INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGÍA

INGENIERÍA BIOMÉDICA

LABORATORIO DE SISTEMAS DINÁMICOS

PRACTICA No. 4

“FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA”

ALUMNA:

BASURTO ARELLANO CLAUDIA

PROFESORES:

RITA QUETZIQUEL FUENTES AGUILAR

IVAN DE JESUS SALGADO RAMOS

DARINEL VENEGAS ANAYA

Grupo: 4MM2

OBJETIVOS

GENERALo Obtención de la función de transferencia de un sistema y la obtención

de los polos y los ceros. PARTICULARES

o Realizar el análisis de estabilidad del sistemao Obtener la función de transferencia del sistemao Determinar los polos y los ceros del sistema

METODOLOGIA

Dado el siguiente sistema:

[1 3 5.6 0 14.2 5 6 0.1 07 7 0 1 30 9 4 9.2 74.2 1 1 0 6

] x+[12011]u

y=x2−2 x3+10 x5

Como podemos observar, por comparación el sistema tiene la forma: x=Ax+Bu

y=Cx

Para poder comenzar a hacer el análisis debemos considerar las formas posibles de obtener la función de transferencia H(s):

H (s )= Y (s)U (s)

H (s )=det (sI−A+BC )−det (sI−A)

det (sI−A)

H (s )=C (sI−A)−1B

Indicar la estabilidad y graficar los polosPara indicar la estabilidad del sistema nos basaremos en el criterio de Routh-Hurwitz: este criterio es un método algebraico que proporciona información sobre la estabilidad absoluta de un sistema lineal e invariante con el tiempo que tiene una ecuación característica con coeficientes constantes. El criterio prueba si cualquiera de las raíces de la ecuación característica está en el semiplano derecho del plano s. también indica el número de raíces que están sobre el eje jω y el semiplano derecho del plano. (Sistemas de control automatico, Benjamin C. Kuo, pp.334)

La condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuación estén en el semiplano izquierdo del plano s es que los determinantes de Hurwitz (Dk) de la ecuación sean todos positivos.Determinantes Dk con k=1,2,…n

La tabulación de Routh simplifica el proceso anterior, en esta Los coeficientes se ordenan en filas y columnas siguiendo el siguiente patrón:

El proceso de formar filas continúa hasta que no quedan más elementos, el número total de filas es n+1; los coeficientes bn se evalúan como:

Y de esta manera de se sigue el patrón para las demás filas,El número de raíces de la ecuación con Re{s}>0 es igual al número de cambios de signo de los coeficientes de la primera columna del arregloSólo son necesarios los signos de los coeficientes.Si existen cambios de signos en la segunda columna en sistema es inestable.

Para poder localizar los polos del sistema podemos hacer uso del software MatLab en el cual disponemos del siguiente comando:rlocus(NUM,DEN) calcula y dibuja el lugar de las raíces cuando se trabaja con la función de transferencia donde NUM y DEN son los vectores de los coeficientes en potencia descendiente de S de los polinomios del numerador y denominador de la función de transferencia H(S). MatLab generará automáticamente un conjunto de valores de la ganancia K.

rlocus(NUM,DEN,K): calcula y dibuja el lugar de las raíces cuando se trabaja con la función de transferencia y ha sido previamente definido el rango de valores de K. Por ejemplo de 0 a 100 con incrementos de 10: k=0:10:100

R = rlocus(NUM,DEN,K) o [R,K] = rlocus(NUM,DEN) no dibuja el lugar de las raíces pero almacena en la matriz R, de longitud igual al número de elementos de K, la localización de las raíces. R tendrá tantas columnas como raíces existan, estas pueden además ser complejas.

rlocus(A,B,C,D), R=rlocus(A,B,C,D,K), o [R,K]=rlocus(A,B,C,D) son equivalentes a las sintaxis anteriores pero empleando las matrices de estado para hallar el lugar de las raíces.

Agregar ceros y explicar el efecto de las trayectoriasEl agregar ceros nos proporciona una estabilidad en las trayectorias de los polos, si los polos no tienen un cero para cada uno el polo tiende irse a infinito, para agregar los ceros, utilizaremos el siguiente programa:

num=[]den=[]zero=-4numN=conv(num,[zero])[num2,den2]=cloop(numN,den)rlocus(num2,den2)

En el cual utilizaremos el numerador y el denominador de la función de transferencia, ubicaremos el cero deseado y realizaremos la convolución del numerador con el cero agregado obteniéndose así una nueva función de transferencia, después de esto graficaremos los polos y los ceros.

Determinar una k para que sea estableDada la siguiente función:

1

s4+2 s3+5 s+(10−k )

Calcule el valor de k para el sistema sea estable. Para poder llegar a los valores de k que cumplan esta condición realizaremos la tabulación de Routh, usaremos la última condición obtenida en la primera columna y de esta manera podremos establecer las condiciones necesarias en k para que el sistema sea estable.

Eliminar los polos que sean inestables y obtener la respuesta al escalón.

Dada la siguiente función: T ( s )= 1(s+3 ) (s+2 ) ( s−1 ) ( s−3+2 j ) (s−3−2 j )

Encontraremos los polos y eliminaremos los polos que sean inestables y en todo caso despreciables. Obtendremos la respuesta escalón y rampa de la función de transferencia.

ANALISIS TEORICO

Dado el sistema anteriormente:

[1 3 5.6 0 14.2 5 6 0.1 0704.2

791

0 1 34 9.2 71 0 6

] x+[12011]u

y=x2−2 x3+10 x5

Sabemos que:

A=[1 3 5.6 0 14.2 5 6 0.1 0704.2

791

0 1 34 9.2 71 0 6

]B=[

12011]

C=[0 1 −2 0 10 ]

D=0

Obtendremos la función de transferencia dada la siguiente expresión:

H (s )=C (sI−A )−1B

Sustituyendo:

H (s )=C (sI−A )−1B=[0 1 −2 0 10 ] ([s 0 0 0 00 s 0 0 0000

000

s 0 00 s 00 0 s

]−[1 3 5.6 0 14.2 5 6 0.1 0704.2

791

0 1 34 9.2 71 0 6

])−1

∗[12011]

Obtenemos:

H (s )=−600 s4+8405 s3+892 s2−287566 s+3221471

5

−50 s5+1060 s4−2275 s3−48060 s2+168409 s+209132

Para poder encontrar la forma armónica debemos encontrar un factor de multiplicación con el

cual obtengamos un coeficiente de uno para sn, en este caso multiplicaremos por −50−50

y que

no altera la función de transferencia:

H (s )= 12 s4−168 s3−18 s2+5751 s❑−12886s5−21 s4+45 s3+961 s2−3368 s❑−4182

Para obtener el análisis de estabilidad y de las raíces aplicaremos el teorema mencionado en el apartado de metodología, el desarrollo de la tabulación de Routh-Hurwitz es el siguiente:

s5 1 45 -3368s4 -21 961 -4182s3 A=90.76 B=−3567.14 0s2 C=135.63 D=−4182 0

s1 E=−481012.71 0 0

s0 F=−4182 0 0

Los cambios se signos se presentan en color amarillo.

Con esta tabulación podemos concluir que dado que hay tres cambios de signo en la primera columna hay tres polos en el semiplano positivo y también dados los cambios de signos en la segunda columna podemos decir que el sistema es inestable. Aplicando el teorema de Routh-Hurwitz para:

1

s4+2 s3+5 s+(10−k )

Tenemos:

s4 1 0 10-ks3 2 5 0

s2 A=−52

B=10−k 0

s1 C=13− 45k 0 0

s0 E=10−k 0 0

Al ver el resultante llegamos a la conclusión de que el sistema no es estable y su estabilidad no dependen de K por lo tanto no podemos calcular una K para que el sistema sea estable pues no depende de esto.

RESULTADOS PRACTICOS

Calculamos la función de transferencia con la función ss2tf(A,B,C,D), con los valores de las matrices ya antes mencionados, obteniendo los siguientes valores para el numerador y el denominador:

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)

num=[0 12 -168 -18 5751 -12886]

den=[ 1 -21.2 45.5 961.2 -3368.2 -4182.6]

Transfer function:12 s^4 - 168.1 s^3 - 17.84 s^2 + 5751 s - 12890--------------------------------------------------------------

s^5 - 21.2 s^4 + 45.5 s^3 + 961.2 s^2 - 3368 s – 4183

Las raíces las obtendremos por medio del comando roots, las raíces obtenidas son:

14.94, -6.33, 7.81, 5.76, -0.98

Utilizando el comando rlocus. Obtendremos la localización de los polos:

Para agregar un cero en -4 ejecutamos el programa descrito en el apartado 3 de la parte de la metodología, obtendremos:

CONCLUSIONES

A partir de la realización de la presente práctica pudimos calcular y comprobar las funciones de transferencia de un determinado sistema, también comprobamos la importancia de agregar ceros y así evitar que los polos tiendan a infinito, también comprobamos algunas condiciones en las cuales no podemos estabilizar el sistema estabilizando solo k, porque depende si el sistema es dependiente de esta o no.

Utilizamos herramientas de Matlab para poder facilitar el cálculo de la función de transferencia, los polos y los ceros así como también hicimos el análisis teórico.

REFERENCIAS

Benjamin C. Kuo “Sistemas de Control Automático” Editorial Prentice Hall 7ª Edición

Katsuhiko Ogata “Sistemas de Control en Tiempo Discreto” Ed. Prentice Hall 2ª Edición