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MAESTRÍA EN CIENCIAS EN INGENIERIA DE SISTEMAS

SELECCIÓN ÓPTIMA DE PORTAFOLIOS DE INVERSIÓN

BASADO EN SISTEMAS NEURODIFUSOS

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERÍA DE SISTEMAS

PRESENTA

MARÍA YANET JIMÉNEZ REYES

DIRECTOR DE TESIS

M. EN C. EFRAÍN MARTÍNEZ ORTIZ

México, Distrito Federal, Diciembre 2010

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELECTRICA

UNIDAD PROFESIONAL “ADOLFO LÓPEZ MATEOS”

Seleccion Optima de Portafolios de Inversion basado en

Sistemas Neurodifusos.

Resumen

En este trabajo se desarrollo un Sistema Neurodifuso para producir los pesos de unportafolio de inversion para cualquier momento en el periodo de inversion. Se realizo unanalisis del comportamiento pasado de las cotizaciones de los activos que conforman elportafolio, y con base a esto se obtuvieron los pesos, rendimientos y riesgos en el periodode inversion. Se hizo un estudio de caso con cinco acciones que se cotizan en la BolsaMexicana de Valores, las cuales se seleccionaron de acuerdo al grupo de bursatilidad altay a su rendimiento; esto nos brindara las acciones optimas a incluir en el portafolio. Estesistema, comparado con el modelo de Markowitz, tiene la ventaja de que no es estatico.Ademas, no es necesario estimar las correlaciones para obtener el riesgo del portafolio,ni definir un nivel de rendimiento esperado. El periodo de inversion que se considera eneste estudio es de 100 dıas. El rendimiento y riesgo diario promedio es de 0.25 % y 1.32 %respectivamente.

Optimal Selection of Portfolios Investment based on

Neurofuzzy Systems.

Abstract

In this work we have developed a Neurofuzzy System in order to produce weights ofa portfolio investment for any time in the investment period. We have done an analysisof past behavior of the assets prices comprising the portfolio, and based on this, theywere obtained weights, returns and risks in the investment period. We have done a casestudy with five stocks that are listed on the Mexican Stock Market, which were selectedaccording to the group of high liquidity and performance. This system compared with theMarkowitz model is not static, which is an advantage. Moreover, with this system doesnot need to estimate the correlations to obtain the portfolio risks, or define an expectedreturn level. The investment period comprised in this study is of 100 days. The averagedaily return and risk are of 0.25 % and 1.32 % respectively.

Agradecimientos

Agradezco todas las facilidades y recursos que me ha brindado el Instituto PolitecnicoNacional para la culminacion de mis estudios de Maestrıa.

Tambien a la Comision de Operacion y Fomento de Actividades Academicas (COFAA–IPN), por las becas que me fueron otorgadas para la realizacion de este trabajo.

A mi Director de Tesis, al M. en C. Efraın Martınez Ortiz por sus ensenanzas, tiempo,disponibilidad y recursos destinados para el desarrollo de esta tesis.

Al Comite Tutorial por sus observaciones en pro de mejorar este trabajo.

Al Dr. Ignacio Peon, por el apoyo recibido sin la cual no hubiese sido posible la reali-zacion de esta maestrıa.

A mis profesores por todos sus granitos de arena para ampliar mi vision sistemica: Dr.Luis Manuel Hernandez, M. en C. Efraın Martınez, M. en C. Bertha Paz, Dr. Ignacio Peon.

A mis Padres, Hermanos y Tıos por su carino y amor incondicional.

A Martın Ortiz, una vez mas gracias por ser el complemento de este conjunto no vacıo.

Finalmente, a mis amigos en Ensenada que han estado de manera directa e indirectadandome animo y apoyo. Ası como a mis nuevos amigos en esta etapa por sus risas yconsejos, especialmente a: Juan Carmona, Arturo Armenta, Rene Figueroa, Sergio Hdez.,Atl Aceves y Teresa Retana.

Indice general

Indice de tablas VI

Indice de figuras VII

Glosario X

Introduccion XIV

Antecedentes XVI

Justificacion XIX

Objetivos XX

Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX

Objetivos Particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX

Metodologıa aplicada XXI

1. Bolsa de Valores y Portafolios de Inversion 1

1.1. Bolsa de Valores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Principales Bolsas de Valores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Bolsa Mexicana de Valores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1. Casas de Bolsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

IV

INDICE GENERAL V

1.2.2. Participantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Portafolios de inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1. Problema de seleccion de portafolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.2. Elementos basicos de una inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.3. Modelo de Media-Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.4. Frontera Eficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Sistemas Neurodifusos 15

2.1. Logica Difusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1. Conjuntos difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.2. Variable linguıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.3. Funcion de pertenencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.4. Reglas difusas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2. Sistema de Inferencia Difuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1. Metodo de Inferencia Difusa de Mamdami . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.2. El Metodo de Inferencia Difusa Sugeno o Takagi–Sugeno . . . . . . . 22

2.3. Sistemas de Inferencia Neurodifuso Adaptativos (ANFIS) . . . . . . . . . . 23

2.3.1. Arquitectura de un modelo ANFIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.2. Aprendizaje ANFIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3. Desarrollo del Sistema Neurodifuso 27

3.1. Seleccion de activos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2. Arquitectura del ANFIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3. Portafolio de inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4. Estudio de Caso 34

4.1. Acciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

INDICE GENERAL VI

4.2. Conjunto de entrenamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3. Conjunto de prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.4. Portafolio de inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5. Conclusiones y trabajo futuro 51

5.1. Trabajo futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Bibliografıa 53

A. Casas de Bolsa 59

B. Grupo de bursatilidad alta 60

C. Tablas 61

D. ANFIS en MATLAB 64

Indice de tablas

4.1. Acciones que presentan el mejor rendimiento, dentro del grupo de bursa-tilidad alta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2. Reglas difusas del ANFIS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3. Caracterısticas de cada ANFIS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4. Error resultante del MANFIS para el conjunto de entrenamiento y prueba. . 45

4.5. Pesos del portafolio de inversion para los periodos t = 1 y t = 100. . . . . . 50

B.1. Grupo de acciones de bursatilidad alta de la BMV [73]. . . . . . . . . . . . . 60

C.1. Pesos, rendimiento y riesgo del portafolio de inversion para 100 dıas deinversion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

VII

Indice de figuras

1. Metodologıa de Investigacion de Operaciones [41]. . . . . . . . . . . . . . . . XXIV

1.1. Instrumentos financieros [87]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Estructura organizacional de la Bolsa Mexicana de Valores [73]. . . . . . . . 4

1.3. Funcionamiento de la Casa de Bolsa [87]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Elementos de una inversion [87]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5. Frontera eficiente [25]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6. Proceso de inversion por el metodo de Media-Varianza [18]. . . . . . . . . . 14

2.1. Funciones de pertenencia. a) Triangular, b) Trapezoidal, c) Gaussiana [74]. 18

2.2. Interpretacion de reglas difusas [87]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3. Esquema general de un sistema basado en logica difusa [87]. . . . . . . . . . 20

2.4. Esquema general de un sistema de inferencia difusa [87]. . . . . . . . . . . . 22

2.5. Arquitectura ANFIS [87]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1. Arquitectura MANFIS con 2 entradas y n salidas [87]. . . . . . . . . . . . . . 28

3.2. Funcion de pertenencia gaussiana para las entradas del ANFIS [87]. . . . . . 29

3.3. Estructura superficial del ANFIS [87]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4. Estructura interna del ANFIS [87]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.5. Algoritmo secuencial del sistema MANFIS [87]. . . . . . . . . . . . . . . . . 31

VIII

INDICE DE FIGURAS IX

3.6. Esquema general del sistema propuesto para la seleccion de portafolios deinversion [87]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1. Serie historica de las acciones: a) ALFA, b) BIMBO, c) GMODELO, d) KIM-BER, e) WALMEX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2. Funciones de pertenencia iniciales para: a) ALFA, b) BIMBO, c) GMODE-LO, d) KIMBER, e) WALMEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3. Error resultante del sistema entrenado para el conjunto de entrenamien-to de las acciones: a) ALFA, b) BIMBO, c) GMODELO, d) KIMBER, e)WALMEX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4. a) Comparativo entre los valores originales de ALFA y los proyectados porel ANFIS para el conjunto de entrenamiento. b) Errores de prediccion. . . . 38

4.5. a) Comparativo entre los valores originales de BIMBO y los proyectadospor el ANFIS para el conjunto de entrenamiento. b) Errores de prediccion. . 39

4.6. a) Comparativo entre los valores originales de GMODELO y los proyecta-dos por el ANFIS para el conjunto de entrenamiento. b) Errores de prediccion. 39

4.7. a) Comparativo entre los valores originales de KIMBER y los proyectadospor el ANFIS para el conjunto de entrenamiento. b) Errores de prediccion. . 40

4.8. a) Comparativo entre los valores originales de WALMEX y los proyectadospor el ANFIS para el conjunto de entrenamiento. b) Errores de prediccion. . 40

4.9. Funciones de pertenencia finales para: a) ALFA, b) BIMBO, c) GMODELO,d) KIMBER, e) WALMEX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.10. Superficie de salida para la accion ALFA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.11. Superficie de salida para la accion BIMBO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.12. Superficie de salida para la accion GMODELO. . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.13. Superficie de salida para la accion KIMBER. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.14. Superficie de salida para la accion WALMEX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.15. Error resultante del sistema entrenado para el conjunto de prueba de lasacciones: a) ALFA, b) BIMBO, c) GMODELO, d) KIMBER, e) WALMEX. . 45

4.16. a) Comparativo entre los valores reales de ALFA y los proyectados por elANFIS para el conjunto de prueba. b) Errores de prediccion. . . . . . . . . . 46

4.17. a) Comparativo entre los valores reales de BIMBO y los proyectados por elANFIS para el conjunto de prueba. b) Errores de prediccion. . . . . . . . . . 47

INDICE DE FIGURAS X

4.18. a) Comparativo entre los valores reales de GMODELO y los proyectadospor el ANFIS para el conjunto de prueba. b) Errores de prediccion. . . . . . 47

4.19. a) Comparativo entre los valores reales de KIMBER y los proyectados porel ANFIS para el conjunto de prueba. b) Errores de prediccion. . . . . . . . . 48

4.20. a) Comparativo entre los valores reales de WALMEX y los proyectados porel ANFIS para el conjunto de prueba. b) Errores de prediccion. . . . . . . . . 48

4.21. Rendimiento diario del portafolio generado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.22. Riesgo diario del portafolio generado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

A.1. Casas de Bolsa en Mexico [73]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Glosario

Accion: Partes iguales en que se divide el capital social de una empresa. Parte o frac-cion del capital social de una sociedad o empresa constituida como tal.

Activo: Cualquier bien tangible o intangible de valor que posee una empresa.

Activo Financiero: Son los valores: oro, dinero y creditos contra terceros, ası como elnombre generico que se le da a las inversiones mobiliarias (acciones, obligaciones, bonos,etc.)

Bolsa Mexicana de Valores: Institucion sede del mercado mexicano de valores. Insti-tucion responsable de proporcionar la infraestructura, la supervision y los servicios nece-sarios para la realizacion de los procesos de emision, colocacion e intercambio de valoresy tıtulos inscritos en el Registro Nacional de Valores (RNV), y de otros instrumentos fi-nancieros. Ası mismo, hace publica la informacion bursatil, realiza el manejo administra-tivo de las operaciones y transmite la informacion respectiva a SD Indeval, supervisa lasactividades de las empresas emisoras y casas de bolsa, en cuanto al estricto apego a lasdisposiciones aplicable, y fomenta la expansion y competitividad del mercado de valoresmexicanos.

ANFIS: Iniciales en ingles del Sistemas de Inferencia Neurodifuso Adaptativo (Adap-tative Neuro Fuzzy Inference System).

Bursatilidad: es un indicador que considera el desempeno, durante los ultimos 6meses, de una accion determinada en el mercado accionario, y nos sirve para identificar elgrado de liquidez que tienen dichas acciones. Por su grado de Bursatilidad, las accionesse pueden clasificar como de Alta, Media, Baja y Mınima.

Casas de Bolsa: Intermediarios autorizados para realizar intermediacion en el mercadobursatil. Se ocupan de las siguientes funciones: realizar operaciones de compraventa devalores; brindar asesorıa a las empresas en la colocacion de valores y a los inversionistasen la constitucion de sus carteras; recibir fondos por concepto de operaciones con valores,y realizar transacciones con valores a traves de los sistemas electronicos de la Bolsa deValores, por medio de sus operadores.

Conjunto: Es una coleccion de elementos (reales o imaginarios) considerados como untodo.

XI

INDICE DE FIGURAS XII

Conjunto difuso: Es aquel en que cada elemento tiene un grado de pertenencia aso-ciado, dicho grado es un numero real en el intervalo [0,1].

Conjunto clasico: Es aquel en que cada elemento tiene asignado un grado de perte-nencia, 1 si el elemento pertenece al conjunto y 0, si el elemento no pertenece a dichoconjunto.

ECM: por sus siglas de Error Cuadratico Medio. Consiste en la suma de las diferenciasal cuadrado entre lo real y lo proyectado por el modelo

Funcion de pertenencia: Es una funcion que indica el grado de pertenencia de unelemento a un conjunto.

Grado de pertenencia: Es un valor numerico en el intervalo [0,1] con el cual se expresala medida en que un elemento cumple un determinado predicado.

Inversionistas: Personas fısicas o morales, nacionales o extranjeras que, a traves deuna casa de bolsa, colocan sus recursos a cambio de valores, para obtener rendimientos.

Logica difusa: Es una rama de la inteligencia artificial que se basa en el concepto de“grados de pertenencia.el cual permite manejar informacion vaga o de difıcil especificacionsi se quisiera cambiar con esta informacion el funcionamiento o el estado de un sistemaespecifico.

MA: Promedio movil, por sus siglas en inges Moving Average. Los promedios movilesindican el promedio del precio en un punto determinado de tiempo sobre un perıodo detiempo definido. Se llaman moviles ya que reflejan el ultimo promedio, mientras que seadhieren a la misma medida de tiempo.

Portafolio de inversion: Tambien conocido como cartera de inversiones. Es el conjuntode activos financieros en los cuales se invierte.

Precio: Valor monetario que se asigna a un activo.

Precio de Cierre: Ultimo Precio Promedio Ponderado calculado durante la jornadabursatil para cada accion listada en la BMV. En su defecto, el ultimo hecho de compraven-ta registrado en la sesion correspondiente. A falta de ambos, el ultimo precio de cierreconocido.

Rendimiento: Beneficio que produce una inversion. El rendimiento anualizado y ex-presado porcentualmente respecto a la inversion se denomina tasa de rendimiento. Losrendimientos no solo se obtienen a traves de ganancias de capital (diferencia entre el pre-cio de compra y el precio de venta), sino tambien por los intereses que ofrezca el ins-trumento, principalmente en tıtulos de deuda y por dividendos que decrete la empresaemisora.

Riesgo: Proceso o un evento que por sus condiciones es potencialmente danino paralas personas, para el medio ambiente o en el ambito economico

INDICE DE FIGURAS XIII

Sistema: Conjunto de partes o elementos organizados y relacionados que interactuanentre sı para lograr un objetivo. Los sistemas reciben (entrada) datos, energıa o materiadel ambiente y proveen (salida) informacion, energıa o materia.

Sistema difuso: Se basa en un conjunto de reglas heurısticas donde las variableslinguısticas de las entradas y salidas se representan por medio de conjuntos difusos.

Sistema neurodifuso: son un campo de la Inteligencia Artificial y se clasifican comosistemas hıbridos ya que se combinan las tecnicas de Redes Neuronales Artificiales y deLogica Difusa.

Tıtulo valor: es un documento escrito, siempre firmado (unilateralmente) por el deu-dor; es ademas un pedazo de papel que contiene diversas menciones. En un segundoplano, se define al tıtulo valor como un derecho en beneficio de una persona. El derechoconsignado en el documento, nace con la creacion de este. Tiene un valor en la actividadeconomica en general y en los negocios mercantiles en especial. Quien suscribe un tıtu-lo valor se obliga a una prestacion frente al poseedor del tıtulo, o quien resulte tal, y nosubordina esa obligacion a ninguna aceptacion, ni a ninguna contraprestacion.

Varianza: Es una medida de su dispersion definida como la esperanza del cuadradode la desviacion de dicha variable respecto a su media.

Introduccion

A traves de los anos se ha constatado que nos encontramos dentro de una economıamuy cambiante, en que la incertidumbre esta presente en cada uno de los que participanen ella; por no saber que direccion tomara dicha economıa en un futuro a corto o largoplazo, es necesario tener un conocimiento de cuales son los elementos que hacen que laeconomıa sea tan inestable.

Los inversionistas tienen sin duda un papel muy importante dentro de una economıa,ya que son los que destinan recursos financieros a las empresas que emiten acciones parapoder obtener recursos economicos que son indispensables en sus operaciones.

El proceso de inversion en acciones es una labor difıcil y compleja porque el rendimien-to de la inversion esta altamente correlacionada con el riesgo y a mayores tasas de interesmayor es el riesgo.

A todos los inversionistas les gusta seleccionar inversiones que ofrezcan un alto nivelde rendimiento. Sin embargo casi todas las oportunidades de inversion que ofrecen estetipo de rendimientos, van acompanadas de un alto nivel de riesgo. Esto hace que de todaslas oportunidades de inversion, el inversionista deba buscar la combinacion optima queofrezca rendimientos altos con un riesgo bajo.

En el problema de seleccion de un portafolio de inversion, dado un conjunto de activosdisponibles, se quiere encontrar la forma optima de invertir una cantidad particular dedinero en estos activos. A cada una de las diferentes formas de diversificar este dineroentre los diversos activos se le llama portafolio [26].

Para resolver el problema de seleccion de portafolios, Henry Markowitz presento elllamado modelo Media-Varianza, el cual asume que el rendimiento total de un portafo-lio se puede describir mediante el rendimiento medio de los activos y la varianza delrendimiento (riesgo) entre estos activos.

El trabajo se organiza de la siguiente manera:

En el Capıtulo 1 se resume los aspectos importantes sobre las Bolsas de Valores, enparticular la Bolsa Mexicana de Valores. Tambien se aborda el problema de seleccionde portafolios de inversion.

XIV

0. Introduccion XV

En el Capıtulo 2 se describe la teorıa detras de la Logica Difusa que integra a losSistemas Neurodifusos.

En el Capıtulo 3 se provee una descripcion de como seleccionar las acciones que con-formaran el portafolio de inversion y tambien se describira el Sistema Neurodifusopropuesto para obtener el rendimiento, el riesgo y los pesos para cierto perıodo detiempo de inversion.

En el Capıtulo 4 se presenta un estudio de caso para cinco acciones que se cotizan enla Bolsa Mexicana de Valores.

Finalmente, se presentan las conclusiones generales del trabajo de investigacion,ası como el trabajo futuro para mejorar el sistema propuesto.

Antecedentes

El problema de la seleccion de un portafolio de inversion trata de como conformar unportafolio optimo. Pero es dıficil decidir que activos deberıan seleccionarse, debido a laexistencia de incertidumbres en sus rendimientos [4].

La primera aproximacion matematica del problema de seleccionar un portafolio conbase en el rendimiento – riesgo fue desarrollada por Henry Markowitz en 1952, inician-do el campo llamado Teorıa Moderna del Portafolio. La teorıa de Markowitz combina lateorıa de la probabilidad y optimizacion matematica con el fin de modelar el compor-tamiento de los agentes economicos [42]. La teorıa propone un modelo de programacioncuadratica para seleccionar un portafolio diversificado de activos (como se describe en laseccion 1.3.3). El modelo resultante (modelo de Media – Varianza) es uno de los problemasno lineales mas estudiados.

Antes de Markowitz propusiera su modelo, los inversionistas solo invertıan en activosindividualmente, ignorando la influencia de cada uno en el riesgo cuando se combinanestos.

En 1958, el modelo fue extendido por James Tobin, donde integra el termino “activolibre de riesgo” en el proceso de la seleccion de inversion, cuando identifica la necesidadque tiene el inversionista por mitigar la incertidumbre en sus rendimientos futuros, paralo cual dicho inversionista acude a una opcion de inversion segura. Este selecciona, es-pecificando la proporcion de su riqueza a invertir en el portafolio con riesgo y en el activolibre de riesgo; dichas proporciones a invertir reflejaran su aversion al riesgo [59].

William F. Sharpe planteo poco tiempo despues en 1964, basado en el trabajo de suspredecesores formalizo el Modelo de Valoracion del Precio de los Activos Financieroso Capital Asset Pricing Model (conocido como modelo CAPM), lo que prueba que elportafolio del mercado se encuentra sobre la frontera eficiente. La teorıa establece una sim-plificacion consistente en suponer la existencia de una relacion lineal entre el rendimientode un activo y el del portafolio de mercado, es decir, se puede definir el riesgo del portafo-lio sin utilizar las covarianzas (integradas en el modelo de Media-Varianza), suponiendouna gran simplificacion del modelo de Markowitz, sobre todo por la mayor sencillez desus calculos [57]. Pero con el desarrollo de nuevas tecnologıas que se cuenta hoy en dıapara resolver el problema que planteo Markowitz, lo que convierte en innecesario el mo-delo de Sharpe.

XVI

0. Antecedentes XVII

La teorıa establecida por Markowitz es muy prometedora en condiciones teoricas conmuchas simplificaciones, pero en su forma simple, carece de robustez y su rendimiento encondiciones reales es al menos insuficiente. Tal como se establece en [54]:

“Aunque la eficacia en Markowitz es un marco teorico util y practico en la opti-mizacion del portafolio, en la practica es un procedimiento propenso a errores,que a menudo resulta en un error maximo y en portafolios de inversion irrele-vantes.”

Este modelo es muy inestable ya que a pequenos cambios en los rendimientos espe-rados y/o en la varianza, puede resultar en cambios grandes en los pesos del portafolio.Adicionalmente, otro problema con el modelo de media–variaza es que es estatico en eltiempo [54].

La complejidad para resolver el problema de seleccion de portafolios esta relacionadatanto con el tipo de restricciones que contiene, como con el tamano del problema. Entremas restricciones se le agreguen y mas activos se esten manejando, el modelo se torna mascomplejo.

Se ha intentado abordar el problema de optimizar un portafolio de inversion a travesde diversos enfoques. La tecnica mas utilizada es la optimizacion matematica no lineal, co-mo se describe en el trabajo pionero de Markowitz [42]; ası como por ejemplo en Guzman[32], en el cual se aplica a acciones que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores; en Mejıa[44], Conti et al. [18], Cruz et al. [19] se aplica para acciones que se cotizan en el Mercadode Valores de Colombia.

Al modelo propuesto por Markowitz (Modelo Media – Varianza) se le efectuan ciertasmodificaciones para visualizarlo como un problema de programacion lineal, descrito enLopez [38], [39], Papahristodoulou et al. [51]; una de las tecnicas empleadas es el metodoSimplex, como es el estudio de caso de Zavala et al. [69], o con el metodo del punto interiordescrito en Carreno et al. [12].

Siguiendo con el enfoque de la programacion matematica, tambien esta la tecnica deprogramacion por metas, que es capaz de manejar multiples objetivos de satisfaccion [2],[9]. Existe una tecnica similar, la programacion comprometida (compromise programming),en la que permite al tomador de decisiones establecer diversos requerimientos acerca dela factibilidad versus la optimalidad de una solucion [70]. Este esquema requiere de unacierta interaccion con el decisor en orden para ajustar su estructura de preferencias; peroes mucho mas flexible que las formulaciones usuales [5], [36].

El enfoque de la teorıa de la decision (con tecnicas como la teorıa de la utilidad), segenera una funcion de utilidad, la cual refleja la actitud que tiene el tomador de decisionesante el riesgo; algunos estudios enfocados al problema en cuestion estan el de Mercado[46] y el de Prigent [53], por mencionar algunos.

Las tecnicas heurısticas, como la busqueda tabu en el que se busca emular el compor-tamiento de una persona; entre los estudios realizados para portafolios se encuentran el

0. Antecedentes XVIII

de Coello [16] y Wilding [63]. Otra tecnica heurıstica que se ha aplicado en portafolios deinversion es el templado simulado, descrito en el trabajo realizado por Mora [47].

Asimismo se fusionan diversas tecnicas para encontrar un modelo mas apropiado,como es la optimizacion matematica con un enfoque estocastico, tal que estos modelosreflejen mas de cerca la realidad, permitiendo que se tomen decisiones mas acertadas; tales el caso del estudio de Cruz et al. [20].

Con el desarrollo de nuevas tecnologıas y de la inteligencia artificial se han implemen-tado los algoritmos geneticos, redes neuronales y sistemas neurodifusos.

Los algoritmos geneticos, son algoritmos de busqueda basados en mecanismos de se-leccion y en la genetica natural. Utilizan estructuras de datos llamados genes para repre-sentar soluciones potenciales. Esta tecnica combina la sobrevivencia del mas apto a travesde los genes con un intercambio de informacion aleatorizada entre los genes para for-mar un algoritmo de busqueda que captura muchas de las caracterısticas intuitivas de unmetodo de busqueda humano rapido. Entre algunos ejemplos de estudios en portafoliosefectuados con esta tecnica se encuentran el de Cuspinera [21], Chen et al. [14], Mora [47],Santana et al. [56] y Wilding [63].

Con tal de acercarse mas a la realidad, se incluye a la tecnica de la optimizacionmatematica la logica difusa, dado que permite describir y tratar con elementos inciertos eimprecisos presentes en problemas de decision; Algunos trabajos enfocados al problemade seleccion de portafolios de inversion se encuentran el de Arenas et al. [2], Bermudez etal. [4], Fang et al. [24] y Medina [43].

Con el enfoque de las Redes Neuronales Artificiales, aunque la mayorıa de las apli-caciones en finanzas se encuentra enfocado en la prediccion de series de tiempo, paraportafolios de inversion se encuentran los trabajos de Burrell et al. [8], Enke et al. [22],Freitas et al. [27], Smith [58], Tseng [61], Weckman et al. [62], Yang et al. [64] y Yu et al.[65].

Dentro de los sistemas hıbridos se encuentran los Sistemas de Inferencia Neurodifusos,los cuales combinan las tecnicas de las Redes Neuronales Artificiales y la logica difusa; es-tos sistemas ayudan a disenar sistemas que son capaces de manipular informacion incier-ta y en base a ella tomar decisiones inteligentes. Entre los diversos estudios en los que seaplica esta tecnica se encuentra el de Abbasi et al. [1], Carlsson et al. [11], Esfahanipour etal. [23], Nakaoka et al. [49], Pokropinska et al. [52] y Yao et al. [66].

Justificacion

La teorıa del portafolio apunta a tomar decisiones sobre la composicion de los portafo-lios de los inversores, partiendo de un analisis del comportamiento pasado de las cotiza-ciones, para predecir el futuro y elegir aquellos valores que permitan una mejor diversifi-cacion del riesgo, acorde al rendimiento que se quiere obtener.

A menudo, la decision sobre cuanto se debe invertir en cada activo, se basa en el anali-sis de los informes elaborados por los analistas de las Casas de Bolsa. Estos informes sonel resultado de un trabajo en que a menudo se trata de predecir el comportamiento futurode las series de tiempo de dichos activos. Los analistas basan sus predicciones en su expe-riencia personal, en indicadores economicos (i.e. tasas de interes, tasa de desempleo, entreotros) o en factores del mercado (i.e. rendimiento pasado, precios al cierre, volatilidad,precios futuros, etc). Esto sin duda, es una tarea muy dıficl de realizar.

Por lo tanto, se desea desarrollar un sistema que automatice el proceso de optimizarun portafolio. Lo ideal serıa que, cuando se utilice dicho sistema, uno fuera capaz deproporcionar los datos de entrada y obtener la salida que indique donde y cuanto invertir.Esta caracterıstica serıa mas similar a un experto humano. De tal manera que cuandose tengan que tomar las decisiones de inversion se realicen de una forma que se sigancriterios alejados de las emociones.

Para resolver problemas de esta magnitud es necesario el uso de estrategias con ca-pacidad de adaptacion al entorno de informacion. Tal es el caso de las soluciones basadasen la evolucion de redes neuronales y de sistemas difusos caracterizadas por su toleranciaa la imprecision, la incertidumbre y la verdad parcial, llamados Sistemas Neurodifusos.

Dentro de este marco, en la literatura (descrita en el apartado anterior) existen pocosestudios realizados para la seleccion de portafolios de inversion por medio de sistemasneurodifusos. La mayorıa de las aplicaciones que existen en finanzan son para predecirseries de tiempo.

Por lo tanto, se pretende que este estudio pueda aplicarse en el caso de acciones quese cotizan en cualquier Bolsa, en particular como estudio de caso en la Bolsa Mexicana deValores, incrementando con ello el abanico de posibilidades que cualquier inversionistadeba poseer para tomar las mejores decisiones. Es por esta razon que esta investigacion seconsidera novedosa.

XIX

Objetivos

Objetivo General

Disenar un sistema neurodifuso para la conformacion optima de portafolios de inver-sion.

Objetivos Particulares

Entre los objetivos particulares se encuentran:

Analizar las caracterısticas de los Mercados Financieros y los elementos de los Sis-temas Neurodifusos.

Disenar un Sistema Neurodifuso.

Desarrollar el Sistema Neurodifuso propuesto.

Determinar un portafolio de inversion, con el Sistema Neurodifuso propuesto paraactivos que se cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores.

XX

Metodologıa aplicada

La metodologıa del desarrollo de la tesis sera la de Investigacion de Operaciones [41],la cual comprende las siguientes fases:

FASE I: Definicion del Problema.

Algunas actividades entre otras que se sugieren realizar en esta fase, son las siguientes:

1. El mundo real donde se dan las primeras ideas para la investigacion, es el pasode arranque, es en esta parte en donde se debe definir el sistema u organizaciondonde se pretende resolver un problema o problemas, determinar los subsistemasy sus relaciones, el entorno y su medio ambiente e identificar los objetivos, metas ylos niveles de decision del sistema, con el objeto de determinar la perspectiva de lainvestigacion.

2. Observar el sistema y obtener los primeros datos cualitativas y/o cuantitativos.

3. Obtener el diagnostico y/o problematica del sistema.

4. Obtener informacion especıfica sobre el problema a estudiar.

5. Determinar el estado del arte del problema.

6. Planteamiento del problema de investigacion.

FASE II: Abstraccion (Modelacion).

Esta es la fase de la modelacion del sistema. Podrıa obtenerse un modelo matematicoo un modelo conceptual. Para el caso de construir un modelo matematico, las actividadessugeridas son entre otras:

1. Determinacion del Marco Teorico de la investigacion.

XXI

0. Metodologıa aplicada XXII

2. Obtencion de datos confiables.

3. Definir las variables, sus restricciones e identificar los parametros del modelo.

4. Determinar la dinamica del sistema.

5. Determinar el modelo disenado.

FASE III. Simulacion y/o Optimizacion

Una vez construido el modelo matematico, entonces sera necesario pensar en comoresolverlo. Entre las actividades a realizar se encuentran:

1. Identificar el modelo.

2. Identificar (si existen), las tecnicas y algoritmos asociados al modelo.

3. Buscar el software correspondiente y/o generarlo en un lenguaje adecuado.

4. Utilizar una computadora conveniente que este de acuerdo al tamano del problemaa resolver.

5. Alimentar los datos del modelo al programa y ejecutarlo hasta obtener la solucion(soluciones) del modelo.

6. En el caso de no existir algoritmos de optimizacion, generarlos, probarlos y validar-los.

7. Utilizar simulacion y/o metodos numericos si fuese necesario.

8. Interpretar los resultados de la solucion del modelo, confrontandolos con la proble-matica y objetivos del sistema.

FASE IV. Evaluacion

La intencion de esta fase es ver que tan robusta es la solucion o soluciones del modelo,a diferentes cambios en los parametros y estructura del modelo; es la fase de analisis delos resultados de la investigacion.

1. Efectuar un analisis general de la solucion y/o soluciones del modelo.

2. Efectuar analisis de sensibilidad a la solucion, respecto a los datos de entrada.

3. Determinar los intervalos de control de los parametros y datos de entrada.

0. Metodologıa aplicada XXIII

4. Elegir la alternativa que da la solucion que mejor se ajusta a los objetivos del sistemau organizacion.

5. Comparar los resultados con otras investigaciones semejantes y senalar ventajas ydesventajas.

FASE V. Implementacion

Una vez que se ha realizado las pruebas a la solucion del modelo, el siguiente paso esimplantar los resultados e implicaciones y ver que ocurre en el sistema con estos cambios,para los cual sera necesario tomar en consideracion los recursos humanos y la infraestruc-tura del sistema. Algunas actividades sugeridas son:

1. Definir una metodologıa de implementacion de la solucion.

2. Realizar predicciones logicas y conclusiones.

FASE VI. Control y Retroalimentacion

Es la ultima fase de la metodologıa que debe permitir observar el sistema transformadocon una nueva vision. Entre las actividades sugeridas se encuentran:

1. Elaborar un manual para el control del sistema, tomando en cuenta los recursoshumanos de la organizacion.

2. Reestimacion de los parametros y verificacion de los datos.

3. Definicion de nuevas variables y/o eliminacion de variables

4. Definicion de nuevas restricciones y/o eliminacion de restricciones.

5. Estructuracion de la nueva problematica para el nuevo modelo.

Todo lo anterior se describe esquematicamente en la Figura (1). en donde se muestranlas fases y los resultados de las mismas. Para este trabajo solo se abarcara hasta la fase IIIde esta metodologıa.

0. Metodologıa aplicada XXIV

Figura 1: Metodologıa de Investigacion de Operaciones [41].

Capıtulo 1

Bolsa de Valores y Portafolios deInversion

En este capıtulo se describiran aspectos sobre la Bolsa de Valores, en particular la BolsaMexicana de Valores, el proceso de inversion y con base en lo anterior abordar el problemade seleccion de un portafolio de inversion.

1.1. Bolsa de Valores

Las Bolsas de Valores son establecimientos legalmente autorizados en los que se llevana cabo las operaciones mercantiles relativas a tıtulo valor en cumplimiento con las ordenesde compra y venta que reciben los agentes u operadores de bolsa cuya labor es la inter-mediacion. Ası como, contribuir al ahorro interno, al financiamiento, a la inversion pro-ductiva y la intermediacion bursatil en el paıs, atendiendo las necesidades de empresas,emisores y gobiernos, ası como de inversionistas nacionales y extranjeros. Proporcionarservicios de acceso a la infractructura de la Bolsa que permitan el listado y negociacionesde valores, la difusion de informacion y la operacion del mercado organizado de capitales,deuda y otros activos financieros [73].

La funcion que tiene una Bolsa de Valores es establecer un centro de inversion y derelacion entre dos agentes: ahorradores o inversionistas que buscan colocar su dinero paraobtener un rendimiento determinado y las empresas que necesitan capital para el desarrollode sus negocios. Por lo anterior, las Bolsas de Valores son una de las fuentes de suministrode capital a largo plazo.

Por otra parte, la bolsa ofrece al inversionista tıtulos cotizados (acciones, opciones, etc)que permiten un volumen diario de transacciones que sepueden repetir ilimitadamentecomo objeto ya sea de compra o venta. Las bolsas se crearon para facilitar estas transac-ciones y para dar fe de las operaciones que en ella efectuan los agentes u operadores deBolsa.

Las Bolsas de Valores existen desde la antiguedad. En Atenas existıa lo que se conocıa

1


como emporion y en Roma existıa el collegium mercatorum en el que los comerciantes sereunıan de modo perıodico a una hora fija. Las Bolsas de Valores actuales provienen delas ciudades comerciales italianas y holandesas del siglo XIII. La primera Bolsa de Valoresmoderna fue la de la ciudad holandesa de Amberes, creada en el ano 1460 [80]. Duranteel siglo XVI empezaron a expandirse en toda Europa: en Toulouse (1549), Londres (1571)[82]; mas tarde se crearon las de Amsterdam, Hamburgo y Parıs. En Barcelona existıa unprecedente desde el siglo XIII, pero la Bolsa de Madrid no se creo hasta el siglo XVIII [77].En 1792 se creo la de Nueva York, siendo esta la primera en el continente americano [78].Las Bolsas de Buenos Aires, Mexico, Tokio y Venezuela fueron creadas a fines del sigloXIX [73], [79].

1.1.1. Principales Bolsas de Valores

Las principales Bolsas de Valores del mundo se destacan por un conjunto de criteriosde ponderacion tales como grado de capitalizacion, lıquidez, volumen de transacciones,participacion en el PIB (Producto Interno Bruto), numero de companıas que cotizan, etc.Estas Bolsas son una referencia obligada para conocer la situacion financiera y economicaen el mundo.

A continuacion se enlistan algunas de las Bolsas de Valores mas importantes en laactualidad.

Bolsa de Nueva York [78].

Bolsa de Londres [82].

Bolsa de Frankfurt [81].

Bolsa de Parıs [83].

Bolsa de Tokio [79].

Bolsa Mexicana de Valores [73], entre otras.

En la siguiente seccion se describen con mas detalle los aspectos de la Bolsa Mexicanade Valores.

1.2. Bolsa Mexicana de Valores

Parecerıa que en Mexico se tuvieran dos Bolsas de Valores, ciertamente son dos institu-ciones, pero cada una opera distintos instrumentos, esto es: La Bolsa Mexicana de Valores(BMV) opera valores negociables como tıtulos de deuda y paquetes accionarios de lasempresas. El Mercado Mexicano de Derivados (MexDer) negocia contratos de futuros y


opciones, mismos a los que se les denomina productos derivados, ya que su origen es pre-cisamente que se derivan de los valores que se negocian en las Bolsas de Valores (tıtulosde deuda y acciones) [73].

A traves de estas instituciones es posible realizar la compra-venta de instrumentos deinversion, pues es aquı donde se contactan los inversionistas con los Emisores de Valores(Figura 1.2).

Figura 1.1: Instrumentos financieros [87].

La Bolsa Mexicana de Valores, S.A. de C.V. (BMV) es una institucion privada y se en-carga de proveer la infraestructura adecuada y marco regulatorio que permiten que latransaccion de instrumentos financieros se lleve a cabo con transparencia, seguridad y efi-cacia dentro de un mercado organizado. En este mercado concurren tanto ahorradores (in-versionistas que prestan su dinero a cambio de recibir cierta ganancia) como compradores(emisores que requieren de recursos financieros).

Las principales funciones de la Bolsa Mexicana de Valores se enlistan a continuacion:

Proveer las instalaciones necesarias para la compra-venta de instrumentos fi-nancieros.

Hacer publica la informacion respecto a los instrumentos financieros.

Establecer un marco regulatorio al cual deben sujetarse los participantes, pro-moviendo ası operaciones transparentes y estandarizadas. En caso de no cumplircon estas normas, la BMV tambien establece lineamientos correctivos.

Erroneamente la mayorıa de las personas piensa que la BMV compra y vende valo-res; en la BMV se compran y venden acciones, pero a traves de los agentes, corredores


o brokers, que representan a las Casas de Bolsa. En la BMV solo se efectuan y se regis-tran estas transacciones de compra-venta a traves del sistema llamado SENTRA (SistemaElectronico de Negociacion, Transaccion, Registro y Asignacion). Si un inversionista deseacomprar o vender valores o se desean emitir valores, se debe acudir a un promotor de unaCasa de Bolsa y no directamente a la BMV [50].

En la Figura 1.2 se presenta la estructura organizacional, en donde se puede observarlos organismos que intervienen en el funcionamiento de la BMV.

Figura 1.2: Estructura organizacional de la Bolsa Mexicana de Valores [73].

Los organismos intermediarios son aquellas personas morales que se encargan de po-ner en contacto a las contrapartes que compran y venden valores, realizan las transac-ciones acordadas, brindan asesorıa y llevan a cabo la administracion de portafolios deinversion. En Mexico existe la Asociacion Mexicana de Intermediarios Bursatiles A.C.(AMIB) en la cual se enlistan todas las Casas de Bolsa.

Entre los principales organismos intermediarios pordemos citar a las Casas de Bolsa ya las Sociedades de Inversion. Los intermediarios financieros se enlistan a continuacion.


Instituciones de banca multiple

Instituciones de banca de desarrollo

Casas de Bolsa

Sociedades financieras de objeto limitado

Entidades de ahorro y credito popular

Sociedades de Inversion

Administradoras de Fondos para el Retiro (Afores)

Instituciones de seguros

Instituciones de fianzas

Arrendadoras financieras

Empresas de factoraje financiero

Almacenes generales de deposito

Casas de cambio

Uniones de credito

Grupos financieros

1.2.1. Casas de Bolsa

La Casa de Bolsa es un intermediario bursatil a traves del cual es posible vender ocomprar valores. Los inversionistas que desean comprar o vender valores deben acudir auna Casa de Bolsa y por medio de un promotor, el cual es personal altamente capacita-do que se encuentran registrados y estan autorizados por la CNBV (Comision NacionalBancaria y de Valores) para llevar a cabo operaciones de compra-venta de valores en laBMV. Un promotor le brinda al cliente informacion en base a sus intereses segun los va-lores disponibles en el mercado, si al inversionista le interesa una oferta de precio (ya seapara comprar o vender), entonces firma el contrato de intermediacion. En dicho contrato,intervienen por supuesto dos partes, las contrapartes de la operacion que se realiza, esdecir el comprador y el vendedor, ambos representados por su respectiva Casa de Bolsa.La operacion realizada debe ser resgistrada en el sistema SENTRA.

Dos dıas habiles posteriores el Indeval (Deposito Central de Valores de Mexico) trans-fiere los valores accionarios de la Casa de Bolsa vendedora a la Casa de Bolsa compradora,transfiriendo el importe de la operacion a la Casa de Bolsa vendedora, siendo el inversio-nista el que debe liquidar dicho importe a su Casa de Bolsa representante mas el pago de


una comision previamente acordada por dicha transaccion. En la Figura 1.3 se ilustra esteproceso.

Figura 1.3: Funcionamiento de la Casa de Bolsa [87].

Entre las funciones principales de las Casas de Bolsas se encuentran:

Realizar operaciones de compra-venta de valores.

Asesorıa tanto a emisoras de valores como a los inversionistas.

Registrar las operaciones correspondientes en el SENTRA.

Percepcion de fondos por dichas transacciones.

Las Casas de Bolsa en Mexico se muestran en la Figura A.1 (Apendice A).

1.2.2. Participantes

Dentro de los participantes destacan los inversionistas y por supuesto los emisoresde valores. Resulta interesante mencionar el por que las personas se ven interesadas enrealizar una inversion.

El inversionista es una persona fısica o moral que esta dispuesta a invertir su dinero acambio de obtener cierta ganancia. En las sociedades, existen personas (o empresas) quehan tomado la decision de invertir su dinero, en lugar de gastarlo. Esta decision esta basa-da en las expectativas de obtener un buen rendimiento, una ganancia, de cierta compen-sacion o pago por posponer el uso de ese dinero.


Las personas que invierten dejan de gastar su dinero en ese momento, por lo tantopodemos asegurar que deja de obtener cierta utilidad (satisfaccion obtenida por los bienesy servicios comprados), es decir, la decision de compra es pospuesta, porque se pretendeque invirtiendo el dinero se generara una mayor utilidad o satisfaccion en el futuro deaquella utilidad que se obtendrıa al gastar el dinero en el presente.

Sin embargo, la decision de invertir no es algo sencillo, puesto que existen diversasformas de inversion cada una con ventajas y desventajas diferentes, y por supuesto, elinvertir tambien representa un riesgo.

1.3. Portafolios de inversion

1.3.1. Problema de seleccion de portafolios

Uno de los problemas existentes cuando se desea invertir es precisamente la ampliagama de alternativas que hay en cuanto a los diferentes instrumentos de inversion (todoscon caracterısticas diferentes), es decir, el inversionista se ve inmerso en un conjunto deoportunidades. Existen algunos principios basicos para realizar la seleccion de instrumen-tos financieros con la finalidad de obtener un portafolio eficiente.

Cuando se realizan inversiones, uno de los principios basicos es el de diversificar losriesgos. El conocido dicho popular: “No pongas todos los huevos en la misma canas-ta. . . no sea que se caiga y te quedas sin nada en las manos”. Es una cuestion de sentidocomun. El problema es, desde luego, que la regla no nos dice cuantos huevos debemosponer para minimizar el riesgo.

Cada una de las diferentes formas de diversificar el dinero entre los diversos instru-mentos financieros se le llama portafolio de inversion.

En el problema de seleccion de un portafolio de inversion, dado un conjunto de ins-trumentos financieros disponibles, se quiere encontrar la forma optima de invertir unacantidad particular de dinero en estos instrumentos, es decir, el problema de seleccionde portafolios trata de como conformar un portafolio satisfactorio. Pero es difıcil decidirque instrumentos financieros deberıan seleccionarse, debido a la existencia de incertidum-bres en sus rendimientos.

Construir un portafolio de inversion significa realizar la seleccion adecuada de losinstrumentos de inversion que lo integraran, ası como tambien determinar la proporcionde la inversion que se destinara a cada uno de estos instrumentos.


1.3.2. Elementos basicos de una inversion

Lo atractivo de una inversion por supuesto son los rendimientos obtenidos y estos de-penden no solo del tipo de instrumento en el que se invierte si no tambien del plazo enque este se mantenga y de algunos otros factores. Desafortunadamente la vulnerabilidadde los mercados ante eventos economicos, polıticos y sociales influye en el desempenode los instrumentos de inversion, por lo que existe un nivel de incertidumbre sobre losrendimientos esperados, por lo tanto toda inversion conlleva cierto nivel de riesgo. Otrode los elementos que debe considerarse al realizar una inversion es la liquidez del instru-mento [50].

Los elementos basicos de una inversion se detallan a continuacion:

Rendimiento: Se refiere al porcentaje de ganancia que se obtiene con respecto a la in-version durante cierto periodo de tiempo. Generalmente se genera un mayor rendimientocuando se prolonga el plazo de la inversion. Algunos factores que reducen el nivel derendimiento obtenido son las comisiones e impuestos requeridos para las transacciones yseguimiento de dicha inversion.

Riesgo: Representa la posibilidad de no obtener los rendimientos esperados o de tenerperdidas sobre la inversion inicial, incluso el poder perderlo todo.

Plazo: Este es determinado por el inversionista, puede ser a corto, mediano o largoplazo, es el periodo de tiempo durante el cual no se puede disponer del monto invertidohasta que se cumpla cierto plazo conocido como vencimiento. Es el periodo en el cual sedesea mantener el instrumento.

Liquidez: Es la facilidad con que un activo financiero puede ser vendido o comprado,esto representa por supuesto la rapidez con la cual puede convertirse en efectivo para elinversionista.

Diversificacion: Es la eleccion de diferentes instrumentos de inversion que conformanal portafolio. Dichos elementos tienen caracteristicas propias, distintas entre sı, con lo cualse busca disminuir el riesgo total del portafolio, de tal manera que sea posible obtener elrendimiento esperado por el inversionista. La eleccion de elementos diversificados (quedifieren en sus caracterısticas) permiten equilibrar las perdidas y ganancias que se tienencon los distintos instrumentos.

La Figura 1.4 muestra los elementos basicos de una inversion.

La seguridad de un instrumento financiero se refiere a la relacion existente entre ries-go y rendimiento. Desafortunadamente estos guardan una relacion directamente pro-porcional, es decir, a mayor rendimiento mayor riesgo. Si se desea obtener mayoresrendimientos se debe estar dispuesto a aceptar el riesgo inherente por dichos rendimien-tos, es decir, a aceptar las perdidas probables de no obtener los rendimientos espera-dos, perder parte de la inversion e incluso perderlo todo. Por supuesto que todo mundoesta dispuesto a ganar mas, pero desea que sus probabilidades de perder sean menores.


Figura 1.4: Elementos de una inversion [87].

1.3.3. Modelo de Media-Varianza

La teorıa del portafolio (o cartera) de inversiones, hace parte de los metodos desarro-llados principalmente por Henry Markowitz en 1952 para el manejo de las inversiones enactivos (valores o acciones) o en la administracion de los portafolios de activos.

El analisis de esta teorıa se fundamenta en conceptos estadısticos y economicos, que seaplican en el analisis de la informacion sobre activos, con el fin de obtener conclusionesque permitan construir portafolios eficientes, de acuerdo a las preferencias de los inver-sionistas.

Esta teorıa parte del supuesto de que la mayorıa de los inversionistas son adversos alriesgo, es decir, dados dos activos con igual rentabilidad, se seleccionara el activo con elmenor nivel de riesgo.

Un ejemplo de que la mayorıa de los inversionistas son adversos al riesgo es queadquieren distintos tipos de seguros, incluyendo seguros de vida, de automovil, de ser-vicios medicos, entre otros; involucrando una inversion a largo plazo para protegerse encontra de lo incierto.

Una portafolio o cartera de inversion se define como una combinacion de activos otıtulos individuales, entre ellos se consideran las acciones, bonos, etc. [18].

El objetivo de la formacion de portafolios es reducir el riesgo mediante la diversifi-cacion, es decir, que una combinacion de activos casi siempre sea menos riesgosa quecualquier activo individual.

Pero, ¿como se puede formar portafolios que reduzcan el riesgo de un inversionista?. La teorıadel portafolio trata de la seleccion de portafolios optimos, es decir, portafolios que propor-cionen el rendimiento mas alto posible en cualquier grado especıfico de riesgo, o el riesgomas bajo posible en cualquier tasa de rendimiento.

En terminos generales, el Modelo de Markowitz intenta cuantificar la interrelacion en-tre el comportamiento de los componentes del portafolio para determinar en una situacionespecıfica una cartera lo suficientemente diversificada como para que el riesgo total seamenor que la suma ponderada de sus componentes.


El supuesto fundamental en el que se basa su modelo, es el de que los inversionistasson esencialmente adversos al riesgo. Esto significa que los inversionistas deben ser com-pensados con mayor rendimiento para aceptar un mayor riesgo; consecuentemente, dadaspor ejemplo dos opciones para invertir con igual tasa de rendimiento, un inversionista se-leccionara un activo con un nivel menor de riesgo, rechazando la opcion con mayor riesgo.

En terminos mas tecnicos, el supuesto significa que un inversionista maximiza la uti-lidad esperada en lugar de solo tratar de maximizar los rendimientos esperados, es decir,el inversionista tomara en cuenta el riesgo al seleccionar entre dos o mas opciones deinversion.

Asumiendo la aversion al riesgo, Markowitz desarrollo su modelo de seleccion deportafolios de inversion que se resume en los siguientes puntos:

1. Las caracterısticas mas relevantes del portafolio se definen como su rendimientoesperado y alguna medida de dispersion de los posibles rendimientos alrededor delrendimiento esperado, la varianza suele ser la mas identificable.

2. Los inversionistas racionales escogeran tomar portafolios eficientes, los cuales ma-ximicen el rendimiento esperado para un grado de riesgo dado o, alternativamente,minimicen el riesgo para un rendimiento esperado dado.

3. Es teoricamente posible identificar portafolios eficientes por medio del analisis ade-cuado de la informacion de cada activo tomando en cuenta el rendimiento espera-do, la varianza del rendimiento y la relacion entre el rendimiento de cada activoy el rendimiento de cada otro activo, medida por el coeficiente de correlacion. Larentabilidad de cualquier activo es tomada como una variable aleatoria de caractersubjetivo, cuya distribucion de probabilidad para el periodo de referencia es supues-ta como conocida por el inversionista.

4. Siguiendo la funcion objetivo del problema se indica la proporcion del fondo delinversionista que debe ser invertida en cada tipo de activo, de manera que se alcanceeficiencia, esto es, que maximice el rendimiento para un grado de riesgo dado o queminimice el riesgo para un rendimiento esperado dado.

Siguiendo el Modelo de Markowitz se supone que los rendimientos siguen unadistribucion de probabilidad normal, por lo que estos quedan definidos por solo dosparametros, la esperanza matematica (media) y la desviacion esandar. Con base en estasuposicion se puede hacer el analisis tomando en cuenta la media y la varianza.

Los criterios para evaluar un portafolio de inversion son:

Medir el rendimiento en funcion de la ganancia esperada y

Medir el riesgo en funcion de la varianza.


A continuacion se explicaran brevemente los criterios anteriores

1. Rendimiento en funcion de la ganancia esperada. La ganancia esperada de un ac-tivo cualquiera esta definida como:

r =Pf − Pi

Pi

(1.1)

donde Pf y Pi representan el precio final y el precio inicial del activo respectiva-mente.

Como un portafolio se compone por varios activos, se define el rendimiento espera-do de un portafolio como:

Rp =n

∑

i=1

wiri (1.2)

donde wi representa la proporcion del portafolio invertido en el activo i, conn

∑

i=1

wi =

1 y ri es el rendimiento esperado del activo i.

2. Riesgo en funcion de la Varianza. La varianza para un activo particular esta defini-da como

V ar[Ri] = σ2 = E[r2

i ] − (E[ri])2 (1.3)

El riesgo medido en funcion de la varianza indica el grado de dispersion o variabili-dad en relacion a la esperanza sobre el rendimiento de dicho activo.

Otra definicion para la varianza de un activo es la siguiente [69]:

σ2 =

m∑

i=1

(

ri − Rp

)2

m(1.4)

Para un portafolio de inversion, la varianza estara dada por:

σ2

p =n

∑

i=1

n∑

j=1

wiwjρijσiσj (1.5)

donde wi y wj representan la proporcion invertida en el activo i y en el activo j, ρij

es el coeficiente de correlacion entre el activo i y j y σi, σj es la desviacion estandardel activo i y j. Ası mismo podemos notar que en (1.5), ρijσiσj es por definicion lacovarianza entre los activos i y j.

Igualmente en (1.5), observamos que el riesgo de un portafolio no solo depende delriesgo de los valores que forma el portafolio, sino tambien de la relacion que existe


entre los mismos (coeficiente de correlacion). El valor del coeficiente de correlacion es elque determina el conjunto de oportunidades de portafolio de un inversionista [32].

Un ρij = 1 muestra que un aumento en el rendimiento del activo i va siempreasociado con un aumento proporcional en el rendimiento del activo j. Ası, lavarianza sera una lınea recta.

Un ρij = −1 muestra que un aumento en el rendimiento para un activo vaasociado a una disminucion proporcional en el otro activo, y viceversa. Losactivos tendran una relacion inversa.

Un ρij = 0 muestra la ausencia de correlacion, por lo que los rendimientos decada valor varıan de manera independiente. Como los activos no estan correla-cionados, la relacion entre riesgo y rendimiento no es lineal.

Al aplicar este modelo se debe cumplir con las siguientes condiciones:

a) Rendimientos esperados y varianzas finitas,

b) Todos los activos no tienen el mismo rendimiento esperado.

El modelo asume que la meta del inversionista es disenar un portafolio que minimiceel riesgo alcanzando un rendimiento esperado R∗ predeterminado.

Matematicamente, el problema queda formulado como se define a continuacion

Minσ2

p =n

∑

i=1

n∑

j=1

wiwjρijσiσj (1.6)

Sujeto a:

E[Rp] =n

∑

i=1

wiE[Ri] = R∗ (1.7)

n∑

i=1

wi = 1 (1.8)

wi ≥ 0 para i = 1, . . . , n (1.9)

La primera restriccion, Ecuacion (1.7), expresa la condicion de alcanzar el rendi-miento esperado. La segunda restriccion (1.8), llamada limitacion de presupuesto,requiere que el 100 % del presupuesto sea invertido en el portafolio. Las limitacionesde no negatividad, Ecuacion (1.9) expresan que las ventas en corto no son permiti-das, es decir, no se permite dar o pedir prestado dinero.


1.3.4. Frontera Eficiente

El concepto de eficiente se puede ilustrar por medio de la figura 1.5. El eje vertical dela figura corresponde al rendimiento esperado, el eje horizontal corresponde al riesgo delactivo, el area sombreada representa el conjunto de todos los posibles portafolios que sepueden obtener del grupo de activos dados. Un cierto nivel de rendimiento y un ciertonivel de riesgo seran asociados con cada posible portafolio.

Figura 1.5: Frontera eficiente [25].

Es decir, cada portafolio es representado por un solo punto en el area sombreada dela figura. Se puede notar que el conjunto eficiente es representado por el lımite superiorizquierdo del area sombreada entre los puntos A y B.

Los portafolios situados a lo largo de esta frontera eficiente dominan a los situados bajola lınea. Especıficamente, esos portafolios ofrecen mayores rendimientos que aquellas aun nivel equivalente de riesgo o, alternativamente, ofrecen menor riesgo a un equivalentenivel de rendimiento.

Por ejemplo, se observa que el portafolio C, que no esta situado sobre la frontera efi-ciente, esta dominado por las portafolios D y E, las cuales si estan situadas sobre la fronteraeficiente. El portafolio D ofrece mayor rendimiento que el portafolio C al mismo nivel deriesgo, mientras que el portafolio E implica un menor riesgo que el portafolio C al mismonivel de rendimiento.

Inversionistas racionales preferiran escoger portafolios eficientes, es decir, aquellas so-bre la frontera y no debajo de ella. El portafolio particular que un inversionista individualseleccione de la frontera eficiente, depende de su grado de aversion al riesgo. Un inver-sionista que sea muy adverso al riesgo escogera uno en la parte inferior izquierda de lafrontera, mientras que un inversionista que no tenga tanta aversion al riesgo escogera unoen la parte superior de la frontera.

En la figura 1.6, se muestra la metodologıa que se emplea generalmente para el pro-


ceso de inversion por el metodo de Media-Varianza. El portafolio de inversion optimo seescoge de acuerdo a las preferencias del inversionista.

Figura 1.6: Proceso de inversion por el metodo de Media-Varianza [18].

Capıtulo 2

Sistemas Neurodifusos

En este capıtulo se presenta la teorıa que describe a los sistemas neurodifusos, paraentender sus caracterısticas y funcionamiento. Para cumplir con dicho objetivo se descri-biran los componentes del sistema neurodifuso: la Logica Difusa, el sistema de inferenciadifuso de Takagi–Sugeno; para finalizar con un tipo de sistema neurodifuso: los ANFIS.

2.1. Logica Difusa

Es una rama de la inteligencia artificial que se basa en el concepto de “grados de perte-nencia” el cual permite manejar informacion vaga o de difıcil especificacion si se quisieracambiar con esta informacion el funcionamiento o el estado de un sistema especifico [35].

La logica difusa trata de crear aproximaciones matematicas en la resolucion de ciertostipos de problemas. Pretende producir resultados exactos a partir de datos imprecisos,por lo cual es particularmente util en aplicaciones electronicas o computacionales. Tam-bien permite representar el conocimiento comun, que es en su mayorıa del tipo linguısticocualitativo, en un lenguaje matematico a traves de la teorıa de conjuntos difusos y fun-ciones caracterısticas asociadas a ellos. Por ello, el aspecto central de los sistemas basadosen la teorıa de la logica difusa es que tienen la capacidad de reproducir de manera acepta-ble los modos usuales de razonamiento, considerando que la certeza de una proposiciones cuestion de grado [31].

La logica difusa es una extension de la logica Booleana desarrollada para el manejo delconcepto de “verdades parciales” mediante el uso de expresiones que no son ni totalmenteciertas ni completamente falsas [31]. Funciona como un sistema matematico que modelafunciones no lineales a traves de valores de entrada que luego seran usados para generarlos valores de salida, de acuerdo a las sentencias usadas o planteamientos logicos.

Otro aspecto importante es que la logica difusa descansa en la idea de que en un ins-tante dado, no es posible precisar el valor de una variable X , sino tan solo conocer el gradode pertenencia de cada uno de los conjuntos en que ha particionado dicha variable.

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La logica difusa tiene su origen en la Universidad de California, donde en 1965 el Dr.Lofti A. Zadeh publico su artıculo “Conjuntos Difusos”. En este trabajo describio, a travesde la teorıa matematica de conjuntos, como trabajar matematicamente con conceptos im-precisos, tal como lo hacen los seres humanos. Bajo este pensamiento, introdujo la ideade que los elementos sobre los que se construye el pensamiento humano no son numerossino etiquetas linguısticas. Paralelamente al desarrollo de las aplicaciones de la logica di-fusa, en los anos 80 investigadores teoricos como Takagi y Sugeno trabajan en la primeraaproximacion para construir reglas difusas a partir de datos de entrenamiento y aunqueinicialmente no tiene mucha repercusion, mas tarde sera el punto de partida para investi-gar la identificacion de modelos difusos [31].

2.1.1. Conjuntos difusos

La logica difusa se basa en el concepto del conjunto difuso. Un conjunto difuso es unconjunto sin lımites nıtidos, el cual puede contener elementos con solo un grado parcialde pertenencia. Para entender lo que es un conjunto difuso, en primer lugar hay que con-siderar la definicion de un conjunto clasico.

El conjunto clasico es un conjunto que incluye o excluye totalmente cualquier elementodado. Fue Aristoteles quien formulo por primera vez la Ley del Medio Excluido, que diceque X debe estar en el conjunto A o en el conjunto AC (Complemento). Esta ley exige quelos opuestos, las dos categorıas A y AC , deban contener todo el universo entre ellos.

Los conjuntos clasicos no toleran clasificaciones donde algo puede estar en varios con-juntos simultaneamente, o algo esta dentro o esta fuera. La experiencia humana sugiereque estar en diversos conjuntos es parte de la vida. En discusiones sobre percepcion seentra en un campo en el que la logica “si–no”deja de ser util. El razonamiento difuso sevuelve valioso cuando se trabaja con la forma como la gente realmente percibe el mundo.Mas que cualquier otra cosa, la siguiente declaracion sienta las bases de la logica difusa:“En la logica difusa, la verdad de un enunciado se convierte en una cuestion de grado”.

Cualquier declaracion puede ser difusa. La principal ventaja que ofrece el razonamien-to difuso es la capacidad de respuesta a una pregunta de sı o no con una respuesta no–del–todo–sı–o–no. Los humanos hacen este tipo de cosas todo el tiempo (muy pocas veces seobtiene una respuesta clara a una pregunta aparentemente simple), pero es un truco bas-tante nuevo para las computadoras. El razonamiento en logica difusa es solo una cuestionde generalizar el sı–no de la logica booleana. Si se le da el valor numerico de 1 a “verdad”y el valor numerico de 0 a “falso”, esto indica que la logica difusa tambien permite valoresintermedios como 0.2 o 0.7453.


2.1.2. Variable linguıstica

Las variables linguısticas son palabras o sentencias que se enmarcan en un lenguajepredeterminado. Para ellas se utiliza un nombre y un valor linguıstico sobre un Universode Discurso. La base estructural principal dentro de cualquier sistema de logica difusa esuna variable linguıstica.

La importancia del concepto de variable linguıstica radica en su estimacion de variablede alto orden mas que una variable difusa, en el sentido que una variable linguıstica tomavariables difusas como sus valores. Las etiquetas linguısticas pueden ser caracterizadascomo operadores mas que construcciones complicadas sobre las operaciones primitivasde conjuntos difusos [31].

2.1.3. Funcion de pertenencia

La funcion que determina el modo en como se asigna a los valores de la variable de en-trada un valor o grado de pertenencia a un conjunto, se denomina Funcion de Pertenencia.Es una curva arbitraria que se define como una funcion que convenga desde el punto devista de la simplicidad, comodidad, rapidez, eficiencia y que cambia suavemente desde 0hasta 1.

Un conjunto difuso se define matematicamente como:

A = {(X,µA (X))|x ∈ X} (2.1)

donde µA : X → [0, 1] es la funcion de pertenencia, µA (X) es el grado depertenenciade la variable X y A es el dominio de la aplicacion, llamado en terminos “difusos” elUniverso en Discurso. Visto de otra forma, entre mas cerca este A del valor 1, mayor sera lapertenencia del objeto X al conjunto A.

El tipo de funciones de pertenencia base mas usadas son: trapezoidal, triangular, gaus-siana, entre otras (Figura 2.1) [74]. El numero de funciones de pertenencia asignadas a cadavariable depende del interprete, mientras mayor el numero, mayor sera la resolucion, perotambien mayor la complejidad computacional. Un elemento x dado de X puede poseerun grado de pertenencia distinto para cada Conjunto Difuso existente para X al mismotiempo.


Figura 2.1: Funciones de pertenencia. a) Triangular, b) Trapezoidal, c) Gaussiana [74].

2.1.4. Reglas difusas

El comportamiento de cualquier sistema difuso esta regido por reglas difusas. Estas re-glas son un modo de representar estrategias o tecnicas apropiadas cuando el conocimientoproviene de la experiencia o la intuicion (careciendo de demostracion matematica o fısica),es decir, las reglas utilizan variables linguısticas como vocabulario [37]. Permiten expresarel conocimiento que se dispone sobre la relacion entre antecedentes y consecuentes.

Las instrucciones de la logica difusa parten de reglas difusas que consisten de un an-tecedente (si...) y un consecuente (entonces...). El antecedente puede tener varias partes,para tal caso, todas las partes son calculadas simultaneamente y luego, usando las opera-ciones difusas, se calcula el valor del consecuente. Este tipo de reglas es el mas utilizadoen el diseno de sistemas difusos. Las reglas pueden expresarse de la siguiente forma:

si X es A y/o Y es B, entonces Z es C


donde A y B son los conjuntos difusos de X y Y respectivamente y tienen un valor entre0 y 1, y C es el conjunto difuso de salida. Existen dos caminos para obtener el conjunto dereglas correspondientes a un conjunto de datos numericos:

1. Dejar que los datos establezcan los conjuntos difusos que aparecen en los an-tecedentes y consecuentes.

2. Predefinir los conjuntos difusos para antecedentes y consecuentes y luego asociarlos datos a esos conjuntos.

La interpretacion de las reglas difusas involucra un proceso de tres partes, que son(Figura 2.2):

Figura 2.2: Interpretacion de reglas difusas [87].

Primero, la difuminacion (fusificacion) de los valores de entrada. Esta parte con-vierte todas las sentencias difusas del antecedente en un grado de pertenencia entre0 y 1. Si el antecedente es solo de una parte, este es el grado de apoyo de la regla.

Segundo, se aplican los operadores difusos, si el antecedente presenta mas de unaparte, obteniendo un unico valor entre 0 y 1, este sera el grado de apoyo de la regla.

Por ultimo, se aplica el resultado al consecuente de la regla difusa, llamado impli-cacion, la cual asigna un grupo completo a la salida. El grado de apoyo definitivo dela regla se utiliza para modelar el grupo difuso de la salida el cual se representa poruna funcion de pertenencia escogida para indicar las caracterısticas del consecuente.Si el antecedente es verdad parcialmente, entonces el consecuente tambien lo sera enel mismo grado.

La salida de cada regla difusa es un conjunto difuso y son evaluadas paralelamente,permitiendo una transicion suave entre ellas. Los conjuntos de cada regla son unidos enuna sola salida de conjunto difuso el cual es cuantificado (desdifusor) y se resuelve en unsolo numero.

2.2. Sistema de Inferencia Difuso

Los sistemas de inferencia difusa, FIS, se basan en un conjunto de reglas heurısticasdonde las variables linguısticas de las entradas y salidas se representan por medio de


conjuntos difusos. Se conoce como inferencia difusa, el proceso mediante el cual se repre-senta a partir de una entrada, una salida, utilizando logica difusa [31]. Esta representacionprovee, entonces, la base sobre la que se pueden tomar decisiones o discernir patrones. Lossistemas de inferencia difusa han sido aplicados exitosamente en diversos campos comocontrol automatico, clasificacion de datos, analisis de decisiones, etc. [35].

Los sistemas difusos estan compuestos generalmente como muestra la Figura 2.3:

Bloque difusor: en este bloque a cada variable de entrada se le asigna un grado depertenencia a cada uno de los conjuntos difusos que se ha considerado, mediante las fun-ciones caracterısticas asociadas a estos conjuntos difusos. Las entradas a este bloque sonvalores concretos de las variables de entrada y las salidas son grados de pertenencia a losconjuntos difusos considerados.

Bloque de inferencia: bloque que, mediante los mecanismos de inferencia, relacionaconjuntos difusos de entrada y de salida y que representa a las reglas que definen elsistema. Las entradas a este bloque son conjuntos difusos (grados de pertenencia) y lassalidas son tambien conjuntos difusos, asociados a la variable de salida [31].

Desdifusor: bloque en el cual a partir del conjunto obtenido en el mecanismo de infe-rencia y mediante los metodos matematicos de desdifusion, se obtiene un valor concretode la variable de salida. El bloque desdifusor realiza la funcion contraria al difusor. Eldifusor tiene como entradas valores concretos de las variables de entrada y como salidasgrados de pertenencia a conjuntos difusos (entre 0 y 1). La entrada al bloque desdifusores el conjunto difuso de salida, resultado del bloque de inferencia y la salida es un va-lor concreto de la variable de salida. Para obtener, a partir del conjunto difuso de salida(que resulta de la agregacion de todas las reglas) un resultado escalar, se aplican meto-dos matematicos [31]. Algunos de estos metodos matematicos son Metodo del Maximo,Metodo del Centroide, y Metodo de la Altura.

Figura 2.3: Esquema general de un sistema basado en logica difusa [87].


La inferencia difusa es el proceso de asignacion de una entrada determinada a unasalida usando logica difusa. La asignacion provee una base sobre la cual se pueden tomardecisiones o discernir patrones. En general los sistemas de inferencia difusa se comportanigual con pequenas particularidades.

El proceso de inferencia difusa consta de 4 partes [35]:

1. La difuminacion de las entradas consiste en determinar el grado de pertenencia detodos los valores de cada variable en todos y cada uno de los conjuntos difusosasignados a partir de las funciones de pertenencia respectivos.

2. Aplicar los Operadores Difusos despues de difuminar las entradas cuando el an-tecedente de una regla presenta 2 o mas partes, para obtener un numero entre 0 y 1que representa el resultado del antecedente de la regla, el cual es aplicado a la fun-cion de salida. Cuando el antecedente de una regla solo tiene una parte, ese es elgrado aplicado a la funcion de salida. El operador mınimo considera el menor entrelas partes del antecedente; el producto calcula la multiplicacion entre las partes; elmaximo considera el mayor entre las partes y el probabilıstico OR (probor) es de laforma:

probor(A,B) = A + B − (A · B) . (2.2)

3. Aplicar el Metodo de la Implicacion aplicando el grado resultante del antecedente(wi) a la funcion consecuente Zi de cada regla, previamente modificado por un peso(entre 0 y 1), que es asignado manualmente, para determinar el aporte al resultado.

4. El resultado final es una suma de peso ponderado de las salidas de las N reglasdifusas, de acuerdo con:

Zf =

N∑

i=1

wiZi

N∑

i=1

w1

. (2.3)

En la Figura 2.4 se muestra un esquema general del sistema de inferencia difusa.


Figura 2.4: Esquema general de un sistema de inferencia difusa [87].

2.2.1. Metodo de Inferencia Difusa de Mamdami

El modelo Mamdami, fue propuesto por Ebrahin Mamdami en 1975, como un intentode controlar una combinacion de maquina de vapor y una caldera, sintetizando un grupode reglas de control obtenidas de la experiencia de los operadores. Mamdami se baso enel trabajo publicado por Lofti Zadeh [31].

2.2.2. El Metodo de Inferencia Difusa Sugeno o Takagi–Sugeno

El modelo Takagi–Sugeno(TS) introducido en 1985, es muy similar al modelo Mam-dami; de hecho las dos primeras partes de los procesos de inferencia Fusificacion de laentrada y Aplicacion del operador difuso, son exactamente iguales [31].

El modelo TS consta de un grupo de reglas difusas de la forma Si–Entonces con laestructura siguiente:

Ri : Si x es Ai1 y . . . xm es Aim Entonces yi = ai1x1 + . . . + aimxm + ai0 (2.4)

donde i = 1, 2, . . . , c, j = 1, 2, ...,m, Ri representa la i-esima regla difusa, x son las variablesde entrada, yi son las variables locales de salida, Ai1, . . . , Aim son las variables linguısticasantecedentes y ai1, . . . , aim, ai0 son los parametros del modelo consecuente. Para un vectorde entrada x, la salida global inferida por el modelo TS se calcula a traves de la formuladifusa de peso promedio, ecuacion 2.3.


2.3. Sistemas de Inferencia Neurodifuso Adaptativos (AN-

FIS)

ANFIS (de sus siglas en ingles de Adaptative Neuro Fuzzy Inference System) es unmetodo que permite sintonizar o crear la base de las reglas de un sistema difuso, utilizan-do el algoritmo de entrenamiento de retro-propagacion a partir de la recopilacion de datosde un proceso. Su arquitectura es funcionalmente equivalente a una base de reglas de tipoSugeno.

En 1993 J. R. Jang desarrollo un nuevo modelo para combinar reglas de razonamientodifuso. Esta nueva combinacion se puede simular con base en redes neuronales. Un sis-tema de razonamiento difuso planteado como una red de tipo neuronal y disenado con lacapacidad de aprendizaje de dicha red recibe el nombre de ANFIS [35].

Un modelo ANFIS es un modelo hıbrido donde las reglas se aplican siguiendo unaestructura de red tipo neuronal que puede ser interpretada como una red neuronal conparametros difusos o como un sistema difuso con parametros o funcionamiento distribui-do.

Las capacidades adaptivas de las redes ANFIS las hacen directamente aplicables a unagran cantidad de areas como la sintonizacion automatizada de los controladores difu-sos, en el modelado donde se necesita explicar datos pasados y predecir datos futuros,en control adaptativo, en procesamiento y filtrado de senales, en clasificacion de datos yextraccion de caracterısticas a partir de ejemplos, entre otros.

ANFIS es una red adaptiva. Este tipo de red es aquella direccionada hacia adelante(feedforward) que consiste en nodos y enlaces direccionales. Los nodos son adaptivos sisus salidas dependen, no solo de sus entradas, sino tambien de parametros modificablesde la funcion interna del nodo. Una red adaptiva tiene alguno o todos sus nodos adap-tivos, es decir, que la salida de los mismos depende de los parametros que pertenecen aeste y la regla de aprendizaje especıfica que debe cambiar en los parametros para mini-mizar la medida de error. El conjunto de parametros de una red adaptiva es la union delos conjuntos de parametros de cada nodo adaptivo. Para conseguir una relacion entrada–salida, los parametros de la red se determinan con base en datos de entrada que se de-nominan datos de entrenamiento dentro de un proceso de aprendizaje.

La regla basica de aprendizaje de las redes adaptivas se basa en un proceso de op-timizacion generalmente del tipo de gradiente descendente y la regla de la cadena parapropagar el error hacia las capas internas de la red.

Un sistema ANFIS engloba las mejores caracterısticas de los sistemas difusos y de lasredes neuronales. De los primeros utiliza la representacion d el conocimiento previo enun conjunto de restricciones (que se representan en la topologıa de la red) para reducir elespacio de busqueda de optimizacion, mientras que de las redes neuronales emplean laadaptacion de propagacion inversa a la red estructurada para automatizar el ajuste de los


parametros.

La parte de la premisa de una regla define un subespacio difuso, mientras que el con-secuente especifica la salida dentro de ese subespacio.

La estructura de los sistemas ANFIS permite utilizar metodos cualitativos y cuantita-tivos en la construccion de modelos. Ademas permite integrar, a la informacion inclui-da dentro de un conjunto de datos, el conocimiento de expertos expresados en formalinguıstica y a traves de la teorıa de conjuntos difusos, expresados con base en funcionesde pertenencia. Con esto se involucra todo el conocimiento disponible.

2.3.1. Arquitectura de un modelo ANFIS

Este sistema hıbrido neurodifuso es funcionalmente equivalente al mecanismo de in-ferencia TS. Para este sistema de inferencia de primer orden hay un conjunto de reglasdifusas SI–ENTONCES en las que los niveles de activacion se calculan utilizando el o-perador AND que puede modelarse por una t-norma continua (producto). Las salidasindividuales de cada regla se obtienen como una combinacion lineal entre los parametrosdel antecedente de cada regla. La salida de control del modelo se obtiene por la normali-zacion de los grados de activacion de las reglas multiplicado por la salida individual decada regla [31].

Este tipo de inferencia se representa por medio de una red neuronal hıbrida adapta-ble con 5 capas. Cada capa representa una operacion del mecanismo de inferencia difusa.Todos los nodos de una misma capa tienen la misma funcion (los nodos que estan repre-sentados como cuadrados en la figura son los adaptables, sus parametros son ajustables),como se muestra en la Figura 2.5.

Figura 2.5: Arquitectura ANFIS [87].

Partimos de la suposicion de que el sistema de inferencia difusa tiene dos entradas (xe y) y una salida (z) y de que la base de reglas tiene dos reglas fuzzy SI-ENTONCES del


tipo Takagi–Sugeno:

Regla 1: Si x es A1 y y es B1, entonces z1 = p1x + q1y + r1 Regla 2: Si x es A2 y y es B2,entonces z2 = p2x + q2y + r2

Las cinco capas de la estructura de la red ANFIS son las siguientes:

Capa 1: Las entradas se corresponden con las entradas al sistema (x e y) y la salida esel grado de pertenencia para el cual la variable de entrada satisface el termino linguısticoAi asociado al nodo.

esta es una de las dos capas que tienen parametros ajustables, como se ha dicho antes,en este caso, los parametros son los que representan las particiones difusas usadas en lasreglas, es decir, se corresponden con los parametros de las funciones de pertenencia de lasentradas.

Como funcion de pertenencia se suele elegir una de las que tienen forma de campanacon valor maximo en 1 y mınimo en 0.

O1

i = Ai (x) (2.5)

Capa 2: Cada nodo calcula el grado de activacion de la regla asociada al mismo. Ambosnodos estan representados por T en el dibujo porque pueden representar cualquier T–norma para modelar la operacion logica AND. Se suelen conocer como nodos de reglas.

El grado de activacion de la regla se obtiene multiplicando las senales de entrada (sali-da de los nodos de la capa 1), aunque puede utilizarse un operador T- norma para calcu-larlo.

O2

i = wi = Ai (x) · Bi (y) , i = 1, 2, . . . (2.6)

Capa 3: Cada nodo de la capa 3 esta representado por N en el dibujo de forma que seindica la normalizacion de los grados de activacion. Su salida es el grado de activacionnormalizado (respecto a la suma de los grados de activacion) de la regla i. Cada nodo secorresponde con una de las reglas que se han introducido en el sistema.

O3

i = wi =wi

w1 + w2

, i = 1, 2, . . . (2.7)

Capa 4: La salida de los nodos se corresponde con el producto entre el grado de acti-vacion normalizado (salida de la capa 3) por la salida individual de cada regla (calculadapor los nodos de esta capa).

O4

i = wizi = wi (pix + qiy + ri) , i = 1, 2, . . . (2.8)


pi, qi, ri forman el conjunto de parametros. Los parametros de esta capa se conocencomo parametros del consecuente. Esos parametros, son los coeficientes de las funcioneslineales que forman el consecuente de las reglas. Son parametros ajustables, como los dela capa 1 [31].

Capa 5: Tiene un unico nodo que calcula la salida total del sistema (agregacion) comola suma de todas sus senales de entradas individuales.

O5 = z0 = wiz1 + w2z2 (2.9)

En resumen, cada una de las capas tiene una mision concreta dentro del sistema:

La primera capa representa la capa de pertenencia.

La segunda capa se usa para generar el grado de disparo de la regla (T- norma).

La tercera capa actua de normalizador.

La cuarta capa calcula la salida

La ultima capa combina todas las salidas en una en su unico nodo.

2.3.2. Aprendizaje ANFIS

En un modelo ANFIS hay que entrenar los parametros de los del antecedente (cons-tantes que caracterizan las funciones de pertenencia) y parametros del consecuente (coe-ficientes de las funciones lineales del consecuente de las reglas). Los enlaces entre nodossolo indican la direccion en la que fluyen las senales, no tienen pesos asociados. Los algo-ritmos de aprendizaje que suelen emplearse son de gradiente descendente para optimizarlos parametros del antecedente y el algoritmo de mınimos cuadrados para determinar losparametros lineales del consecuente, debido a esta combinacion, la regla de aprendizajese conoce como “regla de aprendizaje hıbrido”.

El proceso de aprendizaje del ANFIS intenta desplazar los valores de los parametrosde las funciones de pertenencia de forma proporcional a la derivada del error respectoa ese parametro (gradiente descendente). Esto lo hace calculando la suma de los erro-res cuadraticos medios (diferencia entre la salida deseada y la salida de la red). Utilizael gradiente de ese error (indica hacia donde se produce el mayor incremento del error),en negativo, para minimizar el error. Para conseguirlo, multiplica cada parametro del an-tecedente por un valor proporcional al gradiente respecto de ese parametro de entrada (ennegativo). Ese valor proporcional es lo que se conoce como factor de aprendizaje. Con esose van ajustando los parametros del antecedente de forma que se va reduciendo el errorproducido por el sistema ANFIS. El problema principal es que cuando el gradiente delerror es muy pequeno hacen falta muchas iteraciones para disminuir el error [31].

Capıtulo 3

Desarrollo del Sistema Neurodifuso

En el presente capıtulo se describiran las caracterısticas principales del sistema neuro-difuso que se propone para la conformacion de portafolios de inversion. Para seleccionarun portafolio de inversion, se realizara un analisis del comportamiento pasado de las co-tizaciones de las acciones, para predecir los precios futuros y en base a esto, obtener lospesos del portafolio. A continuacion se presenta una descripcion general del sistema.

3.1. Seleccion de activos

Para este estudio los activos que se consideraran para conformar el portafolio de in-version seran acciones que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores.

La seleccion de las acciones se hara considerando la bursatilidad1 de las mismas (bur-satilidad alta) y de aquellas que presenten el mejor rendimiento. El rendimiento de unactivo estara dado por:

ri =Pf − Pi

Pi

(3.1)

donde Pi y Pf son los precios al cierre inicial y final, respectivamente, de la j-esima ac-cion. Del medio ambiente (Mercado Accionario) se obtendran los precios historicos de lasacciones que conformaran el portafolio. Al seleccionar los activos de esta forma, estamosoptimizando el rendimiento del portafolio de manera indirecta.

1La bursatilidad es un indicador que considera el desempeno, durante los ultimos 6 meses, de una acciondeterminada en el mercado accionario, y nos sirve para identificar el grado de liquidez que tienen dichasacciones. Por su grado de Bursatilidad, las acciones se pueden clasificar como de Alta, Media, Baja y Mınima.

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3.2. Arquitectura del ANFIS

Se aplica un sistema de inferencia neurodifuso de multiples ANFIS (MANFIS) parapredecir los precios futuros de cada accion. Los valores de entrada del sistema neurodifusoseran el precio al cierre (P) de la accion y el promedio movil de 5 dıas (MA). Utilizarpromedios moviles nos enfatiza la direccion de la tendencia y suaviza las fluctuacionesdel precio y volumen que pueden confundir las interpretaciones [23].

Las salidas del MANFIS seran los precios diarios normalizados de las acciones. Lanormalizacion se efectua de acuerdo a la normalizacion MIN-MAX, la cual se define como[86]:

PN =2p − (max (p) + min (p))

max (p) − min (p)(3.2)

donde −1 ≤ PN ≤ 1, p es el precio actual, max(p) y min(p) es el maximo y mınimo delos precios de dicho activo, respectivamente. La normalizacion se realiza para eliminar lasvariaciones en series historicas de los precios.

El sistema se compone de n ANFIS con un conjunto de reglas independientes, corres-pondientes a los precios normalizados de cada accion que conforma el portafolio.

La arquitectura del sistema MANFIS es un modelo de dos entradas y n salidas mostra-do en la figura 3.1, donde P y MA son las entradas correspondientes y PN1, PN2, . . . , PNn

son las salidas que corresponden a los precios normalizados de cada accion.

Figura 3.1: Arquitectura MANFIS con 2 entradas y n salidas [87].

Los datos se preprocesaran con el fin de obtener los conjuntos difusos y los parametrosiniciales de las funciones de pertenencia, las variables linguısticas para ambas entradas


seran bajo, medio y alto. Para cada sistema ANFIS dentro de la arquitectura MANFIS, setienen el mismo numero de funciones de pertenencia, 3, todas de tipo gaussiana.

A la salida del sistema MANFIS se obtienen los precios normalizados para cada ac-cion, y se calcula el error entre dichos precios y los precios deseados. En base a este errorcada sistema ANFIS ajusta los valores de sus funciones de pertenencia para ir adaptandoel sistema hasta obtener el resultado deseado, el objetivo es que el error tienda a cero amedida que avanza el tiempo.

En la figura 3.2 se muestra un conjunto de funciones de pertenencia gaussianas ini-ciales con las tres variables linguısticas para cada entrada del sistema (precio al cierre ypromedio movil).

20 30 40 50 60 70

0

0.5

1

Precio

Gra

do d

e pe

rten

enci

a

Bajo Medio Alto

20 30 40 50 60 70

0

0.5

1

Promedio móvil

Bajo Medio Alto

Figura 3.2: Funcion de pertenencia gaussiana para las entradas del ANFIS [87].

Las reglas de inferencias utilizadas para el ANFIS seran las de Takagi-Sugeno (ver en2.3), el numero de reglas vendra dado por vx, donde v es el numero de variables linguis-ticas y x es el numero de entradas del ANFIS. En la figura 3.3 se observa la estructurasuperficial de cada ANFIS con dos entradas y una salida.


Figura 3.3: Estructura superficial del ANFIS [87].

La estructura interna de cada ANFIS se muestra en la figura 3.4, se observa detallada-mente los elementos del sistema de inferencia, descrito anteriormente en 2.3.

Figura 3.4: Estructura interna del ANFIS [87].

El conjunto de datos se dividiran en dos conjuntos: entrenamiento y el de prueba.Generalmente el conjunto de prueba conforma 1/5 del total de los datos.

Teniendo los conjuntos de datos se inicia la etapa de entrenamiento secuencial ini-cializando la primera ANFIS dentro de la rutina anfisedit del Toolbox Fuzzy Logic deMATLAB c© 2. Configurados los parametros y cargados los datos de ambas entradas seprocede al entrenamiento del primer sistema ANFIS 1 para PN1, al finalizar las epocas

2MATLAB c© es desarrollado por The MathWorks, Inc.


del entrenamiento y/o alcanzado el error deseado, se guardan los datos entrenados, loscuales se utilizaran para pruebas despues de haber finalizado el entrenamiento de las AN-FIS restantes.

Terminado el entrenamiento de ANFIS 1 y guardados los datos, se sigue el mismo pro-ceso de entrenamiento para ANFIS 2 hasta el ANFIS n, es decir, se inicializan, se entrenay se guardan los datos de cada ANFIS. Al terminar el entrenamiento de los n sistemas, seinicia la etapa de pruebas para comprobar el funcionamiento correcto del sistema total,esto bajo la misma plataforma computacional.

En la figura 3.5 se muestra el algoritmo secuencial, el cual resume todo lo descrito enparrafos anteriores. La estimacion de los parametros del portafolio de inversion (rendi-miento, riesgo, pesos, etc) a partir de los resultados arrojados del ANFIS se describiran enla siguiente seccion.

Figura 3.5: Algoritmo secuencial del sistema MANFIS [87].


3.3. Portafolio de inversion

Las formulas de rendimiento y riesgo del portafolio se modifican con base en lo de-scrito en 1.3.3. El rendimiento diario esperado en el periodo t en el ANFIS se calcula deacuerdo a:

Rt =n

∑

i=1

witrit (3.3)

con rit esta dado por la ecuacion (1.1) y los pesos del portafolio se describen por:

wit =uit

n∑

i=1

uit

(3.4)

donde uit es el precio normalizado de la i-esima accion (salida del ANFIS) para el t-esimoperiodo y n es el numero de acciones que conformaran el portafolio.

La ecuacion (3.4) nos indica que los pesos son una proporcion entre el precio normali-zado de la i-esima accion (estimado con el ANFIS) y la cantidad total a invertir.

La ecuacion (3.4), debe cumplir con la condicion

n∑

i=1

wi = 1. (3.5)

Cabe notar que el valor de cada peso no se le sujeta a ninguna restriccion, como en (1.9)del modelo de media-varianza de Markowitz, es decir que puede tomar cualquier valor.En el caso de que wi < 0, lo que nos indica es que se permite la venta corta3 de los activos.

El riesgo del portafolio en el periodo tse obtiene a partir de la ecuacion (1.4). El esque-ma general del sistema propuesto para la seleccion de portafolios de inversion se muestraen la figura 3.6.

3La venta corta es un mecanismo que funciona como arriendo de los papeles a un tercero, con el compro-miso de recompra en un perıodo determinado, ganando o perdiendo las diferencias de precio entre ambasfechas. El objetivo es vender los papeles en un momento inicial de tiempo y cuando caen, comprarlos masbaratos.


Figura 3.6: Esquema general del sistema propuesto para la seleccion de portafolios deinversion [87].

Capıtulo 4

Estudio de Caso

En este capıtulo se presenta un estudio de caso para conformar un portafolio de in-version con cinco acciones que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores, con el sistemaneurodifuso propuesto en el capıtulo 3.

4.1. Acciones

Como se describıa en la seccion 3.1, se tomaron en cuenta los activos que se encuentrandentro del grupo de bursatilidad alta segun [72] al 04/03/2010, se obtuvieron las serieshistoricas en el periodo de tiempo del 03/03/2008-01/03/2010 (504 dıas) en [75]. En elApendice B se describen las acciones que conforman este grupo.

Se estimaron los rendimientos a cada accion y se seleccionaron los cinco activos conmejor rendimiento diario promedio, los cuales se presentan en la Tabla 4.1.

Activo Rendimiento ( %)

BIMBO 0.1250WALMEX 0.1184

ALFA 0.1118KIMBER 0.1082

GMODELO 0.0095

Tabla 4.1: Acciones que presentan el mejor rendimiento, dentro del grupo de bursatilidadalta.

En las Figuras 4.1 a)-e) se muestran las series historicas de las acciones seleccionadaspara conformar el portafolio de inversion, para el periodo de tiempo del 03/03/2008-01/03/2010.

34


Figura 4.1: Serie historica de las acciones: a) ALFA, b) BIMBO, c) GMODELO, d) KIM-BER, e) WALMEX.

En la Figura 4.1 observamos que el comportamiento en el precio de cada acciones esmuy similar, es decir no presentan fluctuaciones drasticas, con excepcion de ALFA, que ala mitad del periodo presenta una caıda del $50; esto se debe a que en esas fechas Mexicoatravesaba una crisis financiera.

Con las series historicas obtenidas se estimaron los promedios moviles y precios nor-malizados, todo esto para formar los conjuntos de entrenamiento (403 pares de datos)y el de prueba (100 pares de datos). El sistema neurodifuso se desarrollo con ayuda delToolbox Fuzzy Logic de MATLAB R2009a.

Como se describıa en el capıtulo anterior, el numero de reglas difusas para cada ANFISsera de 9, en la Tabla 4.2 se presentan las nueve reglas del tipo Takagi-Sugeno.


1 Si P es Bajo y MA es Bajo entonces PN es f1

2 Si P es Bajo y MA es Medio entonces PN es f2

3 Si P es Bajo y MA es Alto entonces PN es f3

4 Si P es Medio y MA es Bajo entonces PN es f4

5 Si P es Medio y MA es Medio entonces PN es f5

6 Si P es Medio y MA es Alto entonces PN es f6

7 Si P es Alto y MA es Bajo entonces PN es f7

8 Si P es Alto y MA es Medio entonces PN es f8

9 Si P es Alto y MA es Alto entonces PN es f9

Tabla 4.2: Reglas difusas del ANFIS.

Las funciones de pertenencia iniciales para precio y promedio movil se muestra en laFigura 4.2, solo se presenta un grafico ya que dichas funciones son identicas para ambasentradas.

Figura 4.2: Funciones de pertenencia iniciales para: a) ALFA, b) BIMBO, c) GMODELO,d) KIMBER, e) WALMEX


4.2. Conjunto de entrenamiento

Una vez definidas las funciones de pertenencia y las reglas difusas procedemos aentrenar el MANFIS con el algoritmo secuencial con 100 epocas, para el conjunto deentrenamiento. En la Tabla 4.3 se presentan las caracterısticas principales de cada ANFISal iniciar el entrenamiento.

Numero de nodos 35Numero de pares de datos de entrenamiento 403Numero de pares de datos de prueba 100Numero de reglas difusas 9

Tabla 4.3: Caracterısticas de cada ANFIS.

La Figura 4.3 nos ilustra el error de entrenamiento, dado por el Error Cuadratico Medio(ECM)1, para 100 epocas del MANFIS.

Cabe notar que aunque los errores son pequenos (≈ 10−5), a medida que transcurrenlas epocas de entrenamiento estos empiezan a incrementarse, indicandonos que el sistemaneurodifuso termina su entrenamiento despues de finalizar la epoca 2 para evitar un so-breaprendizaje; con excepcion del ANFIS de GMODELO, que su entrenamiento finalizaen las 100 epocas.

Figura 4.3: Error resultante del sistema entrenado para el conjunto de entrenamiento delas acciones: a) ALFA, b) BIMBO, c) GMODELO, d) KIMBER, e) WALMEX.

1Consiste en la suma de las diferencias al cuadrado entre lo real y lo proyectado por el modelo.


En las Figuras 4.4 – 4.8 se presentan los comparativos entre los valores reales y losproyectados por el MANFIS para el conjunto de entrenamiento, ası tambien se presentanlos errores de prediccion para cada activo que conforma el portafolio. Cabe mencionarque en general los valores proyectados por el MANFIS para el conjunto de entrenamientoson muy buenos, es decir se obtienen errores de prediccion muy pequenos (≈ 10−4). Paratodos los casos se presenta mucha variacion en los errores de prediccion, pero en promediose mantienen constantes alrededor del cero.

Figura 4.4: a) Comparativo entre los valores originales de ALFA y los proyectados por elANFIS para el conjunto de entrenamiento. b) Errores de prediccion.


Figura 4.5: a) Comparativo entre los valores originales de BIMBO y los proyectados porel ANFIS para el conjunto de entrenamiento. b) Errores de prediccion.

Figura 4.6: a) Comparativo entre los valores originales de GMODELO y los proyectadospor el ANFIS para el conjunto de entrenamiento. b) Errores de prediccion.


Figura 4.7: a) Comparativo entre los valores originales de KIMBER y los proyectados porel ANFIS para el conjunto de entrenamiento. b) Errores de prediccion.

Figura 4.8: a) Comparativo entre los valores originales de WALMEX y los proyectadospor el ANFIS para el conjunto de entrenamiento. b) Errores de prediccion.


Al entrenarse el MANFIS se ajustan las funciones de pertenencia, en la Figura 4.9 semuestra las funciones de pertenencia finales, solo se presenta un grafico ya que dichasfunciones son identicas para ambas entradas. En general para todas las ANFIS se nota undesplazamiento hacia la izquierda.

Figura 4.9: Funciones de pertenencia finales para: a) ALFA, b) BIMBO, c) GMODELO, d)KIMBER, e) WALMEX.

Con los conjuntos de entrenamiento, las funciones de pertenencia y las reglas difusasel Toolbox Fuzzy Logic genera las superficies de respuesta de las salidas para cada ANFIS,como se muestra en las Figuras 4.10 – 4.14.


Figura 4.10: Superficie de salida para la accion ALFA.

Figura 4.11: Superficie de salida para la accion BIMBO.


Figura 4.12: Superficie de salida para la accion GMODELO.

Figura 4.13: Superficie de salida para la accion KIMBER.


Figura 4.14: Superficie de salida para la accion WALMEX.

Analizando las superficies de respuesta generadas por el MANFIS, se puede observarque los precios normalizados mınimos y maximos de cada activo se pueden obtener delas siguientes combinaciones:

Mınimo: precio bajo y promedio movil bajo.

Maximo: precio alto y promedio movil alto.

4.3. Conjunto de prueba

Ahora verifiquemos como se comporta el MANFIS ante datos desconocidos, en estecaso el conjunto de prueba.

En la Figura 4.15 se muestra los errores resultantes del sistema para el conjunto deprueba, igual que en el caso del conjunto de entrenamiento la mayorıa de las ANFIS, elECM se incrementa al paso de cada epoca; por lo que la ejecuccion del ANFIS finalizadespues de la 2da. epoca, caso contrario en GMODELO (Figura 4.15 c)) que se disminuyeel ECM en el trancurso de las primeras 40 epocas (con mucha fluctuacion) para poste-riormente comenzar a incrementarse. Por lo anterior se finaliza la ejecuccion del ANFISdespues de la epoca 40.


Figura 4.15: Error resultante del sistema entrenado para el conjunto de prueba de las ac-ciones: a) ALFA, b) BIMBO, c) GMODELO, d) KIMBER, e) WALMEX.

Los ECM obtenenidos de la salida del sistema asociados al entrenamiento y prueba,presentan errores muy pequenos. En la Tabla 4.4 se presentan los errores ECM de la salidadel sistema.

ActivoECM

Entrenamiento Prueba(x10−5) (x10−3)

ALFA 3.03 0.95BIMBO 6.17 5.50

GMODELO 2.69 0.88KIMBER 7.35 1.30

WALMEX 4.86 7.90

Tabla 4.4: Error resultante del MANFIS para el conjunto de entrenamiento y prueba.

En las Figuras 4.16 – 4.20 se muestran los comparativos entre los valores reales y losproyectados por el MANFIS para el conjunto de prueba para cada activo que conformael portafolio. Similarmente que en el conjunto de entrenamiento, los errores de prediccionson pequenos (≈ 10−3), por lo que comprobamos la buena generalizacion del sistema ante


datos desconocidos, es decir, el MANFIS propuesto es un buen modelo de prediccion delos precios normalizados.

En ALFA (Fig. 4.16 b)) se mantiene constante (≈ 0) para las proyecciones del 1er. mes,posteriormente se incrementa hasta llegar a su punto mas alto al finalizar el periodo deprediccion.

En BIMBO (Fig. 4.17 b)) no presenta variaciones drasticas en los errores, es mas seobservan incrementos suaves para llegar al valor maximo al final del periodo.

En GMODELO (Fig. 4.18 b)) es el caso que presenta mayor variacion en las estima-ciones; con variaciones de (≈ ±1 × 10−3), para al final del periodo se presenta el pico masalto.

En KIMBER (Fig. 4.19 b)) se mantiene constante (≈ 0) para las proyecciones del 1ero.al 3er mes, posteriormente en los ultimos 10 dıas se incrementa ≈ 7 × 10−3.

En WALMEX Fig. 4.20 b)) se mantiene constante (≈ 0) durante los primeros 25 dıas,posteriormente se incrementa suavemente hasta llegar al punto maximo al final del peri-odo.

Figura 4.16: a) Comparativo entre los valores reales de ALFA y los proyectados por elANFIS para el conjunto de prueba. b) Errores de prediccion.


Figura 4.17: a) Comparativo entre los valores reales de BIMBO y los proyectados por elANFIS para el conjunto de prueba. b) Errores de prediccion.

Figura 4.18: a) Comparativo entre los valores reales de GMODELO y los proyectados porel ANFIS para el conjunto de prueba. b) Errores de prediccion.


Figura 4.19: a) Comparativo entre los valores reales de KIMBER y los proyectados por elANFIS para el conjunto de prueba. b) Errores de prediccion.

Figura 4.20: a) Comparativo entre los valores reales de WALMEX y los proyectados por elANFIS para el conjunto de prueba. b) Errores de prediccion.


4.4. Portafolio de inversion

El portafolio de inversion se genera a partir de los datos proyectados del MANFIS delconjunto de prueba, con lo que el tiempo de inversion sera de 100 dıas para los activosseleccionadas.

Con dichos datos se estima el rendimiento, riesgo y pesos del portafolio en base a lasecuaciones (3.3), (1.4) y (3.4).

En la Figura 4.21 se presentan los rendimientos diarios generados para el perıodo deinversion, en los que se alcanza un valor promedio diario del 0.25 %. Observamos que haymucha variacion, pero en general se mantiene constante. El rendimiento mınimo, lo queresulto en una perdida aproximada del 3 %, se da en el dıa 36. El rendimiento maximo sepresenta al final del periodo con una ganancia del 3 %.

Figura 4.21: Rendimiento diario del portafolio generado.

En la Figura 4.22 se ilustra el riesgo diario asociado al portafolio de inversion, con unvalor promedio diario del 1.32 %. Ademas, se distingue que el valor mınimo ocurre du-rante el primer dıa de inversion (≈ 0.1 %); al igual, se vislumbra un crecimiento aceleradodurante la primera semana llegando a su valor mas alto en ≈ 1.8 %. Al llegar al valor maxi-mo se presenta una caıda abrupta del 50 %, donde despues se distingue un crecimiento enlos siguientes 25 dıas, para finalizar con una tendencia constante de ≈ 1.4 %


Figura 4.22: Riesgo diario del portafolio generado.

Al visualizar las Figuras 4.21 y 4.22 podemos percibir que este escenario, es decir elportafolio propuesto, no es el mas idoneo; ya que se obtiene un rendimiento diario muybajo a costa de un riesgo relativamente alto. Igualmente, constatamos que en ciertos casosque a rendimientos altos lleva asociado un riesgo alto, esto debido al escenario elegido delos activos que conforman el portafolio.

Los pesos del portafolio para el perıodo inicial y final de inversion se muestran enla Tabla 4.5, donde constatamos que la suma de dichas proporciones es igual a uno. Losvalores de los pesos son positivos, lo que nos indica que no se permite la venta corta dedichos activos.

ActivoProporcion ( %)t = 1 t = 100

ALFA 23.12 22.62BIMBO 24.20 25.05

GMODELO 18.97 18.04KIMBER 18.23 17.65

WALMEX 15.47 16.64

Tabla 4.5: Pesos del portafolio de inversion para los periodos t = 1 y t = 100.

En la Tabla C.1 (Apendice C), se muestran los rendimientos, riesgos y pesos delportafolio para el periodo de inversion (conjunto de prueba).

Capıtulo 5

Conclusiones y trabajo futuro

En este trabajo se ha propuesto y desarrollado una solucion para el problema de se-leccion de portafolios de inversion, implementando un Sistema Neurodifuso, como seplantea en el objetivo general de la tesis.

Entre los objetivos particulares de la tesis podemos concluir que:

Objetivo Conclusion

En el Capıtulo 1 se realizo la descripcionAnalizar las caracterısticas de los de las caracterısticas de los Mercados Financieros,

Mercados Financieros y los elementos Portafolios de Inversion. Durante el desarrollo delde los Sistemas Neurodifusos. Capıtulo 2, se analizaron los fundamentos de los

Sistemas Neurodifusos.En el Capıtulo 3, se disena la estructura general

Disenar un Sistema Neurodifuso. del Sistema Neurodifuso y de la metodologıaempleada para conformar portafolios de inversion

Por medio de la metodologıa realizada en elDesarrollar el Sistema Neurodifuso. Capıtulo 3, se desarrollo el Sistema Neurodifuso

(Capıtulo 4).Determinar un portafolio de En el Capıtulo 4, se determino un portafolio de

inversion, con el Sistema inversion con el Sistema Neurodifuso desarrolladoNeurodifuso. acciones que se cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores.

Esta investigacion se enfoco a construir un modelo de prediccion que analiza el com-portamiento pasado de las cotizaciones de las acciones, para predecir los precios futurosy con base en esto, obtener los pesos, rendimiento y riesgo del portafolio.

La investigacion ha involucrado varias etapas, desde el estudio del problema de se-leccion de portafolios de inversion, de logica difusa y de sistemas neurodifusos, hastacumplir el objetivo de desarrollar un sistema neurodifuso para dichos fines, considerandoel precio al cierre y el promedio movil de cinco dıas de las acciones como entradas delsistema; considerar el promedio movil nos brinda informacion sobre el comportamientopasado de los precios, ya que nos enfatiza la direccion de la tendencia.

Los resultados obtenidos con el Sistema Neurodifuso proyectan buenas prediccionesde los precios futuros de las acciones, es decir obtenemos errores pequenos de prediccion;para el conjunto de entrenamiento y de prueba se obtienen errores del orden de ≈ 10−4 y

51

5. Conclusiones y trabajo futuro 52

de ≈ 10−3, respectivamente.

El rendimiento y riesgo diario promedio asociado al portafolio de inversion son de0.25 % y 1.32 %, respectivamente. Esto nos puede indicar que en general el escenario prop-uesto no es la mejor eleccion a invertir, ya que la posibilidad de perder la inversion esmayor a la ganancia a obtener, pero hay que recordar que al estimar un promedio este seve afectado por valores absolutos. En el analisis de los resultados del rendimiento diario,se obtiene una ganancia maxima del 3 % al finalizar el periodo y una perdida maxima del3 % en el dıa 36. Para el caso del riesgo diario, el valor maximo se presenta durante laprimera semana de inversion. Cabe mencionar que en ciertos dıas en donde se presentaun rendimiento alto se aprecia asociado un riesgo alto, un resultado bien conocido entrelos analistas.

La diferencia vital de esta tecnica con el modelo de media-varianza de Markowitz esque no se necesita de conocer un nivel de rendimiento para optimizar el modelo, ni deestimar las correlaciones entre los activos para conocer el riesgo del portafolio. Ademas sepuede conformar el portafolio para diversos periodos de tiempo, ası como tambien la in-troduccion de informacion vaga sobre las entradas del sistema (precio y promedio movil)a traves de los conjuntos difusos, debido a que el comportamiento de las cotizaciones secomporta de manera aleatoria, incrementando la complejidad del problema.

Asimismo esta tecnica ayuda a que el inversionista tenga un panorama general de lainversion que realizarıa en un intervalo de tiempo definido, y tomar una decision en basea esto.

El sistema propuesto puede extenderse a n activos y a m variables linguısticas, perohay que considerar el costo que implica esto, ya que el numero de reglas difusas creceexponencialmente de la forma mn, incrementando el tiempo de calculo.

5.1. Trabajo futuro

Despues de la realizacion de este trabajo han surgido nuevos retos y trabajo futuro quea continuacion se mencionan:

Considerar otro tipo de activos como bonos, activos libres de riesgo, etc.

Optar por distintos escenarios de inversion en funcion de la aversion al riesgo delinversionista, e.g. estrategia balanceada (invertir todo el tiempo, la mitad del capitalen acciones y la otra en bonos), estrategia de cambio (invertir todo en acciones lamitad del tiempo y cambiarlo a bonos el resto), etc.

Considerar otros factores de entrada del sistema, e.g. ındice de precios y cotiza-ciones, incertidumbre, entre otros.

Realizar un analisis de sensibilidad, para ver que tan robusta es la solucion que seproponer.

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[86] http://webs.um.es/ juanbot/miwiki/lib/exe/fetch.php?id=tiia0910&cache=cache&media=tiia0809 slides prep.pdf (accesado el 7 de julio de 2010).

[87] Elaboracion propia.

Apendice A

Casas de Bolsa

En la Figura A.1 se presentan las diversas Casas de Bolsa en Mexico.

Figura A.1: Casas de Bolsa en Mexico [73].

59

Apendice B

Grupo de bursatilidad alta

Las acciones que conforman el grupo de bursatilidad alta de la BMV al 3 de marzo de2010 segun [72], se muestran en la Tabla B.1; las descripciones se obtuvieron de [73].

Clave Razon social Ramo

ALFA ALFA, S.A. DE C.V. Controladoras

AMX AMERICA MOVIL, S.A. DE C.V. Servicios de telecomunicaciones inalambricasARA CONSORCIO ARA, S.A. DE C.V. Construccion de viviendas

BIMBO GRUPO BIMBO, S.A. DE C.V. AlimentosCEMEX CEMEX, S.A. DE C.V. Materiales de construccionCICSA CARSO INFRAESTRUCTURA Y Construccion e ingenierıa

CONSTRUCCION, S.A. DE C.V.COMERCI CONTROLADORA COMERCIAL Venta de productos de consumo frecuente

MEXICANA, S.A. DE C.V.

FEMSA FOMENTO ECONOMICO MEXICANO, BebidasS.A. DE C.V.

GAP GRUPO AEROPORTUARIO DEL Infraestructura de transportesPACIFICO, S.A. DE C.V.

GCARSO GRUPO CARSO, S.A. DE C.V. ControladorasGEO CORPORACION GEO, S.A. DE C.V. Construccion de viviendas

GFNORTE GRUPO FINANCIERO BANORTE, Grupos financierosS.A. DE C.V.

GMEXICO GRUPO MEXICO, S.A. DE C.V. Metales y mıneriaGMODELO GRUPO MODELO, S.A. DE C.V. Bebidas

GRUMA GRUMA, S.A. DE C.V. AlimentosHOMEX DESARROLLADORA HOMEX, Construccion de viviendas

S.A. DE C.V.ICA EMPRESAS ICA, S.A. DE C.V. Construccion e ingenierıa

IDEAL IMPULSORA DEL DESARROLLO Y EL EMPLEO Construccion e ingenierıaEN AMERICA LATINA, S.A. DE C.V.

KIMBER KIMBERLY - CLARK DE MEXICO, S.A. DE C.V. Productos domesticosTELECOM CARSO GLOBAL TELECOM, S.A. DE C.V. Servicios de telecomunicaciones diversosTELMEX TELEFONOS DE MEXICO, S.A. DE C.V. Servicios de telecomunicaciones diversosTLEVISA GRUPO TELEVISA, S.A. Medios de comunicacion

TVAZTCA TV AZTECA, S.A. DE C.V. Medios de comunicacionURBI URBI DESARROLLOS URBANOS, S.A. DE C.V. Construccion de viviendas

WALMEX WAL - MART DE MEXICO, S.A. DE C.V. Venta de productos de consumo frecuente

Tabla B.1: Grupo de acciones de bursatilidad alta de la BMV [73].

60

Apendice C

Tablas

En la Tabla C.1 se muestran los rendimientos, riesgos y pesos del portafolio para todoel perıodo de inversion.

TPesos

Rp ( %) σ2

p ( %)ALFA BIMBO GMODELO KIMBER WALMEX

1 0.2312 0.2420 0.1897 0.1823 0.1547 0.0000 0.25192 0.2365 0.2400 0.1880 0.1806 0.1550 0.8967 0.48953 0.2293 0.2419 0.1896 0.1831 0.1562 -0.7680 0.71174 0.2324 0.2430 0.1891 0.1830 0.1524 1.5427 0.89245 0.2399 0.2380 0.1878 0.1828 0.1515 2.6833 1.34896 0.2409 0.2394 0.1819 0.1846 0.1532 0.1081 1.23277 0.2369 0.2408 0.1852 0.1853 0.1518 0.1391 1.14218 0.2381 0.2383 0.1855 0.1871 0.1510 0.3737 1.06929 0.2369 0.2394 0.1883 0.1844 0.1510 -0.6433 1.051310 0.2340 0.2464 0.1883 0.1789 0.1523 0.9118 1.018911 0.2334 0.2479 0.1886 0.1792 0.1508 0.3555 0.972012 0.2327 0.2481 0.1889 0.1797 0.1507 -0.0683 0.935213 0.2322 0.2477 0.1872 0.1827 0.1502 0.1961 0.898714 0.2304 0.2497 0.1879 0.1800 0.1519 0.4725 0.868015 0.2309 0.2500 0.1889 0.1809 0.1492 -0.9151 0.891016 0.2273 0.2525 0.1897 0.1806 0.1499 -1.7912 1.002617 0.2243 0.2547 0.1926 0.1805 0.1479 -0.8225 1.007018 0.2297 0.2553 0.1867 0.1799 0.1483 -0.5414 0.996319 0.2218 0.2506 0.2010 0.1722 0.1544 -1.9939 1.098120 0.2241 0.2514 0.1954 0.1759 0.1531 0.8774 1.079421 0.2268 0.2536 0.1925 0.1751 0.1520 2.3648 1.149922 0.2263 0.2522 0.1906 0.1767 0.1542 -0.3216 1.130123 0.2259 0.2538 0.1893 0.1762 0.1548 -0.3381 1.112024 0.2308 0.2525 0.1868 0.1759 0.1541 2.9089 1.216325 0.2297 0.2586 0.1833 0.1747 0.1537 1.2886 1.209626 0.2309 0.2578 0.1833 0.1710 0.1570 -0.2062 1.1895

Continua en la pagina siguiente

61

C. Tablas 62

Tabla C.1 – continua de la pagina anterior

TPesos

Rp ( %) σ2


27 0.2311 0.2542 0.1885 0.1704 0.1558 -0.6163 1.179228 0.2300 0.2560 0.1866 0.1687 0.1587 1.1214 1.169529 0.2256 0.2533 0.1921 0.1677 0.1613 0.5833 1.150830 0.2252 0.2562 0.1862 0.1699 0.1625 -1.2247 1.163131 0.2274 0.2517 0.1881 0.1679 0.1649 -0.0441 1.145532 0.2321 0.2507 0.1844 0.1694 0.1634 0.5748 1.128933 0.2288 0.2560 0.1866 0.1667 0.1619 1.9936 1.152234 0.2326 0.2525 0.1877 0.1663 0.1609 -0.2531 1.138535 0.2333 0.2487 0.1958 0.1620 0.1602 2.6745 1.194536 0.2350 0.2489 0.1966 0.1622 0.1572 -2.6573 1.273737 0.2359 0.2457 0.1983 0.1603 0.1598 1.9251 1.286138 0.2406 0.2454 0.1989 0.1593 0.1559 1.2185 1.278739 0.2395 0.2457 0.1984 0.1592 0.1572 1.5385 1.278940 0.2375 0.2543 0.1945 0.1556 0.1580 2.1819 1.299241 0.2317 0.2584 0.1970 0.1536 0.1593 -0.4890 1.288442 0.2321 0.2586 0.1975 0.1529 0.1589 0.7649 1.275543 0.2349 0.2557 0.1949 0.1510 0.1636 0.2343 1.260644 0.2307 0.2557 0.1969 0.1519 0.1647 0.1337 1.246345 0.2311 0.2562 0.1984 0.1523 0.1620 0.2344 1.232446 0.2338 0.2530 0.2015 0.1529 0.1588 -0.3527 1.222147 0.2350 0.2504 0.2015 0.1537 0.1594 -0.5197 1.214348 0.2350 0.2509 0.2035 0.1526 0.1581 0.2564 1.201649 0.2339 0.2498 0.2053 0.1529 0.1581 0.2159 1.189350 0.2335 0.2511 0.2039 0.1526 0.1588 0.2515 1.177351 0.2322 0.2591 0.2004 0.1513 0.1570 0.5090 1.166352 0.2345 0.2491 0.2043 0.1535 0.1587 -2.0963 1.200053 0.2332 0.2492 0.2056 0.1534 0.1586 -0.0785 1.189554 0.2318 0.2509 0.2051 0.1520 0.1603 2.4829 1.216955 0.2292 0.2528 0.2033 0.1518 0.1629 0.0865 1.206056 0.2297 0.2522 0.2033 0.1529 0.1619 0.2243 1.195257 0.2278 0.2509 0.2023 0.1580 0.1611 0.4999 1.185158 0.2276 0.2479 0.2015 0.1599 0.1631 -0.1717 1.176259 0.2255 0.2449 0.2025 0.1591 0.1679 -0.2559 1.168160 0.2306 0.2385 0.2036 0.1642 0.1630 -0.6422 1.164061 0.2390 0.2390 0.2000 0.1597 0.1623 2.9888 1.206562 0.2366 0.2418 0.1938 0.1609 0.1668 -1.0031 1.207363 0.2381 0.2417 0.1917 0.1611 0.1674 -0.0437 1.198264 0.2378 0.2436 0.1958 0.1585 0.1643 -0.1107 1.189765 0.2375 0.2440 0.1972 0.1572 0.1642 -0.6965 1.186366 0.2402 0.2491 0.1909 0.1526 0.1672 0.6843 1.178567 0.2406 0.2490 0.1868 0.1532 0.1704 -0.5837 1.174168 0.2411 0.2483 0.1853 0.1571 0.1682 0.4138 1.1656

Continua en la pagina siguiente

C. Tablas 63

Tabla C.1 – continua de la pagina anterior

TPesos

Rp ( %) σ2


69 0.2437 0.2481 0.1855 0.1552 0.1675 0.6846 1.158370 0.2375 0.2436 0.1879 0.1608 0.1702 -1.3701 1.166371 0.2394 0.2453 0.1865 0.1591 0.1696 1.4710 1.167072 0.2382 0.2436 0.1883 0.1602 0.1697 0.2506 1.158973 0.2401 0.2441 0.1896 0.1564 0.1698 -0.3243 1.152974 0.2372 0.2467 0.1911 0.1583 0.1667 -2.1316 1.178175 0.2352 0.2463 0.1918 0.1623 0.1644 -0.0970 1.170976 0.2351 0.2427 0.1898 0.1653 0.1670 -1.3269 1.177277 0.2403 0.2448 0.1871 0.1647 0.1632 1.3017 1.175778 0.2399 0.2496 0.1864 0.1614 0.1628 0.4166 1.168279 0.2385 0.2435 0.1833 0.1654 0.1694 -1.2643 1.173380 0.2426 0.2365 0.1870 0.1680 0.1659 -1.2233 1.177581 0.2448 0.2437 0.1804 0.1662 0.1648 0.4865 1.170582 0.2443 0.2485 0.1789 0.1649 0.1634 1.8751 1.177183 0.2456 0.2499 0.1767 0.1663 0.1616 -1.6770 1.189084 0.2439 0.2517 0.1774 0.1658 0.1611 -0.7277 1.186785 0.2463 0.2475 0.1780 0.1653 0.1629 1.1461 1.183786 0.2467 0.2472 0.1777 0.1649 0.1635 0.9838 1.179487 0.2438 0.2453 0.1763 0.1716 0.1630 -0.0655 1.173188 0.2400 0.2441 0.1775 0.1753 0.1630 -0.2815 1.167889 0.2412 0.2464 0.1730 0.1734 0.1660 1.0285 1.164290 0.2383 0.2524 0.1706 0.1741 0.1646 -0.1527 1.158591 0.2376 0.2598 0.1680 0.1694 0.1652 2.4889 1.175792 0.2374 0.2553 0.1719 0.1684 0.1671 0.9525 1.171693 0.2338 0.2561 0.1711 0.1706 0.1683 1.0497 1.168294 0.2346 0.2545 0.1711 0.1726 0.1673 0.0946 1.162195 0.2319 0.2530 0.1795 0.1699 0.1658 -0.1925 1.156996 0.2312 0.2565 0.1816 0.1669 0.1637 -0.6638 1.154697 0.2322 0.2554 0.1796 0.1694 0.1635 -0.0134 1.148998 0.2281 0.2524 0.1814 0.1726 0.1655 0.5245 1.143499 0.2253 0.2451 0.1864 0.1776 0.1656 3.0182 1.1711100 0.2262 0.2505 0.1804 0.1765 0.1664 0.2646 1.1652

Tabla C.1: Pesos, rendimiento y riesgo del portafolio deinversion para 100 dıas de inversion.

Apendice D

ANFIS en MATLAB

Se presenta el codigo en MATLAB para generar ANFIS con ayuda del Toolbox FuzzyLogic. Para generar un ANFIS con tres funciones de pertenencia gaussianas (gaussmf ), lasentradas las tomara de los datos (se tendran dos entradas) y habra una sola salida (esto espor default por parte de MATLAB).

> fismat = genfis1(datos,3,’gaussmf’);

Para modificar las caracterısticas del ANFIS, dentro del ambiente GUI:

> anfisedit;

Dentro de este ambiente, se modifican los nombres de las entradas, salidas, funcionesde pertenencia, etc. Despues de modificar se guarda el archivo en el workspace en unarchivo *.fis.

Para graficar las funciones de pertenencia iniciales:

> figure;> subplot(2,1,1);%genera una matriz de 1x2 en los que se acomodaran las figuras> plotmf(fismat,’input’,1);%Se grafica las funciones de pertenencia de la primera entrada> subplot(2,1,2);> plotmf(fismat,’input’,2);

Para entrenar el ANFIS:

> [fismat1,trnerr,ss,fismat2,chkerr] = anfis(datos,fismat,num_epocas,NaN,datos_prueba);

64


Para obtener los datos predecidos por la ANFIS:

%Conjunto de entrenamiento> trnout = evalfis(datos(:,1:2),fismat1);%Conjunto de prueba> chkout = evalfis(datos_prueba(:,1:2),fismat2);

El error RMSE del entrenamiento y prueba se obtiene de:

> trnrmse = norm(trnout - datos(:,3))/sqrt(length(trnout));> chkrmse = norm(chkout - datos_prueba(:,3))/sqrt(length(chkout));

Para graficar los errores RMSE:

> epoca= 1:100;> plot(epoca,trnerr,’o’);> plot(epoca,chkerr,’*’);

Para graficar los comparativos y sus errores de prediccion, se ejecuta lo siguiente:

> index1= 1:403;> index2= 1:100;> figure(1);> subplot(2,1,1);%Conjunto de entrenamiento> plot(index1,datos(:,3),’o’,index1,trnout,’.’);> subplot(2,1,2);> plot(index1,datos(:,3) - trnout);> figure(2);> subplot(2,1,1);%Conjunto de prueba> plot(index2,datos_prueba(:,3),’o’,index1,chkout,’.’);> subplot(2,1,2);> plot(index2,datos_prueba(:,3) - chkout);

La estructura del ANFIS se grafica con:

> plotfis(fismat);

La superficie de respuesta se obtiene mediante:


> gensurf(fismat1);

Para visualizar la inferencia del ANFIS:

> ruleview(fismat1);

Para graficar las funciones de pertenencia finales:

> figure;> subplot(2,1,1);> plotmf(fismat1,’input’,1);> subplot(2,1,2);> plotmf(fismat1,’input’,2);

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