14

Programas


Diagrama y Manual

DESPLIEGUE DE RESULTADOS

Una vez elegida la opción Continuar el primer bloque de resultado que aparece es el de los Desplazamientos Nodales seguido del bloque de las Fuerzas Finales (Figura 3.1.16).

Figura 3.1.15

Figura 3.1.16

Programas


Diagrama y Manual

DIAGRAMA DE CORTANTES Y MOMENTOS

Este diagrama solo puede ser desplegado para los casos de Marcos y es opcional. Si la opción elegida es Si, el programa le pedirá el número de elemento que desea ver. En el caso de que la estructura tenga la apariencia de una Viga Continua en programa la reconocerá y desplegará los diagramas de todos los elementos en una sola ventana. Figura 3.1.17.

CREACIÓN DEL ARCHIVO DE SALIDA

El archivo de salida también es opcional. Si se desea esta opción se presiona la letra “s” sino la letra “n”. Para la primera opción se requiere nuevamente el nombre del archivo, la ubicación y la extensión. Se recomienda no escribir el nombre de un archivo existente ya que el programa sobrescribirá en este perdiendo así toda su información.

Figura 3.1.17

Método del Elemento Finito


Marcos

C C Ca a ap p pi iit t tu u ul llo o o I I II I I M M Mé é ét t to o od d do o o d d de e el ll E E El lle e em m me e en n nt t to o o F F Fi iin n ni iit t to o o

Obtención de la Matr iz de Rigideces para Marcos.

Transformación del sistema Local al Global de referencia.

Obtención del vector Cargas.

Calculo de desplazamientos.

Obtención de los Elementos Mecánicos.

Transformación del sistema Global al local de referencia.

Ejemplo numér ico.

Marcos



Marcos

MARCOS

OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDECES

Comenzando nuevamente con el análisis del elemento barra (figura 2.2.1.1), pero ahora considerando los elementos mecánicos: momentos, cortantes y giros, el campo de los desplazamientos se define de la siguiente manera:

3 4

2 3 2 1 x x x V ⋅ α + ⋅ α + ⋅ α + α =

pero: x V

∂ ∂

= φ

2 4 3 2 x 3 x 2 ⋅ α + ⋅ α + α = φ

α α α α

=

φ

4

3

2

1

2

3 2

x 3 x 2 1 0 x x x 1 V

[ ] [ ] i P V

α =

φ

(2.2.1)

Aplicando condiciones de frontera setiene:

φ = φ =

=

φ = φ =

= 2

2

1

1 V V 0 x ;

V V L x si

X

Y

V1 M1 M2

x1=0 x2=L

V2

V2,φ2 V1,φ1

Figura 2.2.1.1



Marcos

sustituyendo para cada limite:

Para x = L:

( ) ( ) ( ) 3 4 2

3 2 1 L L L V ⋅ α + ⋅ α + ⋅ α + α =

( ) ( ) 2 4 3 2 L 3 L 2 ⋅ α + ⋅ α + α = φ

Para x = 0:

( ) ( ) ( ) 3 4 2

3 2 1 0 0 0 V ⋅ α + ⋅ α + ⋅ α + α =

( ) ( ) 2 4 3 2 0 3 0 2 ⋅ α + ⋅ α + α = φ

en forma matricial:

V 1

φ 1

V 2

φ 2

1

0

1

0

L

1

0

1

L 2

2L

0

0

L 3

3L 2

0

0

α 1

α 2

α 3

α 4

⋅ := , es decir:

V 1

φ 1

V 2

φ 2

=[C] [αi]

de donde: [ ]

φ

= α −

1

i 1 i

V C (2.2.2)

donde la matriz [C] 1 desarrollada es:

[ ]

− −

− − − = −

2 3 2 3

2 2

1

L 1

L 2

L 1

L 2

L 2

L 3

L 1

L 3

0 0 1 0 0 0 0 1

C

se sustituye la ecuación (2.2.2) en la (2.2.1) y se tiene:

[ ] [ ]

φ

=

φ

−

i

i 1 V C P V



Marcos

es decir:

φ

φ

− −

− − −

=

φ

−

2

2

1

1

C

2 3 2 3

2 2

P

2

3 2

V

V

L 1

L 2

L 1

L 2

L 2

L 3

L 1

L 3

0 0 1 0 0 0 0 1

x 3 x 2 1 0 x x x 1 V

1 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 2 1

4 4 4 3 4 4 4 2 1

con la relación: [ ] [ ]

φ

= ∈ V

L (2.2.3)

[ ] [ ] [ ] [ ]

φ

= ∈ −

i

i 1 V C P L

[ ] [ ] [ ]

φ

= ∈ i

i V N L

de donde:

[ ]

∂ φ ∂

∂ ∂

=

∂ ∂

∂ ∂

=

x 0

0 x V

x V 0

0 x V

L 2

2

2 2

3 3

2 2

reduciendo se tiene:

[ ]

φ

φ

− −

− − −

= ∈

−

⋅ 2

2

1

1

C

2 3 2 3

2 2

P L

V

V

L 1

L 2

L 1

L 2

L 2

L 3

L 1

L 3

0 0 1 0 0 0 0 1

6 0 0 0 x 6 2 0 0

1 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 2 1

4 4 3 4 4 2 1

Pero: B(2x4) L N = L P C 1

B

6

L 2 12

x

L 3 ⋅ −

12 −

L 3

2 − L

6 x

L 2 ⋅ +

6

L 2

6 −

L 2 12

x

L 3 ⋅ +

12

L 3

4 − L

6 x

L 2 ⋅ +

6

L 2

:= [ ]



Marcos

y finalmente: [ ] [ ] [ ] ∫ = dvol B D B k T e .

En este caso:

=

0 0 0 EI

D

∂ φ ∂

∂ ∂

=

x

x V

0 0 0 EI

V M

2

2

2 2

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] x d B D B A k cte A ; A x d B D B k L

0

T e

L

0

T e ∫ ∫ = ⇒ = =

haciendo operaciones se tiene:

[ke] = E I ⋅

12

L 3

6 −

L 2

12 −

L 3

6 −

L 2

6 −

L 2

4 L

6

L 2

2 L

12 −

L 3

6

L 2

12

L 3

6

L 2

6 −

L 2

2 L

6

L 2

4 L

⋅



Marcos

FUNCIONES DE FORMA PARA UN ELEMENTO VIGA

[ ] [ ] [ ] 1 − = C P N

[N] = 1

0

x

1

x 2

2 x ⋅

x 3

3 x 2 ⋅

0

0

3

L 2

2 −

L 3

0

0

1 − L

1

L 2

1

0

3 −

L 2

2

L 3

0

1

2 − L

1

L 2

⋅

V

φ

3 x 2

L 2 ⋅ 2

x 3

L 3 ⋅ −

6 x

L 2 ⋅ 6

x 2

L 3 ⋅ −

x 2 − L

x 3

L 2 +

2 − L

x ⋅ 3 x 2

L 2 ⋅ +

1 3 x 2

L 2 ⋅ − 2

x 3

L 3 ⋅ +

6 − x

L 2 ⋅ 6

x 2

L 3 ⋅ +

x 2 x 2

L ⋅ −

x 3

L 2 +

1 4 L x ⋅ − 3

x 2

L 2 ⋅ +

V 1

φ 1

V 2

φ 2

⋅ :=

[ ]

φ

=

φ i

i V N

V

considerando que: 2 4 2 3 1 2 1 1 ) x ( f V ) x ( f ) x ( f V ) x ( f V φ + + φ + =

de donde: ( ) 1 3 3

2 2

1 N L

x 2 L

x 3 ) x ( f = − =

( ) 2 2 3 2

2 N L

x L

x ) x ( f = + − =

( ) 3 3 3

2 2

3 N L

x 2 L

x 3 1 ) x ( f = + − =

( ) 4 2 3 2

4 N L

x L

x 2 x ) x ( f = + − =



Marcos

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE FORMA

Propiedad número 1 (figura 2.2.1.2)

0 U 1 U 2 2 1 1 = φ = = φ ⇒ =

0 U U 1 2 2 1 1 = φ = = ⇒ = φ

0 U 1 U 2 1 1 2 = φ = φ = ⇒ =

0 U U 1 1 2 1 2 = φ = = ⇒ = φ

Nota: en cualquier punto x ∑ = 0 N i

Propiedad número 2.

( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑

= + − + + − + + − + − =

= + + + =

=

1 L x

L x 2 x L

x 2 L

x 3 1 L x

L x

L x 2

L x 3 N

; 1 N N N N N

; 1 N

2 3 2

3 3

2 2

2 3 2

3 3

2 2

i

4 3 2 1 i

i

U1=1

φ

U2=1

φ

F1(x)

F2(x)

F3(x)

F4(x)

Figura 2.2.1.2



Marcos

OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN PARA EL SISTEMA LOCAL

De la figura 2.2.1.3 podemos obtener las siguientes expresiones:

β ⋅ + β ⋅ β ⋅ − β ⋅

=

m cos Py sen Px sen Py cos Px

' m y ' P x ' P

β

Px X'

Y' X

Py

β

Y

P'y

P'x

en forma matricial: [ ] [ ] [ ] P T ' P =

β β β − β

=

m Py Px

1 0 0 0 cos sen 0 sen cos

' m y ' P x ' P

por lo que, para marcos en el plano, el transformador tiene la siguiente forma:

[ ]

β β β − β

= 1 0 0 0 cos sen 0 sen cos

T y [ ]

β β − β β


T T

Figura 2.2.1.3



Marcos

β

Ux X'

Y' X

Uy

Y

U'y

U'x

de la figura 2.2.1.4 podemos saber que: [ ] [ ] [ ] ' U T U T = , de donde: U = vector desplazamiento del sistema local, y

U’ = vector desplazamiento del sistema global.

De la matriz [T], el termino m, que es el momento flexionante alrededor del eje Z, para este caso coinciden los ejes Z y Z’ (figura 2.2.1.5), por lo que m = m’.

Y' X

X'

β

Y

m

Figura 2.2.1.4

Figura 2.2.1.5



Marcos

Si a la matriz [k] le agregamos los efectos de carga axial se puede obtener una matriz de la siguiente forma:

[ ]

−

−

−

−

− − −

−

=

L EI 4

L EI 6 0 L

EI 2 L

EI 6 0 L

EI 6 L

EI 12 0 L EI 6

L EI 12 0

0 0 L EA 0 0 L

EA L

EI 2 L

EI 6 0 L EI 4

L EI 6 0

L EI 6

L EI 12 0 L

EI 6 L

EI 12 0

0 0 L EA 0 0 L

EA

k

2 2

2 3 2 3

2 2

2 3 2 3

e

de la cual podemos desglosar a:

[ ]

−

− =

L EI 4

L EI 6 0

L EI 6

L EI 12 0

0 0 L EA

k

2

2 3 11 [ ]

− −

−

=

L EI 2

L EI 6 0

L EI 6

L EI 12 0

0 0 L EA

k

2

2 3 12

[ ]

−

−

−

=

L EI 2

L EI 6 0

L EI 6

L EI 12 0

0 0 L EA

k

2

2 3 21 [ ]

=

L EI 4

L EI 6 0

L EI 6

L EI 12 0

0 0 L EA

k

2

2 3 22

Recordando que: [ ] [ ] [ ] P T ' P = y premultiplicando, previamente, a las ecuaciones fuerzadesplazamiento por [T] para despejar a P1 y P2 se tiene:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 22 1 21 2

2 12 1 11 1

U k T U k T P T

U k T U k T P T

+ =

+ =

y sustituyendo la relación [ ] [ ] [ ] ' U T U T = junto con: [ ] [ ] [ ] P T ' P =

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 T

22 1 T

21 2

2 T

12 1 T

11 1

' U T k T ' U T k T ' P

' U T k T ' U T k T ' P

+ =

+ =



Marcos

de donde puede reducirse él termino [ ] [ ] [ ] T T k T por [k’], que, desarrollado tiene la siguiente forma:

[ ]

β β − β β

−

−

β β β − β


L EI 4

L EI 6 0

L EI 6

L EI 12 0

0 0 L EA


' k

2

2 3 11

[ ]

β −

β

β −

β +

β β β −

β β

β β β −

β β β +

β

=

L EI 4

L cos EI 6

L EIsen 6

L cos EI 6

L cos EI 12

L EAsen

L cos EIsen 12

L cos EAsen

L EIsen 6

L cos EIsen 12

L cos EAsen

L EIsen 12

L cos EA

' k

2 2

2 3

2 2

3

2 3 3

2 2

11

[ ]

β β − β β

− −

−

β β β − β


L EI 2

L EI 6 0

L EI 6

L EI 12 0

0 0 L EA


' k

2

2 3 12

[ ]

β β −

β −

β −

β −

β β +

β β −

β β β +

β β −

β +

β −

=

L EI 2

L cos EI 6

L EIsen 6

L cos EI 6

L cos EI 12

L EAsen

L cos EIsen 12

L cos EAsen

L EIsen 6

L cos EIsen 12

L cos EAsen

L EIsen 12

L cos EA

' k

2 2

2 3

2 2

3

2 3 3

2 2

12

[ ]

β β − β β

−

−

−

β β β − β


L EI 2

L EI 6 0

L EI 6

L EI 12 0

0 0 L EA


' k

2

2 3 21

[ ]

β −

β

β β −

β −

β β −

β β −

β −

β β +

β β −

β −

β −

=

L EI 2

L cos EI 6

L EIsen 6

L cos EI 6

L cos EI 12

L EAsen

L cos EIsen 12

L cos EAsen

L EIsen 6

L cos EIsen 12

L cos EAsen

L EIsen 12

L cos EA

' k

2 2

2 3

2 2

3

2 3 3

2 2

21



Marcos

[ ]

β β − β β

β β β − β


L EI 4

L EI 6 0

L EI 6

L EI 12 0

0 0 L EA


' k

2

2 3 22

[ ]

β β −

β β +

β β β −

β β

β −

β β −

β β β +

β

=

L EI 4

L cos EI 6

L EIsen 6

L cos EI 6

L cos EI 12

L EAsen

L cos EIsen 12

L cos EAsen

L EIsen 6

L cos EIsen 12

L cos EAsen

L EIsen 12

L cos EA

' k

2 2

2 3

2 2

3

2 3 3

2 2

22

y sustituyendo se tiene:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] 2 22 1 21 2

2 12 1 11 1

' U ' k ' U ' k ' P

' U ' k ' U ' k ' P

+ =

+ = (2.2.5)

Una vez teniendo esta forma se puede ensamblar la matriz de rigideces dela misma manera que se hace para armaduras obteniéndose así una matriz de la siguiente manera:

[ ] [ ] [ ] 1 ' P ' U ' k = .

Resolviendo el sistema se obtienen los desplazamientos y con ellos calcular las fuerzas en el sistema global con la ecuación (2.2.5), para después obtener las del sistema local.



Marcos

EJEMPLO NUMÉRICO DE MARCOS

Analizar el siguiente marco (figura 2.2.2.1) por el método del elemento finito.

1

a

4

2 b

3

Y'

X'

4.00m

2Ton W = 3 Ton/m

3.00m c

Sección tipo

0.30m

0.30

de la figura 2.2.2.1se obtienen los siguientes datos:

( )( )

2 2

2

2 2

4 4

2

m ton 000 , 1400

kg 1000 ton 1

m 0001 . 0 cm 1

cm kg 000 , 140

cm kg 000 , 140 E

m 000675 . 0 12

) m 3 . 0 ( I

m 09 . 0 m 3 . 0 m 3 . 0 A

=

= =

= =

= =

Tabla 2.2.2.1 PROPIEDADES DE CADA ELEMENTO Barra Li EA EI b sen b cos b sen 2 b cos 2 b sen b cos b a 3.00 126000 945 90° 0 1 0 1 0 b 4.00 126000 945 0° 1 0 1 0 0 c 3.00 126000 945 90° 0 1 0 1 0

A continuación se obtendrán los cortantes y momentos de la barra “b” considerando sus extremos empotrados (figura 2.2.2.2), recordando así que el Método del elemento finito toma las propiedades de cada elemento individualmente.

Figura 2.2.2.1



Marcos

R1 4.00m

R2

2 b

W = 3 Ton/m 3 M1 M2

( )( )

( )( ) m ton 4

12 m 4 m / ton 3

12 L W M M

ton 6 2

m 4 m / ton 3 2 L W V V

2 2

2 1

2 1

= = ⋅

= =

= = ⋅

= =

de donde ahora obtenemos el vector cargas:

[ ]

− −

−

=

00 . 4 00 . 6 00 . 0 00 . 4 00 . 6 00 . 2

P

Tabla 2.2.2.2 Ensamble de la matriz K’ Nodo 2 3 U

Ux2 2 b ' k a ' k 11 22 + b ' k 12 Uy2

Ux3 3 b ' k 21 c ' k b ' k 22 22 +

Uy3

Usando los valores de la tabla 2.2.2.1 en las submatrices de k’ y haciendo operaciones:

Figura 2.2.2.2



Marcos

Para la bar ra “b”

[ ]

−

− =

4 ) 945 ( 4

) 4 ( ) 945 ( 6 0

) 4 ( ) 945 ( 6

) 4 ( ) 945 ( 12 0

0 0 4

126000

b ' k

2

2 3 11 [ ]

− − = 945 35438 0

38 . 354 19 . 177 0 0 0 31500

b ' k 11

[ ]

− −

−

=

4 ) 945 ( 2

) 4 ( ) 945 ( 6 0

) 4 ( ) 945 ( 6

) 4 ( ) 945 ( 12 0

0 0 4

126000

b ' k

2

2 3 12 [ ]

− −

− =

5 . 472 38 . 354 0 38 . 354 19 . 177 0

0 0 31500 b ' k 12

[ ]

−

−

−

=

4 ) 945 ( 2

) 4 ( ) 945 ( 6 0

) 4 ( ) 945 ( 6

) 4 ( ) 945 ( 12 0

0 0 4

126000

b ' k

2

2 3 21 [ ]

− −

− =

5 . 472 38 . 354 0 38 . 354 19 . 177 0

0 0 31500 ' b k 21

[ ]

=

4 ) 945 ( 4

) 4 ( ) 945 ( 6 0

) 4 ( ) 945 ( 6

) 4 ( ) 945 ( 12 0

0 0 4

126000

b ' k

2

2 3 22 [ ]

=

945 38 . 354 0 38 . 354 19 . 177 0

0 0 31500 b ' k 22

Para las bar ras “a” y “c”

[ ]

−

−

=

3 ) 945 ( 4 0

3 ) 945 ( 6

0 3

126000 0 3

) 945 ( 6 0 3

) 945 ( 12

' a k

2

2 3

22 [ ]

−

− =

1260 0 630 0 42000 0 630 0 420

' a k 22

y [ ] [ ] ' ' 22 22 c k a k =



Marcos

[ ]

−

−

−

=

3 ) 945 ( 2 0

3 ) 945 ( 6

0 3

126000 0 3

) 945 ( 6 0 3

) 945 ( 12

' a k

2

2 3

12 [ ]

−

− − =

630 0 630 0 42000 0 630 0 420

' a k 12

y [ ] [ ] ' ' 12 12 c k a k =

ahora el ensamble de la matriz es:

− −

−

=

−

−

− −

−

− − −

− − −

−

00 . 4 00 . 6 00 . 0 00 . 4 00 . 6 00 . 2

' U

' U

2205 38 . 354 630 38 . 354 19 . 42177 0

630 0 31920

5 . 472 38 . 354 0 38 . 354 19 . 177 0

0 0 31500 5 . 472 38 . 354 0 38 . 354 19 . 177 0

0 0 31500

2205 38 . 354 630 38 . 354 19 . 42177 0

630 0 31920

3

2

Al resolver el sistema de ecuaciones, es decir, obtener los desplazamientos de los nodos referidos al sistema local, se tiene:

− − =

φ =

− =

φ =

00145 . 0 00016 . 0 00365 . 0

' y ' U x ' U

' U 00319 . 0 00013 . 0 00373 . 0

' y ' U x ' U

' U

3

3

3

3

2

2

2

2

CALCULO DE LOS ELEMENTOS MECÁNICOS

Barra “a” sistema global

[ ] [ ][ ]

− =

−

− −

− = =

3356 . 0 3873 . 5 4471 . 0

00319 . 0 00013 . 0 00373 . 0

630 0 630 0 42000 0 630 0 420

' U a ' k a ' P 2 12 1

[ ] [ ][ ]

− −

=

−

−

− = =

6770 . 1 3873 . 5 4471 . 0

00319 . 0 00013 . 0 00373 . 0

1260 0 630 0 42000 0 630 0 4200

' U a ' k a ' P 2 22 2



Marcos

Barra “b” sistema global

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ]

− =

=

− −

− −

− +

−

− − =

+ =

3230 . 2 6127 . 0 4471 . 2

b ' P

00145 . 0 00016 . 0 00365 . 0

5 . 472 38 . 354 0 38 . 354 19 . 177 0

0 0 31500

00319 . 0 00013 . 0 00373 . 0

945 38 . 354 0 38 . 354 19 . 177 0

0 0 31500 b ' P

' U b ' k ' U b ' k b ' P

1

1

3 12 2 11 1

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ]

− =

=

− −

+

−

− −

− =

+ =

1278 . 0 6127 . 0 4471 . 2

b ' P

00145 . 0 00016 . 0 00365 . 0

945 38 . 354 0 38 . 354 19 . 177 0

0 0 31500

00319 . 0 00013 . 0 00373 . 0

5 . 472 38 . 354 0 38 . 354 19 . 177 0

0 0 31500 b ' P

' U b ' k ' U b ' k b ' P

2

2

3 22 2 21 2

Barra “c” sistema global

[ ] [ ][ ]

−

− =

− −

− −

− = =

2136 . 3 6127 . 6 4471 . 2

00145 . 0 00016 . 0 00365 . 0

630 0 630 0 42000 0 630 0 420

U c ' k c ' P 3 12 1

[ ] [ ][ ]

− − =

− −

−

− = =

1278 . 4 6127 . 6 4471 . 2

00145 . 0 00016 . 0 00365 . 0

1260 0 630 0 42000 0 630 0 420

' U c ' k c ' P 3 22 2

Nota: Las fuerzas finales se obtienen de l a suma de momentos y cortantes de empotramiento con los desequilibrios que da el método.

Fuerzas finales de la Barra “b”

[ ]

− =

− −

− =

6770 . 1 3873 . 5 4471 . 2

4 6 0

3230 . 2 6127 . 0 4471 . 2

b ' P 1

[ ]

− =

− − −

− =

1278 . 4 6127 . 6 4471 . 2

4 6 0

1278 . 0 6127 . 0 4471 . 2

b ' P 2



Marcos

1

a

4

2 b

3

c

0.4471

5.3873

3.2136 0.3356

6.6127

1.6770

2.4471

6.6127

4.1278

5.3873

4.1278 1.6770 2.4471

2.4471

1 0.37

1.67

2 1.67

3.18 4

3

4.11

4.11

Diagrama de Momentos

Figura 2.2.2.3

Figura 2.2.2.4



Armaduras


Obtención de la Matr iz de Rigideces para Armaduras.

Transformación del sistema Local al Global de referencia.

Obtención del vector Cargas.

Desplazamientos.

Obtención de los Elementos Mecánicos.

Transformación del sistema Global al local de referencia.

Ejemplo numér ico.

Armaduras



Armaduras

ARMADURAS

En el Método del Elemento Finito para Análisis Estructural existen varios pasos a seguir los cuales sé en listan a continuación:

1. Obtención de la matriz de rigideces para cada elemento. 2. Trasformación del sistema local al sistema global de referencia (para los casos

de armaduras y marcos) 3. Obtención del vector cargas para cada eje de referencia. 4. Cálculo de desplazamientos nodales resolviendo el sistema de ecuaciones por

algún método matricial (Gauss Jordán, Cholesky, etc.) 5. Obtención de los elementos mecánicos o esfuerzos de cada elemento, a partir de

los desplazamientos ya calculados y de matriz de rigideces de cada elemento. 6. Y por ultimo la transformación del sistema local al global de referencia según

sea el caso.

OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDECES

Para el caso de armaduras se consideran barras unidimensionales con respecto a un sistema local de referencia como se muestra en la figura 2.1.1.1

L = X2 X1

X2 X1

Y

X

1 2

donde: L = Longitud de la barra. x1 y x2 = Coordenadas de los extremos de la barra.

Figura 2.1.1.1



Armaduras

Aproximadamente el campo de los desplazamientos por medio de un polinomio de orden uno sería de la siguiente manera:

x ) x ( U 2 1 α + α =

[ ]

α

α =

2

1 x 1 ) x ( U

U(x) = (P) (α) (2.1.1)

donde: U(x) = Campo de los desplazamientos. P = Vector Carga aplicado sobre la barra.

Se aplican las condiciones de frontera para x queda de la siguiente manera:

Para x = x1; 1 2 1 x ) x ( U α + α = Para x = x2; 2 2 1 x ) x ( U α + α =

En forma matricial se tiene:

α

α

=

2

1

2

1

2

1

x 1 x 1

) x ( U ) x ( U

Reduciendo queda:

[ ]

=

2

1

x 1 x 1

C

[ ] [ ] [ ] α = C U i

[ ] [ ] [ ] i 1 U C − = α (2.1.2)

Se sustituye (2.1.2) en (2.1.1)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] i i 1 U N U C P ) x ( U = = − (2.1.3)

Realizando operaciones se tiene:

[ ]

−

− =

−

−

− = −

1 1 x x

L 1

1 1 x x

) x x ( 1 C 1 2 1 2

1 2

1



Armaduras

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ) x x ( ) x x ( L 1

1 1 x x

L 1 x 1 C P N 1 2

1 2 1 + − − =

−

− = = −

L ) x x (

N 2 1

− =

L ) x x (

N 1 2

+ − =

En donde N1 y N2 son llamadas funciones de forma.

Las características de las funciones de forma (Ni) son:

1. Si x = x1 ; N1 = 1 y N2 = 0. Si x = x2 ; N1 = 0 y N2 = 1.

2. ∑ ∑ = =

= + = = 2

1 i 2 1 i

n

1 i i 1 N N N ; 1 N

Considerando ahora las ecuaciones DeformaciónDesplazamiento se tiene:

] U [ ] L [ ] [ o x u

x = ε ∂ ∂

= ε (2.1.4)

donde: 0 x

L = ∂ ∂

= ; Operador

pero ] U [ ] N [ U i = ; por lo tanto sustituyendo la ecuación (2.1.3) en (2.1.4) se tiene:

] U [ ] N [ ] L [ ] [ i = ε

Se considera que: ] B [ ] N [ ] L [ = se tiene:

] U [ ] B [ ] [ i = ε (2.1.5)

En este caso el valor de [B] se desarrolla como sigue:

[ ] ( ) ( ) [ ] x x x x L / 1 x

B 1 2 + − − ∂ ∂

=

derivando se tiene:

[ ] [ ] 1 1 L 1 B − =



Armaduras

y finalmente las deformaciones serian

[ ] [ ]

− = ε

2

1 x U

U 1 1

L 1

Ahora se aplican las ecuaciones de EsfuerzoDeformación en el caso general:

) ( Ex x ε = σ ; [ ] [ ][ ] ε = σ D (2.1.6)

donde: E = modulo de elasticidad. D =matriz de propiedades elásticas.

Sustituyendo la ecuación (2.1.5) en la (2.1.6) se tiene:

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

− = σ

= σ

2

i

i

U U

1 1 L 1 E x

U B D x

transformando esfuerzos a fuerzas se tiene:

[ ] [ ]

−

− = σ

− =

2

1

B D

A A

2

1

U U

1 1 L 1 E

1 1

A x 1 1

A P P

4 3 42 1 3 2 1 3 2 1 (2.1.7)

Reduciendo los términos A, B, y D en la matriz de Rigideces k se tiene:

L EA

1 1 1 1

k

−

− = (2.1.8)

por lo tanto:

−

− =

=

2

1

22 21

12 11

2

1

2

1

2

1

U U

k k k k

P P

U U

k P P

(2.1.9)



Armaduras

VENTAJAS Y DESVENTAJAS

1. Se observa que la matriz de Rigideces se obtuvo de la multiplicación de 3 matrices. Debe notarse que este triple producto matricial no garantiza una matriz k

simétrica, por tratarse de una transformación no congruente. La matriz D, es por naturaleza simétrica, las matrices A y B son formuladas

independientemente no garantizando la congruencia. Esta dificultad es salvada al forzar una transformación geométrica al sustituir

una matriz A por una transpuesta de la matriz B, justificándose esta operación desde el punto de vista energético.

2. No se aprecia el nivel de continuidad de los desplazamientos entre los elementos interconectados, la cual debe ser satisfecha por las funciones de forma del elemento escogido.

Para elementos más complicados es necesario establecer la continuidad de las derivadas de los desplazamientos.

3. Existe dificultad al manejar cargas distribuidas a lo largo de los elementos, deformaciones iniciales y otros fenómenos.

Nota: Tomando en cuenta que todo lo anterior es sólo para el sistema local, es decir, que esto no serviría para varios elementos en conjunto, se tendría que transformar la ecuación anterior al sistema global.



Armaduras

TRANSFORMACIÓN DEL SISTEMA LOCAL AL SISTEMA GLOBAL

En las figuras 2.1.1.2 y 2.1.1.3 se tiene el vector fuerza y el vector desplazamiento dentro de los sistemas local y global respectivamente.

β

P X'

Y' X

Y

P'y

P'x

De la figura 2.1.2 se tiene:

β β

=

sen P cos P

y ' P x ' P

y en forma matricial se tiene:

[ ] P sen cos

y ' P x ' P

β β

=

(2.1.10)

Llamando matriz de transformación a [T]:

[ ]

β β

= sen cos

T

[ ] [ ] [ ] P T ' P = (2.1.11)

Figura 2.1.1.2



Armaduras

β

β

U1

U2

U

X'

Y' X

Y

U'y

U'x

De la figura 2.1.1.3 se tiene:

[ ] [ ] 2 1 U U U + =

donde: U1 y U2 = son los desplazamientos en cada extremo.

[ ] [ ]

[ ] [ ] β =

β =

sen y ' U U

cos x ' U U

2

1

Por lo que: [ ] [ ] β ⋅ + β ⋅ = sen y ' U cos x ' U U

y en forma matricial se tiene:

[ ] [ ]

β β =

y ' U x ' U

sen cos U

Tomando en cuenta que [ ] β β = sen cos T T se reduce la ecuación de la manera siguiente:

[ ] [ ] [ ] ' U T U T = (2.1.12)

Figura 2.1.13



Armaduras

De la ecuación (2.1.9) se tiene:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 22 1 21 2

2 12 1 11 1

U k U k P

U k U k P

+ =

+ =

premultiplicando las ecuaciones anteriores por [T] queda:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 22 1 21 2

2 12 1 11 1

U k T U k T P T

U k T U k T P T

+ =

+ =

y sustituyendo las ecuaciones (2.1.11 y 2.1.12) se tiene:

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] 2 T

22 1 T

21 2

2 T

12 1 T

11 1

' U T k T ' U T k T ' P

' U T k T ' U T k T ' P

+ =

+ = (2.1.13)

en donde ahora podemos sustituir por:

[ ] [ ][ ] [ ] T T k T ' k =

[ ] [ ] β β

β β

= sen cos L EA

sen cos

' k

[ ]

β β • β β • β β

= 2

2

sen sen cos cos sen cos

L EA ' k

β β ⋅ β β − β ⋅ β − β ⋅ β β β ⋅ β − β −

β − β ⋅ β − β β ⋅ β β ⋅ β − β − β ⋅ β β

=

2 2

2 2

2 2

2 2

e

sen sen cos sen sen cos cos sen cos cos sen cos

sen sen cos sen sen cos cos sen cos cos sen cos

L EA k

sustituyendo a k' en (2.1.13):

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] 2 22 1 21 2

2 12 1 11 1

' U ' k ' U ' k ' P

' U ' k ' U ' k ' P

+ =

+ =

K’11 K’21

K’12 K’22



Armaduras

donde: P'1 = vector fuerza en el sistema global. U'1 y U'2 = vector deformación en el sistema global. k' = matriz de rigideces del sistema global.

ENSAMBLE DE LA MATRIZ DE RIGIDECES

En el ejemplo siguiente (figura 2.1.1.4) se muestra el ensamble de la matriz de rigideces en forma simbólica:

[ ] [ ] [ ] β β sen Uy Ux U ⋅ ⋅ = cos

Se inicia con las condiciones de compatibilidad y equilibrio del sistema estructural. Dado que los desplazamientos en el nodo 1 y 4 son equivalentes a 0, es decir, U1= 0 y U4 = 0, la compatibilidad en los nodos será de la siguiente manera:

Barra a: [U’1a] = 0, [U’2a] = U2. Barra b: [U’1b] = 0, [U’2b] = U3. Barra c: [U’1c] = 0, [U’2c] = U2. Barra d: [U’1d] = 0, [U’2d] = U3. Barra e: [U’1e] = U2, [U’2e] = U3.

y el equilibrio en los nodos es:

Nodo 2: [P2] = [P’2a]+[P’2c]+[P’1e]. Nodo 3: [P3] = [P’2b]+[P’2d]+[P’2e].

1

a

4

b

2

c

e

d

3

Y'

X'

P2 P3

U3 U2

Figura 2.1.1.4



Armaduras

Por lo tanto las ecuaciones fuerzadesplazamientos de cada barra son:

[P’1a]=[k’11a][U1] + [k’12a][U2] [P’2a]=[k’21a][U1] + [k’22a][U2] [P’1b]=[k’11b][U4] + [k’12b][U3] [P’2b]=[k’21b][U4] + [k’22b][U3] [P’1c]=[k’11c][U4] + [k’12c][U2]

[P’2c]=[k’21c][U4] + [k’22c][U2] [P’1d]=[k’11d][U1] + [k’12d][U3] [P’2d]=[k’21d][U1] + [k’22d][U3] [P’1e]=[k’11e][U2] + [k’12e][U3] [P’2e]=[k’21e][U2] + [k’22e][U3]

sustituyendo se tiene: [P’1a]=[k’11a][0] + [k’12a][U2] [P’2a]=[k’21a][0] + [k’22a][U2] [P’1b]=[k’11b][0] + [k’12b][U3] [P’2b]=[k’21b][0] + [k’22b][U3] [P’1c]=[k’11c][0] + [k’12c][U2]

[P’2c]=[k’21c][0] + [k’22c][U2] [P’1d]=[k’11d][0] + [k’12d][U3] [P’2d]=[k’21d][0] + [k’22d][U3] [P’1e]=[k’11e][U2] + [k’12e][U3] [P’2e]=[k’21e][U2] + [k’22e][U3]

Sustituyendo estas ecuaciones en las de equilibrio se ordena de tal forma que obtenemos:

[k’22a][U2] + [k’22c][U2] + [k’11e][U2] + [k’12e][U3] = [P2]

[k’21e][U2] + [k’22e][U3] + [k’22b][U3] + [k’22d][U3] = [P3]

Basándose en lo anterior se tiene que para la armadura se tienen dos grados de libertad por nodo, indicados en la figura 2.1.1.5. La matriz de rigideces de toda la estructura se obtiene sumando la matriz de rigidez de cada barra en los grados de libertad correspondientes.

Figura 2.1.1.5

1

a

2

4

b

e

c d

3

Ux1

Uy1

Uy2

Ux2

Uy3

Ux3

Uy4

Ux4



Armaduras

Nota: La zona sombreada de las tablas 2.1.1.12.1.1.6 se eliminan ya que no se considera desplazamiento en esos nodos, es decir:

Ux1=0 Uy1=0 Ux4=0 Uy4=0

Tabla 2.1.1.1 BARRA “a” Nodo 1 2 3 4 U

Ux1 1 Uy1 Ux2

2 Uy2 Ux3

3 Uy3 Ux4

4 Uy4

Es decir:

1 2 (EA/L)cos 2 β (EA/L)cos β∗sen β (EA/L)cos 2 β (EA/L)cos β∗sen β

1 (EA/L)cos β∗sen β (EA/L)sen 2 β (EA/L)cos β∗sen β (EA/L)sen 2 β (EA/L)cos 2 β (EA/L)cos β∗sen β (EA/L)cos 2 β (EA/L)cos β∗sen β

2 (EA/L)cos β∗sen β (EA/L)sen 2 β (EA/L)cos β∗sen β (EA/L)sen 2 β

Tabla 2.1.1.2 BARRA “b” Nodo 1 2 3 4 U

Ux1 1

Uy1 Ux2

2 Uy2 Ux3

3 Uy3 Ux4

4 Uy4

K’11a K’12a K’21a K’22a

K’22b K’21b K’11b K’12b



Armaduras

Tabla 2.1.1.3 BARRA “c” Nodo 1 2 3 4 U

Ux1 1

Uy1 Ux2

2 Uy2 Ux3

3 Uy3 Ux4

4 Uy4

Tabla 2.1.1.4 BARRA “d” Nodo 1 2 3 4 U

Ux1 1 Uy1 Ux2 2 Uy2 Ux3

3 Uy3 Ux4

4 Uy4

Tabla 2.1.1.5 BARRA “e” Nodo 1 2 3 4 U

Ux1 1

Uy1 Ux2

2 Uy2 Ux3

3 Uy3 Ux4

4 Uy4

K’22c K’21c

K’11c K’12c

K’11d K’12d

K’22d K’21d

K’11e K’12e K’22e K’21e



Armaduras

y finalmente el ensamble:

Tabla 2.1.1.6 Ensamble de la matriz K’ Nodo 1 2 3 4 U

Ux1 1 k11a’ + k11d’ k12a’ k12d’

Uy1 Ux2

2 k21a’ k11e’ + k22a’ +

k22c’ k12e’ k21c’

Uy2 Ux3

3 k21d’ k21e’ k22e’ + k22b’ +

k22d’ k21b’

Uy3 Ux4

4 k12c’ k12b’ k11b’ + k11c’ Uy4



Armaduras

EJEMPLO NUMÉRICO DE ARMADURAS

Se analizará la armadura que se muestra en la figura 2.1.2.1 por el método del elemento finito.

Como primer paso se obtendrá la Matriz del Vector Cargas:

−

−

−

=

=

4 0 6 0 4 0

y ' P x ' P y ' P x ' P y ' P x ' P

' P

4

4

3

3

2

2

en segundo lugar se obtendrá la matriz de Rigideces ubicada en la tabla 2.1.2.1:

Tabla 2.1.2.1 Ensamble de la matriz K’ Nodo 4 5 6 U

Ux4 4 h ' k c ' k a ' k 11 22 22 + + h ' k 12 0

Uy4 Ux5

5 h ' k 21 e ' k d ' k i ' k h ' k 22 22 11 22 + + + i ' k 12 Uy5 Ux6

6 0 i ' k 21 b ' k i ' k 22 22 + Uy6

1

a d

c

h

Y'

X'

b

e

i

f g

5m 5m

4m

4T 6T 4T

2 3

4 5 6

Figura 2.1.2.1



Armaduras

Las operaciones correspondientes a cada elemento se muestran en la tabla 2.1.2.2.

Tabla 2.1.2.2

Barra Longitud (m) EA β Sen β Sen 2 β Cos β Cos 2 β Sen β

Cos β a 4 Cte. 90 1 1 0 0 0 b 4 Cte. 90 1 1 0 0 0 c 6.40 Cte. 141.34 0.6247 0.3902 0.7809 0.6098 0.4878 d 4 Cte. 90 1 1 0 0 0 e 6.40 Cte. 141.34 0.6247 0.3902 0.7809 0.6098 0.4878 f 5 Cte. 0 0 0 1 1 0 g 5 Cte. 0 0 0 1 1 0 h 5 Cte. 0 0 0 1 1 0 i 5 Cte. 0 0 0 1 1 0

Y las submatrices son de la siguiente forma:

=

= =

4 / 1 0 0 0

EA 1 0 0 0

4 EA a ' k a ' k 22 11

por la similitud en la geometría se puede decir que:

a ' k d ' k d ' k a ' k b ' k b ' k

11 22 11

11 22 11

= = = =

−

− =

−

− = =

0609 . 0 07622 . 0 07622 . 0 0953 . 0

EA 3902 . 0 4878 . 0 4878 . 0 6098 . 0

40 . 6 EA c ' k c ' k 22 11

c ' k e ' k e ' k 11 22 11 = =

=

= =

0 0 0 2 . 0

EA 0 0 0 1

5 EA h ' k h ' k 22 11

h ' k i ' k i ' k g ' k g ' k h ' k f ' k f ' k

11 22 11 22 11

11 22 11

= = = = = =



Armaduras

− =

− = =

0 0 0 2 . 0

EA 0 0 0 1

5 EA h ' k h ' k 21 12

h ' k h ' k i ' k 12 21 12 = =

Ensamble de la matriz k’

− −

− − − −

− −

=

−

−

−

6 Uy 6 Ux 5 Uy 5 Ux 4 Uy 4 Ux

25 . 0 0 0 0 0 0 0 2 . 0 0 2 . 0 0 0 0 0 3109 . 0 07622 . 0 0 0 0 2 . 0 07622 . 0 4953 . 0 0 2 . 0 0 0 0 0 3109 . 0 07622 . 0 0 0 0 2 . 0 07622 . 0 2953 . 0

EA

4 0 6 0 4 0

Al resolver el sistema de ecuaciones, o sea, los desplazamientos de los nodos en el sistema global, se tiene:

EA 1

000 . 16 514 . 16 347 . 23 514 . 16 662 . 16 485 . 15

6 Uy 6 Ux 5 Uy 5 Ux 4 Uy 4 Ux

− − − − − −

=

Barra “a”

−

=

− −

= ⋅ =

=

− −

−

= ⋅ =

166 . 4 0

EA 1

662 . 16 485 . 15

25 . 0 0 0 0

EA U a ' k a ' P

166 . 4 0

EA 1

662 . 16 485 . 15

25 . 0 0 0 0

EA U a ' k a ' P

4 22 2

4 12 1



Armaduras

Barra “b”

−

=

− −

= ⋅ =

=

− −

−

= ⋅ =

00 . 4 0

EA 1

000 . 16 514 . 16

25 . 0 0 0 0

EA 6 U b ' k b ' P

00 . 4 0

EA 1

000 . 16 514 . 16

25 . 0 0 0 0

EA 6 U b ' k b ' P

22 2

12 1

Barra “c”

− =

− −

−

− = ⋅ =

−

=

− −

−

− = ⋅ =

166 . 0 205 . 0

EA 1

662 . 16 485 . 15

0609 . 0 07622 . 0 07622 . 0 0953 . 0

EA U c ' k c ' P

166 . 0 205 . 0

EA 1

662 . 16 485 . 15

0609 . 0 07622 . 0 07622 . 0 0953 . 0

EA U c ' k c ' P

4 22 2

4 12 1

Barra “d”

−

=

− −

= ⋅ =

=

− −

−

= ⋅ =

836 . 5 0

EA 1

347 . 23 514 . 16

25 . 0 0 0 0

EA U d ' k d ' P

836 . 5 0

EA 1

347 . 23 514 . 16

25 . 0 0 0 0

EA U d ' k d ' P

5 22 2

5 12 1

Barra “e”

−

=

− −

−

− = ⋅ =

− =

− −

−

− = ⋅ =

166 . 0 205 . 0

EA 1

347 . 23 514 . 16

0609 . 0 07622 . 0 07622 . 0 0953 . 0

EA U e ' k e ' P

166 . 0 205 . 0

EA 1

347 . 23 514 . 16

0609 . 0 07622 . 0 07622 . 0 0953 . 0

EA U e ' k e ' P

5 22 2

5 12 1

Barra “h”

− =

− −

+

− −

− = ⋅ + ⋅ =

=

− −

− +

− −

= ⋅ + ⋅ =

0 205 . 0

EA 1

347 . 23 514 . 16

0 0 0 2 . 0

EA EA 1

662 . 16 485 . 15

0 0 0 2 . 0

EA U h ' k U h ' k h ' P

0 205 . 0

EA 1

347 . 23 514 . 16

0 0 0 2 . 0

EA EA 1

662 . 16 485 . 15

0 0 0 2 . 0

EA U h ' k U h ' k h ' P

5 22 4 21 2

5 12 4 11 1



Armaduras

Barra “i”

=

− −

+

− −

− = ⋅ + ⋅ =

=

− −

− +

− −

= ⋅ + ⋅ =

0 0

EA 1

00 . 16 514 . 16

0 0 0 2 . 0

EA EA 1

347 . 23 514 . 16

0 0 0 2 . 0

EA U i ' k U i ' k h ' P

0 0

EA 1

00 . 16 514 . 16

0 0 0 2 . 0

EA EA 1

347 . 23 514 . 16

0 0 0 2 . 0

EA U i ' k U i ' k h ' P

6 22 5 21 2

6 12 5 11 1

FUERZAS EN EL SISTEMA LOCAL

P = [T] T P’; [ ] [ ] β β = sen cos T T

Barra “a”

[ ] [ ] [ ] [ ] 166 . 4 166 . 4 0

1 0 4.166 166 . 4 0

1 0 2 1 − =

−

= =

= a P a P

Barra “b”

[ ] [ ] [ ] [ ] 4 4 0

1 0 4 4 0

1 0 2 1 − =

−

= =

= a P b P

Barra “c”

[ ] [ ] [ ] [ ] 264 . 0 166 . 0 205 . 0

6247 . 0 7809 . 0 ; 264 . 0 166 . 0 205 . 0

6247 . 0 7809 . 0 2 1 =

− − = − =

−

− = c P c P

Barra “d”

[ ] [ ] [ ] [ ] 836 . 5 836 . 5 0

1 0 836 . 5 836 . 5 0

1 0 2 1 − =

−

= =

= d P d P

Barra “e”

[ ] [ ] [ ] [ ] 262 . 0 163 . 0 205 . 0

6247 . 0 7809 . 0 ; 262 . 0 163 . 0 205 . 0

6247 . 0 7809 . 0 2 1 − =

−

− = =

− − = e P e P



Armaduras

Barra “h”

[ ] [ ] [ ] [ ] 205 . 0 0 205 . 0

0 1 205 . 0 0 205 . 0

0 1 2 1 − =

− = =

= h P h P

COMPROBACIÓN

En la figura 2.1.2.2 se muestra el equilibrio de fuerzas del nodo numero 4.

0 ) 66 . 38 ( 264 . 0 166 . 4 4

0 ) 66 . 38 cos( 264 . 0 205 . 0

= ⋅ − + − =

= ⋅ + − =

∑ ∑

sen Fy

Fx

En la figura 2.1.2.3 se muestra el equilibrio de fuerzas del nodo numero 5.

0 ) 66 . 38 ( 264 . 0 836 . 5 6

0 ) 66 . 38 cos( 262 . 0 205 . 0

= ⋅ − + − =

= ⋅ + =

∑ ∑

sen Fy

Fx

4

4T

38.66°

4.166T 0.264T

0.205T

0.262T

5.836T

6T

5

38.66°

0.205T i

Figura 2.1.2.2

Figura 2.1.2.3



Elementos Rectangulares


Matr iz de r igideces para Elementos Rectangulares.

Desplazamientos.

Obtención de Esfuer zos.

Ejemplo Numér ico.





ELEMENTOS RECTANGULARES

OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDECES PARA UN ELEMENTO RECTANGULAR

(0, 0) (a, 0)

(a, b) (0, b)

X

Y

Nuevamente se plantea el campo de los desplazamientos usando la figura 2.3.3.

[ ] [ ]

α

α

=

α

α

=

α

=

α α α α α α α α

=

α + α + α + α =

α + α + α + α =

8

1

2 2

2 2

8

1

1 1

1 1

i

8

7

6

5

4

3

2

1

8 7 6 5

4 3 2 1

0 0 a 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a 1

) y , x ( V ) y , x ( U

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

) y , x ( V ) y , x ( U

(1) P 0 0 P

U

xy y x 1 0 0 0 0 0 0 0 0 xy y x 1

V U

xy y x V xy y x U

M

M

Figura 2.3.3




[ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

b V V

b V

b V

b U U

b U b U

ab b a V ab b a U

a V V

a V

a V

a U U

a U

a U

V V U U

: C de Calculo

(3) V U

C P 0 0 P

U

: (1) en (2) ecuación la do Sustituyen

(2) V U

C C V U

0 b 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 1 ab b a 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ab b a 1 0 0 a 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

) y , x ( V ) y , x ( U ) y , x ( V ) y , x ( U ) y , x ( V ) y , x ( U ) y , x ( V ) y , x ( U

: tiene se Resumiendo

0 b 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 b 0 1

) y , x ( U ) y , x ( U

ab b a 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ab b a 1

) y , x ( U ) y , x ( U

1 4 5 4 7 7 5 4

1 4 1 4 3 3 1 4

8 7 6 5 3

4 3 2 1 3

1 2 5 2 6 6 5 2

1 2 1 2 2 2 1 2

1 5 5 1

1 1 1 1

1

i

i

N

8 8 1

8 2

i

i 1 i i

i

i

8

7

6

5

4

3

2

1

4 4

4 4

3 3

3 3

2 2

2 2

1 1

1 1

8

1

4 4

4 4

8

1

3 3

3 3

− =

α − = α ⇒ α + α =

− =

α − = α ⇒ α + α =

α + α + α + α = α + α + α + α =

− =

α − = α ⇒ α + α =

− =

α − = α ⇒ α + α =

= α ⇒ α = = α ⇒ α =

=

= α ⇒ α =

α α α α α α α α

=

α

α

=

α

α

=

−

× −

×

−

4 4 3 4 4 2 1

M

M




[ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] ∫∫ =

=

=

=

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

= ∈

= ∈

− −

−

−

− −

−

−

=

+ − − =

+ − + − − =

α − α − α − = α

+ − − = α

−

−

−

− − =

α − α − α − = α

−

−

−

dA B D B t ke

B C P L Producto

y 0 1 0 x 1 0 0 x 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y 0 1 0

xy y x 1 0 0 0 0 0 0 0 0 xy y x 1

x y

y 0

0 x

P 0 0 P

L Producto

(5) V U

C P 0 0 P

L

: tiene se (4) la en (3) ecuación la do Sustituyen

(4) U L : Además

ab 1 0 ab

1 0 ab 1 0 ab

1 0 b 1 0 0 0 0 0 b

1 0

0 0 0 0 a 1 0 a

1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ab

1 0 ab 1 0 ab

1 0 ab 1

0 b 1 0 0 0 0 0 b

1 0 0 0 0 0 a

1 0 a 1

0 0 0 0 0 0 0 1

C

ab V V V V

ab V V V V V V

ab b a V

ab U U U U

ab b U U

b a U U

a U U

ab b a U

T

1

i

i 1

1

1 4 2 3 1 4 1 2 1 3 7 6 5 3 8

1 4 2 3 4

1 4 1 2 1 3

3 2 1 3 4




[ ]

[ ]

=

=

− + − − + − + −

− − + −

− − + −

=

33

22 21

12 11

3

2

2

1

d 0 0 0 d d 0 d d

d 0 0 0 1 d 0 d 1

d D

ab y

ab x

b 1

ab y

ab x

ab y

a 1

ab x

ab y

a 1

ab x

b 1

ab x

b 1 0 ab

x 0 ab x 0 ab

x b 1 0

0 ab y 0 ab

y 0 ab y

a 1 0 ab

y a 1

B

1 − a

y a b ⋅ ( )

+

0

1 a

y a b ⋅ ( )

−

0

y a b ⋅ ( )

0

y − a b ⋅ ( )

0

0

1 − b

xa b ⋅ ( )

+

0

x − a b ⋅ ( )

0

xa b ⋅ ( )

0

1 b

xa b ⋅ ( )

−

1 − b

xa b ⋅ ( )

+

1 − a

y a b ⋅ ( )

+

x − a b ⋅ ( )

1 a

y a b ⋅ ( )

−

xa b ⋅ ( )

y a b ⋅ ( )

1 b

xa b ⋅ ( )

−

y − a b ⋅ ( )

d 11

d 21

0

d 12

d 22

0

0

0

d 33

⋅

b y − ( ) − d 11 a b ⋅ ( )

⋅

a x − ( ) − d 21 a b ⋅ ( )

⋅

b y − ( ) d 11 a b ⋅ ( )

⋅

x − a b ⋅ ( )

d 21 ⋅

ya b ⋅ ( )

d 11 ⋅

xa b ⋅ ( )

d 21 ⋅

y − a b ⋅ ( )

d 11 ⋅

a x − ( ) d 21 a b ⋅ ( )

⋅

b y − ( ) − d 12 a b ⋅ ( )

⋅

a x − ( ) − d 22 a b ⋅ ( )

⋅

b y − ( ) d 12 a b ⋅ ( )

⋅

x − a b ⋅ ( )

d 22 ⋅

ya b ⋅ ( )

d 12 ⋅

xa b ⋅ ( )

d 22 ⋅

y − a b ⋅ ( )

d 12 ⋅

a x − ( ) d 22 a b ⋅ ( )

⋅

a x − ( ) − d 33 a b ⋅ ( )

⋅

b y − ( ) − d 33 a b ⋅ ( )

⋅

x − a b ⋅ ( )

d 33 ⋅

b y − ( ) d 33 a b ⋅ ( )

⋅

xa b ⋅ ( )

d 33 ⋅

ya b ⋅ ( )

d 33 ⋅

a x − ( ) d 33 a b ⋅ ( )

⋅

y − a b ⋅ ( )

d 33 ⋅

1 − a

ya b ⋅

+

0

1 − b

xa b ⋅

+

0

1 − b

xa b ⋅

+

1 − a

ya b ⋅

+

1 a

ya b ⋅

−

0

x − a b ⋅

0

x − a b ⋅

1 a

ya b ⋅

−

ya b ⋅

0

xa b ⋅

0

xa b ⋅

ya b ⋅

y − a b ⋅

0

1 b

xa b ⋅

−

0

1 b

xa b ⋅

−

y a b ⋅

−

⋅




[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

( )

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) a / b p ; b / a p : donde

p d 4 p d 4 12 t

b 3 a td a 3

b td k b a 3

a ab 2

a 2 b

a td a 3 bx td b a 3

x ab 2

x 2 a

x td dx a 3 b td k

dx b a

x ab

x 2 b 1 td dx

b a 3 b

b a 2 b 2

a b td k

dx b a

b x ab

xb 2 b

b td dx b a 3

y ab 2

y 2 a

y td k

dy dx ab y x

ab xy 2

b y d t dy dx b a

y b a

y 2 a 1 d t k

dy dx ab x

b 1 d t dy dx ab

y a 1 d t k

: ejemplo Por ke B D B

: producto el Finalmente

1

33 1

11 33 11 11

2 3 2

33

a

0 2 11

a

0 2

3 2

33

a

0 2 11 11

a

0 2 2

33

a

0

b

0 2 2

3 2

2 2 11 11

a

0 2 2 2

2 2 33

a

0

b

0 2 2

3 2

2 11 11

a

0

b

0 2

2

2

2

33

a

0

b

0 2 2

2

2 2 11 11

a

0

b

0

2

33

a

0

b

0

2

11 11

8 8 8 3 3 8 T

= =

+ = + =

+ − + = + − + =

+ − + + − =

+ − +

+ − =

+ − +

+ − =

+ − +

+ − =

=

−

−

× × ×

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

[ ]

+

−

−

−

−

−

−

+

+

−

+

−

−

−

+

+

−

+

−

+

−

−

−

−

−

+

−

+

+

+

−

−

−

−

−

−

−

+

−

+

+

+

−

−

−

−

−

−

−

−

+

+

−

+

−

+

−

−

−

−

+

−

−

−

−

−

−

+

+

−

+

−

+

−

−

−

−

−

−

−

+

−

+

+

+

−

−

−

−

−

−

−

+

−

+

+

=

− − − −

− − − −

− − − −

− − − −

− − − −

− − − −

− − − −

− − − −

1 33

22

33

12 1

33

22

33

21 1

33

22

33

12 1

33

22

33

12

33

12

33

1 11

33

21

33

1 11

33

21

33

1 11

33

21

33

1 11

1 33

22

33

21 1

33

22

33

12 1

33

22

33

12 1

33

22

33

12

33

21

33

1 11

33

12

33

1 11

33

12

33

1 11

33

21

33

1 11

1 33

22

33

21 1

33

22

33

12 1

33

22

33

12 1

33

22

33

12

33

12

33

1 11

33

12

33

1 11

33

12

33

1 11

33

21

33

1 11

1 33

22

33

21 1

33

22

33

21 1

33

22

33

21 1

33

22

33

12

33

12

33

1 11

33

12

33

1 11

33

12

33

1 11

33

12

33

1 11

p d 4

p d 4 d 3 d 3

p d 4

p d 2 d 3 d 3

p d 2

p d 2 d 3 d 3

p d 2

p d 4 d 3 d 3

d 3 d 3

p d 4 p d 4

d 3 d 3

p d 2 p d 4

d 3 d 3

p d 2 p d 2

d 3 d 3

p d 4 p d 2

p d 4

p d 2 d 3 d 3

p d 4

p d 4 d 3 d 3

p d 2

p d 4 d 3 d 3

p d 2

p d 2 d 3 d 3

d 3 d 3

p d 2 p d 4

d 3 d 3

p d 4 p d 4

d 3 d 3

p d 4 p d 2

d 3 d 3

p d 2 p d 2

p d 2

p d 2 d 3 d 3

p d 2

p d 4 d 3 d 3

p d 4

p d 4 d 3 d 3

p d 4

p d 2 d 3 d 3

d 3 d 3

p d 2 p d 2

d 3 d 3

p d 4 p d 2

d 3 d 3

p d 4 p d 4

d 3 d 3

p d 2 p d 4

p d 2

p d 4 d 3 d 3

p d 2

p d 2 d 3 d 3

p d 4

p d 2 d 3 d 3

p d 4

p d 4 d 3 d 3

d 3 d 3

p d 4 p d 2

d 3 d 3

p d 2 p d 2

d 3 d 3

p d 2 p d 4

d 3 d 3

p d 4 p d 4

12 t ke

DB

d 11 − b y − ( ) a b ⋅ ( )

⋅

d 21 − b y − ( ) a b ⋅ ( )

⋅

d 33 − a x − ( ) a b ⋅ ( )

⋅

d 12 − a x − ( ) a b ⋅ ( )

⋅

d 22 − a x − ( ) a b ⋅ ( )

⋅

d 33 − b y − ( ) a b ⋅ ( )

⋅

d 11 b y − ( ) a b ⋅ ( )

⋅

d 21 b y − ( ) a b ⋅ ( )

⋅

d 33 − xa b ⋅ ( )

⋅

d 12 − xa b ⋅ ( )

⋅

d 22 − xa b ⋅ ( )

⋅

d 33 b y − ( ) a b ⋅ ( )

⋅

d 11 ya b ⋅ ( )

⋅

d 21 ya b ⋅ ( )

⋅

d 33 xa b ⋅ ( )

⋅

d 12 xa b ⋅ ( )

⋅

d 22 xa b ⋅ ( )

⋅

d 33 ya b ⋅ ( )

⋅

d 11 − ya b ⋅ ( )

⋅

d 21 − ya b ⋅ ( )

⋅

d 33 a x − ( ) a b ⋅ ( )

⋅

d 12 a x − ( ) a b ⋅ ( )

⋅

d 22 a x − ( ) a b ⋅ ( )

⋅

d 33 − y a b ⋅ ( )

⋅

:=

i j k l

i

j

k

l




EJEMPLO NUMÉRICO DE ELEMENTOS RECTANGULARES

Analizar, estructuralmente, la siguiente placa plana (figura2.3.3) y obtener los esfuerzos en cada nodo por el método del elemento finito.

X 1 2 3

7 8 9

i 4

60 cm 60 cm

60 cm

60 cm

Y

k

j

l

D C

B A

5

i

l k

j i

l k

j

i

l k

j 6

15kg/cm2

Propiedades del elemento: 2

2 6 cm 3600 A cm 1 . 0 t

4 1

cm kg 10 10 E = = = α × =

donde: E = modulo de elasticidad. α = modulo de poisson. t = 0.1 cm.

Figura 2.3.3




Repartición de fuerzas sobre los nodos.

Nodo 9 ( )( )( ) kg 45 cm 30 cm 1 . 0 cm kg 15 Fza 2 = =



de la matriz [D] obtenemos los valores de los siguientes parámetros:

=

=

=

= −

= α −

=

= α =

= −

× =

α − =

000 , 000 , 4 0 0 0 67 . 666 , 666 , 10 67 . 666 , 666 , 2 0 67 . 666 , 666 , 2 67 . 666 , 666 , 10

d 0 0 0 d d 0 d d

d 0 0 0 1 d 0 d 1

d D

375 . 0 2 25 . 0 1

2 1 d

25 . 0 d

67 . 666 , 666 , 10 ) 25 . 0 ( 1

10 10 1 E d

33

22 21

12 11

3

2

2

1

3

2

2

6

2 1

tomando en cuenta que:

1 p y 1 b a p 60 b ; 60 a 1 = = = ∴ = = −

Ahora podemos hacer el calculo de la matriz de rigideces de cada elemento. Y debido a la geometría de los elementos se puede hacer la siguiente igualdad.

Elemento “A”=“B”=“C”=“D”

k e

4.889 10 5 ×

1.667 10 5 ×

2.889 − 10 5 ×

3.333 − 10 4 ×

2.444 − 10 5 ×

1.667 − 10 5 ×

4.444 10 4 ×

3.333 10 4 ×

1.667 10 5 ×

4.889 10 5 ×

3.333 10 4 ×

4.444 10 4 ×

1.667 − 10 5 ×

2.444 − 10 5 ×

3.333 − 10 4 ×

2.889 − 10 5 ×

2.889 − 10 5 ×

3.333 10 4 ×

4.889 10 5 ×

1.667 − 10 5 ×

4.444 10 4 ×

3.333 − 10 4 ×

2.444 − 10 5 ×

1.667 10 5 ×

3.333 − 10 4 ×

4.444 10 4 ×

1.667 − 10 5 ×

4.889 10 5 ×

3.333 10 4 ×

2.889 − 10 5 ×

1.667 10 5 ×

2.444 − 10 5 ×

2.444 − 10 5 ×

1.667 − 10 5 ×

4.444 10 4 ×

3.333 10 4 ×

4.889 10 5 ×

1.667 10 5 ×

2.889 − 10 5 ×

3.333 − 10 4 ×

1.667 − 10 5 ×

2.444 − 10 5 ×

3.333 − 10 4 ×

2.889 − 10 5 ×

1.667 10 5 ×

4.889 10 5 ×

3.333 10 4 ×

4.444 10 4 ×

4.444 10 4 ×

3.333 − 10 4 ×

2.444 − 10 5 ×

1.667 10 5 ×

2.889 − 10 5 ×

3.333 10 4 ×

4.889 10 5 ×

1.667 − 10 5 ×

3.333 10 4 ×

2.889 − 10 5 ×

1.667 10 5 ×

2.444 − 10 5 ×

3.333 − 10 4 ×

4.444 10 4 ×

1.667 − 10 5 ×

4.889 10 5 ×

=




DB

8.889 − 10 4 ×

2.222 − 10 4 ×

3.333 − 10 4 ×

2.222 − 10 4 ×

8.889 − 10 4 ×

3.333 − 10 4 ×

8.889 10 4 ×

2.222 10 4 ×

3.333 − 10 4 ×

2.222 − 10 4 ×

8.889 − 10 4 ×

3.333 10 4 ×

8.889 10 4 ×

2.222 10 4 ×

3.333 10 4 ×

2.222 10 4 ×

8.889 10 4 ×

3.333 10 4 ×

8.889 − 10 4 ×

2.222 − 10 4 ×

3.333 10 4 ×

2.222 10 4 ×

8.889 10 4 ×

3.333 − 10 4 ×

=

Tabla 2.3.3.3 Ensamble de la matriz k total Nodos 2 3 5 6 8 9

2 B k A k ii jj + B k ij b k A k il jk + B k ik 0 0

3 B k ji B k jj B k jl B k jk 0 0

5 B k A k li kj + B k lj D k C k B k A k

jj ii

ll kk

+ + +

C k B k ij lk + D k C k jk il + C k ik

6 B k ki B k kj C k B k ji kl + C k B k jj kk + C k jl C k jk

8 0 0 D k C k kj li + C k lj D k C k kk ll + C k lk

9 0 0 C k ki C k kj C k kl C k kk

P

0

0

45

0

0

0

90

0

0

0

45

0

:= y resolviendo el sistema

Ux 2

Uy 2

Ux 3

Uy 3

Ux 5

Uy 5

Ux 6

Uy 6

Ux 8

Uy 8

Ux 9

Uy 9

0.00009

0.00002

0.00018

0.00002

0.00008

0

0.00018

0

0.00009

0.00002 −

0.00018

0.00002 −

:=




Ux 2

Uy 2

Ux 3

Uy 3

Ux 5

Uy 5

Ux 6

Uy 6

Ux 8

Uy 8

Ux 9

Uy 9

0 0 0 0

1.67E

+05

2.44E

+05

3.33E

+04

2.89E

+05

3.33E+

04

4.44E+

04

1.67E+

05

4.89E+

05

9

0 0 0 0

2.44E

+05

1.67E

+05

4.44E+

04

3.33E+

04

2.89E

+05

3.33E

+04

4.89E+

05

1.67E+

05

0 0 0 0 0

5.78E

+05

1.67E+

05

2.44E

+05

0

9.78E+

05

3.33E

+04

4.44E+

04

8

0 0 0 0

8.89E+

04

0

2.44E

+05

1.67E+

05

9.78E+

05

0

2.89E

+05

3.33E+

04

1.67E

+05

2.44E

+05

3.33E

+04

2.89E

+05

0

8.89E+

04

0

9.78E+

05

1.67E+

05

2.44E

+05

3.33E+

04

2.89E

+05

6

2.44E

+05

1.67E

+05

4.44E+

04

3.33E+

04

5.78E

+05

0

9.78E+

05

0

2.44E

+05

1.67E+

05

4.44E+

04

3.33E

+04

0

5.78E

+05

1.67E+

05

2.44E

+05

0

1.96E+

06

0

8.89E+

04

0

5.78E

+05

1.67E

+05

2.44E

+05

5

8.89E+

04

0

2.44E

+05

1.67E+

05

1.96E+

06

0

5.78E

+05

0

8.89E+

04

0

2.44E

+05

1.67E

+05

3.33E

+04

4.44E+

04

1.67E

+05

4.89E+

05

1.67E+

05

2.44E

+05

3.33E+

04

2.89E

+05

0 0 0 0

3

2.89E

+05

3.33E+

04

4.89E+

05

1.67E

+05

2.44E

+05

1.67E+

05

4.44E+

04

3.33E

+04

0 0 0 0

0

9.78E+

05

3.33E+

04

4.44E+

04

0

5.78E

+05

1.67E

+05

2.44E

+05

0 0 0 0

2

9.78E+

05

0

2.89E

+05

3.33E

+04

8.89E+

04

0

2.44E

+05

1.67E

+05

0 0 0 0

Tabla 2.3.3.4 Ensam

ble numérico de la matriz k to

tal

Nodo

2 3 5 6 8 9




CALCULO DE ESFUERZOS

Elemento “A”

σx

σy

σxy

8.889 − 10 4 ×

2.222 − 10 4 ×

3.333 − 10 4 ×

2.222 − 10 4 ×

8.889 − 10 4 ×

3.333 − 10 4 ×

8.889 10 4 ×

2.222 10 4 ×

3.333 − 10 4 ×

2.222 − 10 4 ×

8.889 − 10 4 ×

3.333 10 4 ×

8.889 10 4 ×

2.222 10 4 ×

3.333 10 4 ×

2.222 10 4 ×

8.889 10 4 ×

3.333 10 4 ×

8.889 − 10 4 ×

2.222 − 10 4 ×

3.333 10 4 ×

2.222 10 4 ×

8.889 10 4 ×

3.333 − 10 4 ×

0

0

0.00009

0.00002

0.00008

0

0

0

⋅ :=

σx

σy

σxy

14.667

2

0.333

=

Elemento “B”

σx

σy

σxy

8.889 − 10 4 ×

2.222 − 10 4 ×

3.333 − 10 4 ×

2.222 − 10 4 ×

8.889 − 10 4 ×

3.333 − 10 4 ×

8.889 10 4 ×

2.222 10 4 ×

3.333 − 10 4 ×

2.222 − 10 4 ×

8.889 − 10 4 ×

3.333 10 4 ×

8.889 10 4 ×

2.222 10 4 ×

3.333 10 4 ×

2.222 10 4 ×

8.889 10 4 ×

3.333 10 4 ×

8.889 − 10 4 ×

2.222 − 10 4 ×

3.333 10 4 ×

2.222 10 4 ×

8.889 10 4 ×

3.333 − 10 4 ×

0.00009

0.00002

0.00018

0.00002

0.00018

0

0.00008

0

⋅ :=

σx

σy

σxy

16

0.666

0.333 −

=

Elemento “C”

σx

σy

σxy

8.889 − 10 4 ×

2.222 − 10 4 ×

3.333 − 10 4 ×

2.222 − 10 4 ×

8.889 − 10 4 ×

3.333 − 10 4 ×

8.889 10 4 ×

2.222 10 4 ×

3.333 − 10 4 ×

2.222 − 10 4 ×

8.889 − 10 4 ×

3.333 10 4 ×

8.889 10 4 ×

2.222 10 4 ×

3.333 10 4 ×

2.222 10 4 ×

8.889 10 4 ×

3.333 10 4 ×

8.889 − 10 4 ×

2.222 − 10 4 ×

3.333 10 4 ×

2.222 10 4 ×

8.889 10 4 ×

3.333 − 10 4 ×

0.00008

0

0.00018

0

0.00018

0.00002 −

0.00009

0.00002 −

⋅ :=

σx

σy

σxy

16

0.666

0.333

=




Elemento “D”

σx

σy

σxy

8.889 − 10 4 ×

2.222 − 10 4 ×

3.333 − 10 4 ×

2.222 − 10 4 ×

8.889 − 10 4 ×

3.333 − 10 4 ×

8.889 10 4 ×

2.222 10 4 ×

3.333 − 10 4 ×

2.222 − 10 4 ×

8.889 − 10 4 ×

3.333 10 4 ×

8.889 10 4 ×

2.222 10 4 ×

3.333 10 4 ×

2.222 10 4 ×

8.889 10 4 ×

3.333 10 4 ×

8.889 − 10 4 ×

2.222 − 10 4 ×

3.333 10 4 ×

2.222 10 4 ×

8.889 10 4 ×

3.333 − 10 4 ×

0

0

0.00008

0

0.00009

0.00002 −

0

0

⋅ :=

σx

σy

σxy

14.667

2

0.333 −

=

Nota: Los esfuerzos calculados se consideran como constantes en toda la placa.



Elementos Triangulares


Matr iz de r igideces para Elementos Tr iangulares.

Desplazamientos.

Obtención de Esfuer zos .

Ejemplo Numér ico.





SECUENCIA PARA LA OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDECES DE UN ELEMENTO TRIANGULAR Y RECTANGULAR.

1. Escoger las coordenadas y numeración adecuada.

2. Escoger la función desplazamiento [f(x, y)] que definen el desplazamiento [U(x, y)] en algún punto dentro de un elemento en un problema con geometría bidimensional. El estado de desplazamiento en algún punto (x, y) dentro del elemento puede ser representado por dos componentes U y V.

3. Escoger el estado de desplazamiento [Ui (x, y)] en algún punto dentro del elemento en términos de los desplazamientos de los nodos [Ui] y representarlo en estos.

4. Relacionar las deformaciones [∈ (x, y)] en cualquier punto con los desplazamientos [Ui (x, y)] y posteriormente con los desplazamientos de los nodos [Ui].

5. Relación de los esfuerzos internos [σ (x, y)] a las deformaciones [∈ (x, y)] y desplazamientos de los nodos [Ui].

6. Relación de los esfuerzos internos [σ (x, y)] con la fuerza estáticamente equivalente en los nodos [P] y relación de esta y los desplazamientos en cada nodo [Ui]. En base a lo anterior se obtiene la matriz de rigideces [ke].

7. Establecer la matriz esfuerzodesplazamiento [DB].




ELEMENTOS TRIANGULARES

OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDECES PARA ELEMENTOS TRIANGULARES

X

Y

(X3,Y3)

(X2, Y2)

(X1, Y1)

Con la figura 2.3.1.1 se observa que el campo de los desplazamientos es:

) y ( ) x ( ) y , x ( V ) y ( ) x ( ) y , x ( U

6 5 4

3 2 1

α + α + α = α + α + α =

y en forma matricial:

α α α α α α

=

6

5

4

3

2

1

y x 1 0 0 0 0 0 0 y x 1

) y , x ( V ) y , x ( U

[ ] [ ] [ ] y x 1 P : donde de ; P 0 0 P

) y , x ( V ) y , x ( U

i = α

=

(2.3.1)

Condiciones de frontera:

) y ( ) x ( ) y , x ( V ) y ( ) x ( ) y , x ( U

1 6 1 5 4 1 1 1

1 3 1 2 1 1 1 1

α + α + α = α + α + α =

) y ( ) x ( ) y , x ( V ) y ( ) x ( ) y , x ( U

2 6 2 5 4 2 2 2

2 3 2 2 1 2 2 2

α + α + α = α + α + α =

Figura 2.3.1.1




) y ( ) x ( ) y , x ( V ) y ( ) x ( ) y , x ( U

3 6 3 5 4 3 3 3

3 3 3 2 1 3 3 3

α + α + α = α + α + α =

En forma matricial se tiene:

α α α α α α

=

6

5

4

3

2

1

3 3

2 2

1 1

3 3

2 2

1 1

3

2

1

3

2

1

y x 1 0 0 0 y x 1 0 0 0 y x 1 0 0 0 0 0 0 y x 1 0 0 0 y x 1 0 0 0 y x 1

V V V U U U

o también:

[ ] i i

i

C 0 0 C

V U

α

=

despejando se tiene:

[ ]

= α

−

−

i

i 1

1

i V U

C 0 0 C

(2.3.2)

Sustituyendo la ecuación (2.3.2) en (2.3.1) se tiene:

=

−

−

i

i 1

1

V U

C 0 0 C

P 0 0 P

) y , x ( V ) y , x ( U

(2.3.3)

Pero [C] = 2A, donde A es el área del triangulo, es decir:

= −

3 2 1

3 2 1

3 2 1 1

c c c b b b a a a

A 2 1 C

donde:

j k i

k j i

k j k j i

x x c

y y b x y y x a

− =

− =

− = i, j , k =1, 2, 3.




Considerando que existe la relación: [ ] [ ] [ ] U L = ∈ (2.3.4)

donde:

[ ]

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

=

x y

y 0

0 x L (2.3.5)

Se sustituye la ecuación (2.3.3) en (2.3.4)

[ ] [ ]

= ∈

−

−

i

i

N

1

1

V U

C 0 0 C

P 0 0 P

L 4 4 4 3 4 4 4 2 1

[ ]

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

= ∈

3

2

1

3

2

1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

V V V U U U

c c c 0 0 0 b b b 0 0 0 a a a 0 0 0 0 0 0 c c c 0 0 0 b b b 0 0 0 a a a

A 2 1

y x 1 0 0 0 0 0 0 y x 1

x y

y 0

0 x

[ ]

=

∈ ∈

= ∈

3

2

1

3

2

1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

V V V U U U

c c c 0 0 0 b b b 0 0 0 a a a 0 0 0 0 0 0 c c c 0 0 0 b b b 0 0 0 a a a

A 2 1

0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

xy y x

[ ]

= ∈

3

2

1

3

2

1

B

3 2 1 3 2 1

3 2 1

3 2 1

V V V U U U

b b b c c c c c c 0 0 0 0 0 0 b b b

A 2 1

4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 2 1

Finalmente:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] B D B A t dA B D B t dA B D B t dvol B D B k T T T

vol

T e ∫ ∫ ∫ = = = =




=

3

2

2

1

d 0 0 0 1 d 0 d 1

d D

a) Estado plano de esfuerzos ( ) 0 Z = σ

2 1 1 E d α −

=

α = 1 d

2 1 d 1

α − =

b) Estado plano de deformaciones ( ) 0 Z = ∈ ( ) unitario t =

( ) ( )( ) α − α +

α − =

2 1 1 1 E d 1

α − α

= 1

d 1

( ) α − α −

= 1 2 2 1 d 1

Haciendo operaciones:

=

=

3 2 1

3 2 1

3 2 1

3 3

2 2

1 1

c c c b b b a a a

C Cofactor y x 1 y x 1 y x 1

C

− − − − − − − − −

=

1 2 2 1 2 1 2 1

3 1 1 3 1 3 1 3

2 3 3 2 3 2 3 2

x x y y x y y x x x y y x y y x x x y y x y y x

C Cofactor

− − − − − − − − −

=

1 2 3 1 2 3

2 1 1 3 3 2

2 1 2 1 1 3 1 3 3 2 3 2 T

x x x x x x y y y y y y x y y x x y y x x y y x

C Cofactor

donde:

j k i

k j i

k j k j i

x x c

y y b x y y x a

− =

− =

− =


Ing. Pérez Villar Luis Alberto 61


si: i = 1, j = 2, k =3, entonces:

2 3 1

3 2 1

3 2 3 2 1

x x c y y b

x y y x a

− = − =

− = si: i = 2, j = 3, k =1, entonces:

3 1 2

1 3 2

1 3 1 3 2

x x c y y b

x y y x a

− = − =

− =

si: i = 3, j = 1, k =2, entonces:

1 2 3

2 1 3

2 1 2 1 3

x x c y y b

x y y x a

− = − =

− =

=

=

3 3 3 2 3

3 3 2 3 3

3 2 2 2 2

3 2 1 2 2

3 1 1 2 1

3 1 2 1 1

1

3

2

2

1

3 3

3 3

2 2

2 2

1 1

1 1

T

d b c d c d c d b b d b c d c d c d b b d b c d c b c d b b

A 2 d

d 0 0 0 1 d 0 d 1

d

b c 0 c 0 b b c 0 c 0 b b c 0 c 0 b

A 2 1 D B

=

3 3 2 2 1 1

3 2 1

3 2 1

3 3 3 2 3

3 3 2 3 3

3 2 2 2 2

3 2 1 2 2

3 1 1 2 1

3 1 2 1 1

1 T

b c b c b c c 0 c 0 c 0 0 b 0 b 0 b

d b c d c d c d b b d b c d c d c d b b d b c d c b c d b b

A 4 d

B D B

+ + + + + +

+ + + + + +

+ + + + + +

+ + + + + +

+ + + + + +

+ + + + + +

⋅ =

3 2

3 2

3 3 3 3 2 3 3 3 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3 3 3 1 1 3 3 1 3 2 1 3

3 3 3 2 3 3 3 2

3 2

3 3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 3 3 1 2 3 1 3 3 1 1 3

3 3 2 3 2 3 3 2 2 3 2 3 2

2 2

2 3 2 2 2 2 2 3 2 1 2 1 3 1 2 2 1 2

3 2 3 2 2 3 3 2 3 3 2 3 2 2 2 2 2 3 2

2 2

2 3 2 1 2 2 1 3 2 1 2 1

3 1 3 3 1 3 3 1 2 3 1 3 1 2 2 1 3 2 1 2 2 1 3 2

1 2

1 3 1 1 2 1 1

3 1 3 2 1 3 3 3 1 3 1 3 1 2 2 1 2 3 1 2 2 1 3 1 1 2 1 1 3 2

1 2

1

1 e

d d c d c b d b c d b b c c d c b d b c d b b c c d c b d b c d c b d b c d c b d c b d b c d c c b b d c b d b c d c c b b d b b c c d c b d b c d b c d c b d b c d b b c c d c b d b c d c b d b c d c c b b d c b d b c d c b d c b d b c d c c b b

d b b c c d c b d b c d b b c c d c b d b c d b c d c b d b c d c b d b c d c c b b d c b d b c d c c b b d c b d b c d c b

A 4 d t

k




EJEMPLO NUMÉRICO DE ELEMENTOS TRIANGULARES

Analizar la siguiente placa plana (figura2.3.2.1) y obtener los esfuerzos en cada nodo por el método del elemento finito.

X 1 2 3

7 8 9

i j

k j

i

k

j k

j i i

k j

j i

i

k k

i j i

k k j 5 4

60 cm 60 cm

60 cm

60 cm

15kg/cm2

E

D

C

F

H

A

B

G

Y

6

Propiedades del elemento: 2

2 6 cm 1800 A cm 1 . 0 t

4 1

cm kg 10 10 E = = = α × =

donde: E = modulo de elasticidad. α = modulo de poisson. t = 0.1 cm.

Repartición de fuerzas sobre los nodos.

Figura 2.3.2.1







de la matriz [D] se obtiene los valores de los siguientes parámetros:

375 . 0 2 25 . 0 1

2 1 d

25 . 0 d

67 . 666 , 666 , 10 ) 25 . 0 ( 1

10 10 1 E d

3

2

2

6

2 1

= −

= α −

=

= α =

= −

× =

α − =

tomando en cuenta que:

2 3 1

3 2 1

3 2 3 2 1

x x c y y b

x y y x a

− = − =

− =

3 1 2

1 3 2

1 3 1 3 2

x x c y y b

x y y x a

− = − =

− =

1 2 3

2 1 3

2 1 2 1 3

x x c y y b

x y y x a

− = − =

− =

Ahora se puede hacer el calculo de la matriz de rigideces de cada elemento.

Elemento “A”:

0 y 0 x

1

1

= =

60 y 60 x

2

2

= =

60 y 0 x

3

3

= =

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 60 60 0 c

0 60 60 b 3600 0 60 60 60 a

1

1

1

− = − = = − =

= − = ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 c

60 0 60 b 0 0 60 0 0 a

2

2

2

= − = = − =

= − = ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 60 0 60 c

60 60 0 b 0 60 0 60 0 a

3

3

3

= − = − = − =

= − =

( ) ( ) 1481 . 148 1800 4

67 . 666 , 666 , 10 1 . 0 A 4 d t 1 = =

⋅

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

=

=

+ − − + − − + − − +

=

+ + + + ⋅

=

33 . 333 , 533 0 0 000 , 200

3600 0 0 1350

1481 . 148 A k

375 . 0 0 60 375 . 0 60 0 25 . 0 0 60 375 . 0 60 0 25 . 0 0 60 375 . 0 60 0 1481 . 148 A k

d b c d c b d b c d c b d b c d c b

A 4 d t

A k

ii

2 2

2 2

ii

3 2

1 2

1 3 1 1 2 1 1

3 1 1 2 1 1 3 2

1 21 1

ii




( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )

−

− =

−

− =

+ − + −

− + − + =

+ +

+ + ⋅ =

0 33 . 333 , 133 000 , 200 0

0 900 1350 0

1481 . 148 A k

375 . 0 0 60 0 60 375 . 0 0 0 25 . 0 60 60 375 . 0 60 60 25 . 0 0 0 375 . 0 60 0 60 0

1481 . 148 A k

d b b c c d c b d b c d c b d b c d c c b b

A 4 d t A k

ij

ij

3 1 2 2 1 3 2 1 2 2 1

3 1 2 2 1 2 3 1 2 2 1 1 ij

( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )

−

− =

−

− =

− + − + − −

− − + − + − =

+ +

+ + ⋅ =

33 . 333 , 533 33 . 333 , 133 000 , 200 000 , 200

3600 900 1350 1350

1481 . 148 A k

375 . 0 0 60 60 60 375 . 0 60 0 25 . 0 60 60 375 . 0 60 60 25 . 0 0 60 375 . 0 60 60 60 0

1481 . 148 A k


A 4 d t A k

ik

ik

3 1 3 3 1 3 3 1 2 3 1

3 1 3 2 1 3 3 3 1 3 1 1 ik

( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )

−

− =

−

− =

+ − − +

+ − − + =

+ +

+ + ⋅ =

0 000 , 200 33 . 333 , 133 0

0 1350 900 0

1481 . 148 A k

375 . 0 60 0 0 60 375 . 0 60 60 25 . 0 0 0 375 . 0 0 0 25 . 0 60 60 375 . 0 0 60 60 0

1481 . 148 A k


A 4 d t A k

ji

ji

3 2 1 2 1 3 1 2 2 1 2

3 2 1 2 2 1 3 2 1 2 1 1 ji

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

=

=

+ + + +

=

+ + + + ⋅

=

000 , 200 0 0 33 . 333 , 533

1350 0 0 3600

1481 . 148 A k

375 . 0 60 0 375 . 0 0 60 25 . 0 60 0 375 . 0 0 60 25 . 0 60 0 375 . 0 0 60 1481 . 148 A k


A 4 d t

A k

jj

2 2

2 2

jj

3 2

2 2

2 3 2 2 2 2 2

3 2 2 2 2 2 3 2

2 2

2 1 jj

( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )

−

=

−

− =

− + + − − + + −

=

+ +

+ + ⋅ =

000 , 200 000 , 200 33 . 333 , 133 33 . 333 , 533

1350 1350 900 3600

1481 . 148 A k

375 . 0 60 60 60 0 375 . 0 60 60 25 . 0 60 0 375 . 0 0 60 25 . 0 60 60 375 . 0 0 60 60 60

1481 . 148 A k


A 4 d t A k

jk

jk

3 3 2 3 2 3 3 2 2 3 2

3 2 3 2 2 3 3 2 3 3 2 1 jk




( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )

−

− =

−

− =

− + − − − + + − − − + −

=

+ +

+ + ⋅ =

33 . 333 , 533 000 , 200 33 . 333 , 133 000 , 200

3600 1350 900 1350

1481 . 148 A k

375 . 0 60 0 60 60 375 . 0 60 60 25 . 0 0 60 375 . 0 60 0 25 . 0 60 60 375 . 0 60 60 0 60

1481 . 148 A k


A 4 d t A k

ki

ki

3 3 1 1 3 3 1 3 2 1 3

3 3 1 2 3 1 3 3 1 1 3 1 ki

( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )

−

− =

−

− =

− + − +

+ − + − =

+ +

+ + ⋅ =

000 , 200 33 . 333 , 133 000 , 200 33 . 333 , 533

1350 900 1350 3600

1481 . 148 A k

375 . 0 60 60 0 60 375 . 0 0 60 25 . 0 60 60 375 . 0 60 60 25 . 0 60 0 375 . 0 60 0 60 60

1481 . 148 A k


A 4 d t A k

kj

kj

3 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3

3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 1 kj

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

−

− =

−

− =

− + − + − − + − + −

=

+ + + + ⋅

=

33 . 333 , 733 33 . 333 , 333 33 . 333 , 333 33 . 333 , 733

4950 2250 2250 4950

1481 . 148 A k

375 . 0 60 60 375 . 0 60 60 25 . 0 60 60 375 . 0 60 60 25 . 0 60 60 375 . 0 60 60 1481 . 148 A k


A 4 d t

A k

kk

2 2

2 2

kk

3 2

3 2

3 3 3 3 2 3 3

3 3 3 2 3 3 3 2

3 2

3 1 kk

− − − − − −

− − −

− − − −

=

33 . 333 , 733 33 . 333 , 333 000 , 200 33 . 333 , 133 33 . 333 , 533 000 , 200 33 . 333 , 333 33 . 333 , 733 000 , 200 33 . 333 , 533 33 . 333 , 133 000 , 200

000 , 200 000 , 200 000 , 200 0 0 000 , 200 33 . 333 , 133 33 . 333 , 533 0 33 . 333 , 533 33 . 333 , 133 0 33 . 333 , 533 33 . 333 , 133 0 33 . 333 , 133 33 . 333 , 533 0

000 , 200 000 , 200 000 , 200 0 0 000 , 200

kA

[ ][ ]

[ ][ ]

− − − − − −

=

=

=

67 . 666 , 66 67 . 666 , 66 67 . 666 , 66 0 0 67 . 666 , 66 78 . 777 , 177 44 . 444 , 44 0 44 . 444 , 44 78 . 777 , 177 0 44 . 444 , 44 78 . 777 , 177 0 78 . 777 , 177 44 . 444 , 44 0

B D

d b d c d b d c d b d c c d b c d b c d b d c b d c b d c b

A 2 d

b c b c b c c 0 c 0 c 0 0 b 0 b 0 b

A 2 1

d 0 0 0 1 d 0 d 1

d B D

3 3 3 3 3 2 3 2 3 1 3 1

3 2 3 2 2 2 1 2 1

2 3 3 2 2 2 2 1 1 1

3 3 2 2 1 1

3 2 1

3 2 1

3

2

2

1

i j k

i

j

k




Elemento “B”:

60 y 0 y 0 y 60 x 60 x 0 x

3 2 1

3 2 1

= = = = = =

− − − −

− − − − − − − −

− −

=

33 . 333 , 533 0 33 . 333 , 533 33 . 333 , 133 0 33 . 333 , 133 0 000 , 200 000 , 200 000 , 200 000 , 200 0

33 . 333 , 533 000 , 200 33 . 333 , 733 33 . 333 , 333 0000 , 200 33 . 333 , 133 33 . 333 , 133 000 , 200 33 . 333 , 333 33 . 333 , 733 0000 , 200 33 . 333 , 533

0 000 , 200 0000 , 200 000 , 200 000 , 200 0 33 . 333 , 133 0 33 . 333 , 133 33 . 333 , 533 0 33 . 333 , 533

kB

[ ][ ]

− − − − − −

= 0 67 . 666 , 66 67 . 666 , 66 67 . 666 , 66 67 . 666 , 66 0

78 . 777 , 177 0 78 . 777 , 177 44 . 444 , 44 0 44 . 444 , 44 44 . 444 , 44 0 44 . 444 , 44 78 . 777 , 177 0 78 . 777 , 177

B D

Elemento “C”:

60 y 0 y 0 y 60 x 120 x 60 x

3 2 1

3 2 1

= = = = = =

− − − − − −

− − − − − − − − − −

=

33 . 333 , 533 0 0 33 . 333 , 133 33 . 333 , 533 33 . 333 , 133 0 000 , 200 000 , 200 0 000 , 200 000 , 200 0 000 , 200 000 , 200 0 000 , 200 000 , 200

33 . 333 , 133 0 0 33 . 333 , 533 33 . 333 , 133 33 . 333 , 533 33 . 333 , 533 000 , 200 000 , 200 33 . 333 , 133 33 . 333 , 733 33 . 333 , 333 33 . 333 , 133 000 , 200 000 , 200 33 . 333 , 533 33 . 333 , 333 33 . 333 , 733

kC

[ ][ ]

− − − − − −

= 0 67 . 666 , 66 67 . 666 , 66 0 67 . 666 , 66 67 . 666 , 66

78 . 777 , 177 0 0 44 . 444 , 44 78 . 777 , 177 44 . 444 , 44 44 . 444 , 44 0 0 78 . 777 , 177 44 . 444 , 44 78 . 777 , 177

B D




Elemento “D”:

60 y 0 y 0 y 60 x 60 x 0 x

3 2 1

3 2 1

= = = = = =

− − − −

− − − − − − − −

− − − −

=

000 , 200 0 000 , 200 000 , 200 0 000 , 200 0 33 . 333 , 533 33 . 333 , 133 33 . 333 , 533 33 . 333 , 133 0 000 , 200 33 . 333 , 133 33 . 333 , 733 33 . 333 , 333 33 . 333 , 533 000 , 200 000 , 200 33 . 333 , 533 33 . 333 , 333 33 . 333 , 733 33 . 333 , 133 000 , 200

0 33 . 333 , 133 33 . 333 , 533 33 . 333 , 133 33 . 333 , 533 0 000 , 200 0 000 , 200 000 , 200 0 000 , 200

kD

[ ][ ]

− − − − − −

= 67 . 666 , 66 0 67 . 666 , 66 67 . 666 , 66 0 67 . 666 , 66

0 44 . 444 , 44 78 . 777 , 177 44 . 444 , 44 78 . 777 , 177 0 0 78 . 777 , 177 44 . 444 , 44 78 . 777 , 177 44 . 444 , 44 0

B D

Elemento “E”: k E = k C. Elemento “F”: k F = k D. Elemento “G”: k G = k A. Elemento “H”: k H = k B.

Tabla 2.3.2.1 Ensamble de la matriz k total Nodos 2 3 5 6 8 9

2 C k B k ii jj + C k ij C k B k ik jk + 0 0 0

3 C k ji D k C k ii jj + D k C k ik jk + D k ij 0 0

5 C k B k ki kj + D k C k ki kj +

E k F k G k H k D k C k

B k A k

jj ii

ii ii

kk kk

kk jj

+ + +

+ +

+ +

H k D k ij kj + G k F k ik ij + H k G k ik ij +

6 0 D k ji H k D k ji jk + H k D k jj jj + 0 H k jk

8 0 0 G k F k ki ji + 0 G k F k kk jj + G k kj

9 0 0 H k G k ki ji + H k kj G k jk H k G k kk jj +




Ux 2

Uy 2

Ux 3

Uy 3

Ux 5

Uy 5

Ux 6

Uy 6

Ux 8

Uy 8

Ux 9

Uy 9

0 0 0 0

0.33E

+6

0

0.13E+

6

0.53E

+6

0.2E+6

0.2E+

6

0

0.73E+

6

9

0 0 0 0 0

0.33E

+6

0.2E+

6

0.2E+6

0.53E

+6

0.13E+

6

0.73E+

6

0

0 0 0 0 0

1.07E

+6

0 0 0

1.47E+

6

0.13E+

6

0.2E+

6

8

0 0 0 0

0.4E+

6

0 0 0

1.47E+

6

0

0.53E

+6

0.2E+6

0 0

0.2E+

6

0.53E

+6

0

0.4E+

6

0

1.47E+

6

0 0

0.2E+6

0.53E

+6

6

0 0

0.2E+

6

0.13E

+6

1.07E

+6

0

1.47E+

6

0 0 0

0.2E6

+6

0.13E+

6

0

1.07E

+6

0.33E+

6

0 0

2.93E+

6

0

0.4E+

6

0

1.07E

+6

0.33E

+6

0

5

0.4E+

6

0 0

0.33E+

6

2.93E+

6

0

1.07E

+6

0

0.4E+

6

0 0

0.33E

+6

0.2E+

6

0.2E+

6

0

0.73E+

6

0.33E+

6

0

0.13E

+6

0.53E

+6

0 0 0 0

3

0.53E

+6

0.13E

+6

0.73E+

6

0 0

0.33E+

6

0.2E+

6

0.2E+

6

0 0 0 0

0

1.47E+

6

0.13E

+6

0.2E+

6

0

1.07E

+6

0 0 0 0 0 0

2

1.47E+

6

0

0.53E

+6

0.2E+

6

0.4E+

6

0 0 0 0 0 0 0

Tabla 2.3.2.2 Ensam

ble numérico de la matriz k to

tal

Nodo

2 3 5 6 8 9




[ ]

− − − − −

− − −

− − − − − −

=

=

5 E 423 . 2 4 E 786 . 1 5 E 954 . 1 5 E 084 . 9 18 E 84 . 3 4 E 747 . 1 18 E 57 . 2 5 E 279 . 8 5 E 423 . 2 3 E 178 . 0 5 E 954 . 1 5 E 084 . 9

9 Uy 9 Ux 8 Uy 8 Ux 6 Uy 6 Ux 5 Uy 5 Ux 3 Uy 3 Ux 2 Uy 2 Ux

ecuaciones de sistema el o resolviend y,

0 45 0 0 0 90 0 0 0 45 0 0

P

CALCULO DE ESFUERZOS

Elemento “A”

− =

− −

− − − − − −

=

σ σ σ

13 E 0 . 1 680 . 3 719 . 14

0 0

18 E 57 . 2 5 E 279 . 8

0 0

67 . 666 , 66 67 . 666 , 66 67 . 666 , 66 0 0 67 . 666 , 66 78 . 777 , 177 44 . 444 , 44 0 44 . 444 , 44 78 . 777 , 177 0 44 . 444 , 44 78 . 777 , 177 0 78 . 777 , 177 44 . 444 , 44 0

xy y x

− =

− −

− − − −

− − − − − −

=

σ σ σ

=

−

− − −

− − − − − −

=

σ σ σ

224 . 0 427 . 0 738 . 14

18 E 57 . 2 5 E 279 . 8 5 E 423 . 2 3 E 178 . 0 5 E 954 . 1 5 E 084 . 9

0 67 . 666 , 66 67 . 666 , 66 0 67 . 666 , 66 67 . 666 , 66 78 . 777 , 177 0 0 44 . 444 , 44 78 . 777 , 177 44 . 444 , 44 44 . 444 , 44 0 0 78 . 777 , 177 44 . 444 , 44 78 . 777 , 177

xy y x

“C” Elemento

766 . 0 563 . 0 281 . 15

18 E 57 . 2 5 E 279 . 8 5 E 954 . 1 5 E 084 . 9

0 0

0 67 . 666 , 66 67 . 666 , 66 67 . 666 , 66 67 . 666 , 66 0 78 . 777 , 177 0 78 . 777 , 177 44 . 444 , 44 0 44 . 444 , 44 44 . 444 , 44 0 44 . 444 , 44 78 . 777 , 177 0 78 . 777 , 177

xy y x

“B” Elemento




=

σ σ σ

=

σ σ σ

− =

σ σ σ

− =

σ σ σ

− − =

σ σ σ

0.262 0.224 15.262

xy y x

“H” Elemento

224 . 0 427 . 0 738 . 14

xy y x

“G” Elemento

766 . 0 563 . 0 281 . 15

xy y x

“F” Elemento

13 E 7 . 1 680 . 3 719 . 14

xy y x

“E” Elemento

262 . 0 224 . 0 262 . 15

xy y x

“D” Elemento

Nota: Los esfuerzos calculados se consideran como constantes en toda la placa.



Vigas


Matr iz de r igideces para vigas.

Ejemplo numér ico.

Vigas



Vigas

VIGAS CONTINUAS

En un caso particular, para el análisis de vigas continuas, la matriz de rigideces se reduce de la siguiente forma, considerando que desprecian los efectos de carga axial:

[ ]

−

−

−

− − −

=

L 4

L 6

L 2

L 6

L 6

L 12

L 6

L 12

L 2

L 6

L 4

L 6

L 6

L 12

L 6

L 12

EI k

2 2

2 3 2 3

2 2

2 3 2 3

e

y para casos en los que los efectos de flexión sean los únicos se tiene:

[ ]

=

L EI

L EI

L EI

L EI

k e 4 2

2 4

En este tema no habrá transformación del sistema local al global ya que los ejes de cada uno coinciden (figura 2.3.1.1), por lo que la matriz de rigideces se verá de la misma forma, y el ensamble de esta se hará de la misma manera que en los capítulos anteriores.

Y

X

Figura 2.2.3.1



Vigas

EJEMPLO NUMÉRICO DE VIGAS

Analizar la siguiente viga continua (figura 2.3.2.1) solo por efecto de flexión.

A B C D

E

4 5

w=2 t/m w=3 t/m

5 3 3 4 2 6

Calculo de momentos de empotramiento. Figura 2.2.4.2

m tn 17 . 4 12 ) 5 ( 2

12 wL M M

2 2

BA AB ⋅ = = = =

m tn 3 8 ) 6 ( 4

8 PL M M CB BC ⋅ = = = =

m tn 22 . 2 6

) 4 ( ) 2 ( 5 L b Pa M 2

2

2

2

CD ⋅ = = =

m tn 44 . 4 6

) 2 ( ) 4 ( 5 L a Pb M 2

2

2

2

DC ⋅ = = =

m tn 9 12 ) 6 ( 3

12 wL M M

2 2

ED DE ⋅ = = = =

Figura 2.2.4.1

6

4 2

w=3 t/m D E

C

5

D

5

3 3

B C

4

w=2 t/m A B

Figura 2.2.4.2



Vigas

Vector de cargas. Figura 2.2.4.3.

−

−

=

9 56 . 4 78 . 0 17 . 1 17 . 4

P

Matriz de rigideces para cada barra.

Barra “a”

=

=

=

=

8 . 0 4 . 0 4 . 0 8 . 0

EI 5 4

5 2

5 2

5 4

EI L

4 L

2 L

2 L

4 EI

L EI 4

L EI 2

L EI 2

L EI 4

k a

Barra “b”

=

=

67 . 0 33 . 0 33 . 0 67 . 0

EI 6

4 6 2

6 2

6 4

EI k b

Barra “c”

=

=

67 . 0 33 . 0 33 . 0 67 . 0

EI 6

4 6

2 6

2 6

4 EI k c

Barra “d”

=

=

67 . 0 33 . 0 33 . 0 67 . 0

EI 6

4 6

2 6

2 6

4 EI k d

Matriz de rigideces Total

+ +

+ =

+ +

+ =

67 . 0 67 . 0 33 . 0 0 33 . 0 67 . 0 67 . 0 33 . 0 0 33 . 0 67 . 0 8 . 0

EI d k c k ' c k 0

c k c k b k b k 0 b k b k a k

EI k

11 22 21

12 11 22 21

12 11 22

− =

φ φ φ

56 . 4 78 . 0 17 . 1

34 . 1 33 . 0 0 33 . 0 34 . 1 33 . 0 0 33 . 0 47 . 1

EI

D

C

B

A B C D

E

1.17 0.78 4.56

4.17 4.17 3 3 9 9 2.22 4.44

Figura 2.2.4.3



Vigas

Resolviendo el sistema.

− =

φ φ φ

8104 . 3 4236 . 1 4851 . 0

D

C

B

Momentos en las barras.

Barra “a”

=

⋅ + ⋅ +

=

φ ⋅ + φ ⋅ φ ⋅ + φ ⋅

=

φ φ

=

3881 . 0 1940 . 0

4851 . 0 8 . 0 0 4851 . 0 4 . 0 0

a k a k a k a k

a k a k a k a k

a M a M

B 22 A 21

B 12 A 11

B

A

22 21

12 11

2

1

Barra “b”

=

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

=

φ ⋅ + φ ⋅ φ ⋅ + φ ⋅

=

φ φ

=

1139 . 1 7948 . 0

4236 . 1 67 . 0 4851 . 0 33 . 0 4236 . 1 33 . 0 4851 . 0 67 . 0

b k b k b k b k

b k b k b k b k

b M b M

C 22 B 21

C 12 B 11

C

B

22 21

12 11

2

1

Barra “c”

− −

=

− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅

=

φ ⋅ + φ ⋅ φ ⋅ + φ ⋅

=

φ φ

=

0832 . 2 3036 . 0

8104 . 3 67 . 0 4236 . 1 33 . 0 8104 . 3 33 . 0 4236 . 1 67 . 0

c k c k c k c k

c k c k c k c k

c M c M

D 22 C 21

D 12 C 11

D

C

22 21

12 11

2

1

Barra “d”

− −

=

+ − ⋅ + − ⋅

=

φ ⋅ + φ ⋅ φ ⋅ + φ ⋅

=

φ φ

=

2574 . 1 5530 . 2

0 8104 . 3 33 . 0 0 8104 . 3 67 . 0

d k d k d k d k

d k d k d k d k

d M d M

E 22 D 21

E 12 D 11

E

D

22 21

12 11

2

1

Y por ultimo el balance de la viga se puede ver en la figura 2.2.4.4.

A B C D

E

0.3881 0.1940 0.7948 0.3036 1.1139 2.0832 2.5530 1.2574

A B C D

E

4.17 4.17 3 3 2.22 4.44 9 9

4.3640 3.7819 3.7948 1.9164 10.2574 1.8861 6.5232 6.4470

Figura 2.2.4.3



Vigas

Diagrama de momentos

4.36 3.79 1.90

6.48 10.26

Figura 2.2.4.4

Capitulo IV


Comentarios y Recomendaciones

C C Ca a ap p pi iit t tu u ul llo o o I I IV V V C C Co o om m me e en n nt t ta a ar r r i iio o os s s y y y R R Re e ec c co o om m me e en n nd d da a ac c ci iio o on n ne e es s s


Capitulo IV



COMENTARIOS

Por los resultados vistos en los ejemplos calculados con ayuda del Programa de la Tesis y el programa STAAD III se puede decir que hay pequeñas diferencias en la comparación de resultados esto se debe a que STAAD III utiliza mejores algoritmos en cuanto al modo de integración de la matriz de rigideces, lo que sucede de igual modo para la solución del sistema de ecuaciones; todo esto para los casos de Armaduras y Marcos.

Por otro lado las notables variaciones que se presentan en los ejemplos de Placas Planas se deben a que el método usado por el programa de la Tesis, para el cálculo de esfuerzos, considera que estos son constantes sobre toda la placa, mientras que el método que utiliza STAAD III, calcula los esfuerzos en el centroide de esta.

Como se pudo notar, para poder modelar una estructura se requieren los conceptos básicos del método a usar, así como el procedimiento de este. Por lo que, si alguna persona deseara analizar una estructura con la ayuda de un programa comercial, aún considerándose este como el mejor, no podría interpretar con claridad el trabajo realizado por este programa, ni siquiera cuando el individuo hubiese tomado un curso para el manejo de esta paquetería. Como una opinión personal, me atrevo a escribir estas líneas por experiencia propia y retomando la opinión de mi profesor. Con esto no quiero expresar que ahora soy capaz de modelar cualquier estructura, pero con estas bases el camino se hace más corto para poder lograrlo.

RECOMENDACIONES

Se pudiera pensar que el método para calcular esfuerzos en Placas Planas no es el correcto, sin embargo, esta posibilidad se descarta ya que los valores de desplazamientos son más congruentes. Ahora, una forma de dar un mayor acercamiento a los resultados es dividir la placa en el mayor número de partes posible, esto se puede apreciar en los ejemplos complementarios del Apéndice II. Dadas las circunstancias, el caso de Placas Triangulares puede ser de gran utilidad para la modelación de placas con geometría irregular, ya que esta clase de polígonos se ajustan más a este tipo de necesidades.

Si se quiere tener una idea más clara de este método vale la pena, si es posible cabe aclarar, la programación del caso de Vigas Continuas, ya que es el más simple en cuanto al modo de ensamble de la matriz de rigideces y las expresiones no son extensas.

Para aquellos que se deseen hacer el programa se recomienda que la declaración de variables sea del tipo “double”, esto con la finalidad de proporcionar mayor exactitud en el calculo de desplazamientos, ya que estos son indispensables en el calculo de los Elementos Mecánicos y de Esfuerzos. En cuanto a la solución del sistema de ecuaciones es preferible usar el método de Cholesky por la sencilla razón de que este método solo requiere la mitad del ensamble de la matriz total de rigideces.

Programas


Ejemplos

C C Ca a ap p pi iit t tu u ul llo o o I I II I II I I P P Pr r r o o og g gr r r a a am m ma a as s s

Ejemplo Armadura.

Ejemplo Marco.

Ejemplo Viga.

Ejemplo Placa Tr iangular .

Ejemplo Placa Rectangular .

Ejemplos

Programas


Ejemplos

EJEMPLOS CALCULADOS POR PROGRAMAS

Se analizarán los siguientes ejemplos (figuras 3.2.13.2.5) con la ayuda del Programa de la Tesis y el programa STAAD III.

EJEMPLO ARMADURA

6.00 ton

5.00 m

4

5

2

5.00 m

1

1

6

3

4

4.00 ton

8

4.00 m

Modulo de Elasticidad: 20,000,000

Ejemplo Armadura

7

5

Ø0.05 m

Sección Tansversal

3

2

9 6

4.00 ton

Salida del Programa

ARMADURA Datos de Entrada

Nodos Coordenadas Grados de libertad X Y X Y Giro

1 0.00 0.00 1 1 0 2 5.00 0.00 1 1 0 3 10.00 0.00 1 1 0 4 0.00 4.00 0 0 0 5 5.00 4.00 0 0 0 6 10.00 4.00 0 0 0

Figura 3.2.1

Programas


Ejemplos

Elemento Incidencias E A Longitud Beta 1 1 4 20000000.00 0.0019 4.00 90.00 2 3 6 20000000.00 0.0019 4.00 90.00 3 2 4 20000000.00 0.0019 6.40 141.34 4 2 5 20000000.00 0.0019 4.00 90.00 5 3 5 20000000.00 0.0019 6.40 141.34 6 1 2 20000000.00 0.0019 5.00 0.00 7 2 3 20000000.00 0.0019 5.00 0.00 8 4 5 20000000.00 0.0019 5.00 0.00 9 5 6 20000000.00 0.0019 5.00 0.00

Datos de Salida

Nodo Cargas Desplazamientos X Y X Y

1 0.00 0.00 0.00000 0.00000 2 0.00 0.00 0.00000 0.00000 3 0.00 0.00 0.00000 0.00000 4 0.00 4.00 0.00039 0.00042 5 0.00 6.00 0.00042 0.00059 6 0.00 4.00 0.00042 0.00041

Elemento Axial P1 P2

1 4.16 4.16 2 4.00 4.00 3 0.26 0.26 4 5.84 5.84 5 0.26 0.26 6 0.00 0.00 7 0.00 0.00 8 0.21 0.21 9 0.00 0.00

by: M. en C. ELIU ROSETE CARRANCO LUIS ALBERTO PEREZ VILLAR

Programas


Ejemplos

Salida del Programa STAAD III

************************************************** * * * S T A A D III * * Revision 22.0W * * Proprietary Program of * * Research Engineers, Inc. * * Date= JAN 23, 2003 * * Time= 18:33:49 * * * * USER ID: PÉREZ VILLAR LUIS ALBERTO * **************************************************

1. STAAD TRUSS ARMADURA 2. INPUT WIDTH 72 3. UNIT METER MTON 4. JOINT COORDINATES 5. 1 0.000 0.000 0.000 6. 2 5.000 0.000 0.000 7. 3 10.000 0.000 0.000 8. 4 0.000 4.000 0.000 9. 5 5.000 4.000 0.000 10. 6 10.000 4.000 0.000 11. MEMBER INCIDENCES 12. 1 1 4 13. 2 3 6 14. 3 2 4 15. 4 2 5 16. 5 3 5 17. 6 1 2 18. 7 2 3 19. 8 4 5 20. 9 5 6 21. MEMBER PROPERTY AMERICAN 22. 1 TO 9 PRI YD 0.05 23. CONSTANT 24. E 2E7 ALL 25. DENSITY 1. ALL 26. POISSON 1. ALL 27. SUPPORT 28. 1 TO 3 PINNED 29. LOAD 1 CARGAS 30. JOINT LOAD

Programas


Ejemplos

31. 4 6 FY 4. 32. 5 FY 6. 33. PERFORM ANALYSIS PRINT ALL

P R O B L E M S T A T I S T I C S

NUMBER OF JOINTS/MEMBER+ELEMENTS/SUPPORTS = 6/ 9/ 3 ORIGINAL/FINAL BANDWIDTH = 3/ 2 TOTAL PRIMARY LOAD CASES = 1, TOTAL DEGREES OF FREEDOM = 6 SIZE OF STIFFNESS MATRIX = 24 DOUBLE PREC. WORDS REQRD/AVAIL. DISK SPACE = 12.01/ 2047.7 MB, EXMEM = 55.4 MB

LOADING 1 CARGAS JOINT LOAD UNIT MTON METE

JOINT FORCEX FORCEY FORCEZ MOMX MOMY MOMZ

4 0.00 4.00 0.00 0.00 0.00 0.00 6 0.00 4.00 0.00 0.00 0.00 0.00 5 0.00 6.00 0.00 0.00 0.00 0.00

***TOTAL APPLIED LOAD ( MTON METE ) SUMMARY (LOADING 1 ) SUMMATION FORCEX = 0.00 SUMMATION FORCEY = 14.00 SUMMATION FORCEZ = 0.00

SUMMATION OF MOMENTS AROUND THE ORIGIN MX= 0.00 MY= 0.00 MZ= 70.00

++ Processing Element Stiffness Matrix. 18:33:49 ++ Processing Global Stiffness Matrix. 18:33:49 ++ Processing Triangular Factorization. 18:33:49 ++ Calculating Joint Displacements. 18:33:49 ++ Calculating Member Forces. 18:33:49

***TOTAL REACTION ( MTON METE ) SUMMARY

SUMX= 0.00 SUMY= 14.00 SUMZ= 0.00 SUMMATION OF MOMENTS AROUND ORIGIN MX= 0.00 MY= 0.00 MZ= 70.00

Programas


Ejemplos

MEMBER END FORCES STRUCTURE TYPE = TRUSS ALL UNITS ARE MTON METE

MEMBER LOAD JT AXIAL SHEARY SHEARZ TORSION MOMY MOMZ

1 1 1 4.16 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 4 4.16 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

2 1 3 4.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 6 4.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

3 1 2 0.26 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 4 0.26 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

4 1 2 5.84 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 5 5.84 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

5 1 3 0.26 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 5 0.26 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

6 1 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

7 1 2 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 3 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

8 1 4 0.21 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 5 0.21 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

9 1 5 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 6 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

************** END OF LATEST ANALYSIS RESULT **************

JOINT DISPLACEMENT (CM RADIANS) STRUCTURE TYPE = TRUSS

JOINT LOAD XTRANS YTRANS ZTRANS XROTAN YROTAN ZROTAN

1 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 2 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 3 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 4 1 0.0394 0.0424 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 5 1 0.0421 0.0594 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 6 1 0.0421 0.0407 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000


Programas


Ejemplos

*************** END OF STAADIII ***************

**** DATE= JAN 23,2003 TIME= 18:33:49 ****

********************************************************* * For questions on STAADIII, contact: * * Research Engineers, Inc at * * West Coast: Ph (714) 9742500 Fax (714) 9212543 * * East Coast: Ph (508) 6883626 Fax (508) 6857230 * *********************************************************

Tabla 3.2.1 Cuadro Comparativo de Desplazamientos STAAD III PROGRAMA Porcentaje de Error

Nodo X (cm) Y (cm) X (m) Y (m) X Y

1 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 2 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 3 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 4 0.0394 0.0424 0.00039 0.00042 1.02% 0.94% 5 0.0421 0.0594 0.00042 0.00059 0.24% 0.67% 6 0.0421 0.0407 0.00042 0.00041 0.24% 0.74%

Tabla 3.2.2 Cuadro Comparativo de Fuerza Axial STAAD III PROGRAMA Porcentaje de Error

Elemento P1 P2 P1 P2 P1 P2

1 4.16 4.16 4.16 4.16 0.00% 0.00% 2 4.00 4.00 4.00 4.00 0.00% 0.00% 3 0.26 0.26 0.26 0.26 0.00% 0.00% 4 5.84 5.84 5.84 5.84 0.00% 0.00% 5 0.26 0.26 0.26 0.26 0.00% 0.00% 6 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00% 0.00% 7 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00% 0.00% 8 0.21 0.21 0.21 0.21 0.00% 0.00% 9 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00% 0.00%

Programas


Ejemplos

EJEMPLO MARCO

0.3 m Modulo de Elasticidad: 1,400,000

Sección Tansversal

4.00 m

1

Ejemplo Marco

1

2ton

2 2

3 ton/m

3.00 m

0.3 m

4

3

3

Salida del Programa

MARCO Datos de Entrada


1 0.00 0.00 1 1 1 2 0.00 3.00 0 0 0 3 4.00 3.00 0 0 0 4 4.00 0.00 1 1 1

Elemento Incidencias E A Longitud Beta Mom. Inercia 1 1 2 1400000.00 0.09 3.00 90.00 0.0007 2 2 3 1400000.00 0.09 4.00 0.00 0.0007 3 4 3 1400000.00 0.09 3.00 90.00 0.0007

Datos de Salida Nodo Cargas Desplazamientos

X Y Mz X Y Giro 1 0.00 0.00 0.00 0.00000 0.00000 0.00000

Figura 3.2.2

Programas


Ejemplos

2 2.00 6.00 4.00 0.00373 0.00013 0.00319 3 0.00 6.00 4.00 0.00365 0.00016 0.00145 4 0.00 0.00 0.00 0.00000 0.00000 0.00000

Elemento Elementos Mecánicos Nodo Inicial Nodo Final

Axial V Mz Axial V Mz 1 5.39 0.45 0.34 5.39 0.45 1.68 2 2.45 5.39 1.68 2.45 6.61 4.13 3 6.61 2.45 3.21 6.61 2.45 4.13


Diagramas de Cortante y Momento

Figura 3.2.3

Programas


Ejemplos

Salida del programa STAAD III

************************************************** * * * S T A A D III * * Revision 22.0W * * Proprietary Program of * * Research Engineers, Inc. * * Date= JAN 23, 2003 * * Time= 20: 0:18 * * * * USER ID: PÉREZ VILLAR LUIS ALBERTO * **************************************************

1. STAAD PLANE MARCO 2. INPUT WIDTH 72 3. UNIT METER MTON 4. JOINT COORDINATES 5. 1 0.000 0.000 0.000 6. 2 0.000 3.000 0.000 7. 3 4.000 3.000 0.000 8. 4 4.000 0.000 0.000 9. MEMBER INCIDENCES 10. 1 1 2 11. 2 2 3 12. 3 4 3 13. MEMBER PROPERTY AMERICAN 14. 1 TO 3 PRI YD 0.3 ZD 0.3 15. CONSTANT 16. E 1.400E6 ALL 17. DENSITY CONCRETE ALL 18. POISSON CONCRETE ALL 19. SUPPORT 20. 1 4 FIXED 21. LOAD 1 CARGA 22. MEMBER LOAD 23. 2 UNI GY 3. 0. 4. 24. JOINT LOAD 25. 2 FX 2. 26. PERFORM ANALYSIS PRINT ALL


NUMBER OF JOINTS/MEMBER+ELEMENTS/SUPPORTS = 4/ 3/ 2

Programas


Ejemplos

ORIGINAL/FINAL BANDWIDTH = 1/ 1 TOTAL PRIMARY LOAD CASES = 1, TOTAL DEGREES OF FREEDOM = 6 SIZE OF STIFFNESS MATRIX = 36 DOUBLE PREC. WORDS REQRD/AVAIL. DISK SPACE = 12.00/ 2047.7 MB, EXMEM = 55.4 MB

LOADING 1 CARGA MEMBER LOAD UNIT MTON METE

MEMBER UDL L1 L2 CON L LIN1 LIN2

2 3.000 GY 0.00 4.00

JOINT LOAD UNIT MTON METE


2 2.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00



++ Processing Element Stiffness Matrix. 20: 0:18 ++ Processing Global Stiffness Matrix. 20: 0:18 ++ Processing Triangular Factorization. 20: 0:18 ++ Calculating Joint Displacements. 20: 0:18 ++ Calculating Member Forces. 20: 0:18

LOADING 1 SUMX= 2.00 SUMY= 12.00 SUMZ= 0.00 SUMMATION OF MOMENTS AROUND ORIGIN MX= 0.00 MY= 0.00 MZ= 30.00

MEMBER END FORCES STRUCTURE TYPE = PLANE ALL UNITS ARE MTON METE


1 1 1 5.39 0.43 0.00 0.00 0.00 0.37

Programas


Ejemplos

2 5.39 0.43 0.00 0.00 0.00 1.67 2 1 2 2.43 5.39 0.00 0.00 0.00 1.67

3 2.43 6.61 0.00 0.00 0.00 4.11 3 1 4 6.61 2.43 0.00 0.00 0.00 3.18

3 6.61 2.43 0.00 0.00 0.00 4.11


JOINT DISPLACEMENT (CM RADIANS) STRUCTURE TYPE = PLANE


1 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 2 1 0.3797 0.0128 0.0000 0.0000 0.0000 0.0032 3 1 0.3720 0.0157 0.0000 0.0000 0.0000 0.0015 4 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000


*************** END OF STAADIII ***************

**** DATE= JAN 23,2003 TIME= 20: 0:18 ****


Programas


Ejemplos

3.11

0.37 1

1.02

1.67 2

1.67

3.18 4

0.46

4.11 3

4.11



Nodo X (cm) Y (cm) φ X (m) Y (m) φ X Y φ

1 0.0000 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 0.00% 2 0.3797 0.0128 0.0032 0.00373 0.00013 0.00319 1.76% 1.56% 0.31% 3 0.3720 0.0157 0.0015 0.00365 0.00016 0.00145 1.88% 1.91% 3.33% 4 0.0000 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 0.00%


Elemento Nodo Axial V Mz Axial V Mz Axial V Mz

1 5.39 0.43 0.37 5.39 0.45 0.34 0.00% 4.65% 8.11% 1

2 5.39 0.43 1.67 5.39 0.45 1.68 0.00% 4.65% 0.60% 2 2.43 5.39 1.67 2.45 5.39 1.68 0.82% 0.00% 0.60%

2 3 2.43 6.61 4.11 2.45 6.61 4.13 0.82% 0.00% 0.49% 4 6.61 2.43 3.18 6.61 2.45 3.21 0.00% 0.82% 0.94%

3 3 6.61 2.43 4.11 6.61 2.45 4.13 0.00% 0.82% 0.49%

Figura 3.2.4

Programas


Ejemplos

EJEMPLO VIGA

2 3 4 5

5.00 m 3.00 m 3.00 m 4.00 m 2.00 m 6.00 m

0.3 m Modulo de Elasticidad: 1,400,000

Sección Tansversal Ejemplo Viga 0.2 m

1 2 3 4 5

4 3 2 1

Salida del Programa

MARCO Datos de Entrada


1 0.00 0.00 1 1 1 2 5.00 0.00 1 1 0 3 11.00 0.00 1 1 0 4 17.00 0.00 1 1 0 5 23.00 0.00 1 1 1

Elemento Incidencias E A Longitud Beta Mom Iner 1 1 2 1400000.00 0.06 5.00 0.00 0.0004 2 2 3 1400000.00 0.06 6.00 0.00 0.0004 3 3 4 1400000.00 0.06 6.00 0.00 0.0004 4 4 5 1400000.00 0.06 6.00 0.00 0.0004

Datos de Salida

Nodo Cargas Desplazamientos X Y Mz X Y Giro

1 0.00 5.00 4.17 0.00000 0.00000 0.00000 2 0.00 7.00 1.17 0.00000 0.00000 0.00076

Figura 3.2.5

Programas


Ejemplos

3 0.00 3.30 0.78 0.00000 0.00000 0.00223 4 0.00 12.70 4.56 0.00000 0.00000 0.00598 5 0.00 9.00 9.00 0.00000 0.00000 0.00000

Elemento Elementos Mecanicos Nodo Inicial Nodo Final

Axial V Mz Axial V Mz 1 0.00 5.11 4.36 0.00 4.89 3.79 2 0.00 2.31 3.79 0.00 1.69 1.90 3 0.00 0.90 1.90 0.00 4.10 6.49 4 0.00 8.37 6.49 0.00 9.63 10.26


Diagramas de Cortante y Momento

Figura 3.2.6

Programas


Ejemplos



1. STAAD PLANE VIGA 2. INPUT WIDTH 72 3. UNIT METER MTON 4. JOINT COORDINATES 5. 1 0.000 0.000 0.000 6. 2 5.000 0.000 0.000 7. 3 11.000 0.000 0.000 8. 4 17.000 0.000 0.000 9. 5 23.000 0.000 0.000 10. MEMBER INCIDENCES 11. 1 1 2 12. 2 2 3 13. 3 3 4 14. 4 4 5 15. MEMBER PROPERTY AMERICAN 16. 1 TO 4 PRI YD 0.3 ZD 0.2 17. CONSTANT 18. E 1.400E6 ALL 19. DENSITY CONCRETE ALL 20. POISSON CONCRETE ALL 21. SUPPORT 22. 1 5 FIXED 23. 2 TO 4 PINNED 24. LOAD 1 CAR 25. MEMBER LOAD 26. 1 UNI GY 2. 27. 4 UNI GY 3. 28. 2 CON GY 4. 3. 29. 3 CON GY 5. 4. 30. PERFORM ANALYSIS PRINT ALL

Programas


Ejemplos



LOADING 1 CAR MEMBER LOAD UNIT MTON METE

MEMBER UDL L1 L2 CON L LIN1 LIN2

1 2.000 GY 0.00 5.00 4 3.000 GY 0.00 6.00 2 4.000 GY 3.00 3 5.000 GY 4.00




***TOTAL REACTION ( MTON METE ) SUMMARY SUMX= 0.00 SUMY= 37.00 SUMZ= 0.00

SUMMATION OF MOMENTS AROUND ORIGIN

MX= 0.00 MY= 0.00 MZ= 492.00

MEMBER END FORCES STRUCTURE TYPE = PLANE ALL UNITS ARE MTON METE

Programas


Ejemplos


1 1 1 0.00 5.11 0.00 0.00 0.00 4.36 2 0.00 4.89 0.00 0.00 0.00 3.78

2 1 2 0.00 2.31 0.00 0.00 0.00 3.78 3 0.00 1.69 0.00 0.00 0.00 1.91

3 1 3 0.00 0.90 0.00 0.00 0.00 1.91 4 0.00 4.10 0.00 0.00 0.00 6.49

4 1 4 0.00 8.37 0.00 0.00 0.00 6.49 5 0.00 9.63 0.00 0.00 0.00 10.25




1 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 2 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0008 3 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0022 4 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0060 5 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000


*************** END OF STAADIII ***************

**** DATE= JAN 25,2003 TIME= 12:15:53 ****


Programas


Ejemplos

4.36 3.78 1.91 1.91

6.49 10.25



Nodo X (cm) Y (cm) φ X (m) Y (m) φ X Y φ

1 0.0000 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 0.00% 2 0.0000 0.0000 0.0008 0.00000 0.00000 0.00076 0.00% 0.00% 5.00% 3 0.0000 0.0000 0.0022 0.00000 0.00000 0.00223 0.00% 0.00% 1.36% 4 0.0000 0.0000 0.0060 0.00000 0.00000 0.00598 0.00% 0.00% 0.33% 5 0.0000 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 0.00%


Elemento Nodo Axial V Mz Axial V Mz Axial V Mz

1 0.00 5.11 4.36 0.00 5.11 4.36 0.00% 0.00% 0.00% 1

2 0.00 4.89 3.78 0.00 4.89 3.79 0.00% 0.00% 0.26% 2 0.00 2.31 3.78 0.00 2.31 3.79 0.00% 0.00% 0.26%

2 3 0.00 1.69 1.91 0.00 1.69 1.90 0.00% 0.00% 0.52% 3 0.00 0.90 1.91 0.00 0.90 1.90 0.00% 0.00% 0.52%

3 4 0.00 4.10 6.49 0.00 4.10 6.49 0.00% 0.00% 0.00% 4 0.00 8.37 6.49 0.00 8.37 6.49 0.00% 0.00% 0.00%

4 5 0.00 9.63 10.25 0.00 9.63 10.26 0.00% 0.00% 0.10%

Figura 3.2.7

Programas


Ejemplos

EJEMPLO PLACA TRIANGULAR

60 cm

60 cm

2

60 cm

1

2

1

45 3

8

5 4

5

6

7

60 cm

90 6

7

8

45 9

Ejemplo Placa Triangular


Espesor de la Placa

3

4

0.1 cm

Salida del Programa

PLACAS TRIANGULARES Datos de Entrada


1 0.00 0.00 1 1 1 2 60.00 0.00 0 0 0 3 120.00 0.00 0 0 0 4 0.00 60.00 1 1 1 5 60.00 60.00 0 0 0 6 120.00 60.00 0 0 0 7 0.00 120.00 1 1 1 8 60.00 120.00 0 0 0 9 120.00 120.00 0 0 0

Elemento Incidencias E A Espesor Mod. Poisson 1 1 5 4 10000000.00 1800.00 0.10 0.25 2 1 2 5 10000000.00 1800.00 0.10 0.25

Figura 3.2.8

Programas


Ejemplos

3 2 3 5 10000000.00 1800.00 0.10 0.25 4 3 6 5 10000000.00 1800.00 0.10 0.25 5 4 5 7 10000000.00 1800.00 0.10 0.25 6 5 8 7 10000000.00 1800.00 0.10 0.25 7 5 9 8 10000000.00 1800.00 0.10 0.25 8 5 6 9 10000000.00 1800.00 0.10 0.25

Datos de Salida


1 0.00 0.00 0.00000 0.00000 2 0.00 0.00 0.00009 0.00002 3 45.00 0.00 0.00018 0.00002 4 0.00 0.00 0.00000 0.00000 5 0.00 0.00 0.00008 0.00000 6 90.00 0.00 0.00017 0.00000 7 0.00 0.00 0.00000 0.00000 8 0.00 0.00 0.00009 0.00002 9 45.00 0.00 0.00018 0.00002

Elemento Esfuerzos X Y XY

1 14.719 3.680 0.000 2 15.281 0.563 0.766 3 14.738 0.427 0.224 4 15.262 0.224 0.262 5 14.719 3.680 0.000 6 15.281 0.563 0.766 7 14.738 0.427 0.224 8 15.262 0.224 0.262


Programas


Ejemplos



1. STAAD PLANE PLACA TRIANGULAR 2. INPUT WIDTH 72 3. UNIT CM KG 4. JOINT COORDINATES 5. 1 0.000 0.000 0.000 6. 2 60.000 0.000 0.000 7. 3 120.000 0.000 0.000 8. 4 0.000 60.000 0.000 9. 5 60.000 60.000 0.000 10. 6 120.000 60.000 0.000 11. 7 0.000 120.000 0.000 12. 8 60.000 120.000 0.000 13. 9 120.000 120.000 0.000 14. ELEMENT INCIDENCES 15. 1 1 5 4 16. 2 1 2 5 17. 3 2 3 5 18. 4 3 6 5 19. 5 4 5 7 20. 6 5 8 7 21. 7 5 9 8 22. 8 5 6 9 23. ELEMENT PROPERTY 24. 1 TO 8 THICKNESS 0.1 25. CONSTANT 26. E 1E7 ALL 27. POISSON 0.25 ALL 28. DENSITY CONCRETE ALL 29. SUPPORT

Programas


Ejemplos

30. 1 4 7 FIXED 31. LOAD 1 LOAD 32. JOINT LOAD 33. 3 9 FX 45. 34. 6 FX 90. 35. PERFORM ANALYSIS PRINT ALL



LOADING 1 LOAD JOINT LOAD UNIT KG CM JOINT FORCEX FORCEY FORCEZ MOMX MOMY MOMZ

3 45.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 9 45.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 6 90.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

***TOTAL APPLIED LOAD ( KG CM ) SUMMARY (LOADING 1 ) SUMMATION FORCEX = 180.00 SUMMATION FORCEY = 0.00 SUMMATION FORCEZ = 0.00



***TOTAL REACTION ( KG CM ) SUMMARY SUMX= 180.00 SUMY= 0.00 SUMZ= 0.00


MX= 0.00 MY= 0.00 MZ= 10800.00

Programas


Ejemplos

************ END OF DATA FROM INTERNAL STORAGE ************

36. PRINT ELEMENT JOINT FORCES AT 0. 0. ALL

ELEMENT FORCES FORCE,LENGTH UNITS= KG CM FORCE OR STRESS = FORCE/WIDTH/THICK, MOMENT = FORCE

LENGTH/WIDTH

ELEMENT LOAD QX QY MX MY MXY VONT VONB FX FY FXY

1 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 13.60 13.60 9.41 9.45 5.66

TOP : SMAX= 15.09 SMIN= 3.77 TMAX= 5.66 ANGLE= 90.0 BOTT: SMAX= 15.09 SMIN= 3.77 TMAX= 5.66 ANGLE= 90.0

2 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 13.95 13.95 14.92 2.27 0.48


3 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 19.16 19.16 18.77 2.53 4.32


4 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 15.34 15.34 4.32 11.21 3.77


5 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 13.62 13.62 15.11 3.78 0.02


6 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 13.78 13.78 2.63 14.88 0.44


7 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 19.39 19.39 14.91 6.13 8.32

Programas


Ejemplos


8 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 15.41 15.41 11.18 4.39 3.84


********************END OF ELEMENT FORCES********************



1 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 2 1 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 3 1 0.0003 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 4 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 5 1 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 6 1 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 7 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 8 1 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 9 1 0.0003 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000


*************** END OF STAADIII ***************

**** DATE= JAN 27,2003 TIME= 18:13:16 ****


Programas


Ejemplos


Nodo X (cm) Y (cm) X (cm) Y (cm) X Y

1 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 2 0.0001 0.0000 0.00009 0.00002 10.00% 0.00% 3 0.0003 0.0001 0.00018 0.00002 40.00% 80.00% 4 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 5 0.0001 0.0000 0.00008 0.00000 20.00% 0.00% 6 0.0002 0.0000 0.00017 0.00000 15.00% 0.00% 7 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 8 0.0001 0.0000 0.00009 0.00002 10.00% 0.00% 9 0.0003 0.0001 0.00018 0.00002 40.00% 80.00%


Elemento σ x σ y σ xy σ x σ y σ xy σ x σ y σ xy

1 9.41 9.45 5.66 14.72 3.68 0.00 56.42% 61.06% 100.00% 2 14.92 2.27 0.48 15.28 0.56 0.77 2.42% 75.20% 59.58% 3 18.77 2.53 4.32 14.74 0.43 0.22 21.48% 83.12% 94.81% 4 4.32 11.21 3.77 15.26 0.22 0.26 253.29% 98.00% 93.05% 5 15.11 3.78 0.02 14.72 3.68 0.00 2.59% 2.65% 100.00% 6 2.63 14.88 0.44 15.28 0.56 0.77 481.03% 96.22% 74.09% 7 14.91 6.13 8.32 14.74 0.43 0.22 1.15% 93.03% 97.31% 8 11.18 4.39 3.84 15.26 0.22 0.26 36.51% 94.90% 93.18%

Programas


Ejemplos

EJEMPLO PLACA RECTANGULAR

60 cm

Espesor de la Placa

0.1 cm

60 cm 60 cm

1


Ejemplo Placa Rectangular

2 45 3

4 3

1

4

2

5 90

7 8 45

60 cm

6

9

Salida del Programa

PLACAS RECTANGULARES Datos de Entrada


1 0.00 0.00 1 1 1 2 60.00 0.00 0 0 0 3 120.00 0.00 0 0 0 4 0.00 60.00 1 1 1 5 60.00 60.00 0 0 0 6 120.00 60.00 0 0 0 7 0.00 120.00 1 1 1 8 60.00 120.00 0 0 0 9 120.00 120.00 0 0 0

Elemento Incidencias E A Espesor Mod. Poisson 1 1 2 5 4 10000000.00 3600.00 0.10 0.25 2 2 3 6 5 10000000.00 3600.00 0.10 0.25

Figura 3.2.9

Programas


Ejemplos

3 5 6 9 8 10000000.00 3600.00 0.10 0.25 4 4 5 8 7 10000000.00 3600.00 0.10 0.25

Datos de Salida


1 0.00 0.00 0.00000 0.00000 2 0.00 0.00 0.00009 0.00002 3 45.00 0.00 0.00018 0.00002 4 0.00 0.00 0.00000 0.00000 5 0.00 0.00 0.00008 0.00000 6 90.00 0.00 0.00018 0.00000 7 0.00 0.00 0.00000 0.00000 8 0.00 0.00 0.00009 0.00002 9 45.00 0.00 0.00018 0.00002

Elemento Esfuerzos X Y XY

1 15.000 1.831 0.588 2 15.000 0.152 0.184 3 15.000 0.152 0.184 4 15.000 1.831 0.588




1. STAAD PLANE PLACA RECTANGULAR 2. INPUT WIDTH 72 3. UNIT CM KG

Programas


Ejemplos

4. JOINT COORDINATES 5. 1 0.000 0.000 0.000 6. 2 60.000 0.000 0.000 7. 3 120.000 0.000 0.000 8. 4 0.000 60.000 0.000 9. 5 60.000 60.000 0.000 10. 6 120.000 60.000 0.000 11. 7 0.000 120.000 0.000 12. 8 60.000 120.000 0.000 13. 9 120.000 120.000 0.000 14. ELEMENT INCIDENCES 15. 1 1 2 5 4 16. 2 2 3 6 5 17. 3 4 5 8 7 18. 4 5 6 9 8 19. ELEMENT PROPERTY 20. 1 TO 4 THICKNESS 0.1 21. CONSTANT 22. E 1E7 ALL 23. POISSON 0.25 ALL 24. DENSITY 1. ALL 25. SUPPORT 26. 1 4 7 FIXED 27. LOAD 1 LOAD 28. JOINT LOAD 29. 3 9 FX 45. 30. 6 FX 90. 31. PERFORM ANALYSIS PRINT ALL



LOADING 1 LOAD JOINT LOAD UNIT KG CM


3 45.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 9 45.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Programas


Ejemplos

6 90.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

***TOTAL APPLIED LOAD ( KG CM ) SUMMARY (LOADING 1 ) SUMMATION FORCEX = 180.00 SUMMATION FORCEY = 0.00 SUMMATION FORCEZ = 0.00



***TOTAL REACTION ( KG CM ) SUMMARY

SUMX= 180.00 SUMY= 0.00 SUMZ= 0.00


MX= 0.00 MY= 0.00 MZ= 10800.00

ELEMENT FORCES FORCE,LENGTH UNITS= KG CM

FORCE OR STRESS = FORCE/WIDTH/THICK, MOMENT = FORCE LENGTH/WIDTH

ELEMENT LOAD QX QY MX MY MXY VONT VONB FX FY FXY

1 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 14.58 14.58 15.00 1.00 0.71


2 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 14.80 14.80 15.00 0.40 0.14


3 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 14.58 14.58 15.00 1.00 0.71

TOP : SMAX= 15.04 SMIN= 0.97 TMAX= 7.03 ANGLE= 2.9

Programas


Ejemplos

BOTT: SMAX= 15.04 SMIN= 0.97 TMAX= 7.03 ANGLE= 2.9

4 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 14.80 14.80 15.00 0.40 0.14


********************END OF ELEMENT FORCES********************



1 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 2 1 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 3 1 0.0003 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 4 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 5 1 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 6 1 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 7 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 8 1 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 9 1 0.0003 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000


*************** END OF STAADIII ***************

**** DATE= JAN 27,2003 TIME= 18:15:58 ****

********************************************************* * For questions on STAADIII, contact: * * Research Engineers, Inc at * * West Coast: Ph (714) 9742500 Fax (714) 9212543 * * East Coast: Ph (508) 6883626 Fax (508) 6857230 * ********************************************************

Programas


Ejemplos



1 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 2 0.0001 0.0000 0.00009 0.00002 10.00% 0.00% 3 0.0003 0.0001 0.00018 0.00002 40.00% 80.00% 4 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 5 0.0001 0.0000 0.00008 0.00000 20.00% 0.00% 6 0.0002 0.0000 0.00018 0.00000 10.00% 0.00% 7 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 8 0.0001 0.0000 0.00009 0.00002 10.00% 0.00% 9 0.0003 0.0001 0.00018 0.00002 40.00% 80.00%



1 15.00 1.00 0.71 15.00 1.83 0.59 0.00% 83.10% 17.18% 2 15.00 0.40 0.14 15.00 0.15 0.18 0.00% 62.00% 31.43% 3 15.00 1.00 0.71 15.00 0.15 0.18 0.00% 84.80% 74.08% 4 15.00 0.40 0.14 15.00 1.83 0.59 0.00% 357.75% 320.00%

Apéndice I


Listado del Programa

A A Ap p pé é én n nd d di iic c ce e e I I I L L Li iis s st t ta a ad d do o o d d de e el ll P P Pr r r o o og g gr r r a a am m ma a a

Apéndice I

Apéndice I



PROGRAMA

#include<stdio.h> #include<conio.h> #include<math.h> #include<stdlib.h> #include<graphics.h> #include<ctype.h> #include <luismath.h>

struct ind_cargas int t, n, e, ni, nf; float p, a, d; w[100];

struct matrix_elem int inciden[4], loc[8]; float L[4], beta[4], ke[8][8], Fg[6], Fl[6], dim[2], mome[6], ttrans[3][3], db[3][8]; *el;

struct matrix_nodo int apoyo[5], ec[3]; float f[3], d[3]; *nd;

void datos (void); void conversion (void); void geometry (void); void cargas (void); void carga_puntual_sobre_nodo (void); float v_emp (float, float, float, float); void carga_puntual_sobre_elemento (void); void carga_distribuida (void); void rigidez (void); void ensamble (void); void fuerzas_finales(void); void diagrama (void); void vigas (void); float momento (float, float, float, float); float cortante (float, float); void salida (void);

int tm_kt=0, file, nodos, elem, i, j, k, l, glib, limit, pos[10], li, lf; int ncar=0, cncar, o_c, t_c, repetir, o_r, o_s, gdriver=DETECT, gmode, errorcode;

Apéndice I



double *x, *y, *E, *A, *I, *alfa, *t, btd[6][3], kt[100][101], b[3][6], em, pdist; double trans[3][3], tk[3][3], kl[6][6], def[3][3], cxy[3][2], dn[8], Pi, eh, ev; char *archivo, *output, estruc, key, viga, mesage[80]; FILE *fp;

void main (void) int s; datos (); geometry (); clrscr(); if(file==1) for(i=1; i<=nodos; i++) printf("Nodo numero %i\n",i); printf("px = %f , py = %f", nd[i].f[1], nd[i].f[2]); if(estruc=='m') printf(" , Mz = %f", nd[i].f[3]); printf("\n"); getch(); rigidez (); ensamble (); solve (); //la función solve esta incluida en la librería luismath.h

clrscr(); for(i=1; i<=nodos; i++) printf("Nodo %i\n", i); for(j=1; j<=glib; j++) printf("d = %0.10f ", nd[i].d[j]); printf("\n"); getch();

fuerzas_finales(); if(estruc=='m') clrscr(); printf("\n\nDesea ver los diagramas de cortante y momento"); printf("\n\nSi [1]"); printf("\nNo [2]"); printf("\nOpci¢n elegida "); scanf("%i", &s); if(s==1) diagrama (); salida (); free(x);

Apéndice I



free(y); free(A); free(E); free(I); free(alfa); free(t); free(nd); free(el);

void conversion(void) switch(estruc) case 'a': glib=2; limit=2; break; case 'm': glib=3; limit=2; break; case 't': glib=2; limit=3; break; case 'r': glib=2; limit=4; break;

void datos (void) float dx, dy, xmax, ymax, xmin, ymin, x1, y1, x2, y2;

clrscr();

printf("\n\n\nTrabajar con Datos Nuevos [1]"); printf("\nTrabajar con Datos Exixtentes [2]"); printf("\n\n\nOpci¢n elegida = "); scanf("%i", &file);

clrscr();

if(file==1) printf("\nEscriba el nombre del archivo: "); scanf("%s", archivo);

printf("\nTipo de estructura: "); printf("\n\n [A]rmaduras"); printf("\n [M]arcos"); printf("\n Placas [T]riangulares"); printf("\n Placas [R]ectangulares\n"); do estruc=tolower(getche()); while(estruc!='a' && estruc!='m' && estruc!='t' && estruc!='r');

Apéndice I



conversion();

printf("\n\nNumero de Nodos: "); scanf("%i", &nodos); x=(float*)malloc(nodos*sizeof(float)); y=(float*)malloc(nodos*sizeof(float)); nd=(matrix_nodo*) malloc(nodos*sizeof(matrix_nodo)); printf("\nNumero de Elementos: "); scanf("%i", &elem); A=(float*)malloc(elem*sizeof(float)); E=(float*)mcalloc(elem*sizeof(float)); I=(float*)malloc(elem*sizeof(float)); alfa=(float*)malloc(elem*sizeof(float)); t=(float*)malloc(elem*sizeof(float)); el=(matrix_elem*) malloc(elem*sizeof(matrix_elem));

for(i=1; i<=nodos; i++) clrscr();

printf("Nodo numero %i", i); printf("\n\nCoordenadas"); printf("\n\nx = "); scanf("%f", &x[i]); printf("\ny = "); scanf("%f", &y[i]); printf("\n\nEsta apoyado?"); printf("\nSi [1]"); printf("\nNo [2]"); printf("\n\nOpci¢n elegida = "); scanf("%i", &nd[i].apoyo[5]); if(nd[i].apoyo[5]==1) initgraph(&gdriver, &gmode, ruta);

errorcode = graphresult();

if (errorcode != grOk) /* an error occurred */ printf("Graphics error: %s\n", grapherrormsg(errorcode)); printf("Press any key to halt:"); getch(); exit(1); /* terminate with an error code */

setviewport(100, 100, getmaxx()100, getmaxy()100, clip_on); setcolor(24); floodfill(10,10,SOLID_FILL);

x1=0.05*(getmaxx()200);

Apéndice I



y1=0.3*(getmaxy()200); x2=(getmaxx()200)/3((getmaxx()200)/3)*0.3; y2=(getmaxy()200)(getmaxy()200)*0.6; dx=(getmaxx()200)/3;

setcolor(20); outtextxy(dx50,5,"Seleccione un Tipo de apoyo"); setcolor(19); //Empotramiento outtextxy(10, 60,"Apoyo Tipo [A]"); setcolor(34); line(x1+x2/2, y1, x1+x2/2, y1+y2/2); line(x1, y1+y2/2, x1+x2, y1+y2/2); for(j=x1; j<=x1+x2; j+=x2/10) line(j, y1+y2/2, j, y1+3*y2/4); //Simplemente apoyado setcolor(19); outtextxy(10+dx, 60,"Apoyo Tipo [B]"); setcolor(34); line(dx+x1+x2/2, y1, dx+x1+x2, y1+y2/2); line(dx+x1+x2/2, y1, dx+x1, y1+y2/2); line(dx+x1, y1+y2/2, dx+x1+x2, y1+y2/2); for(j=x1; j<=x1+x2; j+=x2/10) line(dx+j, y1+y2/2, dx+j, y1+3*y2/4); //Simplemente apoyado 2 setcolor(19); outtextxy(10+2*dx, 60,"Apoyo Tipo [C]"); setcolor(34); line(2*dx+x1+x2/2, y1, 2*dx+x1+x2, y1+y2/2); line(2*dx+x1+x2/2, y1, 2*dx+x1, y1+y2/2); line(2*dx+x1, y1+y2/2, 2*dx+x1+x2, y1+y2/2); line(2*dx+x1, y1+y2/2+x2/4, 2*dx+x1+x2, y1+y2/2+x2/4); for(j=x1; j<=x1+x2; j+=x2/10) line(2*dx+j, y1+y2/2+x2/4, 2*dx+j, y1+y2); for(j=x1+x2/4; j<=x1+3*x2/4; j+=x2/4) circle(2*dx+j, y1+y2/2+x2/8, x2/8); do key = tolower(getche()); while(key!='a' && key!='b' && key!='c');

restorecrtmode(); if(key=='a') for(j=1; j<=4; j++) nd[i].apoyo[j]=1;

Apéndice I



if(key=='b') nd[i].apoyo[1]=1; nd[i].apoyo[2]=1; nd[i].apoyo[3]=0; nd[i].apoyo[4]=2; if(key=='c') nd[i].apoyo[1]=0; nd[i].apoyo[2]=1; nd[i].apoyo[3]=0; nd[i].apoyo[4]=3; if(nd[i].apoyo[5]==2) for(j=1; j<=3; j++) nd[i].apoyo[j]=0;

for(i=1; i<=elem; i++) clrscr(); printf("Elemento numero %i\n", i); for(j=1; j<=limit; j++) if(estruc=='a' || estruc=='m') printf("\nLimite %i= ", j); if(estruc=='t' || estruc=='r') printf("\nVertice %i= ", j); scanf("%i", &el[i].inciden[j]); printf("\n\nModulo de elasticidad (E) = "); scanf("%f", &E[i]); if(estruc == 'm' || estruc == 'a') printf("\nArea transversal (A) = "); scanf("%f", &A[i]); if(estruc == 'm') printf("\nMomento de Inercia (I) = "); scanf("%f", &I[i]); if(estruc == 't' || estruc == 'r') printf("\nEspesor del elemento (t) = "); scanf("%f", &t[i]);

Apéndice I



printf("\nModulo de poisson (alfa)= "); scanf("%f", &alfa[i]);

for(i=1; i<=elem; i++) xmax=x[el[i].inciden[1]]; xmin=x[el[i].inciden[1]]; ymax=y[el[i].inciden[1]]; ymin=y[el[i].inciden[1]];

x1=0; y1=0; for(j=1; j<=limit; j++) xmax=max(xmax, x[el[i].inciden[j]]); xmin=min(xmin, x[el[i].inciden[j]]); ymax=max(ymax, y[el[i].inciden[j]]); ymin=min(ymin, y[el[i].inciden[j]]);

l=1;

if(estruc=='t') if(j==3) l=2; if(estruc=='r') if(j==4) l=3;

dx=x[el[i].inciden[j+l]]x[el[i].inciden[j]]; dy=y[el[i].inciden[j+l]]y[el[i].inciden[j]];

x1=x1+y[el[i].inciden[j+l]]*x[el[i].inciden[j]]; y1=y1+x[el[i].inciden[j+l]]*y[el[i].inciden[j]];

if(dx == 0) el[i].beta[j]=90; else el[i].beta[j]=atand(dy/dx); if(el[i].beta[j] < 0) el[i].beta[j]=el[i].beta[j]+180;

el[i].L[j]=pow((pow(dx,2)+pow(dy,2)),(0.5));

Apéndice I



clrscr();

printf("\nElemento numero %i", i); if(estruc=='t' || estruc=='r') printf("\nExtremo %i%i", el[i].inciden[j], el[i].inciden[j+l]); printf("\n\nLongitud = %f", el[i].L[j]); printf("\nAngulo beta = %f", el[i].beta[j]); printf("\n\n\nPress any key to continue"); getch();

if(estruc=='a' || estruc=='m') j=2; el[i].dim[1]=xmaxxmin; el[i].dim[2]=ymaxymin; if(estruc=='t' || estruc=='r') A[i]=fabs(x1y1)/2; printf("\n\nSuperficie del elemento %i = %0.2f", i, A[i]); getch();

cargas();

//Creaci¢n del archivo datos fp=fopen(archivo, "w");

fprintf(fp, "%c\n", estruc); fprintf(fp, "%i\n", nodos); fprintf(fp, "%i\n", elem);

for(i=1; i<=nodos; i++) fprintf(fp, "%i ", nd[i].apoyo[5]); if(nd[i].apoyo[5]==1) fprintf(fp, "%i", nd[i].apoyo[4]); fprintf(fp, "\n");

for(i=1; i<=elem; i++) for(j=1; j<=limit; j++) fprintf(fp, "%i ", el[i].inciden[j]); fprintf(fp, "\n");

for(i=1; i<=nodos; i++) fprintf(fp, "%0.2f %0.2f\n", x[i], y[i]);

Apéndice I



for(i=1; i<=elem; i++) fprintf(fp, "%0.2f ", E[i]); fprintf(fp, "\n");

if(estruc == 'm' || estruc == 'a') for(i=1; i<=elem; i++) fprintf(fp, "%f ", A[i]); fprintf(fp, "\n");

if(estruc=='m') for(i=1; i<=elem; i++) fprintf(fp, "%f ", I[i]); fprintf(fp, "\n");

if(estruc=='t' || estruc=='r') for(i=1; i<=elem; i++) fprintf(fp, "%0.2f ", t[i]); fprintf(fp, "\n");

for(i=1; i<=elem; i++) fprintf(fp, "%0.2f ", alfa[i]); fprintf(fp, "\n");

fprintf(fp, "%i", ncar); for(i=1; i<=ncar; i++) fprintf(fp, "\n%i ", w[i].t); if(w[i].t == 1) fprintf(fp, "%f ", w[i].p); fprintf(fp, "%f ", w[i].a); fprintf(fp, "%i ", w[i].n); if(w[i].t == 2) fprintf(fp, "%f ", w[i].p); fprintf(fp, "%f ", w[i].a); fprintf(fp, "%f ", w[i].d); fprintf(fp, "%i ", w[i].e); if(estruc=='t' || estruc=='r') fprintf(fp, "%i ", w[i].ni); fprintf(fp, "%i ", w[i].nf);

Apéndice I



if(w[i].t == 3) fprintf(fp, "%f ", w[i].p); fprintf(fp, "%i ", w[i].e); if(estruc=='t' || estruc=='r') fprintf(fp, "%i ", w[i].ni); fprintf(fp, "%i ", w[i].nf);

fclose(fp); //fin datos

if(file==2) printf("Escriba el nombre de un archivo para trabajar: "); scanf("%s", archivo);

//Lectura del archivo datos fp=fopen(archivo, "r"); if(fp==NULL) printf("\nEl archivo no se puede abrir :"); printf("\n\nPresione cualquier tecla para salir del programa..."); getch(); exit(1);

fscanf(fp, "%s", &estruc); fscanf(fp, "%i", &nodos); x=(float* far) calloc(1, nodos*sizeof(float far)); y=(float* far) calloc(1, nodos*sizeof(float far)); nd=(matrix_nodo* far) calloc(1, nodos*sizeof(matrix_nodo far)); fscanf(fp, "%i", &elem); A=(float* far) calloc(1, elem*sizeof(float far)); E=(float* far) calloc(1, elem*sizeof(float far)); I=(float* far) calloc(1, elem*sizeof(float far)); alfa=(float* far) calloc(1, elem*sizeof(float far)); t=(float* far) calloc(1, elem*sizeof(float far)); el=(matrix_elem* far) calloc(1, elem*sizeof(matrix_elem far));

conversion();

for(i=1; i<=nodos; i++) fscanf(fp, "%i", &nd[i].apoyo[5]);

Apéndice I



if(nd[i].apoyo[5]==1) fscanf(fp, "%i", &nd[i].apoyo[4]); if(nd[i].apoyo[4]==1)

for(j=1; j<=3; j++) nd[i].apoyo[j]=1; if(nd[i].apoyo[4]==2) nd[i].apoyo[1]=1; nd[i].apoyo[2]=1; nd[i].apoyo[3]=0; if(nd[i].apoyo[4]==3) nd[i].apoyo[1]=0; nd[i].apoyo[2]=1; nd[i].apoyo[3]=0; if(nd[i].apoyo[5]==2) for(j=1; j<=3; j++) nd[i].apoyo[j]=0;

for(i=1; i<=elem; i++) for(j=1; j<=limit; j++) fscanf(fp, "%i", &el[i].inciden[j]);

for(i=1; i<=nodos; i++) fscanf(fp, "%f", &x[i]); fscanf(fp, "%f", &y[i]);

for(i=1; i<=elem; i++) fscanf(fp, "%f", &E[i]);

if(estruc == 'm' || estruc == 'a') for(i=1; i<=elem; i++) fscanf(fp, "%f", &A[i]);

if(estruc=='m')

Apéndice I



for(i=1; i<=elem; i++) fscanf(fp, "%f", &I[i]);

for(i=1; i<=elem; i++) xmax=x[el[i].inciden[1]]; xmin=x[el[i].inciden[1]]; ymax=y[el[i].inciden[1]]; ymin=y[el[i].inciden[1]];

x1=0; y1=0; for(j=1; j<=limit; j++) l=1; xmax=max(xmax, x[el[i].inciden[j]]); xmin=min(xmin, x[el[i].inciden[j]]); ymax=max(ymax, y[el[i].inciden[j]]); ymin=min(ymin, y[el[i].inciden[j]]);

if(estruc=='t') if(j==3) l=2; if(estruc=='r') if(j==4) l=3;

x1=x1+y[el[i].inciden[j+l]]*x[el[i].inciden[j]]; y1=y1+x[el[i].inciden[j+l]]*y[el[i].inciden[j]];

dx=x[el[i].inciden[j+l]]x[el[i].inciden[j]]; dy=y[el[i].inciden[j+l]]y[el[i].inciden[j]];

if(dx == 0) el[i].beta[j]=90; else el[i].beta[j]=atand(dy/dx);

if(el[i].beta[j] < 0) el[i].beta[j]=el[i].beta[j]+180;

el[i].L[j]=pow((pow(dx,2)+pow(dy,2)),(0.5));

if(estruc=='a' || estruc=='m') j=2;

Apéndice I



el[i].dim[1]=xmaxxmin; el[i].dim[2]=ymaxymin;

if(estruc=='t' || estruc=='r') A[i]=fabs(x1y1)/2;

if(estruc=='t' || estruc=='r') for(i=1; i<=elem; i++) fscanf(fp, "%f", &t[i]);

for(i=1; i<=elem; i++) fscanf(fp, "%f", &alfa[i]);

fscanf(fp, "%i", &cncar); for(ncar=1; ncar<=cncar; ncar++) fscanf(fp, "%i", &w[ncar].t); if(w[ncar].t == 1) fscanf(fp, "%f", &w[ncar].p); fscanf(fp, "%f", &w[ncar].a); fscanf(fp, "%i", &w[ncar].n); carga_puntual_sobre_nodo (); if(w[ncar].t == 2) fscanf(fp, "%f", &w[ncar].p); fscanf(fp, "%f", &w[ncar].a); fscanf(fp, "%f", &w[ncar].d); fscanf(fp, "%i", &w[ncar].e); if(estruc=='t' || estruc=='r') fscanf(fp, "%i", &w[ncar].ni); fscanf(fp, "%i", &w[ncar].nf); carga_puntual_sobre_elemento (); if(w[ncar].t == 3) fscanf(fp, "%f", &w[ncar].p); fscanf(fp, "%i", &w[ncar].e); if(estruc=='t' || estruc=='r') fscanf(fp, "%i", &w[ncar].ni); fscanf(fp, "%i", &w[ncar].nf); carga_distribuida ();

Apéndice I



fclose(fp); //fin datos

clrscr(); printf("Nodos = %i\n", nodos); for(i=1; i<=nodos; i++) printf("Nodo %i: Ap= %i x= %0.2f y= %0.2f px= %.2f py= %0.2f ", i, nd[i].apoyo[5], x[i], y[i],

nd[i].f[1], nd[i].f[2]); if(estruc=='m') printf("Mz= %f", nd[i].f[3]); printf("\n");

printf("Elementos = %i\n", elem); for(i=1; i<=elem; i++) printf("Elemento %i: limits: ", i); for(j=1; j<=limit; j++) printf("%i ", el[i].inciden[j]); printf("E= %0.2f A= %0.2f ", E[i], A[i]); if(estruc=='a' || estruc=='m') printf("L= %0.2f Beta= %0.2f ", el[i].L[1], el[i].beta[1]); if(estruc=='m') printf("I= %0.4f ", I[i]); if(estruc=='t' || estruc=='r') printf("t= %0.2f Alfa= %0.2f ", t[i], alfa[i]); printf("\n"); getch();

void geometry(void) float xi, yi, xf, yf, xmax, ymax, xmin, ymin;

for(i=2; i<=nodos; i++) xmax=max(xmax, x[i]); xmin=min(xmin, x[i]); ymax=max(ymax, y[i]); xmin=min(ymin, y[i]);

eh=400/(xmaxxmin); ev=250/(ymaxymin);

initgraph(&gdriver, &gmode, ruta);

Apéndice I




xmax=getmaxx()50; ymax=getmaxy()50;

setcolor(24); floodfill(10,10,SOLID_FILL); setcolor(19); rectangle(1, 1, getmaxx()100 ,getmaxy()100);

settextjustify(CENTER_TEXT, TOP_TEXT); settextstyle(DEFAULT_FONT, HORIZ_DIR, 1);

xi=(xmax60)/2; if(estruc=='a') outtextxy(xi, 10, "ARMADURAS"); if(estruc=='m') outtextxy(xi, 10, "MARCOS"); if(estruc=='t') outtextxy(xi, 10, "PLACAS TRIANGULARES"); if(estruc=='r') outtextxy(xi, 10, "PLACAS RECTANGULARES");

settextjustify(LEFT_TEXT, TOP_TEXT); settextstyle(DEFAULT_FONT, HORIZ_DIR, 1); outtextxy(20, 350, "Verifique la geometria para [C]ontinuar o [R]epetir");

xmax=xmax25; ymax=ymax25;

setcolor(19);

xmin=xmin*eh; ymin=ymin*ev; for(i=1; i<=elem; i++) for(j=1; j<=limit; j++) l=1; if(estruc=='t') if(j==3) l=2; if(estruc=='r') if(j==4) l=3; xi=40+x[el[i].inciden[j]]*eh;

Apéndice I



yi=275y[el[i].inciden[j]]*ev; xf=40+x[el[i].inciden[j+l]]*eh; yf=275y[el[i].inciden[j+l]]*ev; line(xi, yi, xf, yf);

settextjustify(CENTER_TEXT, BOTTOM_TEXT); settextstyle(SMALL_FONT, HORIZ_DIR, 4); if(el[i].beta[j]==90) settextjustify(BOTTOM_TEXT, CENTER_TEXT); settextstyle(SMALL_FONT, VERT_DIR, 4); sprintf(mesage, "L%i = %0.2f", i, el[i].L[j]); if(estruc=='t' || estruc=='r') sprintf(mesage, "%0.2f", el[i].L[j]);

xmax=max(xi,xf); xi=xmaxfabs(xixf)/2; ymax=max(yi,yf); yi=ymaxfabs(yiyf)/22; outtextxy(xi, yi, mesage);

if(estruc=='a' || estruc=='m') j=2; setcolor(20);

for(i=1; i<=nodos; i++) xi=40+x[i]*ehxmin; yi=275y[i]*evymin;

if(nd[i].apoyo[4]==2) apoyo2(); if(nd[i].apoyo[4]==1) apoyo1(); if(nd[i].apoyo[4]==3) apoyo3();

Apéndice I



key='d';

do key = tolower(getche()); while(key!='c' && key!='r'); restorecrtmode(); if(key=='r') exit(0);

void cargas (void) for(o_c=1; o_c<=1; o_c++) clrscr();

printf("\nTIPOS DE CARGA"); printf("\n\nCarga puntual sobre nodo 1"); printf("\n\nCarga puntual sobre elemento 2"); printf("\n\nCarga distribuida 3");

printf("\n\n\nOpci¢n elegida = "); scanf("%i", &w[ncar].t); printf("La opci¢n elegida es %i", w[ncar].t);

if(w[ncar].t!=1 && w[ncar].t!=2 && w[ncar].t!=3) printf("\nOpci¢n no valida, presione una tecla para continuar."); getch(); cargas();

for(repetir=1; repetir<=1; repetir++) clrscr(); ncar++; t_c=w[ncar].t; switch (t_c) case 1: printf("CARGA PUNTUAL SOBRE NODO"); printf("\n\n Carga = "); scanf("%f", &w[ncar].p); carga_puntual_sobre_nodo(); break;

case 2:

Apéndice I



printf("CARGA PUNTUAL SOBRE ELEMENTO"); printf("\n\n Carga = "); scanf("%f", &w[ncar].p); carga_puntual_sobre_elemento(); break;

case 3: printf("CARGA DISTRIBUIDA"); printf("\n\n Carga = "); scanf("%f", &w[ncar].p); carga_distribuida(); break;

clrscr();

printf("Continuar con el mismo tipo de carga [1]"); printf("\nCambiarla [2]"); printf("\n\nOpci¢n elegida = "); scanf("%i", &o_r);

if (o_r == 1) repetir=0; else repetir=1;

clrscr();

printf("Continuar cargando [1]"); printf("\nSalir [2]"); printf("\n\nOpci¢n elegida = "); scanf("%i", &o_s);

if (o_s == 1) o_c=0; else o_c=1;

void carga_puntual_sobre_nodo (void)

Apéndice I



float cx, cy;

if(file==1) printf("\nAngulo de la carga = "); scanf("%f", &w[ncar].a); printf("\nNodo a cargar = "); scanf("%i", &w[ncar].n);

cx=w[ncar].p*cosd(w[ncar].a); nd[w[ncar].n].f[1]=nd[w[ncar].n].f[1]+cx;

cy=w[ncar].p*sind(w[ncar].a); nd[w[ncar].n].f[2]=nd[w[ncar].n].f[2]+cy;

void carga_puntual_sobre_elemento (void) int count1 count2; float px, py, Rxi, Rxf, Ryi, Ryf, cx, cy, dx, dy, Lx, Ly, mxi, myi, mxf, myf;

if(file==1) printf("\nAngulo de la carga = "); scanf("%f", &w[ncar].a); printf("\nElemento a cargar = "); scanf("%i", &w[ncar].e); printf("\nLocalizaci¢n de [P] sobre el elemento = "); scanf("%f", &w[ncar].d);

if(estruc=='a' || estruc=='m') k=1; if(file==1) if(estruc=='t' || estruc=='r') printf("\nNodos afectados"); printf("\nPrimer Nodo = "); scanf("%i", &w[ncar].ni); printf("\nSegundo Nodo = "); scanf("%i", &w[ncar].nf); if(estruc=='t' || estruc=='r') for(i=1; i<=limit; i++)

Apéndice I



j=1; if(estruc=='t') if(i==3) j=2; if(estruc=='r') if(i==4) j=3;

px=w[ncar].p*cosd(w[ncar].a); py=w[ncar].p*sind(w[ncar].a);

if (el[w[ncar].e].beta[k] <= 90) w[ncar].a=el[w[ncar].e].beta[k]+w[ncar].a; if (w[ncar].a >= 360) w[ncar].a=w[ncar].a360; else if ((180el[w[ncar].e].beta[k]) > w[ncar].a) w[ncar].a=180+el[w[ncar].e].beta[k]+w[ncar].a; else w[ncar].a=w[ncar].a(180el[w[ncar].e].beta[k]);

if(estruc=='a' || estruc=='m') w[ncar].ni=el[w[ncar].e].inciden[1]; w[ncar].nf=el[w[ncar].e].inciden[2];

dx=fabs(w[ncar].d*cosd(el[w[ncar].e].beta[k])); dy=fabs(w[ncar].d*sind(el[w[ncar].e].beta[k])); Lx=fabs(el[w[ncar].e].L[k]*cosd(el[w[ncar].e].beta[k]));

Apéndice I



Ly=fabs(el[w[ncar].e].L[k]*sind(el[w[ncar].e].beta[k]));

if(count1==1 && count2>1) if(nd[w[ncar].ni].apoyo[5]==1) if(nd[w[ncar].ni].apoyo[4]==1) if(w[ncar].d==el[w[ncar].e].L[k]/2) Rxi=px/2; Ryi=py/2; Rxf=px/2; Ryf=py/2; else Rxi=px/2; Ryi=v_emp(py, w[ncar].d, (el[w[ncar].e].L[k]w[ncar].d), el[w[ncar].e].L[k]); Rxf=px/2; Ryf=v_emp(py, (el[w[ncar].e].L[k]w[ncar].d), w[ncar].d, el[w[ncar].e].L[k]); mxi=fabs(px*pow(Lydy,2)*dy/pow(Ly,2)); myi=fabs(py*pow(Lxdx,2)*dx/pow(Lx,2)); mxf=fabs(px*pow(dy,2)*(Lydy)/pow(Ly,2)); myf=fabs(py*pow(dx,2)*(Lxdx)/pow(Lx,2)); if(nd[w[ncar].ni].apoyo[4]==2 || nd[w[ncar].ni].apoyo[4]==3) if(w[ncar].d==el[w[ncar].e].L[k]/2) Rxi=px/2; Ryi=5*py/16; Rxf=px/2; Ryf=11*py/16; if(nd[w[ncar].ni].apoyo[5]==2) Rxf=px; Ryf=py; mxf=px*(Lydy); myf=py*(Lxdx);

if(count1>=2 && count2>=2) if(w[ncar].d==el[w[ncar].e].L[k]/2) Rxi=px/2; Ryi=py/2; Rxf=px/2; Ryf=py/2; else Rxi=px/2; Ryi=v_emp(py, w[ncar].d, (el[w[ncar].e].L[k]w[ncar].d), el[w[ncar].e].L[k]); Rxf=px/2; Ryf=v_emp(py, (el[w[ncar].e].L[k]w[ncar].d), w[ncar].d, el[w[ncar].e].L[k]);

Apéndice I



mxi=fabs(px*pow(Lydy,2)*dy/pow(Ly,2)); myi=fabs(py*pow(Lxdx,2)*dx/pow(Lx,2)); mxf=fabs(px*pow(dy,2)*(Lydy)/pow(Ly,2)); myf=fabs(py*pow(dx,2)*(Lxdx)/pow(Lx,2));

el[w[ncar].e].mome[3]=el[w[ncar].e].mome[3]+mxi+myi; el[w[ncar].e].mome[6]=el[w[ncar].e].mome[6]+mxf+myf; nd[w[ncar].ni].f[3]=nd[w[ncar].ni].f[3]+mxi+myi; nd[w[ncar].nf].f[3]=nd[w[ncar].nf].f[3]+mxf+myf;

for(i=1; i<=2; i++) if(i==1) cx=Rxi*cosd(w[ncar].a); cy=Rxi*sind(w[ncar].a);

nd[w[ncar].ni].f[1]=cx+nd[w[ncar].ni].f[1]; el[w[ncar].e].mome[1]=cx+el[w[ncar].e].mome[1];

nd[w[ncar].ni].f[2]=cy+nd[w[ncar].ni].f[2]; el[w[ncar].e].mome[2]=cy+el[w[ncar].e].mome[2]; cx=Ryi*cosd(w[ncar].a); cy=Ryi*sind(w[ncar].a); if(file==1) printf("\nInicial\n"); printf("Px = %f\n", nd[w[ncar].ni].f[1]); printf("Py = %f\n", nd[w[ncar].ni].f[2]); if(estruc=='m') printf("Mz = %f", nd[w[ncar].ni].f[3]); getch();

for(i=1; i<=2; i++) if(i==1) cx=Rxf*cosd(w[ncar].a); cy=Rxf*sind(w[ncar].a); //Nodo final nd[w[ncar].nf].f[1]=cx+nd[w[ncar].nf].f[1]; el[w[ncar].e].mome[4]=cx+el[w[ncar].e].mome[4];

Apéndice I



nd[w[ncar].nf].f[2]=cy+nd[w[ncar].nf].f[2]; el[w[ncar].e].mome[5]=cy+el[w[ncar].e].mome[5];

cx=Ryf*cosd(w[ncar].a); cy=Ryf*sind(w[ncar].a); if(file==1) printf("\nFinal\n"); printf("Px = %f\n", nd[w[ncar].nf].f[1]); printf("Py = %f\n", nd[w[ncar].nf].f[2]); if(estruc=='m') printf("Mz = %f", nd[w[ncar].nf].f[3]); getch();

float v_emp (float p, float a, float b, float Le) float r; r=p*pow(b, 2)*(3*a+b)/pow(Le, 3); return (r);

void carga_distribuida (void) int count1, count2; float a, pcon, cx, cy, mi, mf;

if(file==1) printf("Elemento a cargar = "); scanf("%i", &w[ncar].e); if(estruc=='a' || estruc=='m') k=1; if(file==1) if(estruc=='t' || estruc=='r') printf("\nNodos afectados"); printf("\nPrimer Nodo = "); scanf("%i", &w[ncar].ni); printf("\nSegundo Nodo = "); scanf("%i", &w[ncar].nf);

Apéndice I



if(estruc=='t' || estruc=='r') for(i=1; i<=limit; i++) j=1; if(estruc=='t') if(i==3) j=2; if(estruc=='r') if(i==4) j=3; if((el[w[ncar].e].inciden[i]==w[ncar].ni && el[w[ncar].e].inciden[i+j]==w[ncar].nf) ||

(el[w[ncar].e].inciden[i]==w[ncar].nf && el[w[ncar].e].inciden[i+j]==w[ncar].ni)) k=i;

if (el[w[ncar].e].beta[k] <= 90) a=el[w[ncar].e].beta[k]+90; if(el[w[ncar].e].beta[k] == 90) a=0; else a=el[w[ncar].e].beta[k]90;

if(estruc=='a' || estruc=='m') pcon=w[ncar].p*el[w[ncar].e].L[k]/2; w[ncar].ni=el[w[ncar].e].inciden[1]; w[ncar].nf=el[w[ncar].e].inciden[2]; if(estruc=='t' || estruc=='r') pcon=w[ncar].p*el[w[ncar].e].L[k]*t[w[ncar].e]/2;

Apéndice I



cx=pcon*cosd(a); cy=pcon*sind(a);

if(count1==1 && count2==1) if(nd[w[ncar].ni].apoyo[5]==1) if(nd[w[ncar].ni].apoyo[4]==1) count1=2; if(nd[w[ncar].nf].apoyo[5]==1) if(nd[w[ncar].nf].apoyo[4]==1) count2=2;

if(count2==1 && count1>1) if(nd[w[ncar].nf].apoyo[5]==1) if(nd[w[ncar].nf].apoyo[4]==1) mi=fabs(w[ncar].p*pow(el[w[ncar].e].L[k],2)/12); mf=mi; if(nd[w[ncar].nf].apoyo[4]==2 || nd[w[ncar].nf].apoyo[4]==3) mi=fabs(w[ncar].p*pow(el[w[ncar].e].L[k],2)/8); if(nd[w[ncar].nf].apoyo[5]==2) mi=fabs(w[ncar].p*pow(el[w[ncar].e].L[k],2)/2);

if(count1>=2 && count2>=2) mi=fabs(w[ncar].p*pow(el[w[ncar].e].L[k],2)/12); mf=mi;

el[w[ncar].e].mome[3]=el[w[ncar].e].mome[3]+mi; el[w[ncar].e].mome[6]=el[w[ncar].e].mome[6]+mf; nd[w[ncar].ni].f[3]=nd[w[ncar].ni].f[3]+mi; nd[w[ncar].nf].f[3]=nd[w[ncar].nf].f[3]+mf;

/*Nodo inicial*/ /*Px*/ nd[w[ncar].ni].f[1]=cx+nd[w[ncar].ni].f[1]; el[w[ncar].e].mome[1]=cx+el[w[ncar].e].mome[1]; /*Py*/ nd[w[ncar].ni].f[2]=cy+nd[w[ncar].ni].f[2]; el[w[ncar].e].mome[2]=cy+el[w[ncar].e].mome[2]; if(file==1) printf("\nInicial\n"); printf("Px = %f\n", nd[w[ncar].ni].f[1]);

Apéndice I



printf("Py = %f\n", nd[w[ncar].ni].f[2]); if(estruc=='m') printf("Mz = %f", nd[w[ncar].ni].f[3]); getch();

/*Nodo final*/ /*Px*/ nd[w[ncar].nf].f[1]=cx+nd[w[ncar].nf].f[1]; el[w[ncar].e].mome[4]=cx+el[w[ncar].e].mome[4]; /*Py*/ nd[w[ncar].nf].f[2]=cy+nd[w[ncar].nf].f[2]; el[w[ncar].e].mome[5]=cy+el[w[ncar].e].mome[5]; if(file==1) printf("\nFinal\n"); printf("Px = %f\n", nd[w[ncar].nf].f[1]); printf("Py = %f\n", nd[w[ncar].nf].f[2]); if(estruc=='m') printf("Mz = %f", nd[w[ncar].nf].f[3]); getch();

void rigidez (void) int e, le; float add, c, d1, d2, d3, d12, d33, p;

if(estruc=='a') for(e=1; e<=elem; e++) add=E[e]*A[e]/el[e].L[1]; trans[1][1]=cosd(el[e].beta[1]); trans[2][1]=sind(el[e].beta[1]); for(i=1; i<=2; i++) el[e].ttrans[1][i]=trans[i][1]; for(i=0; i<=2; i+=2) for(j=0; j<=2; j+=2) c=add; if(((i==0) && (j==2)) || ((i==2) && (j==0)))

Apéndice I



c=1*add; for(k=1; k<=2; k++) for(l=1; l<=2; l++) el[e].ke[i+k][j+l]=c*trans[k][1]*el[e].ttrans[1][l];

if(estruc=='m') for(e=1; e<=elem; e++) kl[1][1]=E[e]*A[e]/el[e].L[1]; kl[2][2]=12*E[e]*I[e]/pow(el[e].L[1],3); kl[2][3]=6*E[e]*I[e]/pow(el[e].L[1],2); kl[3][3]=4*E[e]*I[e]/el[e].L[1];

kl[4][4]=kl[1][1]; kl[5][5]=kl[2][2]; kl[5][6]=kl[2][3]; kl[6][6]=kl[3][3];

kl[1][4]=kl[1][1]; kl[2][5]=kl[2][2]; kl[2][6]=kl[2][3]; kl[3][5]=kl[2][3]; kl[3][6]=2*E[e]*I[e]/el[e].L[1];

for(i=2; i<=6; i++) for(j=1; j<=i1; j++) kl[i][j]=kl[j][i];

trans[1][1]=cosd(el[e].beta[1]); trans[2][1]=sind(el[e].beta[1]); trans[3][3]=1; trans[1][2]=trans[2][1]; trans[2][2]=trans[1][1];

for(i=1; i<=3; i++) for(j=1; j<=3; j++)

Apéndice I



el[e].ttrans[j][i]=trans[i][j];

for(i=0; i<=3; i+=3) for(j=0; j<=3; j+=3) for(k=1; k<=3; k++) for(l=1; l<=3; l++) add=0; for(le=1; le<=3; le++)

add=add+trans[k][le]*kl[i+le][j+l]; tk[k][l]=add; for(l=1; l<=3; l++) for(le=1; le<=3; le++)

el[e].ke[i+k][j+l]=el[e].ke[i+k][j+l]+tk[k][le]*el[e].ttrans[le][l];

if(estruc=='t') for(e=1; e<=elem; e++) cxy[1][1]=y[el[e].inciden[2]]y[el[e].inciden[3]]; cxy[1][2]=x[el[e].inciden[3]]x[el[e].inciden[2]]; cxy[2][1]=y[el[e].inciden[3]]y[el[e].inciden[1]]; cxy[2][2]=x[el[e].inciden[1]]x[el[e].inciden[3]]; cxy[3][1]=y[el[e].inciden[1]]y[el[e].inciden[2]]; cxy[3][2]=x[el[e].inciden[2]]x[el[e].inciden[1]];

for(i=1, j=2, k=1; i<=5 && j<=6 && k<=3; i+=2, j+=2, k++) b[1][i]=cxy[k][1]; b[2][j]=cxy[k][2]; b[3][i]=cxy[k][2]; b[3][j]=cxy[k][1];

d1=E[e]/(1pow(alfa[e],2)); d2=alfa[e];

Apéndice I



d3=(1alfa[e])/2;

def[1][1]=1; def[1][2]=d2; def[2][2]=1; def[2][1]=d2; def[3][3]=d3;

for(i=1; i<=6; i++) for(j=1; j<=3; j++) add=0; for(k=1; k<=3; k++) add=add+b[k][i]*def[k][j]; btd[i][j]=add; for(j=1; j<=6; j++) for(k=1; k<=3; k++) el[e].ke[i][j]=el[e].ke[i][j]+btd[i][k]*b[k][j]; el[e].ke[i][j]=(t[e]*d1/(4*A[e]))*el[e].ke[i][j]; for(i=1; i<=3; i++) for(j=1; j<=6; j++) for(k=1; k<=3; k++) el[e].db[i][j]=el[e].db[i][j]+def[i][k]*b[k][j]; el[e].db[i][j]=el[e].db[i][j]*(d1/(2*A[e]));

if(estruc=='r') for(e=1; e<=elem; e++) d1=E[e]/(1alfa[e]*alfa[e]); d2=alfa[e]; d3=(1alfa[e])/2; d12=d1*d2; d33=d1*d3; p=el[e].dim[1]/el[e].dim[2];

Apéndice I



el[e].ke[1][1]=4*d1/p+4*d33*p; for(i=3; i<=7; i+=2) el[e].ke[i][i]=el[e].ke[1][1]; el[e].ke[2][2]=4*d1*p+4*d33/p; for(i=4; i<=8; i+=2) el[e].ke[i][i]=el[e].ke[2][2]; el[e].ke[2][1]=3*d12+3*d33; el[e].ke[6][5]=3*d12+3*d33; el[e].ke[7][4]=3*d12+3*d33;

el[e].ke[8][3]=3*d12+3*d33; for(i=4; i<=8; i+=4) el[e].ke[i][i1]=el[e].ke[2][1]; el[e].ke[5][2]=el[e].ke[2][1]; el[e].ke[6][1]=el[e].ke[2][1]; for(i=3; i<=7; i+=2) el[e].ke[i][i1]=3*d12+3*d33; el[e].ke[8][1]=3*d12+3*d33; for(i=4; i<=8; i+=2) el[e].ke[i][i3]=3*d123*d33; el[e].ke[7][2]=3*d123*d33; el[e].ke[3][1]=4*d1/p+2*d33*p; el[e].ke[6][4]=4*d1*p+2*d33/p; el[e].ke[7][5]=4*d1/p+2*d33*p;

el[e].ke[8][2]=4*d1*p+2*d33/p; for(i=4; i<=8; i+=4) el[e].ke[i][i2]=2*d1*p4*d33/p; for(i=1; i<=3; i+=2) el[e].ke[8i][i]=2*d1/p4*d33*p; for(i=1; i<=3; i+=2) el[e].ke[i+4][i]=2*d1/p2*d33*p; for(i=2; i<=4; i+=2) el[e].ke[i+4][i]=2*d1*p2*d33/p;

for(i=1; i<=8; i++) for(j=1; j<=i; j++) el[e].ke[i][j]=t[e]*el[e].ke[i][j]/12; for(i=2; i<=8; i++) for(j=1; j<=i1; j++) el[e].ke[j][i]=el[e].ke[i][j];

el[e].db[1][1]=d1*(el[e].dim[2]el[e].dim[2]/2); el[e].db[2][1]=d12*(el[e].dim[2]el[e].dim[2]/2); el[e].db[3][1]=d33*(el[e].dim[1]el[e].dim[1]/2);

el[e].db[1][2]=d12*(el[e].dim[1]el[e].dim[1]/2); el[e].db[2][2]=d1*(el[e].dim[1]el[e].dim[1]/2); el[e].db[3][2]=d33*(el[e].dim[2]el[e].dim[2]/2);

Apéndice I



el[e].db[1][3]=el[e].db[1][1]; el[e].db[2][3]=el[e].db[2][1]; el[e].db[3][3]=d33*el[e].dim[1]/2;

el[e].db[1][4]=d12*el[e].dim[1]/2; el[e].db[2][4]=d1*el[e].dim[1]/2; el[e].db[3][4]=el[e].db[3][2];

el[e].db[1][5]=d1*el[e].dim[2]/2; el[e].db[2][5]=d12*el[e].dim[2]/2; el[e].db[3][5]=el[e].db[3][3];

el[e].db[1][6]=el[e].db[1][4]; el[e].db[2][6]=el[e].db[2][4]; el[e].db[3][6]=d33*el[e].dim[2]/2;

el[e].db[1][7]=el[e].db[1][5]; el[e].db[2][7]=el[e].db[2][5]; el[e].db[3][7]=el[e].db[3][1];

el[e].db[1][8]=el[e].db[1][2]; el[e].db[2][8]=el[e].db[2][2]; el[e].db[3][8]=el[e].db[3][6];

for(i=1; i<=3; i++) for(j=1; j<=8; j++) el[e].db[i][j]=el[e].db[i][j]/(el[e].dim[1]*el[e].dim[2]);

void ensamble (void) for(i=1; i<=nodos; i++) for(j=1; j<=glib; j++) if(nd[i].apoyo[j]==0) tm_kt++; nd[i].ec[j]=tm_kt; else nd[i].ec[j]=0;

Apéndice I



for(i=1; i<=elem; i++) for(j=1, k=0; j<=limit && k<=limit; j++, k++) for(l=1; l<=glib; l++) el[i].loc[k+l]=nd[el[i].inciden[j]].ec[l]; for(i=1; i<=elem; i++) for(j=1; j<=limit*glib; j++) for(k=j; k<=limit*glib; k++) if(el[i].loc[j]!= 0) kt[el[i].loc[j]][el[i].loc[k]]=kt[el[i].loc[j]][el[i].loc[k]]+el[i].ke[j][k];

for(i=1; i<=nodos; i++) for(j=1; j<=glib; j++) if(nd[i].ec[j]!=0) kt[nd[i].ec[j]][tm_kt+1]=nd[i].f[j];

void fuerzas_finales (void) int n, e; float add;

for(i=1; i<=elem; i++) for(j=1, l=0; j<=limit && l<=limit*glib; j++, l+=glib) for(k=1; k<=glib; k++) dn[l+k]=nd[el[i].inciden[j]].d[k];

Apéndice I



if(estruc=='a' || estruc=='m') for(j=1; j<=limit*glib; j++) add=0; for(k=1; k<=limit*glib; k++) add=add+el[i].ke[j][k]*dn[k]; el[i].Fg[j]=add;

el[i].Fg[2]=(el[i].Fg[2]el[i].mome[2]); el[i].Fg[5]=(el[i].Fg[5]el[i].mome[5]);

for(e=1, l=0; e<=glib && l<=limit*glib; e++, l+=glib) for(j=1; j<=glib; j++) add=0; if(estruc=='m') n=j; else n=1; for(k=1; k<=glib; k++) add=add+el[i].ttrans[n][k]*el[i].Fg[l+k]; if(estruc=='a') el[i].Fl[e]=add; if(estruc=='m') el[i].Fl[j+l]=add; if(estruc=='t' || estruc=='r') for(j=1; j<=3; j++) add=0; for(k=1; k<=limit*glib; k++)

Apéndice I



add=add+el[i].db[j][k]*dn[k]; el[i].Fl[j]=add;

printf("Fuerzas finales\n"); for(i=1; i<=elem; i++) printf("Elemento %i\n", i); if(estruc=='a') for(j=1; j<=glib; j++) printf("%.2f ", el[i].Fl[j]); if(estruc=='m') for(j=1; j<=limit*glib; j++) printf("%.2f ", el[i].Fl[j]); if(estruc=='t' || estruc=='r') for(j=1; j<=3; j++) printf("%.8f ", el[i].Fl[j]); printf("\n"); getch();

void salida (void) char print;

clrscr(); printf("\n\n¨Desea imprimir los datos en un archivo de salida ? s/n "); do print=tolower(getche()); while(print!='s' && print!='n');

if(print=='s')

Apéndice I



printf("\n\nNombre del archivo: "); scanf("%s", output); fp=fopen(output, "w");

if(estruc=='a') fprintf(fp, "ARMADURA"); if(estruc=='m') fprintf(fp, "MARCO"); if(estruc=='t') fprintf(fp, "PLACAS TRIANGULARES"); if(estruc=='r') fprintf(fp, "PLACAS RECTANGULARES"); fprintf(fp, "\nDatos de Entrada"); fprintf(fp, "\n\nNodos Coordenadas Grados de libertad"); fprintf(fp, "\n X Y X Y Giro"); for(i=1; i<=nodos; i++) fprintf(fp, "\n %i %1.2f %1.2f %i %i %i", i, x[i], y[i], nd[i].apoyo[1],

nd[i].apoyo[2], nd[i].apoyo[3]);

fprintf(fp, "\n\nElemento Incidencias E A"); if(estruc=='m' || estruc=='a') fprintf(fp, " Longitud Beta"); if(estruc=='m') fprintf(fp, " Mom Iner"); if(estruc=='t' || estruc=='r') fprintf(fp, " Espesor Mod. Poisson"); for(i=1; i<=elem; i++) fprintf(fp, "\n %i ", i); for(j=1; j<=limit; j++) fprintf(fp, "%i ", el[i].inciden[j]); fprintf(fp, " %1.2f %1.2f ", E[i], A[i]); if(estruc=='a' || estruc=='m') fprintf(fp, "%1.2f %1.2f", el[i].L[1], el[i].beta[1]); if(estruc=='m') fprintf(fp, " %1.4f", I[i]); if(estruc=='t' || estruc=='r') fprintf(fp, "%1.2f %1.2f", t[i], alfa[i]);

fprintf(fp, "\n\nDatos de Salida");

Apéndice I



fprintf(fp, "\n\nNodo Cargas Desplazamientos"); fprintf(fp, "\n X Y"); if(estruc=='m') fprintf(fp, " Mz "); fprintf(fp, "X Y"); if(estruc=='m') fprintf(fp, " Giro"); for(i=1; i<=nodos; i++) fprintf(fp, "\n %i ", i); for(j=1; j<=glib; j++) fprintf(fp, "%1.2f ", nd[i].f[j]); for(j=1; j<=glib; j++) fprintf(fp, "%1.5f ", nd[i].d[j]);

fprintf(fp, "\n\nElemento"); if(estruc=='a') fprintf(fp, " Axial"); fprintf(fp, "\n P1 P2"); if(estruc=='m') fprintf(fp, " Elementos Mecanicos"); fprintf(fp, "\n Nodo Inicial Nodo Final"); fprintf(fp, "\n Axial V Mz Axial V Mz"); if(estruc=='t' || estruc=='r') fprintf(fp, " Esfuerzos"); fprintf(fp, "\n X Y XY"); for(i=1; i<=elem; i++) fprintf(fp, "\n %i ", i); if(estruc=='a') for(j=1; j<=glib; j++) fprintf(fp, "%1.2f ", el[i].Fl[j]); if(estruc=='m') for(j=1; j<=limit*glib; j++)

Apéndice I



fprintf(fp, "%1.2f ", el[i].Fl[j]); if(estruc=='t' || estruc=='r') for(j=1; j<=3; j++) fprintf(fp, "%1.3f ", el[i].Fl[j]);

fprintf(fp, "\n\n\nby: M. en C. ELIU ROSETE CARRANCO"); fprintf(fp, "\n LUIS ALBERTO PEREZ VILLAR");

fclose(fp);

void diagrama (void) int e; float a, xmax, ymax, yvmax, ymmax;

a=el[1].beta[1]; viga='s'; for(i=2; i<=elem; i++) if(a!=el[i].beta[1]) viga='n';

switch(viga) case 's':

xmax=0; for(i=1; i<=elem; i++) xmax=xmax+el[i].L[1];

yvmax=fabs(el[1].Fl[2]); ymmax=fabs(el[1].Fl[3]); for(e=1; e<=elem; e++) for(i=2, j=3; i<=5 && j<=6; i+=3, j+=3) yvmax=max(yvmax, fabs(el[e].Fl[i])); ymmax=max(ymmax, fabs(el[e].Fl[j]));

Apéndice I



eh=400/xmax; ev=60/(2*yvmax); em=60/(2*ymmax);




xmax=getmaxx()50; ymax=getmaxy()50; setviewport(50, 50, xmax, ymax, clip_on);


xmax=xmax25; ymax=ymax25; setviewport(75, 75, xmax, ymax, clip_on);

setcolor(19); outtextxy(25, 115, "Vo"); outtextxy(25, 195, "Mo");

for(i=1; i<=elem; i++) if(i==1) Pi=40; else Pi=Pi+int(el[i1].L[1]*eh); vigas (); getch();

restorecrtmode(); break;

case 'n': do printf("\n\nEscriba el numero de elemento que quiere ver "); scanf("%i", &i);

Apéndice I



yvmax=max(fabs(el[i].Fl[2]), fabs(el[i].Fl[5])); ymmax=max(fabs(el[i].Fl[3]), fabs(el[i].Fl[6]));

eh=400/el[i].L[1]; ev=60/(2*yvmax); em=60/(2*ymmax);




xmax=getmaxx()50; ymax=getmaxy()50; setviewport(50, 50, xmax, ymax, clip_on);


xmax=xmax25; ymax=ymax25; setviewport(75, 75, xmax, ymax, clip_on);

setcolor(19); outtextxy(25, 115, "Vo"); outtextxy(25, 195, "Mo"); Pi=40; vigas (); getch();

restorecrtmode();

clrscr(); printf("\nDesea ver otro elemento"); printf("\nSi [1]"); printf("\nNo [2]"); printf("\nOpci¢n elegida "); scanf("%i", &o_s); while(o_s==1); break;

Apéndice I



void vigas (void) int interp, ncon; float xp, yv, ym, dist[10], inter, dmin, m, v, Li; char cort[80];

ncon=0; pdist=0; for(j=1; j<=ncar; j++) if(i==w[j].e) if(w[j].t==2) ncon++; dist[ncon]=w[j].d; pos[ncon]=j; if(w[j].t==3) pdist=pdist+w[j].p;

if(ncon>1) for(j=1; j<=ncon1; j++) dmin=dist[j]; for(k=j+1; k<=ncon; k++) dmin=min(dmin, dist[k]); for(k=j;k<=ncon; k++) if(dmin==dist[k]) inter=dist[k]; dist[k]=dist[j]; dist[j]=inter;

interp=pos[k]; pos[k]=pos[j]; pos[j]=interp;

li=0; v=el[i].Fl[5]; m=el[i].Fl[6]; Li=el[i+1].L[1];

Apéndice I



for(j=1; j<=ncon; j++) if(j != ncon) lf=int(fabs(Liw[pos[j+1]].d)*eh); else lf=int(el[i].L[1]*eh); setcolor(19); line(Pi, 120, Pi+lf, 120); line(Pi, 200, Pi+lf, 200);

for(k=li; k<=lf; k++) xp=k/eh; yv=cortante(xp, v); ym=momento(xp, v, m, Li); if(xp==0) setcolor(19); settextjustify(LEFT_TEXT, CENTER_TEXT); sprintf(cort, "%0.2f", yv); outtextxy(Pi, 120yv*ev*1.3, cort); sprintf(cort, "%0.2f", ym); outtextxy(Pi, 200ym*em*1.3, cort); li=lf;

float momento (float xp, float v, float m, float Li) float ym; ym=m+v*xp+pdist*xp*xp/2; for(l=1; l<=j; l++) ym=ymw[pos[l]].p*sind(w[pos[l]].a)*(xpfabs(Liw[pos[l]].d)); return(ym);

float cortante (float xp, float v) float yv; yv=v+pdist*xp; for(l=1; l<=j; l++) yv=yvw[pos[l]].p*sind(w[pos[l]].a); return(yv);

Apéndice II


Ejemplos complementarios

A A Ap p pé é én n nd d di iic c ce e e I I I I I I E E Ej j je e em m mp p pl llo o os s s C C Co o om m mp p pl lle e em m me e en n nt t ta a ar r r i iio o os s s

Apéndice II

Apéndice II



EJEMPLO DE PLACA TRIANGULAR DE 64 ELEMENTOS

Espesor de la Placa

0.1 cm Modulo de Elasticidad: 10,000,000

Ejemplo Placa Triangular

45

90

45

31 27 23 19

30 cm 18

2

30 cm

1 1

3 4

3 4 17

15 20

12 13 9 9 5 2 6

30 cm

30 cm 30 cm 30 cm

30

14 12 6 7 8

7

13 16 10 10

11 15

21 5 8

18 24 28 22

25 11 29

32 26 20 22

14

50

34 24

33 17

36

26 35

49

5133 52

35

30 cm

46 31 29 27

37 16 19

40 38 44

45 41 21

48 42

25 28 39

53 30 43 47

57 61

30 cm

23

32

62

5536 56 54 60

34 37 63 59

64 38 58 40

39 41

PLACAS TRIANGULARES Datos de Entrada


1 0.00 0.00 1 1 1 2 30.00 0.00 0 0 0 3 15.00 15.00 0 0 0 4 0.00 30.00 0 0 0 5 30.00 30.00 0 0 0 6 60.00 0.00 0 0 0 7 45.00 15.00 0 0 0 8 60.00 30.00 0 0 0 9 90.00 0.00 0 0 0 10 75.00 15.00 0 0 0 11 90.00 30.00 0 0 0 12 120.00 0.00 0 0 0 13 105.00 15.00 0 0 0 14 120.00 30.00 0 0 0 15 15.00 45.00 0 0 0 16 30.00 60.00 0 0 0 17 0.00 60.00 1 1 1 18 45.00 45.00 0 0 0 19 60.00 60.00 0 0 0 20 75.00 45.00 0 0 0

Figura 5.1

Apéndice II



21 90.00 60.00 0 0 0 22 105.00 45.00 0 0 0 23 120.00 60.00 0 0 0 24 15.00 75.00 0 0 0 25 30.00 90.00 0 0 0 26 0.00 90.00 0 0 0 27 45.00 75.00 0 0 0 28 60.00 90.00 0 0 0 29 75.00 75.00 0 0 0 30 90.00 90.00 0 0 0 31 105.00 75.00 0 0 0 32 120.00 90.00 0 0 0 33 15.00 105.00 0 0 0 34 30.00 120.00 0 0 0 35 0.00 120.00 1 1 1 36 45.00 105.00 0 0 0 37 60.00 120.00 0 0 0 38 75.00 105.00 0 0 0 39 90.00 120.00 0 0 0 40 105.00 105.00 0 0 0 41 120.00 120.00 0 0 0

Elemento Incidencias E A Espesor Mod. Poisson 1 1 2 3 10000000.00 225.00 0.10 0.25 2 3 2 5 10000000.00 225.00 0.10 0.25 3 5 4 3 10000000.00 225.00 0.10 0.25 4 3 4 1 10000000.00 225.00 0.10 0.25 5 2 6 7 10000000.00 225.00 0.10 0.25 6 7 6 8 10000000.00 225.00 0.10 0.25 7 8 5 7 10000000.00 225.00 0.10 0.25 8 7 5 2 10000000.00 225.00 0.10 0.25 9 6 9 10 10000000.00 225.00 0.10 0.25 10 10 9 11 10000000.00 225.00 0.10 0.25 11 11 8 10 10000000.00 225.00 0.10 0.25 12 10 8 6 10000000.00 225.00 0.10 0.25 13 9 12 13 10000000.00 225.00 0.10 0.25 14 13 12 14 10000000.00 225.00 0.10 0.25 15 14 11 13 10000000.00 225.00 0.10 0.25 16 13 11 9 10000000.00 225.00 0.10 0.25 17 4 5 15 10000000.00 225.00 0.10 0.25 18 15 5 16 10000000.00 225.00 0.10 0.25 19 16 17 15 10000000.00 225.00 0.10 0.25 20 15 17 4 10000000.00 225.00 0.10 0.25 21 5 8 18 10000000.00 225.00 0.10 0.25 22 18 8 19 10000000.00 225.00 0.10 0.25 23 19 16 18 10000000.00 225.00 0.10 0.25 24 18 16 5 10000000.00 225.00 0.10 0.25 25 8 11 20 10000000.00 225.00 0.10 0.25 26 20 11 21 10000000.00 225.00 0.10 0.25 27 21 19 20 10000000.00 225.00 0.10 0.25 28 20 19 8 10000000.00 225.00 0.10 0.25 29 11 14 22 10000000.00 225.00 0.10 0.25 30 22 14 23 10000000.00 225.00 0.10 0.25

Apéndice II



31 23 21 22 10000000.00 225.00 0.10 0.25 32 22 21 11 10000000.00 225.00 0.10 0.25 33 17 16 24 10000000.00 225.00 0.10 0.25 34 24 16 25 10000000.00 225.00 0.10 0.25 35 25 26 24 10000000.00 225.00 0.10 0.25 36 24 26 17 10000000.00 225.00 0.10 0.25 37 16 19 27 10000000.00 225.00 0.10 0.25 38 27 19 28 10000000.00 225.00 0.10 0.25 39 28 25 27 10000000.00 225.00 0.10 0.25 40 27 25 16 10000000.00 225.00 0.10 0.25 41 19 21 29 10000000.00 225.00 0.10 0.25 42 29 21 30 10000000.00 225.00 0.10 0.25 43 30 28 29 10000000.00 225.00 0.10 0.25 44 29 28 19 10000000.00 225.00 0.10 0.25 45 21 23 31 10000000.00 225.00 0.10 0.25 46 31 23 32 10000000.00 225.00 0.10 0.25 47 32 30 31 10000000.00 225.00 0.10 0.25 48 31 30 21 10000000.00 225.00 0.10 0.25 49 26 25 33 10000000.00 225.00 0.10 0.25 50 33 25 34 10000000.00 225.00 0.10 0.25 51 34 35 33 10000000.00 225.00 0.10 0.25 52 33 35 26 10000000.00 225.00 0.10 0.25 53 25 28 36 10000000.00 225.00 0.10 0.25 54 36 28 37 10000000.00 225.00 0.10 0.25 55 37 34 36 10000000.00 225.00 0.10 0.25 56 36 34 25 10000000.00 225.00 0.10 0.25 57 28 30 38 10000000.00 225.00 0.10 0.25 58 38 30 39 10000000.00 225.00 0.10 0.25 59 39 37 38 10000000.00 225.00 0.10 0.25 60 38 37 28 10000000.00 225.00 0.10 0.25 61 30 32 40 10000000.00 225.00 0.10 0.25 62 40 32 41 10000000.00 225.00 0.10 0.25 63 41 39 40 10000000.00 225.00 0.10 0.25 64 40 39 30 10000000.00 225.00 0.10 0.25

Tabla 5.1 Cuadro Comparativo de Desplazamientos STAAD III PROGRAMA Porcentaje de Error


1 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 2 0.0001 0.0000 0.00009 0.00000 10.00% 0.00% 3 0.0001 0.0000 0.00007 0.00001 30.00% 0.00% 4 0.0001 0.0000 0.00009 0.00000 10.00% 0.00% 5 0.0001 0.0000 0.00009 0.00000 10.00% 0.00% 6 0.0001 0.0000 0.00014 0.00001 40.00% 0.00% 7 0.0001 0.0000 0.00011 0.00000 10.00% 0.00% 8 0.0001 0.0000 0.00013 0.00000 30.00% 0.00% 9 0.0002 0.0000 0.00019 0.00001 5.00% 0.00%

Apéndice II



10 0.0002 0.0000 0.00016 0.00001 20.00% 0.00% 11 0.0002 0.0000 0.00017 0.00001 15.00% 0.00% 12 0.0004 0.0001 0.00029 0.00006 27.50% 40.00% 13 0.0002 0.0000 0.00020 0.00002 0.00% 0.00% 14 0.0002 0.0000 0.00017 0.00002 15.00% 0.00% 15 0.0001 0.0000 0.00007 0.00001 30.00% 0.00% 16 0.0001 0.0000 0.00008 0.00000 20.00% 0.00% 17 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 18 0.0001 0.0000 0.00011 0.00000 10.00% 0.00% 19 0.0001 0.0000 0.00013 0.00000 30.00% 0.00% 20 0.0001 0.0000 0.00015 0.00000 50.00% 0.00% 21 0.0002 0.0000 0.00017 0.00000 15.00% 0.00% 22 0.0002 0.0000 0.00019 0.00002 5.00% 0.00% 23 0.0003 0.0000 0.00026 0.00000 13.33% 0.00% 24 0.0001 0.0000 0.00007 0.00001 30.00% 0.00% 25 0.0001 0.0000 0.00009 0.00000 10.00% 0.00% 26 0.0001 0.0000 0.00009 0.00000 10.00% 0.00% 27 0.0001 0.0000 0.00011 0.00000 10.00% 0.00% 28 0.0001 0.0000 0.00013 0.00000 30.00% 0.00% 29 0.0001 0.0000 0.00015 0.00000 50.00% 0.00% 30 0.0002 0.0000 0.00017 0.00001 15.00% 0.00% 31 0.0002 0.0000 0.00019 0.00002 5.00% 0.00% 32 0.0002 0.0000 0.00017 0.00002 15.00% 0.00% 33 0.0001 0.0000 0.00007 0.00001 30.00% 0.00% 34 0.0001 0.0000 0.00009 0.00000 10.00% 0.00% 35 0.0000 0.0000 0.00000 0.00000 0.00% 0.00% 36 0.0001 0.0000 0.00011 0.00000 10.00% 0.00% 37 0.0001 0.0000 0.00014 0.00001 40.00% 0.00% 38 0.0002 0.0000 0.00016 0.00001 20.00% 0.00% 39 0.0002 0.0000 0.00019 0.00001 5.00% 0.00% 40 0.0002 0.0000 0.00020 0.00002 0.00% 0.00% 41 0.0004 0.0001 0.00029 0.00006 27.50% 40.00%

Apéndice II



Tabla 5.2 Cuadro Comparativo de Fuerza Axial STAAD III PROGRAMA Porcentaje de Error


1 30.58 3.04 6.61 29.28 0.34 6.86 4.27% 88.95% 3.80% 2 4.42 13.58 5.21 15.50 3.26 3.61 250.75% 76.00% 30.79% 3 1.94 7.52 7.03 1.61 6.72 6.74 17.27% 10.63% 4.18% 4 0.20 17.92 5.77 15.38 3.80 9.99 7589.00% 78.81% 73.15% 5 16.24 0.49 0.15 17.09 1.57 1.01 5.21% 219.59% 575.33% 6 8.15 8.24 7.23 15.61 0.79 0.34 91.58% 90.45% 95.33% 7 13.66 1.46 0.91 13.60 2.37 0.47 0.46% 62.40% 48.57% 8 8.43 10.46 6.75 15.07 3.15 1.14 78.75% 69.89% 83.07% 9 19.68 2.82 2.50 18.54 1.37 2.07 5.81% 51.52% 17.04% 10 10.36 7.79 6.69 15.58 3.08 2.45 50.42% 60.49% 63.42% 11 13.90 1.51 1.38 13.13 2.62 1.57 5.53% 73.18% 13.91% 12 11.55 6.36 7.93 16.09 0.90 1.20 39.26% 85.79% 84.88% 13 47.06 11.51 11.31 30.32 5.64 4.18 35.58% 51.04% 63.06% 14 10.59 11.36 12.23 16.77 7.28 8.73 58.37% 35.95% 28.59% 15 3.49 1.90 0.92 0.90 1.15 6.50 74.15% 39.32% 606.74% 16 17.14 2.86 6.34 14.45 2.79 1.95 15.71% 2.31% 69.31% 17 1.58 7.47 7.48 1.52 6.40 6.60 3.54% 14.36% 11.75% 18 12.35 5.21 5.01 14.63 3.11 3.66 18.42% 40.36% 27.01% 19 27.97 1.17 5.97 27.60 0.38 6.73 1.34% 67.52% 12.73% 20 19.73 0.03 5.45 14.50 3.67 9.67 26.53% 12133.33% 77.50% 21 13.75 3.18 1.85 13.72 2.85 0.57 0.24% 10.35% 69.03% 22 8.51 7.52 5.47 14.76 2.18 0.46 73.49% 71.04% 91.57% 23 15.72 2.51 0.19 15.60 2.42 0.78 0.76% 3.75% 312.63% 24 10.27 7.95 6.42 14.55 3.09 0.90 41.70% 61.14% 86.04% 25 12.49 3.04 1.47 12.85 1.50 0.59 2.91% 50.56% 59.59% 26 4.89 7.17 5.12 14.35 0.42 0.72 193.39% 94.20% 86.02% 27 15.60 1.22 1.92 15.48 0.90 0.23 0.78% 26.48% 87.86% 28 8.43 7.05 6.79 13.99 1.98 0.11 65.90% 71.87% 98.37% 29 0.91 1.76 5.02 0.90 1.14 7.83 1.32% 35.34% 56.00% 30 9.34 13.61 8.16 14.92 4.25 10.42 59.69% 68.80% 27.70% 31 28.14 6.09 10.09 27.88 5.09 6.78 0.91% 16.44% 32.78% 32 3.21 10.46 8.53 13.87 0.30 4.19 331.96% 97.17% 50.84% 33 27.97 1.17 5.97 27.60 0.38 6.73 1.34% 67.52% 12.73% 34 5.21 12.35 5.01 14.63 3.11 3.66 180.71% 74.84% 27.01% 35 1.58 7.47 7.48 1.52 6.40 6.60 3.54% 14.36% 11.75% 36 0.03 19.73 5.45 14.50 3.67 9.67 48216.67% 81.40% 77.50%

Apéndice II



37 15.72 2.51 0.19 15.60 2.42 0.78 0.76% 3.75% 312.63% 38 7.52 8.51 5.47 14.76 2.18 0.46 96.33% 74.41% 91.57% 39 13.75 3.18 1.85 13.72 2.85 0.57 0.24% 10.35% 69.03% 40 7.95 10.27 6.42 14.55 3.09 0.90 83.06% 69.92% 86.04% 41 15.60 1.22 1.92 15.48 0.90 0.23 0.78% 26.48% 87.86% 42 7.17 4.89 5.12 14.35 0.42 0.72 100.10% 91.49% 86.02% 43 12.49 3.04 1.47 12.85 1.50 0.59 2.91% 50.56% 59.59% 44 7.05 8.43 6.79 13.99 1.98 0.11 98.37% 76.48% 98.37% 45 28.14 6.09 10.09 27.88 5.09 6.78 0.91% 16.44% 32.78% 46 13.61 9.34 8.16 14.92 4.25 10.42 9.59% 54.53% 27.70% 47 0.91 1.76 5.02 0.90 1.14 7.83 1.32% 35.34% 56.00% 48 10.46 3.21 8.53 13.87 0.30 4.19 32.56% 90.78% 50.84% 49 1.94 7.52 7.03 1.61 6.72 6.74 17.27% 10.63% 4.18% 50 13.58 4.42 5.21 15.50 3.26 3.61 14.16% 26.27% 30.79% 51 30.58 3.04 6.61 29.28 0.34 6.86 4.27% 88.95% 3.80% 52 17.92 0.20 5.77 15.38 3.80 9.99 14.19% 1799.00% 73.15% 53 13.66 1.46 0.91 13.60 2.37 0.47 0.46% 62.40% 48.57% 54 8.24 8.15 7.23 15.61 0.79 0.34 89.49% 90.34% 95.33% 55 16.24 0.49 0.15 17.09 1.57 1.01 5.21% 219.59% 575.33% 56 10.46 8.43 6.75 15.07 3.15 1.14 44.06% 62.63% 83.07% 57 13.90 1.51 1.38 13.13 2.62 1.57 5.53% 73.18% 13.91% 58 7.79 10.36 6.69 15.58 3.08 2.45 100.04% 70.29% 63.42% 59 19.68 2.82 2.50 18.54 1.37 2.07 5.81% 51.52% 17.04% 60 6.36 11.55 7.93 16.09 0.90 1.20 152.91% 92.17% 84.88% 61 3.49 1.90 0.92 0.90 1.15 6.50 74.15% 39.32% 606.74% 62 11.36 10.59 12.23 16.77 7.28 8.73 47.63% 31.29% 28.59% 63 47.06 11.51 11.31 30.32 5.64 4.18 35.58% 51.04% 63.06% 64 2.86 17.14 6.34 14.45 2.79 1.95 405.17% 83.70% 69.31%

Apéndice II



EJEMPLO DE PLACA RECTANGULAR DE 16 ELEMENTOS

Ejemplo Placa Rectangular

1


45

45

0.1 cm

Espesor de la Placa

90

30 cm

2 1

30 cm

1

6 7

5

9

11 12

17 16

13

21 22

30 cm

30 cm

5 4 3

30 cm 30 cm

3 2 4

8

6 7

9 10

8

30 cm

30 cm 12 11 10

13 14 15

18 20 19

14 15

23

16

24 25

PLACAS RECTANGULARES Datos de Entrada


1 0.00 0.00 1 1 1 2 30.00 0.00 0 0 0 3 60.00 0.00 0 0 0 4 90.00 0.00 0 0 0 5 120.00 0.00 0 0 0 6 0.00 30.00 0 0 0 7 30.00 30.00 0 0 0 8 60.00 30.00 0 0 0 9 90.00 30.00 0 0 0 10 120.00 30.00 0 0 0 11 0.00 60.00 1 1 1 12 30.00 60.00 0 0 0 13 60.00 60.00 0 0 0 14 90.00 60.00 0 0 0 15 120.00 60.00 0 0 0 16 0.00 90.00 0 0 0

Figura 5.2

Apéndice II



17 30.00 90.00 0 0 0 18 60.00 90.00 0 0 0 19 90.00 90.00 0 0 0 20 120.00 90.00 0 0 0 21 0.00 120.00 1 1 1 22 30.00 120.00 0 0 0 23 60.00 120.00 0 0 0 24 90.00 120.00 0 0 0 25 120.00 120.00 0 0 0

Elemento Incidencias E A Espesor Mod. Poisson 1 1 2 7 6 10000000.00 900.00 0.10 0.25 2 2 3 8 7 10000000.00 900.00 0.10 0.25 3 3 4 9 8 10000000.00 900.00 0.10 0.25 4 4 5 10 9 10000000.00 900.00 0.10 0.25 5 6 7 12 11 10000000.00 900.00 0.10 0.25 6 7 8 13 12 10000000.00 900.00 0.10 0.25 7 8 9 14 13 10000000.00 900.00 0.10 0.25 8 9 10 15 14 10000000.00 900.00 0.10 0.25 9 11 12 17 16 10000000.00 900.00 0.10 0.25 10 12 13 18 17 10000000.00 900.00 0.10 0.25 11 13 14 19 18 10000000.00 900.00 0.10 0.25 12 14 15 20 19 10000000.00 900.00 0.10 0.25 13 16 17 22 21 10000000.00 900.00 0.10 0.25 14 17 18 23 22 10000000.00 900.00 0.10 0.25 15 18 19 24 23 10000000.00 900.00 0.10 0.25 16 19 20 25 24 10000000.00 900.00 0.10 0.25

Tabla 5.3 Cuadro Comparativo de Desplazamientos STAAD III PROGRAMA Porcentaje de Error


1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00% 0.00% 2 0.0001 0.0000 0.0001 0.0000 10.00% 0.00% 3 0.0002 0.0000 0.0001 0.0000 30.00% 0.00% 4 0.0002 0.0000 0.0002 0.0000 0.00% 0.00% 5 0.0004 0.0002 0.0003 0.0001 25.00% 70.00% 6 0.0001 0.0000 0.0001 0.0000 0.00% 0.00% 7 0.0001 0.0000 0.0001 0.0000 10.00% 0.00% 8 0.0001 0.0000 0.0001 0.0000 40.00% 0.00% 9 0.0002 0.0000 0.0002 0.0000 15.00% 0.00% 10 0.0002 0.0000 0.0002 0.0000 15.00% 0.00%

Apéndice II



11 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00% 0.00% 12 0.0001 0.0000 0.0001 0.0000 10.00% 0.00% 13 0.0001 0.0000 0.0001 0.0000 30.00% 0.00% 14 0.0002 0.0000 0.0002 0.0000 10.00% 0.00% 15 0.0003 0.0000 0.0003 0.0000 10.00% 0.00% 16 0.0001 0.0000 0.0001 0.0000 0.00% 0.00% 17 0.0001 0.0000 0.0001 0.0000 10.00% 0.00% 18 0.0001 0.0000 0.0001 0.0000 40.00% 0.00% 19 0.0002 0.0000 0.0002 0.0000 15.00% 0.00% 20 0.0002 0.0000 0.0002 0.0000 15.00% 0.00% 21 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00% 0.00% 22 0.0001 0.0000 0.0001 0.0000 10.00% 0.00% 23 0.0002 0.0000 0.0001 0.0000 30.00% 0.00% 24 0.0002 0.0000 0.0002 0.0000 0.00% 0.00% 25 0.0004 0.0002 0.0003 0.0001 25.00% 70.00%

Tabla 5.4 Cuadro Comparativo de Fuerza Axial STAAD III PROGRAMA Porcentaje de Error


1 15.32 4.56 7.39 15.46 3.67 7.05 0.88% 19.52% 4.59% 2 15.59 1.77 0.25 15.36 1.95 0.63 1.51% 10.06% 152.00% 3 16.62 0.30 1.67 15.94 2.18 1.82 4.10% 626.67% 9.10% 4 14.38 0.83 5.70 15.72 2.43 5.52 9.29% 192.77% 3.23% 5 14.68 4.21 7.51 14.55 3.49 7.01 0.92% 17.05% 6.62% 6 14.41 2.60 0.08 14.65 2.77 0.49 1.63% 6.35% 515.00% 7 13.38 2.05 0.16 14.06 1.24 0.16 5.10% 39.51% 1.88% 8 15.62 3.08 8.03 14.28 2.13 7.69 8.55% 30.81% 4.30% 9 14.68 4.21 7.51 14.55 3.49 7.01 0.92% 17.05% 6.62% 10 14.41 2.60 0.08 14.65 2.77 0.49 1.63% 6.35% 515.00% 11 13.38 2.05 0.16 14.06 1.24 0.16 5.10% 39.51% 1.88% 12 15.62 3.08 8.03 14.28 2.13 7.69 8.55% 30.81% 4.30% 13 15.32 4.56 7.39 15.46 3.67 7.05 0.88% 19.52% 4.59% 14 15.59 1.77 0.25 15.36 1.95 0.63 1.51% 10.06% 152.00% 15 16.62 0.30 1.67 15.94 2.18 1.82 4.10% 626.67% 9.10% 16 14.38 0.83 5.70 15.72 2.43 5.52 9.29% 192.77% 3.23%

Apéndice III


Bibliografía

A A Ap p pé é én n nd d di iic c ce e e I I I I I II I I B B Bi iib b bl lli iio o og g gr r r a a af f fí íía a a

Apéndice III

Apéndice III


Bibliografía

BIBLIOGRAFÍA

Applied Finite Element Analysis (Second Edition). Larry J. Segerlind.

Teoría de la Elasticidad Timoshenco. Urmo.

The Finite Element Method . K. C. Rockey, MscEng.

Elemento Finito. Livesley.

Análisis de Estructuras Reticulares. Gere & Weaver.

Análisis Matricial. Carlos Magdaleno.

Análisis Estructural. M. Neville.

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