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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

“ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN DE DISPERSIÓN COMO PARTE FUNDAMENTAL DEL MÉTODO DE MODOS

NORMALES ENFOCADO A LAS COMUNICACIONES SUBACUÁTICAS”

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:

INGENIERO EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA

P R E S E N T A N

ALAÍDE INÉS ÁNGELES MADRIGAL

GERARDO FLORES ROBLEDO

ASESOR: DR. JUAN MANUEL QUINO CERDÁN

MÉXICO D.F 2008

INDICE

Objetivo………………………………………………………………………………………...……i

Justificación…………………………………………………………………………………..……ii

Introducción…………………………………………………………………………………..…...xi

Resumen………………………………………………………………………………...…...……xii

Capítulo 1 Introducción a la comunicación subacuatica ………..………………………1

1.1 Definiciones de sonido ................................................................................ ………….2 1.2 Velocidad del sonido en el océano……………………………………………….……….3 1.2.1 Ecuación empírica de Lovett………………………………………………………….4 1.2.2 Ecuación empírica de Del grosso y Mackenzie……………………………………..5 1.3 Propagación del sonido en el océano…………………………………………………….9 1.3.1 Atenuación ……………………………………………………………………………...9 1.3.2 Absorción………………………………………………………………………………..9 1.3.3 Dispersión……………………………………………………………………………...10 1.3.4 Reflexión……………………………………………………………………………….10 1.3.5 Refracción …………………………………………………………………………….11 1.4 Campo acústico subacuático……………………………………………………………..13 1.4.1 Nivel de presión acústica…………………………………………………………….13 1.4.2 Perdidas en la transmisión…………………………………………………………..14 1.4.3 Consideraciones de ruido y amplitud de banda ………………………………….15 1.5 Aplicaciones de la determinación del campo acústico subacuático ………………...17 1.5.1

SONAR……………………………………………………………………………………….17 1.5.2 SONAR Activo…………………………………………………………………………18 1.5.3 SONAR Pasivo………………………………………………………………………..19 1.5.4 Diferencias entre sonar activo y sonar pasivo……………………………………..21 1.5.5 Otras aplicaciones del sonar………………………………………………………...21

Capítulo 2 "Métodos para determinar campo acústico subacuático" ..……………23

2.1 Modos Acoplados………………………………………………………………………….25 2.2 Teoría "Fast Field"…………………………………………………………………………26 2.3 Ecuación Parabólica…………………………………………..…………………………..27 2.4 Método por Elementos Finitos …………………………………………………………...28 2.5 Métodos Empíricos………………………………………………………………………...30 2.6 Método de Imágenes……………………………………………………………………...31 2.6.1 Fondo perfectamente rigido………………………………………………………….33 2.6.2 Fondo lento……………………………………………………………………………33 2.6.3 Fondo rápido…………………………………………………………………………..34 2.7 El océano homogéneo de profundidad constante……………………………………..36 2.8 Método de Modos Normales……………………………………………………………..37 2.8.1 Representación matemática del Método de Modos Normales…………………37

INDICE

2.9 Método de la Transformada Hankel……………………………………………………..40 2.9.1 Representación matemática del Método de la Transformada Hankel…………41 2.10 Método de Rayo………………………………………………………………………….43 2.10.1 Representación matemática del Método de Rayo………………………………48 2.10.2 Aplicaciones de la Teoría de Rayo………………………………………………..50 2.11 Las conexiones entre las representaciones ………………………………………….50

Capítulo 3 Método de Modos Normales….………...………………………………………58

3.1 Introducción………………………………………………………………………………...59 3.2 Metodología………………………………………………………………………………...60 3.2.1 Planteamiento del problema…………………………………………………………60 3.2.2 Determinación de la ecuación de dispersión………………………………………61 3.2.3 Análisis de de la ecuación de dispersión mediante modos normales…………..63 3.2.4 Solución en cada capa……………………………………………………………….65 3.2.5 Determinación del campo acústico…………………………………………………65

Capítulo 4 Análisis de la Ecuación de dispersión………....……………………………..70

4.1 Pasos para la determinación de la ecuación de dispersión…………………………..71 4.2 Dependencia de los modos con la frecuencia y la altura de la guía de onda...........74 4.2.1 CASO A………………………………………………………………………………..76 4.2.2 CASO B………………………………………………………………………………..79 4.2.3 CASO C………………………………………………………………………………..83 4.2.4 CASO D………………………………………………………………………………..86

Capítulo 5 Conclusiones……...…….…………………………………………………………91

Fuentes de Información……………….…….………….……………………………………...95

Lista de Figuras…..……..……………….……………………………………………………...99

Lista de Tablas…..……………………….…………………………………………………….103

i

OOBBJJEETTIIVVOO GGEENNEERRAALL

El objetivo general de esta investigación es analizar la ecuación de dispersión como parte fundamental del Método de Modos Normales enfocado a las

comunicaciones subacuáticas

OObbjjeettiivvooss ppaarrttiiccuullaarreess

• Analizar las características del océano que influyen directamente en la propagación

del sonido en este medio de transmisión y los fenómenos que afectan esta

propagación.

• Conocer algunos de los métodos que existen para la determinación del campo

acústico subacuático.

• Describir la metodología de Modos Normales para la obtención de campo acústico.

• Analizar la Ecuación de Dispersión como parte fundamental del método de Modos

Normales.

• Obtener y analizar los modos normales a través de la Ecuación de Dispersión.

• Analizar la dependencia del número de modos en función de la frecuencia de

operación y la altura de la guía de onda de transmisión.

ii

JJUUSSTTIIFFIICCAACCIIÓÓNN

El hombre deberá entender que el océano es sumamente importante para el pronto futuro de la humanidad [3].

Hace diez años, los científicos no soñaban que las ciencias del mar pudieran alcanzar, en

un periodo tan corto, el desarrollo que han logrado hasta el momento. Cuando se considera

el futuro del estudio de los océanos, se debe pensar en la ciencia y la tecnología en

conjunto, ya que la primera ha alcanzado logros que el hombre no imaginaba, como el haber

descendido a las partes más profundas del océano, atravesar el Océano Ártico por debajo y

a través del hielo polar, y vivir durante semanas bajo el mar, intentando extraer minerales

del lecho oceánico. Sin embargo, todavía queda mucho por hacer, sobre todo en el campo

de la tecnología, cuyo estudio ha quedado para el futuro.

En el campo de la oceanografía física, la propiedad natural del agua de transmitir

velozmente el sonido, hace de ella el mejor medio para las comunicaciones subacuáticas de

largo alcance. El conocimiento cada vez más profundo de esta propiedad, la ha

transformado en una importante herramienta para estudiar varios de los fenómenos que se

presentan en el océano, como las características topográficas del fondo, la distribución de

los organismos en el mar, la localización de zonas minerales, entre otras acciones.

La investigación científica que la humanidad necesita para entender que el océano es

sumamente importante para su futuro puede ofrecer muchas oportunidades concretas para

servir a los intereses comunes del hombre.

Océanos en el mundo. Particularmente en México

Los océanos cubren el 71 % de la superficie de la Tierra y debido a la gran cantidad de agua

que existe en nuestro planeta, la utilización de ésta, principalmente para las

comunicaciones, debe de ser objeto de amplia investigación y que deben desarrollar

principalmente los países privilegiados que, como México, cuentan con líneas costeras

amplias. La longitud de las costas de México es de más de 10 000 km, pues están rodeadas

por el océano Pacifico, el Golfo de México, el mar Caribe, etc… y por lo tanto el

aprovechamiento tecnológico y la investigación de estos espacios debería ser mucho mayor

ya que actualmente el desarrollo de las comunicaciones juega un papel fundamental en las

relaciones entre los países.

iii

Por qué utilizar sonido y no una onda electromagnética (OEM) en la comunicación subacuática

Tanto en el aire como en el vacío se utiliza la radiación electromagnética, pero este tipo de

radiación no es eficaz en el agua porque el medio acuático es un excelente conductor

eléctrico, por lo cual se produce una rápida transformación de la energía del campo eléctrico

provocando una atenuación mucho mayor que la radiación acústica de naturaleza mecánica.

Desde el punto de vista de la Teoría Electromagnética, la ecuación de atenuación para una

OEM en cualquier medio es:

𝜶 = 𝝎 𝝁𝜺𝟐 𝟏 + 𝝈𝝎𝜺 𝟐 − 𝟏 (𝑨𝒕𝒆𝒏𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝑶𝑬𝑴)

Donde los siguientes parámetros deben adaptarse al medio de transmisión utilizado:

𝝎 = 𝟐𝝅𝒇

𝝁 = 𝝁𝟎𝝁𝒓

𝝁𝒓 = 𝟏(𝑷𝒆𝒓𝒎𝒆𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅)

𝜺 = 𝜺𝟎𝜺𝒓

𝜺𝒓 = 𝟕𝟐 (𝑷𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆𝒍 𝒂𝒈𝒖𝒂 𝒔𝒂𝒍𝒂𝒅𝒂) 𝝈 = 𝟒 𝒗 𝒎⁄ (𝑪𝒐𝒏𝒅𝒖𝒄𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅)

Entonces, si calculamos la atenuación de una onda electromagnética en el agua de mar

para diferentes frecuencias obtenemos los siguientes resultados:

Para una f= 56 Hz

𝜶 = 𝟎. 𝟐𝟓𝟕𝟗 𝒅𝑩/𝒎

Para una f=56 KHz

𝜶 = 𝟖. 𝟏𝟔𝟖𝟑 𝒅𝑩/𝒎

Para una f=56 MHz

𝜶 = 𝟐𝟓𝟏. 𝟏𝟔𝟏𝟕 𝒅𝑩/𝒎

iv

Para una f=56 GHz

𝜶 = 𝟕𝟕𝟏. 𝟐𝟓𝟑𝟑 𝒅𝑩/𝒎

Por lo que podemos observar que las ondas de radio o electromagnéticas se atenúan

rápidamente al propagarse por el agua. De manera contraria, el sonido sufre una menor

absorción en el agua que en el aire como podemos observar en las siguientes graficas.

Debido a la distinta naturaleza del medio de propagación y consecuentemente al empleo de

distintos tipos de radiación se obtienen otras diferencias notables. Tales como que las ondas

electromagnéticas son transversales mientras que las acústicas son longitudinales, por tanto

las primeras pueden polarizarse mientras que las segundas no; la velocidad de propagación

en las primeras varía inapreciablemente con las características cambiantes del medio,

mientras que el sonido aumenta su velocidad a medida que decrece la compresibilidad del

medio, lo que tiene una enorme incidencia en el aspecto de la propagación. En el mar la

compresibilidad es función de variables como la salinidad, la temperatura y la presión. Por

todo esto podemos concluir que en la comunicación subacuática es mejor utilizar el sonido

para la transmisión.

En el caso del agua destilada, las variaciones respecto al agua salada no son muy grandes,

como se muestra en la siguiente tabla.

Figura 1 Absorción del sonido en aire a 20°C en función de la frecuencia [1].

Figura 2 Absorción del sonido en agua dulce y en agua de mar (35 partes por mil de

salinidad) a 5°C y 1 atm [1].

v

] [2] Tabla 1 Velocidad del sonido en diferentes medios

Sustancia Temperatura

(Cº) Velocidad del sonido

(m/s)

Aire 0 331.46

Agua destilada

20 1484

Agua de mar

15 1509.7

Anteriormente se nombraron algunas de las aplicaciones del sonido en el mar, las cuales se

explicarán a mayor detalle a continuación justificando su estudio.

Aplicaciones [16] Las principales aplicaciones de la acústica subacuática que se dan a continuación son de

carácter militar o técnico, aunque también tienen un gran interés para los usos industriales.

1. Los sondeos submarinos que permiten la detección de los buques sumergidos, y en

general, de todos los obstáculos bajo la superficie del mar, han constituido la primera

de las aplicaciones prácticas de la acústica subacuática, tanto con fines militares

como por seguridad en la navegación.

En un principio los procedimientos eran puramente acústicos, midiendo el tiempo que

tarda un eco sonoro en reflejarse en el fondo del mar, o en un obstáculo. Se

colocaba una placa de acero en la parte inferior del barco, sobre la cual se golpeaba

un martillo.

2. Otra aplicación importante consiste en la detección de bancos de peces. Se pueden

localizar a una distancia de hasta 1200 m e incluso se puede reconocer la especie de

los peces con el trazo que describen.

3. La aplicación más popular y conocida es el sonar, utilizado en la detección de

submarinos, sobre todo con aplicaciones bélicas.

vi

Figura 3 Detección de submarinos a través del sonar [16].

4. También se puede determinar la profundidad del mar mediante el registro sonoro del

eco.

Figura 4 Determinación de la profundidad del mar mediante el registro sonoro del eco [16].

5. Más enfocado a las comunicaciones, el sonido también se utiliza para la transmisión

de información de barco a barco, y en particular entre submarinos.

6. Las aplicaciones ecológicas y ambientales también son muy importantes, y

básicamente están en función de la velocidad de sonido y su relación con la

temperatura.

Para las ondas de sonido que se desplazan por el océano horizontalmente, la

velocidad depende fundamentalmente de la temperatura. Por lo tanto, el tiempo que

una onda sonora tarda en recorrer el espacio comprendido entre dos puntos es un

indicador de la temperatura media del espacio recorrido. Si se transmite sonido en

vii

numerosas direcciones a través del canal de sonido profundo, es posible obtener

mediciones que cubren grandes zonas de la tierra.

En un mapa de temperaturas oceánicas globales se pueden representar miles de

trayectorias de sonido del océano, de forma que con sólo repetir las mediciones para

estas mismas trayectorias cada cierto tiempo, será posible realizar un seguimiento de

los cambios de temperatura durante meses o años, y esto es sumamente importante

en la actualidad debido a los efectos del calentamiento global.

Figura 5 Mapa de temperaturas oceánicas globales [16].

7. Para conocer la estructura del fondo marino se utilizan las técnicas acuáticas, que

son métodos físicos que permiten conocer su morfología y estructura de un modo

indirecto. Una de las técnicas más empleadas es la sísmica de reflexión. El principio

de funcionamiento consiste en la emisión de ondas acústicas que cuando cambian

las condiciones del medio (cambios de impedancia acústica), debido por ejemplo, a

la interacción con el fondo o sus diferentes niveles o estructuras sedimentarias, parte

de la energía se refleja. La profundidad a la que se obtiene el reflector al que

corresponde dicho eco, se obtiene en tiempo doble. Las técnicas acústicas

generalmente se agrupan en función de su frecuencia de emisión y naturaleza de la

fuente acústica. Estos condicionan a su vez la penetración y la resolución del

sistema, relación que es inversa, de modo que a mayor penetración se obtiene

menor resolución y viceversa. La resolución se utiliza en los estudios de mucho

detalle, o lo que es lo mismo en los estudios de alta resolución. Por el contrario, la

penetración se emplea en aquellos estudios que pretenden conocer como es la

geología profunda, en detrimento de los detalles.

viii

Figura 6 Sísmica de reflexión [25].

8. Otra de las aplicaciones son las Ecosondas, que son sistemas que también permiten

conocer la profundidad del mar. Se basan en la medida del tiempo que tarda una

onda acústica en recorrer la distancia existente entre el punto de partida y el fondo

del mar donde se refleja, y su retorno al punto de partida. La emisión y recepción

acústica se realiza generalmente a través del mismo transductor que convierte las

variaciones mecánicas en pulsos eléctricos y viceversa, de forma que en la emisión,

la energía eléctrica se convierte en acústica, y en la recepción de la onda acústica se

transforma en señal eléctrica. El rango óptimo de frecuencias se extiende de 15 a

200 kHz y se elige en función de calado, naturaleza del fondo y tipo de equipo. Los

transductores se sitúan generalmente en el casco del barco con el haz orientado

verticalmente hacia el fondo. El haz puede comprender o bien un sólo pulso, o bien

una banda de pulsos que se distribuyen con una ángulo variable a babor y estribor

del barco. Estos últimos, que representan los mayores avances en sistemas de

ecosonda reciben el nombre de sondas multihaz.

ix

a) b)

Figura 7 a) Pantalla de control de la sonda multihaz "SeaBeam" b) Ecosondas [25]

9. Los sonares de barrido lateral emplean transductores que emiten pulsos de altas

frecuencias (10 a 500 kHz) y que están especialmente diseñados para que emitan un

haz concentrado de sonido que tienen un ángulo de abertura horizontal de menos de

21 y un ángulo de abertura vertical mayor de 201, y cada impulso de sonido es de

muy corta duración (< 1ms). Presenta un sistema de doble canal para conseguir la

máxima superficie de fondo cubierta por la línea de navegación. La imagen obtenida

viene a ser como la de una fotografía aérea, y representa uno de los mejores

sistemas diseñados para obtener una visión de cómo es el fondo marino. La imagen

del fondo marino se dibuja en tonos de grises en función de la reflectividad del fondo,

y en dos coordenadas, rango y distancia, a lo largo de la trayectoria seguida por el

barco. La reflectividad es consecuencia directa de la morfología del fondo y

orientación de las mismas, así como del tipo de sedimento que conforma la

superficie y los primeros centímetros del fondo. El avance tecnológico ha permitido la

construcción conjunta de un sistema de sonar de barrido lateral y de sonda multihaz,

lo cual ha favorecido las interpretaciones geológicas, dado que permiten identificar

con gran precisión si los cambios en la reflectividad del fondo pueden ser causados

por variaciones de relieve o de textura.

x

Figura 8 Mosaico realizado con perfiles de sonar de Barrido [25].

Con lo antes expuesto podemos concluir que la comunicación subacuática reviste una

importancia fundamental en la investigación y desarrollo en distintos ámbitos del

conocimiento humano, no solo en las comunicaciones como pudiera pensarse, sino que

como hemos visto tiene una gran gama de aplicaciones y es importante seguir desarrollando

su campo de estudio para beneficio de la humanidad.

xi

IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN

Con esta investigación basada en la comunicación subacuática y en la utilización del sonido

para este medio de transmisión, es importante determinar la cantidad de información que

está llegando finalmente al receptor en una comunicación subacuática, por lo que esta

investigación se enfoca a analizar el método de Modos Normales y particularmente su

ecuación de dispersión como base para así determina el campo acústico subacuático

(información) que llega al receptor. Por tanto, debido a la poca investigación que se le ha

dado al área de las comunicaciones subacuáticas particularmente en nuestro país, y

tomando en cuenta los grandes porcentajes de agua con los que contamos en México,

creemos que se debería de explotar ampliamente este recurso en pro del desarrollo del

país.

Nos parece importante comenzar por explicar cómo es que se da la comunicación

subacuática para analizar posteriormente algunos de los métodos que se utilizan en la

detección del campo acústico subacuático, pues esto nos permitirá conocer la cantidad de

información que está llegando al receptor y así mismo la confiabilidad de la comunicación

empleada.

Primero explicaremos, brevemente, por qué es mejor la utilización del sonido en el mar para

la transmisión de información en lugar de las ondas electromagnéticas como se hace en las

comunicaciones terrestres. Posteriormente, analizaremos la velocidad del sonido en el mar,

así como las variaciones de éste en función de la temperatura y la profundidad

principalmente, para luego entender los fenómenos que afectan su propagación y finalmente

cómo es que ésta se lleva a cabo. Después, mostraremos algunos de los métodos utilizados

en la detección de campo acústico, y en base a la cantidad de parámetros que se tomen en

cuenta para su ecuación de campo acústico se mostrará que el método de Modos Normales

es el más eficiente, pues al considerar un mayor número de parámetros en su ecuación, los

resultados que arrojará serán más confiables.

Más adelante, analizaremos el método de Modos Normales ampliamente por ser base del

objetivo de nuestro trabajo, ya que éste método está enfocado a las comunicaciones

subacuáticas a larga distancia y la confiabilidad de sus resultados se debe también a que su

desarrollo parte de la ecuación de onda. En este método la ecuación más importante para

nuestra investigación es la Ecuación de Dispersión ya que de ella se obtendrán los valores

de los modos normales y debido a esto se dedica un capítulo completo a su desarrollo y

análisis.

xii

RREESSUUMMEENN

Se presenta un análisis e investigación de la Ecuación de Dispersión del método de Modos Normales para la predicción del campo acústico subacuático, enfocada a las comunicaciones a largas distancias.

En el capítulo 1 se da una panorámica general acerca del sonido en el mar, la velocidad de

este en función de la temperatura, salinidad y profundidad; su propagación en relación con

los distintos fenómenos que la afectan y por último se define lo que es el campo acústico y

la importancia de su determinación. En el capítulo 2 se abordan algunos de los diferentes

métodos que existen para determinar campo acústico subacuático, tales como el Método de

Rayos, el Método de Imágenes y el Método de Modos Normales entre otros. En el capítulo

3, se toca específicamente el Método de Modos Normales debido a que nuestro enfoque es

a las comunicaciones, por lo tanto describimos ampliamente dicho método, su metodología,

sus ecuaciones de onda para cada medio, sus condiciones de frontera, su ecuación de

dispersión y su función de Green, la cual nos permitirá obtener el campo acústico. El

propósito principal de esta investigación se logra en el capítulo 4, pues ahí se analiza

detalladamente la obtención de la ecuación de dispersión pues ésta es la ecuación más

importante del método y por tanto es un factor fundamental del presente trabajo ya que a

partir de ella obtendremos el valor de los modos normales. El cálculo de los modos se

realizará para diferentes casos con la ayuda del programa de Matlab y con los resultados, se

realizará un análisis comparativo de cada uno de los casos planteados. Finalmente en el

Capitulo 5 se presentan las conclusiones de la investigación realizada y se exponen las

aportaciones de este trabajo al área de las comunicaciones subacuáticas.

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11la

““Introducción a la comunicación subacuatica”” CAPITULO 1

2

1.1 Definición de sonido

Las ondas pueden tomar diferentes formas, pero hay dos tipos fundamentales de ondas:

“longitudinales” y “transversales”. Ambos tipos de ondas son alteraciones o disturbios en

movimiento, pero son diferentes por la manera en la que viajan o se mueven. Cuando una

onda viaja a través de un medio, las partículas que constituyen este medio se alteran de su

posición “en equilibrio” o en reposo.

Las ondas transversales ocurren cuando las partículas se mueven en dirección

perpendicular a la dirección de propagación de la onda, las ondas electromagnéticas son

ejemplo de ellas. La Figura 1.1 muestra el comportamiento de la onda transversal.

Figura 1.1 Onda transversal [17].

Mientras que las ondas longitudinales están compuestas de compresiones -áreas donde las

partículas están cerca unas a las otras- y de rarefacciones -áreas donde las partículas están

separadas unas de las otras- (Figura 1.2).

Figura 1.2 Compresiones y Rarefacciones en una onda [18].


3

En las ondas longitudinales, las partículas se mueven en una dirección paralela a la

dirección de la propagación de la onda. La siguiente figura (Figura 1.3) muestra el

comportamiento de una onda longitudinal.

Figura 1.3 Onda longitudinal [17].

Las ondas sonoras constituyen ejemplos de ondas longitudinales: las partículas individuales

(moléculas de aire) vibran de atrás para adelante en la dirección en la que viaja el sonido.

El sonido es un fenómeno físico que se produce cuando un objeto vibra y genera una serie

de ondas de presión que de forma alternativa comprimen y descomprimen las moléculas del

aire, agua o sólido por los que pasan las ondas. Estos ciclos de compresión y rarefacción,

como se conoce a la descompresión, se pueden describir en términos de frecuencia, el

número de ciclos de onda por segundo expresado en hercios. Las ondas del sonido, como

las ondas de la luz, también se pueden describir en términos de longitud de onda, la

distancia entre las crestas de dos ondas; a menor frecuencia, mayor longitud de onda.

Entendido el concepto de onda sonora, nos interesa saber cómo se propaga ésta en el

océano, pero para esto es necesario conocer cuál es la velocidad del sonido en el océano y

en función de qué se encuentra, esto básicamente se explica a través de ecuaciones

empíricas, las cuales veremos a continuación.

1.2 Velocidad del sonido en el océano

Existen varias ecuaciones empíricas para poder determinar la velocidad del sonido en el

océano, nosotros presentamos dos: la primera expuesta por Lovett mientras la segunda es

una fórmula de Del Grosso y que fue perfeccionada posteriormente por Mackenzie [16].


4

1.2.1 Ecuación empírica de Lovett [1]

Un factor determinante en la velocidad del sonido en el agua de mar es la salinidad. Lovett

analizo críticamente una gran colección de mediciones de laboratorio de la velocidad del

sonido en el agua con diferentes salinidades y a varias temperaturas y presiones, y postuló

una elaborada ecuación empírica. Una aproximación razonablemente exacta a ésta

ecuación es:

(1a)

(1b)

Esto da 𝒄(𝓛, 𝑺, 𝒕) para una latitud de 45°. Para otras latitudes, la cantidad 𝓛 debe

reemplazarse con 𝓛 (1 — 0.0026 cos 𝝋), donde 𝝋 es la latitud en grados. En (1), S es la

salinidad en partes por millar (pp millar), 𝓛 la profundidad en kilómetros, y 𝒕 = T/10 donde T

está en grados Celsius. La combinación de (1a) y (1b) con corrección por latitud tiene

una desviación normal de 0.06 m/seg con respecto a la ecuación de Lovett cuando se

aplica hasta una profundidad de 4 km en aguas oceánicas, excluyendo el mar Negro, mar

Rojo, el Mediterráneo y el Golfo Pérsico. Si se requiere una ∆(𝓛) más exacta, pero más

complicada, la aproximación es la siguiente:

∆(𝓛) = (𝟏𝟔. 𝟐𝟑 + 𝟎. 𝟐𝟓𝟑𝒕)𝓛 + (𝟎. 𝟐𝟏𝟑 − 𝟎. 𝟏𝒕)𝓛𝟐

+ [𝟎. 𝟎𝟏𝟔 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟐(𝑺 − 𝟑𝟓)](𝑺 − 𝟑𝟓)𝒕 𝓛 (1c)

La ecuación (1c) es válida prácticamente sobre todas las aguas oceánicas hasta una

profundidad de 4 km con una desviación normal de 0.02 m/seg. Se debe aplicar la misma

corrección por latitud. Nótese que la velocidad del sonido en la superficie del agua de mar

con una salinidad de 35 pp millar es de 1,449 m/seg a 0°C en contraste con 1,403 m/seg

para agua fresca bajo las mismas condiciones de presión y temperatura.

En muchos cálculos es frecuentemente adecuado usar una velocidad nominal de 1,500

m/seg que es típica de las medidas en aguas superficiales que cubren las placas

∆(𝓛) ≈ 𝟏𝟔. 𝟑𝓛 + 𝟎. 𝟏𝟖𝓛𝟐

𝒄(𝓛, 𝑺, 𝒕) = 𝟏𝟒𝟒𝟗. 𝟎𝟓 + 𝟒𝟓. 𝟕𝒕 − 𝟓. 𝟐𝟏𝒕𝟐 + 𝟎. 𝟐𝟑𝒕𝟑 + (𝟏. 𝟑𝟑𝟑 − 𝟎. 𝟏𝟐𝟔𝒕 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟗𝒕𝟐)(𝑺 − 𝟑𝟓) + ∆(𝓛)

donde:


5

continentales en latitudes medias. A esta velocidad nominal está asociada la impedancia

característica 𝝆𝟎 𝑐 = 1.54 X 10 Pa • s/m.

1.2.2 Ecuación empírica de Del grosso y Mackenzie [16]

En 1981 Mackenzie perfecciono la ecuación que había obtenido Del Grosso para determinar

la velocidad del sonido en el mar y al igual que Lovett, en esta ecuación también se

establecen tres factores determinantes que son: temperatura, salinidad y presión. Dicha

ecuación es la siguiente:

(2)

donde:

c: velocidad del sonido m/s.

T: Temperatura en °C Entre 0 y 30.

D: Profundidad en metros. Entre 0 y 8.000.

S: Salinidad en partes por mil. Entre 30 y 40.

Con ambas ecuaciones, la (1) y (2) es posible calcular la velocidad del sonido en el océano

y aunque son distintas en apariencia, los resultados que arrojan son muy aproximados, casi

iguales entre sí.

Las ondas acústicas viajan habitualmente a velocidad constante, que depende del medio y

de las condiciones ambientales tales como la temperatura. A temperatura ambiente la

velocidad del sonido en el aire es: c = 345 m/s.

Esto significa que para recorrer una distancia de 345 m el sonido demora 1 s. En el agua el

sonido viaja más de 4 veces más rápido que en el aire. Cuando hay gradientes de

temperatura (variaciones de temperatura entre dos zonas), tal como sucede entre puntos

𝒄 = 𝟏𝟒𝟒𝟖, 𝟗𝟔 + 𝟒. 𝟓𝟗𝟏 𝑻 − 𝟎, 𝟎𝟓𝟑𝟎𝟒 𝑻𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟔𝟑 𝑫 + 𝟏, 𝟑𝟒 (𝑺 − 𝟑𝟓)


6

distantes algunos cientos de metros, o que se encuentran a diferentes alturas, el camino que

sigue el sonido es curvilíneo en lugar de recto.

Como ya se menciono, en el agua, los sonidos se propagan con mayor rapidez y menor

pérdida de energía que en el aire; por lo que las ondas sonoras se transmiten en el mar a

una velocidad entre 1 400 y 1 600 metros por segundo, mientras que en la atmósfera la

velocidad de propagación es de 345 metros por segundo. Esto se debe a que el agua del

mar no se encuentra comprimida, es decir, no se puede reducir a un menor volumen, por lo

que la absorción de las ondas sonoras es mínima, contrariamente a lo que sucede en la

atmósfera, en donde los sonidos se absorben a distancias muy cortas [20].

Por las características del agua de mar la velocidad de propagación del sonido cambia de

acuerdo con las variaciones de temperatura, salinidad y presión. Cuantas más altas sean

estas características del agua, tanto mayor será su velocidad. Por ejemplo, en agua dulce, a

una temperatura de 30ºC, la velocidad es de 1509.6 m/s, mientras que en el agua de mar,

con la misma temperatura, pero con una concentración de sales de 35%, será de 1 546.2

metros por segundo.

Los oceanógrafos han estimado que cuando la temperatura aumenta en un grado

centígrado, la velocidad del sonido lo hace en 2.5 metros por segundo; si la salinidad se

incrementa en 1%, la velocidad presentará 1.4 metros por segundo de más; y si la presión

sube 10 atmósferas, al bajar 100 metros de profundidad, el sonido registra 1.8 metros por

segundo de ascenso.

Tabla 1.1 Variación de la velocidad del sonido respecto a la temperatura, salinidad y

profundidad

Factor Por cada aumento de: Velocidad sonido aumenta aprox.

Temperatura 1°C 2.5 m/s

Salinidad 1 parte por mil 1.4 m/s

Profundidad 100 metros 1.8 m/s


7

El efecto de la temperatura es considerablemente mayor que el de la salinidad y la presión

en las aguas superficiales, debido a que en ellas alcanza sus máximos valores y presenta

rápidas variaciones; pero conforme aumenta la profundidad, la acción de este factor pierde

importancia.

Se debe tomar en cuenta que la presión es una función de la profundidad y, por lo tanto, en

aguas bien mezcladas, la velocidad del sonido aumentará con la profundidad.

En los primeros 50 metros de profundidad se encuentra que la acción de la presión sobre la

velocidad del sonido es mínima, y como la temperatura suele mantenerse constante, el

incremento de la velocidad del sonido es poco, a menos que se presente un cambio de la

temperatura, lo que ocasionará una variación proporcional en la velocidad.

Por debajo de los 50 metros y hasta los 300 metros, la disminución de la velocidad es rápida

debido a la disminución de la temperatura; pero a partir de esta profundidad la acción de la

temperatura es contrarrestada por el aumento de la presión y de la salinidad, y esto se

traduce en un crecimiento de la velocidad, el cual se acentúa conforme se acerca al fondo,

por ser dominante en este estrato el efecto de la presión.

La figura 1.4 da un perfil representativo de la velocidad del sonido para océanos profundos

también llamado SSP (Perfil de Velocidad del Sonido). La característica más sobresaliente

que se encuentra en todas las latitudes, excepto las más altas, es un mínimo claramente

visible en el perfil. En los trópicos, debido al calor dado por el sol, este mínimo tiende a estar

en las profundidades. Se eleva hacia la superficie en latitudes mayores, y algunas veces

hasta la superficie en las regiones polares. La profundidad a la que ocurre este mínimo se

llama eje del canal-sonoro profundo. Abajo de este eje, la velocidad del sonido aumenta. A

grandes profundidades se encuentra la capa isotérmica profunda, donde la temperatura

permanece constante, entre -1 y 5°C, dependiendo del fondo del mar. En esta región el perfil

sonoro se vuelve lineal con una pendiente positiva (gradiente) de cerca de 0.017 (m / seg) /

m = 0.017 seg-1.

Arriba del eje del canal sonoro profundo está la termoclina principal (ésta puede estar

ausente en el Ártico). Esta región posee gradientes negativos y responde ligeramente a

cambios estacionales, pero es un rasgo relativamente estable del perfil con características

determinadas principalmente por la latitud. Arriba está la termoclina estacional, también

negativa, que responde a variaciones estacionales. Por último arriba está la capa superficial.


8

Esta capa depende en gran medida de las variaciones de las condiciones de la superficie de

un día a otro, e incluso de una hora a otra. Si hay suficiente actividad con respecto a olas

superficiales para mezclar el agua cercana a la superficie, esta capa se convierte en la capa

mezclada que es isotérmica y tiene un gradiente positivo de velocidad del sonido de

aproximadamente 0.016 seg-1.

Figura 1.4 Perfil sonoro de velocidad representativo de agua oceánica profunda a latitudes medias [1].

Es importante destacar que las variaciones reales de la velocidad del sonido son muy

pequeñas comparadas con su magnitud. Por ejemplo, el perfil de la figura 1.4 tiene una

variación máxima de alrededor de 30 m/s. Aproximadamente el 2 por ciento del valor

nominal de 1,500 m/s. Sin embargo, esta variación tiene una enorme influencia en la

propagación del sonido en el océano.


9

El estudio de la velocidad del sonido es fundamental para entender cómo es que el sonido

se transmite de un punto (Tx) a otro (Rx) al propagarse en el océano, así como los

fenómenos que puede experimentar en dicha propagación.

1.3 Propagación del sonido en el océano

Al propagarse el sonido por el océano, este puede experimentar diferentes fenómenos tales

como la atenuación, reflexión y refracción como los que fueron descritos para la luz, así

como también la absorción y la dispersión.

1.3.1 Atenuación [21]

La atenuación es la pérdida en la energía de una onda propagándose debido a la absorción.

El sonido se atenúa gradualmente conforme nos alejamos de la fuente sonora, en fuentes

sonoras puntuales se atenúa 6 dB cada vez que la distancia se duplica y en fuentes lineales

3 dB cada vez que duplicamos la distancia respecto a la fuente.

Recordemos que una fuentes sonora puntual es aquella en la que el sonido se aleja de ella

en forma de ondas esféricas (Ejemplo: Avión), mientras que una fuentes sonora lineal es

aquella en la que el sonido se propaga por medio de ondas sonoras de forma cilíndrica

(Ejemplo: Coche en la carretera).

1.3.2 Absorción

La absorción es la transformación de energía acústica en calor y el resultado de la

asociación y la disociación de algunas moléculas en la columna de agua. Para que un

sonido se propague por un medio, este debe ser movido. La viscosidad del medio, su

capacidad para resistirse a los movimientos de flujos, causa la absorción. La energía del

sonido también es absorbida por la relajación iónica o dilatación de las bandas químicas que

mantienen, por ejemplo unidas las moléculas de sulfato de magnesio (MgSO4). El sulfato de

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11

Ya que el sonido indirecto se produce al ser reflejado, para que se produzca este hecho

habrá que tener en cuenta la naturaleza del elemento, la forma y la rugosidad superficial. De

la misma manera que en el fenómeno de dispersión, en este fenómeno también se toma en

cuenta la longitud de onda del sonido y el tamaño del objeto con el cual choca.

Como mencionamos previamente, cuando las ondas sonoras interaccionan con una frontera

dura, como la superficie del mar, el fondo marino, la flora y fauna del medio marino o en

general cualquier objeto que esté dentro del agua, estas pueden ser reflejadas, se debe

tener en cuenta si la frontera de interacción es lisa o rugosa, si es lisa en relación con la

longitud de onda del sonido este será reflejado coherentemente con un ángulo igual al de

incidencia, pero si la superficie es rugosa a la escala de la longitud de onda, el sonido se

absorberá.

Figura 1.6 Reflexión [14].

Para las condiciones generales, la proporción de la intensidad acústica reflejada y

transmitida depende principalmente de:

• Contraste entre las impedancias acústicas de los medios.

• Asperezas del fondo marino.

• Frecuencia acústica.

1.3.5 Refracción

El fenómeno más importante que altera la simple propagación esférica del sonido en el

océano es la refracción resultante de las variaciones espaciales de la velocidad del sonido.

La superficie y el fondo del mar, así como cualquier objeto sumergido de tamaño

considerable provocan la reflexión del sonido, mientras que los estratos que forman el agua


12

del mar son los responsables de que cambie la velocidad del sonido, provocando que la

dirección de las ondas se desvíe dando lugar a la refracción.

Figura 1.7 Refracción y reflexión del sonido [20].

En las zonas donde la temperatura se mantiene constante con la profundidad, las ondas

sonoras no sufren refracción; cuando decrece, se refractan hacia el fondo; y donde la

temperatura aumenta lo hacen hacia la superficie. Cuando hay refracción hacia abajo, el

sonido que llegue eventualmente al fondo del mar sufrirá en él absorción, pero se reflejará

como un "eco del fondo" hacia la superficie para refractarse nuevamente.

Los objetos aislados, regulares y de mayor tamaño que la longitud de onda del sonido sobre

los que llega una emisión sonora, producen reflexión del sonido fuerte y bien definido, lo que

se reconoce como eco; pero los objetos que son pequeños, irregulares y numerosos

originan muchos ecos débiles que se repiten sucesivamente propagándose en todas

direcciones y sobreponiéndose para causar la llamada reverberación del sonido.

Cuando un haz de ondas ultrasonoras se proyecta verticalmente hacia abajo en el agua del

mar, su velocidad varía progresivamente a medida que aumenta la presión; también se

observan variaciones de velocidad, irregulares e imprevisibles en las capas superficiales

debido a la temperatura y la salinidad de ellas. Si el haz se proyecta horizontalmente, las

variaciones son de menor importancia, porque la presión constante y la estratificación del

agua, prácticamente horizontal, hacen que las ondas se propaguen en un medio de

densidad constante.


13

1.4 Campo acústico subacuático

Es la diferencia entre la presión total instantánea en un punto determinado, en presencia de

una onda acústica, y la presión estática en el mismo punto. Lo que podemos deducir es que

la presión acústica es producto de la propia propagación del sonido. Las partículas que

viajan en el medio aprovechan el movimiento ondulatorio de las ondas sonoras generando

una variación alterna en la presión estática del aire o del agua.

Puesto que la presión sonora es una magnitud variable de un punto a otro, en ciertas

circunstancias es conveniente utilizar el nivel de presión acústica como medida de amplitud

del sonido.

1.4.1 Nivel de presión acústica

En un entorno natural se pueden encontrar presiones en un rango muy amplio. Por eso, se

ha llegado a la convención de medir la presión acústica en una escala logarítmica usando

los decibelios como unidad.

El nivel de presión acústica se expresa como:

(3)

donde:

𝑷𝑹𝒆𝒇 es la presión de referencia1.

𝑷𝒆 es la presión acústica2 efectiva, dada por la raíz cuadrada del pico de la amplitud de la

presión, P, es decir:

𝑷𝒆 = 𝑷√𝟐 (4)

1 En la referencia acústica submarina la presión es normalmente adopta como 1mPa. 2 Pascal (Pa) es la unidad de presión en el Sistema Internacional

𝑳𝒑 = 𝟐𝟎𝒍𝒐𝒈𝟏𝟎 𝑷𝒆𝑷𝑹𝒆𝒇


14

1.4.2 Perdidas en la transmisión

Cuando un sonido viaja a través del océano, la intensidad asociada con el frente de onda

disminuye, se atenúa. Esta reducción de la intensidad es a lo que se le llama pérdidas en la

transmisión (TL). La pérdida total en la propagación es la diferencia entre la intensidad del

sonido en un punto cercano a la fuente y en un punto lejano. Las pérdidas en la propagación

son causadas por numerosos factores, de los que los principales son pérdidas por absorción

y por expansión del frente de onda (cuanto más lejos de la fuente, mayor superficie abarca

el frente de onda con la misma o menor energía que en el origen, si se tiene en cuenta la

absorción). Estas pérdidas ocurren con todas las transmisiones subacuáticas y se puede

representar de la siguiente forma matemática:

Nivel de fuente (NF):

𝑁𝐹 = 20 log ( ) (5)

Perdida por transmisión (PT):

𝑃𝑇 = 20 log ( )( ) (6)

𝑃(𝑟) = 𝑒 ( ) (7)

𝑃𝑇 = 20 log 𝑟 + 𝑃𝑇 = 20 log 𝑟 + 𝑎𝑟 (8)

Las pérdidas en la transmisión del sonido dependen de lo siguiente:

Frecuencia: Afecta a la atenuación, esto es directamente proporcional, como lo

hemos visto en análisis anteriores.

Distancia: Indica qué tan lejos pueden viajar las ondas sonoras antes de haber

perdido tanta energía como para no poder hacer vibrar el medio.

Las siguientes figuras (1.8 y 1.9) muestran las pérdidas en dB en función de la distancia [r]

entre transmisor y receptor, con una frecuencia de 60 Hz a una profundidad de 200m y

500m.


15

Figura 1.8 Pérdidas en dB en función de la distancia [r] entre transmisor y receptor a 60Hz y 200m de

profundidad [2].

Figura 1.9 Pérdidas en dB en función de la distancia [r] entre transmisor y receptor a 60Hz y 200m de

profundidad [2].

Para poder determinar el campo acústico subacuático, se necesitan ciertos métodos, los

cuales se verán más a detalle en el siguiente capítulo, por el momento solamente

hablaremos de la importancia del campo acústico subacuático a través del análisis del

SONAR.

1.4.3 Consideraciones de ruido y amplitud de banda

Para la transmisión de sonido en el mar es claro que el funcionamiento puede mejorarse si

se reduce el nivel del ruido detectado. Esto se puede lograr si se conoce el espectro de

frecuencias del ruido ambiente y del blanco para seleccionar la amplitud de banda del

sistema de recepción.

a) Ruido ambiente. La forma normal del nivel espectral de ruido NSL ambiente en el

océano abierto se representa en la figura 1.10. Entre aproximadamente 500 Hz y 20 kHz, la


16

agitación de la superficie local del mar es la fuente más fuerte de ruido ambiental y puede

caracterizarse especificando la velocidad del viento local. En este intervalo de frecuencias el

nivel espectral del ruido cae a aproximadamente 17 dB/década. A frecuencias más bajas, la

mayor contribución al ruido ambiental es causado por los barcos distantes y fuentes

biológicas. Los límites indicados en la figura pueden excederse considerablemente si el

tránsito de barcos es grande. Abajo de 20 Hz predominan la turbulencia oceánica y el ruido

sísmico. Arriba de 50 kHz la agitación térmica de las moléculas del agua se vuelve una

fuente importante de ruido, y el nivel espectral del ruido aumenta a razón de 6 dB/octava. En

agua poco profunda, los niveles de ruido pueden ser considerablemente mayores debido al

mayor tránsito de barcos, ruido biológico ambiental, ruidos provenientes de las orillas,

plataformas de perforación, etc.

Figura 1.10 Ruido ambiente de aguas profundas [1]

El nivel de ruido detectado para el ruido ambiental es:

𝐷𝑁𝐿 = 𝑁𝐿 − 𝐷𝐼 (9)

y, si el ancho de banda es lo suficientemente pequeño aplicaremos:

𝐷𝑁𝐿 = 𝑁𝑆𝐿 + 10 log 𝑤 − 𝐷𝐼 (10)


17

b) Ruido propio. El ruido propio es generado por la plataforma de recepción e

interfiere con la señal recibida deseada. El ruido propio puede llegar al receptor por

transmisión a través de la estructura mecánica y por transmisión a través del agua, ya sea

directamente de la fuente o por reflexión de la superficie del mar. El ruido propio usualmente

tiende a aumentar con la velocidad de la plataforma. A bajas frecuencias y bajas

velocidades, domina el ruido de las máquinas, mientras que a altas frecuencias el ruido de la

propela y de flujo adquieren importancia. Conforme se aumenta la velocidad, estas últimas

fuentes son más importantes a todas las frecuencias. A velocidades muy bajas, usualmente

el ruido propio es menos importante que el ruido ambiental o la reverberación. A velocidades

mayores el ruido propio puede ser el factor limitante.

Una estrategia empleada frecuentemente para reducir el efecto del ruido es usar un filtro

acústico en el receptor para eliminar la energía en una banda de frecuencia estrecha que

comprende el ruido.

1.5 Aplicaciones de la determinación del campo acústico subacuático

Una de las aplicaciones mas conocidas de la determinacion del campo acustico es el

SONAR, acontinuacion describiremos el SONAR, los tipos de SONAR que exiten y sus

aplicaciones.

1.5.1 SONAR

La palabra SONAR es el acrónimo inglés de SOund NAvigation and Ranging y por ella se

entiende el método y/o el equipo necesario para determinar por medio del sonido la

presencia, localización o naturaleza de objetos en el mar.

Hoy en día, por extensión, se aplica la palabra SONAR a la parte de la acústica aplicada que

abarca todas las actividades en las que el agua es el medio de propagación del sonido.

Básicamente el SONAR es al agua lo que el RADAR es al aire. La diferencia fundamental

reside en el medio en el que se propaga la energía.


18

En todas las aplicaciones de sonido subacuático (ya sea que se quiera detectar y localizar

objetos bajo el agua, encontrar peces o navegar) la operación crítica es la detección de la

señal acústica deseada en presencia de ruido. Si el nivel de la señal es el nivel de eco EL y

el nivel de ruido detectado DNL, entonces la ecuación del sonar es:

𝐸𝐿 ≥ 𝐷𝑁𝐿 + 𝐷𝑇 (11)

El umbral de detección DT, es el valor por el cual el nivel de eco debe exceder el nivel de

ruido detectado para dar una probabilidad del 50 por ciento de detección para una

probabilidad de falsa alarma dada.

Existen dos tipos de Sonar: activo y pasivo, a continuación describiremos brevemente cada

uno de ellos.

1.5.2 SONAR Activo

Para detectar objetos bajo el agua, se emplea el eco devuelto por dicho objeto al incidir

sobre él las ondas acústicas emitidas por un transmisor. El objeto sobre el que inciden las

ondas devolverá parte de ellas. El camino recorrido por las ondas es el doble del camino

entre emisor y objeto.

Figura 1.11 Sonar Activo [13].

Para un sonar activo, la señal es un pulso de energía acústica que se origina en el

transmisor con un nivel de fuente SL. Esta señal viaja al blanco, acumulando una pérdida


19

por transmisión en un solo sentido TL. En el blanco, una fracción de la señal incidente,

caracterizada por una intensidad del blanco TS, se refleja hacia la fuente y, sufriendo una

segunda pérdida por transmisión TL', llega al receptor. Para el caso monoestático, la fuente

y el receptor están en la misma posición, por lo cual TL = TL' y el nivel de eco es:

𝐸𝐿 = 𝑆𝐿 − 2𝑇𝐿 + 𝑇𝑆 (12)

Al determinar el tiempo t entre la emisión de un pulso y el regreso del eco, puede

encontrarse la distancia r al blanco de r = ct/2. Si el receptor es altamente direccional,

también se puede determinar la localización del blanco.

El nivel de ruido detectado para un sistema activo puede ser dominado por el ruido ambiente

o el ruido propio. Entonces, la combinación de (11) y (12) da la ecuación para el sonar activo

limitado por ruido (monoestático):

𝑆𝐿 − 2𝑇𝐿 + 𝑇𝑆 ≥ 𝑁𝐿 − 𝐷𝐼 + 𝐷𝑇 (13)

Para el sistema activo hay una fuente adicional de enmascaramiento que no está presente

en el sonar pasivo: la reverberación. La reverberación surge de la dispersión de la señal

emitida por blancos indeseables, tales como peces, burbujas así como la superficie del mar

y del fondo. Para este caso, el nivel de ruido detectado es el nivel de reverberación RL:

𝐷𝑁𝐿 = 𝑅𝐿 (14)

Al combinar (11) y (14) se obtiene la ecuación para (monoestático) el sonar activo limitado

por la reverberación:

𝑆𝐿 − 2𝑇𝐿 + 𝑇𝑆 ≥ 𝑅𝐿 + 𝐷𝑇 (15)

1.5.3 SONAR Pasivo

El Sonar Pasivo escucha directamente los sonidos del los objetos que permanecen

sumergidos. En este caso la onda recorre únicamente la distancia entre el objeto y el

receptor.


20

Figura 1.12 Sonar Pasivo [13].

Un sistema que escucha el ruido producido por el "blanco" se llama un sistema de sonar

pasivo (En este caso, el uso del término "nivel de eco" no es apropiado, pero su uso es

convencional). El sonido radiado por el blanco a un nivel de fuente SL experimenta una

pérdida por transmisión TL en su camino al receptor. El nivel de eco es entonces

𝐸𝐿 = 𝑆𝐿 − 𝑇𝐿 (16)

Con un detector altamente directivo, un sistema pasivo puede determinar la dirección de

donde llega la señal. Si el blanco puede detectarse simultáneamente en dos o más

receptores separados por una distancia conocida, se puede localizar al blanco por

triangulación.

El ruido de una gran variedad de fuentes compite con la señal recibida. Como anteriormente

mencionamos, los océanos están llenos de fuentes de ruido como las olas que rompen,

chasquidos de canoas y barcos que se combinan para producir un ruido ambiental de banda

ancha. Además, se produce ruido propio por la maquinaría en la plataforma y por el

movimiento del agua a su alrededor. El nivel combinado de estas fuentes da el nivel de ruido

NL. Si el receptor es direccional, el nivel de ruido detectado es:

𝐷𝑁𝐿 = 𝑁𝐿 − 𝐷𝐼 (17)

donde el índice de directividad DI, describe la habilidad del receptor para discriminar entre el

ruido proveniente de otras direcciones distintas a la de la fuente. Combinando las

ecuaciones (11) y (17) se obtiene la ecuación del sonar pasivo:

𝑆𝐿 − 𝑇𝐿 ≥ 𝑁𝐿 − 𝐷𝐼 + 𝐷𝑇 (18)


21

1.5.4 Diferencias entre SONAR Activo y SONAR Pasivo

Hay diferentes criterios para elegir uno u otro tipo de Sonar. Los más comunes se observan

en la Tabla 1.2.

Tabla 1.2 Diferencias entre el Sonar Activo y el Sonar Pasivo [16].

CRITERIO

ACTIVO

PASIVO

Alcance Menor Mayor

Obtención de distancia Si No

Discreción Poca Mucha

Detección de contactos no ruidosos

Si No

En general el sonar activo y el pasivo se complementan para efectuar la detección y el

análisis de objetos sumergidos y tanto los submarinos como los buques de superficie con

capacidad antisubmarina emplean ambos tipos de forma conjunta.

1.5.5 Otras aplicaciones del SONAR

• Los sondeos submarinos que permiten la detección de los buques sumergidos, y en

general, de todos los obstáculos bajo la superficie del mar, han constituido la primera

de las aplicaciones prácticas de la acústica subacuática, tanto con fines militares

como por seguridad en la navegación.

• Detección de bancos de pesca. Se pueden localizar a una distancia de hasta 1200 m

e incluso se puede reconocer la especie de los peces con el trazo que describen.

• Se utiliza también el SONAR en la detección de submarinos, sobre todo con

aplicaciones bélicas.


22

Las aplicaciones más importantes al utilizar el sonido en el mar son las que lleva a cabo el

SONAR como hemos visto, por lo que el SONAR es de fundamental importancia al hablar

de la acústica subacuática.

Definido el campo acústico, en el siguiente capítulo describiremos algunos de los métodos

utilizados para la detección de campo acústico subacuático, es decir, la cantidad de

información que está llegando hasta nuestro receptor.

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““Métodos para determinar campo acustico subacuático”” CAPITULO 2

24

El termino modelo matemático en el área de la acústica se refiere a los algoritmos y

programas de computo que permiten obtener soluciones aproximadas de la ecuación de

onda para la propagación del sonido en el mar en el medio oceánico. La diversidad de los

modelos desarrollados se fundamenta en la necesidad de cubrir de manera eficiente tanto

las bajas como las altas frecuencias de la señal acústica, los medios marinos que pueden o

no depender del rango y los diferentes tipos de fondos.

A continuación se analizarán diferentes aproximaciones que permitan solucionar la ecuación

de onda, tales como el Método por Elementos Finitos, el Método de Imágenes, la

Transformada Hankel, el Método de Rayo y el Método de Modos Normales, entre otros. Los

tres últimos son los más utilizados pues presentan resultados más exactos, ya que por su

complejidad dependen de un mayor número de parámetros.

Debido a que el océano puede ser homogéneo o no homogéneo, es decir, que sus

parámetros varíen o no en distintas posiciones y/o profundidades, en este trabajo sólo

trataremos los método aplicables a océanos homogéneos, pues esto implica un análisis más

sencillo al considerar parámetros constantes en los cálculos; aunque es necesario señalar

que los últimos tres métodos mencionados previamente son aplicables tanto para océanos

homogéneo como no homogéneo.

Como punto de partida para el problema de la propagación acústica subacuática se

considera la ecuación lineal de ondas [8].

∇ 𝑃 − = 𝑓(𝑟, 𝑡) (19)

Donde 𝑃 es el campo acústico, que es función de la posición y del tiempo, 𝑐 es la velocidad

de propagación del sonido en el océano y que depende de manera compleja de la salinidad,

la temperatura y la profundidad del agua como ya se había mencionado en el capitulo

anterior, y 𝑓(𝑟, 𝑡) representa la fuente puntual que produce la señal con una frecuencia 𝜔

bien definida.

Mediante el cambio de variable

𝑃(𝑟, 𝑡) = 𝑒 𝑝(𝑟) (20)


25

𝑓(𝑟, 𝑡) = 𝑒 𝛿 𝑧 − 𝑧 (21)

se obtiene la ecuación simplificada de onda denominada la ecuación de Helmholtz

∇ 𝑝 − 𝑝 = −𝛿(𝑧 − 𝑧 ) (22)

Donde 𝑧 representa la profundidad y 𝑧 es la profundidad a la cual se encuentra la fuente

sonora.

La solución de esta ecuación puede ser obtenida mediante técnicas numéricas como por

ejemplo, el Método de Ecuación Parabólica o el Método de Elementos Finitos, pero esto no

se realiza regularmente debido a que, desde el punto de vista computacional, resulta

prácticamente intratable por el elevado número de puntos requeridos para la representación

del campo acústico en la región de la propagación del sonido. Por esta razón en el estudio

de la propagación acústica los métodos más utilizados son el Método de Rayo, el Método de

la Transformada Hankel y el Método de Modos Normales.

Enseguida explicaremos algunos de los métodos menos empleados para la determinación del campo acústico y destacaremos tanto sus ventajas como sus limitaciones debido a que es importante conocer y saber de su existencia.

2.1 Modos Acoplados

Las limitaciones implícitas en la aproximación adiabática se soslayan con los ‘Modos

Acoplados’. La solución se encuentra como en los Modos Normales, obteniendo los

números de onda y las formas de onda. El cálculo de los modos se lleva a cabo

repetidamente, cada vez para cada tramo constante, ya que un entorno dependiente de la

distancia es equivalente a una serie de tramos (entornos escalonados) independientes de la

distancia. La propagación desde la fuente a la interface entre el primero y el segundo tramo

de entorno, se calcula partiendo del primer conjunto de formas de onda, de números de

onda y de atenuaciones. En la interface se calculan las ecuaciones integrales que

proporcionan, como solución, el nivel de acoplamiento entre modos. Este acoplamiento se

refiere a la cantidad de energía que va desde un modo en el primer tramo de entorno, a otro


26

modo en el segundo entorno. Recordemos que en la Aproximación Adiabática esta

transferencia se hacía cero (modos distintos) y la unidad para modos iguales. La

propagación del sonido desde la interface hacia delante se calcula, entonces, usando el

segundo grupo de modos, con el coeficiente de acoplamiento que da las amplitudes iníciales

del segundo conjunto de modos en el punto de inicio del segundo tramo de entorno. Este

proceso se repite para cada interface.

La dependencia con la distancia implica considerar también, la energía que se propaga

‘hacia atrás’. Esta energía, es, en la mayoría de los casos, nula o muy pequeña. Sí se quiere

introducir hay que definir dos conjuntos de modos acoplados uno viajando de la fuente al

receptor y otro en dirección contraria. Las ecuaciones resueltas calculan el campo global

incluyendo el campo retro-difundido (backscattered).

Las ventajas de estos métodos son las señaladas para los Modos Normales. Sus

inconvenientes, la gran cantidad de tiempo de cálculo requerido para obtener soluciones.

2.2 Teoría "Fast Field"

Es esta una solución para entornos independientes del alcance, en los que los parámetros

representativos sólo pueden variar en profundidad y de tal manera que sea factible calcular,

analíticamente, el campo acústico en función de los números de onda. Esta integración se

consigue primero, dividiendo el entorno en una serie de capas en las que la velocidad del

sonido (compresional y transversal), densidad y atenuación, varían linealmente con la

profundidad, o son independientes de ella. El campo, función del número de onda, se

convierte en el campo función de la distancia a través de la estimación numérica de la

Transformada de Hankel. Este proceso es, con frecuencia, bastante difícil cuando se ha de

integrar en el campo complejo cuyos contornos han de ser cuidadosamente seleccionados

[18]. Es un modelado que requiere un alto grado de experiencia.

Como ventajas citamos: los errores vienen delimitados por la precisión de la solución

numérica de la Transformada de Hankel, el método es aplicable a cualquier frecuencia

aunque las limitaciones en tiempo de cálculo y en memoria pueden restringir esta aplicación,

en el caso de aguas muy poco profundas, a las bajas o muy bajas frecuencias, a las que los

efectos de las ondas transversales se pueden evaluar sin limitación. Como inconveniente


27

más importante señalamos el estar restringido a los entornos no dependientes del alcance,

así como el alto grado de expertización requerido en el usuario.

2.3 Ecuación Parabólica

Se supone que el campo acústico puede dividirse en dos partes: una que varía con la

distancia y otra que lo hace con la profundidad y con la distancia pero, con ésta, muy

lentamente. Así se define la hipótesis de partida en el Modelo de la Ecuación Parabólica. La

parte del campo acústico que es independiente de la profundidad es la función de Hankel

que contiene las variaciones, a escala de una longitud de onda. Con frecuencia se aproxima

por una onda cilíndrica. La parte del campo que varía lentamente con la distancia contiene

variaciones en escalas mayores que una longitud de onda. El campo acústico, viene así

expresado por:

𝑝(𝑟, 𝑧) = 𝑢(𝑟, 𝑧)𝐻( )(𝜉 𝑟) (23)

donde

𝑝(𝑟, 𝑧) es la presión función de la distancia y de la profundidad, 𝜉 el número de onda

horizontal dado por el cociente de la frecuencia angular de la fuente, dividida por una

velocidad del sonido (referencia) en el medio, 𝐻( ) es la función de Hankel de primera

especie. Se puede encontrar una ecuación para 𝑢(𝑟, 𝑧) y una ecuación con solución

aproximada, haciendo la hipótesis de que el sonido se propaga según un determinado

ancho de haz alrededor de la horizontal. Esta ecuación aproximada se conoce con el

nombre de Ecuación Parabólica y está dada por la ecuación siguiente:

𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑋 (𝑥) 𝐴 𝑒 + ∫ 𝑓 (𝜏)𝑒 ( )𝑑𝜏 (24)

donde: 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢(𝑟, 𝑧)

Y por lo tanto la ecuación parabólica está dada por una suma de parábolas, las cuales están

en función de la amplitud respecto a la distancia y la fase respecto a la profundidad.


28

Diferentes autores emplean diferentes métodos de solución. Todos ellos, sin embargo,

especifican la presión acústica, función de la profundidad, en la fuente, como función de

partida (por ejemplo es usual comenzar con una distribución gaussiana de presiones,

centrada en la posición de la fuente). La solución numérica de la Ecuación Parabólica toma

este campo inicial como una función de la profundidad y calcula el campo, en función de la

profundidad, a una pequeña distancia de la fuente. El proceso de cálculo de soluciones se

puede repetir, a su vez, hasta que el campo, función de la profundidad, se calcula a todas

las distancias de interés. Es lógico que la precisión en la solución dependa del número de

puntos en los que se necesita una solución; este número de puntos debe ser lo

suficientemente numeroso para que se muestreen bien aquellas partes del campo que

varían más rápidamente.

El método de la Ecuación Parabólica, presenta ciertas ventajas: la velocidad del sonido así

como las propiedades del fondo pueden variar con la distancia sin que por ello la técnica

implícita en la obtención de la solución, se altere; el fondo marino puede describirse con

mucho detalle, incluso algunas soluciones incluyen la propagación ‘shear’; la solución es

técnicamente aplicable a cualquier frecuencia siempre que lo permita el tiempo de cálculo y

la memoria disponible. Los inconvenientes que se pueden citar en el caso de aguas muy

poco profundas, giran alrededor de la hipótesis de que el sonido se ‘mueve’ en una posición

muy próxima a la horizontal, lo que induce errores importantes a distancias cortas en las que

la interacción con el fondo es notable dado que la radiación no abarca hasta el ángulo

crítico; también la apertura angular en un caso concreto de solución parabólica, no es, a

veces, fácil de expresar lo que significa que los límites del modelo son difíciles de definir; la

precisión de los resultados depende del muestreo en profundidad y en alcance, y dado que

la solución no se conoce a priori, será necesario correr el modelo sucesivas veces para

asegurar la debida convergencia.

2.4 Método por Elementos Finitos

En este tipo de modelización, el entorno se subdivide en un gran número de entornos más

pequeños en los que los parámetros que lo definen varían de una manera especificada.

Cada elemento tiene un número de ‘nodos’ en los que se calcula la presión acústica.


29

Figura 2.1 Método de Elementos Finitos [26]

El campo acústico se supone que varía de una manera simple y sencilla entre nodos, de

modo que la presión en un nodo se puede relacionar con la presión en los otros nodos a

través de una ecuación matricial. Las soluciones numéricas de esta ecuación matricial

proporcionan la presión en todos los nodos, siempre que el campo en la fuente sea un dato

de entrada.

𝜙(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝜙 ( , ) (25) 𝜙 (𝑥, 𝑦) = 𝑁 (𝑥, 𝑦) ⋅ 𝜙 + 𝑁 (𝑥, 𝑦) ⋅ 𝜙 + 𝑁 (𝑥, 𝑦) ⋅ 𝜙 (26)

Son numerosas las soluciones: diferentes formas de elementos, y diferente número de

nodos por elemento. También contribuye a esta diferencia el tipo de función sencilla que

modeliza la variación de los parámetros acústicos y medio ambientales entre elementos. Es

posible incluir también ondas transversales a expensas de incrementar el número de

ecuaciones, lo que a su vez alarga el tiempo de cálculo.

Como en todos los demás modelos conviene reseñar las ventajas e inconvenientes. Las

ventajas son varias: la primera, muy útil para el caso de aguas poco profundas, es que el

método es válido tanto para entornos dependientes de la distancia como para entorno no

dependientes de la distancia; el fondo marino se puede describir con todos sus parámetros

geoacústicos, incluyendo propagación de ondas transversales y la precisión depende sólo

del tamaño del elemento por lo que es posible conseguir soluciones muy precisas. Como

inconvenientes hay que citar el ya señalado con la Ecuación Parabólica y es el referido a el

número de elementos a considerar, por lo que será necesario correr el programa varias


30

veces hasta adecuar la solución a la convergencia buscada; el modelo es, bajo el punto de

vista de cálculo, muy intenso, lo cual puede ser un factor que restrinja su uso en

investigación.

2.5 Métodos Empíricos

Se sabe que es muy difícil de predecir la propagación sonora en aguas poco profundas y

para determinadas bandas de frecuencia (función en muchos casos de esa poca

profundidad). En algunos momentos ningún modelo proporciona soluciones, aproximadas,

adecuadas. En estos casos es conveniente recoger tantas medidas de pérdidas por

propagación, como sea posible, junto a la información correspondiente de los parámetros

característicos del entorno. Esta colección de datos proporciona soluciones empíricas para

las pérdidas por propagación. Por ejemplo estas expresiones pueden modelar las pérdidas

de una manera simple como es el caso de una propagación cilíndrica, por tanto pérdidas

asociadas a este tipo de propagación a las que se puede añadir un término que especifique

la atenuación con la distancia además de un valor de partida. El valor de partida y el de la

atenuación se obtienen por regresión en los datos experimentales. Por ejemplo la

atenuación puede ser descrita como una función polinomial dependiente de la velocidad del

viento, profundidad y frecuencia. Como se ve parámetros muy definidos en el caso de aguas

muy poco profundas.

Las ventajas inherentes en los modelos empíricos pueden cifrarse en: el estar basados en

datos reales y por lo tanto garantizan que son tan precisos como lo son los procesos de

regresión, sobre esos datos experimentales concretos y en las situaciones en las que se han

obtenidos esos datos; otro punto favorable a estos modelos es que, en general,

proporcionan funciones matemáticas muy simples y por lo mismo requieren poco tiempo de

cálculo, Como inconvenientes habría que citar, entre otros: la poca, a veces nula, aportación

a comprender la física de la propagación sonora en el mar, lo que es más verdadero en

condiciones de aguas muy poco profundas; estos métodos ignoran los parámetros físicos

que no se consideraron en la producción del modelo; por último hay que resaltar la imposible

extrapolación de unos resultados a circunstancias diferentes, incluso aunque el conjunto de

datos experimentales sea excepcionalmente grande.


31

Descritos los métodos menos utilizados con sus respectivas ventajas e inconveniencias, a

continuación describiremos el método de Imágenes, que es medianamente impórtate

con respecto a los últimos tres métodos que describiremos al final de este capítulo.

2.6 Método de Imágenes

En muchos casos, cuando la velocidad del sonido es una constante, es posible aplicar el

poderoso, pero engorroso, método de imágenes. El método es válido para todas las

frecuencias. La solución por este método usualmente se expresa como una suma infinita o

finita de las contribuciones de todas las imágenes. Un análisis adecuado se lleva a cabo a

menudo con la ayuda de una computadora digital.

A continuación formularemos las soluciones a tres problemas de propagación por el método

de imágenes, pero después haremos varias aproximaciones para obtener expresiones

simples en forma cerrada para la pérdida por transmisión. Esto revelará la física subyacente

y al mismo tiempo dará una base para comparar con los resultados de la teoría de rayos y

con el análisis de modos normales.

Figura 2.2 Fuente e imágenes para un canal de isovelocidad de poco fondo [1].


32

Como consecuencia de la multiplicidad de reflexiones que tienen lugar tanto en la superficie

como en el fondo, las predicciones de la pérdida por transmisión son más complicadas en

aguas poco profundas que para el caso de aguas profundas. Según la teoría de imágenes,

la superficie y el fondo de la capa de isovelocidad pueden tratarse como interfaces a través

de las cuales el sonido se propaga con la amplitud de presión reducida por el coeficiente de

reflexión para esa superficie y el ángulo de incidencia. Esto da un espacio de multicapas

(Figura 2.2), en donde las diferentes imágenes de la fuente contribuyen al punto del campo

a lo largo de trayectorias de líneas rectas. Se han etiquetado las imágenes con el número de

veces que la señal de la imagen al punto del campo se refleja del fondo. Se pueden obtener

modelos de pérdida por transmisión simples si se hacen algunas aproximaciones. Se

supone que la superficie del océano es un reflector perfecto. Si se supone que las

inhomogeneidades en el agua y la aspereza de la superficie y el fondo son suficientes como

para que las fases de las diferentes imágenes sean aleatorias, ocurre una combinación

incoherente de las diversas contribuciones y pueden ignorar las fases relativas. Además, se

puede suponer que cada conjunto de cuatro imágenes cuyas contribuciones hacen i

intersecciones con el fondo yacen a una distancia efectiva 𝑟 = 𝑟 + (2𝑖𝐻) del punto del

campo. Esto permite que las imágenes se sumen en grupos de cuatro, como lo muestra la

ecuación (27).

( )( ) ≐ + 4 ∑ ( )( ) = (1 + 2𝑆) (27)

Donde se define a S por:

𝑆 = ∑ ( ) (28)

cada ángulo de incidencia 𝜃 se evalúa con:

cos 𝜃 = (29)

y 𝑅(𝜃 ) es el coeficiente de reflexión para el fondo cuando el ángulo de incidencia es 𝜃


33

Si la distancia de la fuente al receptor es mucho mayor que la profundidad del canal, ≪ 1,

la sumatoria puede reemplazarse por la integral,

𝑆 = ∫ cos2 𝜃 𝑅2𝑢(𝜃)𝑑𝑢∞1 (30)

donde la variable de integración u ha reemplazado a i, y 𝜃 es una función de u. De la

ecuación (31) se ve que 𝑢 = 𝑡𝑎𝑛𝜃, y al cambiar la variable de integración u a 𝜃 se

obtiene:

𝑆 ≐ ∫ 𝑅 𝑑𝜃( / ) (31)

2.6.1 Fondo perfectamente rigido

Si el coeficiente de reflexión de presión en el fondo es la unidad para toda 𝜃, el integrando

de (31) es la unidad para toda 𝜃 y 𝑟 ≫ 𝐻,

𝑆 ≐ ∫ 𝑑𝜃 = − 1 (32)

Al sustituir en (27) se obtiene:

𝑇𝐿(𝑔𝑒𝑜𝑚) ≐ 10 log 𝑟 + 10 log (33)

la divergencia es cilíndrica y hay una contribución a TL parecida a la 𝑟 , para el ducto

superficial.

2.6.2 Fondo lento

Si el fondo tiene una velocidad del sonido menor que la correspondiente al agua, el

coeficiente de reflexión es pequeño a ángulos de incidencia grandes y aumenta hasta la

unidad a incidencia rasante. En consecuencia, la mayor contribución a S provendrá del


34

límite inferior de la integración. Para ángulos de incidencia pequeños se puede escribir el

coeficiente de reflexión como 𝑅(𝜃)~𝑒𝑥𝑝(−𝛾𝜃) donde 𝛾 es un parámetro que se determina a

partir de las características del fondo. Puesto que la mayor parte del valor de S proviene de 𝜃~ , se reemplazará tan 𝜃 por 𝜃 y se hará que el límite superior de la integración se vuelva

infinitamente grande. Entonces, (31) se vuelve:

𝑆 ≐ ∫ 𝑒 𝑑𝜃∞ (34)

Un cambio de variable de 𝜃 a 𝑥 = 𝜃(𝛾𝑟/𝐻) / da:

𝑆 ≐ ∫ 𝑒^ − 𝑥∞( / ) 𝑑𝑥 (35)

Para r grandes, el límite inferior tiende a 0 y ∫ 𝑒∞ 𝑑𝑥 = . Al sustituir en (27), se

obtiene:

( )( ) ≐ 1 +

y en el límite de grandes distancias esto lleva a:

𝑇𝐿(𝑔𝑒𝑜𝑚) = 15 𝑙𝑜𝑔 𝑟 + 5 𝑙𝑜𝑔 (37)

Por consiguiente, el efecto de un fondo lento es dar una propagación entre la esférica y la

cilíndrica.

2.6.3 Fondo rápido

En este caso el coeficiente de reflexión es idénticamente igual a la unidad para todos los

ángulos rasantes menores que el ángulo crítico 𝜃 . Todas las trayectorias que se reflejan de

fondo con ángulos que exceden a 𝜃 sufren pérdidas y se atenúan más rápidamente que en


35

la forma cilíndrica. Las trayectorias más rasantes que 𝜃 serán atrapadas y se esparcirán

cilíndricamente a distancias grandes. Debido a estas consideraciones, (38) puede evaluarse

integrando del límite inferior a 𝜃 y haciendo 𝑅(𝜃) = 1 dentro de esa distancia. Con la

restricción 𝑟 ≫ 2𝐻/𝜃 para que el límite inferior pueda ser reemplazado con cero, S se

vuelve:

𝑆 ≐ ∫ 𝑑𝜃 = 𝜃 (38)

y por consiguiente:

𝑇𝐿(𝑔𝑒𝑜𝑚) = 10 log 𝑟 + 10 log (39)

Nótese que 𝜃 juega el mismo papel que el ángulo límite 𝜃 juega en la capa mezclada: de la

teoría de rayos, el ángulo tendido por los rayos atrapados sería 2𝜃 , y por el mismo tipo de

argumento geométrico usado en la sección sobre la capa mezclada la distancia de transición

sería .

Las aproximaciones, quizás demasiado amplias, aplicadas a los campos acústicos

obtenidos por el método de imágenes, han dado resultados similares a los basados en la

teoría de rayos. Una explicación más cuantitativa y exacta del método de imágenes daría

resultados más refinados, pero no es uno de los objetivos de este trabajo tratarlos aquí.

Por último tomaremos como base el océano homogéneo de profundidad constante, por ser

más sencillo para describir la representación matemática de los métodos más importantes:

el Método de Modos Normales, el Método de Rayo y el Método de la Transformada Hankel.

El primero método se abordará con todo detalle en el capítulo tercero debido a que es la

base para el desarrollo de nuestra investigación, mientras los dos siguientes serán descritos

a profundidad a continuación.

Comenzaremos explicando el océano homogéneo de profundidad constante.


36

2.7 El océano homogéneo de profundidad constante

El perfil más simple de la velocidad del sonido es el uniforme c(z) = 𝑐 , donde 𝑐 es una

constante. En este caso 𝑛(𝑧) = ( ) = 1 , para una fuente puntual (38) se convierte en la

ecuación (39):

∆𝑝 + 𝑘 𝑛 (𝑧)𝑝 = 𝑞(𝑧) (38)

∆𝑝 + 𝑘 𝑝 = −𝛿(𝑧 − 𝑧 ) ( ) (39)

Aquí la ubicación de la fuente 𝑥 es 𝑟 = 0, 𝑧 = 𝑧 , en coordenadas cilíndricas. La condición

de la superficie es (40): 𝑝 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = 0 (40)

Vamos a suponer que la profundidad es constante a fin de que h = constante, por lo tanto

(41) se convierte en (42):

𝑝 + 𝑝 ℎ + 𝑝 ℎ = 0 𝑎𝑡 𝑧 = −ℎ(𝑥, 𝑦) (41)

𝑝 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 = −ℎ (42)

El problema desde la ecuación (39) hasta la ecuación (42), con una condición adecuada de

radiación, determina el nivel de presión sonora debido a una fuente puntual de tiempo

armónico en un océano homogéneo de profundidad constante, con una superficie libre y un

fondo rígido. Dado que el problema es axialmente simétrico, la solución 𝑝 (𝑟, 𝑧) es

independiente de la coordenada angular 𝜃.

En los siguientes tres temas se soluciona este problema por tres métodos diferentes y así

obtendremos tres distintas representaciones para la solución. En el último tema

mostraremos como estas representaciones pueden ser transformadas en las otras. Todos

estos resultados son resumidos en la Figura 2.3, mostrada a continuación.


37

Figura 2.3. El valor límite problema (BVP) es resuelto por el método de los modos normales,

por el método de transforma de Hankel y por el método de rayos. Esto da lugar a las tres

representaciones dadas por los métodos anteriores, respectivamente. Entonces las

representaciones son transformadas una en la otra por el método de residuos, por la

expansión binomial y por la fórmula de adición de Poisson, como se indica en la figura. [4]

2.8 Método de Modos Normales

El método de Modos Normales calcula la integral de la ecuación de onda o la expande en

función de un conjunto finito de "modos normales". Cada uno de estos modos supone que la

solución de la ecuación es el producto de una función dependiente de la profundidad y de

una función dependiente del alcance. Es una manera apropiada para calcular la propagación

de ondas acústicas producidas por Fuentes de bajas frecuencias bajo el agua y este método

tiene su mejor eficiencia cuando el medio se considera como estratificado horizontalmente.

2.8.1 Representación matemática del Método de Modos Normales

La forma homogénea de (39) puede ser solucionada por la separación de variables. Para

usar este método buscamos una solución la cual, es un producto 𝜙(𝑧)𝜓(𝑟). Lo substituimos

en la forma homogénea de (39) y mediante la separación de variables obtenemos:


38

𝜙 + 𝑘 𝜙 = 𝑘 𝑎 𝜙 (43) 𝜓 + 𝜓 = −𝑘 𝑎 𝜓 (44)

Hemos escrito la separación constante como 𝑘𝑎 por conveniencia. Las soluciones generales

de estas dos ecuaciones son:

𝜙(𝑧) = 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝑘(1 − 𝑎 ) 𝑧 + 𝐵 cos 𝑘(1 − 𝑎 ) 𝑧 (45) 𝜓(𝑟) = 𝐶𝐻( )(𝑘𝑎𝑟) + 𝐷𝐻( )(𝑘𝑎𝑟) (46)

Aquí 𝐻( ) y 𝐻( )son las funciones de Hankel de orden cero, de primera y segunda clase,

respectivamente.

Las condiciones de frontera (40) y (42), cuando se aplica al producto solución 𝜙(𝑧)𝜓(𝑟),

generan las dos ecuaciones 𝜙(0) = 0 y 𝜙 (−ℎ) = 0. De la primera condición se sigue que 𝐵 = 0. Entonces la segunda condición genera cos 𝑘ℎ(1 − 𝑎 ) = 0 . Las soluciones de

esta ecuación son 𝑎 = 𝑎 .

donde: 𝑎 = 1 − 𝑛 + , 𝑛 = 0,1,2, … (47)

Esto es, hay infinidad de soluciones de la forma (45) que satisfacen (40) y (42), que se

denotan por 𝜙 (𝑧), donde:

𝜙 (𝑧) = 𝐴 sin 𝑘(1 − 𝑎 ) 𝑧 , 𝑛 = 0,1,2, … (48)

Aquí 𝑨𝒏 es una constante que aún no está determinada.

Para determinar una de las constantes en (46) vamos a utilizar la condición de radiación. La

forma adecuada de esta condición para seleccionar la salida de onda es:

lim → 𝑟 (𝜓 − 𝑖𝑘𝑎𝜓) = 0 (49)


39

Cuando (46) es substituido en (49), el resultado es D =0, entonces la solución resultante es

solamente un múltiplo de 𝐻( )(𝑘𝑎𝑟). Ya que la solución de producto 𝜙 𝜓 ya contiene el

factor arbitrario constante 𝐴 , podemos poner 𝐶 = 1 sin la pérdida de generalidad.

Entonces el producto solución que satisface las condiciones de frontera y la condición de

radiación es 𝐴 sin[𝑘(1 − 𝑎 ) / 𝑧]𝐻( )(𝑘𝑎 𝑟).

Cada una de estas soluciones del producto de la propagación será llamado "modo normal",

o simplemente un "modo". Se dice que hay propagación si 𝑎 es real y positivo, y no habrá

propagación ó es evanescente si 𝑎 es imaginario positivo, porque entonces 𝐻( )(𝑘𝑎 𝑟)

decae exponencialmente conforme r aumenta. De (47) vemos que sólo hay 𝑀 + 𝑙 modos de

propagación, donde 𝑀 es el mayor número entero menor que 𝜋 𝑘ℎ − , e infinitamente

muchos modos evanescentes.

Ahora para encontrar 𝑝(𝑟, 𝑧) lo vamos a representar como una suma de modos:

𝑝(𝑟, 𝑧) = ∑ 𝐴 sin 𝑘(1 − 𝑎 ) ⁄ 𝑧 𝐻( )(𝑘𝑎 𝑟) (50)

Sustituyendo (50) en (39), obtendremos:

+ + 𝑘 𝑎 𝐻( )(𝑘𝑎 𝑟) = ( ) (51)

Entonces (39) se convierte en:

∑ 𝐴 sin 𝑘(1 − 𝑎 ) ⁄ 𝑧 = 𝛿(𝑧 − 𝑧 ) (52)

Para resolver (52) para 𝐴 , multiplicamos (52) por sin 𝑘(1 − 𝑎 ) / 𝑧 y lo integramos, desde 𝑧 = −ℎ hasta 𝑧 = 0. Esto nos producirá (53):

𝐴 = sin[𝑘(1 − 𝑎 ) ⁄ 𝑧 ] (53)


40

Si usamos (53) en (50) finalmente obtenemos la representación de modo normal de 𝑝(𝑟, 𝑧),

que es:

𝑝(𝑟, 𝑧) = ∑ sin 𝑘(1 − 𝑎 ) ⁄ 𝑧 sin[𝑘(1 − 𝑎 ) ⁄ 𝑧]𝐻( )(𝑘𝑎 𝑟) (54)

La presión 𝑝(𝑟, 𝑧) puede ser calculada convenientemente de (54), especialmente cuando 𝑘𝑟

es grande. En aquel caso los modos evanescentes son insignificantes, y sólo el número

finito de modos de propagación necesario es usado. También vemos de (54) que 𝑝(𝑟, 𝑧) es

simétrico en 𝑧 y 𝑧 .

2.9 Método de la Transformada Hankel

La transformada de Fourier F(k) en dos dimensiones, de una función circularmente simétrica

f(r), es una transformada de Hankel o transformada de Fourier – Bessel en el caso de

simetría cilíndrica.

𝑓(𝑟) = ∫ 𝐹(𝑘)𝐽 (𝑘𝑟)𝑘 𝑑𝑘 (55)

𝐹(𝑘) = 2𝜋 ∫ 𝐽 (𝑘𝑟)𝑓(𝑟)𝑟𝑑𝑟 (56)

Donde 𝐽 (𝑥) es la función Bessel de orden cero.

Esta transformada es algo más complicada de manejar que la transformada de Fourier

ordinaria, puesto que se debe desarrollar la función en términos de funciones de Bessel de

primera clase y orden cero, cuyos ceros ya no están equiespaciados, como los ceros de las

funciones seno y coseno.

Las funciones de Bessel ordinarias de orden α, llamadas simplemente funciones de Bessel

de orden α son soluciones a la ecuación de Bessel (1). Existen dos formas simples de

expresar la solución general de la ecuación diferencial de Bessel con parámetro α, que

están asociadas a las funciones de Bessel ordinarias de primera y de segunda especie.

𝑥 + 𝑥 + (𝑥 − 𝛼 )𝑦 = 0 (57)


41

donde α es un número real o complejo. El caso más común es cuando α es un entero n,

aunque la solución para α no entero es similar. El número α se denomina orden de las

funciones de Bessel asociadas a dicha ecuación.

La ecuación de Bessel aparece cuando se buscan soluciones a la ecuación de Laplace o a

la ecuación de Helmholtz por el método de separación de variables en coordenadas

cilíndricas o esféricas. Por ello, las funciones de Bessel son especialmente importantes en

muchos problemas de propagación de ondas, potenciales estáticos y cualquier otro

problema descrito por las ecuaciones de Helmoltz o Laplace en simetrías cilíndricas o

esféricas. Cuando se resuelven sistemas en coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones

de Bessel de orden entero (α = n) y en problemas resueltos en coordenadas esféricas, se

obtienen funciones de Bessel de orden semientero (α = n + 1 / 2).

Por lo tanto dado que la ecuación de Bessel es una ecuación diferencial de segundo orden,

tiene dos soluciones linealmente independientes.

Otra formulación importante de las dos soluciones linealmente independientes de la

ecuación de Bessel son las funciones de Hankel 𝐻 (𝑥) y 𝐻 (𝑥) así definidas:

𝐻 (𝑥) = 𝐽 (𝑥) + 𝑖𝑌 (𝑥)

𝐻 (𝑥) = 𝐽 (𝑥) − 𝑖𝑌 (𝑥) (58)

donde i es la unidad imaginaria. Estas combinaciones lineales son también conocidas como

las funciones de Bessel de tercera especie. Las funciones de Hankel de primera y segunda

especie son usadas para representar las soluciones de ondas entrantes y salientes de una

ecuación de ondas en simetrías cilíndricas respectivamente (o viceversa dependiendo de la

convección de signo de la frecuencia).

2.9.1 Representación matemática del Método de la Transformada Hankel

Ahora solucionaremos para 𝑝(𝑟, 𝑧) de una manera distinta y obtendremos una

representación diferente de la solución. Comenzamos definiendo la transformada Hankel 𝑓(𝑠) de una de función 𝑓(𝑟) por:


42

𝑓(𝑠) = 2𝜋 ∫ 𝐽 (𝑠𝑟)𝑓(𝑟)𝑟 𝑑𝑟 (59)

Aquí 𝐽 es la función de Bessel de orden cero. La transformada inversa Hankel es:

𝑓(𝑟) = ∫ 𝐽 (𝑠𝑟) 𝑓(𝑠)𝑠 𝑑𝑠 (60)

Ahora multiplicamos de la ecuación (39) a la ecuación (42) por 2𝜋𝐽 (𝑘𝑎𝑟)𝑟 e integramos

ambos lados de cada ecuación desde 𝑟 = 0 hasta 𝑟 = ∞. Al hacer esto escribimos 𝑝 + 𝑟 𝑝 = 𝑟 (𝑟𝑝 ) en (39) y denotamos la transformada de 𝑝(𝑟, 𝑧) por 𝑝(𝑠, 𝑧).

Luego obtenemos:

2𝜋 ∫ 𝐽 (𝑘𝑎𝑟)(𝑟𝑝 ) 𝑑𝑟 + 𝑝 (𝑘𝑎, 𝑧) + 𝑘 𝑝(𝑘𝑎, 𝑧) = −𝛿(𝑧 − 𝑧 ) (61)

𝑝(𝑘𝑎, 0) = 0 (62)

𝑝 (𝑘𝑎, −ℎ) = 0 (63)

Con el fin de resolver 𝑝(𝑘𝑎, 𝑧), introducimos dos soluciones de la forma homogénea. Una de

ellas, 𝑝 , está obligada a satisfacer (62) y la otra, 𝑝 , está obligada a satisfacer (63).

Entonces podemos escribir 𝑝 en la forma:

𝑝(𝑘𝑎, 𝑧) = 𝑝 (𝑘𝑎, 𝑧 )𝑝 (𝑘𝑎, 𝑧 )/𝑊(𝑘𝑎) (64)

Aquí 𝑧 = max(𝑧, 𝑧 ) , 𝑧 = min(𝑧, 𝑧 ) y 𝑊(𝑘𝑎) es el Wronskiano de 𝑝 y 𝑝 . Encontramos

fácilmente que 𝑝 = sin[k(1 − a ) / z] , 𝑝 = cos[k(1 − a ) / (z + h)] y 𝑊(𝑘𝑎) = −𝑘(1 − 𝑎 ) / cos[kh(1 − a ) / ] .

Finalmente para obtener 𝑝 (𝑟, 𝑧) substituimos los valores de 𝑝 , 𝑝 y 𝑊 en (64) para 𝑝 (𝑟, 𝑧)

y luego usamos (60). De esta manera obtenemos:

𝑝(𝑟, 𝑧) = − ∫ 𝐽 (𝑘𝑎𝑟) ( ) ⁄ ( ) ⁄ ( )( ) ⁄ [ ( ) ⁄ ] 𝑎 𝑑𝑎 (65)


43

Esta es la representación de la transformada Hankel para campo acústico 𝑝 (𝑟, 𝑧), la cual se

puede calcular por integración numérica.

2.10 Método de Rayo

En los siguientes párrafos expondremos sus bases de manera teórica, para terminar con

una sección en la que analizaremos su forma puramente matemática.

El modelo de rayo se basa en el supuesto de que la energía sonora es transmitida a lo largo

de trayectorias (rayos). Si el medio es homogéneo, son líneas rectas, perpendiculares a los

frentes de onda y transmitidas en todas las partes del medio en donde la velocidad del

sonido sea constante, de lo contrario, si el medio es inhomogéneo las líneas son curvas de

acuerdo con las leyes de refracción de Snell, y estas también son transmitidas en todas las

partes del medio, pero ahora donde la velocidad del sonido sea variable.

Para entender lo que es un rayo sonoro, supongamos una fuente sonora omnidireccional

que vibra produciendo ondas esféricas. La superficie de la esfera cuyos puntos vibran con la

misma fase es el denominado 'frente de onda'. Si nos fijamos en la dirección en que la

energía fluye, hay que pensar en un conjunto infinito de radios que surgen del centro de la

fuente. Estos rayos son los llamados 'rayos sonoros' y son en todo momento

perpendiculares a los frentes de onda generados.

Figura 2.4 Los rayos (líneas continuas) se definen como las líneas perpendiculares a los

frentes de onda (líneas punteadas). [6]


44

Para obtener concretamente las ecuaciones de los rayos, se busca la solución de la

ecuación de Helmholtz en la forma de una serie denominada “de rayos”.

𝑝(𝑟) = 𝑒 ( ) ∑ ( )( ) (66)

Sustituyendo en la ecuación de Helmholtz (22)

Comparando los términos con 𝜔, obtenemos:

𝑂(𝜔 ) |∇𝜏| = 1𝑐 (𝑥)

𝑂(𝜔) 2∇𝜏∇𝐴 + (∇ 𝜏)𝐴 = 0 (67)

𝑂 𝜔 2∇𝜏∇𝐴 + (∇ 𝜏)𝐴 = −∇ 𝐴

La primera de estas ecuaciones es la denominada ecuación eikonal y las restantes son

denominadas ecuaciones de transporte. El hecho de considerar que el problema de

propagación se haga por el método de rayo significa que se va a solucionar solo la ecuación

eikonal, lo que es equivalente a considerar una aproximación para altas frecuencias.

Resolviendo la ecuación eikonal se obtiene el tiempo de tránsito de la onda y de los rayos, y

la respuesta de las ecuaciones de transporte da las cantidades de la onda (amplitud,

energía, etc.) en cualquier punto a lo largo de los rayos. Mientras mayor es la frecuencia

más se parece la solución de estas dos ecuaciones a la de la ecuación de onda, y esto

permite dos cosas:

1) Crear las condiciones para que la solución sea aplicable en diferentes medios

físicos.

2) Habilitar esa solución para medios muy complejos, donde no es posible obtener

la solución completa.


45

La ecuación eikonal es una ecuación de tipo diferencia parcial de primer orden que se

soluciona por el método de las características. Este método consiste en introducir una

familia de rayos que son definidos como perpendiculares a los frentes de onda (Figura 2.4).

Se encuentra luego de algunas manipulaciones algebraicas a la ecuación eikonal, que las

ecuaciones de los rayos están dadas por el sistema de ecuaciones diferencial ordinario

siguiente:

= 𝑐𝜉(𝑠), = − (68)

= 𝑐𝜁(𝑠), = − (69)

donde:

𝑟(𝑠), 𝑧(𝑠) representan la trayectoria del rayo en el plano (𝑟, 𝑧). Las ecuaciones para los

rayos se han escrito utilizando la longitud del arco 𝑠 como variable independiente. Para

efectuar los cálculos de la trayectoria del rayo en el medio es necesario hacer un pequeño

arreglo para tener 𝑧 como variable independiente. Al hacer esto, las ecuaciones anteriores

se reducen a la ecuación diferencial:

= 1 + – + (70)

En donde 𝑐 y 𝑐 representan las derivadas de 𝑐(𝑟, 𝑧) con respecto a 𝑟 y 𝑧 respectivamente.

Estas ecuaciones también permiten trazar las trayectorias del sonido para el caso en que la

velocidad del sonido dependa tanto de la profundidad como del rango. Si se considera que

la velocidad del sonido es independiente del rango, la ecuación se reduce a:

= 1 + (71)

Que puede ser integrada por métodos analíticos para obtener:

𝑟(𝑧) = 𝑟(𝑧 ) + ∫ ( ) ( ) 𝑑𝑧 (72)


46

en donde 𝑎 es una constante. Esta expresión representa la forma integral de la ley de Snell.

Las condiciones iníciales para determinar la trayectoria del rayo están dadas por la posición

de la fuente emisora y el ángulo 𝜃 con el cual sale el rayo de la fuente de sonido:

𝒓 = 𝟎 , 𝝃 = 𝐜𝐨𝐬(𝜽)𝒄 𝒛𝒇 ,

𝒛 = 𝒛𝒇, 𝜻 = 𝐬𝐢𝐧(𝜽)𝒄 𝒛𝒇 . (73)

El tipo de grafica que se obtiene como solución del anterior sistema de ecuaciones

diferenciales ordinarias, solo muestra la dirección en que la energía se propaga pero no el

campo acústico ni la perdida de la energía acústica de la señal por la transmisión en el

medio. Para obtener el campo acústico, necesitamos asociar con cada rayo una fase y una

amplitud, como lo presentaremos más adelante en la representación matemática del

método.

Dado que en la deducción de las ecuaciones de rayo se hizo la aproximación de altas

frecuencias, para saber que tan alta debe ser la frecuencia para que el modelo de rayo

tenga validez. Como regla empírica se acepta que la longitud de onda del sonido debe ser

más pequeña que cualquier escala física del problema que se soluciona tal como la

profundidad del sonido.

Existen dos clases de trazado de rayos, el llamado “problema de dos puntos” y el llamado

“por disparo” (Figura 2.4). En el primero, estamos interesados en encontrar el rayo correcto

que parte de una fuente y llega a un punto específico, método que funciona bajo el Principio

de Fermat, en el cual se asienta que el rayo correcto es aquel cuyo tiempo de tránsito es

mínimo o máximo. En el segundo nos interesa generar un conjunto de rayos que parten de

una fuente, independientemente de sus puntos finales, y este método también usa

soluciones que satisfacen el Principio de Fermat. De acuerdo a cuál de los problemas

escojamos resolver dependerá el propósito de nuestro trabajo pero, en general, lo que

queremos es poder determinar el tiempo de recorrido, la amplitud y la fase de la onda en el

punto o puntos finales, o ir viendo con qué chocan y por dónde se van los rayos.


47

Figura 2.5 Trazado de rayos. (a) Problema de dos puntos: la fuente y el receptor están fijos. El rayo

correcto es el de tiempo mínimo (principio de Fermat.) (b) Método del disparo: aquí solo la fuente esta

fija. Los modelos se construyen usualmente por medio de capas o bloques rectangulares

homogéneos (a), o de celdas triangulares o tetraedros con velocidad variable (b), en donde los rayos

se conocen. [23]

El trazado de rayos se basa en los procesos de reflexión y refracción (Figura 2.6). Estos

procesos ocurren cuando las ondas interaccionan con fronteras entre medios de velocidad

diferente. Como hemos mencionado antes, la reflexión es el rebote de las ondas en una

frontera, sin cambiar de medio, mientras que la refracción es la transmisión de la onda a

través de la frontera.

Figura 2.6 En (a) el rayo se aleja de la normal a la superficie porque 𝑉 > 𝑉 . En (b) sucede lo

contrario. [23]

En la teoría de rayos, éstos forman “tubos”, y la energía contenida en un tubo permanece

siempre dentro del mismo, es decir, no hay fugas de energía hacia los lados. Esta

suposición, que en muchos casos es prácticamente cierta, nos permite determinar la


48

amplitud de la onda en cualquier punto a lo largo de los rayos, pero nada nos dice de la

fase, y esta es una de las debilidades de la teoría de rayos que debe ser suplementada por

otros medios.

2.10.1 Representación matemática del Método de Rayo

Una expresión muy esclarecedora para 𝑝 (𝑟, 𝑧) es la representación de Rayo. Para

obtenerla, en primer lugar consideraremos la ecuación (39) en todo el espacio

tridimensional, haciendo caso omiso de las condiciones de frontera (40) y (42). La solución

general simétrica esférica de (39) es 𝑃 (𝑅) = + donde 𝐴 + 𝐵 = y 𝑅 =[𝑟 + (𝑧 − 𝑧 ) ] / denota la distancia a la fuente.

Para eliminar la onda incidente impondremos la condición de radiación

lim → 𝑅[𝑝 (𝑅) − 𝑖𝑘𝑝 (𝑅)] = 0 (74)

Esta condición produce que 𝐵 = 0 y así la solución simétrica esférica resultante de (39) en

todo el espacio será:

𝑝 (𝑅) = (75)

Podemos interpretar el exponente en (75) como 𝑖𝑘 multiplicada por la función de fase R.

Esta fase es igual a cero en la fuente y aumenta conforme la distancia a lo largo de una

línea recta desde la fuente hasta el campo puntual. Llamamos a esta línea recta un "rayo".

El factor 1 / 𝑅, que multiplica al factor exponencial, es la amplitud. La amplitud disminuye

conforme el recíproco de la raíz cuadrada del área de la sección transversal de un tubo de

rayos, y esta área aumenta con 𝑅 . En consecuencia, el producto de la raíz de la amplitud

multiplicada por el área de la sección transversal de un tubo de rayos permanece constante

a lo largo de un rayo. Esta constancia expresa el hecho de que la energía se conserva

dentro de un tubo de rayos. Estos dos hechos acerca de la onda esférica (75) -

aumento lineal de la fase a lo largo de un rayo y la conservación de la energía en un tubo de

rayos- pueden ser usados para construir la representación de rayo de otras ondas, como

veremos más adelante.


49

Ahora utilicemos estas consideraciones para solucionar el problema original de la ecuación

(39) a la ecuación (42). Comenzamos con la onda esférica 𝑃 (𝑅) dada por (75), que

satisface (39) pero no satisfacemos las condiciones de frontera. Cuando los rayos asociados

a 𝑃 golpean la superficie en 𝑧 = 0, se producen rayos reflejados determinados por la ley de

reflexión. La fase y la amplitud en cada rayo reflejado se pueden encontrar por las

consideraciones precedentes, comenzando con los valores de la fase y de la amplitud del

rayo en el punto de reflexión. Además la amplitud reflejada se debe multiplicar por un

coeficiente de reflexión igual a −1 para que la suma de las ondas incidente y las ondas

reflejadas satisfagan la condición 𝑝 = 0 en 𝑧 = 0. Asi todos los rayos reflejados parecen

venir de la imagen de la fuente en 𝑟 = 0, 𝑧 = −𝑧 , esta construcción da lugar a una onda

reflejada que es sólo la onda esférica . Aquí R’ es la distancia de la imagen de la

fuente. (Figura 2.7)

Figura 2.7 Una fuente del punto localizada en (𝑧 − 𝑧 ) emite rayos en todas las direcciones. Los

cuatro rayos demostrados aquí llegan al punto del campo (𝑟, 𝑧). Uno de longitud 𝑅 es el rayo directo;

otra de la longitud 𝑅 se refleja de la superficie superior 𝑧 = 0 y aparece venir de una fuente en (𝑧 = −𝑧 ). Un tercer rayo de longitud 𝑅 " se refleja en 𝑧 = −ℎ del fondo 𝑧 y aparece venir de una

fuente en 𝑧 = −2ℎ − 𝑧 . El cuarto se refleja primero de la tapa y entonces del fondo, y aparece venir

de una fuente en 𝑧 = −2ℎ + 𝑧 .[4]


50

Una construcción similar se aplica a los rayos reflejados del fondo. Sin embargo el

coeficiente de reflexión en este caso es +1 porque las ondas incidentes y las ondas

reflejadas deben combinarse para satisfacer 𝑝 = 0 en 𝑧 = −ℎ. Además la imagen de la

fuente está en 𝑧 = −𝑧 − 2ℎ . Así la onda reflejada del fondo es donde 𝑅" es la

distancia de la imagen de la fuente en el fondo.

La múltiple reflexión de los rayos reflejados originalmente da lugar a una secuencia infinita

de familias de rayos, que parece venir de una imagen de la fuente. Estos puntos están en 𝑧 = ±𝑧 + 2𝑛ℎ , 𝑛 = 0, ±1, … . No perdiendo de vista el número de reflexiones de la

superficie y del fondo, encontramos la expresión siguiente para el campo total 𝑝, que es la

suma de la onda incidente más las múltiples ondas reflejadas como vemos a continuación:

𝑝(𝑟, 𝑧) = ∑ (−1) [ ( ) ] ⁄[ ( ) ] ⁄ − [ ( ) ] ⁄[ ( ) ] ⁄ (76)

Ésta es la representación del rayo de la solución 𝑝.

El resultado (76) puede también ser derivado directamente considerando las sucesivas

imágenes de una fuente puntual en el fondo y en la superficie, sin considerar los rayos. Ese

método de derivación, que se limita para ciertos planos límites y medios homogéneos, se

llama Método de Imágenes. También nos referiremos a (76) como la representación de la

reflexión múltiple de 𝑝, porque cada término con 𝑛 = 0 representa una onda que se ha

reflejado un cierto número de veces en el fondo y en la superficie.

2.10.2 Aplicaciones de la Teoría de Rayo

Las aplicaciones de la teoría de rayo son numerosas y pueden ser pasivas o activas. Las activas son verdaderas linternas que usan la onda más adecuada para hacer un barrido

del medio (sonido en el mar y en tierra firme, radiación electromagnética en la atmósfera, en

el espacio, y en tierra sólida) e interpretan los ecos, mientras que las pasivas reciben la

radiación producida por otras fuentes.


51

Entre las activas, destacan el sonar o las ecosondas, que utilizan ondas acústicas en el

rango audible o en el de ultrasonido e incide en actividades de importancia económica,

como lo son la pesca de cardúmenes, el mapeo del suelo oceánico (ecosonda, Figura 2.8) o

la tristemente célebre caza de ballenas.

Figura 2.8 Sonar. La versión acuática del radar. [27]

La figura 2.9 muestra una técnica de exploración petrolera en el mar, donde las ondas se

generan en un dispositivo neumático colocado en el barco, y las reflexiones o ecos se

registran en un sistema de sensores (hidrófonos), que son arrastrados por el barco para

grabar reflexiones casi verticales.

Figura 2.9 Exploración petrolera en la plataforma oceánica. [27]


52

2.11 Las conexiones entre las representaciones

Hemos obtenido tres representaciones de la solución 𝑝 (𝑟, 𝑧) de la ecuación (39) a la

ecuación (43). Esta solución determina la presión acústica debido a una fuente puntual

armónica del punto del tiempo en un océano homogéneo de la profundidad constante con un

fondo rígido. La representación de Modos Normales (55) es la más útil cuando la distancias

de la fuente es mayor que la profundidad del océano, es decir. en las distancias 𝑟 ≫ ℎ.

Entonces solamente los modos de propagación deben ser tomados en cuenta y hay

solamente un número finito de ellos. Por otra parte la representación del rayo (76) es la más

útil cuando la fuente esta cerca, donde solamente el campo incidente y las primeras pocas

ondas reflejadas necesitan ser consideradas porque las otras ondas son mucho más débil

debido a propagación esférica. La representación de la transformada Hankel (66) es más útil

en las distancias intermedias. Por supuesto las tres representaciones son válidas para

cualquier caso, pero los resultados que arrojen no serán óptimos si se utilizan donde no

sean recomendables.

Debido a que las tres representaciones rinden la misma solución, deben todas ser iguales.

Por lo tanto debe ser posible convertir cada representación en las otras dos

representaciones. Éste es de hecho el caso, que ahora demostraremos. La demostración

nos conducirá a la comprensión de la estructura matemática de la solución, y aclarara la

relación entre el método de Rayo y el método de Modos Normales. Además se introducirán

métodos de análisis que probarán su utilidad en tratamiento de problemas más complejos.

Comencemos con la representación de la transformada Hankel (65) en la cual tendremos

que:

𝑱𝟎 = 𝟏𝟐 𝑯𝟎(𝟏) + 𝑯𝟎(𝟐)

para obtener:

𝑝(𝑟, 𝑧) = − ∫ 𝐻( )(𝑘𝑎𝑟) + 𝐻( )(𝑘𝑎𝑟) ( ) ⁄ ( ) ⁄ ( )( ) ⁄ ( ) ⁄ 𝑎 𝑑𝑎

(77)


53

Puesto que todas las funciones en el integrando de (78) son funciones analíticas de 𝒂,

podemos interpretar la integral como una integral de línea en el plano complejo-a. Por lo

tanto podemos cambiar la trayectoria de integración a un contorno 𝑐 desde el origen hasta

infinito, levemente debajo del eje real fuera de un valor real grande de a y después a lo

largo del eje. (Figura 2.9). Entonces utilizamos 𝐻( )(𝑘𝑎𝑟) = −𝐻( ) 𝑘𝑎𝑒 𝑟 para convertir la

integral que contiene 𝐻( )a lo largo del contorno 𝑐 a una integral que contiene 𝐻( )a lo largo

de 𝑒 𝑐 . Tomando en cuenta el signo menos que multiplica 𝐻( ), de la orientación de 𝑒 𝑐 , podemos escribir (77) en la forma:

𝑝(𝑟, 𝑧) = − ∫ 𝐻( )(𝑘𝑎𝑟) ( ) ⁄ ( ) ⁄ ( )( ) ⁄ ( ) ⁄ 𝑎 𝑑𝑎 (78)

Aquí 𝑐 es 𝑒 𝑐 . con la orientación invertida.

Figura 2.10 El contorno de integración 𝑐 se extiende desde el origen hasta el infinito y está

levemente debajo del eje real en el plano complejo-a. El contorno 𝑐 es 𝑒 𝑐 . con la orientación

invertida. El arco ΓR, de Radio 𝑅 conecta 𝑐 y 𝑐 para formar un contorno cerrado. [4]

Ahora cerramos el contorno 𝑐 + 𝑐 con un semicírculo ΓR, de radio R en el semiplano

superior (ver Figura 2.9). En el límite que 𝑅 → ∞, la integral (78) a lo largo de ΓR tiende a

cero, por lo que en este límite el valor de la integral no se ha modificado. Por lo tanto,

podemos reescribir (78) como:


54

𝑝(𝑟, 𝑧) = − lim → ∫ … 𝑑𝑎 (79)

El denominador del integrando en (79) desaparece para 𝑎 = ±1 y en los ceros de cos[kh(1 − a ) / ]. Estos ceros están dados por (47), y son los polos del integrando dentro

del contorno. El numerador se desvanece en una 𝑎 = ± 1, por lo que estos puntos no son

polos. A continuación, los residuos del integrando en los polos utilizados.

𝑝(𝑟, 𝑧) = 2𝜋𝑖 ∑ ( ) / / ( )/ (80)

Para simplificar (80) observamos que cos[k(1 − a ) (z + h)] = cos[k(1 − a ) z ] cos[k(1 − a ) h] − sin[k(1 − a ) z ] sin[k(1 − a ) h] y en vista de (47), cos[k(1 − a ) h] = 0 . Al utilizar estos hechos en (80), encontramos que (80) será

exactamente como (54), que es la representación de Modos Normales.

Este cálculo proporciona una derivación de la representación de Modos Normales desde la

representación de la transformada Hankel. Dado que todos los pasos en el cálculo son

reversibles, por la inversión de ellos podemos obtener la representación de la transformada

Hankel desde la representación Modos Normales. Estas dos derivaciones proporcionan las

conexiones entre la transformada Hankel y la representación de Modos Normales, llamado

"residuo" en la Figura 2.3.

A continuación vamos a mostrar cómo convertir la representación de Rayo (76) en la

representación de Modos Normales (54). Comenzamos por reescribir (76) en la forma: 𝑝(𝑟, 𝑧) = 𝑃(𝑟, 𝑧 − 𝑧 ) − 𝑃(𝑟, 𝑧 + 𝑧 ), donde:

𝑃(𝑟, 𝑧) = ∑ ( ) / [ ( ) ] / (81)

A continuación reescribir la suma en (81) mediante la fórmula de suma de Poisson

∑ 𝑓(2𝜋𝑛) = ∑ ∫ 𝑓(𝜉)𝑒 𝑑𝜉 (82)


55

Al usarlo en (81) obtendremos:

𝑃(𝑟, 𝑧) = ∑ ∫ // 𝑑𝜉 (83)

Para evaluar la integral de (83) consideremos que 𝒕 = 𝒛 − 𝝃𝒉/𝝅 y obtenemos:

𝑃(𝑟, 𝑧) = 18𝜋ℎ 𝑒 𝑒 (𝑟 + 𝑡 ) 𝑑𝑡

= ∑ 𝑒 𝐻( ) 𝑘𝑟 1 − / (84)

Ahora usaremos (84) para 𝑃 en la relación 𝑝(𝑟, 𝑧) = 𝑃(𝑟, 𝑧 − 𝑧 ) − 𝑃(𝑟, 𝑧 + 𝑧 ). Luego,

expresamos la función exponencial de 𝑧 y 𝑧 como funciones trigonométricas, obtendremos

exactamente la representación de Modos Normales (54). De esta forma podemos convertir

la representación de rayos (77) en la representación de modo normal (55). Dado que todos

los pasos en este cálculo son reversibles, también podemos obtener la representación de

Rayo desde la representación de Modos Normales, estos cálculos producen la conexión

llamada: "suma de Poisson" en la figura 2.3, entre las representaciones de Rayo y de

Modos.

Finalmente vamos a obtener la representación de rayo de la representación de transformada

Hankel (62). Para ello expresamos las funciones trigonométricas de (62) en términos de

exponenciales y las multiplicamos para obtener cuatro términos en el numerador. Después

dividimos el numerador y el denominador por exp [𝑖𝑘ℎ(1 − 𝑎 ) / ], y podemos escribir el

siguiente resultado:

p(r, z) = Q(r, z + z ) − Q(r, −[z + z + 2h]) − Q(r, z − z ) +Q(r, −[z − z + 2h])

(85)


56

Aquí 𝑄 (𝑟, 𝑧) se define por:

𝑄(𝑟, 𝑧) = ∫ 𝐽 (𝑘𝑎𝑟)𝑒 / 1 + 𝑒 / (1 − 𝑎 ) / 𝑎 𝑑𝑎 (86)

Ahora utilizamos la expansión binomial del factor 𝟏 + 𝒆 𝟐𝒊𝒌𝒉 𝟏 𝒂𝟐 𝟏/𝟐 𝟏en (86)

Intercambiamos la integración y la adición, que es válida, para obtener:

𝑄(𝑟, 𝑧) = ∑ (−1) ∫ 𝐽 (𝑘𝑎𝑟)𝑒 ( )(1 − 𝑎 ) / 𝑎 𝑑𝑎 (87)

Evaluando la integral obtenemos:

𝑄(𝑟, 𝑧) = ∑ (−1) [𝑟 + (𝑧 − 2𝑛ℎ) ] / 𝑒 ( ) / (88)

Ahora sustituimos (88) en (85) y observamos que los dos primeros términos en (85) se

combinan para dar el último término en (76), mientras que los segundos dos términos en

(85) se combinan para dar el primer termino de (76). Así, (76) sigue de (85).

Este cálculo demuestra cómo la representación del rayo (76) se puede obtener de la

representación de la transformada Hankel (65). Puesto que todos los pasos son reversibles,

esto también muestra cómo la representación de la transformada Hankel sigue de la

representación de rayo. Así este cálculo produce la conexión entre estas dos

representaciones, que es llamada: “expansión binomial” en la figura 2.2. Esto termina la

demostración de todas las conexiones entre las representaciones indicadas en el figura 2.2.

Vamos concluir este capítulo estableciendo algunas diferencias entre el método de Rayo, el

método de Modos Normales y el método de Imágenes.

La Tabla 2.1 muestra las principales diferencias entre el método de Modos Normales y el

Método de Rayo.


57

Tabla 2.1 Comparativa del método de Modos Normales con el método de Rayo [3]

Modos Normales

Rayo

Solución teórica completa

Sin solución para el problema de

Reflexión

Presentación poco intuitiva

Presentación visualmente

interpretable

De difícil aplicación para rebotes

en superficie o fondo

Fácil aplicación para reflejos

Válido para todas las frecuencias

Válido solo a altas frecuencias

Dependiente de la fuente

Independiente de la fuente

Solución matemática compleja

Solución matemática sencilla

La principal diferencia entre el método de imágenes y el método de modos normales es el

formalismo matemático; el método de imágenes es útil si la velocidad es constante mientras

que la teoría de modos normales se puede adecuar para tratar con perfiles dependientes de

la profundidad particularmente aquellos que llevan al confinamiento del sonido. La máxima

utilidad que ha tenido esta última teoría (en acústica subacuática) está al tratar con la capa

mezclada, canal SOPAR, aguas árticas y otros ejemplos en propagación en ductos.

En el siguiente capítulo como ya se ha señalado, vamos a explicar ampliamente el Método

de Modos Normales con el desarrollo de su metodología, para así poder contar con las

bases necesarias que nos permitan, en el capitulo cuatro, analizar la Ecuación de

Dispersión, punto central de nuestra investigación.

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ss””

““Método de Modos Normales”” CAPITULO 3

59

3.1 Introducción

El método de Modos Normales calcula la integral de la ecuación de onda o la expande en

función de un conjunto finito de "modos normales". Cada uno de estos modos supone que la

solución de la ecuación es el producto de una función dependiente de la profundidad y de

una función dependiente del alcance. Es una manera apropiada para calcular la propagación

de ondas acústicas producidas por fuentes de bajas frecuencias bajo el agua y este método

tiene su mejor eficiencia cuando el medio se considera como estratificado horizontalmente.

Las condiciones en los límites: superficie y fondo, indican que esta ecuación tendrá

soluciones discretas (números de onda discretos), que corresponden a los números de onda

para los que aparecen ondas estacionarias verticales. Dadas la estructura de la velocidad

del sonido y la densidad en la superficie y fondo marinos es posible resolver numéricamente

la ecuación de onda vertical, proporcionando el número total de modos, los valores propios o

números de onda horizontales y las funciones propias o soluciones de los modos. Se

requiere una normalización de los modos: sí un modo se multiplica por sí mismo y el

resultado se integra para todas las profundidades, el resultado es la unidad. Este es el

proceso de normalización de los modos y el por qué se denomina este modelo, Modos

Normales.

En el caso de entornos dependientes del ‘alcance’ (distancia), la teoría de los modos

normales puede emplearse, con más facilidad, acudiendo a la aproximación adiabática. Esta

aproximación supone que la energía sonora que acompaña a un determinado modo cuando

sale de la fuente, solo desaparece de este modo debido a pérdidas en la superficie y en el

fondo. La energía no ‘salta’ de un modo a otro. Este tipo de transferencia de energía,

acoplamiento, sólo tiene lugar cuando el entorno cambia con la distancia, aunque este

cambio es despreciable si el ritmo del cambio de los parámetros que interesan, es pequeño.

Definir el máximo valor de ese ritmo de cambio para que el acoplamiento entre modos siga

siendo despreciable, no tiene una respuesta fácil y depende principalmente de la frecuencia.

Por tanto, la aproximación adiabática en un entorno preciso será válida a una frecuencia

pero no a otra.

Los modos normales tienen ciertas ventajas: informan de datos más allá de los valores de la

presión total del campo acústico, permiten una descripción del fondo en función de sus

parámetros geoacústicos, sin limitarse a unas simples pérdidas por reflexión en función del


60

ángulo, el modelo es válido a cualquier frecuencia estando sólo limitado por el dispositivo de

cálculo y memoria que lo soporta, una vez que los modos se han calculado, pueden ser

empleados para repetir cálculos de pérdidas por propagación con configuraciones de fuente

y receptor distintas, y los efectos de las ondas transversales pueden ser incluidos en el

cálculo. Por otro lado, la mayor dificultad que arrastra este modelo resulta de que sólo puede

predecir los efectos presentes en los modos atrapados o sea, los que se propagan con

ángulos inferiores al crítico sobre el fondo marino; esto representa una gran dificultad en el

caso de aguas muy poco profundas pues los errores aumentan en la estimación del campo

acústico a distancias muy cortas en las que la penetración en el fondo puede ser muy

complicada, para esto existen modelos modificados (‘mode-based models’) que consiguen,

parcialmente, evitar estos problemas.

El modelo físico que impone el modelo de Modos Normales es la suposición de que tanto la

superficie como el fondo sean perfectamente planos y que el medio de propagación sea

homogéneo. Además, la búsqueda de soluciones exactas a la ecuación de ondas es

matemáticamente compleja y difícil de interpretar

3.2 Metodología

La metodología del método consiste primero en proponer las ecuaciones de onda

correspondientes a cada medio y después aplicar las condiciones de frontera para así poder

determinar la ecuación de dispersión, la cual nos dará todos los valores de los modos que

se propagan a través de la guía de onda. Después se procede a encontrar la solución en

cada capa y posteriormente calcular la función de Green, la cual lleva la máxima información

del fenómeno que queremos analizar para finalmente obtener una ecuación para la

predicción del campo acústico.

3.2.1 Planteamiento del problema

Para encontrar los modos propagados, primero es necesario plantear el problema, el cual

está enfocado al número de medios o capas. En este caso el problema será descrito para

dos medios, es decir, agua y fondo oceánico. Además, se considera que la guía de ondas

estará limitada por H, donde el valor de cero será la superficie oceánica. También se toma

en cuent

figura 3.1

Figura 3.

Ahora se

frontera d

3.2

Para dete

las capas

garantiza

Para el m − 𝛼∴ 𝑧 (𝑧)Para el m − 𝛼(𝐷 − 𝐵)∴ 𝑧 (𝑧)

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1.

1 Estructura

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de cada med

2.2 Deter

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s y así enco

a exactitud e

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− 𝑧)𝑧 (𝑧) = 0= 𝑐 𝑒√ +

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dio o capa.

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en este méto

(𝑧) = 0, (+ 𝑐 𝑒 √ (𝑧) = 0 ⟹ 𝐷 = ±√+ 𝑐 𝑒 √ 𝐾

a velocidad

de ondas m

ecuación de

de la Ecua

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𝐷 − 𝐴)𝑧

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61

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CAPITULO 3

muestra en

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n cada una d

ación de ond

(89

(90

3

la

ón

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la

de

da

9)

0)


62

Ahora se deben satisfacer las cuatro condiciones en la frontera en las soluciones de cada

capa:

Condición de frontera 1: 𝑧 (0) = 0 𝑧 (0) = 𝑐 + 𝑐 = 0 ∴ 𝑐 = −𝑐 (91)

Condición de frontera 2: 𝑧 (𝐻) = 𝑧 (𝐻) 𝑐 𝑒√ + 𝑐 𝑒 √ = 𝑐 𝑒√ + 𝑐 𝑒 √ (92)

Condición de frontera 3: 1𝜌 𝑑𝑧 (𝐻)𝑑𝑧 = 1𝜌 𝑑𝑧 (𝐻)𝑑𝑧 (√𝐴𝑐 𝑒√ − √𝐴𝑐 𝑒 √ ) = (√𝐵𝑐 𝑒√ − √𝐵𝑐 𝑒 √ ) (93)

Condición de frontera 4: lim→ 𝑧 (𝑧) = 0 𝑧 (∞) = 𝑐 𝑒 ( ) + 𝑐 𝑒 ( ) = 0 (94)

C3 es cero, ya que el campo en el infinito no puede ser creciente.

Manipulando las ecuaciones y aplicando las identidades de Euler, se encuentra la ecuación

de dispersión:

𝒕𝒂𝒏 𝜶𝒏𝟐 − 𝝎𝒄𝟏 𝟐 𝑯 = − 𝝆𝟐𝝆𝟏 ⎝⎜⎛ 𝝎𝒄𝟏 𝟐 𝜶𝒏𝟐

𝜶𝒏𝟐 𝝎𝒄𝟐 𝟐⎠⎟⎞

(95)


63

3.2.3 Análisis de la ecuación de dispersión mediante modos normales

Este análisis se realiza con la ecuación de dispersión encontrada anteriormente y se

analizaran dos situaciones:

1) Donde la profundidad del transmisor será de 200 m

2) Donde la profundidad del transmisor será de 500 m

La frecuencia de transmisión F en ambos casos será de 60 Hz.

Para el primer caso se tendrán los siguientes datos, los cuales se modelaron en Matlab

Profundidad (H): 200 m

Frecuencia (F): 60 Hz

Modos de propagación: 6

Obteniendo los seis valores de los modos de propagación desde hasta 𝛼 = 0.2526.

Esto mediante el método grafico de la ecuación de dispersión, el cual se explicará en el

siguiente capítulo.

Figura 3.2 Modos Normales para f=60Hz y H=200m. [2]


64

Para el segundo caso se tendrán los siguientes datos, los cuales también se modelaron en

Matlab.

Profundidad (H): 400 m

Frecuencia (F): 60 Hz

Modos de propagación: 13

Obteniendo los trece valores de los modos de propagación desde hasta

.

Figura 3.3 Modos Normales para f=60Hz y H=400m. [2]

A continuación se muestra una tabla en la cual se puede apreciar la dependencia de la

cantidad de modos propagados con la frecuencia y la profundidad de la guía de ondas.

Tabla 3.1 Dependencia del numero de modos normales 𝛼 en función de la profundidad y la

frecuencia. [2]

Profundidad (H)

Modos/ F= 60 Hz

Modos/ F= 80 Hz

Modo/ F= 100 Hz

200 m 6 8 10

Rango de

0.237395- 0.252594

0.315769- 0.337026

0.394119- 0.421423

500 m 21 28 34

Rango de

0.211705- 0.247943

0.281739- 0.33017

0.351762- 0.413321


65

3.2.4 Solución en cada capa

La solución en la capa de agua es:

𝑧 = sin − 𝛼 𝑧 (96)

La solución en el fondo es:

𝑧 (𝑧) = 𝐻 ∗ 𝑒 𝑠𝑖𝑛 − 𝛼 𝑒 (97)

3.2.5 Determinación del campo acústico

Una vez que se encuentra la ecuación de dispersión, se pasa a resolver la función de

Green. Ahora encontraremos una expresión para la presión acústica 𝑃(𝑡, 𝑥, 𝑧) que satisfaga

la ecuación de onda sobre 𝑅 como:

( ) − ∆ − 𝜌(𝑧) 𝜌 (𝑧) 𝑃(𝑡, 𝑥, 𝑧) = 𝐹(𝑡, 𝑥, 𝑧) (98)

Donde:

Δ = + es el Laplaciano con respecto a las variables (𝑥 , 𝑥 ) ∈ 𝑅

𝐹(𝑡, 𝑥, 𝑧) = 𝐴(𝑡)𝑒 𝛿(𝑥)𝛿(𝑧 − 𝑧 ) es la fuente con amplitud 𝐴(𝑡) y frecuencia 𝜔 y 𝛿(𝑥)𝛿(𝑧 − 𝑧 )es la ubicación de tal transmision.

Las condiciones de frontera para (98) son:

[𝑃(𝑡, 𝑥, 𝑧)] ± = ( ) ( , , ) ± = 0

[𝑃(𝑡, 𝑥, 𝑧)] ± = ( ) ( , , ) ± = 0 (99)


66

Aplicando la transformada de Fourier a (98) obtenemos la ecuación no homogénea de

Helmholtz: Δ𝑃(𝑤, 𝑥, 𝑧) + ( ) 𝑃(𝑤, 𝑥, 𝑧) = −𝐹(𝑤, 𝑥, 𝑧) (100)

Donde:

𝑃(𝑤, 𝑥, 𝑧) = ∫ 𝑃(𝑡, 𝑥, 𝑧)𝑒 𝑑𝑡 (101)

Ahora construiremos la función de Green para la guía de onda:

Δ𝐺 + ( ) 𝐺 = −𝛿(𝑥)𝛿(𝑧 − 𝑧 ) (102)

Y podremos expresar:

𝑃(𝑤, 𝑥, 𝑧) = 𝐴(𝑡)𝐺(𝑤, 𝑥, 𝑧, 𝑧 )𝑒 ( ) 𝑑𝑡

Aplicando la transformada inversa de Fourier obtenemos el campo acústico:

𝑃(𝑡, 𝑥, 𝑧) = 12𝜋 𝑒 𝑑𝑤 𝐴(𝜏´)𝑒 ( ) ´ × 𝐺(𝑤, 𝑥, 𝑧, 𝑧 )𝑑𝜏´ Por lo tanto el problema se reduce a encontrar la función de Green correspondiente al

problema estacionario a partir de la siguiente ecuación:

𝛥 + 𝐿 𝑥, 𝑧, 𝐺(𝑤, 𝑥, 𝑧) = −𝛿(𝑥)𝛿(𝑧 − 𝑧 ) (103)

El operador𝐿 𝑥, 𝑧, se define como:

𝐿 𝑥, 𝑧, 𝜕𝜕𝑧 𝑢(𝑥, 𝑧) = 𝜌(𝑧) 𝜕𝜕𝑧 𝜌 (𝑧) 𝜕𝜕𝑧 + 𝑤𝑐 (𝑧) 𝑢(𝑥, 𝑧)


67

Aplicando la transformada de Fourier con respecto a la variable x obtenemos:

−|𝜉| + 𝐿 𝑥, 𝑧, 𝐺(𝑤, |𝜉|, 𝑧) = − 𝛿(𝑧 − 𝑧 ) (104)

donde:

𝐺(𝑤, |𝜉|, 𝑧) = ∬ 𝐺(𝑤, 𝑥, 𝑧)𝑒 ( , )𝑑𝑥 (105)

Por lo tanto 𝐺(𝑤, |𝜉|, 𝑧) es la solución de (104) que satisface las condiciones:

𝐺(𝑤, |𝜉|, 𝑧) ± = ( ) ( ,| |, ) ± = 0 (106)

Y además la definición de la función de Green es:

𝐺(𝑤, |𝜉|, 𝑧, 𝑧 ) = 𝑌 (𝑤, |𝜉|, 𝑧 )𝑌 (𝑤, |𝜉|, 𝑧 )𝑊(𝑤, |𝜉|, 𝑧)

Donde 𝑌 (𝑤, |𝜉|, 𝑧 ), 𝑌 (𝑤, |𝜉|, 𝑧 ) son soluciones de la ecuación:

−|𝜉| + 𝐿 𝑥, 𝑧, 𝜕𝜕𝑧 𝑌(𝑤, |𝜉|, 𝑧) = 0

Ahora podemos escribir la función de Green en coordenadas polares:

𝐺(𝑤, 𝑥, 𝑧, 𝑧 ) = ∫ ( , , ) ( , , )( , , ) 𝛼𝐻( )(𝛼𝑟)𝑑𝛼 (107)

Se puede desarrollar esta última integral en términos de una sumatoria:

𝐺(𝑤, 𝑥, 𝑧, 𝑧 ) = 𝐺 (𝑤, 𝑥, 𝑧, 𝑧 )


68

donde:

𝐺 (𝑤, 𝑥, 𝑧, 𝑧 ) = 2𝜋𝑖 ∙ 𝑟𝑒𝑠 𝑌 (𝑤, 𝛼, 𝑧 )𝑌 (𝑤, 𝛼, 𝑧 )𝑊(𝑧, 𝑤, 𝛼) 𝛼𝐻( )(𝛼𝑟)

Los 𝛼 son las raíces de la ecuación de dispersión y 𝜑 𝑤, 𝛼 , 𝑧 la solución del problema

espectral:

𝐿 𝑤, 𝑧, 𝜕𝜕𝑧 𝜑 𝑤, 𝛼 , 𝑧 = 𝛼 𝜑 𝑤, 𝛼 , 𝑧 , 𝑧 ∈ 𝑅

Finalmente se obtiene:

𝐺 (𝑤, 𝑥, 𝑧, 𝑧 ) = , , , ,∫ , ,( ) (108)

donde:

𝐻( ) 𝛼 𝑟 = 2𝜋𝛼𝑟 𝑒 ( ) 1 + 𝑂( 1𝑎 )

es la asintótica de la función de Hankel para 𝑟 → ∞

La contribución del modo normal en el campo acústico es:

𝐺(𝑤, 𝑥, 𝑧, 𝑧 ) = ∑ , , , ,∫ , ,( ) 𝑒 ( ) 1 + 𝑂( )

Donde z es la ubicación del receptor y 𝑧 es la posición de la fuente, por otro lado cada

modo normal j=1 hasta N corresponde a una colección de rayos que viajan en la guía de

onda los cuales contribuyen en la determinación total del campo acústico.


69

En el siguiente capítulo desarrollaremos a detalle la ecuación de dispersión que, como

mencionamos previamente, es la ecuación más importante del método de modos normales y

posteriormente presentaremos un mayor número de resultados del cálculo de los modos, los

cuales finalmente darán pie a la conclusión de nuestra investigación.

CC

CCAA““AA

EE

DD

AAPPAAnnáá

EEccuu

DDiiss

PPÍÍTTáálliiss

uuaacc

ssppee

TTUUssiiss

cciióó

eerrssi

UULLOddee

nn dd

iióónn

OO ee llaa

ddee

nn””

44aa

““Análisis de la Ecuación de Dispersión”” CAPITULO 4

71

4.1 Pasos para la determinación de la Ecuación de Dispersión

Del Capítulo 3 se tienen que retomar las condiciones de frontera para, a continuación poder

realizar el desarrollo de la ecuación de dispersión.

Condición de frontera 1: 𝑧 (0) = 0, 𝑧 (0) = 𝑐 + 𝑐 = 0, (93) ∴ 𝑐 = −𝑐 .

Condición de frontera 2: 𝑧 (𝐻) = 𝑧 (𝐻),

𝑐 𝑒√ + 𝑐 𝑒 √ = 𝑐 𝑒√ + 𝑐 𝑒 √ (94)

Condición de frontera 3: 1𝜌 𝑑𝑧 (𝐻)𝑑𝑧 = 1𝜌 𝑑𝑧 (𝐻)𝑑𝑧

(√𝐴𝑐 𝑒√ − √𝐴𝑐 𝑒 √ ) = (√𝐵𝑐 𝑒√ − √𝐵𝑐 𝑒 √ ) (95)

Condición de frontera 4: lim→ 𝑧 (𝑧) = 0

𝑧 (∞) = 𝑐 𝑒 ( ) + 𝑐 𝑒 ( ) = 0 (96)

C3 es cero, ya que el campo en el infinito no puede ser creciente


72

Entonces se sustituye el valor de 𝐶 en la ecuación (95): 1𝜌 (√𝐴𝑐 𝑒√ − √𝐴𝑐 𝑒 √ ) = 1𝜌 (−√𝐵𝑐 𝑒 √ )

(√𝐴𝑐 𝑒√ − √𝐴𝑐 𝑒 √ ) = (−√𝐵𝑐 𝑒 √ ) (112)

La ecuación (93) se sustituye en la ecuación (112) (√𝐴(−𝑐 )𝑒√ − √𝐴𝑐 𝑒 √ ) = (−√𝐵𝑐 𝑒 √ ) (113)

De la ecuación (94), utilizando (93) y𝐶 = 0 se despeja 𝐶

𝐶 = √ √√ (114)

Sustituyendo ecuación (114) en (113)

( )[ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−−=−− −

−

−− HB

HB

HAHAHAHA e

eeecBecAecA 2

222

1

11ρρ

(115)

Si multiplicamos a (115) por: 22 = 2𝑖2𝑖

Tenemos:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +−−

−−

ieeBieeA HAHAHAHA

2)(2

22

21 ρρ

Haciendo la consideración que:

𝐴 = 𝛼 − 𝜔𝑐 𝑖 𝐵 = 𝛼 − 𝜔𝑐 𝑖


73

(− 𝛼 − 𝑖 ( )) =( 𝛼 − 𝑖 ( )

Aplicando las propiedades de cos 𝑎 = y 𝑠𝑒𝑛𝑎 = a (116), obtenemos la

Ecuación de Dispersión (97):

(97)

Debido a que los “modos” no pueden ser despejados de manera tradicional de la ecuación

de dispersión, se utiliza el programa de Matlab para poder encontrar los modos de manera

indirecta mediante el método grafico de la ecuación (97).

Cálculos de Modos Normales

La ecuación de dispersión (97) fue factorizada de la siguiente manera para que, mediante el

método grafico, pueda modelarse posteriormente dicha ecuación en Matlab y finalmente

encontrar los valores de los diferentes modos. tan 𝑦 = −

donde : 𝑦 = − 𝛼 𝐻, 𝑏 = , 𝑎 = 𝜔𝐻 − .

Por lo tanto, los modos normales estarían dados por:

𝛼 = 𝜔𝑐 − 𝑦𝐻

𝒕𝒂𝒏 𝜶𝒏𝟐 − 𝝎𝒄𝟏 𝟐 𝑯 = − 𝝆𝟐𝝆𝟏 ⎝⎛𝝎𝒄𝟏 𝟐 − 𝜶𝒏𝟐𝜶𝒏𝟐 − 𝝎𝒄𝟐 𝟐⎠⎞


74

4.2 Dependencia de los modos normales con la frecuencia y la altura de la guía de onda.

La cantidad de modos normales está en función de cuatros parámetros: la velocidad del

sonido, la densidad del medio, la frecuencia de operación y la altura de la guía de onda,

donde los dos primeros parámetros dependen directamente de los últimos. Por lo

anteriormente descrito, podemos decir que el número de modos dependerá principalmente

de la frecuencia de operación y de la altura de la guía.

Empezaremos por explicar cómo interviene la frecuencia en el número de modos normales.

Para ello recordaremos que una señal de baja frecuencia, tendrá una longitud de onda

grande y viceversa, si la señal tiene frecuencia alta su longitud de onda será pequeña.

Con lo anteriormente descrito podemos decir que una señal de baja frecuencia tendrá

menos reflexiones en la guía de onda, pues tendrá un menor número de oscilaciones, y una

señal de alta frecuencia, por tener una longitud de onda más pequeña tendrá más

reflexiones en la guía de onda y mas oscilaciones, esto lo podemos observar en la siguiente

figura.

Figura 4.1 Reflexiones de la señal en la guía de onda de acuerdo a su frecuencia. (a) bajas

frecuencias. (b) altas frecuencias


75

Como podemos ver en la figura 4.1 apartado (a), la señal tiene menos reflexiones en la

superficie y el fondo (guía de onda), mientras que en el apartado (b) la señal con longitud de

onda más pequeña sufre de más reflexiones, por lo tanto llegarán más rayos al lado del

receptor, es por ello que es muy importante el parámetro de la frecuencia para la obtención

del número de modos recibidos. Entonces se puede concluir que, a mayor frecuencia mayor

será el número de modos normales generados. Como ya mencionamos, la frecuencia no es

el único parámetro que interviene en el número de modos, también el parámetro profundidad

o altura de la guía de onda será un factor muy importante.

En la figura 4.2 podemos observar que entre mayor sea la altura de la guía de onda, mayor

será la posibilidad de que se disperse la misma señal y se produzcan más rayos, esto

debido a que en una profundidad grande, existe más espacio y oportunidad de dispersión y

por ende más reflexiones de la onda. Por lo tanto, el hecho de tener una guía de onda

pequeña hará que no se pueda dar la reflexión de la superficie con el fondo de la guía, por lo

que se refractara la onda y se perderán rayos provenientes del transmisor, entonces solo

llegaran al receptor los rayos que fueron directos y alguno que hagan reflexión con la

superficie o el fondo.

Figura 4.2. Variación de la altura de la guía de onda. A) Guía de onda grande. B) Guía de onda

pequeña.


76

Cabe destacar que los valores de velocidad del sonido (𝑐) en el mar dependerán de la

profundidad para cada caso y se pueden obtener de tablas de velocidad del sonido

promedio en el mar a diferentes profundidades. De igual manera tomaremos valores de

densidad (𝜌) de tablas que al igual que la velocidad dependerá de la profundidad en que se

esté considerando la guía de onda.

A continuación mostramos los resultados del cálculo de los modos normales realizados con

la ayuda del programa de Matlab, los cuales fueron hechos para 4 diferentes casos, en

éstos se varía tanto la frecuencia como la altura de la guía de onda, con el fin de poder

observar claramente la dependencia del número de modos con los dos parámetros antes

mencionados.

Enseguida se analizan estos 4 casos, en los que las frecuencias de operación serán de 60

Hz, 80 Hz y 100 Hz:

A) f=60 Hz –> H=200m, 300m y 400m

B) f=80 Hz –> H=200m, 300m y 400m

C) f=100 Hz –> H=200m, 300m y 400m

D) H=1000m ->f=60 Hz, 80 Hz y 100 Hz

4.2.1 CASO A

Para el primer caso se tendrán los siguientes datos, los cuales como ya se mencionó fueron

modelados en Matlab.

Cuando:

f=60 Hz

H=200 m

c1=1490 m/s

c2=1600 m/s 𝜌 1=900 kg/m3 𝜌 2=1300 kg/m3


77

Mediante el método grafico de la ecuación de dispersión previamente explicado podemos

obtener la siguiente grafica (figura 4.3), la cual nos permite obtener el valor de 𝑦 a través de

las intersecciones entre ambas curvas, para posteriormente sustituirlo en la formula que nos

permitirá obtener los valores de los modos. Este método se aplica para todas la graficas

siguientes que obtendremos del programa.

Figura 4.3 Modos Normales para f=60Hz y H=200m.

Modos Normales

𝛼 𝑠𝑜𝑛 6 𝑚𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 𝛼 ⎩⎪⎨⎪⎧𝛼 = 0.2374𝛼 = 0.2422𝛼 = 0.2462𝛼 = 0.2492𝛼 = 0.2513𝛼 = 0.2526

La figura 4.3 nos muestra los modos obtenidos a una f= 60 Hz y a una H= 200 m. Este es el

caso que presenta los valores más bajos de frecuencia y altura de la guía de onda, y

podemos observar que solo se obtienen 6 modos. En la siguientes graficas se podrá notar

claramente el aumento en el número de modos conforme estos dos parámetros también se

incrementan.

Cuando:

f=60 Hz

H=300 m

c1=1520 m/s

c2=1650 m/s 𝜌 1=910 kg/m3 𝜌 2=1320 kg/m3


78

Aplicando el método grafico obtenemos la grafica de la figura 4.4.


Modos Normales

𝛼 𝑠𝑜𝑛 9 𝑚𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 𝛼⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧

𝛼 = 0.2141𝛼 = 0.2227𝛼 = 0.2303𝛼 = 0.2366𝛼 = 0.2416𝛼 = 0.2458𝛼 = 0.2490𝛼 = 0.2512𝛼 = 0.2526

La figura 4.4 nos muestra los modos obtenidos a una f=60 Hz y una H=300 m. Podemos

observar cómo se incrementa el número de modos respecto a la situación anterior, ahora

aparecen 9 modos, esto por haber aumentado el parámetro de la altura de la guía de onda.

Cuando:

f=60 Hz

H=400 m

c1=1550 m/s

c2=1700 m/s 𝜌 1=920 kg/m3 𝜌 2=1330 kg/m3



79


Modos Normales

𝛼 𝑠𝑜𝑛 13 𝑚𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 𝛼

⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧ 𝛼 = 0.1588𝛼 = 0.1757𝛼 = 0.1901𝛼 = 0.2023𝛼 = 0.2128𝛼 = 0.2219𝛼 = 0.2297𝛼 = 0.2361𝛼 = 0.2413𝛼 = 0.2456𝛼 = 0.2489𝛼 = 0.2512𝛼 = 0.2526

La figura 4.5 nos muestra los modos obtenidos a una f=60 Hz y una H=400 m y podemos

observar cómo se incrementa nuevamente el número de modos, ahora de 9 a 13 modos por

haber vuelto a aumentado el parámetro de la altura de la guía de onda. Este

comportamiento se da debido a que conforme se aumente la guía de onda se aumenta el

espacio que tienen los rayos para reflejarse y por lo tanto hacer más reflexiones, dando

lugar a un mayor número de modos generados y posteriormente detectados por el receptor.

4.2.2 CASO B

Para el segundo caso se trabajara con los siguientes datos:


80

Cuando:

f=80 Hz

H=200 m

c1=1490 m/s

c2=1600 m/s 𝜌 1=900 kg/m3 𝜌 2=1300 kg/m3



Modos Normales

𝛼 𝑠𝑜𝑛 8 𝑚𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 𝛼⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧𝛼 = 0.2234𝛼 = 0.2305𝛼 = 0.2368𝛼 = 0.2419𝛼 = 0.2459𝛼 = 0.2491𝛼 = 0.2513𝛼 = 0.2526

La figura 4.6 nos muestra los modos obtenidos a una f=80 Hz y una H=200m y podemos

observar cómo se incrementa el número de modos comparado con el grafico de la figura del

primer caso, esto es, pasó de obtenerse 6 modos a obtenerse 8 modos por solo haber

aumentado la frecuencia de la señal.


81

Cuando:

f=80 Hz

H=300 m

c1=1520 m/s

c2=1650 m/s 𝜌 1=910 kg/m3 𝜌 2=1320 kg/m3



Modos Normales

𝛼 𝑠𝑜𝑛 12 𝑚𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 𝛼⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧ 𝛼 = 0.1758𝛼 = 0.1901𝛼 = 0.2026𝛼 = 0.2130𝛼 = 0.2217𝛼 = 0.2300𝛼 = 0.2359𝛼 = 0.2415𝛼 = 0.2458𝛼 = 0.2489𝛼 = 0.2512𝛼 = 0.2526

La figura 4.7 nos muestra los modos obtenidos a una f=80 Hz y una H=300m y podemos

observar cómo vuelve a incrementarse el número de modos comparado con la primer figura

de este caso, y pasar de obtener 8 modos a obtener 12, esto por haber aumentado la altura

de la guía de onda.


82

Cuando:

f=80 Hz

H=400 m

c1=1550 m/s

c2=1700 m/s 𝜌 1=920 kg/m3 𝜌 2=1330 kg/m3



Modos Normales


⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧ 𝛼 = 0.0𝛼 = 0.0653𝛼 = 0.1066𝛼 = 0.1346𝛼 = 0.1561𝛼 = 0.1739𝛼 = 0.1887𝛼 = 0.2011𝛼 = 0.2121𝛼 = 0.2215𝛼 = 0.2293𝛼 = 0.2357𝛼 = 0.2412𝛼 = 0.2455𝛼 = 0.2488𝛼 = 0.2511𝛼 = 0.2526


83


observar cómo vuelve a incrementarse el número de modos, ahora de 12 a 21, esto por

seguir aumentado la guía de onda. Haciendo una comparación del primer caso (A) con este

(B), es de esperarse que haya un mayor número de modos con el aumento de la frecuencia

que con el aumento de la altura de la guía de onda, debido a que si la frecuencia aumenta,

los rayos viajan más juntos y se reflejan un mayor número de veces provocando más

reflexiones y más modos recibidos.

4.2.3 CASO C

Para este caso se tendrán los siguientes datos, los cuales también fueron modelados en

Matlab, y es de esperarse que se obtengan mas modos que en los casos anteriores, ya que

la frecuencia de operación es mayor.

Cuando:

f=100 Hz

H=200 m

c1=1490 m/s

c2=1600 m/s 𝜌 1=900 kg/m3 𝜌 2=1300 kg/m3




84

Modos Normales

𝛼 𝑠𝑜𝑛 10 𝑚𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 𝛼⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧ 𝛼 = 0.2038𝛼 = 0.2138𝛼 = 0.2226𝛼 = 0.2391𝛼 = 0.2364𝛼 = 0.2415𝛼 = 0.2457𝛼 = 0.2489𝛼 = 0.2512𝛼 = 0.2526

En este último caso vamos a poder corroborar el análisis realizado para las graficas

anteriores, la figura 4.9 nos muestra los modos obtenidos a una f=100 Hz y una H=200 m y

podemos observar cómo se incrementa el número de modos, de 8 a 10, respecto al caso

anterior por haber aumentado la frecuencia.

Cuando:

f=100 Hz

H=300 m

c1=1520 m/s

c2=1650 m/s 𝜌 1=910 kg/m3 𝜌 2=1320 kg/m3




85

Modos Normales


⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧ 𝛼 = 0.1078𝛼 = 0.1352𝛼 = 0.1568𝛼 = 0.1744𝛼 = 0.1892𝛼 = 0.2017𝛼 = 0.2124𝛼 = 0.2215𝛼 = 0.2293𝛼 = 0.2359𝛼 = 0.2413𝛼 = 0.2455𝛼 = 0.2488𝛼 = 0.2512𝛼 = 0.2525

La figura 4.10 nos muestra los modos obtenidos a una f=100Hz y una H=300m y podemos

observar cómo vuelve a incrementarse el número de modos, de 12 a 15, respecto al caso

anterior por haber aumentado ahora la altura de la guía de onda. Es evidente que al

aumentar tanto la frecuencia como la altura de la guía de onda se aumenta

significativamente el número de modos.

Cuando:

f=100 Hz c1=1550 m/s c2=1700 m/s

H=400 m 𝜌 1=920 kg/m3 𝜌 2=1330 kg/m3




86

Modos Normales


⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧ 𝛼 ≅ 0𝛼 ≅ 0𝛼 ≅ 0𝛼 ≅ 0𝛼 ≅ 0𝛼 = 0.0577𝛼 = 0.1032𝛼 = 0.1326𝛼 = 0.1550𝛼 = 0.1732𝛼 = 0.1882𝛼 = 0.2008𝛼 = 0.2117𝛼 = 0.2211𝛼 = 0.2292𝛼 = 0.2356𝛼 = 0.2411𝛼 = 0.2454𝛼 = 0.2488𝛼 = 0.2511𝛼 = 0.2525

Finalmente la figura 4.9 nos muestra los modos obtenidos a una f=100 Hz y una H=400m,

observamos cómo vuelve a incrementarse significativamente el número de modos, de 17 a

21. Este caso nos arroja el mayor número de modos, pues es el que presenta los valores

más altos en frecuencia y altura de guía de onda. Estos resultados refuerzan el análisis

realizado demostrando claramente la dependencia del número de modos normales con la

frecuencia y la altura de la guía de onda.

4.2.4 CASO D

El presente caso es muy importante, ya que H=1000 m es un caso estándar en los mares,

es decir, las guías de onda reales están alrededor de los 1000 m, por lo que analizaremos

qué es lo que sucede dejando H fija y variando solo la frecuencia.

Cuando:

f=60 Hz c1=1560 m/s

H=1000 m 𝜌 1=960 kg/m3

c2=1750 m/s 𝜌 2=1410 kg/m3


87

Figura 4.12 Modos Normales para f=60Hz y H=1000m

Modos Normales


⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧ 𝛼 ≅ 0𝛼 ≅ 0𝛼 ≅ 0𝛼 ≅ 0𝛼 ≅ 0𝛼 = 0.0577𝛼 = 0.1032𝛼 = 0.1326𝛼 = 0.1550𝛼 = 0.1732𝛼 = 0.1882𝛼 = 0.2008𝛼 = 0.2117𝛼 = 0.2211𝛼 = 0.2292𝛼 = 0.2356𝛼 = 0.2411𝛼 = 0.2454𝛼 = 0.2488𝛼 = 0.2521...𝛼 = 0.2556


observar que a esta profundidad el numero de modos es mucho mayor que los casos

anteriores, esto por haber aumentado la altura de la guía de onda.


88

Cuando:

f=80 Hz c2=1750 m/s

H=1000 m 𝜌 1=960 kg/m3

c1=1560 m/s 𝜌 2=1410 kg/m3


Modos Normales




89

En la figura 4.13 la predicción de que iba a haber más modos es correcta, ya que conforme

aumenta la frecuencia, aumentara el número de modos encontrados en el medio.

Cuando:

f=100 Hz c2=1750 m/s

H=1000 m 𝜌 1=960 kg/m3

c1=1560 m/s 𝜌 2=1410 kg/m3


Modos Normales




90

Para la figura 4.14 el número de modos es el máximo de todos los casos, ya que la

frecuencia de operación es mayor y la guía de onda también lo es, todo respecto a los casos

anteriores. Esta es una aproximación muy exacta de lo que esperaríamos en la realidad

pues debido a la utilización de muchas variables en la obtención de estos modos, los

resultados obtenidos son muy confiables.

CC““CC

CCAACCOO

AAPPOONNCC

PPÍÍTTCCLLUU

TTUUUUSS

UULLOIIOONN

OO NNEE

55ESS””

CONCLUSIONES

92

Esta investigación se sustenta en la utilización del sonido en el agua para la transmisión de

información, y con esta base analizamos el método de Modo Normales, particularmente su

Ecuación de Dispersión. También estudiamos algunos de los otros métodos que existen

para determinar el campo acústico subacuático (información) que llega al receptor. Debido

a que el área de la comunicación subacuática ha sido un campo de estudio poco

desarrollado en nuestro país y a que contamos con grandes extensiones de litorales,

consideramos que es de suma importancia explotar más este recurso para ampliar el campo

de las comunicaciones y hacer más eficiente su utilización y desarrollo en el país.

Debido a que el mar no puede transmitir cualquier tipo de señales, en la primera parte de

este trabajo demostramos por qué en las transmisiones subacuáticas es más eficiente

utilizar las ondas sonoras en lugar de las ondas electromagnéticas, esto se logró

comparando la atenuación y la absorción que presentan cada una de estas señales en el

agua salada. Se pudo apreciar entonces que las ondas electromagnéticas se atenúan con

mucha mayor rapidez que las ondas sonoras y que el sonido casi no sufre absorción en el

agua, por lo tanto, al transmitir información a grandes distancias se logra una mayor

eficiencia ya que la onda se propaga más rápidamente y la pérdida de información se

reduce al mínimo.

Debido a que el factor velocidad es fundamental para la transmisión de información, en el

primer capítulo de esta investigación nos adentramos en el análisis de la velocidad del

sonido en el mar a partir de dos modelos matemáticos empíricos, el de Lovett y el de

Mackenzie. Dichos modelos están en función de tres parámetros: temperatura, profundidad

y salinidad. A través de estos parámetros pudimos determinar las mejores condiciones de

transmisión, de la misma manera, abordamos aquellos fenómenos que afectan la

propagación de las ondas sonoras en el mar: atenuación, absorción, dispersión, reflexión y

refracción, dichos fenómenos están en función de la frecuencia de la señal. También, se

estudiaron las perdidas en la transmisión y los efectos negativos del ruido en ella.

Finalmente explicamos qué es el campo acústico, sus características y aplicaciones, para

así poder entender los métodos estudiados en el capitulo siguiente.

Dado que lo importante en las comunicaciones es saber qué tanta información está siendo

realmente recibida y qué tanta se ha perdió en el recorrido, es primordial conocer el campo

acústico (información) detectado por el receptor. Por lo que en el Capitulo 2 se analizaron

algunos de los diversos métodos que existen para calcular el campo acústico subacuático,

en función del número de parámetros que tomaron en cuenta en la ecuación del cálculo de

CONCLUSIONES

93

dicho campo. En base a este análisis comparativo pudimos apreciar que el método que

arroja los resultados más completos es el método de Modos Normales debido a que

comprende un mayor número de parámetro en su ecuación de campo acústico mientras que

los demás métodos, como por ejemplo el método de Ecuación Parabólica o el método de

Elementos Finitos incluyen un número más reducido de parámetros y por lo tanto la

precisión de sus resultados es menor.

Con base en lo antes expuesto nos pareció fundamental el estudiar la columna vertebral de

este método es decir su Ecuación de Dispersión por lo que el análisis de esta ecuación

constituye el núcleo de la presente investigación. Antes de analizarla, fue preciso estudiar la

metodología de Modos Normales dada en el capítulo 3, dicha metodología consiste en hacer

un planteamiento del problema en relación al número de medios que se vayan a considerar

en la comunicación, después se debe deducir la Ecuación de Dispersión, para

posteriormente pasar a encontrar la solución en cada capa y finalmente mediante el cálculo

de la función de Green, encontrar el campo acústico.

El capitulo 4 fue dedicado al análisis de la Ecuación de Dispersión, que como lo

mencionamos, es la parte fundamental de nuestra investigación y pieza clave del método de

Modos Normales, ya que es quien proporciona los valores de los modos normales.

Recordemos que cada modo corresponde a una familia de rayos que llega al receptor y

también que los primeros modos son los que llevan la mayor cantidad de información,

aproximadamente del 90%. Para el analizar la Ecuación de Dispersión fue necesario

graficarla con la ayuda del programa de Matlab debido a que la incógnita en esta ecuación

es el valor de los modos y ésta no puede ser despejada de forma convencional, por lo que

con las graficas resultantes encontramos de manera indirecta el valor de los modos. A

través de estos gráficos apreciamos claramente la dependencia del número de modos que

se producirán en el medio de transmisión con la frecuencia de operación y la altura o

profundidad de la guía de onda. Concluyendo entonces que, a medida que aumenta la

frecuencia de operación también aumentará el número de modos, debido a que la onda

sonora presentará un mayor número de oscilaciones y por tanto se tendrán un mayor

número de reflexiones. Por otro lado, si lo que aumenta es la altura de la guía, el número de

modos también se incrementa debido a que si la guía es mayor, el espacio que tienen los

rayos para reflejarse será más grande, dando mayor oportunidad de reflexiones.

CONCLUSIONES

94

Esta investigación es importante al menos por tres razones:

1. Es una contribución al desarrollo en México, de la investigación del campo acústico

subacuático.

2. Puede servir de base para trabajos futuros enfocados al método de Modos Normales

aplicado a 3 medios: aire, agua y fondo, o 4 medios: aire, hielo, agua y fondo.

3. Así como para el desarrollo del cálculo del campo acústico de una manera más

detallada.

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AACCIIÓDDEE

ÓÓNNNN

FUENTES DE INFORMACIÓN

96

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Tercera edición, John Wiley and Sons 1982

[2] Análisis de los modos normales de propagación en la determinación de campo acústico para comunicaciones subacuáticas

J. M. Quino C; J. I. Espinosa C. Sección de Estudios de Postgrado e Investigación,

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica,

Instituto Politécnico Nacional. Unidad Profesional “Adolfo Lopez Mateos”. Col. Lindavista,

México, D.F., 07738. MÉXICO.

[3] “Aguas muy poco profundas en acústica submarina. Factores que limitan la propagación de señales” Carlos Ranz Guerra Revista

Tecni Acústica Gandia-2006 Instituto de Acústica-CSIC,

C/Serrano 144, 28005 Madrid

[4] Wave Propagation and Underwater Acoustics. Keller, J. B. and Papadakis, J. S. (eds) (1977)

Lecture Notes in Physics, Vol. 70

Springer-Verlag, New York.

[5] Principles of Underwater Sound Urick, R.J. (1975)

2nd edition, McGraw-Hill, New York.

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Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias Pp 157-164

[7] “A normal mode theory of acoustic Doppler effects in the ocean waveguide,” K. Hawker,J. Acoust.

Soc. Am., 1979, pp. 675 –681.


97

[8] “Waves in fluids” G. Lghthill,

Cambridge University Press, Cambridge, 1978.

[9] “On the underwater acoustic field of a moving point source”, P. H. Lim, J. M. Ozard,

I. Range-independent environment, J. Acoust. Soc. Am., 95 (1), 1994, pp. 131–137.

[10] “Acoustic field generated by a moving atmosphere source in a fluid layer with variable thickness” ] V. S. Buldyrev, N. S. Grigoryeva,

Akusticheskii journal 39, 1993, pp. 782–792.

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[12] Transductores de ultrasonidos

Disponibles: http://www.gii.upv.es/personal/gbenet/treballs%20cursos%20anteriors-TIM-IIN-

INYP-AYPD/ultrasonidos/trabajo%20ultrasonidos.pdf

[13] Sondas Batimétricas; Cartografía Submarina Ingeniería de las Ondas I Disponible:http://www.lpi.tel.uva.es/~nacho/docencia/ing_ond_1/trabajos_06_07/io7/public_html/

[14] Aplicaciones de la reflexión del sonido Disponible:http://www.lpi.tel.uva.es/~nacho/docencia/ing_ond_1/trabajos_04_05/io9/public_h

tml/propagacion.html [15] Principios de la Acústica Subacuática

Disponible: http://www.jovenclub.cu/libros/libros_2/ciencia3/100/htm/sec_15.htm

[16] Ingeniería de ondas Acústica Subacuática 2003-2004 ETSIT UVA Disponible:http://www.lpi.tel.uva.es/~nacho/docencia/ing_ond_1/trabajos_03_04/subacuatica [17] Ondas y Movimiento Ondulatorio Disponible: http://www.visionlearning.com/library/module_viewer2.php?mid=102&ut=&l=s


98

[18] Compresión y rarefacción Disponible: http://www.angelfire.com/empire/seigfrid/Compresionesyrarefacciones.html

[19] El SONAR principios básicos de funcionamiento Disponible:http://www.lpi.tel.uva.es/~nacho/docencia/ing_ond_1/trabajos_06_07/io7/public_h

tml/sonar1.html

[20] Propagación del sonido en el mar Disponible:http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen1/ciencia2/17/htm/sec_8.html

[21] Hidrografía Acústica Subacuática Disponible: http://www.armada.mil.uy/sohma/web/manual-hidrografia/M-13Capitulo3.pdf

[22] El campo acústico Disponible:http://rabfis15.uco.es/lvct/tutorial/1/paginas%20proyecto%20def/(6)%20El%20ca

mpo%20acustico/campo%20acustico%20global.htm

[23] La teoría de Rayos y sus aplicaciones Disponible:http://www.conacyt.mx/Comunicacion/Revista/EdicionesAnteriores/img/Revista%

20CyD%201998/CyD138ene-feb1998.pdf#page=44

[24] Misión Naval Venezolana en España – Artículos Técnicos – Telecomunicaciones Disponible:http://www.mnve.mil.ve/web/index.php?option=com_content&task=view&id=63&It

emid=84

[25] Grupo de Geología Marina del Institut de Ciencies del Mar de Barcelona - CSIC - TÉCNICAS ACÚSTICAS

Disponible: http://www.icm.csic.es/geo/gma/tema2/2_2.html

[26] Método de los elementos finitos

Disponible: http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_los_elementos_finitos

[27] CONACYT - Revista de Tecnología – Comunicaciones Subacuáticas Disponible:http://www.conacyt.mx/comunicacion/revista/edicionesanteriores/img/revista%20c

yd%201998/cyd138ene-feb1998.pdf

LLIIISSTTTTAA DDEE

EE FFII

IIGGUUUURRAAAASSSS

LISTA DE FIGURAS

100

LLiissttaa ddee FFiigguurraass

Capitulo

Figura

Numero

Descripción

Pagina

Referencia

1 Figura 1.1 Onda transversal 2 17 1 Figura 1.2 Compresiones y Rarefacciones en una

onda 2 18

1 Figura 1.3 Onda longitudinal 3 17

1

Figura 1.4 Perfil sonoro de velocidad

representativo de agua oceánica profunda a latitudes medias

8

1

1 Figura 1.5 Dispersión del sonido en el mar

10 14

1 Figura 1.6 Reflexión 11 14 1 Figura 1.7 Refracción y reflexión del sonido 12

1

Figura 1.8 Pérdidas en dB en función de la distancia [r] entre transmisor y

receptor a 60Hz y 200m de profundidad

15

2

1

Figura 1.9

Pérdidas en dB en función de la distancia [r] entre transmisor y

receptor a 60Hz y 200m de profundidad

15

2

1 Figura 1.10 Ruido ambiente de aguas profundas

16 1

1 Figura 1.11 Sonar Activo 18 13

1 Figura 1.12 Sonar Pasivo

20 13

2 Figura 2.1 Método de Elementos Finitos 29 26

2 Figura 2.2 Fuente e imágenes para un canal de isovelocidad de poco fondo

31 1

2

Figura 2.3

El valor límite problema (BVP) es resuelto por el método de los modos

normales, por el método de transforma de Hankel y por el método de rayos.

Esto da lugar a las tres representaciones dadas por los

métodos anteriores, respectivamente. Entonces las representaciones son transformadas una en la otra por el

método de residuos, por la expansión binomial y por la fórmula de adición de Poisson, como se indica en la figura.

37

4

2

Figura 2.4

Los rayos (líneas continuas) se definen como las líneas

perpendiculares a los frentes de onda (líneas punteadas).

43

6

LISTA DE FIGURAS

101

Capitulo

Figura

Numero

Descripción

Pagina

Referencia

2

Figura 2.5

Trazado de rayos. (a) Problema de dos puntos: la fuente y el receptor

están fijos. El rayo correcto es el de tiempo mínimo (principio de Fermat.) (b) Método del disparo: aquí solo la

fuente esta fija. Los modelos se construyen usualmente por medio de

capas o bloques rectangulares homogéneos (a), o de celdas

triangulares o tetraedros con velocidad variable (b), en donde los rayos se

conocen.

47

23

2

Figura 2.6

En (a) el rayo se aleja de la normal a la superficie porque 𝑉 > 𝑉 . En (b)

sucede lo contrario.

47

23

2

Figura 2.7

Una fuente del punto localizada en (𝑧 − 𝑧 ) emite rayos en todas las direcciones. Los cuatro rayos

demostrados aquí llegan al punto del campo (𝑟, 𝑧). Uno de longitud 𝑅 es el rayo directo; otra de la longitud 𝑅 se

refleja de la superficie superior 𝑧 = 0 y aparece venir de una fuente en (𝑧 = −𝑧 ). Un tercer rayo de longitud 𝑅 " se refleja en 𝑧 = −ℎ del fondo 𝑧 y aparece venir de una fuente en 𝑧 = −2ℎ − 𝑧 . El cuarto se refleja

primero de la tapa y entonces del fondo, y aparece venir de una fuente

en 𝑧 = −2ℎ + 𝑧 .

49

4

2 Figura 2.8 Sonar. La versión acuática del radar. 51 27 2 Figura 2.9 Exploración petrolera en la plataforma

oceánica. 51 27

2

Figura 2.10

El contorno de integración 𝑐 se extiende desde el origen hasta el

infinito y está levemente debajo del eje real en el plano complejo-a. El contorno 𝑐 es 𝑒 𝑐 . con la

orientación invertida. El arco 𝛤 , de Radio 𝑅 conecta 𝑐 y 𝑐 para formar

un contorno cerrado.

53

4

3

Figura 3.1

Estructura de la guía de ondas mediante la altura en función de la

distancia.

61

2

3 Figura 3.2 Modos Normales para f=60Hz y H=200m.

63 2

LISTA DE FIGURAS

102

Capitulo

Figura

Numero

Descripción

Pagina

Referencia

3


64 2

4

Figura 4.1

Reflexiones de la señal en la guía de onda de acuerdo a su frecuencia. (a)

bajas frecuencias. (b) altas frecuencias

74

4

Figura 4.2. Variación de la altura de la guía de onda. A) Guía de onda grande. B)

Guía de onda pequeña.

75


77


78


79


80


81


82


83


84


86

4 Figura 4.12 Modos Normales para f=60Hz y H=1000m

87


88


89

LLIISSTTTTAA DDEE

EE TT

TTAABBBBLLAAAASS

LISTA DE TABLAS

104

LLiissttaa ddee TTaabbllaass

Capitulo

Tabla

Numero

Descripción

Pagina

Referencia

1 Tabla 1.1 Variación de la velocidad del sonido respecto a la temperatura, salinidad y

profundidad

6

1 Tabla 1.2 Diferencias entre el Sonar Activo y el Sonar Pasivo

21 16

2 Tabla 2.1 Comparativa del método de Modos Normales con el método de Rayo

57 3

3

Tabla 3.1

Dependencia del numero de modos normales 𝛼 en función de la profundidad y la frecuencia.

64

2

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