Instituto Politécnico...
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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD ZACATENCO DOCTORADO EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA FUENTES EN MOVIMIENTO NO UNIFORME EN GUÍAS DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE DOCTOR EN CIENCIAS EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA PRESENTA M. EN C. IVÁN MIRANDA SÁNCHEZ DIRECTOR DE TESIS: DR. VLADIMIR RABINOVITCH MÉXICO D.F. 2007
Transcript of Instituto Politécnico...
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
UNIDAD ZACATENCO
DOCTORADO EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA
FUENTES EN MOVIMIENTO NO UNIFORME EN GUÍAS DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
TESIS
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
DOCTOR EN CIENCIAS EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA
PRESENTA
M. EN C. IVÁN MIRANDA SÁNCHEZ
DIRECTOR DE TESIS: DR. VLADIMIR RABINOVITCH
MÉXICO D.F. 2007
Resumen
El presente trabajo está dedicado al estudio de la propagación de ondas electro-
magnéticas producidas por fuentes en movimiento no uniforme, el análisis del prob-
lema se lleva a cabo en los siguientes casos: guías de ondas con sección transversal
acotada, guías de ondas estratificadas y plasma. El análisis del problema se basa en la
representación asintótica para cada caso empleando herramientas de la teoría espectral,
teoría de operadores, así como de los métodos asintóticos.
En el primer caso se analiza la propagación de ondas electromagnéticas produci-
das por fuentes en movimiento no uniforme en guías de ondas con sección transver-
sal acotada. Se han obtenido para tal problema fórmulas asintóticas empleando el
método de fase estacionaria (SPM) en términos de los tiempos retardados y corrimien-
tos Doppler, las cuales tienen un significado físico explícito y son muy convenientes
para cálculos computacionales del problema en cuestión. Se muestran algunos ejemp-
los numéricos en los cuales se obtiene el comportamiento de los campos en este tipo
de guías.
En el segundo caso, se analiza el problema de propagación de ondas electro-
magnéticas producidas por fuentes en movimiento en guías de ondas estratificadas,
el análisis que se presenta esta basado en la obtención de la función de Green para
el problema estacionario en términos de sus modos a través de la teoría espectral,
así como en el método de fase estacionaria para la representación asintótica de los
campos. De esta manera se obtienen fórmulas asintóticas explícitas para el compor-
tamiento de los campos así como también para los efectos Doppler y tiempos retarda-
dos. Se calculan numéricamente algunos ejemplos emulando la propagación de ondas
electromagnéticas generadas por fuentes en movimiento que tienen lugar en el sistema
tierra-troposfera-ionosfera, mostrando así la fuerte dependencia entre la estructura del
campo y las características de la fuente.
Finalmente se aborda el problema de la propagación de ondas electromagnéti-
cas generadas por fuentes en movimiento en plasma. Las fórmulas asintóticas que
describen el comportamiento de los campos en dicho medio se han obtenido; estas fór-
mulas tienen un significado físico explícito y toman en cuenta los fenómenos tanto
acústicos como electromagnéticos relacionados con la propagación en plasma tales
como los tiempos retardados, el efecto Doppler y las oscilaciones en el plasma.
Abstract
This work is devoted to the study of the electromagnetic wave propagation gen-
erated by non-uniformly moving sources. The analysis of the problem is focused on
the following cases: waveguides with bounded cross section, stratified waveguides
and plasma. For each case, the formulas representing the electromagnetic fields, field
modes and Doppler shifts in time and frequency were obtained using the techniques of
the spectral theory, operator theory and mainly asymptotic methods.
We start with the analysis of the electromagnetic wave propagation generated by
non uniformly moving sources in waveguides with bounded cross section. Asymptotic
formulas representing the electromagnetic field using the stationary phase method have
been obtained. This formulas, have an explicit physical meaning because they show in
an analytical form the structure of the propagated fields in terms of its modes, allowing
a detailed description of the propagation pehenomena. This asymptotic represetation
makes clear how is the dependence of the propagation in terms of the characteristics
of the source an the media, such as; velocity, trajectory, geometry of the waveguide,
and type of media.
Then, the analysis is centered in the problem of the electromagnetic wave prop-
agation generated by moving sources in stratified waveguides. This analysis is based
on the obtaining of the Green function for the stationary problem in terms of its modes
by means of the spectral theory and also the stationary phase method for the asymp-
totic representation of the fields. In this way, explicit asymptotic formulas describing
the behavior of the fields in terms of its modes, Doppler shifts and retarded times were
obtained. It should be noted that this problem was analized in previous works only nu-
merically and that the importance of our new aproach is that the solutions are presented
analitically. Then, the structure of the field an its relation with the characteristics of
the source and the media can be described completelly from our formulas.We calculate
some numerical examples simulating the electromagnetic wave propagation generated
by moving sources in the layered system earth-troposphere-ionosphere, showing the
strong dependence between the structure of the field and the motion characteristics of
the source. The results obtained here has aplications in the radiowave propagation for
mobile , satellite , aerospace communications.
Finally, we analyze the problem of electromagnetic moving sources in plasma.
Asymptotic formulas describing the behavior of the field in this complex media us-
ing the operator method, spectral theory and stationary phase method were obtained.
This formulas take into account the acoustic and electromagnetic phenomena related
with propagation of moving sources in such a media. This phenomenons are retarded
times, Doppler effects, plasma oscillations and the Vavilov-Cherenkov effect for the
acoustic case. It is important to remark that in this work we present for the first time
the relation between the Klein-Gordon equiation with the electromadynamic phenom-
ena, also in this work the conditions for the acoustic Vavilov-Cherenkov for both cases,
radiating sources and non-radiating sources were obtained. Some numerical examples
considering the motion of particles in plasma are presented to show the aplication of
the method.
Objetivo
Obtener fórmulas asintóticas que describan el comportamiento de los campos
electromagnéticos producidos por fuentes en movimiento no uniforme en guías de
ondas y plasma, de manera que las fórmulas obtenidas sean novedosas en este campo
de investigación y tengan un significado físico explícito que permita analizar de manera
detallada este fenómeno.
Las objetivos que se cubren en este trabajo son:
• Desarrollar una metodología novedosa para el análisis de los problemas
planteados a través de la teoría espectral, método de teoria de operadores y
método de fase estacionaria dosdimencionales.
• Desarrollar formulas analíticas para los problemas bajo consideración y no solo
propuestas de solución mediante la implementación de algún método numérico.
• Describir a través de formulas asintóticas de la dependencia que tiene el campo
en términos tanto de las características de movimiento de la fuente (velocidad,
trayectoria, frecuencia) así como de la estructura del medio (propiedades
electromagnéticas del medio , µ, y características geométricas).
• Aportar formulas novedosas que describan los fenómenos de corrimiento en
tiempo y frecuencia (Efecto Doppler) que es de suma importancia en los
problemas relacionados con fuentes de radiación en movimiento.
• Describir de forma integral del fenómeno de Vavilov-Cherenkov.
• Establecer las condiciones para la obtención de modos guiados en cada caso de
analísis.
• Establecer las condiciones necesarias para la generación de ondas en plasma así
como para el efecto de Vavilov-Cherenkov para el caso acústico.
• Mostrar la conveniencia del método para su implementación computacional en
la solución de problemas prácticos.
Justificación
El problema de la propagación de ondas electromagnéticas producidas por fuentes
en movimiento, es un problema de interés en muchas áreas de la ingeniería, la física
teórica y aplicada, resaltando entre éstas a las comunicaciones satelitales, las comuni-
caciones aeroespaciales, teoría de radares, radioastronomía, física nuclear y relativista.
Lo anterior puede corroborarse con las númerosas y actuales publicaciones referentes
al tema.
Aunque existen resultados que describen dichos procesos de propagación, la
mayoría de las investigaciones referentes a este tema consideran o bien fuentes en
movimiento uniforme en todo el espacio homogéneo o el problema de propagación en
medios no homogéneos pero con fuentes estáticas.
Sin embargo, la investigación que aborda el presente trabajo considera el prob-
lema de propagación antes mencionado de forma completa, es decir, la propagación
de ondas electromagnéticas producidas por fuentes en movimiento no uniforme en
medios no homogéneos, ya sean acotados como las guías de ondas o no, como en el
caso del plasma, dicho modelo se apega a los procesos prácticos de propagación tales
como la propagación en el modelo tierra-ionosfera-troposfera ampliamente explotado
por los sistemas de comunicaciones, propagación en plasma que resulta de interés en
las comunicaciones aeroespaciales, la detección de objetivos móviles (RADAR), co-
municación satelital, el ingreso de partículas cósmicas a la atmósfera terrestre, aceler-
adores de partículas, detección de radiación emanada por las estrellas para determinar
sus características de movimiento, entre otras.
Cabe mencionar que entre las aportaciones que justifican el desarrollo de este
trabajo destaca el hecho de que la metodología empleada para el análisis de los proble-
mas, planteados a través del método de fase estacionaria, es utilizada por primera vez.
Similarmente, las representaciones en términos integrales de los campos, los fenó-
menos de propagación como los efectos Doppler (en tiempo y frecuencia), la creación
y destrucción de modos; así como las condiciones de oscilacion en plasmas a través de
la teoría espectral, teoría de operadores y métodos asintóticos son aportaciones que no
han sido presentadas anteriormente en otros trabajos dedicados al tema.
Debido a lo anterior, los resultados que arroja este trabajo son novedosos en el
campo de la propagación de ondas electromagnéticas y dan la pauta a más investiga-
ciones sobre la misma línea.
Contenido
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Propagación de OEMproducidas por fuentes en movimientoen guías de ondas con sección transversal acotada . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1 Ecuaciones de Maxwell en guías de ondas con sección transversalacotada arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Relaciones Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.2 Ecuaciones de Maxwell armónicas en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.3 Ecuación vectorial de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.4 Ecuación escalar de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.5 Ondas TM, TE y condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Construcción de la función de Green para la guía de ondas consección transversal acotada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Función de Green para una guía de ondas rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Representación del campo producido por una fuente en movimiento . . . . . 24
1.6 Representación asintótica del campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.7 Asintótica de las componentes transversales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.8 Efecto Doppler y tiempo retardado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.9 Aplicación del método en la guía de ondas rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.10 Cálculos numéricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.10.1 Fuente con amplitud y velocidad constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.10.2 Fuente con amplitud constante y cambio de velocidad . . . . . . . . . . . . 40
1.10.3 Fuente con amplitud Gaussiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.10.4 Fuente con amplitud senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.11 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 Propagación de OEMproducidas por fuentes en movimientono uniforme en guías de ondas estratificadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1 Ecuaciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 Construcción de la función de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.1 Problema espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.2 Ecuación de dispersión y eigenfunciones normalizadas . . . . . . . . . . . 51
2.4 Representación del campo producido por fuentes en movimiento. . . . . . . . . 54
2.5 Representación asintótica de Dz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.6 Efecto Doppler y tiempo retardado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.7 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.8 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3 Propagación de OEMproducidas por fuentes en movimientoen plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1 Ecuaciones Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2 Función de Green tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3 Método de operador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4 Función de Green para el campo en un plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.5 Campo eléctrico producido por una fuente en movimiento en un plasma . . 74
3.5.1 Función de Green para el campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5.2 Representación integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.5.3 Representación asintótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.6 Cálculos numéricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.6.1 Fuente en movimiento con ω0 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.6.2 Fuente en movimiento con ω0 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.7 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Lista de Figuras
Figura 1.1 Guía de ondas con sección transversal arbitraria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Figura 1.2 Descripción de una guía de ondas con sección transversal arbitrariaacotada M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Figura 1.3 Guía de ondas con sección transversal rectangular. . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Figura 1.4 Fuente en movimiento en una guía de ondas con sección transversalacotada arbitraria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Figura 1.5 Amplitud para una fuente de banda estrecha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Figura 1.6 Fuente en movimiento en una guía de ondas rectangular. . . . . . . . . . . 36
Figura 1.7 Estructura del campo para una fuente con amplitud y velocidadconstantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Figura 1.8 Estructura del campo para una fuente con velocidad variable. . . . . . . 41
Figura 1.9 Estructura del campo para una fuente con amplitud Gaussiana. . . . . 42
Figura 1.10 Estructura del campo para una fuente con amplitud senoidal. . . . . . . 42
Figura 2.1 Fuente en movimiento en una guía de ondas estrati ficada. . . . . . . . . . 49
Figura 2.2 Fuente en movimiento en el sistema tierra-ionosfera-troposfera. . . . 60
Figura 2.3 Permitividad relativa vs. altura para una frecuencia de 6 MHz. . . . . 61
Figura 2.4 Estructura del campo Dz para v = 1000m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Figura 2.5 Estructura del campo Dz para v = 10000m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Figura 3.1 Estructura del campo para una fuente en movimiento en un plasma conω0 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Figura 3.2 Estructura del campo para una fuente en movimiento en un plasma conω0 6= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Lista de Tablas
Tabla 1.1 Modos propagados para una fuente en movimiento en una guíarectangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Tabla 2.1 Corrimiento Doppler para v=1000 m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Tabla 2.2 Corrimiento Doppler para v=10000 m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2
Introducción
La propagación de OEM producidas por fuentes en movimiento no uniforme es
un problema de interés en muchos campos de la ingeniería, la física teórica y aplicada.
Los resultados de dichas investigaciones hallan aplicación práctica en muchas áreas
científico-tecnológicas entre las que podemos destacar las siguientes:
• Comunicaciones aeroespaciales,
• Radares,
• Comunicaciones satelitales,
• Ingeniería de plasma,
• Radioastronomía,
• Física nuclear,
• Física relativista,
solo por citar algunas.
Existen numerosas investigaciones referentes al tema de estudio, entre las primeras,
se encuentran aquellas relacionadas con la radiación producida por partículas cargadas
3
en movimiento, particularmente en los bién conocidos resultados de Liénard-Wiechert
los cuales describen los campos producidos por una partícula cargada moviéndose con
velocidad relativista y los resultados de Larmor para movimiento no relativista, ver por
ejemplo [21], [23], en ambos casos, los campos en el punto r para un instante t pro-
ducidos por una partícula cargada con trayectoria r0 y velocidad v, dependen de los
campos generados por la partícula en un instante anterior a t conocido como tiempo
retardado t0 = t− r0/c debido al tiempo que toma la propagación entre la fuente y el
punto donde interesa el campo, donde r0 = |r− r0(t0)|, así los potenciales Liénard-
Wiechert son conocidos también como potenciales retardados. Sin embargo, estas
investigaciones se basaban al movimiento de fuentes en todo el espacio vacío.
Otras investigaciones analizan el efecto Doppler, el cual halla muchas aplica-
ciones prácticas principalmente en el diseño de radares, dicho fenómeno consiste en
un corrimiento de frecuencia en las ondas electromagnéticas cuando éstas son gener-
adas por fuentes en movimiento, así la radiación de una fuente con una frecuencia ω0será vista como una radiación con una frecuencia diferente según sean las caracterís-
ticas del movimiento, de manera general, ω > ω0 si la fuente se acerca al receptor y
ω < ω0 si la fuente se aleja del mismo. Dado que la frecuencia con que se percibe la
radiación de una fuente es un parámetro que depende directamente de la velocidad en-
tonces es posible determinar la velocidad con que esta se mueve, hecho que ha sido
aplicado ampliamente en el diseño de radares para la detección de objetivos móviles,
en la determinación de la velocidad con que las estrellas se alejan debido a la gran ex-
plosión (corrimiento al rojo), en los sistemas de navegación de los vehículos espaciales
etc. Particularmente en el ámbito de las comunicaciones satelitales, el efecto Doppler
es de suma importancia pues es bien sabido el hecho de que la señal que transmite un
satélite no geoestacionario difiere en frecuencia con respecto a la señal que recibe una
4
estación terrena, por lo tanto dicho fenómeno debe ser considerado en general siempre
que exista movimiento con grandes velocidades por parte de una fuente de radiación.
Otro fenómeno muy interesante, también relacionado con las investigaciones
referentes a fuentes con movimiento es el fenómeno de Vavilov-Cherenkov (ver, por
ejemplo [6], [18], [29]), el cual establece que cuando una partícula cargada se mueve
con una velocidad constante v a través de un medio transparente, emite ondas elec-
tromagnéticas (luz) con un espectro contínuo y una distribución angular específica.
Sin embargo, la radiación con una frecuencia cíclica ω ocurre solo si la rapidez de la
partícula v supera a la velocidad de fase de la luz en un medio transparente dado, esto
es v > c0/n(ω), donde c0 es la velocidad de la luz en el vacío, y n(ω) es el índice de
refracción para dicho medio, vp = c0/n(ω). Dicho fenómeno particularmente es la ra-
diación emitida por un medio bajo la influencia del campo producido por una partícula
que se mueve en él. Algunas aplicaciones prácticas de este fenómeno son la detección
de partículas cargadas de alta energía, detectores de intensidad de rayos cósmicos, de-
tectores de neutrinos etc. En este caso particular los trabajos se centran en fuentes
con movimiento uniforme. Cabe mencionar que dicho fenómeno es de mucha actuali-
dad como lo demuestran las numerosas publicaciones referentes al tema (ver, [2], [7],
[42],[46]).
En lo que respecta a las investigaciones en cuanto a fuentes en movimiento en
plasma, cabe mencionar que existen trabajos clásicos, [1], [18], [27], los cuales tratan
el problema de la propagación de ondas electromagnéticas en dicho medio pero con-
sideran solo el problema estacionario, algunos trabajos de actualidad en torno al tema
son, [13], [26], [33], [34], [44], [45], los cuales tratan temas como oscilaciones en
plasma complejos, fenómeno que se refiere a la radiación producida por un plasma
cuando la velocidad de la carga en movimiento excede la velocidad del sonido en el
medio, un fenómeno similar a la radiación Cherenkov pero para el caso acústico, debe
notarse que el efecto de Vavilov-Cherenkov no puede presentarse en un plasma dado
5
que la velocidad de fase de la luz en dicho medio es mayor que la velocidad de fase
de la luz en el vacío y entonces, la fuente tendría que viajar más rápido que c0. Las
aplicaciones del análisis de los mecanismos de propagación en plasma van desde la
propagación ionosférica, la comunicación con vehículos aeroespaciales, el diseño de
antenas de plasma, hasta la radioastronomía y física nuclear.
Aunque como se puede observar existen numerosas investigaciones en cuanto al
tema de fuentes en movimiento debido a su importancia, la mayor parte de ellas trata
los fenómenos aislados, o bien medios simples con fuentes en movimiento o medios
complejos con fuentes estacionarias.
Por lo tanto el tema de investigación que aborda esta tesis el cual consiste en
el estudio de la propagación de ondas electromagnéticas producidas por fuentes con
movimiento no uniforme en los casos de guías de ondas no homogéneas y plasma
resulta muy interesante desde el punto de vista científico-tecnológico.
La estructura en que se presenta este trabajo tiene por objetivo delimitar de forma
concisa cada uno de los problemas de análisis en los tres casos ya mencionados antes,
de manera que cada uno de ellos pueda ser tomado de forma independiente de los
otros dos. Por lo anterior, el presente trabajo consta de tres partes que se describen
brevemente a continuación.
El capítulo 1, plantea el problema de la propagación de ondas electromagnéticas
producidas por fuentes con movimiento no uniforme en guías de ondas con sección
transversal acotada el cual se analiza partiendo de la construcción de la función de
Green mediante la solución del problema espectral para el problema estacionario, pos-
teriormente se obtiene la representación integral del campo producido por la fuente en
movimiento en términos de una doble integral de Fourier mediante la teoría de solu-
ciones fundamentales. Para la obtención de la representación asintótica de los campos,
se emplea el método de fase estacionaria para pasar de la representación integral a
la representación asintótica de los campos. Finalmente se presentan algunos resul-
6
tados numéricos los cuales ilustran los efectos del movimiento de la fuente sobre la
estructura del campo, los efectos de creación y destrucción de modos así como los
corrimientos Doppler.
El capítulo 2, parte del planteamiento de la propagación de ondas electromag-
néticas producidas por fuentes con movimiento en guías de ondas estratificadas, pos-
teriormente se construye la función de Green para el problema estacionario a partir
del problema espectral, en esta parte se obtiene una función de Green que describe el
comportamiento tanto de las ondas propagadas así como de las ondas laterales para el
problema en cuestión. Una vez obtenida la función de Green se procede a construir la
representación integral del problema a partir de la teoría de soluciones fundamentales
aplicada al problema dinámico. Una vez construida la representación integral se pasa
a la representación asintótica mediante el método de fase estacionaria. Finalmente se
presentan algunos resultados numéricos aplicados al modelo que representa el sistema
tierra-troposfera-ionosfera con una fuente en movimiento.
En el capítulo 3, se analiza el problema de la propagación producida por fuentes
con movimiento en plasma, cabe mencionar que es un problema muy interesante ya
que incluso en el caso más simple (plasma homogéneo y fuentes estáticas), el sis-
tema de ecuaciones que requiere para su análisis es mucho más complicado que el
sistema usual de ecuaciones de Maxwell y por lo tanto hay que implementar proced-
imientos matemáticos más complejos para su solución. En este capítulo se parte del
planteamiento del problema y se obtiene la función de Green para dicho medio a partir
de las ecuaciones de Maxwell y Euler, las cuales relacionan los campos electromag-
néticos e hidrodinámicos, en este caso la función de Green es obtenida mediante la
aplicación del método de operador para inversión de operadores a la ecuación que
describe el proceso de propagación en el plasma, posteriormente se obtiene la repre-
sentación integral del campo a través de la teoría de funciones generalizadas a la cual
se le aplica el método de fase estacionaria para la obtención de las fórmulas asintóti-
7
cas. En este capítulo debe ponerse especial atención al hecho de que la representación
integral contiene puntos de singularidad por lo que las contribuciones al resultado de
la integral mediante la aplicación del método de fase estacionaria están dadas por los
puntos de fase estacionaria así como por los puntos de singularidad cuando ω = ±ωp,
demostrándose que las contribuciones debido a estos últimos puntos son O(λ−∞). Fi-
nalmente se presentan algunos ejemplos numéricos los cuales ejemplifican algunos
fenómenos presentes en el plasma tales como los corrimientos Doppler y las oscila-
ciones en el plasma.
Finalmente el trabajo concluye haciendo una reseña de los resultados obtenidos
así como la descripción de las ventajas que aportan los mismo en el campo de la in-
vestigación.
8
CAPITULO 1Propagación de OEM producidas porfuentes en movimiento en guías de ondas
con sección transversal acotada
En este capítulo se considera el problema de la propagación de ondas pro-
ducidas por fuentes en movimiento en guías de ondas electromagnéticas con sección
transversal acotada. Dicho problema tiene aplicación en muchas áreas de la inge-
niería así como también en la física teórica y aplicada.
En este capítulo se obtienen las fórmulas asintóticas para las componentes lon-
gitudinales y transversales del campo electromagnético las cuales tienen un signifi-
cado físico explícito y son convenientes para el análisis númerico del problema. Para
la solución asintótica del problema, se usan los métodos desarrollados para la inves-
tigación de campos acústicos generados por fuentes en movimiento (ver, [20], [22],
[31], [32]).
9
1.1 Ecuaciones de Maxwell en guías de ondas con seccióntransversal acotada arbitraria
En esta sección se analizan los elementos necesarios que se requieren para el análi-
sis del problema de propagación en guías de ondas con sección transversal acotada.
Como todo problema de propagación, se parte de las ecuaciones de Maxwell en
dichas guías así como algunos otros elementos importantes tales como las ecuaciones
vectorial y escalar de onda, condiciones de frontera y tipos de soluciones (TE, TM).
Considerese una guía de ondas con sección transversal arbitraria acotada y sim-
plemente conexa, supongase también que la guía tiene una frontera ideal (conductor
perfecto σ = ∞) y que contiene un diléctrico en su interior caracterizado por µ y ε,
(ver 1.1).
Figura 1.1: Guía de ondas con sección transversal arbitraria.
Las ecuaciones que rigen los fenómenos de propagación de OEM en dicha guía
son las bien conocidas ecuaciones de Maxwell que en su forma diferencial en el S.I.
10
de unidades que están dadas por,
∇×E = −∂B∂t
, (1.1)
∇×H =∂D
∂t+ J, (1.2)
∇ ·D = ρv, (1.3)
∇ ·B = 0, (1.4)
dicho sistema de ecuaciones satisface la ecuación de continuidad dada por,
∇ · J+ ∂ρv∂t
= 0, (1.5)
en donde,
E = E(r, t): es la intensidad de campo eléctrico en [V/m],
H = H(r, t): es la intensidad de campo magnético [A/m],
D = D(r, t): es la densidad de flujo de campo eléctrico en [C/m2],
B = B(r, t): es la densidad de flujo magnético en [Wb/m2],
J = J(r, t): es la densidad de corriente eléctrica [A/m2],
ρv = ρv(r, t): es la densidad de carga eléctrica en [C/m3],
r = (x1, x2, x3) ∈ R3,t ∈ R.Cabe mencionar que de las cuatro ecuaciones de Maxwell (1.1-1.4) solamente
las ecuaciones (1.1) y (1.2) son linealmente independientes de manera que se tienen
dos ecuaciones con cuatro variables desconocidas,E,H,D yB, así que para garanti-
zar la solución del sistema de ecuaciones se requieren otras dos ecuaciones conocidas
como relaciones constitutivas.
1.1.1 Relaciones Constitutivas
La intensidad de campo y la densidad de flujo eléctrico así como la intensidad y la
densidad de flujo magnético están relacionadas por medio de las relaciones constitu-
11
tivas como sigue,
D = E y B = µH, (1.6)
en donde = 0 r y µ = µ0µr son la permitividad eléctrica [F/m] y la permeabilidad
magnética [H/m] que caracterizan al medio.
En el caso cuando y µ son constantes escalares el medio se conoce como
medio homogéneo, mientras que cuando = (r) y µ = µ(r) son funciones escalares
que dependen de la posición los medios se conocen como medios no homogéneos,
en ambos casos dado que y µ son escalares los vectores E y D así como H y B
son colineales y paralelos, a estos medios se les llama isotrópicos. Por otro lado en
el caso en que y µ son tensores (matrices 3× 3) los medios son no isotrópicos.
1.1.2 Ecuaciones de Maxwell armónicas en el tiempo
Otra forma de representar las ecuaciones de Maxwell es en el dominio de la frecuen-
cia a través de la transformada de Fourier en el tiempo definida cómo,
F (ω) =
Z +∞
−∞F (t) exp(−iωt)dt, (1.7)
F (t) =1
2π
Z +∞
−∞F (ω) exp(iωt)dω, (1.8)
de manera que las ecuaciones de Maxwell bajo esta transformación son,
∇× E(r, ω) = −iωB(r, ω), (1.9)
∇× H(r, ω) = iωD(r, ω) + J(r, ω), (1.10)
∇ · D(r, ω) = ρv(r, ω), (1.11)
∇ · B(r, ω) = 0, (1.12)
en donde ω es la frecuencia angular en [rad/s], la ventaja de esta representación es
que se elimina la dependencia temporal así como las derivadas ∂/∂t de las ecuaciones
de Maxwell. En este caso E, D, H, y B son las soluciones del campo en el dominio
de la frecuencia.
12
1.1.3 Ecuación vectorial de onda
El problema de la propagación de OEM en una guía de ondas homogénea con sección
transversal acotada queda descrito en parte en términos de la ecuación de onda que
se obtiene a partir de las ecuaciones de Maxwell (1.1-1.4) cómo,·∆− 1
c2∂
∂t
¸H = −∇× J, (1.13)·
∆− 1
c2∂
∂t
¸E = µ
∂J
∂t+1∇ρ, (1.14)
donde c = (µ )−1/2 es la velocidad de propagación en [m/s] de las OEM en el medio
que contiene la guía. Una de las ventajas de llevar las ecuaciones de Maxwell a la
forma (1.13 ó 1.14) es que en estas ecuaciones los campos se encuentran desacopla-
dos simplificando su solución.
Es posible llevar las ecuaciones (1.13), (1.14) al dominio de la frecuencia me-
diante la aplicación de la transformada de Fourier dada por (1.7, 1.8) en dichas ecua-
ciones transformandose como sigue,£∆+ k2
¤H = −∇× J, (1.15)£
∆+ k2¤E = −iωµJ+ 1∇ρ, (1.16)
donde (1.15 y 1.16) son las ecuaciones vectoriales de Helmholtz para los cam-
pos E(r, t) y H(r, t).mientras que la constante k = ω/c es el número de onda en
[rad/m].
Como se puede observar en dichas ecuaciones no se tiene la dependencia tem-
poral simplificando la solución de las mismas.
1.1.4 Ecuación escalar de onda
Las ecuaciones (1.15) y (1.16) se pueden descomponer en tres ecuaciones escalares
en coordenadas cartesianas una para cada componente de los vectores de campo
E =Ex1x1+Ex2x2+Ex3x3 o bienH =Hx1x1+Hx2x2+Hx3 x3, esto es, por ejemplo
13
para las componentes Hx3 , Ex3 ,
£∆+ k2
¤Hx3 = −(∇× J)z = x3
Ã∂Jx2∂x1
− ∂Jx1∂x2
!, (1.17)
£∆+ k2
¤Ex3 = −iωµJx3 +
1 ∂ρ
∂x3, (1.18)
así las ecuaciones (1.17, 1.18) corresponden a las ecuaciones de onda escalares para
dichas componentes. Cabe mencionar que muchos problemas relativos a la propa-
gación de OEM pueden ser reducibles a la solución de una ecuación escalar de onda
para una componente particular y a partir de ésta derivar las componentes restantes
para la descripción completa del campo como se verá a continuación.
1.1.5 Ondas TM, TE y condiciones de frontera
Los campos electromagnéticos cuando se propagan en estructuras guíadas presentan
una serie de configuraciones que cumplen con la ecuación de onda y las condiciones
de frontera especificadas para el problema, dichas configuraciones en el caso de una
guía de ondas con sección transversal acotada son las ondas transversales eléctricas
(TE) y las ondas transversales magnéticas (TM), las cuales se describen a contin-
uación.
Considerando la guía de ondas descrita en la figura (1.1), de manera que tiene
una sección arbitraria uniforme con respecto a x3 = z entonces, el problema de la
propagación de OEM en dicha estructura esta dado por la solución de las ecuaciones
de Maxwell en el dominio de la frecuencia (J = 0) dadas por (1.9, 1.10), y dado
que la propagación se lleva a cabo en la dirección z entonces es posible aplicar la
transformada de Fourier espacial a (1.9, 1.10) definida como,
F (x, ξ) =
Z +∞
−∞F (x, z)e−izξdz, (1.19)
F (x, z) =1
2π
Z +∞
−∞F (x, ξ)eizξdξ, (1.20)
14
así las ecuaciones (1.9, 1.10) bajo la transformación se convierten en,
∇× E(x, ξ, ω) = −iωµH(x, ξ, ω), (1.21)
∇× H(x, ξ, ω) = iω E(x, ξ, ω), (1.22)
Todas las ondas electromagnéticas posibles en una guía de ondas se pueden
clasificar en dos tipos, en el primero de estos Hz = 0 y se conocen como ondas
transversales magnéticas (TM) y en este caso el campo magnético es puramente
transversal, mientras que en el segundo tipo Ez = 0 y se conocen como ondas
transversales eléctricas (TE) y en este caso el campo eléctrico es puramente transver-
sal.
Considerando las ondas TM es posible obtener a partir de (1.21 y 1.22) las
siguientes relaciones,∂Ez
∂y− iξEy = −iωµEx, iξEx − ∂Ez
∂x= −iωµHy, (1.23)
−iξHy = iω Ex, iξHx = iω Ey, (1.24)
de donde,
Ex = −i ξ
ξ2 − k2∂Ez
∂x, Hx = −i ω
ξ2 − k2∂Ez
∂y, (1.25)
Ey = −i ξ
ξ2 − k2∂Ez
∂y, Hy = i
ω
ξ2 − k2∂Ez
∂x, (1.26)
Así, como se puede observar de las ecuaciones (1.25, 1.26) todas las compo-
nentes transversales para las ondas TM se pueden obtener en términos de la com-
ponente longitudinal Ez la cual a su vez se determina resolviendo la ecuación de
Helmholtz bidimensional siguiente,
∆xEz + (k2 − ξ2)Ez = 0, (1.27)
donde ∆x es la parte transversal del Laplaciano.
Las condiciones de frontera asociadas con la ecuación (1.27) deben cumplir
con la anulación de las componentes tangenciales de E sobre las paredes de la guía,
ésto es,
15
Ez|D = 0 (1.28)
De forma similar para el campo magnético tenemos,
Hx = −i ξ
ξ2 − k2∂Hz
∂x, Ex = −i ω
ξ2 − k2∂Hz
∂y, (1.29)
Hy = −i ξ
ξ2 − k2∂Hz
∂y, Ey = i
ω
ξ2 − k2∂Hz
∂x, (1.30)
y la componente longitudinal está dada por,
∆xHz + (k2 − ξ2)Hz = 0, (1.31)
sujeta a la siguiente condición de frontera,
∂Hz
∂n
¯D
= 0, (1.32)
De esta manera, el problema de la propagación de OEM en una guía de ondas
se reduce a hallar las soluciones de la ecuación de Helmholtz bidimensional de la
forma, £∆x + (k
2 − ξ2)¤ψ = 0, (1.33)
sujeta a las condiciones de frontera
ψ|D = 0 ó∂ψ
∂n
¯D
= 0, (1.34)
dependiendo si se trata del problema de Dirichlet para ondas TM o bien del problema
de Neumann para ondas TE.
Para un contorno dado, las soluciones de (1.33) junto con las condiciones de
frontera (1.34) especifican un problema de eigenvalores el cual se analizará más ade-
lante.
1.2 Planteamiento del problema
El problema a considerar es el de la propagación de ondas electromagnéticas en la
guías de ondas con sección transversal acotada ideal, partir de fuentes en movimiento.
16
Considérese una guía de ondas homogénea ( y µ constantes), con sección
transversal uniforme arbitraria y una frontera ideal, como la que se muestra en la
figura. El sistema de coordenadas en el que se sitúa la guía es r = (x, z) ∈ R3,donde x = (x1, x2). Este tipo de guías se define cómo sigue,
Γ = (x, z) ∈ R3 : x ∈M, z ∈ (−∞,∞). (1.35)
Considérese también que en el interior de la guía hay una fuente de vibraciones
electromagnéticas en movimiento de manera que la trayectoria que sigue la fuente
es,
r0(t) = (x01(t), x
02(t), z0(t)), t ∈ R, (1.36)
la velocidad de la fuente está dada por,
r0(t) = v(t) 6= 0, t ∈ R. (1.37)
Las fuentes que generan las vibraciones electromagnéticas en general tienen la
siguiente forma
ρ(r, t) = A(t)δ(r− r0(t)), (1.38)
J(r, t) = A(t)v(t)δ(r− r0(t)), (1.39)
donde ρ(r, t) es la densidad de carga eléctrica dada en [C/m3], mientras que J(r, t)
es la densidad de corriente eléctrica [A/m2], A(t) ∈ C∞ es una función acotada que
representa la amplitud de la fuente y esta dada en [C/m3].
Dado que v(t) 6= 0 ∀ t ∈ R, existe una relación uno a uno entre cada punto de
la trayectoría de la fuente y cada instante del tiempo, esto es t = γ(r). Por lo tanto,
se puede demostrar que (1.38, 1.39) satisfacen (1.5) como sigue,
∂ρ
∂t=
∂
∂tA(t)δ(r− r0(t)),
= A(γ(r))∂
∂tδ(r− r0(t)),
= −A(t)v(t) ·∇δ(r− r0(t)), (1.40)
17
y
∇ · J = ∇ ·A(t)v(t)δ(r− r0(t)),= A(t)∇ · v(t)δ(r− r0(t)),= A(t)v(t) ·∇δ(r− r0(t)), (1.41)
demostrando así que se satisface la ecuación de continuidad.
Se considerará el análisis de la propagación de las ondas transversales eléctricas
(TE) y transversales magnéticas (TM). En las ondas TE el campo eléctrico es
transversal con respecto a la dirección de la propagación, mientras que en las ondas
TM es precisamente el campo magnético quien es transversal a la dirección de la
propagación.
De antemano sabemos que tanto Hz como Ez satisfacen las siguientes ecua-
ciones (ver, [9]),µ1
c2∂2
∂t2−∇2x −
∂2
∂z2
¶Hz = −
µ∂Jx2∂x1
− ∂Jx1∂x2
¶, (1.42)µ
1
c2∂2
∂t2−∇2x −
∂2
∂z2
¶Ez =
1 ∂ρ
∂z− µ
∂Jz∂t
, (1.43)
donde c = (µ )−1/2.
Las condiciones de frontera que satisfacen las guías de onda de manera general
son las siguientes
Ez|D = 0, (1.44)∂Hz
∂n
¯D
= 0. (1.45)
Así el problema dinámico consiste en el análisis del proceso de propagación de
las ondas electromagnéticas producidas por las fuentes en movimiento en el interior
de la guía, dicho problema queda definido por las ecuaciones (1.42), (1.45) o bien
(1.43), (1.44) para el problema de Dirichlet o Neumann respectivamente.
18
1.3 Construcción de la función de Green para la guía deondas con sección transversal acotada
Una de las herramientas principales para la solución de problemas con valores en la
frontera, tales como los problemas de propagación de OEM es la función de Green.
En términos generales la función de Green g(r, t) representa el negativo del campo
producido en un punto (r, t) por una fuente puntual unitaria δ(r− r0)δ(t− t0) local-
izada en el punto (r0, t0), es decir la solución al problema planteado por una ecuación
diferencial junto con sus condiciones de frontera pero para la función delta de Dirac
como término fuente (ver, por ejemplo, [30]).
En el caso del operador de Helmholtz, ya sea para el campo eléctrico o mag-
nético la ecuación que se considera para la obtención de la función de Green es,£∆+ k2
¤g = −δ(r− r0), (1.46)
y las condiciones de frontera para dicha ecuación son dependiendo del problema
(Dirichlet o Neumann) las siguientes,
g|D = 0, (1.47)∂g
∂n
¯D
= 0. (1.48)
Para hallar la función de Green se aplica la transformada de Fourier espacial
definida en (1.19, 1.20) con respecto a la dirección de propagación obteniéndose,£∆x − ξ2 + k2
¤g = −δ(x− x0), (1.49)
donde x =(x1, x2) ∈ R2, las condiciones de frontera aplican ahora para la transfor-
mada,
g|D = 0, (1.50)∂g
∂n
¯D
= 0, (1.51)
la ecuación (1.49) junto con las condiciones de frontera (1.50, 1.51) definen un prob-
lema espectral como sigue.
19
Figura 1.2: Descripción de una guía de ondas con sección transversal arbitraria aco-tada M.
Definición: se dice que la función ϕj(x1, x2) definida en la sección transversal
M es una eigenfunción del operador ∆x con las condiciones de frontera ϕj
¯D= 0 y
∂ϕj
∂n
¯D
= 0, si,
∆xϕj = λjϕj, x ∈ Γ, (1.52)
y
ϕj
¯D= 0, (1.53)
∂ϕj
∂n
¯D
= 0. (1.54)
En donde los λj ∈ R son llamados eigenvalores del problema definido por(1.52) y (1.53) ó (1.54), de manera que el conjunto de todos los puntos λj definen el
espectro del problema y hay una secuencia de λj ≤ 0 que tiende a −∞.(ver, [48])¥Las funciones propias ϕj del operador ∆x forman un conjunto completo orto-
normal esto es, ZM
ϕj(x)ϕk(x)dx =
½1, j = k,0, j 6= k
, (1.55)
20
de manera que es posible buscar la solución del problema (1.49) con (1.50 ó 1.51)
como una superposición en términos de las funciones propias ϕj como sigue,
g =∞Xj=1
Cj(ξ)ϕj(x), (1.56)
sustituyendo (1.56) en (1.49), se tiene que,∞Xj=1
£λj − ξ2 + k2
¤Cj(ξ)ϕj(x) = −δ(x− x0), (1.57)
multiplicando ambos extremos de (1.57) por ϕi(x), integrando sobreM y recordando
la ortonormalidad de las eigenfunciones se tiene,∞Xj=1
£λj − ξ2 + k2
¤Cj(ξ) = −ϕi(x0), (1.58)
así los coeficientes de la expansión son,
Cj(ξ) =ϕj(x0)
ξ2 − (λj + k2), (1.59)
cambiando λj por −κ2j y aplicando la transformada inversa de Fourier se obtiene,
Cj(z) =ϕj(x0)
2π
Z +∞
−∞
e−izξ
ξ2 − (k2 − κ2j)dξ =
eiγj(ω)|z|
2iγj(ω)ϕj(x0), (1.60)
donde,
γj =qk2 − κ2j , (1.61)
se conoce como constante de propagación.
Así la función de Green para una guía de ondas cuya propagación está en la
dirección de z, está dada por,
gz =∞Xj=1
eiγj(ω)|z|
2iγj(ω)ϕj(x)ϕj(x0), (1.62)
en donde cada término de la sumatoria es un modo en la guía de ondas.
21
1.4 Función de Green para una guía de ondas rectangular
Considérese el caso particular de una guía de ondas con sección transversal rectan-
gular dada por,
Figura 1.3: Guía de ondas con sección transversal rectangular.
M = x = (x1, x2) : 0 < x1 < a, 0 < x2 < b , (1.63)
en este caso para conocer la función de Green en los términos antes mencionados es
decir como una expansión de funciones, es necesario resolver la ecuación homogénea
de Helmholtz que plantea el problema espectral (1.52-1.53 ó 1.54),
[∆x + κj]ϕj = 0, (1.64)
ϕj
¯D= 0,
∂ϕj
∂n
¯D
= 0, (1.65)
que corresponde al problema de obtener las configuraciones de los campos o modos
TM o TE como sigue.
22
Considerando el problema de Dirichlet para la solución de (1.64), (1.65) se
puede suponer que dicha solución está dada como el producto de dos funciones
una que depende unicamente de x1 y otra que solo depende de x2, esto es ϕj =
f1(x1)f2(x2), sustituyendo en la ecuación se tiene,·∂2
∂x21+
∂2
∂x22+ κ2
¸f1(x1)f2(x2) = 0, (1.66)
1
f1
∂2f1∂x21
+1
f2
∂2f2∂x22
+ κ2 = 0, (1.67)
de manera que igualando los términos que dependen de x1 y x2 a una constante de
separación −A2, se obtienen las siguientes dos ecuaciones diferenciales parciales,∂2f1∂x21
= −A2f1, (1.68)
∂2f2∂x22
= −B2f2, (1.69)
donde −B2 = A2 − κ2, de esta manera las soluciones de dichas ecuaciones son,
f1 = C1 cosAx1 + C2 sinAx1, (1.70)
f2 = C3 cosBx2 + C4 sinBx2, (1.71)
pero la solución del problema viene dada por el producto de las soluciones f1 y
f2, además dicho producto debe satisfacer las condiciones en la frontera (x1 = 0,
x1 = a, x2 = 0, x2 = b) de manera que, del análisis de condiciones de frontera para
el problema de Neumann se obtiene que C1 = C3 = 0 y que,
A =mπ
a, m = 0, 1, 2, 3, ... (1.72)
B =nπ
b, n = 0, 1, 2, 3, ... (1.73)
por lo tanto las eigenfunciones para el problema espectral que corresponden a la
configuración del campo para los modos TM son,
ϕE = ϕ0 sin³mπx1
a
´sin³nπx2
b
´, (1.74)
donde para evitar soluciones triviales m y n no pueden ser ambos cero, para cada
(m,n) se define un modo en la guía de ondas conocido como modo TMm,n, la con-
23
stante κ2 = A2 +B2 está dada por,
κ2m,n =³πm
a
´2+³nπ
b
´2, (1.75)
y de acuerdo a la ecuación (1.61), γ2 está dada por,
γ2m,n(ω) = k2 −³πm
a
´2+³nπ
b
´2, (1.76)
de manera que para garantizar que los modos se propaguen, se debe cumplir que
k2 > κ2mn lo que establece una frecuencia de corte dada por,
ω(c)m,n =1√µ
r³πma
´2+³nπ
b
´2, (1.77)
así modos (m,n), con una frecuencia mayor que ω(c)m,n serán propagados en el interior
de la guía de lo contrario no se propagan y dichos modos se conocen como modos
evanescentes. La guía de ondas presenta el comportamiento de un filtro pasabajas
para frecuencias menores a la de corte.
De forma similar a la descrita anteriormente, para las ondas TE se obtiene que
las eigenfunciones son,
ϕH = ϕ0 cos³mπx1
a
´cos³nπx2
b
´, (1.78)
con las mismas consideraciones para las frecuencias que en el caso anterior. Así las
funciones propias están dadas por,
ϕλE = ϕ0 sin
³mπx1a
´sin³nπx2
b
´, (1.79)
ϕλH = ϕ0 cos
³mπx1a
´cos³nπx2
b
´, (1.80)
sin embargo las ecuaciones arriba deben ser ortonormales, de manera que normal-
izando se tiene,
ϕλE =
2√absin³mπx1
a
´sin³nπx2
b
´, (1.81)
ϕλH =
2√abcos³mπx1
a
´cos³nπx2
b
´. (1.82)
24
Para hallar los valores propios hay que aplicar el operador ∆x a las eigenfun-
ciones encontradas obteniéndose,
−·³mπ
a
´2+³nπ
b
´2¸ϕλ = λmnϕ
λ, (1.83)
de manera que,
λmn = −·³mπ
a
´2+³nπ
b
´2¸, (1.84)
así la función de Green para una guía de ondas rectangular está dada por,
gE(x, z) = − 4ab
∞Xm=1
∞Xn=1
eiγmn|z|
2iγmn
sin³mπx1
a
´sin³nπx2
b
´sin³mπx10
a
´sin³nπx20
b
´, (1.85)
gH(x, z) = − 4ab
∞Xm=1
∞Xn=1
eiγmn|z|
2iγmn
cos³mπx1
a
´cos³nπx2
b
´cos³mπx10
a
´cos³nπx20
b
´, (1.86)
en donde,
γm,n(ω) =
sk2 −
·³mπ
a
´2+³nπ
b
´2¸, k =
ω2
c, (1.87)
es la constante de propagación y la frecuencia de corte en este caso es
ω(c)m,n =1√µ
r³πma
´2+³nπ
b
´2, (1.88)
de manera que para la propagación de un modo este debe cumplir que,
k2 >³mπ
a
´2+³nπ
b
´2. (1.89)
Considerando la restricción anterior solo un número finito de modos serán
propagados en el interior de la guía.
1.5 Representación del campo producido por una fuenteen movimiento
En esta sección se obtiene la representación de los campos generados por fuentes en
movimiento no uniforme dentro de las guías de ondas electromagnéticas, partiendo
25
del análisis del problema dinámico. Algunos resultados hallados en secciones an-
teriores se retomarán, tal es el caso de las expresiones para las funciones de Green
en guías de ondas con sección transversal arbitraria así como para el caso particular
de la guía de ondas rectangular. El análisis del problema bajo consideración, surge
como una extensión de el análisis de la propagación de las ondas acústicas en tales
guías de ondas, (ver los artículos, [20], [22], [31], [32]).
Considérese la guía de ondas descrita en el planteamiento del problema en cuyo
interior se encuentran fuentes en movimiento con la forma,
(x,t) = A(t) δ[r− r0(t)], (1.90)
J(x,t) = A(t) v(t) δ[r− r0(t)], (1.91)
en donde r = r0(t) = (x01(t), x02(t), z0(t)), t ∈ R y v(t) = r0(t) respectivamente.
Figura 1.4: Fuente en movimiento en una guía de ondas con sección transversalacotada arbitraria.
26
Para dicho sistema, el problema dinámico a resolver viene dado (1.42), (1.45)
o bien (1.43), (1.44), considerando ondas TM se tiene,
1
c2∂2u
∂t2−∇2xu−
∂2
∂z2u = F (x, z, t), (1.92)
donde,
F (x, z, t) =1 ∂ρ
∂z− µ
∂Jz∂t
. (1.93)
Aplicando la transformada de Fourier a (1.92), se llega a la ecuación de Helmholtz,
µ−ω
2
c2−∇2x −
∂2
∂z2
¶u(x, z, ω) = F (x, z, ω), (1.94)
y recordando la teoría de las soluciones fundamentales de ecuaciones diferenciales,
se sabe que si tenemos una ecuación diferencial de la forma,
Lu = f, (1.95)
en donde L, es un operador diferencial que actúa sobre u, y f es una función fuente
arbitraria, de manera que se conoce la solución fundamental del problema (1.92) dada
por,
LG(y, y0) = δ(y − y0), (1.96)
entonces, se puede hallar la solución de (1.92), de la manera siguiente,
u = G ∗ f, (1.97)
donde G ∗ f es la convolución entre la función de Green para la guía de ondas y los
términos fuente del problema dinámico, siempre y cuando f sea tal que G ∗ f exista,
en este caso G es una solución fundamental de (1.92).
Considerando lo anterior, no es difícil observar que la solución para (1.94), está
dada entonces por,
u(x, z, ω) = G(x,z, ω) ∗ F (x, z, ω),= G(x,z, ω) ∗
Z +∞
−∞F (x,z, τ) eiωτdτ, (1.98)
27
de manera que aplicando la transformada inversa de Fourier se obtiene,
u(x, z, t) =1
2π
Z +∞
−∞e−iωtG(x,z, ω) dω ∗
Z +∞
−∞F (x,z, τ) eiωτdτ, (1.99)
=1
2π
Z +∞
−∞e−iωtdω
Z +∞
−∞eiωτdτ
Z +∞
−∞G(x− x0,z − z0, ω)
×F (x0,z0, τ)dx0dz0,
pero como,
F (x, z, t) =1 ∂
∂z− µ
∂Jz∂t
, (1.100)
y sustituyendo y Jz, por sus respectivas expresiones (1.90) y (1.91), se obtiene que,
F (x, z, t) =
·1+ µv2
¸δ(x− x0) δ0(z − z0) A(t) (1.101)
−µv A0(t) δ(x− x0) δ0(z − z0),
aplicando este resultado en (1.99) se llega a,
u(x,z, t) =1
2π
Z +∞
−∞e−iωtdω
Z +∞
−∞eiωτdτ
Z +∞
−∞G(x− x0,z − z0, ω)(1.102)
×½·1+ µv2
¸δ(x− x0) δ0(z − z0) A(τ)
− µv A0(τ) δ(x− x0) δ0(z − z0) dx0dz0,
y recordando las propiedades de la función delta siguientes,Zf(y)δ(y − y0) = f(y0), (1.103)Zf(y)δ0(y − y0) = f 0(y0), (1.104)
se obtiene de (1.102) la siguiente expresión,
u(x, z, t) =1
2π
Z +∞
−∞e−iωt
Z +∞
−∞eiωτA(τ)
·1+ µv2
¸(1.105)
×G0(x− x0, z − z0, ω)dτdω +1
2π
Z +∞
−∞e−iωt
Z +∞
−∞eiωτ
×µA0(τ)G(x− x0, z − z0, ω)dτdω.
Considerando que la amplitud de la fuente es de banda estrecha, esto es que el
espectro en frecuencia de la misma se concentra en una vecindad pequeña alrededor
28
de la frecuencia central,entonces,
Figura 1.5: Amplitud para una fuente de banda estrecha.
A(τ) = a(τ/λ) e−iω0τ , (1.106)
sustituyendo (1.106) en (1.105), se tiene,
u(x, z, t) =1
2π
Z +∞
−∞e−iωt
Z +∞
−∞a(τ/λ) ei(ω−ω0)τ
·1+ µv2
¸(1.107)
×G0(x− x0, z − z0, ω)dτdω +1
2π
Z +∞
−∞e−iωt
Z +∞
−∞eiωτ
×µ ¡a(τ/λ) e−iω0τ¢0τG(x− x0, z − z0, ω)dτdω.
Esta última fórmula representa en tal forma la solución al problema de la propa-
gación de las ondas generadas por una fuente con movimiento arbitrario en una guía
de ondas con sección transversal arbitraría, de manera general el parámetro que pre-
senta cambio de la sección transversal de la guía es la respectiva función de Green.
Sin embargo el resultado obtenido aquí es una mera representación del campo, debido
a que la evaluación de este tipo de integrales las cuales dependen de un parámetro
el cual tiende a infinito (λ → ∞) a menudo resulta extremadamente complicado
tomarlo directamente o bien no es posible.
Por las razones anteriormente expuestas, a tales integrales, con objeto de evitar
la complejidad que conlleva tomarlas directamente, suelen aproximarse mediante los
así llamados métodos asintóticos, particularmente para el tipo de problema que se
29
trata aquí, se utiliza el método de fase estacionaria, el cual se analiza en la siguiente
sección.
1.6 Representación asintótica del campo
La doble integral de Fourier que aparece en (1.107) como resultado de la repre-
sentación de el campo producido por una fuente en movimiento no es fácil de evaluar
ya que dicha integral no se puede tomar directamente. Por tal motivo se recurre a un
método asintótico el cual puede ser aplicado para evaluar tal integral, dicho método
es el método de fase estacionaria (SPM). El SPM es muy útil cuando se desea
obtener una aproximación a una integral cuyo integrando es rápidamente oscilatorio
de la forma (ver, [5], [9], [14], [16], [17]),
F (λ) =
ZΩ
f(x) exp[iλS(x)]dx, (1.108)
donde de manera general, la fase de la integral S(x) es una función real, la amplitud
f(x) es una función compleja y λ→∞ es un parámetro arbitrario muy grande.
En el caso multidimensional Ω ∈ Rn la solución mediante la aplicación de
SPM esta dada por ([16], pp. 116-118)
F (λ) =
µ2π
λ
¶n/2 exp£iλS(x0) +
iπ4sgnS
00xx(x0)
¤[det |S00
xx(x0)|]1/2× (1.109)£
f(x0) +O(λ−1)¤,
en donde, x0 son los puntos de fase estacionaria que se obtienen de
∇S(x) = 0, (1.110)
S00xx es la matriz Hessiana dada por,
S00xx(x0) =
µ∂2s
∂xixj
¶, (1.111)
30
y sgnS00xx(x0) es la diferencia entre el número de valores propios positivos v+(S
00xx) y
negativos v−(S00xx) de la matriz Hessiana, esto es,
sgnS00xx(x0) = v+(S
00xx)− v−(S
00xx). (1.112)
Para aplicar SPM a la integral (1.107) es necesario introducir el parámetro
adimensional λ→∞, dicho parámetro debe introducirse de manera que caracterice
el comportamiento asintótico del campo esto es, tiempos muy grandes y por lo tanto
distancias muy grandes, ya que la efectividad de SPM está basada en que a mayor λ
mayor será la aproximación que se obtiene para el resultado de la integral mediante
este método. El parámetro λ una vez introducido caracterizará,
1. La amplitud A(t) varía lentamente, fuente de banda estrecha ,
2. La componente vertical de la velocidad de la fuente es pequeña,
3. La distancia entre fuente y receptor es grande,
4. La aceleración horizontal es pequeña,
siempre y cuando λ sea suficientemente grande.
Para introducir dicho parámetro en la doble integral de Fourier se requiere un
cambio de variable, de manera que t→∞ y |z − z0|→∞, ésto es,
z = z0λ, t = t0λ, z0(τ) = λz00³τλ
´, τ 0 =
τ
λ, (1.113)
así, (1.107) queda de la siguiente manera,
u(x, z0, t0) =λ
2π
Z +∞
−∞e−iλωt
0Z +∞
−∞a(τ 0)eiλ(ω−ω0)τ
0·1+ µv2
¸(1.114)
×G0(x− x0, λ |z0 − z00(τ0)| , ω)dτ 0dω,
se puede observar que la segunda integral en (1.107) desaparece para llegar a (1.114),
debido a que esta es Oµ1
λ
¶, y se puede despreciar pues no tiene una contribución
31
importante al resultado asintótico. Recordando que, de manera que la función de
Green para una guía de ondas cuya propagación es en el eje z está dada por,
Gz(x,z) =∞Xj=1
eiγj(ω)|z|
2iγj(ω)φj(x)φj(xo), (1.115)
y aplicando los cambios de variables pertinentes se tiene,
Gz(x,z0) =
∞Xj=1
eiγj(ω)λ|z0−z00(τ 0)|2iγj(ω)
φj(x)φj(xo), (1.116)
derivando (1.116), se llega a,
G0z(x,z
0) =1
2
∞Xj=1
eiγj(ω)λ|z0−z00(τ 0)| φj(x) φj(xo) sgn(λ(z0 − z00(τ0))), (1.117)
y sustituyendo esta última en (1.114) resulta,
u(x, z0, t0) =λ
4π
Z +∞
−∞e−iλωt
0Z +∞
−∞a(τ 0)eiλ(ω−ω0)τ
0·1+ µv2
¸(1.118)
×∞Xj=1
eiγj(ω)λ|z0−z00(τ 0)| φj(x) φj(xo)
×sgn(λ(z0 − z00(τ0)))dτ 0dω,
o bien,
u(x, z0, t0) =∞Xj=1
u(j)z (x, z0, t0), (1.119)
en donde,
u(j)z =λ
4π
Z +∞
−∞
Z +∞
−∞e−iλω(t
0−τ 0)a(τ 0)e−iλω0τ0·1+ µv2
¸(1.120)
×eiγj(ω)λ|z0−z00(τ 0)| φj(x) φj(xo) sgn(λ(z0 − z00(τ0)))dτ 0dω.
La representación anterior, tiene ya una dependencia implícita del parámetro
λ, de manera que dicho parámetro tiene una influencia sobre los parámetros de dis-
tancia, velocidad, estrechez de banda y aceleración entre otros, que caracterizan el
comportamiento de la fuente. Es en este momento, que se debe emplear el análisis
asintótico para la ecuación (1.120). Particularmente, se emplea el método de fase
estacionaria (ver, [5], [9], [16], [17]).
32
La fase en la integral dada por (1.120), es,
eSj(ω, τ 0) = γj(ω) |z0 − z00(τ0)|− ω(t− τ 0)− ω0τ
0, (1.121)
por lo que el punto de fase estacionaria (ω0j, τ 00j) está dado por la solución del sigu-
iente sistema de ecuaciones,
eS0jω(ω, τ 0) = γ0j(ω) |z0 − z00(τ0)|− (t0 − τ 0) = 0, (1.122)eS0jτ 0(ω, τ 0) = γj(ω) (z
00(τ
0))0τ 0 sgn(z0 − z00(τ
0)) + ω − ω0 = 0. (1.123)
La matriz Hessiana para la fase eSj(ω, τ 0) es de la forma,
eS00j (ω, τ 0) =
∂2 eS00∂ω2
∂2 eS00∂ω∂τ 0
∂2 eS00∂ω∂τ 0
∂2 eS00∂τ 02
. (1.124)
Considerando el movimiento de la fuente con una velocidad menor a la de la
luz, entonces, det eS00(ω0j, τ 00j) 6= 0, es decir (ω0j, τ 00j) es un punto de fase esta-
cionaria no degenerado.
Aplicando el método de fase estacionaria, u(j)z (x,z0, t0) tiene la siguiente repre-
sentación asintótica,
u(j)z (x,z0, t0) =
1
2a(τ 0)
·1+ µv2
¸eiλ(γj(ω)|z0−z00(τ 0)|−ω(t−τ 0)−ω0τ 0) (1.125)
× 1r¯det eS00(ω0j, τ 00j)¯ e
iπ4sgnS00(ω0j ,τ 00j) φj(x) φj(xo)
×sgn(λ(z0 − z00(τ0)))
µ1 +O
µ1
λ
¶¶,
donde sgneS00(ω0j, τ 00j) es la diferencia entre el número de valores propios positivos
y negativos de la matriz Hessiana.
Regresando a las coordenadas originales, se tiene,
Ez(x, z, t) ∼NXj=1
E(j)z (x, z, t), (1.126)
33
donde,
E(j)z (x,z, t) =
1
2a³τ 0jλ
´ ·1+ µv2
¸ei((γj(ω0j)|z−z0(τ0j)|−ω0j(t−τ0j)−ω0τ0j)(1.127)
× 1r¯det eS00(ω0j, τ 0j)¯ e
iπ4sgnS00(ω0j ,τ 00j) φj(x) φj(xo)
×sgn((z − z0(τ 0j)))
µ1 +O
µ1
λ
¶¶,
y (ω0j, τ 0j) es un punto de fase estacionaria de,
Sj(ω, τ) = γj(ω) |z − z0(τ)|− ω(t− τ)− ω0τ , (1.128)
el cual está definido como una solución del siguiente sistema de ecuaciones,
S0jω(ω, τ) = γ0j(ω) |z − z0(τ)|− (t− τ) = 0, (1.129)
S0jτ (ω, τ) = γj(ω) (z0(τ))0τ sgn(z − z0(τ)) + ω − ω0 = 0. (1.130)
Debe observarse que solo un número finito de N miembros en la sumatoria
(1.126), se propaga en la guía por lo que solo es posible hallar un número finito de
puntos de fase estacionaria (ω0j, τ 0j) correspondiente al número finito de modos que
se propagan.
1.7 Asintótica de las componentes transversales
Ya se ha mencionado en capítulos anteriores, que una vez analizado el compor-
tamiento de la componente longitudinal, existen ciertas ecuaciones, que relacionan
dicha componente del campo con sus respectivas componentes transversales, de esta
manera es posible describir al campo en su totalidad, dichas expresiones están dadas
por las ecuaciones,
Et =i
γ2j(ω)[∇tEz], (1.131)
Ht = − ω
γj(ω)(bz×Et), (1.132)
34
pero de acuerdo a la sección anterior, si Ez = E(j)z (x,z, t), ω = ω0j, entonces,
E(j)t (x,z, t) =
i
γ2j(ω0j)∇tE
(j)z , (1.133)
H(j)t (x, z, t) = − εω0j
γj(ω0j)(bz×E(j)t ), (1.134)
de manera que,
Et(x, z, t) ∼NXj=1
E(j)z (x,z, t), (1.135)
Ht(x, z, t) ∼NXj=1
H(j)z (x,z, t). (1.136)
Como se puede observar en las expresiones (1.133) y (1.134), se sustituye el
valor de ω, por su correspondiente valor asintótico, es decir su frecuencia instantánea
o punto de fase estacionaria.
1.8 Efecto Doppler y tiempo retardado
El efecto Doppler y el tiempo retardado, son dos fenómenos de gran importancia
en los campos de la física y la ingeniería. Es bien sabido que el efecto Doppler
para las ondas electromagnéticas consiste en un corrimiento en frecuencia debido al
movimiento relativo entre una fuente de ondas electromagnéticas y un observador,
de manera que las frecuencias, la emitida por la fuente y la detectada por el obser-
vador no son iguales, el observador detecta una frecuencia mayor que la emitida si él
y la fuente se acercan y al contrario si se alejan. Este efecto tiene inumerables cam-
pos de aplicación entre estos se tiene, la teoría de radares, la radioastronomía, física
relativista etc.
A partir de los resultados obtenidos mediante la aplicación del método de fase
estacionaria, es posible obtener expresiones explícitas para los fenómenos del cor-
rimiento en frecuencia y el tiempo retardado.
35
Considerando que,
Sj(ω, τ) = γj(ω) |z − z0(τ)|− ω(t− τ)− ω0τ , (1.137)
es la fase del modo con número j. Como se puede observar tal expresión depende
explicitamente de t, por lo que se puede escribir que,
Sj(ω, τ) = eSj(ω, τ , t). (1.138)
Tomando un punto de fase estacionaria (ω0j(t), τ j(t)), entonces la frecuencia
instantánea está dada por,
ω(in)j (t) = −d
eSj(ω0j(t), τ j(t), t)dt
, (1.139)
y debido a que (ω0j(t), τ j(t)) es un punto de fase estacionaria, se tiene que, ω(in)j (t) =
ω0j(t). De esta manera se tiene una fórmula explícita para el efecto Doppler dada
por,
∆ωj = ω0j(t)− ω0. (1.140)
No es difícil notar además que, τ 0j(t) es el tiempo retardado del modo con
número j, es decir el tiempo en el que la radiación del modo j llega al receptor está
dado por,
∆tj = t− τ 0j, (1.141)
donde τ 0j es el momento en que abandonó la fuente.
1.9 Aplicación del método en la guía de ondas rectangular
Aquí se analiza una guía de ondas rectangular en cuyo interior se mueve una fuente
de vibraciones electromagnéticas, se considera que la fuente en el interior de la guía
sigue la siguiente trayectoria,
r = r0(t) = (x01(t), x
02(t), z0(t)), (1.142)
en donde, z0(t) = vt, 0 < v < c, 0 < x01(t) < a y 0 < x02 < b, y como antes, x01(t) y
x02 dependen del parámetro λ.
36
Figura 1.6: Fuente en movimiento en una guía de ondas rectangular.
Las coordenadas del receptor son,
r = (x1, x2, 0), (1.143)
es decir está situado en el origen de la coordenada z además, 0 < x1 < a, 0 < x2 < b.
Por cuestiones de facilidad de cálculo se considera que vx1(t) = vx2(t) = 0.
Ya se conocen algunos resultados para este caso, como la fase que viene dada
por,
Smn(ω, τ) = γmn(ω) |z − z0(τ)|− ω(t− τ)− ω0τ , (1.144)
así como la función de Green,
GE(x,z) = − 4ab
∞Xm=n=1
eiγmn|z|
2iγmn
· sin mπ
ax1 sin
nπ
bx2 × sin mπ
ax10 sin
nπ
bx20,
(1.145)
en donde,
γmn =
rk2 −
³mπ
a
´2−³nπ
b
´2, k =
ω
c. (1.146)
37
Tomando en cuenta que, U(ω) =1
γ0(ω), donde U(ω) es la velocidad de grupo,
se tiene que,
Umn(ω) =c2
ω
rk2 −
³mπ
a
´2−³nπ
b
´2. (1.147)
Los puntos de fase estacionaria, son resultado de la solución del siguiente sis-
tema,
S0mnω(ω, τ) = γ0mn(ω) |z − z0(τ)|− (t− τ) = 0, (1.148)
S0mnτ (ω, τ) = γ0mn(ω) (z0(τ))0τ sgn(z − z0(τ)) + ω − ω0 = 0, (1.149)
tal que sustituyendo U(ω) =1
γ0(ω)y |z − z0(τ)| = |0− vτ | , se llega a,
S0mnω(ω, τ) =|vτ |
Umn(ω)− t+ τ = 0, (1.150)
S0mnτ (ω, τ) = γmn(ω) |v| sgn(vτ) + ω − ω0 = 0, (1.151)
en este caso sgn(vτ), depende de la dirección del movimiento de la fuente, es (+) si
la fuente se acerca al receptor v < 0 y es (−) si se aleja v > 0.
Considerando que v > 0 y que (ωmn, τmn) sea una solución de el sistema de
ecuaciones considerado, entonces τmn es solución de,
τmn =t
1 +v
Umn(ω)
> t > 0, (1.152)
mientras que ωmn lo es para la ecuación siguiente,
ωmn = ω0 − γmn(ω) |v| sgn(vτ), (1.153)
si la fuente se acerca al receptor entonces ω > ω0 y si se aleja ω < ω0.
La ecuación anterior se puede expresar como,
(ωmn − ω0)2 = v2
·ω2
c2−³mπ
a
´2−³nπ
b
´2¸, (1.154)
38
y su solución es,
ωmn =
ω0 ± v
sω20c2−µ1− v2
c2
¶µ³mπ
a
´2−³nπ
b
´2¶µ1− v2
c2
¶ . (1.155)
Debido a que existen dos posibles soluciones para la ecuación anterior, si la
fuente se aleja del receptor v > 0, entonces ω < ω0, por lo tanto el signo que
debe considerarse en la fórmula es (−). Bajo esta consideración los puntos de fase
estacionaria se pueden encontrar de forma explícita.
La matriz Hessiana para el caso bajo consideración tiene una forma triangular
como sigue,
S00mn(ωmn, τmn) =
γ00mn(ωmn) |−vτmn| 1− v
Umn(ωmn)
1− v
Umn(ωmn)0
, (1.156)
su determinante está dado por,
det S00mn(ωmn, τmn) = −µ1− v
Umn(ωmn)
¶2, (1.157)
de manera que sgn (S00mn(ωmn, τmn)) = 0.
Así, la fórmula asintótica para los campos en el interior de una guía de ondas
rectangular está dada por,
E(j)z (x,z, t) =
NXm,n=1
2
aba³τmn
λ
´ ·1+ µv2
¸(1.158)
×ei((γmn(ωmn)vτmn−ωmn(t−τmn)−ω0τmn)
× 1¯1− v
Umn(ωmn)
¯ sin mπ
ax1 sin
nπ
bx2
× sin mπ
ax10(τmn) sin
nπ
bx20τ(mn).
El efecto Doppler debido a las fuentes en movimiento está dado por,
∆mnω = ωmn − ω0, (1.159)
39
mientras que el tiempo retardado es,
∆mnt = t− τmn. (1.160)
1.10Cálculos numéricos
Considérese como ejemplo una guía de ondas rectangular y una fuente en movimiento
en su interior con las siguientes características,
Guía:
• Dimensiones: a =10 m, b = 10 m.
• Dieléctrico(vacío): ε = 8.854× 10−12 F/m, µ0 = 4π × 10−7 H/m
Fuente:
• Trayectoria: r0 = (5, 5, vt)
• Posición del receptor: r = (5, 5, 0)
Con objeto de analizar la estructura del campo Ez, se analiza el problema para
diferentes características de la fuente, esto es diferentes amplitudes y velocidades.
1.10.1 Fuente con amplitud y velocidad constantes
En este caso se considera una fuente con las siguientes características, v = 100
m/sec, A(t) = cte. y ω0 = 3× 108 rad/s.
La estructura del campo bajo dichas consideraciones es como se muestra en la
gráfica 1.7.
40
Figura 1.7: Estructura del campo para una fuente con amplitud y velocidad con-stantes.
1.10.2 Fuente con amplitud constante y cambio de velocidad
Aquí se considera una fuente que cambia su velocidad en t = 50 s, la fuente tiene
las siguientes características, A(t) = cte., ω0 = 298037648.112799rad/sec y su
velocidad está dada por,
v(t) =
½3070m/s, 0 < t < 501.4× 108 m/s, t ≥ 50 . (1.161)
En este caso, de la gráfica del campo 1.8 es posible observar la fuerte depen-
dencia entre la estructura del campo y la velocidad de la fuente. Para la primera parte
del gráfico, el número de modos propagados es de 6, después con el incremento de
la velocidad el número de modos se reduce a 4 como se aprecia en la siguiente tabla
1.1.
41
Figura 1.8: Estructura del campo para una fuente con velocidad variable.
Tabla 1.1: Modos propagados para una fuente en movimiento en una guía rectangular.
Modo v1 = 3070m/s v2 = 1.4× 108m/sm n ωmn[rad/s] ωmn[rad/s]1 1 298034920.213884 217707112.8087111 2 298035491.525885 242269216.9733991 3 298037648.059061 NP2 1 298035491.525885 242269216.9733992 2 298036284.178945 272243182.9127003 1 298037648.059061 NP
1.10.3 Fuente con amplitud Gaussiana
Este es un caso muy interesante, aquí se considera una fuente modulada cuya ampli-
tud esta dada por una función Gaussiana como sigue,
a(t) =1√2πa
e−(t−t0)2/2a2 , t0 = 50 s, (1.162)
la frecuencia de la fuente y su velocidad son, ω0 = 1.5 × 108 rad/sec, v = 1000
m/s.
La siguiente gráfica muestra el comportamiento del campo para este tipo de
fuentes, como se puede observar, la estructura del campo se ve modulada por la
amplitud Gaussiana.
42
Figura 1.9: Estructura del campo para una fuente con amplitud Gaussiana.
1.10.4 Fuente con amplitud senoidal
La amplitud de la fuente en este caso está dada de la siguiente manera, A(t) = sin(t),
la velocidad es v = 3000 m/s y la frecuencia ω0 = 3 × 108 rad/s; bajo estas
consideraciones la estructura del campo es como se muestra en la figura siguiente.
Figura 1.10: Estructura del campo para una fuente con amplitud senoidal.
43
Como se puede observar en los gráficos, las características de movimiento de la
fuente tienen una fuerte dependencia sobre el comportamiento de los campos propa-
gados, de manera que pueden propiciar la generación o aniquilación de modos de
propagación resultando en la modificación de la estructura de los mismos, además
en base a la metodología es posible determinar los efectos Doppler tanto en tiempo
como en frecuencia para cada uno de los modos de propagación.
1.11Conclusiones
En este capítulo se han obtenido las fórmulas que describen los fenómenos de propa-
gación en guías de ondas acotadas producidos por fuentes en movimiento no uni-
forme. Cabe mencionar que las fórmulas obtenidas son novedosas ya que los trabajos
que abordan el tema consideran todo el espacio y homogéneo, considerando además
fuentes estacionarias o bien con movimiento uniforme. Además las representación
integral de dicho fenómeno de propagación tomando en cuenta los efectos Doppler,
tanto en el tiempo como en frecuencia, es novedosa.
Por otro lado, decimos que las fuentes tienen un significado físico explícito, de-
bido a que en su estructura se puede observar directamente como será la dependencia
de los campos en términos de los parámetros geométricos y electromagnéticos de la
guía de ondas; así como también la dependencia de dichos campos en función de
las características de propagación y movimiento de la fuente, tales como velocidad y
trayectoria. Las fórmulas planteadas permiten ver de una manera clara los fenómenos
de creación y aniquilación de modos de propagación, además de los fenómenos de
corrimientos en tiempo y frecuencia.
A través de los ejemplos numéricos, mostrados al final del capítulo, es posi-
ble observar de forma clara como se crean o destruyen los modos de propagación,
determinar las frecuencias de cada modo propagado, mismas que comparadas con
la frecuencia de excitación, muestran el efecto Doppler en frecuencia. Los cálculos
44
permitieron observar de manera gráfica los campos para diferentes condiciones de
radiación y movimiento de la fuente, tales como; fuentes con movimiento uniforme
(velocidad constante) y amplitud constante, fuentes con movimiento no uniforme
(variación de velocidad), y fuentes con amplitud variable para los casos senoidal y
gaussiana.
Cabe mencionar que las aplicaciones en las que hayan utilidad las ecuaciones
y métodos planteados son en el análisis de propagación de ondas electromagnéticas
(OEM) en guías de ondas electromagnéticas (EM), en el desarrollo de aceleradores
de partículas, en los sistemas de comunicaciones móviles en túneles; y en general en
cualquier estructura acotada en la que se requiera conocer el comportamiento de los
campos radiados por fuentes en movimiento.
45
CAPITULO 2Propagación de OEM producidas porfuentes en movimiento no uniforme en
guías de ondas estratificadas
El problema bajo consideración, es de interés en muchos campos de la in-
geniería, la física teórica y aplicada, tales como las radiocomunicaciones, la teoría
de radares, comunicaciones satelitales, radioastronomía etc. Los problemas rela-
tivos a la propagación de ondas generadas por partículas cargadas en todo el espacio
homogéneo, son ya clásicos en la física, ver [28], [29], también existen publica-
ciones referentes a la propagación de ondas electromagnéticas en guías de ondas
homogéneas considerando fuentes con movimiento uniforme, [17], otros trabajos
dedicados a este tema, se pueden encontrar en los artículos [4], [6], [19], dedicados
al estudio de el efecto de Vavilov-Cherenkov en guías de ondas homogéneas. Sin
embargo, el problema que se analiza trata el caso más complejo, es decir, la propa-
gación de ondas electromagnéticas generadas por fuentes en movimiento no uniforme
en guías de ondas no homogéneas, emulando los procesos de propagación que tienen
lugar en medios complejos tales como los sistemas atmosféricos, en donde las fuentes
bien pueden ser satélites, aeronaves o vehículos en movimiento que en general de-
scriben trayectorias no uniformes. La motivación de este trabajo viene de algunos
artículos dedicados a la propagación de ondas acústicas en medios no homogéneos,
46
[20], [22], [32]. Otros trabajos referentes al caso electromagnético pueden encon-
trarse en las referencias [35], [36], [37], publicados por los autores.
El presente capítulo esta dividido en siete secciones cuyo contenido se describe
brevemente a continuación.
Las dos primeras secciones contienen los elementos básicos para abordar el
problema así como el planteamiento del mismo, es decir las ecuaciones de Maxwell
para medios estratificados, condiciones de frontera, ondas TE, TM , representación
de fuentes en movimiento, características de la guía, tipo de fuente etc.
La tercera sección está dedicada a la construcción de la función de Green en
términos de los modos.
La cuarta sección del capítulo está dedicada a la representación del campo en
forma integral. La quinta y sexta secciones están dedicadas al análisis asintótico y
efectos producidos por el movimiento de la fuente.
Finalmente, se analizan algunos ejemplos numéricos que muestran la apli-
cación del método planteado.
2.1 Ecuaciones básicas
Las ecuaciones de Maxwell para medios estratificados están dadas por el siguiente
sistema, ver [9],
∇×E(x,t) = −∂B(x,t)∂t
, (2.1)
∇×H(x,t) =∂D(x,t)
∂t+ J(x,t),
∇ ·B(x, t) = 0,
∇ ·D(r,t) = ρ(x,t),
donde,
x = (x1, x2, x3) ∈ R3, t ∈ R,E = (E1, E2, E3) es la intensidad de campo eléctrico en [V/m],
47
H =(H1,H2,H3) es la intensidad de campo magnético en [A/m],
D =(D1,D2,D3) es la densidad de flujo eléctrico en [C/m2],
B =(B1, B2, B3) es la densidad de flujo magnético en [T ],
J(x,t) = (J1(x,t), J2(x,t), J3(x,t)) es el vector de densidad de corriente
[A/m2],
ρ(x, t) es la densidad de carga [C/m3].
La densidad de corriente y carga están directamente relacionadas por la ecuación
de continuidad como sigue,
∇ · J+∂ρ
∂t= 0. (2.2)
Las ecuaciones materiales para el medio que se considera, están dadas por,
D(r, t)=ε(r)E(r, t), B(r, t)=µ(r)H(r, t), (2.3)
en donde ε(r) y µ(r), son la permitividad eléctrica y la permeabilidad magnética
respectivamente.
Asumiendo que tanto ε(r) como µ(r) dependen solo de la coordenada espacial
z , y además considerando las ondas TM (Transversales Magnéticas Hz = 0) y TE
(Transversales Eléctricas Ez = 0), entonces, a partir de el sistema (2.1), es posible
obtener el siguiente par de ecuaciones de onda para medios estratificados como sigue,
ver [9];
µ∇x + (z)
∂
∂z−1(z)− 1
c2(z)
∂2
∂t2
¶Ez (2.4)
= − 1
c2(z)
∂
∂tJz + (z)
∂
∂z−1 ,µ
∇x + µ(z)∂
∂zµ−1(z)− 1
c2(z)
∂2
∂t2
¶Bz (2.5)
= −µ(z)(∇x × Jx)z,
48
En el caso cuando las fuentes se encuentran en movimiento, la densidad de
carga y la densidad de corriente están dadas por las siguientes expresiones, ver [28],
ρ(r, t) = A(t)δ(r− r0(t)), (2.6)
J(r,t) = A(t)v(t)δ(r− r0(t)), (2.7)
en donde A(t) es la amplitud de la fuente considerada, r es el vector que describe la
posición del punto de observación del campo y r0 es la trayectoria que describe la
fuente en su movimiento. Las expresiones (2.6) y (2.7) satisfacen también la ecuación
de continuidad (2.2).
2.2 Planteamiento del problema
En este artículo se considera el problema de la propagación de ondas electromagnéti-
cas generadas por fuentes en movimiento en guías de ondas estratificadas, tales guías
están descritas en el semiespacio infinito [0,∞) como se muestra en la 2.1.
Considérese una capa dieléctrica en el semiespacio como sigue,
Πh =©(x1, x2, z) ∈ R3 : 0 < z < h
ª, (2.8)
con las siguientes características, ε = ε(z) > 0 y µ = µ(z) > 0, las cuales son
funciones contínuas en el intervalo [0, h] y constantes en (h,∞).Si se considera que el medio es no magnético, entonces, se tiene que,
ε(z) =
½ε1(z), 0 ≤ z ≤ h,ε2, h < z <∞.
, (2.9)
µ(z) = µ0, 0 < z <∞, (2.10)
de manera que dichas características definen,
c2(z) =1
ε(z)µ(z), (2.11)
La fuente que se considera para el análisis es una fuente de banda estrecha,
descrita por las ecuaciones (2.6) y (2.7), de manera que la amplitud de la misma está
49
Figura 2.1: Fuente en movimiento en una guía de ondas estratificada.
dada como sigue,
A(t) = a(t)e−iω0t, (2.12)
la trayectoría que describe la fuente está dada por,
r0(t) = (x1(t), x2(t), z(t)), (2.13)
una vez establecido lo anterior, entonces es necesario resolver el problema de la
propagación planteado por las ecuaciones (2.4) y (2.5), sujetas a las condiciones de
frontera del problema, en este caso, para el plano L0 = (x1, x2, z) ∈ R3 : z = hen la interface de los medios 1 y 2 se tienen las siguientes condiciones,
[Dz]z∈L0 = 0,
·ε−1(z)
∂Dz
∂z
¸z∈L0
= 0, (2.14)
[Bz]z∈L0 = 0,
·µ−1(z)
∂Bz
∂z
¸z∈L0
= 0, (2.15)
50
mientras que para el plano , en donde se considera una barrera conductora se tiene,
Dz|z∈L0 = 0, (2.16)∂Bz
∂z
¯z∈L0
= 0, (2.17)
De esta manera el problema a resolver viene dado por las ecuaciones (2.4) y
(2.5), con las respectivas condiciones de frontera dependiendo del tipo de ondas que
se consideren, esto es las condiciones dadas por (2.14), (2.16) para las ondas TM , o
bien las condiciones (2.15), (2.17), si se consideran ondas TE.
2.3 Construcción de la función de Green
Considerando el problema estacionario generado a partir de las ecuaciones (2.4) y
(2.5), y utilizando la definición de la función de Green, (ver [30], [43]) entonces se
tiene,
∇2x +ω2
c2(z)+ ν(z)
∂
∂z(ν−1(z)
∂
∂z)gz(r, r0) = −δ(r− r0), (2.18)
con las siguientes condiciones de frontera,
[g]z∈L0 = 0,
·ν−1(z)
∂gz∂z
¸z∈L0
= 0, (2.19)
gz|z∈L0 = 0, o∂gz∂z
¯z∈L0
= 0, (2.20)
en donde tanto gz(z), v(z), así como el tipo de condiciones de frontera, dependen de
el tipo de ondas que se consideren (TE ó TM).
2.3.1 Problema espectral
Considérese ahora, el problema espectral conectado con las ecuaciones (2.18), (2.19)
y (2.20), esto es,
−ν(z) ddz(ν−1(z)
dϕ
dz)− (k2(z)− k21)ψ = α2 ψ, (2.21)
z ∈ (0,∞),
51
ψ(ω, α, 0) = 0, (or ψ0(ω, α, 0) = 0)[ψ(ω, α, z)]z=h = 0,[ν−1(z)ψ0(ω, α, z)]z=h = 0.
, (2.22)
en donde, k2(z) = ωc2(z)
, k21 =ω2
c21, y α2j ∈ R representa el parámetro espectral del
problema.
El operador Lω,v definido por la parte derecha de (2.21), es autoadjunto en el
espacio de Hilbert con la norma,
kfkHν=
µZ ∞
0
ν−1(z) |f(z)|2 dz¶1/2
, (2.23)
dicho operador tiene un espectro contínuo en [0,∞ ) y un conjunto finito de puntos
αj = iβj, βj > 0, formando un espectro discreto en el intervalo, (ver [49]),µ−ω2( 1
c2min− 1
c21), 0
¶, (2.24)
de manera que para cada punto βj del espectro discreto, el problema definido por
(2.21) y (2.22), arroja una solución ψj(ω, βj, z) ∈ H . A continuación se construyen
tales soluciones.
2.3.2 Ecuación de dispersión y eigenfunciones normalizadas
La solución del problema (2.21), (2.22), en el intervalo (∞, h), esta dado por la
siguiente ecuación,∂2ϕ
∂z2= β2jϕ, (2.25)
de manera que se obtiene la siguiente solución en dicho intervalo,
ϕ(ω, βj, z) = C1(ω, βj)eβj(z−h) + C2(ω, βj)e
−βj(z−h), (2.26)
donde tanto C1 como C2, se obtienen a partir de las condiciones dadas en (2.22),
obteniéndose,
C1(ω, βj) =1
2
µϕj(ω, βj, h) +
v1βjv(h)
ϕ0j(ω, βj, h)¶, (2.27)
C1(ω, βj) =1
2
µϕj(ω, βj, h) +
v1βjv(h)
ϕ0j(ω, βj, h)¶, (2.28)
52
sin embargo, la solución en el intervalo (∞, h), debe ser exponencialmente decre-
ciente conforme z →∞, por lo que C1 = 0, obteniéndose así, la siguiente ecuación
de dispersión;
ϕj(ω, βj, h) +v1
βjv(h)ϕ0j(ω, βj, h) = 0, (2.29)
en donde, ϕj(ω, βj, h), son soluciones del problema de Cauchy en el intervalo (h, 0)
como sigue,µ−v(z) ∂
∂zv−1(z)
∂
∂z− (k2(z)− k21)
¶ϕj = −β2jϕj, z ∈ (0, h), (2.30)
ϕj(ω, βj, 0) = 0, ϕ0j(ω, βj, 0) = 1.
Debe observarse, que todas las raices de (2.29), caen en el intervalo,
0 < βj < ω
s1
c2min− 1
c21, (2.31)
donde cmin = min[0,h] c(z), y que para cada raíz βj = βj(ω), existe una frecuencia
de corte ω(c)j tal que,
limω→ω
(c)j (|ω|>ω(c)j )
βj(ω) = 0. (2.32)
Finalmente, resta normalizar las funciones que representan la solución de nue-
stro problema en (0,∞), esto es,
ψj(ω, βj, z) =1
Mj(ω)
ϕ(ω, βj, h)e−β(z−h), z > h
ϕ(ω, βj, z), 0 < z < h0, z < 0
, (2.33)
donde,
Mj(ω) =
µZ h
0
v−1(z)ϕ2j(ω, βj, z)dz +1
2v1βjϕ2j(ω, βj, z)
¶1/2, (2.34)
Las funciones generalizadas normalizadas del operador Lω,v, correspondientes
al parámetro espectral βj < 0, están dadas por la siguiente expresión,
ψ(ω, βj, z) =
r2v1π
ϕ(ω, α, z)µϕ2(ω, α, h) +
³v(h)αv1
´−2(ϕ0z(ω, α, h))
2
¶ . (2.35)
53
Para obtener la función de Green para el problema estacionario, se aplica la
transformada de Fourier con respecto a las variables x1, x2, a (2.18), obteniéndose,µ− |ξ|2 + ω2
c2(z)+ v(z)
∂
∂zv−1(z)
∂
∂z
¶bg(ξ, z) = −δ(z − z0), (2.36)
y de la teoría de funciones generalizadas, para el operador Lω,v, se sabe que,
bg(ξ, z) = NXj=1
bCj(ξ, z)ψj(ω, z) +
Z ∞
0
bCj(ξ, z, α)ψ(ω, z, α)dα, (2.37)
de manera que aplicando esta descomposición a (2.36), obtenemos,NXj=1
¡|ξ|2 − β2j − k21¢ bCj(ξ, z) +
Z ∞
0
¡|ξ|2 − α2 − k21¢ bCj(ξ, z, α)dα = −δ(z − z0),
(2.38)
y haciendo κj(ω) =qβj + k21 y γ(ω) =
pk21 − α2 , se tiene,
bCj(ξ, z) =v−1(z0)ψj(ω, z0)
|ξ|2 − κ2j(ω), (2.39)
bCj(ξ, z, α) =v−1(z0)ψ(ω, z0, α)
|ξ|2 − γ2(ω), (2.40)
y aplicando la transformada inversa de Fourier, se llega a que los coeficientes están
dados por,
Cj(ξ, z) =v−1(z0)ψj(ω, z0)
4π
ZR2
e−i|ξ|z
|ξ|2 − κ2j(ω)dξ (2.41)
' v−1(z0)ψj(ω, z0)i
4H(1)0 (κj(ω) |x|) ,
C(ξ, z, α) =v−1(z0)ψ(ω, z0, α)
4π
ZR2
e−i|ξ|z
|ξ|2 − γ2(ω)dξ (2.42)
' v−1(z0)ψ(ω, z0, α)i
4H(1)0 (γ(ω) |x|) ,
donde ψj(ω, z0) y ψ(ω, z0, α), son las eigenfunciones y funciones generalizadas del
operador Lω,v.
Finalmente, la expresion para la función de Green es,
g(x, z) = gj(x, z) + g0(x, z), (2.43)
54
en donde,
gj(x, z) =1
4v(z0)
NXj=1
H(1)0 (κj(ω) |x|)ψj(ω, z0)ψj(ω, z), (2.44)
son llamadas ondas propagadas, y
g0(x, z) =1
4v(z0)
Z ∞
0
H(1)0 (γ(ω) |x|)ψ(ω, z0, α)ψ(ω, z, α)dα, (2.45)
son llamadas ondas laterales.
En este trabajo, se consideran, solo las ondas propagadas, como se verá en las
siguientes secciones.
2.4 Representación del campo producido por fuentes enmovimiento
Con objeto de obtener una representación para los campos producidos por una fuente
en movimiento, es necesario considerar el problema dinámico, el cual está dado por
la ecuación de onda no homogénea con sus respectivas condiciones de frontera, esto
es (para el caso TM), µ∇2x + (z)
∂
∂z−1(z)− 1
c2(z)
∂2
∂t2
¶Dz(x, z, t)
= − 1
c2(z)
∂
∂tJz(x,z, t) + (z)
∂
∂z−1 (x,z, t), (2.46)
[D]z∈Lh = 0,
·1
ε(z)
∂D
∂z
¸z∈Lh
= 0. (2.47)
aplicando la transformada de Fourier a (2.46) con respecto al tiempo, obtenemos la
ecuación de Helmholtz, esto es, µ∇2x + (z)
∂
∂z−1(z) +
ω2
c2(z)
¶ bDz(x, z, ω) (2.48)
= − iω
c2(z)bJz(x, z, ω)+ (z)
∂
∂z−1(z)bρ(x, z, ω),
en donde, por teoría de soluciones fundamentales sabemos que la solución a (2.48)
está dada por la convolución entre la parte derecha de (2.48) con la función de Green,
55
en términos de las variables espaciales como sigue,
bDz(x, z, ω) = g(x, z, ω) ∗ bf(x, z, ω), (2.49)
donde bf(x, z, ω) es la parte derecha de (2.48).
Por facilidad, se considera que la fuente se mueve solamente paralela a las fron-
teras dadas por Lh = (x1, x2, z) ∈ R3 : z = h y L0 = (x1, x2, z) ∈ R3 : z = 0 ,
de manera que vz = 0 y Jz = 0.
De acuerdo a lo anterior, se obtiene la representación del campo como sigue,
Dz(x, z, t) =1
2π
Z +∞
−∞[g(x, z, ω) ∗
Z +∞
−∞f(x, z, τ)eiωτdτ ]eiωtdω, (2.50)
aplicando la convolución se llega a,
Dz(x, z, t) =1
2π
Z +∞
−∞
Z +∞
−∞[g(x− x0, z − z0, ω) × (2.51)Z +∞
−∞f(x, z, τ)eiωτdτ
¸dx0dz0eiωtdω,
sustituyendo f(x, z, τ) y tomando en cuenta que el elemento fuente está dado por
(2.6), se tiene,
Dz(x, z, t) =1
2π
Z +∞
−∞
Z +∞
−∞g(x− x, z − z, ω)
×Z +∞
−∞
·(z)
∂
∂z−1(z)a(τ/λ)e−iω0τ
δ(x− x0(τ)), z − z0(τ))eiωτdτ
¤eiωtdω
=1
2π
Z +∞
−∞e−iωt
Z +∞
−∞a(τ/λ)×
g0z(x− x0(τ), z − z0, ω)×ei(ω−ω0)τdτdω +
−1(z)0z|z=z0 (z0)2π
×Z +∞
−∞e−iωt
Z +∞
−∞a(τ/λ)gz(x− x0(τ), z − z0, ω)× (2.52)
ei(ω−ω0)τdτdω,
que es la representación del campo en términos de un wave packet, y para resolver
dicha integral se emplean métodos asintóticos.
56
2.5 Representación asintótica deDz
El objetivo en esta sección, es obtener la representación asintótica para la inte-
gral (2.52), para ello se emplea el Método de Fase Estacionaria, [5], [9], [15], [16].
Para la aplicación de este método es necesario incluir en (2.52), un parámetro grande
λ → ∞, el cual caracteriza los siguientes aspectos de la fuente, para λ suficiente-
mente grandes,
• Estrechez de la banda de frecuencia de la fuente considerada.
• Grandes distancias entre fuente y receptor, cuando λ→∞.
• La aceleración horizontal pequeña.
Entonces, de acuerdo a lo anterior,
A(τ) = a(τ/λ)e−iω0τ , r0(τ) = (λx00(τ/λ), z0), (2.53)
las ecuaciones (2.53) caracterizan lo antes mencionado.
Para incluir el parámetro en (2.52), es necesario realizar los siguientes cambios
de variable,
τ = λτ 0, t = λt0, x = λx0, x0 = λx00, (2.54)
entonces, la integral (2.52) en términos de este parámetro está dada por,
Dz(x, z, t) =λ
2π
Z Z +∞
−∞a(τ 0)g0z(λ |x− x0(τ)| , z − z0(τ), ω)×
e−iλ[ω(τ0−t0)−ω0τ 0]dτ 0dω +
λ −1(z)0z|z=z0 (z0)2π
×Z Z +∞
−∞a(τ 0)gz(λ |x− x0(τ)| , z − z0(τ), ω)× (2.55)
e−iλ[ω(τ0−t0)−ω0τ 0]dτ 0dω,
57
sustituyendo (2.44) en (2.55), esto es, la función de Green despreciando las ondas
laterales, se llega a,
Dz(x0, z, t0) =
NXj=1
hD(j)1z (x
0, z, t0) +D(j)2z (x
0, z, t0)i, (2.56)
en donde,
D(j)1z =
rλ
32π3ie−i
π4
(z0)
Z Z +∞
−∞
a(τ 0)ψj(z0)ψ0j(z)
(κj(ω) |x0−x00|)1/2× (2.57)
eiλ[κj(ω)|x0−x00|+ω(τ 0−t0)−ω0τ 0]dτ 0dω,
D(j)2z =
rλ
32π3ie−i
π4
−1(z)0z¯z0
Z Z +∞
−∞
a(τ 0)ψj(z0)ψ0j(z)
(κj(ω) |x0−x00|)1/2× (2.58)
eiλ[κj(ω)|x0−x00|+ω(τ 0−t0)−ω0τ 0]dτ 0dω,
De las expresiones (2.57) y (2.58), se observa que la fase está dada por,
eSj(ω, τ 0) = κj(ω) |x0−x00(τ 0)|+ ω(τ 0 − t0)− ω0τ0, (2.59)
de manera que los puntos de fase estacionaria están dados por el siguiente sistema de
ecuaciones,
eS0jω(ω0j, τ 00j) = κ0(ω0j) |x0−x00(τ 0)|+ τ 00j − t0 − ω0τ0 = 0, (2.60)eS0jτ 0(ω, τ 0) = κ(ω0j)
£x00(τ
00j)¤0τ 0 sgn(x
0−x00(τ 00j)) +ω0j − ω0 = 0,
y la matriz Hessiana de la fase es,
eS00j (ω0j, τ 00j) =
∂2 eS00∂ω20j
∂2 eS00∂ω∂τ 00j
∂2 eS00∂ω0j∂τ 00j
∂2 eS00∂τ 020j
. (2.61)
Si se considera que la velocidad de la fuente es menor que la velocidad de la
luz en el medio considerado, entonces, det eS00j (ω0j, τ 00j) 6= 0 lo que significa que
(ω0j, τ00j) es un punto de fase estacionaria no degenerado.
58
Aplicando el método de fase estacionaria a (2.57) y (2.58), se obtiene,
D(j)1z (x
0, z, t0) =ia(τ 00j)ψj(z0)ψ
0j(z)√
8πλ (z0)× (2.62)
exphiλeSj(ω0j, τ 00j) + iπ
4sgneS00j (ω0j, τ 00j)− iπ
4
i³κj(ω0j) |x0−x00|
¯det eS00j (ω0j, τ 00j)¯´1/2 .
D(j)2z (x
0, z, t0) =i −1(z)0z|z0 a(τ 00j)ψj(z0)ψj(z)√
8πλ× (2.63)
exphiλeSj(ω0j, τ 00j) + iπ
4sgneS00j (ω0j, τ 00j)− iπ
4
i³κj(ω0j) |x0−x00|
¯det eS00j (ω0j, τ 00j)¯´1/2
Regresando a las variables originales, se llega a las siguientes expresiones,
D(j)1z (x, z, t) =
ia(τ 0j/λ)ψj(z0)ψ0j(z)√
8π (z0)× (2.64)
exp£iSj(ω0j, τ 0j) + iπ
4sgnS00j (ω0j, τ0j)− iπ
4
¤¡κj(ω0j) |x− x0|
¯detS00j (ω0j, τ 0j)
¯¢1/2 ,
D(j)2z (x, z, t) =
i −1(z)0z|z0 a(τ 0j)ψj(z0)ψj(z)√8π
× (2.65)
exp£iSj(ω0j, τ 0j) + iπ
4sgnS00j (ω0j, τ0j)− iπ
4
¤¡κj(ω0j) |x− x0|
¯detS00j (ω0j, τ 0j)
¯¢1/2 ,
que sustituyendo en (2.56) arrojan la expansión asintótica de la componente Dz.
En las expresiones (2.64) y (2.65),
κ(ω0j) =
sω20jc21+ β2j , (2.66)
y la fase Sj(ω0j, τ 0j), está dada por,
Sj(ω0j, τ 0j) = κ(ω0j) |x− x0(τ 0j)|+ ω0j(τ 0j − t)− ω0τ 0j. (2.67)
59
2.6 Efecto Doppler y tiempo retardado
Las fórmulas anteriores arrojan un significado explícito para ambos efectos.
Considérese la fase como en (2.67), la cual es la fase para un modo con número
j , como dicha expresión, depende solo de t , entonces, es posible escribir,
Sj(ω0j, τ 0j) = Sj(ω0j, τ 0j, t), (2.68)
si se considera un solo punto de fase estacionaria (ω0j, τ 0j), entonces, se obtiene que
la frecuencia instantánea está dada por,
ω(in)j (t) = −dSj(ω0j(t), τ 0j(t), t)
dt, (2.69)
de manera que, ω(in)j (t) = ω0j(t) , y entonces se puede escribir que,
∆ωj = ω0j(t)− ω0, (2.70)
que es el efecto Doppler en frecuencia, mientras que para los tiempos retardados se
tiene,
∆tj = t− τ 0j. (2.71)
2.7 Aplicaciones
Para ejemplificar la aplicación del método se considera el siguiente problema.
Considérese, la guía de ondas estratificada formada por el sistema tierra-troposfera-
ionosfera, como se muestra en la 2.2., de manera que una fuente se encuentra en
movimiento en la capa descrita por el perfil de la permitividad;
dicho perfil está dado por la siguiente ecuación, ver [18],
r(z, f) =
½(1 + ae−bz)2, 0 < z ≤ 50km
1− 81N(z)f−2, 50 < z ≤ 285km , (2.72)
donde r(z, f), es la permitividad relativa para la capa en consideración, a, b son
parámetros que dependen de las condiciones climatológicas, N(z) es la concen-
tración electrónica por metro cúbico, f es la frecuencia en Hz.
60
Figura 2.2: Fuente en movimiento en el sistema tierra-ionosfera-troposfera.
Para una frecuencia de 6MHz, el perfil que se obtiene es como se muestra en
la gráfica 2.3.
Se considera una fuente de banda estrecha centrada en 6 MHz de amplitud
constante unitaria, la trayectoria que describe la fuente, es como sigue,
r0 = (143× 103, v · t, 0), [m], (2.73)
de manera que la fuente se mueve solo en la dirección x1 , el receptor se localiza en
las coordenadas,
r = (143× 103, 0, 0), [m], (2.74)
De acuerdo con dichos datos, y para una velocidad de v = 1000 m/s , se
obtiene la siguiente estructura, gráfica 2.4, para el campo Dz.
61
Figura 2.3: Permitividad relativa vs. altura para una frecuencia de 6 MHz.
El número de modos propagados fue de 13, sin embargo en la gráfica sólo se
consideran los primeros 5, por ser éstos en donde se concentra la mayor parte de
energía, la siguiente tabla 2.1 muestra el efecto Doppler para dichos modos.
Tabla 2.1: Corrimiento Doppler para v=1000 m/s.
Modo Corrimiento Doppler [Hz]1 125.75165462 125.75167013 125.75168654 125.75170345 125.7517203
Para observar como se modifica la estructura del campo con respecto a la ve-
locidad, la siguiente gráfica 2.5 muestra la estructura del mismo para una velocidad
v = 10000m/s.
62
Figura 2.4: Estructura del campo Dz para v = 1000m/s.
La tabla Tabla 2.2, muestra los corrimientos en frecuencia para los primeros 5
modos cuando se considera v = 10000m/s.
Tabla 2.2: Corrimiento Doppler para v=10000 m/s.
Modo Corrimiento Doppler [Hz]1 1257.4787962 1257.4789513 1257.4791164 1257.4792845 1257.479453
2.8 Conclusiones
En este capítulo, se han obtenido fórmulas asintóticas (analíticas) que describen el
comportamiento de los campos generados por fuentes con movimiento no uniforme,
pero en este caso, a diferencia del capítulo 1, la propagación se lleva a cabo en guías
63
Figura 2.5: Estructura del campo Dz para v = 10000m/s.
de ondas estratificadas, esto es, la permitividad ε(z) y permeabilidad µ(z) no son
homogéneas a lo largo del eje z. Dichas guías permiten modelar sistemas reales y
complejos de propagación para fines prácticos, tales como el sistema tierra-ionosfera-
troposfera altamente explotado para los sistemas de comunicaciones de R.F., así
como por los sistemas de comunicaciones móviles, como la telefonía celular.
Las fórmulas obtenidas arrojan un análisis detallado del fenómeno de propa-
gación el cual es novedoso y no se halla en trabajos previos referentes al tema. Las
fórmulas muestran la dependencia de los campos en términos de los parámetros de
radiación y movimiento de la fuente; tales como las características de los medios
involucrados, la trayectoria y velocidad de la fuente. Al ser fórmulas analíticas per-
miten ver en la misma estructura de la ecuación, cual es la influencia que tendrán
dichos parámetros sobre los campos propagados.
Se obtuvieron también fórmulas para la determinación de los efectos Doppler
tanto en tiempo como en frecuencia para cada modo, donde los puntos de fase esta-
64
cionaria para ω corresponden a la frecuencia instantánea del fenómeno de propa-
gación.
Por último, se mostró la utilidad de las fórmulas para los cálculos numéricos a
través de un ejemplo; considerando el modelo de propagación real, formado por la
guía de ondas estratificada tierra-ionosfera-troposfera. Se analizó el problema para
una señal de R.F. de 6MHz generada por una fuente con una velocidad de 1000m/s
y 10000m/s, para determinar el comportamiento del campo con la variación de la ve-
locidad, así como el corrimiento Doppler en frecuencia que existe para dicho prob-
lema. Particularmente, se obtuvieron los gráficos para el campo Dz observándose
como cambia la estructura del campo debido a las características de movimiento de
la fuente, en este caso la velocidad. También se obtuvieron los corrimientos Doppler
para cada modo, en ambos casos.
Las aplicaciones para las fórmulas se hallan en la descripción detallada de los
fenómenos de propagación de OEM producidas por fuentes en movimiento en re-
giones estratificadas, entre ellas destacan: las comunicaciones de R.F., las comuni-
caciones móviles en la atmósfera terrestre; como la telefonía celular, las comunica-
ciones entre aeronaves; o bien, comunicaciones fuera de la atmósfera terrestre.
65
CAPITULO 3Propagación de OEM producidas porfuentes en movimiento en plasma
El problema de la radiación producida por fuentes en movimiento en plasma
es un problema muy interesante relacionado con la ingeniería de comunicaciones
tal como la propagación de OEM a través de la ionosfera, las comunicaciones
satelitales, comunicaciones aeroespaciales etc. Este problema también tiene aplica-
ciones en algunas ramas de la física teórica y aplicada tales como la radioastronomía,
física relativista y física de plasma.
La propagación de OEM en plasma ha sido estudiada extensamente debido a
su amplia gama de aplicaciones, algunos trabajos clásicos relacionados a la propa-
gación de OEM en plasma están dadas en las referencias [1], [18], [27]; estos tra-
bajos tratan con las características básicas de la propagación en tal medio, investi-
gaciones recientes en el campo de la propagación en plasma son, [10], [13], [26],
[33], [34], [44], [45], las cuales están dedicadas a las oscilaciones en plasma com-
plejos, whistler-modes, generación de ondas, etc. Sin embargo, la mayoría de estos
trabajos están dedicados solo al fenómeno estacionario es decir fuentes estacionar-
ias. También hay trabajos clásicos dedicados al estudio de la propagación producida
por fuentes en movimiento en medios simples, ver por ejemplo [4], [6], [17], [19],
[29], sin embargo, la mayoría de estos trabajos tratan con fuentes en movimiento
66
uniforme a través del vacío. Las investigaciones actuales en el campo de las fuentes
en movimiento están enfocadas en fenómenos muy interesantes como el efecto de
Vavilov-Cherenkov producido por fuentes en movimiento con velocidad superlumi-
nal, ver por ejemplo [2], [7], [42], [46], [47], .
El objetivo de esta investigación es el estudio de la radiación de OEM en
plasma producidas por fuentes en movimiento, debe notarse que el sistema de ecua-
ciones que se requieren para el análisis de las ondas en el plasma, aún en el caso
más simple (plasma homogéneo y fuentes estácionarias) es mucho más complicado
que el sistema usual de ecuaciones de Maxwell. Para el caso de un plasma homogé-
neo hay dos velocidades asociadas con la propagación de ondas (ver, [17]), una para
la onda electromagnética y otra para la onda acústica; esto hace al problema de la
propagación de ondas en plasma complicado e interesante.
En este trabajo se obtienen fórmulas explícitas en las cuales fenómenos suma-
mente importantes e interesantes tales como tiempos retardados, corrimientos Doppler
y oscilaciones en el plasma aparecen de manera natural. Para la investigación del
problema, una representación integral del campo producido por una fuente en movimiento
en el plasma es obtenida. Por medio del método de fase estacionaria (SPM) se ob-
tiene una solución asintótica del problema muy conveniente para las simulaciones
computacionales.
El método usado para el análisis viene de una serie de artículos dedicados al
estudio de la propagación de ondas acústicas y electromagnéticas producidas por
fuentes en movimiento en guías de ondas, ver, [20], [22], [32], [35], [36], [37],
[38],[40], publicados por el autor.
3.1 Ecuaciones Básicas
Un plasma se define como un gas cuasineutral el cual consiste de partículas neutras
y cargadas en movimiento térmico que describen un comportamiento colectivo. En
67
este trabajo se considera un plasma isotrópico, homogéneo y electrónico, de man-
era que los fenómenos ondulatorios pueden ser descritos en el marco de un fluido de
una componente, libre de colisiones. Bajo estas consideraciones, los campos elec-
tromagnéticos en un plasma, después de linearización y promediación están carac-
terizados por los vectores de las intensidades de los campos eléctrico y magnético
E(x, t),H(x, t), la presión de los electrones p(x,t) y el vector de velocidad prome-
dio v(x, t) el cual satisface el siguiente sistema de ecuaciones (ver, [17]),
ε0∂tE−∇×H− n0qv = −J,∇×E+ µ0∂tH = −M,
1
γp0∂tp+∇ · v= − s, (3.1)
n0qE+∇p+ n0m(∂tv−ωcb0 × v) = f ,
donde,
ε0 : permitividad eléctrica del vacío,
µ0 : permeabilidad magnética del vacío,
n0q : densidad de carga,
n0m : densidad de masa,
p0 : presión de los electrones,
γ : tasa de calor específico para los electrones,
b0 = B0/ |B0| : vector unitario en la dirección del campo magnético constante,
ωc =qB0m: frecuencia de ciclotrón,
J(x, t) : densidad de corriente eléctrica,
M(x, t) : densidad de corriente magnética,
s(x, t) : densidad de la fuente de electrones,
f(x, t) : densidad de fuerza,
x = (x1, x2, x3) ∈ R3, y t ∈ R.Así, la solución de cualquier problema relacionado con la propagación de ondas
en el plasma definido arriba, viene de la solución del sistema (3.1), y con objeto de
68
obtener una solución única del problema algunas condiciones se deben imponer a las
excitaciones y a los campos, esto es, las excitaciones se desvanecen para t < ti, y
que los campos E ≡ H ≡p≡ v ≡0 también para t < ti (condiciones iniciales).
3.2 Función de Green tensorial
Del sistema de ecuaciones (3.1) arriba, y considerando un plasma no magnetizado
(ωc = 0) en el cual la única excitación es la densidad de corriente, se puede obtener
la ecuación de onda para el plasma como sigue, aplicando el rotacional a la segunda
ecuación en (3.1),
∇×∇×E =− µ0∂
∂t∇×H, (3.2)
después de la sustitución de∇×H, es posible escribir,
∇(∇ ·E)−∇2E = −µ0ε0∂2E
∂t2+ µ0n0q
∂v
∂t− µ0
∂J
∂t, (3.3)
finalmente reordenando términos se obtiene,
∇2E−∇(∇ ·E)− 1c2∂2E
∂t2+µ0n0q
∂v
∂t=µ0
∂J
∂t, (3.4)
donde,
c =1√µ0ε0
. (3.5)
Como se puede ver, la ecuación (3.4) depende no solo de E sino de v también,
así que es necesario escribir el término derecho de (3.4) en términos de E solamente.
Para hacer lo anterior es necesario expresar v en términos de E. Aplicando el gradi-
ente a ambos miembros de la tercera ecuación en (3.1), se obtiene,
1
γp0
∂
∂t∇p+∇(∇ · v) = 0,
∇p = −µ∂
∂t
¶−1(γp0∇(∇ · v)), (3.6)
69
la sustitución de (3.6) en la cuarta ecuación del sistema (3.1) lleva a,
n0qE−µ∂
∂t
¶−1(γp0∇(∇ · v)) + n0m
∂v
∂t= 0, (3.7)·
∇∇+ 1
a2∂2
∂t2
¸v =
n0q
γp0
∂E
∂t, (3.8)
donde,
a =
rγp0n0m
. (3.9)
La expresión arriba, define el siguiente operador,
L =·∇∇+ 1
a2∂2
∂t2
¸, (3.10)
así, v en términos de E está dada por,
v =L−1Lv =L−1·n0q
γp0
∂E
∂t
¸. (3.11)
después de la sustitución de (3.11) en (3.4) se obtiene,
ε0∂
∂t
£1− ωp(ω
2 + a2∇2)−1¤ ∇(∇ ·E)∇2 −
µ∂
∂t
¶−1 (∂2/∂t2) + ω2p − c2∇2µ0
∇×∇×Ec2∇2 = J , (3.12)
que en términos de la función de Green para una densidad de corriente puntual es,
ε0∂
∂t
£1− ωp(ω
2 + a2∇2)−1¤ ∇(∇ · G11)∇2
−µ∂
∂t
¶−1 (∂2/∂t2) + ω2p − c2∇2µ0
∇×∇× G11c2∇2 = δ(r)δ(t), (3.13)
así la función de Green puede ser obtenida invirtiendo el operador definido en el
lado izquierdo de (3.13), la inversión de este operador puede llevarse a cabo medi-
ante el método de operador, el principio de este método y su aplicación se describen
detalladamente en la siguiente sección.
70
3.3 Método de operador
Considérese el siguiente operador tensorial,
∇×∇× 1 =∇(∇ • 1)−∇21, (3.14)
es posible obtener el operador tensorial identidad aplicando el operador inverso L =
(∇2)−1 a la expresión arriba,
L[∇(∇ • 1)]−L(∇×∇× 1) = 1, (3.15)
el operador L conmuta con los operadores internos en (3.15) entonces,
1 =[∇(∇ • L1)]−(∇×∇× L1), (3.16)
de la expresión arriba, se pueden definir los siguientes operadores,
P1 = ∇∇ • L, (3.17)
P2 = −∇×∇× L, (3.18)
entonces,
P1 + P2 = 1,
más aún, se puede probar que los operadores P1, P2 son proyectores, esto significa
que,
P 2E = PE. (3.19)
Prueba 1: considere el operador definido por P1 = ∇∇ · L, este operador esproyector si satisface lo siguiente, P 2E = PE,
P 21E = ∇∇ • L[∇(∇ • LE)], (3.20)
y debido a que L conmuta,
P 21E = L2∇[∇2(∇ •E)], (3.21)
71
pero antes se definio que L = (∇2)−1, entonces, L−1 = ∇2,
P 21E = L2∇[L−1(∇ •E)], (3.22)
= ∇[L(∇ •E)],= ∇(∇ • LE),= P1E,
que es la definición de proyector¥.
Si un operador se puede representar en términos de los operadores P1 y P2
definidos en (3.19), entonces tal operador puede ser invertido como sigue.
Sea Q un operador definido en términos de los operadores P1 y P2 ,
Q = Q1P1 +Q2P2, (3.23)
entonces, el inverso de este operador es,
Q−1 = Q−11 P1 +Q−12 P2, (3.24)
ésto significa que,·Q1∇(∇ · 1)∇2 +Q2
∇×∇× 1∇2
¸−1=
·Q−11∇(∇ · 1)∇2 +Q−12
∇×∇× 1∇2
¸.
(3.25)
Prueba 2: el operador (Q1P1 +Q2P2)−1 = (Q−11 P1 +Q−12 P2) si y solo si,
(Q−11 P1 +Q−12 P2)(Q1P1 +Q2P2) = 1, (3.26)
donde 1 es el operador identidad.
Tomando el producto en (3.26), se tiene,
(Q−11 P1 +Q−12 P2)(Q1P1 +Q2P2) = Q−11 P1Q1P1 +Q−11 P1Q2P2 (3.27)
+Q−12 P2Q1P1 +Q−12 P2Q2P2,
= Q−11 Q1P21 +Q−12 Q2P
22
+Q−11 Q2P1P2 +Q−12 Q1P2P1,
72
donde los términos Q−11 Q2P1P2 y Q−12 Q1P2P1 son igual a cero ya que, P1P2 =
P2P1 = 0, si recordamos que P1 + P2 = 1, entonces,
P1P2 = P1(I − P1) = P1 − P 21 , (3.28)
pero P1 y P2 son proyectores, entonces,
P1P2 = P1 − P1 = 0. (3.29)
Así,
(Q−11 P1 +Q−12 P2)(Q1P1 +Q2P2) = P 21 + P 2
2 = P1 + P2 = 1. (3.30)
¥.Con objeto de mostrar la aplicación del método descrito antes, considérese el
operador de onda dado por W ,
WE = ∇×∇×E+ 1
c2∂E
∂t, (3.31)
para escribir este operador en terminos de los operadores (3.17), (3.18), se aplicará
el operador identidad 1 = (∇2)−1∇2 en (3.31), como sigue,
∇×∇×E+ 1
c2∂E
∂t= ∇2(∇2)−1(∇×∇×E)+ 1
c2∂
∂t∇2(∇2)−1E, (3.32)
por descomposición del operador∇2 se tiene,
∇×∇×E+ 1
c2∂E
∂t=
·∇2 − 1
c2∂2
∂t2
¸(∇2)−1(∇×∇× 1)E
+
·1
c2∂
∂t
¸(∇2)−1∇∇, (3.33)
así, mediante (3.25), tenemos,·∇×∇×E+ 1
c2∂E
∂t
¸−1=
·∇2 − 1
c2∂2
∂t2
¸−1(∇2)−1(∇×∇× 1)E
+
·1
c2∂
∂t
¸−1(∇2)−1∇∇, (3.34)
que es el inverso para el operador W obtenido a través del método de operador.
73
3.4 Función de Green para el campo en un plasma
De acuerdo con el método de operador, es fácil ver que la función de Green para
un plasma homogéneo, electrónico definido por (3.13), puede ser obtenido por la
inversión de los operadores en corchetes de (3.13), esto es,
G11 =1
ε0
µ∂
∂t
¶−1[∇2 − (1/a2)(∂2/∂t2 + ω2p)]
−1[∇2 − (1/a2)(∂2/∂t2)]∇∇∇2
+∂
∂tµ0[∇2 − (1/c2)(∂2/∂t2 + ω2p)]
−1∇×∇× 1∇2 , (3.35)
haciendo,
gu =−1
∇2 − (1/u2)(∂2/∂t2 + ω2p)δ(r− r0)δ(t− t0), u = a, c, (3.36)
entonces (3.35) se convierte en,
G11 = − 1ε0
µ∂
∂t
¶−1[∇2 − (1/a2)(∂2/∂t2)]∇∇∇2 ga − µ0
µ∂
∂t
¶ ∇×∇× 1∇2 gc,
(3.37)
por descomposición del operador∇×∇× 1, se tiene,
G11 = −µ∂
∂t
¶−1 ∇2 − (1/a2)(∂2/∂t2)ε0
∇∇∇2 ga − µ0
µ∂
∂t
¶·∇∇∇2 −
∇2∇2¸gc,
= −µ∂
∂t
¶−1 ∇∇ε0
ga +1
a2
µ∂
∂t
¶ ∇∇ε0∇2
ga−µ0µ∂
∂t
¶ ∇∇∇2 gc+µ0
µ∂
∂t
¶gc,
=∇∇∇2
µ1
ε0
∂
∂t
gaa2− µ0
∂
∂tgc
¶−µ∂
∂t
¶−1 ∇∇ε0
ga + µ0∂
∂tgc, (3.38)
agrupando,
G11 = µ0∂
∂tgc − ∇∇
ε0
µ∂
∂t
¶−1 ·ga − ∂2/∂t2
∇2³gaa2+
gcc2
´¸,
= µ0∂
∂tgc − ∇∇
ε0
µ∂
∂t
¶−1 ·ga +
∂2/∂t2
(∂2/∂t2) + ω2p(gc − ga)
¸, (3.39)
finalmente reordenando términos,
G11 =µµ0
∂
∂t−∇∇
ε0
∂/∂t
∂2/∂t2 + ω2p
¶gc1− ∇∇
ε0
ω2p(∂/∂t)(∂2/∂t2 + ω2p)
ga, (3.40)
74
donde, a =r
γp0n0m
, c =1√µ0ε0
, ωp =
rn0q
2
mε0, y£∇2 + (1/u2)(∂2/∂t2 + ω2p)
¤gu = −δ(r− r0)δ(t− t0). (3.41)
Es bien sabido que gu para la ecuación (3.41), está dada por,
gu =
Z ∞
−∞
exp³−i[ωt−
q(1/u2)(ω2 − ω2p) |r|
´4π |r|
dω
2π, u = c, a, (3.42)
entonces,
G11 =
µµ0
∂
∂t−∇∇
ε0
∂/∂t
∂2/∂t2 + ω2p
¶×
Z ∞
−∞
exp³−i[ωt−
q(1/c2)(ω2 − ω2p) |r|
´4π |r|
dω
2π1
+∇∇ε0
ω2p(∂/∂t)(∂2/∂t2 + ω2p)
×
Z ∞
−∞
exp³−i[ωt−
q(1/a2)(ω2 − ω2p) |r|
´4π |r|
dω
2π1. (3.43)
Si se consideran campos armónicos en tiempo, entonces,
G11 =
µiωµ0−
∇∇iε0
ω
ω2 − ω2p
¶ei√(1/c2)(ω2−ω2p)|r|
4π |r| 1
+∇∇iωε0
ω2pω2 − ω2p
ei√(1/a2)(ω2−ω2p)|r|
4π |r| 1. (3.44)
3.5 Campo eléctrico producido por una fuente enmovimiento en un plasma
3.5.1 Función de Green para el campo eléctrico
Considérese un plasma no magnetizado (ωc = 0) con las características descritas
antes, en el cual la única excitación es la densidad de corriente eléctrica, entonces, el
75
sistema (3.1) se puede reducir a,
ε0∂tE−∇×H− n0qv = −J,∇×E+ µ0∂tH = 0,
1
γp0∂tp+∇ · v = 0, (3.45)
n0qE+∇p+ n0m∂tv = 0,
donde las primeras dos ecuaciones son las ecuaciones de Maxwell para un fluido
con carga con densidad de corriente eléctrica −n0qv. El segundo par de ecuaciones
son las ecuaciones de Euler para partículas cargadas donde n0m∂tv es la densidad
de fuerza de Lorentz. Entonces el sistema (3.45) es un sistema que conecta a los
campos electromagnéticos e hidrodinámicos. Para escoger una solución única del
sistema (3.45) se usará el principio de absorción límite. En el sistema (3.45) se
cambia ε, µ, n0m por ε+iδ, µ+iδ, n0m+iδ, δ > 0. El sistema (3.45) con parámetros
complejos de tal tipo tiene una única solución. Es posible probar la existencia del
límite de esta solución cuando δ → +0. Este límite satisface el sistema (3.45). La
elección de dicha solución se conoce como el principio de absorción límite (ver,
[48]).
Del sistema (3.45), es posible obtener la ecuación que describe la propagación
en un plasma, esto es,
ε0∂t£1− ωp(ω
2 + a2∇2)−1¤ ∇(∇ ·E)∇2
−∂−1t∂2t + ω2p − c2∇2
µ0
∇×∇×Ec2∇2 = J, (3.46)
y su solución mediante el método de operador (ver, [17]) es, satisfaciendo el principio
de causalidad,
E =∂
∂t(µ0gc−ε−10 ∇(∇ · ((∂2t + ω2p)
−1gc)) ∗ J
−ω2p
ε0∇(∇ · (∂−1t (∂2t + ω2p)
−1ga)∗J, (3.47)
76
donde gu es una función de Green causal de la ecuación de Klein-Gordon (ver, [48]),
ésto es,
Kugu(x, t) =
µ∇2x −
1
u2(∂2t + ω2p)
¶gu(x, t) = −δ(x)δ(t), u = a, c, (3.48)
donde gu(x, t) es una función generalizada con soporte en el cono de futuro:
Γ+u =©(x, t) ∈ R4 : |x| ≤ ut, t ≥ 0ª . (3.49)
Esto significa que,
gu(x, t) = limε→+0
F−1(|ξ|2 − ω2 + ω2p + iε
u2) =
1
(2π)4 u2limε→0
ZR4(u2 |ξ|2 − ω2 − ω2p − iε)−1e−iξ·x−itωdξdω,(3.50)
y supp gu(x, t) = Γ+u .
Se denota por (∂2t +ω2p)−1 al operador inverso para ∂2t +ω2p, esto es la convolu-
ción
(∂2t + ω2p)−1ϕ(t) =
Z ∞
0
sinωpτ
ωpϕ(t− τ)dτ. (3.51)
De la misma manera se define al operador ∂−1t
∂−1t ϕ(t) =
Z ∞
0
ϕ(t− τ)dτ. (3.52)
Se definirán estos operadores inversos, aplicando el principio de causalidad.
3.5.2 Representación integral
Considérese el campo eléctrico generado en el plasma por una fuente en movimiento
de la forma,
J(x, t) = x0(t)A(t)e−iω0tδ(x− x0(t)), (3.53)
donde, A(t) ∈ C∞(R) y es acotada con todas sus derivadas, x0(t) ∈ C∞(R), y
|x(t)| ≥ δ > 0 para toda t.
77
Se usará la función de Green para el operador de Klein-Gordon la cual es solu-
ción de la ecuación
Kugu(x, t) =
µ∇2x −
1
u2(∂2t + ω2p)
¶gu(x, t) = −δ(x)δ(t), (3.54)
y está dada por
gu(x, t) = limε→0
F−1(|ξ|2 − (ω + ω2pu2
+ iε)) =
1
(2π)4 u2limε→0
ZR4(|ξ|2 − (ω + ω2p
u2+ iε))−1e−iξ·x−itωdξdω. (3.55)
Aplicando la transformada de Fourier a (3.54) con respecto a t ∈ R se obtiene
la siguiente ecuaciónµ∇2x +
1
u2(ω2 − ω2p)
¶gu(x, ω) = −δ(x), (3.56)
ésto implica que
gu(x, ω) =exp(i
√ω2−ω2pu
|x|)4π |x| , (3.57)
y
gu(x, t) =1
8π |x|Z ∞
−∞exp(i
pω2 − ω2pu
|x|− iωt)dω, (3.58)
donde la integral en (3.58) se entiende en el sentido oscilatorio, ésto es
gu(x, t) =1
8π |x| limR→∞
Z ∞
−∞χR(ω) exp(i
pω2 − ω2pu
|x|− iωt)dω, (3.59)
donde χ ∈ C∞0 (R) es igual a 1 en un vecindario de 0, χR(ω) = χ(ω/R).
El límite existe en el sentido de las funciones generalizadas, ésto es, el límite
existe para cada función ϕ ∈ C∞0 (R4)
limR→∞
ZR4
ÃZ ∞
−∞χR(ω) exp(i
pω2 − ω2pu
|x|− iωt)dω
!ϕ(x, t)dxdt. (3.60)
Se puede probar que la función generalizada gu(x, t) tiene soporte en el cono
cerrado de luz de futuro
Γ+u =©(x, t) ∈ R4 : |x| ≤ ut, t ≥ 0ª . (3.61)
78
Además, para cada punto (x, t) ∈ Γ+u existe el límite
gu(x, t) =1
8π |x| limR→∞
Z ∞
−∞χR(ω) exp(i
pω2 − ω2pu
|x|− iωt)dω. (3.62)
De la fórmula (3.47) se tiene que considerar el problema con fuentes en movimiento
para la ecuación K-Gµ∇2x −
1
u2(∂2t + ω2p)
¶Fu(x, t) = Φ(x, t) = −A(t)x(t)e−iω0tδ(x− x0(t)), ω0 > 0,
(3.63)
Entonces,
Fu(x, t) = (gu ∗ Φ) (x, t), (3.64)
donde la convolución se entiende en el sentido de la teoría de las funciones general-
izadas.
Mediante cálculos simples se puede probar que,
Fu(x, t) =1
8πlimR→∞
ZZR2χR(ω)x(τ)A(τ)× (3.65)
exp(i
√ω2−ω2pu
|x− x0(τ)|− iω(t− τ)− iω0τ)
|x− x0(τ)| dωdτ.
Introduciendo las siguientes suposiciciones con respecto a la estructura de la
fuente
A(t) = a(λ−1t), x0(t) = λX0(λ−1t), (3.66)
donde λ > 0 es un parámetro grande el cual caracteriza simultáneamente la lentitud
de cambio de la amplitud A(t) y la lentitud de la aceleración. Entonces
A0(t) = λ−1a0(λ−1t), x(t) = λ−1X(t). (3.67)
Introduciendo nuevas coordenadas
X =x
λ, T =
t
λ, ι =
τ
λ. (3.68)
79
Entonces
Fu(λX, λT ) =1
8πlimR→∞
ZZR2χR(ω)X(ι)a(ι)× (3.69)
exp(iλ(
√ω2−ω2pu
|X −X0(ι)|− ω(T − ι)− ω0ι)
|X −X0(ι)| dωdι.
3.5.3 Representación asintótica
La asintótica de Fu(λX, λT ) para λ → +∞ y X,T fijos puede ser investigada me-
diante el método de fase estacionaria (SPM).
Sea
Ψ(λ) =
ZZR2f(y1, y2)e
iλS(y1,y2)dy1dy2, (3.70)
donde f es una función complex-valued integrable en R2 con todas sus derivadas,
S(y1, y2) es una función real-valued infinitamente diferenciable.
Se dice que y0 = (y01, y02) es un punto de fase estacionaria de S si,
∇S(y01, y02) = 0. (3.71)
Sea
S00yy(y) =µ∂2S(y)
∂yi∂yj
¶2i,j=1
, (3.72)
una matriz de segundo orden. Se dice que el punto de fase estacionaria y0 = (y01, y02)
es no degenerado si
detS00yy(y0) 6= 0. (3.73)
Se denota por sgnS00yy(y0) a la diferencia entre en número de eigenvalores posi-
tivos y negativos de la matriz S00yy(y0). Considérese un solo punto de fase estacionaria
no degenerado y0, entonces,
Ψ(λ) =2πf(y0)eiλS(y
01 ,y
02)+i
π4sgnS00yy(y0)
λq¯detS00yy(y0)
¯ (1 +O(1
λ)). (3.74)
80
Aplicando el método de fase estacionaria a la función Fu(λX, λT ). La fase de
la representación integral para Fu(λX, λT ) es
Su(X,T, ι, ω) =
pω2 − ω2pu
|X −X0(ι)|− ω(T − ι)− ω0ι, (3.75)
y los puntos de fase estacionaria pueden hallarse de el sistema de ecuaciones³Su´0ι(X,T, ι, ω) = −
pω2 − ω2pu
X0(ι) · (X−X0(ι))
|X−X0(ι)| + ω − ω0 = 0,(3.76)³Su´0ω(X,T, ι, ω) = T − ι− ωp
ω2 − ω2p
|X−X0(ι)|u
= 0.
Se puede probar que el sistema (3.76) tiene solo un número finito de soluciones
(ωj, ιj), j = 1, ..., N.
Así
Fu(λX, λT ) =NXj=1
X(ιj)a(ιj) exp iλSu(X,T,ιj ,ωj)+iπ4sgn(Su)
00ιω(ιj ,ωj)
4πλ|X−X0(ιj)||det00ιω(Su)(ιj ,ωj)| × (3.77)
(1 +O(1/λ)),
y regresando a las coordenadas (x, t) se obtiene
Fu(x, t) =NXj=1
exp(iλSu(x,t,τj ,ωj)+iπ4sgn(Su)00τω(τj ,ωj))
4π|x−x0(τj)||det(Su)00τω(τj ,ωj)|1/2 (1 +O(1/λ)), (3.78)
donde (τ j, ωj) son soluciones del sistema
−pω2 − ω2pu
x0(ι) · (x−x0(τ))|x−x0(τ)| + ω − ω0 = 0, (3.79)
t− τ − ωpω2 − ω2p
|x−x0(ι)|u
= 0.
De la segunda ecuación del sistema (3.79) se obtiene que,
ω = ± ωp(t− τ)q(t− τ)2 − |x−x0(τ)|2
u2
. (3.80)
Sustituyendo ω en la segunda ecuación del sistema (3.79) se obtienen las ecua-
ciones para la componente τ de los puntos de fase estacionaria
− x0(τ) · (x−x0(τ))u2
± (t− τ)− ω0ωp
s(t− τ)2 − |x−x0(τ)|
2
u2= 0. (3.81)
81
Para obtener el campo se requiere también
Φu(x, t) = (∂2t + ω2p)
−1gu ∗ J(t, x) =
1
8π
ZZR2x(τ)A(τ)
exp(i
√ω2−ω2pu
|x− x0(τ)|− iω(t− τ)− iω0τ)¡(ω − i0)2 − ω2p
¢ |x− x0(τ)|dωdτ. (3.82)
Pasando a las coordenadas
X =x
λ, T =
t
λ, ι =
τ
λ, (3.83)
se obtiene
1
8π
ZZR2
X(ι)a(ι) exp(iλ(
√ω2−ω2pu
|X −X0(ι)|− ω(T − ι)− ω0ι)¡(ω − i0)2 − ω2p
¢ |X −X0(ι)|dωdι. (3.84)
Las contribuciones para la asintótica de Ψu(λX, λT ) incluyen los puntos esta-
cionarios de la fase S(X,T, ι, ω) y las singularidades ω = ±ωp.
La contribución de los puntos de fase estacionaria están dados de manera sim-
ilar al caso anterior como,
Φu(λX, λT ) =NXj=1
X(ιj)a(ιj) exp iλSu(X,T,ιj ,ωj)+iπ4sgn(Su)
00ιω(ιj ,ωj)
4πλ(ω2j−ω2p)|X−X0(ιj)| det(Su)00ιω(ιj ,ωj)
× (3.85)
(1 +O(1/λ)),
y en la coordenadas (x, t)
Φu(x, t) =NXj=1
x(τj)a(τj) exp(iλSu(x,t,τj ,ωj)+iπ4sgn(Su)00ιω(τj ,ωj))
4π|x−x0(τj)|(ω2j−ω2p) det(Su)00ιω(τj ,ωj)
1/2 × (3.86)
(1 +O(1/λ)).
Ahora se considerarán las contribuciones a la asintótica de los puntos singulares
±ωp. Haciendo
L(ι, λ) =
Z ∞
−∞
exp(iλ(
√ω2−ω2pu
|X −X0(ι)|− ω(T − ι))
ω2 − ω2p − i0dω. (3.87)
Obsérvese que la fase de la integral no es diferenciable en los puntos singu-
lares del denominador, entonces, no se puede usar la asintótica estándar de integrales
82
singulares ([16]). Haciendo
L(ι, λ) =
Z ∞
0
exp(iλ(
√ω2−ω2pu
|X −X0(ι)|− ω(T − ι))
ω2 − ω2p − i0dω (3.88)
+
Z 0
−∞
exp(iλ(
√ω2−ω2pu
|X −X0(ι)|− ω(T − ι))
ω2 − ω2p − i0dω, (3.89)
y considerando primero la asintótica de
L+(ι, λ) =
Z ∞
0
exp(iλ(
√ω2−ω2pu
|X −X0(ι)|− ω(T − ι))
ω2 − ω2p − i0dω. (3.90)
Cambiando de variablepω2 − ω2p = µ. Eligiendo la rama de la raíz que es
positiva si ω > ωp. Entonces
ω =qµ2 + ω2p, dω =
µdµpµ2 + ω2p
, (3.91)
y
L+(ι, λ) =
ZΓ+
exp(iλ(µu|X −X0(ι)|−
pµ2 + ω2p(T − ι))
(µ− i0)pµ2 + ω2p
dµ, (3.92)
donde
Γ+ = (iωp, 0) ∪ [0,+∞). (3.93)
La funciónpµ2 + ω2p es analítica en el plano complejo sin los cortes (iωp, i∞), (−iωp, i∞) .
Asípµ2 + ω2p es una función analítica en un vecindario complejo del punto 0. En-
tonces se puede deformar el contorno Γ+ sin deformar la integral L+(ι, λ) en el
contorno L+(ι, λ) de manera que Γε+ en el vecindario de 0 coincide con un intervalo
(−ε, ε). Así
L+(ι, λ) =
ZΓε+
exp(iλ(µu|X −X0(ι)|−
pµ2 + ω2p(T − ι))
(µ− i0)pµ2 + ω2p
dµ. (3.94)
Sea ϕ ∈ C∞0 (R), igual a 1 en un pequeño vecindario de 0, y el soporte de ϕ no
contiene puntos de fase estacionaria (µu|X −X0(ι)|−
pµ2 + ω2p(T − ι)). Sea
Lϕ+(ι, λ) =
ZΓε+
ϕ(µ) exp(iλ(µu|X −X0(ι)|−
pµ2 + ω2p(T − ι))
(µ− i0)pµ2 + ω2p
dµ, (3.95)
83
entonces por el teorema 1.8 del libro [16]
Lϕ+(ι, λ) = 2πi
e−iλωp(T−ι)
ωp+O(λ−∞), (3.96)
donde ϕ es una función en C∞0 (R) con soporte en un vecindario pequeño de ωp e
igual a 1 cerca de ωp.
De la misma forma se halla que
L−(ι, λ) = −ZΓ+
exp(iλ(µu|X −X0(ι)|+
pµ2 + ω2p(T − ι))
(µ− i0)pµ2 + ω2p
dµ, (3.97)
y
Lϕ−(ι, λ) = −2πi
eiλωp(T−ι)
ωp+O(λ−∞). (3.98)
Así las contribuciones en la asintótica de la integral L(ι, λ) es
Lϕ+(ι, λ) + Lϕ
−(ι, λ) = 4πsinλωp(T − ι)
ωp+O(λ−∞). (3.99)
Entonces, las contribuciones de los puntos singulares en el campo Φu(λX, λT )
son
Φsu(λX, λT ) =
1
2ωp
Z ∞
−∞
X(ι)a(ι)
|X −X0(ι)| sinλωp(T − ι)dι+O¡λ−∞
¢. (3.100)
Suponiendo que |X −X0(ι)| ≥ δ > 0 para toda ι ∈ R, entonces integrando
por partes se obtiene que Φsu(λX, λT ) = O(λ−∞).
Sea
Ψu(x, t) = ∂−1t (∂2t + ω2p)
−1gu∗J. (3.101)
Entonces
Ψu(x, t) =NXj=1
exp(iλSu(x, t, τ j, ωj) + iπ4sgn (Su)00ιω (τ j, ωj))
4πωj |x− x0(τ j)| (ω2j − ω2p)¯det (Su)00ιω (τ j, ωj)
¯1/2(3.102)
×(1 +O(1/λ)).
Finalmente siguiendo de la fórmula,
E =∂
∂t(µ0gc−ε−10 ∇(∇ · ((∂2t + ω2p)
−1gc)) ∗ J
−ω2p
ε0∇(∇ · (∂−1t (∂2t + ω2p)
−1ga)∗J, (3.103)
84
E =∂
∂t(µ0Fc(x, t)− ε−10 ∇(∇ · Φc(x, t))−
ω2pε0∇(∇ ·Ψa(x, t)). (3.104)
3.6 Cálculos numéricos
El campo para una fuente en movimiento en un plasma bajo las consideraciones
mencionadas antes está dado por,
E =∂
∂t(µ0Fc(x, t)− ε−10 ∇(∇ · Φc(x, t))−
ω2pε0∇(∇ ·Ψa(x, t)), (3.105)
donde
Fu(x, t) =NXj=1
(iλSu(x,t,τj ,ωj)+iπ4sgn(Su)00τω(τj ,ωj))
4π|x−x0(τj)||det(Su)00τω(τj ,ωj)|1/2 × (3.106)
(1 +O(1/λ)),
Φu(x, t) =NXj=1
x(τj)a(τj) exp(iλSu(x,t,τj ,ωj)+iπ4sgn(Su)00ιω(τj ,ωj))
4π|x−x0(τj)|(ω2j−ω2p) det(Su)00τω(τj ,ωj)
1/2 × (3.107)
(1 +O(1/λ)),
Ψu(x, t) =NXj=1
x(τj)a(τj) exp(iλSu(x,t,τj ,ωj)+i
π4sgn(Su)00ιω(τj ,ωj))
4πωj |x−x0(τj)|(ω2j−ω2p)|det(Su)00τω(τj ,ωj)|1/2 × (3.108)
(1 +O(1/λ)).
3.6.1 Fuente en movimiento con ω0 = 0
Considérese el caso más simple de una partícula la cual se encuentra en movimiento
a través de un plasma electrónico, además considere que la partícula no está radiando
ω0 = 0, por ejemplo un electrón con velocidad constante, también considere que el
electrón se mueve alejándose del receptor localizado en
x = (0, 0, 0), (3.109)
85
describiendo la siguiente trayectoria
x0 = (0, 0, vτ), (3.110)
entonces, bajo las consideraciones anteriores se evaluará el campo producido por
dicha fuente.
Puntos de fase estacionaria
Como sigue de las fórmulas derivadas antes, si ω0 = 0, se tiene
S(x, t, τ , ω) =
√ω2−ω2pu
|x− x0(τ)|− ω(t− τ), (3.111)
y los puntos de fase estacionaria (τ s, ωs) están dados por
ωs = ± ωp(t−τ)
(t−τ)2− |x−x0(τ)|2
u2
, (3.112)
y la solución de,
− x0(τ)·(x−x0(τ))u2
± (t− τ) = 0, (3.113)
donde u = a, c.
De acuerdo a la descripción del la posición de l receptor y la trayectoria, se
tienen los siguientes puntos,
τ±s = t
1∓ v2
u2
, (3.114)
ω±s = − v2
u2ωp
v2
u2−1, (3.115)
con objeto de tener puntos de fase estacionaria, la siguiente condición se debe cumplir,
v > u, (3.116)
entonces no se tiene contribución a la asintótica por parte del fenómeno eléctrico ya
que la velocidad de la fuente no puede ser mayor que la velocidad de la luz en el
vacío c. En este caso la única contribución viene del fenómeno acústico.
86
La matriz Hessiana está dada por,
S00ωτ (x, t, τ , ω) =
0 1 + vu
ω√ω2−ω2p
1 + vu
ω√ω2−ω2p
− vu
ω2pτ
ω2−ω2p
, (3.117)
entonces,
det (S00ωτ(x, t, τ , ω)) = −µ1 + v
uω√
ω2−ω2p
¶2, (3.118)
y sgn (Sωτ(x, t, τ , ω)) = 0.
Ejemplo numérico
Considérese una fuente en movimiento en una región de plasma no acotada, las
características del plasma y los parámetros de la fuente son,
• x = (0, 0, 0), posición del receptor
• x0(τ) = (0, 0, vτ), trayectoria de la fuente
• v = 2.4× 108 m/s, velocidad de la fuente
• a =q
kTeme= 67.43× 103 m/s, velocidad del sonido
• c = 3× 108m/s, velocidad de la luz
• ω0 = 0 rad/s, frecuencia de vibración
• ωp =q
noq2emeε0
= 17.84× 106 rad/s, frecuencia del plasma
• a(τ) = 1.6× 10−19 C, amplitud de la fuente
Bajo las suposiciones arriba, se tiene un solo punto de fase estacionaria, éste
es,
τ s = 7.9× 10−8t, ωs = −6.35× 1010, (3.119)
87
el cual corresponde a la parte del campo producida por la onda acústica, en este caso,
Ez = −ω2pε0∇(∇ ·Ψa(x, t)). (3.120)
Una gráfica cualitativa de la estructura del campo con respecto al tiempo es,
Figura 3.1: Estructura del campo para una fuente en movimiento en un plasma conω0 = 0.
3.6.2 Fuente en movimiento con ω0 6= 0Ahora, considérese el caso de una fuente en movimiento la cual está radiando con
una frecuencia ω0 6= 0, en este caso se considera al receptor localizado en,
x = (0, 0, 0), (3.121)
y la trayectoria de la fuente como sigue,
x0(τ) = (0, 0, vτ). (3.122)
88
Puntos de fase estacionaria
En este caso, la fase está dada por,
S(x, t, τ , ω) =
√ω2−ω2pu
|x− x0(τ)|− ω(t− τ)− ω0τ , (3.123)
y los puntos de fase estacionaria (τ s, ωs) están dados por,
ωs = ± ωp(t−τ)
(t−τ)2− |x−x0(τ)|2
u2
, (3.124)
y la solución de,
− x0(τ)·(x−x0(τ))u2
± (t− τ)− ω0ωp
q(t− τ)2 − |x−x0(τ)|2
u2= 0, (3.125)
donde u = a, c.
De forma explicita, los puntos de fase estacionaria son,
τ+s1,2 = −α+1,2t, (3.126)
τ−s1,2 = α−1,2t, (3.127)
ω+s1,2 =ωp(1−α+1,2)
1−2α+1,2+(α+1,2)2 1− v2
u2
, (3.128)
ω−s1,2 =ωp(1−α−1,2)
1−2α−1,2+(α−1,2)2 1− v2
u2
, (3.129)
donde,
α+1,2 =(v2ω2p−u2ω2p+ω20u2∓v(v2ω2p−u2ω2p+ω20u2)1/2ω0)u2
v4ω2p−2v2u2ω2p+u4ω2p−ω20u4+ω20v2u2 , (3.130)
α−1,2 =(v2ω2p+u
2ω2p−ω20u2±v(v2ω2p−u2ω2p+ω20u2)1/2ω0)u2v4ω2p+2v
2u2ω2p+u4ω2p−ω20u4+ω20v2u2 , (3.131)
de manera que, con objeto de tener soluciones reales para τ s, es necesario satisfacer
la siguiente condición,v2
u2+ ω2
ω2p> 1, (3.132)
y la condición para tener soluciones reales de ωs, es la siguiente,
(α−1)2α2
> v2
u2. (3.133)
89
La matriz Hessiana es,
S00ωτ (x, t, τ , ω) =
0 1 + vu
ω√ω2−ω2p
1 + vu
ω√ω2−ω2p
− vu
ω2pτ
ω2−ω2p
, (3.134)
y el determinante está dado por,
det (S00ωτ(x, t, τ , ω)) =µ−1 + v
uω√
ω2−ω2p
¶2, (3.135)
ésto significa que sgn (S00ωτ(x, t, τ , ω)) = 0, esto es la diferencia entre los eigenval-
ores positivos y negativos de la esta matriz.
Ejemplo numérico
Considérese una fuente en movimiento en un plasma, las características del
plasma y la fuente son,
• x = (0, 0, 0), posición del receptor
• x0(τ) = (0, 0, vτ), trayectoria de la fuente
• v = 160× 103 m/s, velocidad de la fuente
• a =q
kTeme= 67.43× 103 m/s, velocidad del sonido
• c = 3× 108m/s, velocidad de la luz
• ω0 = 10× 106 rad/s, frecuencia de vibración
• ωp =q
noq2emeε0
= 17.84× 106 rad/s, frecuencia del plasma
• a(τ) = 1 C, amplitud de la fuente
90
En este caso, los puntos de fase estacionaria son,
τ+s1 = 0.225t, ω+s1 = 2.46× 107, (3.136)
τ−s2 = 0.244t, ω−s2 = 2.77× 107, (3.137)
los cuales corresponden a la parte del campo producida por la onda acústica, en este
caso,
Ez = −ω2pε0∇(∇ ·Ψa(x, t)). (3.138)
Una gráfica cualitativa de la estructura del campo con respecto al tiempo es,
Figura 3.2: Estructura del campo para una fuente en movimiento en un plasma conω0 6= 0.
3.7 Conclusiones
En este capítulo se obtuvieron las fórmulas asintóticas para la descripción de la
propagación de OEM generadas por fuentes en movimiento en uno de los medios
más complejos, el plasma.
91
El análisis que se presenta es novedosa ya que es la primera vez que se presenta
la relación de la ecuación de Klein-Gordon con el fenómeno electromagnético de la
radiación producida por fuentes en movimiento, así como la representación integral
del fenómeno de Vavilov-Cherenkov. Las condiciones para la generación de oscila-
ciones en el plasma, o bien el efecto de Vavilov-Cherenkov para el caso acústico
también se obtuvieron; todo ello a partir de la representación integral de los campos,
situación que no se había obtenido previamente en trabajos referentes al tema.
La importancia de las fórmulas presentadas radica en que son expresiones
analíticas, en cuya estructura se puede ver la dependencia que tienen los campos
en términos de los parámetros de radiación de la fuente, de sus características de
movimiento y del medio en que tiene lugar la propagación. Si bien existen trabajos
que abordan el plasma, como [1], [8], [10], [18], [24], [27], [33], [44], en este tra-
bajo se presenta una aproximación nueva a través del método de fase estacionaria,
lo que arroja un análisis sumamente detallado en términos de cada uno de los mo-
dos que componen el campo en el plasma, el corrimiento en tiempo y frecuencia para
cada modo, las condiciones para la generación de oscilaciones y el efecto Vavilov-
Cherenkov acústico.
Nuevamente como en los capítulos previos, se muestra la conveniencia de las
fórmulas para la solución numérica de problemas.
Ser analizó el caso de una partícula propagándose con y sin radiación a través
de una región de plasma como lo haría una partícula ingresando a la ionosfera, se de-
terminaron para ambos casos (con y sin radiación), las condiciones para obtención
de modos, particularmente del efecto Vavilov-Cherenkov acústico. Se pudo obser-
var que aún cuando la fuente no radia es posible que debido a las características de
movimiento de la fuente, se tenga la generación de OEM en el medio.
92
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