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Prototipo Virtual de una EstructuraInteligente-Edición Única

Title Prototipo Virtual de una Estructura Inteligente-Edición Única

Issue Date 2006-12-01

Publisher Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey

Item Type Tesis de maestría

Downloaded 06/06/2018 14:46:28

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http://hdl.handle.net/11285/567596

INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY

CAMPUS MONTERREY

DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA

Prototipo virtual de una estructura inteligente.

TESIS

PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE:

MAESTRO EN CIENCIAS ESPECIALIDAD EN AUTOMATIZACIÓN

POR:

ALFREDO JACOBO PUERTA

MONTERREY, N. L. DICIEMBRE DE 2006

INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY

CAMPUS MONTERREY

DIVISIÓN DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA PROGRAMA DE GRADUADOS EN INGENIERÍA

Los miembros del comité de tesis recomendamos que el presente proyecto de tesis presentado por el Ing. Alfredo Jacobo Puerta sea aceptado como requisito parcial para obtener el grado

académico de:

Maestro en Ciencias con Especialidad en Automatización

Comité de Tesis:

Dr. Ricardo Ambrosio Ramírez Mendoza Asesor

Dr. Hugo Ramón Elizalde Siller Ing. Ricardo Prado Gámez Sinodal Sinodal

Aprobado:

Dr. Francisco Román Ángel Bello Acosta Director del Programa de Graduados en Ingeniería

Diciembre, 2006

DEDICATORIA

Por que con ellos fue difícil, pero sin ellos, no habría sido imposible,

A MI FAMILIA,

por creer en mí.

Y por que a donde quiera que voy siempre esta conmigo,

A DIOS,

por permitirme alcanzar mis sueños.

AGRADECIMIENTOS

A quienes con su ayuda contribuyeron a este logro:

Francisco y Elena, por sus atenciones que me hicieron sentir en casa durante el curso de

estos estudios. Gracias.

Don Fidel, por apoyar desde su embestidura los proyectos de la juventud emprendedora de

Mexquitic. Gracias.

Mi asesor, Dr. Ramírez, por su apoyo y disposición para completar de forma atinada este

trabajo. Gracias.

Mis sinodales, Dr. Elizalde y M. C. Prado, por tener la gentileza de valorar y complementar

con sus comentarios esta investigación. Gracias.

Aquellos compañeros, que de una u otra forma con su amistad y ánimos facilitaron mi

estancia en el ITESM. Gracias.

Mi Familia, por que mis estudios han requerido de un gran esfuerzo de su parte y por que

con sus consejos y enseñanzas he llegado hasta aquí. Familia, por la unidad que tenemos y

de la que me siento participe. Gracias.

Dios, por que tu haces posible lo imposible. En todo gracias.

i

Resumen.

Este documento presenta el desarrollo de un trabajo de investigación e implementación en

software del concepto Estructuras Inteligentes, el cual es utilizado para el análisis y control

activo de vibraciones en una estructura virtual del tipo “viga en voladizo (cantilever)”. En este

concepto el objetivo de reducir las vibraciones de un sistema se logra mediante la

modificación dinámica de la respuesta estructural del sistema, sin la acción de mecanismos

externos de control. Es utilizado debido a su amplio rango de respuesta en frecuencia, alta

adaptabilidad y gran eficiencia. El control de vibraciones en estructuras inteligentes se enfoca

en la utilización de diferentes tipos de materiales conocidos como “inteligentes” y sus técnicas

de control continúan aún desarrollándose. Aquí se propone un método de control alterno a los

ya existentes, donde se discuten y aplican dos tipos de técnicas para lograr el control de

vibraciones; la técnica “Proporcional + Integral + Derivativa (PID)” y la técnica de control de

“Tres ramas o RST”. Los resultados de la implementación de tales técnicas son verificados en

simulación para una comparación mutua. La investigación se ha centrado en la modelación en

software de un prototipo virtual para el control de vibraciones, cuyo modelo esta basado en el

método de elementos finitos el cual es útil en el diseño de estructuras mecánicas en las

industrias aeronáutica y automotriz. Debido a su complejidad, este modelo es tomado como un

prototipo experimental desde el que mediante una prueba de identificación se logra obtener un

modelo matemático útil a las teorías de control mencionadas, permitiendo a su vez, dar

alcance y solucionar la problemática del control de vibraciones. El resultado es el desarrollo

de la simulación de un prototipo virtual que permite cuantificar la mejora en las variables de

amplitud y tiempo de estabilización de la respuesta controlada respecto de la respuesta en lazo

abierto del sistema. Lo anterior validará la adaptabilidad de la estructura ante las cambiantes

condiciones de esfuerzo a las que es sometida.

iii

Índice.

1. Introducción.............................................................................................................................1

1.1 Motivación.........................................................................................................................2

1.2 Objetivo. ............................................................................................................................4

1.3 Hipótesis. ...........................................................................................................................4

1.4 Alcance. .............................................................................................................................4

1.5 Metodología.......................................................................................................................5

1.6 Organización......................................................................................................................7

2 Estructuras Inteligentes.............................................................................................................9

2.1 Definiciones de Estructura Inteligente. .............................................................................9

2.2 Aplicaciones y Principios de Funcionamiento de las Estructuras Inteligentes. ..............10

2.3 Materiales para Sensores y Actuadores. ..........................................................................11

3. Vibraciones mecánicas. .........................................................................................................15

3.1 Definición de vibración. ..................................................................................................15

3.2 Causas de las vibraciones mecánicas...............................................................................16

3.3 Consecuencias de las vibraciones mecánicas. .................................................................16

3.4 Modelo matemático clásico. ............................................................................................17

3.5 Modelación general del movimiento vibratorio. .............................................................17

3.6 Influencia de las vibraciones mecánicas en la operatividad de las estructuras. ..............19

3.7 Aspectos de energía en vibraciones.................................................................................20

3.8 Control y mitigación de vibraciones mecánicas. .............................................................21

3.9 Medición de vibraciones..................................................................................................22

4. Modelos matemáticos de una viga en cantilever. ..................................................................25

4.1.1 Modelado matemático basado en la teoría de vigas de Timoshenko. .....................26

4.1.2 Modelo matemático de vibración de una viga en cantilever para el primer modo de

vibración. ...........................................................................................................................30

4.2 Modelación en elementos finitos.................................................................................33

5 Prototipos virtuales. ................................................................................................................37

5.1 Modelación virtual en MSC. ADAMS............................................................................39

5.1.1 Construcción del modelo. .........................................................................................40

5.1.2 Modelación en elementos finitos..............................................................................41

5.1.3 Comunicación ADAMS/Simulink............................................................................45

6. Técnicas de control. ...............................................................................................................49

6.1 Análisis de la Identificación de Sistemas. .......................................................................49

6.2 Algoritmo de mínimos cuadrados recursivos. .................................................................52

6.3 Controladores Digitales. ..................................................................................................56

6.4 PID digital. ......................................................................................................................56

6.4.1 Estructura..................................................................................................................57

6.4.2 Cálculo de los parámetros del controlador PID digital.............................................59

6.4.3 Modelo muestreado de la planta. ..............................................................................60

6.4.4 Especificación del desempeño..................................................................................60

6.4.5 Cálculo de los parámetros del controlador. ..............................................................61

6.5 Colocación de polos mediante un control RST. ..............................................................62

6.5.1 Estructura..................................................................................................................62

6.5.2 Regulación [Cálculo de R(z-1

) y S(z-1

)].....................................................................63

iv

6.5.3 Error de estado estable. ............................................................................................ 66

6.5.4 Seguimiento.............................................................................................................. 67

7. Pruebas de simulación y resultados....................................................................................... 69

7.1 Identificación del modelo................................................................................................ 69

7.2 Diseño del sistema de control.......................................................................................... 73

7.3 Control con PID digital. .................................................................................................. 74

7.4 Control con RST.............................................................................................................. 75

7.5 Implementación del sistema de control. .......................................................................... 76

7.6 Simulación....................................................................................................................... 78

7.6.1 Prototipo virtual........................................................................................................ 78

7.6.2 Simulación 1............................................................................................................. 79

7.6.3 Simulación 2............................................................................................................. 84

8. Conclusiones y trabajos futuros. ........................................................................................... 93

8.1 Conclusiones. .................................................................................................................. 93

8.2 Trabajos futuros............................................................................................................... 94

Bibliografía................................................................................................................................ 97

Anexos....................................................................................................................................... 99

Código de cálculos para el diseño de los controladores........................................................ 99

v

Índice de figuras.

Fig. 1.1 Sistema de control activo. ..............................................................................................2

Fig. 1.2 Metodología de la investigación. ...................................................................................3

Fig. 1.3 Metodología de solución. ...............................................................................................6

Fig. 3.6.1 Diagrama de causa - efecto de las vibraciones en Estructuras. .................................19

Fig. 3.8.1 Diagrama de la función de transferencia de un dispositivo de amortiguación,

cuando el fenómeno perturbador actúa en la salida del sistema........................................21

Fig. 3.8.2 Diagrama de la función de transferencia de un dispositivo de amortiguación, cuando

el fenómeno perturbador actúa en la entrada del sistema..................................................21

Fig. 3.9.1 Sensor Acelerómetro. ................................................................................................23

Fig. 4.1 Modelo de viga de Euler Bernoulli. .............................................................................25

Fig. 4.2 Modelo de viga de Timoshenko. ..................................................................................26

Fig. 4.3 Diagrama de cuerpo libre. ............................................................................................26

Fig. 4.4 Formas de vibración para los primeros 3 modos.........................................................30

Fig. 4.5 Modelo de vibración de una viga en cantilever como un sistema masa-resorte. .........31

Fig. 5.1 Proceso de un prototipo virtual. ...................................................................................38

Fig. 5.2 Proceso de implementación de un prototipo virtual.....................................................38

Fig. 5.3 Algoritmo de modelación de un prototipo virtual en ADAMS....................................39

Fig. 5.4 Modelo básico de la viga en cantilever. .......................................................................41

Fig. 5.5 Vista isométrica del mallado automático del modelo en elementos finitos. ................42

Fig. 5.6 Fuerzas aplicadas sobre el modelo de la viga. .............................................................43

Fig. 5.7 Comportamiento general de desplazamiento vertical del extremo libre de la viga,

evaluado en ADAMS View...............................................................................................44

Fig. 5.8 Interacción de los parámetros de entrada/salida de la planta con el sistema de control.

...........................................................................................................................................45

Fig. 5.9 Modelo de ADAMS exportado a Simulink..................................................................46

Fig. 5.10 Subsistema del bloque adams_sub. ............................................................................47

Fig. 6.1 Aspectos del diseño de un controlador.........................................................................49

Fig. 6.2 Aspectos para la estimación de parámetros..................................................................51

Fig. 6.3 Pasos del algoritmo de identificación por mínimos cuadrados. ...................................54

Fig. 6.4 Diagrama de bloques de un lazo de control digital utilizando un controlador PID

discreto. .............................................................................................................................59

Fig. 6.5 Diagrama de bloques de un sistema de control de tres ramas utilizando un controlador

PID discreto. ......................................................................................................................59

Fig. 6.6 Colocación de Polos con un controlador R – S – T. ....................................................63

Fig. 6.7 Respuesta para P(z-1

) = 1 – 0.5z-1

.................................................................................64

Fig. 6.8 Generación de la trayectoria deseada y*(t). .................................................................68

Fig. 6.9 Sistema de control R-S para regulación. ......................................................................68

Fig. 7.1 Diagrama de bloques de la prueba de Identificación. ..................................................70

Fig. 7.2 Resultados de la estimación de los parámetros del modelo; gráfica superior: salida

actual vs salida del modelo, gráfica inferior: error la simulación del modelo...................71

Fig. 7.3 Respuesta al impulso del modelo identificado (roja) en comparación con la respuesta

de la planta real (azul). ......................................................................................................72

Fig. 7.4 Respuesta en frecuencia del modelo identificado. .......................................................73

Fig. 7.5 Diagrama del lazo de control para un control RS. .......................................................75

vi

Fig. 7.6 Respuesta en lazo abierto (azul), respuesta esperada en lazo cerrado con control PID

(verde) y respuesta esperada en lazo cerrado con control RST (roja)............................... 77

Fig. 7.7 Geometría de la viga empotrada en un extremo (viga en cantilever). ......................... 78

Fig. 7.8 Prototipo mecánico de ADAMS bajo la acción de entradas de manipulación y

perturbación....................................................................................................................... 79

Fig. 7.9 Respuesta modelo identificado de segundo orden (roja), respuesta de modelo de

ADAMS (azul). ................................................................................................................. 80

Fig. 7.10 Respuesta en frecuencia del modelo identificado de segundo orden; parte superior:

magnitud, parte inferior: ángulo........................................................................................ 80

Fig. 7.11 Gráfica de respuesta en lazo cerrado por colocación de polos. ................................. 81

Fig. 7.11 Diagrama del sistema de control PID por retroalimentación..................................... 82

Fig. 7.12 Diagrama del sistema de control RST (solo regulación) por retroalimentación........ 82



Fig. 7.14 Respuesta en frecuencia de: lazo abierto (azul), lazo cerrado del PID (verde), y lazo

cerrado del RST (roja). Grafica superior de magnitud y gráfica inferior de fase.............. 84

Fig. 7.15 Prototipo mecánico de ADAMS bajo la acción de entradas de manipulación y

perturbación....................................................................................................................... 85

Fig. 7.16 Respuesta modelo identificado de segundo orden (roja), respuesta de modelo de

ADAMS (azul). ................................................................................................................. 86

Fig. 7.17 Respuesta en frecuencia del modelo identificado de segundo orden; parte superior:

magnitud, parte inferior: ángulo........................................................................................ 87

Fig. 7.18 Diagrama del sistema de control PID por retroalimentación ante múltiples

perturbaciones. .................................................................................................................. 88

Fig. 7.19 Diagrama del sistema de control RST (solo regulación) por retroalimentación ante

múltiples perturbaciones. .................................................................................................. 88



Fig. 7.21 Respuesta en frecuencia de: lazo abierto (azul), lazo cerrado del PID (verde), y lazo

cerrado del RST (roja). Grafica superior de magnitud y gráfica inferior de fase.............. 90



vii

Índice de Tablas. Tabla 1.1 Diagrama de Gant de actividades en metodología. .....................................................5

Tabla 4.1 Frecuencias naturales para los primero tres modos de vibración. .............................30

Tabla 5.1 Parámetros dimensionales de la viga en cantilever. ..................................................40

Tabla 7.1 Dimensiones y características del prototipo (viga en cantilever) de simulación.......78

Tabla 7.2 Resultados de simulación ante una entrada impulso (fuerza de impacto).................84

Tabla 7.3 Resultados de simulación 2. ......................................................................................90

Tabla 7.4 Resultados de simulación 2 (variación 1)..................................................................91

Prototipo Virtual de una Estructura Inteligente

1

1. Introducción. A lo largo de una historia que apenas abarca 100 años, las industrias aeronáutica y automotriz han dado pasos de gigante en la mejora de su tecnología aspirando con ello a la fiabilidad absoluta. En los motores, por ejemplo, la electrónica ha sustituido a la hidromecánica en el control de estos y se trabaja aún para lograr mayor eficiencia en los consumos de combustible. Se han dado grandes avances también en aeronáutica, tales como los sistemas de aviso de peligro de colisión con otros aviones en ruta y las nuevas computadoras que dan información más detallada de la orografía del terreno.

De estos adelantos no está exento el diseño de estructuras, el cual se está acercando cada vez más al uso en su constitución de materiales compuestos e innovadores que dan a su mecanismo el carácter de inteligente. Tal carácter se desarrolla a través de un control activo, el cual permite a su vez la mejora en prestaciones y adaptabilidad mecánica por sobre las condiciones de trabajo a las que una estructura se somete.

Las estructuras inteligentes tienen múltiples aplicaciones, una de tales es el control de vibraciones indeseables, las cuales pueden ser desde molestas ondas de sonido hasta grandes oscilaciones de edificios. Las vibraciones son inevitables y muchas de ellas causan problemas. En el caso de un avión estas son más que evidentes, las debidas al trabajo de motores, las relacionadas a turbulencias, y las ocasionadas por las cambiantes condiciones de ambiente a las que se ve sometido en un trayecto de vuelo. Diferentes métodos son usados para minimizar las vibraciones indeseadas y se ha buscado agregar materiales que reduzcan sus efectos, sin embargo tales técnicas tienen limitaciones ya que típicamente agregan peso y además solo trabajan para ciertas frecuencias de vibración. Para sobrepasar esas limitaciones se promueve el uso de materiales inteligentes con propiedades controlables. Estos materiales llegan a ser los nervios y músculos de una estructura inteligente mientras una computadora trabaja como su cerebro para las acciones de control [7].

El control activo de vibraciones utilizando estructuras inteligentes, se aplica en la reducción de vibraciones de un sistema por medio de la modificación dinámica de la respuesta estructural de los sistemas. Las estructuras inteligentes son sistemas de ingeniería que tienen la habilidad de reaccionar a estímulos, similarmente al comportamiento biológico de los seres vivos. El control activo de vibraciones es ampliamente usado debido a su amplio rango de respuesta en frecuencia, gran adaptabilidad y alta eficiencia. En la Fig. 1.1 se presenta un diagrama típico de un sistema de control activo. Este sistema consiste en sensores, los cuales son utilizados para monitorear la respuesta mecánica de la estructura mediante cambios en los desplazamientos, esfuerzos o aceleraciones. Una vez que una respuesta estructural indeseable se detecta en los sensores, un controlador genera entonces la entrada necesaria en los actuadores. Los actuadores responden a esta entrada y producen un cambio correspondiente en la respuesta mecánica de la estructura para un estado más aceptable. La capacidad de las estructuras inteligentes para sentir y adaptarse a su ambiente permite un amplio rango de aplicaciones: supresión de vibraciones de estructuras aéreas; control de ruido de rotores de


2

helicópteros; monitoreo de condiciones de puentes; control de forma de grandes estructuras espaciales [8].

Actuadores Estructura Sensores

Sistema de control

Fig. 1.1 Sistema de control activo.

Una gran variedad de elementos sensores y actuadores pueden utilizarse en las aplicaciones de estructuras inteligentes. Así dependiendo del material utilizado, los elementos sensores y actuadores pueden ser controlados por medio de energía eléctrica, magnética, térmica o luminosa. Algunos materiales comunes para sensores y actuadores son los materiales piezoeléctricos, aleaciones con memoria de forma, fibra óptica, materiales electrostrictivos, materiales magnetostrictivos, y fluidos electroreológicos [4]. En los materiales piezoeléctricos, una carga eléctrica se produce debido a la deformación mecánica, la cual es llamada efecto piezoeléctrico directo y la deformación mecánica es producida debido a la aplicación de un campo eléctrico lo cual es llamado efecto piezoeléctrico inverso. El acoplamiento de las propiedades mecánicas y eléctricas de los materiales piezoeléctricos permite su uso como sensores y actuadores. Cuando son utilizados como actuadores, estos materiales pueden generar una respuesta de vibración secundaria en un sistema mecánico, la cual podría reducir la respuesta total mediante la interferencia destructiva con la respuesta original del sistema causada por la fuente primaria de vibración.

Las conocidas como estructuras inteligentes permiten este tipo de aplicaciones ya que estas son capaces de percibir las condiciones de ambiente, procesar la información y entonces reaccionar apropiadamente de acuerdo a las demandas requeridas. En un principio estas aplicaciones se reducían al área de la construcción para solucionar problemas de balanceo en puentes y edificios, pero se han encontrado ahora nuevas y generosas oportunidades limitadas tan solo por la propia imaginación, este es el caso de las industrias automotriz y aeroespacial [9].

1.1 Motivación.

La necesidad de conocer el concepto de estructura inteligente para el desarrollo del diseño de un controlador para el control de vibraciones, es parte fundamental de la motivación de esta investigación, así mismo la innovación que representa su aplicación en el campo de las


3

industrias automotriz y aeronáutica. Donde el diseño de un sistema de control adecuado se basa en un modelo matemático preciso que representa la estructura en consideración para predecir la respuesta estructural.

Se desarrolla un amplio trabajo de modelación de un prototipo virtual, para conseguir la mejor aproximación de las características físicas reales de la estructura. Utilizando el software computacional MSC ADAMS se efectuó el trabajo de diseño mecánico de una viga en cantilever de especificaciones conocidas. El modelado incluye el análisis bajo el método de elementos finitos, el cual permite la discretización del cuerpo rígido haciendo una conversión al tipo flexible. El mallado y análisis del cuerpo se realiza por medio de ADAMS al tiempo que se definen las restricciones de carga.

Debido a la complejidad del modelo desarrollado por el método de elementos finitos en el software computacional, este modelo se presenta impropio para su uso en las técnicas de control que se desean utilizar. Por tal razón se realizaron pruebas de identificación del modelo mediante la técnica de mínimos cuadrados aplicada en el software Matlab para llevar la estructura del modelo mecánico a la forma de una función de transferencia en tiempo discreto que representa el comportamiento dinámico de la viga. De esta forma el procedimiento podrá ser aplicado en situaciones de diferente naturaleza y complejidad.

La identificación de un modelo es posible gracias a la versatilidad del software ADAMS, el cual permite la exportación del modelo mecánico creado, en la forma de un bloque del tipo función de transferencia, este bloque contiene la información procesada de la modelación en elementos finitos. Este bloque es simulado en Matlab/Simulink para la prueba de mínimos cuadrados.

Modelación mecánica del

prototipo virtual

Identificación de modelo en tiempo

discreto

Diseño del sistema de control

Simulación Virtual del prototipo en co-

simulación

Análisis de resultados

Fig. 1.2 Metodología de la investigación.


4

Obtenido el modelo útil para la aplicación de los métodos de control en estudio, se desarrolla un procedimiento de cálculo basado en la teoría de diseño de los controladores PID y RST, de donde se obtienen resultados que deben han sido analizados. El diagrama de la Fig. 1.2 presenta de manera esquemática la secuencia de pasos a seguir para conseguir el control activo de vibraciones en una viga en cantilever mediante la modelación virtual.

1.2 Objetivo.

Se desea desarrollar un prototipo virtual de una estructura flexible (viga en cantilever) que permita el análisis de su comportamiento mecánico en función de la deflexión que sufre ante la presencia de fuerzas de perturbación del tipo impulso. El diseño permitirá la adecuación de un sistema de control activo para el control de las vibraciones que se generan de estas perturbaciones. De esta forma será posible la implementación en co-simulación de la ley de control obtenida a partir de la sintonización de dos tipos de controladores (PID y RST) en tiempo discreto. Los resultados obtenidos característicamente serán medibles en función del tiempo de estabilización y amplitud de las vibraciones de la respuesta controlada respecto de la respuesta en lazo abierto del sistema o estructura.

1.3 Hipótesis.

El concepto de estructuras inteligentes, es aplicable al control activo de vibraciones de una viga en cantilever sometida a cargas perturbadoras. Este concepto es compatible a la realización de un prototipo virtual que permite el análisis de la respuesta estructural del sistema. De esta forma es posible la aproximación de un modelo identificado que junto con las técnicas de control discreto PID y RST promueven el alcance de mejoras en las variables de amplitud y tiempo de estabilización de la deflexión medida en la viga.

1.4 Alcance.

El alcance de la investigación se centra en la modelación de un prototipo virtual de una viga en cantilever en el software computacional ADAMS, que permita la simulación de la respuesta mecánica ante perturbaciones en estado no controlado y controlado. Además se considera la implementación de un sistema de control basado en la teoría de dos técnicas de control (PID y RST), cuya ley de control obtenida se aplica de forma de fuerzas directas al prototipo, considerando la acción de un actuador de ganancia 1 sin dinámica que afecte a la señal de manipulación para la verificación de resultados.


5

Aunado a lo anterior, se realiza un bosquejo por el concepto de estructura inteligente y sus potenciales aplicaciones. Así como de la disponibilidad de materiales y tecnología que hacen posible su aplicación en el control activo de vibraciones.

1.5 Metodología.

La solución de la problemática planteada tiene como base el proceso descrito en el diagrama de bloques de la Figura 1.2, donde cada una de las etapas contiene ciertas actividades de trabajo que se detallan a continuación:

Etapa1 Etapa2 Etapa3 Etapa4 Etapa5

1. Modelación mecánica del prototipo virtual.a. Dibujo en ADAMS/View de la estructura ideada para el desarrollo delprototipo virtual (viga en cantilever).b. Colocación de restricciones de trabajo, tales como selección delextremo fijo y colocación de fuerzas actuadoras y perturbadoras.c. Conversión del diseño, del tipo cuerpo rígido al tipo flexible mediante

ADAMS/Autoflex, por medio de la discretización en elementos finitos.d. Creación de variables de estado que permitirán la comunicación conel software de control Matlab, estas son asignadas según losrequerimientos de entrada o salida.e. Exportación de la planta de ADAMS a Matlab/Simulink, al tiempo quese definen las variables a utilizar como de entrada o salida.

2. Identificación del modelo en tiempo discreto.

a. Verificación de la correcta exportación de la planta de ADAMS aMatlab/Simulink a través de una prueba de co-simulaciónMatlab/ADAMS.b. Realización de la prueba d identificación por el método de mínimoscuadrados recursivos.c. Comparación de los resultados del error en la respuesta entre elmodelo identificado y el real de ADAMS.

3. Diseño del sistema de control.a. Definición de los parámetros de colocación de polos; MáximoSobretiro y Tiempo de estabilización para el comportamiento en lazocerrado.b. Diseño del controlador PID discreto.c. Diseño del controlador RST.

4. Simulación virtual del prototipo en co-simulación.

a. Simulación del diseño de ambos controladores en el modeloidentificado.b. Simulación del diseño de ambos controladores en el modelo de laplanta de ADAMS (planta virtual).c. Realización de ajustes sobre el sistema de control específico de laplanta real.

5. Análisis de resultados.a. Obtención de la respuesta en frecuencia esperada del lazo cerrado.

b. Verificación de las gráficas de respuesta obtenidas de cadacontroladorc. Cuantificación de resultados en base al sobretiro y tiempo deestabilización obtenidos.

Tabla 1.1 Diagrama de Gant de actividades en metodología.


6

Modelación mecánica del

prototipo virtual

Identificación de modelo en tiempo

discreto

Simulación Virtual del prototipo en co-

simulación

Análisis de resultados

Es bueno el modelo?

Es bueno el modelo?

Diseño del sistema de control

Es bueno el control?

Ajustes de diseño

Modificaciones sobre estructura de

modelo

Ajustes finales sobre respuesta real

Inicio

Fin

No

Si

No

Si

Si

No

Fig. 1.3 Metodología de solución.

Un diagrama de flujo del procedimiento de solución puede ser una modificación al diagrama de la figura 1.2, el cual se presenta en la forma del diagrama de la figura 1.3.

Criterio: Respuesta típica de vibración.

Criterio: Error respuesta planta vs respuesta identificada.

Criterio: Colocación de polos obtenida.


7

1.6 Organización.

En esta investigación se reporta la información considerada de importancia para la compresión del tema. La organización del trabajo presenta una revisión bibliográfica en la sección 2 en donde se presentan los conceptos fundamentales existentes en la teoría de estructuras inteligentes partiendo de un bosquejo por aquellos materiales que contienen un cierto desarrollo tecnológico para su uso en este tipo de aplicación. La sección 3 presenta un acercamiento a los conceptos básicos del análisis de vibraciones mecánicas desde sus causas y efectos hasta las consideraciones para el modelado matemático generalizado. En la sección 4 se presenta el análisis matemático de una viga en cantilever en forma clásica y se discuten las consideraciones a tomar en cuenta para la utilización en software del método de elementos finitos. En la sección 5 se discute el concepto de un prototipo virtual, así como sus beneficios en la simulación y análisis de estructuras en elementos finitos, aquí se presentan las bases de diseño mecánico en el software de simulación (ADAMS) para el estudio de la respuesta libre de una viga en cantilever, cuyo concepto puede aplicarse directamente al diseño de una estructura de mayor complejidad, se presenta también el desarrollo del modelado virtual del sistema mecánico junto con la comunicación con el software de control. Se incluye en la sección 6 una descripción detallada de las técnicas utilizadas en el diseño del sistema de control adecuado para el control de vibraciones, tales como la técnica de identificación por el método de mínimos cuadrados, el diseño de un control PID y el diseño de un control RST en tiempo discreto. En el capítulo 7 se presentan algunos de los experimentos realizados que permiten validar la propuesta de investigación así como la comparación cuantitativa de los resultados. Finalmente se incluye en la sección 8, las conclusiones finales que resultan de las pruebas experimentales realizadas, y se plantean oportunidades de mejora sobre la presente investigación, en los trabajos futuros que proseguirán a la presente investigación.


8


9

2 Estructuras Inteligentes.

2.1 Definiciones de Estructura Inteligente.

Desde diferentes campos de trabajo, existen también puntos de vista de diferentes autores respecto al concepto de una estructura inteligente: La versión japonesa de este término [9] se refiere a aquellos materiales que desarrollan sus propias funciones inteligentemente, dependiendo de los cambios ambientales.

Sin una definición clara de ambiente, el concepto se explica mediante la clasificación de inteligencia de los materiales en tres categorías:

1. Funciones Primitivas. Esta categoría constituye esencialmente funciones adaptables relacionadas a sensor, actuador y capacidades del procesador.

2. Funciones Macroscópicas. Este nivel alberga la inteligencia inherente en los materiales.

3. Utilidad Social. Este nivel considera la inteligencia de los materiales desde un punto de vista del estado humano y se refiere a las propiedades del material, los cuales son clasificadas como: amigables, racionales o irracionales y armoniosos.

En 1989, Vincent [9] describió a los materiales inteligentes como aquellos materiales que pueden sentir (el equivalente del dolor en el cuerpo humano) y los cuales pueden ser usados para fabricar una estructura de diseño específico. Otra definición es el concepto viene de Nakatani también en 1989 [9] quien sitúa a los materiales con inteligencia como aquellos que pueden fabricar respuestas apropiadas desde el procesamiento de varios tipos de señales, condiciones de ambiente y sus objetivos particulares. Los materiales inteligentes tienen una característica autonomía, una versatilidad flexible y una alta adaptabilidad a los requerimientos de la humanidad y la naturaleza. William B. Spillman en 1996 dio una definición con mayor formalidad [7] definiendo a una estructura inteligente como una estructura física no biológica que cuente con los siguientes atributos:

(i) un propósito definido.

(ii) medios suficientes para alcanzar ese propósito.

(iii) un patrón biológico de funcionamiento.

De las definiciones anteriores se puede concluir una idea general en la que una estructura inteligente es un sistema conformado de partes multifuncionales que pueden sensar controlar y actuar; es una analogía primitiva de un cuerpo biológico. Es decir es una estructura capaz de


10

percibir las condiciones de su ambiente de trabajo, procesar la información obtenida de esta característica y entonces reaccionar apropiadamente para adaptarse a tales condiciones.

2.2 Aplicaciones y Principios de Funcionamiento de las Estructuras Inteligentes.

La ciencia de materiales y la ingeniería estructural, se desenvuelven hoy día en un ámbito donde el desarrollo de los materiales adaptables y sus aplicaciones en estructuras inteligentes tiene una gran importancia.

Los requerimientos básicos de una estructura inteligente son tres capacidades que la distinguen; sensibilidad, procesamiento o control, y activación [7]. Junto a estas necesidades se debe contar con un control activo en forma autónoma o adaptable para la estructura dinámica. Esto se refiere al algoritmo de control, el cual debe calcular la reacción apropiada basada en la información obtenida del sensor, la cual generalmente puede presentarse en forma impredecible.

Una aplicación especial es la habilidad de aprender y pensar basada en las experiencias pasadas. Esta habilidad se logra bajo el concepto de un controlador de red neuronal, el cual permite en la medida del aprendizaje, generar entonces la mejor respuesta prediciendo de esta forma su comportamiento. Hoy día ya se trabaja en la aplicación de este tipo de controladores, y una de sus aplicaciones potenciales está en robótica donde el interés no solo esta en fabricar máquinas de inteligencia artificial para capacidades de cálculos sino además cuerpos inteligentes, huesos y piel inteligentes [6].

Las estructuras inteligentes están siendo desarrolladas en campos tales como tecnología biomédica, industria aeroespacial, construcción civil, control de vuelo entre otros. Su amplio rango de aplicaciones va desde la supresión de vibraciones en aviones y grandes estructuras espaciales, hasta aplicaciones de autodiagnóstico para detección de fallas o defectos inmersos en una estructura o construcción. Así pues la respuesta de las estructuras sujetas a variaciones de carga podría ser mejorada mediante la implementación de puntos de control. Lo cual involucra la acción de materiales adaptables que sean incluidos dentro de los miembros axiales en orden del incremento de la carga crítica en tales puntos que contrarreste la respuesta indeseada para obtener una adecuada a las necesidades. Otra aplicación de este tipo de estructuras es el control de formas, en el cual la forma de una estructura es modificada de acuerdo a la forma deseada, esto efecto se logra por el medio de la inclusión de actuadores apropiados [4].

Otras aplicaciones incluyen la activación mecánica convencional, tal como el control de forma de alas de aviones, el cual requiere de acoplamientos y uniones mecánicas. Así mismo en la industria de la transportación sobretodo espacial, el peso es una de las principales restricciones y es ahí donde la búsqueda por materiales más ligeros que ahorren peso se vuelve todo un reto


11

por alcanzar un funcionamiento similar a sus contrapartes convencionales. Estas grandes estructuras que originalmente involucran trabajos de precisión, son frecuentemente flexibles, tienen bajo peso y bajo amortiguamiento, aún y cuando la vibración representa un importante problema. De esta forma se desea siempre tener un mínimo número de partes, por lo que también los trabajos usualmente realizados por actuadores y sensores convencionales, implican la transferencia de energía mecánica de forma tal que algunas veces una importante porción de esta es pérdida en forma de fricción, calor y otras.

El objetivo de utilizar materiales adaptables reside en permitir a una estructura cambiar su forma o propiedades estructurales mientras se evitan los problemas mencionados de actuadores y sensores mecánicos, mejorando de esta forma el funcionamiento y vida útil. El uso de materiales adaptables reemplaza el uso de acoplamientos mecánicos complejos y sistemas de actuadores. Donde el material integrado a la estructura da como resultado una reducción de material y por lo tanto de peso. Así mismo las propiedades mecánicas de los sensores y actuadores inteligentes pueden ser controladas por temperatura, campo magnético o campo eléctrico. Esta característica permite la implementación de técnicas de control más a avanzadas cuya ley de control puede ser procesada por tales materiales al contrario de los actuadores convencionales de un sistema [7].

2.3 Materiales para Sensores y Actuadores.

Los materiales adaptables son usados como sensores para medir variables tales como: desplazamientos, esfuerzos, aceleraciones y otros cambios mecánicos en las estructuras. Ya como actuadores, el material adaptable es dirigido por el controlador para actuar o causar cambios mecánicos. Por ejemplo en supresión de vibración, la acción de la estructura inteligente cuantifica la vibración e incrementa el rango de amortiguamiento; en control de forma son accionados para cambiar la forma de las estructura; en control aeroelástico estático, los actuadores producen giros adicionales y compensación en las alas. Consecuentemente los tipos de materiales adaptables pueden ser clasificados según el tipo de transformación de energía que manejen, los más utilizados son [9]:

1. Eléctrica-Mecánica; materiales piezoeléctricos, materiales electrostrictivos, fluidos electroreológicos.

2. Magnética-Mecánica; materiales magnetostrictivos, fluidos magnetoreológicos.

3. Luminosa-Mecánica; fibra óptica.

4. Térmica-Mecánica; aleaciones con memoria de forma (SMA).

Las aleaciones con memoria de forma (SMA) son materiales que pueden ser deformados plásticamente a bajas temperaturas durante su fase martensítica, entonces el aumentar la temperatura ocasiona en los materiales el regreso a su forma original. Las fuerzas manejadas para esos cambios afectan en la transformación martensítica y la estructura enrejada del


12

material. Por tanto se debe considerar limitar tales temperaturas ya que el retorno de forma puede no ser completo bajo condiciones extremas, es decir los SMA pueden perder su memoria. La aleación con memoria de forma comercialmente con mayor disponibilidad es la aleación Níquel-Titanio. Los SMA pueden ser usadas como sensores y cuando se utilicen como actuadores, estas pueden recobrarse de esfuerzos por sobre el 8% de su límite de elasticidad [12]. Esto implica que si son deformadas entonces generaran grandes fuerzas. Estos materiales han tenido exitosas aplicaciones en medicina y en el campo aeroespacial. Algunas de sus principales desventajas son, un tiempo de respuesta lento debido a sus grandes constantes de tiempo, la restricción del rango de temperatura de operación y los grandes requerimientos de energía a causa de las pérdidas por temperatura.

Los sensores de fibra óptica son otra opción viable para los materiales adaptables, estas fibras tienen diámetros relativamente pequeños y pueden ser incluidos en la estructura con insignificantes efectos en las propiedades de la estructura. En aplicaciones prácticas, una fuente de luz es enviada dentro de la red de estas fibras incluidas en la estructura. La señal es recibida en el otro extremo y es analizada. Cualquier cambio en la señal del haz de luz tal como: fase, polarización, frecuencia, amplitud de onda, intensidad, etc., corresponderá a un cambio mecánico en la estructura [5]. Estos sensores suelen ser usados para la detección de fallas en estructuras, pero pueden ser diseñados también para detectar esfuerzos y otras variables más. Una sofisticada red de fibra óptica es el análogo de un sistema nervioso de la estructura. Una ventaja más de la fibra óptica es que se encuentra libre de interferencia electromagnética, así como sus bajas pérdidas de energía en la transmisión de la luz.

Los materiales magnetostrictivos pueden ser usados como actuadores, debido a su habilidad de tensionarse cuando son sometidos a un campo magnético. Así mismo una corriente es producida cuando son sometidos a esfuerzos, de ahí que pueden ser usados también como sensores. Diferentes materiales poseen estas propiedades sin embargo su efecto es comúnmente débil. Una excepción es una aleación comercialmente disponible “Terfenol-D”, la cual produce tensiones por sobre 0.2% [12]. En comparación con el material piezoeléctrico, el magnetostrictivo produce tensiones mayores ante una moderada fuerza de campo magnético. En general tienen buen tiempo de respuesta pero este podría ser fácilmente inhibido a altas frecuencias. Debido a sus grandes tensiones estos materiales se han usado como actuadores en el control de vibraciones añadiendo variaciones de tiempo, esfuerzos y desplazamientos. Al contrario de su gran capacidad de actuación, sus nolinealidades no son despreciables y dificultan el modelar analíticamente. Además de que su implementación en estructuras requiere del uso de un hardware muy especializado [10].

Otra clase de materiales adaptables es conocida como fluidos electroreológicos, los cuales contienen partículas dieléctricas distribuidas aleatoriamente en el fluido. Pero en la presencia de campo eléctrico esas partículas se alinean entre si en estructura de cadena en el fluido. Así el fluido se hace más viscoso, tanto como algunas otras propiedades del fluido sean modificadas. Estos materiales han sido estudiados principalmente en la supresión de vibraciones [10] donde el campo eléctrico aplicado conduce a un cambio en la matriz de esfuerzos de la estructura inteligente que los contiene. Una razón por la cual no son usados


13

comúnmente es la falta de una teoría consistente o modelos matemáticos para describir en forma precisa su comportamiento el cual debe comprender su viscosidad, solubilidad, entre otras.

Los materiales electrostrictivos son aquellos que se someten a esfuerzos cuando un campo eléctrico les es aplicado. Por lo que son una buena opción para su uso como actuadores inteligentes. La estructura de estos materiales debe mostrar simetría central para dar relevancia a este efecto. Su ecuación constitutiva es nolineal y en ella el esfuerzo es proporcional al segundo orden del campo eléctrico. Así se incrementa la dificultad de un modelo estructural analítico. Estos materiales tienen bajas características de histéresis pero su esfuerzo es siempre extensional ya que son indiferentes a la polaridad del campo eléctrico. Por tal razón no pueden ser sensores muy efectivos, incluso cuando el campo eléctrico es retirado, no habrá polarización de la red por causa de la simetría del material [5].

El efecto piezoeléctrico es el efecto de dos tipos entre esfuerzo/deformación y campo eléctrico/diferencia de voltaje en materiales sin simetría central [11]. La anisotropía de la estructura del cristal, lo habilita para retener su polarización en la ausencia de un campo eléctrico externo. La principal propiedad del efecto piezoeléctrico que lo diferencia del efecto de electrostricción (cambio de geometría debido a un campo eléctrico aplicado) es que el material puede tanto expandirse como contraerse con respecto a su geometría original dependiendo del sentido del campo eléctrico aplicado. Los más tempranos experimentos de este fenómeno se atribuyen a los hermanos Curie, Pierre y Jacques, cuando en 1880 descubrieron el efecto piezoeléctrico directo donde un material piezoeléctrico sujeto a esfuerzo desarrolla una diferencia de potencial eléctrico. Los experimentos fueron realizados en cristales tales como turmalinas y cuarzo. Tiempo después el efecto piezoeléctrico inverso fue descubierto, en el cual mediante la aplicación de un campo eléctrico en un material piezoeléctrico se provoca una deformación en este. En las estructuras inteligentes, el sensar significaría el efecto piezoeléctrico directo mientras que el actuar significaría el efecto inverso.

Los materiales piezoeléctricos han sido usados en un amplio rango de aplicaciones tales como en transductores ultrasónicos, acelerómetros, gramófonos, resonadores, filtros, impresoras de inyección de tinta, así como varias clases de sensores y actuadores; incluyendo también las estructuras inteligentes. Los materiales piezoeléctricos en comparación con las otras clases de materiales adaptables mencionados anteriormente, son menos difíciles de integrar en estructuras existentes y son relativamente menos nuevos. Los otros tipos de materiales adaptables carecen de modelos matemáticos consistentes a diferencia de los materiales piezoeléctricos, los cuales cuentan con modelos desarrollados analíticamente entre otros por Kelvin, Duhem, y Voight [11], durante el curso del siglo pasado. Los materiales piezoeléctricos pueden tener diferentes formas, tales como piezocerámicos (Zirconato Titanato), piezopolímeros ( Fluoruro Polivinilideno), fibras piezoeléctricas, entre otras.


14


15

3. Vibraciones mecánicas.

Las vibraciones que ocurren en la mayoría de las máquinas, estructuras y sistemas dinámicos son indeseables, no solo por que resultan en movimientos desagradables, ruido y esfuerzos dinámicos los cuales producen fatiga y la falla de la estructura o máquina, si no también por que se pierde energía y se merma el desempeño debido a tales vibraciones.

A principios del siglo pasado, las máquinas y estructuras usualmente tenían muy alta masa y amortiguamiento, ya que pesadas vigas, maderas y bastidores eran usados para su construcción. Desde que las fuentes de excitación de vibraciones fueron frecuentemente pequeñas en magnitud, la repuesta dinámica de esas pesadas máquinas era también pequeña. En tal caso con el desarrollo de materiales más ligeros y resistentes, se incremento el conocimiento de las propiedades del material y carga dinámica, y se mejoró el análisis y las técnicas de diseño, el peso de las máquinas y estructuras construidas para alcanzar una función particular han decrecido. Es más, la eficiencia y velocidad de la maquinaria se ha incrementado, de modo que las fuerzas de excitación de vibraciones son más grandes, y los sistemas dinámicos frecuentemente contienen altas fuentes de energía las cuales pueden ocasionar intensos problemas de vibración.

La razón principal para analizar y diagnosticar el estado de una maquina es determinar las medidas necesarias para corregir la condición de vibración es reducir el nivel de las fuerzas vibratorias no deseadas y no necesarias. De manera que, al estudiar los datos, el interés principal deberá ser la identificación de las amplitudes predominantes de la vibración, la determinación de las causas, y la corrección del problema que ellas representan.

El aumento permanente de las potencias en máquinas, junto con una disminución simultánea de gasto de materiales, y la alta exigencia de calidad y productividad industrial, hacen que el análisis dinámico de las vibraciones mecánicas en máquinas e instalaciones industriales sea cada vez más exacto. Se debe ser capaz de trabajar sobre vibraciones, calcularlas, medirlas, analizar el origen de ellas y aplicar correctivos.

Hace más o menos 40 años, la temática de vibraciones mecánicas se constituyó en parte integral de la formación de ingenieros mecánicos en los países industrializados. El fenómeno de las vibraciones mecánicas debe ser tenido en cuenta para el diseño, la producción y el empleo de maquinaria y equipos de automatización.

3.1 Definición de vibración. No existe una definición exacta de vibración; más sin embargo, se pueden considerar como vibraciones, las variaciones periódicas temporales de diferentes magnitudes. Específicamente,


16

una vibración mecánica es el movimiento de una película o de un cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio. Más claramente, es la razón de cambio de la energía potencial a energía cinética en un cuerpo flexible.

Al intervalo de tiempo necesario para que el sistema efectúe un ciclo completo de movimiento se le llama periodo de la vibración, el número de ciclos por unidad de tiempo define la frecuencia del movimiento y el desplazamiento máximo del sistema desde su posición de equilibrio se llama amplitud de la vibración.

3.2 Causas de las vibraciones mecánicas.

La razón principal para analizar y diagnosticar el estado de una maquina es determinar las medidas necesarias para corregir la condición de vibración y así reducir el nivel de las fuerzas vibratorias no deseadas y no necesarias. De manera que, al estudiar los datos, el interés principal deberá ser la identificación de las amplitudes predominantes de la vibración y la determinación de las causas para la corrección del problema que ellas representan.

Las causas de vibración son múltiples, pero básicamente las vibraciones se encuentran estrechamente relacionadas con:

• Tolerancias de mecanización.

• Desajustes.

• Movimientos relativos entre superficies en contacto.

• Desbalances de piezas en rotación u oscilación.

• Presencia de fuerzas externas de perturbación.

Los fenómenos anteriormente mencionados producen casi siempre un desplazamiento del sistema desde su posición de equilibrio estable originando una vibración mecánica.

3.3 Consecuencias de las vibraciones mecánicas.

La mayor parte de vibraciones en máquinas y estructuras son indeseables porque aumentan los esfuerzos y las tensiones por las pérdidas de energía que las acompañan. Además, son fuente de desgaste de materiales, de daños por fatiga y de movimientos y ruidos molestos.


17

Todo sistema mecánico tiene características elásticas, de amortiguamiento y de oposición al movimiento; unas de mayor o menor grado que otras; pero es debido a que los sistemas tienen esas características lo que hace que el sistema vibre cuando es sometido a una perturbación.

Toda perturbación se puede controlar, siempre y cuando se anexen bloques de control cuya función de transferencia sea igual o invertida a la función de transferencia del sistema.

Si la perturbación tiene una frecuencia igual a la frecuencia natural del sistema, la amplitud de la respuesta puede exceder la capacidad física del mismo, ocasionando su destrucción [16].

3.4 Modelo matemático clásico.

La ecuación general de las vibraciones es [16]:

( )tPkyt

yb

t

ya=+

∂

∂+

∂

∂2

2

(3.1)

Donde y es la magnitud que sufre variaciones periódicas temporales, P(t) la variable de reforzamiento o fenómeno incidente de la vibración; a, b, y k son las constantes características del sistema. Utilizando transformada de Laplace, se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( )sPskysbsysyas =++2 (3.2)

( ) ( ) ( )sPsykbsas =++2

( )( )

( )

a

ks

a

bs

sGsP

sy

++

==2

1 (3.3)

Se puede observar que la ecuación 3.3 define la función de transferencia general del sistema de vibración, lo cual facilita la modelación y elaboración de simulaciones.

3.5 Modelación general del movimiento vibratorio.

Un fenómeno incidente cualquiera puede provocar vibraciones en un sistema, por lo tanto, en términos generales y universales, el movimiento vibratorio de un sistema afectado por un fenómeno incidente desencadenador de vibraciones puede ser [16]:


18

( )tPt

ya

i

i

i

n

i=

∂

∂Σ=0

(3.4)

En donde ai constituye la ith propiedad del sistema, P(t) la función de forzamiento, y la magnitud que varía periódicamente, i identifica el orden del sistema; aplicando transformada de Laplace se tiene:

( ) ( )sPsysan

i

i

i =∑=0

(3.5)

( )( )

∑∑−

==

+

==1

00

111

n

i

i

i

n

nn

i

i

i saa

ssasP

sy

(3.6)

La ecuación 3.4.6 identifica la función de transferencia universal de las vibraciones.

∑−

=

+1

0

1 n

i

i

i

n

nsa

as (3.7)

Así mismo, la ecuación 3.7 identifica la ecuación característica universal de las vibraciones. Cuando la estructura de la vibración es lineal, tenemos que la solución a la función general de transferencia es:

( )∑

−

=

+

=1

0

11

n

i

i

i

n

nsa

as

sG

(3.8)

( )( ) ( ) ( )n

n

Rs

b

Rs

b

Rs

bsG

+++

++

+= L

2

2

1

1

( )( )∑

= +=

n

i Rs

bsG

0 1

1 (3.9)

Como:

( ) ( )∫−= dttfesF st

Se tiene que:

( )( )

( ) ∑∑=

−

=

=⇒+

=n

i

tR

i

n

i i

i ebtGRs

bsG

11

1

Entonces:

( ) ( )tPebtYn

i

tR

i

= ∑

=

−

1

1 (3.10)


19

3.6 Influencia de las vibraciones mecánicas en la operatividad de las estructuras.

Las vibraciones mecánicas representan un factor de gran influencia en la calidad del trabajo que realiza una estructura. La rigidez de los órganos de trabajo y de sus apoyos, se define como la capacidad del sistema para resistir cargas exteriores, asimilando las deformaciones elásticas admisibles sin alterar considerablemente la capacidad de trabajo del sistema.

El coeficiente de rigidez se puede determinar mediante la siguiente ecuación [15];

nDeformació

Fuerza

y

PJ =

Λ= (3.11)

Algunas veces cuando un sistema tiene buenas condiciones de rigidez, se minimizan las causas y los efectos de las vibraciones.

Condiciones de rigidez

Vibraciones en estructura

Mala calidad de estabilidad

Condiciones de carga.

Fig. 3.6.1 Diagrama de causa - efecto de las vibraciones en Estructuras.

Se hace notar que la pretensión principal de la presentación de los modelos físicos y teóricos sobre las vibraciones en las estructuras, es tener el acopio apropiado de conceptos que posibilitan entender el discurrir de dinámica del proceso de comportamiento estructural.

La rigidez en una estructura depende de las condiciones geométricas, la elasticidad del material y el sistema de ensamble de las partes, tal como lo indica la figura 3.6.1.

Las condiciones operativas de carga dependen de la velocidad de estas, la magnitud de las reacciones y las condiciones de los miembros ensamblados. (Se debe entender como condiciones superficiales a la interacción geométrica entre las partes que componen la estructura).


20

3.7 Aspectos de energía en vibraciones.

La energía que hace vibrar a un sistema mecánico se puede denotar como Ev; la energía natural del sistema se puede identificar como:

22

2

1

2

1kXmVEN += (3.12)

La energía absorbida por el mismo sistema o por el medio ambiente se denota Ea.

( ) ( ) aV EtkXtmVE −+= 22

2

1

2

1 (3.13)

Cuando t = 0 se tiene:

( ) ( ) ( )02

02

2

1

2

1tkXtmVtE += (3.14)

( ) ( ) ( )02

02

2

1

2

1tkXtmVtEa += (3.15)

La energía absorbida por el ambiente o el sistema en forma de calor es:

( ) ( )0TTKtE fca −= (3.16)

En donde K identifica el coeficiente de transmisión de calor del sistema o del ambiente y Tf - T0 la diferencia de temperatura. La temperatura en los alrededores del sistema o en el sistema mismo se puede expresar como:

( ) ( )( ) fTTtkXtmVK

=++ 002

02

2

1 (3.17)

Pueden existir dilataciones en los sistemas mecánicos si son ellos mismos los que absorben dicha energía:

( )ialencialInicEnergíaPotaléticaIniciEnergíaCinteConsnDeformació −= tan

Por lo tanto, cuando un sistema mecánico absorbe la energía de su vibración, se pueden modificar sus condiciones físicas, provocando deformaciones. Así mismo, si la perturbación o vibración tiene una frecuencia igual a la frecuencia natural del sistema, la amplitud de la respuesta puede exceder la capacidad física del mismo, ocasionando su destrucción.


21

3.8 Control y mitigación de vibraciones mecánicas.

Identificando a P(t) como el fenómeno perturbador de un sistema, G1 la función de transferencia de dicho sistema, F(t) la entrada y Y(t) la salida del sistema, entonces se debe implementar un dispositivo de amortiguación que mitigue los efectos del fenómeno perturbador en la salida o entrada del sistema.

Si el fenómeno perturbador afecta directamente la salida del sistema, tenemos:

Y(t)

P(t)N1(S)

G1(S)F(t)

Fig. 3.8.1 Diagrama de la función de transferencia de un dispositivo de amortiguación, cuando el

fenómeno perturbador actúa en la salida del sistema.

Para identificar N1 tenemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sYsPsGsNsPsFsG =++ 111

( ) ( ) ( ) ( ) 011 =+ sPsGsNsP

( )( )sG

sN1

1

1−= (3.18)

La ecuación 3.18 nos indica que el dispositivo de amortiguación debe tener una función de transferencia especificada por dicha ecuación para ser realmente efectivo.

Ahora bien, si el fenómeno perturbador se encuentra a la entrada del sistema, tenemos que:

Y(t)

P(t)N1(S)

G1(S)F(t)

Fig. 3.8.2 Diagrama de la función de transferencia de un dispositivo de amortiguación, cuando el fenómeno

perturbador actúa en la entrada del sistema.


22

Para definir aquí N1 se tiene (Fig. 3.8.2):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sYsNsPsGsPsFsG =++ 111

( ) ( ) ( ) ( ) 011 =+ sNsPsGsP

( ) ( )sGsN 11 −= (3.19)

En ciertos casos puede diseñarse efectivamente un sistema secundario masa - resorte, llamado amortiguador, para reducir las vibraciones de un sistema. Si se fuerza un sistema a vibrar con una frecuencia w1, un absorbedor k2, W2 acoplado a la misma frecuencia introducirá una fuerza de oposición igual a la fuerza perturbadora, para suprimir por completo el movimiento vibratorio del sistema original como se muestra en la ecuación 3.20.

2

21

W

gkw = (3.20)

Un amortiguador de este tipo tiene limitaciones en el sentido de que es efectivo sólo a una frecuencia. Así, para una perturbación de frecuencia variable, como el motor de automóvil, el amortiguador masa – resorte simple es inútil. Por lo tanto, la mitigación eficiente de las vibraciones de un sistema depende del grado de aproximación a un sistema de amortiguamiento ideal.

Un importante requerimiento de todas las máquinas rotatorias es que el eje de rotación coincida con uno de los ejes principales de inercia del cuerpo. Este requerimiento es difícil de satisfacer exactamente en el proceso de fabricación, y por eso es necesario el balanceo, sobre todo para las máquinas de alta velocidad. Esto es evidente por el hecho de que la magnitud de cualquier desbalanceo es igual a la fuerza centrífuga Fc:

rmwFc

2= (3.21)

En este caso puede obtenerse un balanceo completo al añadir o quitar pesos correctores, los cuales son el equivalente a un dispositivo de amortiguamiento ideal.

3.9 Medición de vibraciones.

Las vibraciones a medir pueden clasificarse como:

• Vibraciones periódicas.

• Vibraciones de choque o transitorias.

• Vibraciones aleatorias o estadísticas.

De éstas, el movimiento periódico es el más conocido, y los instrumentos para medir la frecuencia, amplitud, velocidad, aceleración o pendiente de onda, están bien desarrollados.


23

En la medición de choques las aceleraciones pico son muy importantes. En el caso de los movimientos aleatorios, es deseable un espectro de frecuencias de los valores cuadráticos medios, y la instrumentación para esas mediciones son muy complejos y de evolución algo reciente.

El sistema sísmico masa - resorte representa el elemento básico transductor de muchos instrumentos para medir la vibración. Según sean los límites de frecuencias utilizados, el desplazamiento, la velocidad o la aceleración, se indica por el movimiento relativo de la masa suspendida con respecto a su punto de fijación. Como las vibraciones son muchas veces demasiado pequeñas para la indicación mecánica, el movimiento relativo se convierte, en general, a tensión eléctrica (Volts) por el movimiento de una bobina en campo magnético. Dichas señales se pueden procesar en una Estación de Trabajo Asistida por Computador o Workstation.

Los acelerómetros funcionan bajo el principio de masa - resorte sísmico:

Fig. 3.9.1 Sensor Acelerómetro.

El acelerómetro piezoeléctrico se utiliza para medir vibraciones cuya frecuencia sea inferior a unos 2 Khz., ya que su frecuencia natural es del orden de los 5 Khz. [7]. Para su utilización, todo el conjunto se fija al equipo al que se le van a medir las vibraciones. Cuando la masa sísmica aumenta o disminuye la presión sobre el cristal piezoeléctrico, éste genera un voltaje alterno cuya amplitud es proporcional a las aceleraciones de las vibraciones; y cuya frecuencia es igual a la de dichas vibraciones.


24


25

4. Modelos matemáticos de una viga en cantilever.

Existen dos modelos de uso común en la mecánica estructural de vigas [1]:

• El modelo de Euler-Bernoulli.

• El modelo de Timoshenko.

El primero, también llamado teoría clásica de vigas, es el único considerado en los estudios elementales de la mecánica de materiales. Este modelo cuenta con efectos de momento flexionante sobre las deformaciones y esfuerzos. El efecto de las fuerzas cortantes en la deformación de la viga es ignorado. Su consideración fundamental es que las secciones transversales permanecen planas y normales al eje longitudinal deformado, según lo muestra la Fig. 4.1. En la Fig. 4.1 la rotación total de θ es debida únicamente al esfuerzo de flexión ignorando el esfuerzo cortante. La rotación ocurre cerca del eje neutral que pasa a través del centroide de la sección transversal.

Fig. 4.1 Modelo de viga de Euler Bernoulli.

El modelo de Timoshenko corrige a la teoría clásica de vigas con un efecto de primer orden de deformación por cortante. En esta teoría la sección transversal permanece plana y gira sobre el mismo eje neutral del modelo de Euler-Bernoulli, pero no permanece normal al eje longitudinal deformado como lo muestra la Fig. 4.2. La desviación de la normal es producida por un cortante transversal que es asumido como constante sobre la sección transversal. En la Fig. 4.2 la deformación total de la viga se compone de dos partes, uno debido a la flexión θ y el otro debido al corte β.

Configuración de referencia

Configuración actual

Movimiento

Sección de cruce de referencia

Sección de cruce actual


26

De tal forma el modelo de Timoshenko hace posible la predicción de la respuesta de la viga [3]. Por tal razón la teoría de Timoshenko se usa para generar el modelo de la viga en cantilever.

Fig. 4.2 Modelo de viga de Timoshenko.

4.1.1 Modelado matemático basado en la teoría de vigas de Timoshenko.

Se consideran las vibraciones transversales de una viga prismática en el plano x-y como lo muestra la Fig. 4.3, el cual es considerado un plano de simetría para alguna sección transversal. Se denota con v al desplazamiento transversal de un segmento típico de la viga, localizado a una distancia x desde el extremo izquierdo. Los efectos de inercia rotacional y de deformación por corte son ignorados. En la Fig. 4.3 BC se representa el diagrama de cuerpo libre de un elemento de longitud dx con acciones internas y de inercia sobre él. Aquí la rigidez de flexión EI debe ser tomada en cuenta. En esta figura los sentidos de la fuerza de corte S y el momento flexionante M a la convención de signos de la viga [3].

Fig. 4.3 Diagrama de cuerpo libre.

Normal al eje X de la viga de referencia

Normal al eje de la viga deformado

Dirección de la sección de cruce deformada


27

Cuando la viga está vibrando transversalmente, la condición dinámica de equilibrio para las fuerzas en la dirección de y es:

02

2

=∂

∂−

∂

∂−−

t

vAdxdx

x

SSS ρ (4.1)

donde S es la fuerza cortante, ρ es la densidad del material y A el área de la sección transversal, así que la condición de equilibrio de momentos es:

0≈∂

∂+− dx

x

MSdx (4.2)

Sustituyendo S de la Ec. 4.2 en la Ec. 4.1 se obtiene:

2

2

2

2

t

vAdxdx

x

M

∂

∂−=

∂

∂ρ (4.3)

Si se considera la teoría básica de flexión, se conoce la siguiente relación:

2

2

t

vEIM

∂

∂= (4.4)

Utilizando la Ec. 4.4 y sustituyendo en la Ec. 4.3 se obtiene:

2

2

2

2

2

2

)(t

vAdxdx

x

vEI

x ∂

∂−=

∂

∂

∂

∂ρ (4.5)

De esta forma, la Ec. 4.5 es la ecuación general para las vibraciones transversales libres de una viga. En el particular caso de una viga prismática, la rigidez de flexión EI no cambia con x, obteniendo:

2

2

4

4

t

vAdxdx

x

vEI

∂

∂−=

∂

∂ρ (4.6)

Esta última ecuación puede ser escrita como:

2

2

24

4 1

t

v

ax

v

∂

∂−=

∂

∂ (4.7)

donde:

A

EIa

ρ= (4.8)

Cuando una viga vibra transversalmente en uno de sus modos naturales, la deflexión de cualquier localización varía armónicamente con el tiempo de la siguiente forma:

)sincos( tBtAXv ωω += (4.9)

Sustituyendo la Ec. 4.9 en la Ec. 4.7 el resultado es:


28

02

2

4

4

=− Xadx

Xd ω (4.10)

Si se hace: 42

2

ka

=ω

(4.11)

La Ec. 4.10 se modifica para obtener:

044

4

=− Xkdx

Xd (4.18)

Para satisfacer la Ec. 4.18, se hace X=enx obteniendo:

Donde los valores de n se encuentran en n1=k, n2=-k, n3=jk and n4= -jk, donde j= 1− . La forma general de la Ec. 4.18 es entonces:

jkxjkxkxkxFeEeDeCeX

−− +++= (4.19)

la cual puede ser escrita de forma equivalente como:

kxCkxCkxCkxCX coshsinhcossin 4321 +++= (4.20)

Esta expresión representa una función normal típica para las vibraciones transversales de una viga prismática. Las constantes C1, C2, C3 y C4 de la ecuación 4.20 deben ser determinadas en cada caso particular a partir de las condiciones límite en los extremos de la viga. Asumiendo de la Fig. 4.3 el extremo izquierdo x=0 se tienen las siguientes condiciones límite[2].

En el extremo fijo de la viga, la deflexión y pendiente son iguales a cero, por lo que las condiciones son:

0)'(

0)(

0

0

=

=

=

=

x

x

X

X

En el extremo libre de la viga, el momento flexionante y la fuerza de corte desaparecen para obtener:

0)'''(

0)''(

=

=

=

=

lx

lx

X

X

De las primeras dos condiciones, se puede concluir que C1 = C3 = 0, en la solución general [Ec. 4.20], por lo que la ecuación general queda de la siguiente forma:

)sinh(sin)cosh(cos 42 kxkxCkxkxCX −+−= (4.21)


29

Las siguientes dos condiciones permiten obtener la siguiente ecuación de frecuencia:

1coshcos −=klkl (4.22)

Las sucesivas raíces de la Ec.4.22 son las siguientes:

k1l=1.875, k2l=4.694, k3l=7.855, k4l=10.996, k5l=14.137, k6l= 17.279,…

Los valores aproximados de tales raíces pueden ser calculados mediante la siguiente ecuación, aunque con mejor aproximación si 4≥i :

π)2

1( −≈ ilk i

De esta forma, la frecuencia de cualquier modo de vibración estará dada por:

ππ

ω

22

2ii

i

akf == (4.23)

y el correspondiente periodo de vibración es:

EI

A

kfii

i

ρπτ

2

21== (4.24)

Los primeros tres modos de vibración y sus frecuencias naturales asociadas se ilustran en la Fig.4.4;


30

Fig. 4.4 Formas de vibración para los primeros 3 modos.

Modo de Vibración Frecuencia natural (ωn)

n = 1 2

1

2

516.3

A

EI

t ρ

n = 2 2

1

2

03.22

A

EI

t ρ

n = 3 2

1

2

70.61

A

EI

t ρ

Tabla 4.1 Frecuencias naturales para los primero tres modos de vibración.

4.1.2 Modelo matemático de vibración de una viga en cantilever para el primer modo de vibración.

Considerando una viga en cantilever, sometida a una carga P en su extremo libre. Si la carga es removida entonces la viga vibrará exhibiendo su modo libre de vibración como la muestra la Fig.4.5 [4]. Utilizando la teoría elemental de vigas es posible desarrollar el modelo simple de un sistema masa-resorte para su primer modo de vibración que capture sus características principales.


31

Primer modo de vibración de una viga en cantilever. Modelo de un sistema masa-resorte.

Fig. 4.5 Modelo de vibración de una viga en cantilever como un sistema masa-resorte.

De la teoría de vigas se sabe que la deformación estática w(x) a lo largo de una viga de longitud L está dada por:

( ) LxLxxEI

Pxy

zz

≤≤→−= 0,36

)( 23 (4.25)

donde y, P, E e Izz son la deformación a lo largo del palmo de la viga, la carga en el extremo, el modulo de Young y el momento de inercia de área de la sección transversal de la viga. En el extremo final con x=L, se obtiene la relación entre la carga aplicada y la deformación δ en el extremo:

δkP = , 3

3

L

EIk zz= (4.26)

donde k es la correspondiente constante del resorte. Si las vibraciones de la viga concuerdan con esta particular forma de deformación, la dinámica de su vibración puede ser expresada como [4]:

Ptktm =+ )()( δδ&& (4.27)

Resulta también que la masa m de la ecuación 4.27 no es igual a la masa total de la viga en cantilever mb = ρAL. La determinación de la masa del modelo se estima considerando la energía cinética de ambos modelos y haciéndolas equivalentes. La energía cinética del modelo del sistema masa resorte, esta dada por [1]:

)(2

1 2tmT δ&= (4.28)

Mientras la energía cinética de la viga en cantilever está distribuida completamente a través de la misma. La cual tiene diferentes velocidades según su anchura. Se calcula la energía cinética de la viga relacionando la velocidad de la viga ),( txy& a la deformación por carga δ(t), e integrando a lo largo de la longitud de la viga, los resultados son:

Modelo simplificado de la viga como un sistema masa resorte.


32

De la ecuación. 4.26 es posible obtener:

3

3

LEI

P

zz

δ= (4.29)

Substituyendo la ecuación. 4.29 en la ecuación 4.25 se produce:

( )233

32

),( LxxL

txy −=δ

(4.30)

Diferenciando la ecuación anterior se obtiene la expresión de velocidad:

( )233

32

),( LxxL

txy −=δ&

& (4.31)

La energía cinética de la viga se obtiene integrando sobre la longitud de la viga [4]:

∫ ∫==V L

AdxydVyT0 0

22

2

1

2

1ρρ && (4.32)

Substituyendo la ecuación. 4.30 en ecuación 4.32, se resuelve para obtener:

( )∫

=−

=

LAL

AdxLxxL

T0

2233 140

33

2

13

22

1δ

ρρ

δ &&

(4.33)

igualando la ecuación 4.33 a la ecuación 4.28 y resolviendo para la masa del modelo se obtiene:

( ) bmALm 2357.0140

33== ρ , ALmb ρ= (4.34)

Finalmente, tomado en cuenta las ecuaciones 4.26 y 4.27, la ecuación modelo llega a ser:

( ) ( ) PtL

EItm zz

b =+ δδ3

32357.0 && (4.35)

De la ecuación anterior, se deduce que la frecuencia natural de la ecuación modelo esta dada por:

4

57.3AL

EI

m

k zz

nρ

ω == (4.36)


33

Frecuentemente en el modelado simplificado de estructuras complejas por una viga, se considera una concentración de masa sobre el palmo de la viga. Por ejemplo tanques de combustible a lo largo de las alas de un avión, pueden ser modelados como masas concentradas. La Fig.4.6 representa un ejemplo de masas concentradas actuando en el extremo de una viga en cantilever.

Primer modo de vibración de una viga en cantilever. Modelo de un sistema masa-resorte.

Fig.4.6 Modelo de vibración de una viga en cantilever con una masa adicional, como un sistema masa resorte.

La ecuación de movimiento para el modo fundamental de la viga en cantilever es obtenido mediante la adición de la masa concentrada a la masa del modelo obtenida de la ecuación. 4.34 lo que produce:

( ) ( ) ( ) PtL

EItMm zz

b =++ δδ3

32357.0 && (4.37)

El modo fundamental de las vibraciones de la viga, con diferentes condiciones límite, tales como simplemente apoyada, o vigas empotradas, tanto como con otras masas concentradas, puede ser similarmente obtenido [4].

4.2 Modelación en elementos finitos.

Frecuentemente el uso el estudio de los sistemas físicos se realiza mediante ecuaciones diferenciales parciales, las cuales no pueden ser resueltas analíticamente o carentes de una solución analítica exacta debido a la complejidad de las condiciones límite. En los estudios detallados y realistas se utiliza un método numérico que resuelve este problema. Frecuentemente el más adecuado es el método de elemento finito. Al pasar de los años y con el desarrollo de las computadoras modernas el método de elemento finito ha llegado a ser una de las más importantes herramientas de análisis en la ingeniería. Básicamente este método consiste en la aplicación por secciones de métodos variacionales clásicos para reducir y simplificar subdominios llamados elementos finitos conectados uno a otro en un número finito de puntos llamados nodos [19].

Modelo simplificado de la viga como un sistema masa resorte.


34

Muchas estructuras, tal como un casco de barco o el cárter de un motor, son demasiado complicadas para analizarse por técnicas clásicas, así que se debe utilizar un método de aproximación. Esto puede verse desde el análisis de receptancia de estructuras complicadas que dividen una estructura dinámica en un gran número de sub-estructuras, esta es una técnica analítica de considerable uso, que proveída de las suficientes facilidades computacionales están disponibles para resolver las ecuaciones resultantes. El método de elemento finito extiende este método a la consideración de estructuras continuas como un número de elementos conectados uno a otro por las condiciones de compatibilidad y equilibrio. De esta forma se pueden modelar estructuras complicadas como el agregado de estructuras más simples [16].

La principal ventaja del método de elemento finito es su generalidad; este puede ser usado para calcular las frecuencias naturales y las formas de los modos de algún sistema elástico lineal. En todo caso, esta es una técnica numérica la cual requiere una bastante capacidad computacional, y se debe cuidar la sensibilidad de la salida de la computadora ante pequeños cambios de entrada.

Para sistemas del tipo viga el método de elemento finito es similar al método de concentración de masa, ya que se considera al sistema como un número de elementos de masa rígidos de tamaño finito conectados por resortes de masa despreciable. El número infinito de grados de libertad asociado con un sistema continuo puede ser reducido a un número finito de grados de libertad, los cuales pueden ser analizados individualmente [11].

Por tanto el método de elemento finito consiste en la división del sistema dinámico, en una serie de elementos por líneas imaginarias, y conectando esos elementos solo por la intersección de esas líneas. Esas intersecciones son llamadas nodos. Los esfuerzos y deformaciones en cada elemento, están entonces definidos en términos de los desplazamientos y fuerzas en los nodos, y la masa de los elementos es concentrada en los nodos. Así se producen una serie de ecuaciones para el desplazamiento de los nodos y por lo tanto del sistema. Mediante la solución de esas ecuaciones, se pueden determinar los esfuerzos, las deformaciones, las frecuencias naturales, y la forma de los modos del sistema. La precisión del método de elemento finito es la mayor a modos más bajos, y esta crece en la medida que el número de elementos en el modelo lo hace también [19].

En otros trabajos se han desarrollado modelos de elemento finito para una viga activa basados en la teoría de vigas de Euler Bernoulli y aplicado un control óptimo de retroalimentación desde la salida. Otros trabajos desarrollaron un modelo de elemento finito para el control de vibraciones de una placa laminada con sensores y actuadores piezoeléctricos. También se han presentado desarrollos experimentales y analíticos de actuadores piezoeléctricos como elementos de estructuras inteligentes. De igual forma se han derivado modelos analíticos dinámicos para actuadores piezoeléctricos que están incluso unidos a un agregado elástico o acoplados en una viga laminada compuesta. Los modelos de elemento finito de una estructura contienen sensores y actuadores piezoeléctricos distribuidos como pueden ser vistos en


35

diferentes aplicaciones. Las dificultades en los modelos de elemento finito de una estructura inteligente que enfrentan los ingenieros de sistemas de control, las ventajas ofrecidas desde el punto de vista mecánico estructural y el método para obtener un modelo de orden reducido son aspectos ya desarrollados en trabajos previos. En este trabajo se discuten los aspectos de control de vibración de una viga inteligente y flexible para el caso de un sistema de una entrada y una salida [8].


36


37

5 Prototipos virtuales.

Los prototipos virtuales han sido desarrollados en años recientes como una simulación computacional de sistemas, con realismo y precisión para mejorar el diseño y algunas veces hasta reemplazar el prototipo físico para el ahorro de tiempo y recursos. Para los principales productores automotrices es importante mejorar los procesos de diseño y obtener un modelo más preciso antes de construir un prototipo físico que generalmente es costoso, y que comúnmente se construye en varias ocasiones hasta la culminación del diseño. Una solución al problema es usar un prototipo virtual [32].

Un Prototipo Virtual es una simulación hecha por computadora del modelo de un producto final, de un componente, o de un sistema. A diferencia de otros métodos similares, que distinguen modelos basándose en sus características, el término Prototipo Virtual no hace referencia a ninguna característica en particular del modelo, sino que se refiere a la función del modelo dentro del proceso de diseño, específicamente para [32]:

• Explorar alternativas de diseño.

• Demostrar conceptos de diseño.

• Examinar requerimientos de satisfacción/exactitud.

Para resultar de utilidad en el diseño de un sistema más grande, un modelo virtual define las interfaces de un componente o sistema que se esté diseñando. Como con cualquier diseño, debe existir una plataforma de prueba para verificación regresiva.

En contraste con un prototipo físico, que requiere diseño detallado de software y hardware, un prototipo virtual puede ser configurado más rápidamente y a menor costo, puede ser más abstracto, y puede ser invocado en etapas más tempranas del proceso de diseño. Otra diferencia es que un prototipo virtual, siendo una simulación por computadora, brinda mayor observabilidad no invasiva de estados internos que normalmente no es posible con modelos físicos. Comparativamente los prototipos virtuales introducen riesgos debido a la posibilidad de imprecisiones de modelación.

La modelación virtual de un prototipo es la actividad de configurar (construir) y utilizar (simular) un modelo, realizado mediante el software de una computadora, de un producto, sistema o componente, para explorar, examinar, demostrar, y/o validar el diseño, su concepto, y/o características de diseño, alternativas, u opciones. Específicamente el acto de utilizar el prototipo virtual como si fuera un ejemplo del producto (físico) final.


38

La modelación de un prototipo virtual es sinérgica ya que acorta los ciclos de evolución del producto de días o semanas reduciéndolos a minutos. El diseñador puede determinar los efectos de los cambios de diseño sobre el comportamiento del sistema final tan rápido como lo que toma editar un archivo.

Construcción mecánica

Modelo dinámico

Sistema de control

Prototipo virtualIdea

Fig. 5.1 Proceso de un prototipo virtual.

Así como existe un proceso a seguir para la obtención de un modelo o prototipo virtual, es también necesario un proceso sistemático para su implementación en la construcción del modelo físico. Este proceso incluye las etapas que se especifican en el diagrama de la figura siguiente:

Análisis de software y diseño

Implementación de software

Sistema de control

Prototipo virtual

Especificaciones de software

Fig. 5.2 Proceso de implementación de un prototipo virtual.

Con referencia a los pasos definidos en los procesos anteriores, se desarrollan la mayoría de los diseños de un prototipo virtual, siendo este el caso del estudio que se presenta. El software de modelación utilizado es MSC ADAMS y a su vez este desarrolla una interacción con el software Matlab para el diseño del sistema de control. A continuación se presenta la descripción general de una modelación tipo en este software de simulación para la obtención del prototipo virtual que sirve de base para el diseño de un futuro prototipo físico.


39

5.1 Modelación virtual en MSC. ADAMS. Se diseñó un prototipo virtual para el estudio de vibraciones bajo el concepto estructura inteligente. El modelo desarrollado es una viga con un extremo empotrado y un extremo libre, conocida coloquialmente como viga en voladizo o viga en cantilever. Este prototipo se puede considerar como un modelo básico representativo que sin duda expresará un entendimiento mayor en el análisis de un considerable número de estructuras usadas en el campo de la ingeniería.

ADAMS View es el modulo de MSC ADAMS que permite el diseño e implementación virtual del diseño. Los pasos utilizados en para la construcción del modelo virtual son los mismos que normalmente se siguen en la construcción de un prototipo físico:

Fig. 5.3 Algoritmo de modelación de un prototipo virtual en ADAMS.

El ciclo de modelación, es una estrategia parecida a la de mejora continua de la calidad en cuatro pasos, basada en un concepto ideado por Walter A. Shewhart. También se le puede denominar espiral de mejora continua.

Dentro de cada uno de los pasos indicados en al Fig. 5.1 se encuentran contenidas múltiples acciones que deben llevarse acabo a fin de completar de maneras eficiente el proceso de modelación. Esta metodología implica en cada sección del proceso las siguientes acciones:

Construir:

• Identificar el diseño a construir.

• Recopilar datos para profundizar en el conocimiento del diseño.

• Análisis e interpretación de los datos.

• Establecer los objetivos de diseño.

• Detallar las especificaciones a imponer a los resultados esperados.

• Definir los procesos necesarios para conseguir estos objetivos, verificando las especificaciones.


40

Probar:

• Ejecutar los procesos definidos en el paso anterior.

• Documentar las acciones realizadas.

Revisar:

• Pasado un periodo de tiempo previsto de antemano, volver a recopilar datos de diseño y analizarlos, comparándolos con los objetivos y especificaciones iniciales, para evaluar si se ha producido el diseño esperado.

• Documentar las conclusiones.

Mejorar:

• Si es necesario, modificar las partes según las conclusiones del paso anterior para alcanzar los objetivos con las especificaciones iniciales.

• Si se han detectado en el paso anterior, aplicar nuevos ajustes.

• Documentar el diseño obtenido.

5.1.1 Construcción del modelo.

Este es el primer paso del proceso de la modelación y en él se busca desarrollar un diseño que cumpla con las características físicas de una viga real para un material dado, mediante especificaciones. Durante esta etapa de la modelación se determinaron dimensiones, tipo de material, así como restricciones que en la forma deban ser consideradas para la puesta en funcionamiento tales como sujeciones y fuerzas aplicadas.

Los datos generales de diseño que se requieren para la elaboración del cuerpo de la viga en cantilever están especificados en la siguiente tabla:

Material

Sección de la viga

Longitud de la viga

Ancho de la viga

Espesor de la viga

Tabla 5.1 Parámetros dimensionales de la viga en cantilever.


41

Fig. 5.4 Modelo básico de la viga en cantilever.

En la figura 5.4 se esquematiza el diseño básico del modelo de la estructura (viga en cantilever), el modelo se sujeta a las dimensiones que deben ser especificadas a partir de la tabla 5.1 y está desarrollado como un cuerpo rígido con las restricciones que este hecho conlleva, como lo es la ausencia de flexibilidad, la cual es indispensable para una simulación de mayor apego a un modelo real. La sección transversal de la viga se ha elegido del tipo rectangular en todos los casos que se analizan, lo que permitirá en un futuro realizar comparativas entre cada unos de los casos específicos.

5.1.2 Modelación en elementos finitos.

El proceso de modelación se continúa con la conversión del modelo del tipo cuerpo rígido a cuerpo flexible, para lo cual se utiliza el auxilio de la herramienta ADAMS Autoflex, desde donde es posible obtener un modelo de características flexibles, el cual se desarrolla bajo el método de elementos finitos. Es aquí donde se toman en cuenta aspectos básicos de esta teoría (FEM) a fin de realizar una formulación que divide la viga en elementos y nodos, este proceso es conocido como discretización en elementos finitos. La cantidad de elementos se determina de acuerdo ala precisión que se desee en el modelo respecto de sus características reales. El software utilizado permite la generación del cuerpo flexible automáticamente al tiempo que el cuerpo rígido es reemplazado por el anterior.

Dentro de los aspectos que deben ser especificados en el software para que la conversión sea realizada están:

• Tamaño máximo de los elementos.


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• Tamaño mínimo de los elementos.

• Ángulo mínimo.

• Ángulo del palmo.

• Rango de crecimiento.

• Número de modos.

• Tipo de material.

Fig. 5.5 Vista isométrica del mallado automático del modelo en elementos finitos.

El tamaño de los elementos se determina de acuerdo a los puntos de la lista anterior y debe ser tan pequeño que dentro de cada uno de ellos las variaciones de las variables de campo sean pequeñas. Para describir estas variaciones es suficiente con unas funciones de forma sencilla, por ejemplo polinomios de grado 1 y 2. Los elementos están conectados entre si en los puntos llamados nodos y los nodos están colocados en las esquinas de los elementos o en ocasiones también en los puntos medios de las caras o aristas. Des esta forma se genera la malla de elementos la cual puede ser uniforme o variable para impedir variaciones importantes dentro de un elemento en las zonas de cambios rápidos del campo.

La figura 5.5 muestra el resultado de la discretización de la viga en elementos finitos, en el esquema se aprecia la forma en que se construyen los elementos dependiendo completamente de las especificaciones antes mencionadas por lo que cualquier variación en uno de estos parámetros, dará como resultado una variación en el mallado final obtenido.


43

A continuación se como los pasos de modelación lo requieren se adhiere al cuerpo o modelo, las fuerzas aplicadas. Para el caso en estudio se considera la aplicación de una fuerza que cumple con la función de referencia y control, es decir será por medio de esta que las acciones de control surtan efecto sobre la estructura en simulación. Adicionalmente serán aplicadas en fuerzas de carácter variable en el tiempo que causen el efectos indeseados de perturbaciones en una estructura real, tales perturbaciones son en su mayoría del tipo impulso con diferentes valores de amplitud que modifican la estabilidad del reposo de forma ya sea permanente por espacios de tiempo o de manera instantánea.

Fig. 5.6 Fuerzas aplicadas sobre el modelo de la viga.

En la figura 5.6 se puede apreciar el tipo de fuerzas aplicadas en puntos estratégicos, estos puntos son reubicados en diferentes variaciones del caso de estudio a fin de revisar la conveniencia de tal ubicación de cada uno de ellos, buscando con ello encontrar la mejor ubicación para el mejor desempeño del sistema de control. El modelo se desempeña sobre un ambiente con ausencia del efecto gravitatorio para simular los efectos de vibraciones en sentidos transversales a la fuerza de vertical y solo se considera este efecto para el caso de vibraciones en el mismo sentido vertical.

En el esquema de la figura anterior se puede visualizar el modelo conteniendo las fuerzas de acción aplicadas, en el caso de este estudio se considera a SFORCE_1 como la entrada que ocasiona disturbios por la acción de una carga indeseada que provoca las vibraciones. Por otro lado la fuerza aplicada SFORCE_2 corresponde a la entrada de manipulación que ejerce sobre la viga las acciones de control.


44

La secuencia de diseño descrita en la Figura 5.3, conduce a la experimentación y análisis del modelo desarrollado para poder cuantificar los resultados. Para poder realizar un mejor entendimiento se genera una medición de desplazamiento sobre el eje y, que luego puede ser adaptada con el objetivo de visualizar gráficamente el comportamiento de la viga ante la acción de una carga de perturbación sin modificación en la manipulación de la referencia del modelo, por lo que se estima la respuesta misma que es denominada de lazo abierto, y sus resultados tienen el comportamiento típico que se puede apreciar en la Figura 5.7.

Fig. 5.7 Comportamiento general de desplazamiento vertical del extremo libre de la viga, evaluado en

ADAMS View.

En la gráfica de la Figura 5.5 se muestra la variación de posición vertical en un punto del extremo libre de la viga lo que es normalmente conocido como deflexión. Por la característica flexible del modelo se tiene que el valor de esta deflexión es variable en el tiempo al aplicar una carga perturbadora, ya que esta provoca un estado de respuesta transitorio que cumple con un tiempo requerido de estabilización. La estabilización depende del amortiguamiento natural de la viga y la variabilidad de las oscilaciones en la respuesta, de la frecuencia natural del sistema. Estas características del modelo pueden ser determinadas analíticamente a partir de las ecuaciones de modelado matemático que se expresan en el capítulo 2, pero su complejidad nos lleva a la aproximación de un modelo que es obtenido a partir de la respuesta del sistema que se ha generado en forma virtual en ADAMS y mediante la aplicación del método de identificación de mínimos cuadrados recursivos en el software matemático Matlab.


45

5.1.3 Comunicación ADAMS/Simulink.

En esta parte de la modelación se requiere de la preparación del modelo en la forma de un sistema definido por una relación de entrada/salida. Como se definió en la Figura 5.6 el prototipo tiene una entrada que se especifica por la fuerza en función del tiempo SFORCE_2 y a su vez la salida o respuesta del sistema es la deflexión en el extremo libre. Por tal razón se especifican variables de internas en ADAMS conocidas como variables de estado, para el ejemplo se requiere de la creación de solo dos de ellas, ambas variables son dependientes de valores generados en diferente forma, una de ellas adquiere los datos de la deflexión o salida para ser usada en el sistema de control y la otra recibe información de tal sistema de control que se entrega a la manipulación de la referencia SFORCE_2.

ENTRADA SALIDA

SISTEMA_CONTROL

MODELO_ADAMS

Fig. 5.8 Interacción de los parámetros de entrada/salida de la planta con el sistema de control.

El desarrollo del proceso de identificación de un modelo matemático en tiempo discreto tiene como base la utilización del paquete de MSC Software, ADAMS Controls. Mediante este paquete computacional se logra exportar el modelo mecánico de ADAMS basado en ecuaciones diferenciales y matrices hacia el ambiente de Matlab Simulink en un bloque de características iguales al modelo original representado por las entradas y salidas definidas inicialmente. La exportación se lleva a cabo definiendo las variables de entrada y salida en el sistema así como el tipo de modelo que se desea obtener ya sea lineal o no lineal.

El modelo que se genera en Simulink lleva el nombre de adams_plant y para el manejo de términos a lo largo de este estudio se le denomina planta real. En la Figura 5.9 se muestra el diagrama de bloques del sistema generado. Para este caso es un sistema de una entrada y una salida (SISO), siendo posible hacer una generalización del método para sistemas de múltiples entradas y múltiples salidas (MIMO).

El modelo completo en Simulink (adams_sys_.mdl) consta de tres partes que pueden ser usadas para el análisis del modelo mecánico, como se muestra en el diagrama de bloques de la


46

Figura 5.9. Los bloques representan el modelo de ADAMS en diferentes formas, el bloque S-Function representa el modelo no lineal exportado, el bloque adams_sub contiene el S-Function pero también crea variables de Matlab útiles, el bloque State-Space representa un modelo linearizado del sistema exportado.

vibrabeam

adams_sub

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

State-Space

MSCSoftware

S-Function

Fig. 5.9 Modelo de ADAMS exportado a Simulink.

Para los fines que se requieren, se hace uso del bloque adams_sub ya que este dependiendo del tipo de modelo exportado (lineal o no lineal) toma el correspondiente State-Space o S-Function para el proceso de simulación. Dentro del bloque adams_sub se encuentra un subsistema que contiene los datos del modelo mecánico en el bloque ADAMS Plant.

Los bloques o variables generadas por Matlab dentro de adams_sub, se muestran en al Figura 5.10, en este diagrama es posible visualizar el archivo general de la planta (ADAMS Plant) el cual puede ser accesado para modificar parámetros de simulación tales como el intervalo de tiempo o frecuencia con que se lleva a cabo la comunicación de Simulink con ADAMS, así como el modo de simulación ya sea tipo independiente o interactivo. También se visualizan las variables creadas como lo son tres arreglos que permiten el almacenamiento de los datos, entrada, salida y tiempo de prueba. Se comprueba además la existencia de las variables de entrada y salida definidas durante el proceso de exportación.


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1

vibrabeam

ADAMS_yout

Y To Workspace

ADAMS_uout

U To Workspace

ADAMS_tout

T To Workspace

Mux

Mux

Demux

Demux

Clock

MSCSoftware

ADAMS Plant

1

control_beam

Fig. 5.10 Subsistema del bloque adams_sub.

Una vez concluida la etapa de comunicación del paquete de modelación ADAMS con la herramienta de control Matlab/Simulink, se ha concluido a su vez el proceso de modelación del prototipo virtual que servirá como elemento de experimentación para el análisis y diseño de las técnicas de control que han de implementarse para cumplir con el objetivo de la supresión de vibraciones de forma activa. La teoría de control implementada se presenta en la siguiente sección, desde las bases de la identificación de un modelo matemático a partir de la información exportada de ADAMS a Matlab, hasta el diseño de los controladores que se analizan.


48


49

6. Técnicas de control.

6.1 Análisis de la Identificación de Sistemas.

Identificación significa la determinación del modelo de un sistema dinámico desde las mediciones de entrada/salida. El conocimiento del modelo es necesario para el diseño e implementación de un sistema de control de alto desempeño. En la figura 6.1 se muestran los aspectos generales del diseño de un controlador. Dentro de los puntos a tomar en cuenta para diseñar y sintonizar un controlador se tienen los siguientes [18]:

• Especificar el comportamiento del lazo de control deseado.

• Tener un método de diseño del controlador que se ajuste a las necesidades.

• Conocer el modelo dinámico de la planta a ser controlada (también conocida como modelo de control) que describe la relación entre las variaciones de control y las variaciones de salida.

La noción de modelo matemático de un sistema o fenómeno es un concepto fundamental ya que existen gran cantidad de tipos de modelos, cada uno dedicado a una aplicación particular.

COMPORTAMIENTODESEADO

PLANTACONTROLADOR

DISENO

MODELO

Fig. 6.1 Aspectos del diseño de un controlador.

El conocimiento de los tipos de modelos (basado en las leyes de Físicas, Químicas, etc.) permite una descripción del sistema bastante completa y son usados para la simulación y diseño de la planta. Esos modelos son extremadamente complejos solo en raras excepciones pueden ser usados directamente para el diseño de los sistemas de control.

Aunque las indicaciones respecto a la estructura de esos modelos de control pueden ser obtenidas a partir del conocimiento del tipo de modelo, la obtención de los valores de los parámetros de estos modelos es muy difícil. Esto es debido a que en la mayoría de las


50

situaciones prácticas se requiere de la implementación de una metodología de identificación directa de esos modelos dinámicos desde datos experimentales.

Existen dos tipos de modelos dinámicos:

• Modelos no paramétricos (datos experimentales de respuesta a la frecuencia y respuesta al escalón).

• Modelos paramétricos (función de transferencia, ecuación diferencial o de diferencias).

La identificación de sistemas incluye cuatro pasos:

1. Adquisición de los datos entrada/salida bajo un protocolo de experimentación.

2. Búsqueda de la estructura del modelo.

3. Estimación de los parámetros de los parámetros del modelo.

4. Validación del modelo identificado.

La disponibilidad de una computadora digital permite la implementación algoritmos que automáticamente estiman los parámetros de los modelos de los sistemas muestreados. Con lo que la identificación de los modelos paramétricos muestreados permite (por simulación) la obtención de modelos no paramétricos del tipo respuesta al escalón o respuesta a la frecuencia, con un mayor grado de precisión que cuando se lleva a cabo una aproximación directa. La identificación de modelos paramétricos discretos conduce a modelos de uso general y ofrece numerosas ventajas sobre otras teorías.

Se han desarrollado algoritmos de identificación del tipo recursivo así como su implementación en microcomputadoras para problemas de identificación en tiempo real. El hecho de que estos métodos de identificación puedan operar con señales de excitación extremadamente pequeñas es una cualidad muy apreciada en situaciones prácticas.

Los aspectos considerados en la estimación de parámetros de modelos muestreados se presentan en la Figura 6.2


51

Fig. 6.2 Aspectos para la estimación de parámetros.

En la Figura 6.2 se muestra como un modelo con parámetros ajustables se implementa en la computadora. El error entre la salida del sistema en el instante t, y(t) y la salida predicha por el modelo y’(t) (error de predicción) es usada por un algoritmo de adaptación el cual en cada instante de muestreo, modificará los parámetros del modelo en orden buscando minimizar este error. Generalmente la entrada es una secuencia binaria pseudo aleatoria generada por la computadora (secuencia de pulsos rectangulares con duración variable aleatoria). Una vez que el modelo es obtenido, es posible realizar una validación objetivo mediante pruebas estadísticas basadas en la predicción del error e(t) y la predicción de la salida y’(t). El examen de validación permite la elección de la mejor estructura y el mejor algoritmo para la estimación de los parámetros.

Finalmente mediante el cálculo y representación gráfica las respuestas al escalón y a la frecuencia del modelo identificado, se pueden conocer las características del modelo en tiempo continuo.

Uno de los elementos clave en la implementación de este sistema de identificación es el algoritmo de adaptación de parámetros, el cual maneja los parámetros del modelo de predicción ajustable basado en los datos disponibles del sistema en cada instante de muestreo. Este algoritmo tiene una estructura recursiva, donde el nuevo valor de los parámetros estimados es igual al valor previo más un término de corrección el cual dependerá de las mediciones más recientes [18].

u(t) y(t)

y'(t)

PARÁMETROSESTIMADOS DEL MODELO

e(t)

PLANTA DISCRETIZADA

MODELO

AJUSTABLE ENTIEMPO DISCRETO

ALGORITMO

ADAPTACIÓN DEPARÁMETROS

DAC+ZOH PLANTA ADC


52

Generalmente se define un vector de parámetros, cuyos componentes son los diferentes parámetros que deben ser identificados. Todos los algoritmos de adaptación de parámetros tienen la estructura siguiente:

×

×

+

=

)(

Pr

)()()()( escalar

error

edicción

Función

vector

medición

Función

matriz

Adaptación

Ganancia

vector

previos

parámetros

Estimación

vector

parámetros

estimación

Nueva

El vector de la función de medición también es conocido como el vector de observación.

También existen algoritmos de identificación paramétrica no recursiva (donde el proceso acumula en bloque los archivos de datos entrada/salida sobre un cierto horizonte de tiempo). La identificación recursiva tiene sobre las técnicas no recursivas las siguientes ventajas:

• Obtención de una estimación para el modelo tal como el sistema lo involucra.

• Comprensión de datos considerable, ya que el algoritmo solo contempla un par de datos entrada/salida en cada instante en lugar de un extenso arreglo de datos entrada/salida.

• Necesidad de pequeñas memoria y potencia de cálculo.

• Fácil implementación en microcomputadoras.

• Posibilidad de implementación para sistemas en tiempo real.

• Posibilidad para seguir los parámetros de sistemas variables en el tiempo.

6.2 Algoritmo de mínimos cuadrados recursivos.

Entre los métodos de identificación de modelos paramétricos discretos se encuentra el de mínimos cuadrados, el cual tiene la característica de minimizar un criterio de error entre el modelo real de la planta y el estimado.

La metodología de cálculo se aplica a un modelo en tiempo discreto cuya salida Yk depende de la entrada Uk y de los valores anteriores de ambas variables como la forma:

dnbknbdkdknaknakkk ubububyayayay −−−−−−−−− ++++−−−−= ...... 22112211 (6.1)


53

Si la transformada z de la secuencia ( ) ( ) k

k

X z x k z∞

−

=−∞

= ∑ , entonces el modelo original en

función de z es:

( )( ) na

na

nb

nbd

zazaza

zbzbzbz

zU

zY−−−

−−−−

++++

+++=

...1

...2

21

1

22

11 (6.2)

De donde se definen los siguientes vectores:

[ ]T

nbna bbbaaa ...... 2121=θ (6.4)

[ ]T

dnbkdkdknakkkk uuuyyy −−−−−−−−− −−−= ...... 2121ψ (6.5)

Así pues el sistema original puede describirse como:

θψ T

kky = (6.6)

El método de mínimos cuadrados busca encontrar a partir de un muestreo de los datos reales de un proceso, los valores del vector θ que ajusten de la mejor forma a la respuesta yk del sistema a partir de una ecuación de predicción:

θψ T

kky =ˆ (6.7)

la cual debe minimizar un criterio cuadrático de error determinado que se encuentre en función de los datos medidos, es decir:

( )N

N ZV ,min θθ

donde:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }NyNuyuyuZ N ,;...;2,2;1,1= (6.8) y el criterio cuadrático del error es:

( ) ( ) ( )2

1

2

1ˆ

11, kk

N

kk

N

k

N

N yyN

eN

ZV −Σ=Σ===

θ (6.9)

donde se busca encontrar el vector de coeficientes de predicción que minimice el criterio, por lo que:

( )N

NN ZV ,minargˆ θθθ

= (6.10)


54

El cual se obtiene derivando la ecuación 3.9 e igualando su derivada a cero para obtener:

kk

N

k

T

kk

N

kN yψψψθ

1

1

1

ˆ=

−

=Σ

Σ= (6.11)

Los pasos que se siguen en la metodología de identificación por mínimos cuadrados son los que se muestran en la figura siguiente:

¿Es bueno el modelo?

1) Diseño de la prueba a aplicar

2) Aplicación de la prueba

3) Acondicionamiento de los datos

4) Proponer la estructura del modelo

5) Estimar los parámetros

6) Validar el modelo

FinSiNo

Fig. 6.3 Pasos del algoritmo de identificación por mínimos cuadrados.

Con referencia al esquema de la figura 3.1 en este estudio se selecciona una prueba del tipo impulso debido a la característica de contenido rico en frecuencias que posee, lo cual es un requisito primordial para la obtención de un buen modelo.

Respecto de la aplicación de la prueba, esta se aplica cuando el proceso se encuentra en estado estacionario en el punto de operación donde se desea identificarlo.

Criterio: Error Respuesta real vs Respuesta Identificada.


55

Debido a que una función de transferencia discreta asume que las condiciones iniciales son cero, en el caso de que este hecho no se cumpla se deben convertir las mediciones de la entrada y la salida en variables de desviación con respecto a sus valores iniciales.

La estructura del modelo propuesto debe indicar el número de coeficientes del numerador (nb) el número de coeficientes del denominador (na), y el retraso del sistema, con la finalidad de cuantificar el error en la predicción. Y así valorar si el número y valor de los coeficientes es el adecuado, para dar una buena aproximación del modelo real que se asume tiene la forma de la ecuación 6.2.

Debido a estudios previos en los que la utilización de buenos modelos se ha observado cumple con buenos desempeños, en el caso de estudio se predefine un tipo de estructura con solo un tipo de modelo discreto. Esto es, se identifica un tipo de modelo de segundo orden con un valor de retraso igual a 1.

El modelo que se desea predecir es un autorregresivo con variable exógena (ARX), en el cual se asume que el ruido presente en los datos es blanco de forma que el predictor queda expresado como en la ecuación 6.1.

Una modificación del método original de mínimos cuadrados para sistemas lineales es el de mínimos cuadrados recursivos, y su ventaja principal radica en las operaciones computacionales ya que no es necesaria la inversión de una matriz, por lo que se hace más confiable y fácil de implementar en un microprocesador.

Se considera el estimador por mínimos cuadrados de la ecuación 3.11, y si la matriz ψψ T

es positiva se define:

ψψ T

NF = (6.12)

Y teniendo nuevas observaciones uN+1 y yN+1 en la entrada y la salida, se llama ψ al vector de estado requerido para predecir y(n+1), entonces el estimador de mínimos cuadrados y la matriz FN satisfacen la siguiente ecuación recursiva:

ψψ

ψψ

N

T

N

T

N

NNF

FFFF

+−=+ 11 (6.13)

Por lo que:

( )N

T

NNNN yF θψψθθ ˆˆˆ111 −+= +++ (6.14)

A la matriz FN+1 se le conoce la ganancia de adaptación del estimador recursivo, también conocida como la matriz de covarianzas en el estimador des mínimos cuadrados original, por


56

lo que cuando F es grande, se asume pobre precisión y el algoritmo buscará adaptar más rápido, en caso contrario, el algoritmo ajustará más despacio.

6.3 Controladores Digitales. En la actualidad el contar con computadoras digitales o microprocesadores ofrece ventajas como:

• Elección de estrategias para el diseño de un controlador.

• La posibilidad de usar algoritmos de mayor complejidad y eficiencia que el PID.

• Técnicas apropiadas para el control de sistemas con tiempo de retraso.

Así pues, si se combinan los métodos de diseño del controlador junto con las técnicas de identificación del modelo del sistema, se puede implementar un procedimiento de diseño del controlador con un desempeño de alta eficiencia.

Todos los controladores, independientemente de su método de diseño, presentan la misma estructura R-S-T (Fig. 6.5). Exclusivamente la memoria del controlador será dependiente de la complejidad del sistema. El diseño y sintonización de los diferentes tipos de controladores necesita del conocimiento del modelo paramétrico en tiempo discreto de la planta que será controlada.

6.4 PID digital.

En las aplicaciones de control donde el orden de la planta es bajo y muy pequeño o sin tiempo de retraso, los controladores PID generalmente ofrecen resultados satisfactorios. El diseño del controlador PID digital utiliza el modelo en tiempo discreto de la planta que desea ser controlada, la cual puede haber sido obtenida por medio de la identificación directa o en su caso por el cálculo de la función de transferencia discreta que corresponda al modelo en tiempo continuo [18].

La versión básica del controlador PID digital resulta de la discretización del controlador PID en tiempo continuo, con acciones P, I y D independientes. Este método de diseño solo aplica en los casos de:


57

• Plantas que pueden ser modeladas por un sistema en tiempo continuo caracterizado por una función de transferencia de grado máximo igual a 2, con o sin tiempo de retraso.

• Plantas que tienen un tiempo de retraso menor al tiempo de muestreo.

Los parámetros obtenidos del diseño del controlador PID digital pueden ser utilizados en casos de controladores PID en tiempo continuo o pseudo digitales.

6.4.1 Estructura.

La función de transferencia del controlador PID en tiempo continuo es:

( )

+

++=

sN

T

sT

sTksH

d

d

i

PID

1

11 (6.4.1)

Este controlador se caracteriza por cuatro parámetros de sintonización:

• K = ganancia proporcional.

• Ti = acción integral.

• Td = acción derivativa.

• Td/N = filtro de la acción derivativa.

Se pueden utilizar diferentes métodos de discretización para derivar la estructura del PID digital. Las relaciones entre el tiempo continuo y los parámetros muestreados dependerán del método utilizado, pero la estructura del controlador digital permanece intacta. En el caso de estudio que aquí se presenta, el controlador será diseñado en tiempo discreto, sin embargo el método de discretización no es esencial. La ecuación discretizada que se utiliza se obtiene utilizando la aproximación de diferencias hacia atrás, donde s(acción derivativa) se aproxima a (1-z-1)/Ts, y 1/s (acción integral) a Ts/(1-z-1). Introduciendo tales aproximaciones en la ecuación 6.4.1 consecuentemente se obtiene la función de transferencia discreta del controlador PID digital como:

( ) ( )( )

( )

+−

−+

+−

+==−

−

−−

−−

1

1

11

11

1

1

1

11

zNTT

T

zNTT

NT

zT

TK

zS

zRzH

sd

d

sd

d

i

s

PID (6.4.2)

La expresión en términos de la relación de 2 polinomios se obtiene sumando los tres términos de la ecuación 3.1.2 , de este modo los polinomios R(z-1) y S(z-1) tienen la forma:


58

( ) 22

110

1 −−− ++= zrzrrzR (6.4.3)

( ) ( )( )11

11 11 −−− +−= zszzS (6.4.4)

donde:

sd

d

NTT

Ts

+−=1

−+= 10 1 Ns

T

TKr

i

s

−

++= 12111 N

T

TsKr

i

s

( )NKsr +−= 112

Análogamente al controlador PID en tiempo continuo, el PID digital tiene cuatro parámetros: r0, r1, r2, s1.

Se aprecia que la función de transferencia del PID digital contiene un factor denominador común (1-z-1) el cual asegura el efecto de integración. También contiene el término (1+s1z

-1), el cual tiene la función de un filtro digital similar al filtrado introducido por el término (1+Td/Ns) en el PID de tiempo continuo.

El diagrama de bloque que representa el control del PID en tiempo discreto se muestra en la Figura 6.4.1. Sin embargo se escoge T(z-1)=R(z-1), si se desea que el controlador PID tome la forma canónica de tres ramas, como lo muestra el diagrama de la Figura 6.5, Sin embargo para los fines que en la presente investigación son requeridos, solo es necesaria la implementación del modelo descrito en la figura 6.4. La función de transferencia en lazo cerrado relativa a la referencia r(t) y la salida y(t) de este sistema es:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )1

11

1111

111

−

−−

−−−−

−−− =

+=

zP

zRzB

zRzBzSzA

zRzBzH CL (6.4.5)

en donde P(z-1) define los polos de lazo cerrado, los cuales están directamente relacionados al desempeño de regulación.


59

r(t) y(t)u(t)B/A

PLANTA

R/S

Fig. 6.4 Diagrama de bloques de un lazo de control digital utilizando un controlador PID discreto.

r(t) y(t)u(t)B/A

PLANTA

R

T 1/S

Fig. 6.5 Diagrama de bloques de un sistema de control de tres ramas utilizando un controlador PID

discreto.

El producto B(z-1)R(z-1) define los ceros de lazo cerrado. El PID normalmente no simplifica los ceros de la planta (a menos que B(z-1) se elija como un factor de P(z-1)) y así que puede ser usado por la regulación de la planta teniendo un modelo en tiempo discreto con ceros inestables. Más aún el PID introduce ceros adicionales definidos por R(z-1), los cuales dependen de A(z-1), B(z-1) y P(z-1), por lo tanto no pueden ser especificados de antemano; en ocasiones esos ceros pueden ocasionar ascensos a sobretiros indeseados durante el estado transitorio.

6.4.2 Cálculo de los parámetros del controlador PID digital.

El cálculo de los parámetros involucra varias etapas:

1. Determinación del modelo muestreado de la planta discretizada.

2. Especificación del desempeño.

3. Cálculo de los parámetros del controlador (coeficientes de los polinomios R(z-1) y S(z-1)).


60

6.4.3 Modelo muestreado de la planta.

Esta es la función de transferencia discreta H(z-1) del modelo muestreado de una planta que tiene la función de transferencia H(s) y controlada mediante un retenedor de orden cero. Para el caso específico de estudio se utilizará el modelo estimado en el proceso de identificación; para los tipos de modelos identificados, se obtiene una función de transferencia de la forma:

( )2

21

1

22

11

11

−−

−−

++

+=−

zaza

zbzbzH (6.4.6)

6.4.4 Especificación del desempeño.

El desempeño en lazo cerrado puede ser expresado en términos de los parámetros de una función de transferencia discreta restringiéndose a la condición de la ecuación 6.4.5, donde Bm(z-1) = B(z-1)R(z-1) y no puede ser especificado de antemano tomando en cuenta que B(z-1) no esta simplificado. El controlador introduce ceros por conducto de R(z-1). El polinomio resultante a ser especificado se P(z-1) se elige de la forma:

( ) 22

11

1 1 −−− ++= zpzpzP (6.4.7)

Para definir p1 y p2 primero se considera un modelo de segundo orden normalizado en tiempo continuo habilitando un tiempo de elevación (tR) o un tiempo de estabilización (ts) y un sobretiro máximo (M) para ser obtenido de acuerdo con las especificaciones de su constante de amortiguamiento (ζ) y su frecuencia natural (ω0) para la forma de la función de transferencia de la ecuación siguiente:

( )22

0

20

2 sssH

++=

ζωω

ω (6.4.8)

La cual puede ser completada con el cálculo de los parámetros ζ y ω0 mediante las ecuaciones 6.4.9 y 6.4.10.

M

M22

2

ln

ln

+=

πζ (6.4.9)

ζ

ωst

40 = (6.4.10)


61

Completada la función de transferencia de la ecuación 6.4.8 del comportamiento deseado del sistema de control en lazo cerrado, se convierte al tipo discreta por algún método de discretización para resultar en una función de transferencia pulso del tipo de la ecuación 6.4.6. El denominador de la función de transferencia pulso representa al polinomio P(z-1).

6.4.5 Cálculo de los parámetros del controlador.

Partiendo de la ecuación 6.4.5 la siguiente ecuación debe ser resuelta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )11111 −−−−− =+ zPzRzBzSzA (6.4.11)

Para el polinomio P(z-1) dado por la ecuación 3.1.7 y los polinomios A(z-1) y B(z-1) dados por la ecuación 6.4.5. Las estructuras de R(z-1) y S(z-1) están dados por la ecuaciones 6.4.3 y 6.4.4 respectivamente. De esta forma los cálculos de la solución se expresan en las siguientes ecuaciones:

( ) ( ) 3122

2112

32

2211 1 babbaabbbaD −−−−−= (6.4.12)

( )[ ] ( )

( )[ ]

+−+−+

−−++−−+−−=

2121211211

21112

222

211211

0

1111

bbaaaaaap

bpaabaaapap

Dr (6.4.13)

( ) ( )[ ] ( )

( )[ ]

+−−−+

−+−+−++−=

22

21121121

2121

222221

22121212

1

1

baaaaaap

baaaapbbaaapaap

Dr (6.4.14)

( )[ ] ( )[ ]{ }21

22

221112122122 1

1babpaabbapaa

Dr −−−+−+= (6.4.15)

( ) ( )[ ]22

123211

2212121 1

1bbabapbbaap

Ds −−+−−+= (6.4.16)


62

6.5 Colocación de polos mediante un control RST.

El cálculo de los parámetros de controladores PID digitales, es un caso especial de la estrategia de colocación de polos. Esta estrategia permite diseñar un controlador R-S-T digital para sistemas estables e inestables:

- Sin restricción el grado de los polinomios A(z-1) y B(z-1) de la función de transferencia de la planta (solo restringido por no tener factores en común).

- Sin restricción del tiempo de retraso.

- Sin restricción de los ceros de la planta (estables o inestables).

Este método no simplifica los ceros del sistema (ya que estos pueden ser inestables). La única restricción es la posible existencia de los de factores comunes entre A(z-1) y B(z-1), los cuales deben ser simplificados antes que los cálculos sean realizados.

6.5.1 Estructura.

La estructura del sistema en lazo cerrado esta dada por la figura 6.1. La planta a ser controlada está caracterizada por la función de transferencia pulso (irreducible):

( ) ( )( )1

11

−

−−− =

zA

zBzzH

d

(6.5.1)

donde d es el número entero de periodos de muestreo contenidos en el tiempo de retraso, y:

( ) n

n zazaA−− +++= L

11

-1 1z (6.5.2)

( ) ( )1*122

11

1 −−−−−− =+++= qBzzbzbzbzBm

mL (6.5.3)


63

r(t) y(t)z^-dB(z)

A(z)

Planta

R(z)

1

1

S(z)

T(z)

1

( )

( )1

1

−

−−

zP

zBz d

Fig. 6.6 Colocación de Polos con un controlador R – S – T.

La función de transferencia en lazo cerrado esta dada por:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )1

11

1111

111

−

−−−

−−−−−

−−−− =

+=

zP

zBzTz

zRzBzzSzA

zBzTzzH

d

d

d

CL (6.5.4)

En donde:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L+++=+= −−−−−−− 22

11

11111 1 zpzpzRzBzSzAzP (6.5.5)

define los polos de lazo cerrado y respectivamente el comportamiento de regulación.

6.5.2 Regulación [Cálculo de R(z-1) y S(z-1)].

Los polos de lazo cerrado los cuales son las raíces del polinomio P(z-1

) definen el comportamiento de regulación. Esto fue observado en el caso del controlador PID, lo que hizo posible especificar un polinomio P(z

-1), definiendo los polos de lazo cerrado, desde un modelo

de segundo orden en tiempo continuo, teniendo la frecuencia natural y amortiguamiento deseados. El polinomio P(z

-1) puede también ser especificado directamente desde el

comportamiento deseado. A manera de ilustración se considera el siguiente ejemplo.

( ) 11

1 1 −− += zpzP


64

con p1 = -0.5. Para una referencia cero (o constante), la evolución de la salida (o del error de regulación) en lazo cerrado será definido por la ecuación:

( ) ( ) ( )tytypty 5.01 1 =−=+

En cada periodo de muestreo se obtiene un decremento relativo del 50% de la salida, como se ilustra en la figura siguiente:

0 5 10 15 20 25 30-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Fig. 6.7 Respuesta para P(z-1) = 1 – 0.5z-1

En la búsqueda de p1 entre -0.2 y -0.8, es claro que la velocidad del rechazo a perturbaciones puede ser controlada.

De igual forma, P(z-1) se busca generalmente en la forma de un polinomio de segundo orden producto de la discretización de un sistema de segundo orden en tiempo continuo, especificando ω0, ζ, y Ts asegurándose de la condición:

5.125.0 0 ≤≤ sTω

17.0 ≤≤ ζ

( ) ( )tyty 5.01 =+

( )0y


65

sea satisfecha. La discretización puede producirse por medio de Matlab.

Una vez que P(z-1) esté especificado, para calcular R(z-1) y S(z-1) de acuerdo a la ecuación 6.5.4, se debe solucionar la siguiente ecuación conocida como la identidad de Bezout:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )11111 −−−−−− =+ zPzRzBzzSzA d (6.5.6)

Ahora se define:

( )dmnr += ,degmax (6.5.7)

Esta ecuación polinomial tiene una solución única (cuando A(z-1) y B(z-1) no contienen factores comunes) para:

( ) 12deg 1 −≤− rzP

( ) ( ) 1degdeg 11 −== −− rzRzS (6.5.8)

en donde:

( ) ( )1111

11

1 *11 −−+−−

−− +=+++= zSzzszszS r

rL (6.5.9)

( ) 11

110

1 +−−

−− +++= r

r zrzrrzR L (6.5.10)

Para solucionar de forma precisa la ecuación 6.5.6, las ecuaciones anteriores se representan usualmente en la forma matricial:

pMx = (6.5.11)

donde:

[ ]10111 −−= rr

Trrssx KK (6.5.12)

[ ]12111 −−= rr

T pppp LL (6.5.13)

y la matriz M tiene la siguiente forma:


66

−

−

−−

444444444 3444444444 21r

rr

r

rrr

rr

ba

b

bbbaa

bbaa

ba

r

2

'

'1

'1

'1

'1

'1

'111

'11

0..00..0

.........

..0.....0.

....0....0

.....

0..1..

..........

.....0....

.0...0..

0...00..01

2

donde

0' =ib para di L10= , dii bb −=' para 1+≥ di

0=ia para ni > y 0=ib para mi >

(desde el hecho de que el polinomio A es de grado n, y el polinomio B es de grado m).

El vector x que contiene los coeficientes de los polinomios R(z-1) y S(z-1) se obtiene después de la inversión de la matriz M, mediante la siguiente ecuación:

pMx 1−= (6.5.14)

Existe una variada cantidad de métodos para la solución de la ecuación 6.5.6, algunos programas computacionales especializados utilizan por ejemplo el algoritmo recursivo de mínimos cuadrados.

6.5.3 Error de estado estable.

Para obtener un error de estado estable igual a cero para una entrada escalón o una perturbación, el lazo de retroalimentación debe incluir un integrador digital. Es decir, se debe reemplazar al polinomio S(z-1) por:


67

( ) ( )( ) ( ) ( )12

1111 1' −−−−− =−= zHzSzzSzS (6.5.15)

Por razones de robustez digital (el cálculo de R(z-1) y S(z-1)), se introduce generalmente un filtro H1(z

-1) en cascada con R(z-1):

( ) ( )111 1

1

1 −− −−

= zzH αα

10 <<< α (6.5.16)

con la restricción de que A(z-1) y H(z-1) no deben contener factores en común. Entonces el polinomio R(z-1) resulta ser:

( ) ( ) ( )11

11' −−− = zHzRzR (6.5.17)

y la función de transferencia en lazo cerrado resultante es la que a continuación se indica:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )1

11

11

1112

11

111

−

−−−

−−−−−−−

−−−− =

+=

zP

zBzTz

zHzRzBzzHzSzA

zBzTzzH

d

d

d

CL (6.5.18)

En lugar de la ecuación (3.6) ahora se deberá resolver la siguiente ecuación:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1111

1112

1 −−−−−−−− =+ zPzRzHzBzzSzHzA d (6.5.19)

Para la solución de la ecuación 6.5.19, se resuelve la ecuación 6.5.6 después de reemplazar A(z-1) con A(z-1)H2(z

-1), y B(z-1)H1(z-1). Por otro lado, para la implementación, S(z-1) debe ser

reemplazado con S(z-1)H2(z-1) y R(z-1) con R(z-1)H1(z

-1).

6.5.4 Seguimiento.

Idealmente, cuando los cambios en referencia, es deseable que la salida del sistema y(t) se comporte de acuerdo a una trayectoria deseada y*(t). Esta trayectoria puede ser almacenada o generada cada vez que la referencia cambie mediante un modelo de referencia, como lo indica la figura 6.8.


68

r(t) y*(t)

Trayectoriadeseadapara y(t)

Caso Ideal

z^-dB(z)

A(z)

Planta

0 0.5 1

Fig. 6.8 Generación de la trayectoria deseada y*(t).

Bajo la consideración anterior es posible calcular un polinomio más que representa el carácter de seguimiento para completar la estructura del modelo general del controlador R-S-T representado en la Figura 6.8; de esta forma se completan los aspectos característicos seguimiento y regulación, donde el primero se refiere a el control que se desarrolla para los ajustes de cambios en referencia, mientras que el segundo esta referido al control de perturbaciones.

La regulación se lleva a cabo mediante la inclusión en el lazo de retroalimentación de los polinomios R y S, y a su vez el seguimiento lo propicia el polinomio T. Para el presente caso en estudio, el control por regulación es la parte preponderante, ya que se busca minimizar el efecto que una perturbación causa en la respuesta del sistema.

Por las razones anteriores el diagrama general de la Figura 6.1 puede ser particularizado al caso del presente estudio, reduciéndose al modelo del diagrama de bloques de la Fig. 6.4 donde se presenta al sistema como un caso especial de control RST, ahora exclusivo de regulación. Es decir, el sistema en estudio (control de vibraciones) se basa en la consideración fundamental de que en ausencia de cambios en referencia y partiendo de la estabilidad del sistema, se logre conservar este estado luego de que perturbaciones de diferentes características se presenten en el tiempo de trabajo.

r(t) y(t)

Caso Ideal

z^-dB(z)

A(z)

Planta

R(z)

1

1

S(z)

Fig. 6.9 Sistema de control R-S para regulación.


69

7. Pruebas de simulación y resultados.

7.1 Identificación del modelo.

Una vez completado el proceso de exportación se continúa con la identificación del modelo de ADAMS en un una estructura conocida por Matlab y las teorías de control utilizadas. Se busca identificar un modelo discreto de estructura ARX, con numeró de parámetros na y nb determinados para conseguir una función de transferencia discreta de la forma de la ecuación

( )( ) na

na

nb

nbd

zazaza

zbzbzbz

zU

zY−−−

−−−−

++++

+++=

...1

...2

21

1

22

11 (7.1)

Así pues de esta forma se prepara un diagrama de bloques que incluya la planta de ADAMS, para aplicar una prueba de identificación por mínimos cuadrados recursivos. Mediante le módulo de Simulink se implementa este procedimiento asignando el número de parámetros a determinar en la estructura del orden especificado. La herramienta utilizada es el System Identification Toolbox de Simulink, y esta fundamentado en la teoría básica del algoritmo de mínimos cuadrados recursivos expuesta con anterioridad. En este identificador computacional se especifican ciertos parámetros indispensables para su puesta en funcionamiento; tales parámetros son: el número de términos a y b, el numero de retrasos, la periodicidad de la recursividad y finalmente el tiempo de muestreo.

El tiempo de muestreo que se utiliza en la identificación es el mismo que el que se asigna en el intervalo de comunicación de Matlab con ADAMS, el cual se predefinirá a 0.005 segundos. Este tiempo de discretización es el recomendado por el software y se verifica ser el que mejor desempeño proporciona para el análisis de la simulación de la planta. Es también este intervalo el que se utiliza en todos y cada uno de los casos experimentados, tanto para su simulación como para los fines de cálculos de diseño del sistema de control, ya que este puede ser procesado fácilmente por los sistemas de sensores y actuadores piezoeléctricos que se explican en secciones pasadas. Este tipo de actuadores manejan velocidades de respuesta del rango de 5kHz, lo que los hace aptos para el tipo de sistema de control aplicado, en el caso de una implementación física.


70

vibrabeam

adams_sub

Step

ARX

u

y

AutoRegressive with eXternal input

model estimator

Fig. 7.1 Diagrama de bloques de la prueba de Identificación.

El diagrama representado en la figura 7.1 contiene como partes elementales cuatro bloques que completan el sistema de identificación; la planta de ADAMS (adams_sub), una entrada al sistema (impulso generado con una entrada escalón de amplitud conocida y corto tiempo de duración), una lectura de la salida del sistema (graficador vibrabeam) y el boque de lectura de datos y estimación de parámetros (estimador ARX por mínimos cuadrados recursivos).

La prueba de identificación se aplicó sobre un horizonte de tiempo determinado el cual puede ser fácilmente ajustado en los parámetros de simulación propios de Simulink, para este caso se utiliza una duración de aproximadamente el doble del tiempo de la estabilización natural o en lazo abierto después de la aplicación del impulso en la entrada.

Los resultados de la estimación y su comportamiento en el tiempo conforme la estimación es llevada a cabo se logran visualizar en las gráficas de la figura 7.2 en la cual se muestra dos tipos de gráficos; en el primero se muestra la salida actual de la planta (línea roja) en comparación a la salida del modelo de predicción (línea azul) y en el segundo se grafica el error de predicción logrados hasta el momento. Para el primer caso se logran adquirir diferencias por debajo de 1x10-16, con lo que se verifica que la estabilidad del sistema ha sido alcanzada. En el caso de la minimización del error se visualiza como es que su decrecimiento es sustancial conforme la prueba es llevada a cabo.

En la mayoría de los casos en la estimación del error se logran adquirir valores por debajo de 1x10-10 una vez concluida la prueba. Estos resultados de la estimación aseguran una buena prueba de de identificación y es así que el sistema de control puede ser desarrollado con certeza y precisión.


71

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

2

x 10-16

Time (secs)

Actual Output (Red Line) vs. The Simulated Predicted Model output (Blue Line)

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-10

-5

0

5

10

Time (secs)

Error In Simulated Model

Fig. 7.2 Resultados de la estimación de los parámetros del modelo; gráfica superior: salida actual vs salida

del modelo, gráfica inferior: error la simulación del modelo.

La respuesta natural del sistema mecánico en lazo abierto es la que se muestra en la Fig.7.3 y de nueva cuenta puede ser obtenida a partir del modelo identificado aplicando una entrada impulso como la que en la planta original es aplicada. Los resultados de simulación en la investigación denotan una clara afinidad del modelo identificado con la planta original.

Debido a que el modelo obtenido se expresa en función de la variable compleja z, es posible la aplicación de pruebas de respuesta en frecuencia como las conocidas generalmente se conocen. La respuesta en frecuencia de un sistema se define como la respuesta de este en estado estacionario ante una entrada sinusoidal. Los sistemas que son sometidos a esta entrada presentan una salida sinusoidal pero con diferente amplitud y ángulo de fase.

Entre las ventajas que proporciona el análisis de un sistema a través de su respuesta en frecuencia se encuentran:

• La facilidad de reproducir señales de prueba que permiten una identificación frecuencial.


72

• La existencia de criterios de estabilidad a lazo cerrado, basados en la respuesta frecuencial del sistema a lazo abierto.

• La disposición de técnicas de diseño para el control de sistemas cuando las especificaciones de la respuesta son de carácter frecuencial.

• Es posible establecer una relación entre la respuesta frecuencial y la temporal.

La representación de la respuesta frecuencial puede hacerse de diferentes formas, entre las cuales se pueden nombrar las siguientes: Los Diagramas de Bode y los Diagramas Polares.

El diagrama de bode se utiliza para representar la respuesta frecuencial de un sistema utilizando dos gráficos. El primero, es la representación del logaritmo de la magnitud versus la frecuencia (ω) y el segundo representa el ángulo de fase (φ) versus la frecuencia (ω). La magnitud logarítmica de G(jω) se representa como una amplitud logarítmica y se calcula como el 20 log |G(jω)|, siendo la unidad de dicha amplitud los decibeles (db). La principal ventaja de realizar un diagrama logarítmico es que el carácter multiplicatorio de los módulos de la función de transferencia se convierte en aditivo.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Tiempo (seg)

Def

orm

ació

n (m

m)

Planta Real vs Modelo Identificado

Respuesta Planta

Respuesta Modelo Identificado

Fig. 7.3 Respuesta al impulso del modelo identificado (roja) en comparación con la respuesta de la planta

real (azul).


73

La Figura 7.4 es un ejemplo del comportamiento del modelo identificado en un diagrama de bode de respuesta a la frecuencia. En el primer gráfico se expresa la variación de amplitud en decibeles y en el segundo la variación del ángulo de fase.

-40

-30

-20

-10

0

10

20

Mag

nitu

de (

dB)

101

102

103

-225

-180

-135

-90

-45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Fig. 7.4 Respuesta en frecuencia del modelo identificado.

7.2 Diseño del sistema de control.

Dos son las técnicas de control que se aplican al sistema mecánico desarrollado en ADAMS para la amortización de las vibraciones causadas por fuerzas de perturbación que se presentan en diferentes tiempos de trabajo. La utilización del toolbox de ADAMAS (ADAMS Controls) permite la interacción del sistema de control desarrollado en Matlab con el sistema mecánico una vez que el diseño del controlador ha sido llevado a cabo y su diagrama de bloques requerido ha sido fabricado.

Para el diseño de ambos controladores es requerido el modelo o función de transferencia de la planta, por lo que en este caso se utiliza aquel modelo identificado bajo las especificaciones de


74

la sección XXX. Los modelos identificados cumplen con el requisito de ser discretos y de orden conocido, para este caso se obtuvieron solo modelos del tipo de segundo orden de donde se obtendrán directamente ambos controladores, desde el que podrá ser diseñado el controlador RST y el controlador PID cuyo requisito de ser solo de orden menor a 2 se cumple, por los que se toma el diseño del PID obtenido del 2 orden y se aplica como lazo de control para modelos de rango mayor(por ejemplo, cuarto orden), donde se puede apreciar su funcionalidad.

7.3 Control con PID digital.

La discretización del PID clásico resulta en un controlador digital con una forma canónica de tres ramas (R-S-T). Apoyado en los coeficientes de R(z-1) y S(z-1), los coeficientes de un PID en tiempo continuo pueden ser calculados si el polinomio S(z-1) =1+s1z

-1 tiene -1<s1<0. El PID digital puede controlar sistemas de primer y segundo orden con tiempo de retraso, si el más grande es menor que e periodo de muestreo (Ts). Para tiempos de retraso >0.25T (T es la constante de tiempo del sistema) el PID desarrolla respuestas en lazo cerrado aún más lentas que el lazo abierto. Para sistemas con tiempo de retrazo, el desempeño en lazo cerrado puede ser ampliado significantemente mediante la elección de los coeficientes de R, S, y T.

De acuerdo a la problemática del caso en estudio, se desea establecer un control sobre el efecto que causan las perturbaciones (como pueden ser impactos) en la deformación de la viga (desplazamiento vertical) en el extremo libre. De este modo se busca llevar el comportamiento de la respuesta en estado transitorio, de regreso a su estado normal o estable a una amplitud y un tiempo especificados, de tal forma que ambas variables sean reducidas respecto de la respuesta natural del sistema.

En tal caso, el controlador deseado solo debe cumplir con el efecto regulatorio de la respuesta ante perturbaciones por lo que el sistema de control a implementar tiene la estructura de un lazo cerrado en la forma del diagrama de bloques la Figura 6.1. Donde solo es requerido el diseño de los parámetros de la función de transferencia R/S del controlador PID digital.

De la condición básica de contar con un modelo del proceso identificado en la forma de la ecuación 6.4.6, es posible entonces diseñar un controlador PID digital a partir del cálculo de los parámetros que lo caracterizan. Es así que especificando la dinámica de regulación deseada mediante el comportamiento de un modelo de segundo orden discreto en la misma forma de la ecuación 6.4.6; se hace uso de las ecuaciones 6.4.12, 6.4.13, 6.4.13, 6.4.14, 6.4.15 y 6.4.16 para obtener la sintonización de los parámetros de los polinomios R(z-1) y S(z-1) que completan el sistema de control de la Figura 6.2.


75

7.4 Control con RST.

Los controladores digitales RST se ajustan perfectamente al control de plantas con tiempos de retraso. Independientemente del diseño, la complejidad de los de los polinomios R(z-1), S(z-1), T(z-1) depende directamente de la complejidad de los polinomios de la función de transferencia del modelo de la planta. El modelo de la planta en tiempo discreto se obtiene directamente del proceso de identificación y en el caso de que las plantas caracterizadas por un orden superior (>2), el controlador PID digital puede ser no suficiente.

Bajo las ventajas que el control por ecuaciones polinomiales ó RST ofrece, la de no existir restricciones en cuanto al orden que posea la función de transferencia en tiempo discreto de la planta, merece especial interés. En este sentido, no se tiene limitante en cuanto a la variedad de posibilidades para la propuesta de una estructura a utilizar durante el proceso de identificación, haciendo posible con esto que la aproximación del modelo pueda explorarse de tal manera que su exactitud o aproximación a la planta real sea mayor.

Como se explica en la definición del RST, se debe cumplir una restricción importante; no deben existir factores comunes entre los polinomios B(z-1) y A(z-1) del modelo en tiempo discreto de la planta. Cumpliendo esta condición, se implementa la estrategia de diseño por colocación de polos, la cual hace posible alcanzar el desempeño deseado en regulación para este tipo de modelos en los que se puede contar con ceros estables o inestables.

Al igual que en el caso del PID digital no es un objetivo de este estudio el completar la estructura RST que se muestra en la Figura 7.5, ya que la estrategia de control se centra en la regulación de la respuesta del sistema ante las perturbaciones que se presenten durante el trabajo normal de la estructura mecánica. Así pues la estructura definitiva del sistema de control se indica en la figura siguiente:

y(t)r(t) u(t) B(z)

A(z)

PLANTA

R(z)

1

1

1+z -1

1

S(z)

Fig. 7.5 Diagrama del lazo de control para un control RS.


76

Entonces el diseño del sistema de control se realiza con la obtención de los parámetros de los polinomios R(z-1) y S(z-1) en la técnica de control por ecuaciones polinomiales. El cálculo de los parámetros se lleva a cabo mediante la implementación del procedimiento de cálculos expresado en la descripción del controlador RST. Este método se vale de la ecuación diofantina para resolver el problema de la obtención de los parámetros de este controlador; cuyo principio fundamental es el de la solución de un sistema de ecuaciones a través del método matricial de la ecuación 6.5.14.

Existe aquí la necesidad de minimizar el error que pudiese resultar de la presencia de perturbaciones. Por tal razón se busca reducir este error a cero mediante la inclusión de un término integrador como el que se muestra en la Figura 7.5, lo cual implica la modificación del método original por la inclusión de este término considerado desde los cálculos de diseño. Este proceso se expresa en la ecuación 6.5.19, de donde resultan los valores de R(z-1) y S(z-1) definitivos.

7.5 Implementación del sistema de control.

La implementación de los sistemas de control cumple con dos partes de importancia las cuales se llevan a cabo después del diseño, ya que en base a la ley de control obtenida a partir del modelo identificado y a la dinámica de regulación especificada mediante a la técnica de colocación de polos se consigue un desempeño deseado.

El proceso se divide en dos partes debido al tipo de implementación, es decir al ambiente donde esta sea llevada a cabo (Matlab/Simulink o ADAMS). Ya que el diseño del sistema de control se lleva a cabo partiendo del modelo identificado, en la primera parte del la implementación se comprueba su resultado aplicando esta ley de control en el mismo modelo identificado, es decir en simulaciones basadas únicamente en Simulink. Sin embargo aunque el diseño se realiza sobre un modelo identificado, la validez de este debe ser evaluada en el modelo virtual directamente retroalimentando directamente la planta de ADAMS en Simulink para visualizar en el modelo mecánico el desempeño virtual que simula las condiciones de una estructura real.


77

0 0.5 1 1.5 2 2.5-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8Lazo Abierto vs Lazo Cerrado

Tiempo (seg)

Def

orm

ació

n (m

m)

Lazo abierto

Lazo cerrado PID

Lazo cerrado RST

Fig. 7.6 Respuesta en lazo abierto (azul), respuesta esperada en lazo cerrado con control PID (verde) y

respuesta esperada en lazo cerrado con control RST (roja).

Como se expresó anteriormente, se desea reducir las vibraciones mecánicas de una estructura (viga en voladizo) en sus características de amplitud y tiempo de estabilización, después de ser sujeta a cargas de perturbación. Esto se logra mediante la aplicación de la teoría de colocación de polos para el diseño de ambos controladores utilizados. (PID y RST). Finalmente el resultado esperado en lazo cerrado debe presentar una atenuación significativa en la amplitud de las variaciones del desplazamiento a su vez que el tiempo de estabilización se reduce respecto del desplazamiento en lazo abierto. Un resultado como el que se muestra en la Figura 5.14 al término de la implementación debe ser alcanzado tanto en simulación expresa en Matlab/Simulink como en co-simulación con la planta real o modelo virtual de ADAMS.


78

7.6 Simulación.

7.6.1 Prototipo virtual.

Se utiliza el prototipo virtual de una viga de sección rectangular, uno de sus extremos es empotrado y el extremo opuesto permanece libre de apoyo y fuerzas de acción. Para fines de este estudio se utiliza el mismo modelo mecánico en cada una de las pruebas a realizar, permitiendo con ello que las comparaciones entre resultados puedan ser cotejados. Las características de la viga de acuerdo a la tabla 5.1 son:

Material: Aluminio

Sección de la viga: Rectangular

Longitud de la viga: 700 mm.

Ancho de la viga: 50 mm.

Espesor de la viga: 15 mm.

Masa: 1.4385 kg.

Centro de masa x: 349.9999998149 mm.

Centro de masa y: 7.5000001088 mm.

Centro de masa z: -1.2745515906E-007 mm.

Tabla 7.1 Dimensiones y características del prototipo (viga en cantilever) de simulación.

Fig. 7.7 Geometría de la viga empotrada en un extremo (viga en cantilever).


79

7.6.2 Simulación 1.

El prototipo de la figura 7.7 es discretizado con un tamaño de elementos de 50mm con la forma propuesta por el software de simulación para producir 300 nodos y 111 elementos. Se aplica una fuerza de acción y una fuerza perturbadora por lo que el prototipo de simulación se convierte en el modelo de la Fig. 7.8, en el que es posible apreciar las dos únicas fuerzas de acción en el sistema. La fuerza actuadora de manipulación esta ubicada en al parte central del flanco o cara superior a una distancia de 100mm del extremo empotrado. La fuerza de perturbación es del tipo pulso con inicio en tiempo cero y una duración de 0.01seg, siendo su amplitud de -160N.

Manipulación (F1)

Perturbación (F2) Empotramiento

Extremo Libre Fig. 7.8 Prototipo mecánico de ADAMS bajo la acción de entradas de manipulación y perturbación.

Después de aplicar la prueba de identificación para aproximar a un modelo de segundo orden en tiempo discreto, se obtuvo el siguiente modelo identificado:

( )( ) 2-1-

-2-1

1

1

0.9802z1.4157z-1

0.0028z 0.0308z

+

+=

−

−

zA

zB

Los resultados de excitación en la manipulación pueden ser observados en la gráfica de la Fig. 7.9, la muestra la respuesta del modelo identificado en comparación con la respuesta del modelo de ADAMS. Para validar el modelo identificado se cuantifica la sumatoria de errores al cuadrado en la respuesta; el resultado es:

Sumatoria de errores al cuadrado: 17.9308


80

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Tiempo (seg)

Def

orm

ació

n (m

m)

Respuesta de la Planta de ADAMS

Respuesta de Modelo Identificado

Fig. 7.9 Respuesta modelo identificado de segundo orden (roja), respuesta de modelo de ADAMS (azul).

La siguiente gráfica muestra el desempeño de respuesta en frecuencia para el modelo identificado:

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Mag

nitu

de (

dB)

101

102

103

-225

-180

-135

-90

-45

0

Pha

se (

deg)

Respuesta en Frecuencia (Magnitud)

Respuesta en Frecuencia (Ángulo)

Fig. 7.10 Respuesta en frecuencia del modelo identificado de segundo orden; parte superior: magnitud,

parte inferior: ángulo.


81

Para diseñar el sistema de control se debe hacer la colocación de polos deseada; es decir definir el porcentaje de sobretiro y tiempo de estabilización para el comportamiento en lazo cerrado. En este caso se define un 50% del sobretiro de la planta en respuesta libre y tiempo de estabilización en t=1seg, la función de transferencia discreta es:

( )21

21

9231.0904.11

009674.0009936.0−−

−−

+−

+=

zz

zzzG

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

0.5

1

1.5Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Fig. 7.11 Gráfica de respuesta en lazo cerrado por colocación de polos.

El diseño del controlador PID produce los siguientes resultados:

r0 = 15.2399

r1 = -42.7445

r2 = 28.8987

s1 = 0.0848

En el caso del diseño del control RST se obtienen los siguientes parámetros de los polinomios R y S:

S = 1 + 0.0848z-1

R = 16.3990 -42.7445z-1 + 29.2201z-2

Luego de realizar los ajustes necesarios, sobre las pruebas de simulación, los diagramas de bloques del control retroalimentado definitivos para esta simulación quedan representados en las Figuras 7.11 y 7.12 de la forma siguiente:


82

vibrabeam

PID

datos/sal

adams_sub

1

1+s11z -1

S

r00.+r11.z +r22z -1 -2

1

R

Entrada

Fig. 7.11 Diagrama del sistema de control PID por retroalimentación.

vibrabeam

RST

datos/salida

adams_sub

1

S21(z)

S

R21(z)

1

R

.5

1-z -1

IntegradorEntrada

Fig. 7.12 Diagrama del sistema de control RST (solo regulación) por retroalimentación.

De la simulación de ambos sistemas se obtienen sus respectivas respuestas; estas pueden ser apreciadas directamente en el software de simulación, sin embargo aquí se muestran en la grafica de la Fig. 7.13 donde se trasponen sobre la respuesta en lazo abierto para visualizar claramente el efecto de la inclusión del sistema de control. También se incluye la respuesta en frecuencia esperada del sistema en lazo cerrado (Fig. 7.14) la cual se realiza utilizando la función de transferencia identificada para la simplificación del sistema de control completo en un a sola función de transferencia. Estos resultados son también cuantificados según los


83

resultados de la Tabla 7.2, los cuales se obtienen en función de la variable de amplitud del desplazamiento en diferentes instantes de tiempo precedentes a la estabilización del sistema.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Tiempo (seg)

Def

orm

ació

n (m

m)

Respuesta Planta Lazo Abierto

Respuesta Planta Lazo Cerrado (PID)

Respuesta Planta Lazo Cerrado (RST)




84

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

102

103

-360

-180

0

180

360

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Lazo abierto

Lazo cerrado RST

Lazo cerrado PID

Lazo abierto

Lazo cerrado PIDLazo cerrado RST

Fig. 7.14 Respuesta en frecuencia de: lazo abierto (azul), lazo cerrado del PID (verde), y lazo cerrado del

RST (roja). Grafica superior de magnitud y gráfica inferior de fase.

Tiempo

(seg)

Amplitud Def. Libre

(mm)

Amplitud Def.

PID (mm)

Amplitud Def.

RST (mm)

1.00 2.970 0.145 0.095

0.75 4.330 0.740 0.335

0.50 6.995 2.225 0.800

0.25 10.935 6.115 3.965

Tabla 7.2 Resultados de simulación ante una entrada impulso (fuerza de impacto).

7.6.3 Simulación 2.

Después de la simulación anterior se realizaron modificaciones al prototipo de la figura 7.8 solo en el aspecto de modificación de las entradas del sistema; se agregaron fuerzas en nuevos puntos de acción. De esta forma se utiliza el mismo prototipo con el mismo tamaño de elementos y nodos de la prueba anterior. Se aplican además fuerzas de perturbación en diferentes puntos a lo largo de la viga. La variable de medición o salida continúa siendo la deflexión en el sentido vertical del extremo libre de la viga. Así pues el prototipo de simulación se convierte en el modelo de la Fig. 7.9, en el que es posible apreciar las fuerzas de acción en el sistema.


85

La fuerza actuadora de manipulación esta ubicada en al parte central del flanco o cara superior a una distancia de 200mm del extremo empotrado. Las fuerzas de perturbación están distribuidas uniformemente a cada 100mm a partir del extremo fijo de la viga, exceptuando la posición en la que se encuentra la fuerza actuadora de manipulación. Para esta simulación, se consideran fuerzas de perturbación en diferentes casos; en el primer caso se analiza el caso de solo una entrada, para luego proseguir con la adición de más efectos de perturbación utilizando las demás entradas disponibles.

Los tipos de fuerza aplicada se especifican según el curso de la siguiente documentación, conforme se presenten los diagramas de las gráficas de respuesta en lazo cerrado y en lazo abierto, a la vez que se presentan las tablas de datos que cuantifican los resultados. Así pues, será posible verificar en mayor medida la capacidad de regulación en el sistema de control diseñado ante cambios drásticos en el tipo o naturaleza de la perturbación. El objetivo de esta prueba es analizar la robustez del sistema de control para continuar dando estabilidad estructural al prototipo virtual.

Se utiliza la misma colocación de polos utilizada en el punto anterior, aún y cuando es posible siguiendo la metodología, preestablecer nuevos valores de la colocación de polos para modificar el sobretiro y tiempo de estabilidad deseado en la respuesta controlada.

Perturbación1

Perturbación2

Perturbación3

Perturbación4

Perturbación5

Perturbación6

Referencia/manipulación

Empotramiento

Extremo libre

Fig. 7.15 Prototipo mecánico de ADAMS bajo la acción de entradas de manipulación y perturbación.


86

Después de aplicar la prueba de identificación para aproximar a un modelo de segundo orden en tiempo discreto, se obtuvo el siguiente modelo identificado:

( )( ) 2-1-

-2-1

1

1

0.9801zz 1.3147-1

0.0004z 0.0033z

+

+=

−

−

zA

zB

Los resultados de excitación en la manipulación pueden ser observados en la gráfica de la Fig. 7.16, la muestra la respuesta del modelo identificado en comparación con la respuesta del modelo de ADAMS. Para validar el modelo identificado se cuantifica la sumatoria de errores al cuadrado en la respuesta; el resultado es:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

Tiempo (seg)

Def

orm

ació

n (m

m)

Respuesta planta vs modelo identificado de 2do. orden

Respuesta Modelo Identificado

Respuesta Planta de ADAMS

Fig. 7.16 Respuesta modelo identificado de segundo orden (roja), respuesta de modelo de ADAMS (azul).

En la gráfica de la Fig. 7.17 se muestra el desempeño de respuesta en frecuencia para el modelo identificado de segundo orden, en el se aprecian las frecuencias criticas del sistema para los valores de ángulo y magnitud. Se aprecia su frecuencia crítica en 169rad/seg, al tiempo que se presentan valores de -12.4dB en magnitud y -90° de ángulo de fase.

La colocación de polos deseada; es decir definir el porcentaje de sobretiro y tiempo de estabilización para el comportamiento en lazo cerrado, se realizó en la simulación anterior. De


87

esta forma se continúa considerando el 50% del sobretiro de la planta en respuesta libre y tiempo de estabilización en t=1seg, la función de transferencia discreta es idéntica a la obtenida en la simulación anterior:

( )21

21

9231.0904.11

009674.0009936.0−−

−−

+−

+=

zz

zzzG

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

Mag

nitu

de (

dB)

101

102

103

-450

-360

-270

-180

-90

0

90

Pha

se (

deg)

169 rad/seg-12.4dB

169 rad/seg-90°

Fig. 7.17 Respuesta en frecuencia del modelo identificado de segundo orden; parte superior: magnitud,

parte inferior: ángulo.

Entonces se obtiene la dinámica de regulación que se muestra en la Figura 11 de la simulación anterior, misma que define el cálculo de los parámetros requeridos como a continuación se indica.

El diseño del controlador PID produce los siguientes resultados:

r0 = 87.3230

r1 = -342.9962

r2 = 263.0798

s1 = 0.1027

En el caso del diseño del control RST se obtienen los siguientes parámetros de los polinomios R y S: S = 1 + 0.1027z-1

R = 83.9312 -342.9962 z-1 + 265.8224z-2


88

Después de los ajustes necesarios, sobre las pruebas de simulación, los diagramas de bloques del control retroalimentado definitivos para esta simulación se han representado en las Figuras 7.18 y 7.19 de la forma siguiente:

vibrabeam

plantapid

datos/sal ida

adams_sub

.1

1+s11z -1

S

r00.+r11.z +r22z -1 -2

1

R

Perturbación6

Perturbación5

Perturbación4

Perturbación3

Perturbación2

Perturbación1

Entrada

Fig. 7.18 Diagrama del sistema de control PID por retroalimentación ante múltiples perturbaciones.

vibrabeam

plantarst

datos/salida

adams_sub

1

S21(z)

S

1

R21(z)

R

Perturbación6

Perturbación5

Perturbación4

Perturbación3

Perturbación2

Perturbación1

.5

1-z -1

IntegradorEntrada

Fig. 7.19 Diagrama del sistema de control RST (solo regulación) por retroalimentación ante múltiples

perturbaciones.


89

Los resultados de la simulación de los sistemas de las Figuras 7.18 y 7.19 se muestran en la grafica de la Fig. 7.20 donde se trasponen sobre la respuesta en lazo abierto para visualizar claramente el efecto de la inclusión del sistema de control. En la Figura 7.21 se incluye la respuesta en frecuencia esperada del sistema en lazo cerrado la cual se realiza utilizando la función de transferencia identificada para la simplificación del sistema de control completo en un a sola función de transferencia. En la Tabla 7.3 se cuantifican resultados, los cuales se obtienen en función de la variable de amplitud del desplazamiento en diferentes instantes de tiempo precedentes a la estabilización del sistema.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-15

-10

-5

0

5

10

15

Tiempo (seg)

Def

orm

ació

n (m

m)

Respuesta en lazo cerrado por un modelo de 2do. orden



Respuesta Planta Lazo Cerrado (PID)




90

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Mag

nitu

de (

dB)

10-1

100

101

102

103

-360

-180

0

180

360

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Lazo abierto

Lazo cerrado PID

Lazo cerrado RST

Lazo abierto

Lazo cerrado PIDLazo cerrado RST

Fig. 7.21 Respuesta en frecuencia de: lazo abierto (azul), lazo cerrado del PID (verde), y lazo cerrado del

RST (roja). Grafica superior de magnitud y gráfica inferior de fase.

Tiempo

(seg.)

Amplitud Def. Libre

(mm)

Amplitud Def.

PID (mm)

Amplitud Def.

RST (mm)

1.00 1.600 0.010 0.020

0.75 2.555 0.120 0.150

0.50 4.600 0.710 0.750

0.25 7.650 3.270 4.595

Tabla 7.3 Resultados de simulación 2.

A continuación se presentan los resultados en gráficas y tablas de respuesta, de algunas de las modificaciones realizadas en el último prototipo de pruebas; los cambios son realizados en los valores y tipo de perturbación así como en la cantidad de perturbaciones a las que se somete la estructura. El análisis de los resultados permitirá la valoración de la eficiencia de tales técnicas de control para su aplicación en este tipo de casos, es decir en el campo de las estructuras inteligentes.

a. Variación 1;

De acuerdo al diagrama de bloques de las Figuras 7.18 y 7.19, se activan las perturbaciones 1, 3, 5; siendo todas del mismo tipo (impulso) y con el mismo valor de amplitud. Las gráficas de


91

respuesta y cuantificación de resultados se presentan la Figura 7.22 y Tabla 7.4 respectivamente.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-15

-10

-5

0

5

10

15

Tiempo (seg)

Def

orm

ació

n (m

m)



Respuesta Planta Laazo Cerrado (PID)



Tiempo

(seg.)

Amplitud Def. Libre

(mm)

Amplitud Def.

PID (mm)

Amplitud Def.

RST (mm)

1.00 1.530 0.008 0.030

0.75 2.613 0.115 0.115

0.50 4.840 0.715 0.797

0.25 8.730 3.897 3.323

Tabla 7.4 Resultados de simulación 2 (variación 1).


92


93

8. Conclusiones y trabajos futuros.

La presente investigación ha generado una gran cantidad de información basada en los resultados de las simulaciones realizadas. A continuación se discuten de manera explicita algunas de la conclusiones que pueden obtenerse de tales resultados, así como un presentación de los trabajos a futuro en esta línea de investigación.

8.1 Conclusiones.

El desarrollo del presente trabajo permite un mejor entendimiento del concepto conocido como estructura inteligente, el cual ha sido utilizado para el análisis y control de vibraciones del prototipo virtual de una viga en cantilever. Se ha logrado realizar una aplicación específica mediante uno de sus potenciales campos de acción como lo es el control de vibraciones en estructuras.

El desarrollo de un prototipo virtual ha permitido la modelación de su similar físico, para fines del estudio e investigación de las posibles soluciones que se han desarrollado. Las soluciones que en el documento se mencionan se centran básicamente en la aplicación de dos técnicas de control que tienen amplio uso en el campo del control digital.

El control retroalimentado es la técnica de control que se ha expuesto mediante la aplicación de dos teorías de control, el control PID (Proporcional + Integral + Derivativo) digital y el control de Tres Ramas ó RST. Ambas teorías ofrecen los beneficios de control por regulación y control por referencia, sin embargo para el caso presentado solo se considera el control por regulación ya que es este el de mayor preponderancia en la reducción de vibraciones en el caso de las estructuras físicas.

La colocación de polos es la base del diseño de ambos tipos de controladores, bajo esta idea se conjugaron las variables de: porcentaje de sobretiro en la respuesta para atenuar la amplitud, y de tiempo de estabilización para reducir el tiempo de estabilización de las vibraciones medidas en el desplazamiento del extremo libre, ya que en el caso de estructuras normales estas características obedecen única y exclusivamente al amortiguamiento natural de la estructura, el cual se ha logrado mejorar. Clara muestra son los diagramas de Bode de respuesta a la frecuencia, en donde se aprecia la modificación de la frecuencia dominante desde el lazo abierto hasta el lazo cerrado en amplitud y amortiguamiento.

Así, las estructuras comúnmente existentes pueden ser modificadas en sus capacidades de acción y reacción para adquirir el carácter de inteligencia que se ha explicado. Como se ha visto estas modificaciones se refieren a dar a la estructura la capacidad de adquirir señales a partir de la respuesta estructural, de manera que esta información pueda ser procesada y


94

retroalimentada a la señal de manipulación que determinará una acción de entrada que aplica un actuador inmerso en la estructura para atenuar la amplitud y tiempo de estabilización de la respuesta medida (perturbada indeseablemente). Con esto se logra omitir la inclusión de un sistema mecánico externo de amortiguamiento.

Los resultados manifestados en las pruebas realizadas han demostrado cuantitativamente la aplicabilidad conjunta de los conceptos de inteligencia en estructuras y control de vibraciones. Se observa en tales resultados las bondades que este campo de estudio ofrece, en la búsqueda de conseguir mejores resultados en cuanto a la estabilidad de las respuestas estructurales.

En relación a la comprobación de resultados se puede establecer como aceptada la hipótesis de la investigación, para alcanzar cada uno de los objetivos planteados en la definición y alcance de la presente investigación. Tales resultados se ven reflejados en la medida en que las especificaciones dadas por el control son alcanzadas en la respuesta del sistema, misma que representa el principal indicador de la problemática.

El diseño de la metodología que se utilizó, hace posible el cumplimiento de los objetivos específicos del problema abarcado, sin embargo se visualiza su aplicación a casos diversos de aplicaciones virtuales y físicas para la obtención de una estructura que cumpla cabalmente con los requisitos del concepto general de una estructura inteligente. Así pues será posible aplicar los pasos de modelación y diseño del sistema de control, seguidos en esta investigación para más de un caso de estudio, permitiendo con esto la continuidad de una línea de investigación con gran proyección a futuro para el estudio del control de estructuras.

8.2 Trabajos futuros.

La línea de investigación correspondiente al control de estructuras visualiza la utilización del concepto de una estructura inteligente para su continuidad y desarrollo. Por esta razón se prevé el desarrollo de nuevas investigaciones que en base al presente estudio permitan el análisis de otras variaciones de las problemáticas del control estructural.

Específicamente, a corto plazo se plantea el desarrollo de un sistema de sensores y actuadores que tengan la capacidad de acción y velocidad de respuesta que requieren las leyes de control obtenidas del reciente diseño. Los sensores y actuadores piezoeléctricos son el caso de mayor potencial para aplicación en cuanto a la instrumentación del sistema estructura-actuadores, ya que de estudios previos es posible determinar el cumplimiento de sus capacidades para una selección adecuada.

En un mediano plazo, se pretende completar nuevos modelos de prototipos virtuales de mayor complejidad para su estudio, sobretodo en el campo de los sistemas automotrices y


95

aeronáuticos. En el caso automotriz se busca adentrarse en el caso de un chasis inteligente, cuya principal distinción sea la omisión del sistema de suspensión mecánica típico el cual deberá ser sustituido por un sistema de sensores y actuadores que ejecuten las tareas que originalmente desarrolla un sistema de suspensión de resortes.

En la misma línea se estudiará el caso de la industria aeronáutica, sobretodo en el caso específico del control de vibraciones en alas de aviones, donde el concepto simple del prototipo virtual de una viga en cantilever tiene una analogía mayor debido a las características físicas de ambas estructuras.

A largo plazo se busca que basados en la información obtenida de las simulaciones de los prototipos virtuales previos, se pueda concluir con la implementación física de los estudios realizados, específicamente en el caso de las alas de un avión RV10, a partir de los estudios de tipos de cargas aplicadas y condiciones de trabajo en las que se desarrolla su funcionamiento. Esto implica la instrumentación física de los sistemas de control los cuales deberán ser seleccionados de acuerdo con las especificaciones que de los análisis previos resulten.


96


97

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99

Anexos.

Código de cálculos para el diseño de los controladores.

clear

beam_test; %carga el archivo de adams

% who; %muestra las variables del workspace

% adams_sys; %crea el diagrama de bloque en simulink

sim('Identifica2');

%calculos paraplata real

Estp=.023; %estabilidad de la planta

Sobp=.0539; %sobretiro de la planta

Tesp=2; %tiempo de estabilización de la planta

Gainp=Estp/1; % ganancia de la planta

Sobd1=(Sobp-Estp)/2; %sobretiro deseado de la planta

Tesd1=Tesp/2; %tiempo de estabilización deseado

MP1=Sobd1/Estp; %Porcentaje de sobretiro deseado

Psi1=sqrt(((log(MP1))^2)/(pi^2+(log(MP1))^2)); %constante de amortiguamiento del modelo de segundo orden

w1=4/(Tesd1*Psi1); %frecuencia del sistema de segundo orden

G1=tf([w1^2],[1 2*Psi1*w1 w1^2]); %modelo de segundo orden en función de s

G1d=c2d(G1,.005); %modelo de segundo orden discretizado a .005seg

[numd1,dend1]=tfdata(G1d,'v'); %extracción de los polinomios del modelo de segundo orden discretizado

G1d=filt(numd1,dend1,.005); %función de transferencia discreta en función de z^-1 del modelo de segund orden

[numdes1,dendes1]=tfdata(G1d,'v'); %extracción de los polinomios del modelo de segundo orden z^-1

dendes11=conv(dendes1,dendes1); %elevación de rango del polinomio de segundo orden por uno de 4 multiplicando por si mismo

%Calculo del RST utilizando el modelo deseado sacado de la planta real

'El polinomio de segundo orden deseado es'

dendes1 %Es el polinomio característico P1(z^-1) que especifica la dinámica de regulación


100

'El polinomio B(z^-1) es'

num3=arx441{1,2}.b %Es el polinomio b(z^-1)

num2=arx221{1,2}.b; %Es el polinomio b(z^-1) para un segundo orden identificado

'El polinomio A(z^-1) es'

den3=arx441{1,2}.a %ES el polinomio a(z^-1)

den2=arx221{1,2}.a; %Es el polinomio a(z^-1) para un segunod orden identificado

den21=conv([1 -1],den2);

den31=conv([1 -1],den3); %Es el polinomio incluyendo el término integrador

%Se genera la matriz de silvester

'La matriz M1 de silvester es';

%Matriz para el modelo de cuarto orden sin integrador

M1=[den3(1) 0 0 0 num3(1) 0 0 0;

den3(2) den3(1) 0 0 num3(2) num3(1) 0 0;

den3(3) den3(2) den3(1) 0 num3(3) num3(2) num3(1) 0;

den3(4) den3(3) den3(2) den3(1) num3(4) num3(3) num3(2) num3(1);

den3(5) den3(4) den3(3) den3(2) num3(5) num3(4) num3(3) num3(2);

0 den3(5) den3(4) den3(3) 0 num3(5) num3(4) num3(3);

0 0 den3(5) den3(4) 0 0 num3(5) num3(4);

0 0 0 den3(5) 0 0 0 num3(5)];

%Matriz para el modelo de cuarto orden con integrador

M11=[den31(1) 0 0 0 0 num3(1) 0 0 0 0;

den31(2) den31(1) 0 0 0 num3(2) num3(1) 0 0 0;

den31(3) den31(2) den31(1) 0 0 num3(3) num3(2) num3(1) 0 0;

den31(4) den31(3) den31(2) den31(1) 0 num3(4) num3(3) num3(2) num3(1) 0;

den31(5) den31(4) den31(3) den31(2) den31(1) num3(5) num3(4) num3(3) num3(2) num3(1);

den31(6) den31(5) den31(4) den31(3) den31(2) 0 num3(5) num3(4) num3(3) num3(2);

0 den31(6) den31(5) den31(4) den31(3) 0 0 num3(5) num3(4) num3(3);

0 0 den31(6) den31(5) den31(4) 0 0 0 num3(5) num3(4);

0 0 0 den31(6) den31(5) 0 0 0 0 num3(5);

0 0 0 0 den31(6) 0 0 0 0 0];

%Matriz para el modelo de segundo orden con integrador

M22=[den21(1) 0 0 num2(1) 0 0;


101

den21(2) den21(1) 0 num2(2) num2(1) 0;

den21(3) den21(2) den21(1) num2(3) num2(2) num2(1);

den21(4) den21(3) den21(2) 0 num2(3) num2(2);

0 den21(4) den21(3) 0 0 num2(3);

0 0 den21(4) 0 0 0];

%Matriz para el modelo de segundo orden sin integrador

% M22=[den2(1) 0 num2(1) 0;

% den2(2) den2(1) num2(2) num2(1);

% den2(3) den2(2) num2(3) num2(2);

% 0 den2(3) 0 num2(3)]

%Se muestra el vector P completo

'El polinomio P1(z^-1) para regulación es'

P1=[dendes1(1) dendes1(2) dendes1(3) 0 0 0 0 0];

P21=[dendes1(1) dendes1(2) dendes1(3) 0 0 0]

P11=[dendes1(1) dendes1(2) dendes1(3) 0 0 0 0 0 0 0];

%Se calcula el vector x que contiene a los polinomios S y R

'El vector X1 que contiene a los polinomios S1 y R1 es'

X1=(M1^-1)*P1';

X11=(M11^-1)*P11';

X21=(M22^-1)*P21'

'El polinomio S1(z^-1) de regulación es'

S1=[X1(1) X1(2) X1(3) X1(4)];

S11=[X11(1) X11(2) X11(3) X11(4) X11(5)];

S21=[X21(1) X21(2) X21(3)]

'El polinomio R1(z^-1) de regulación es'

R1=[X1(5) X1(6) X1(7) X1(8)];

R11=[X11(6) X11(7) X11(8) X11(9) X11(10)];

R21=[X21(4) X21(5) X21(6)]

%Cálculo de PI digital

% r1=(P1(3)+den2(2))/num2(2);

% r0=(P1(2)-den2(2)+1)/num2(2);

% K=r1

% Ti=r1/(r0-r1)


102

%Cálculo de PID digital

D=(den2(2)-1)*num2(2)*num2(3)^2-num2(3)^3-(den2(3)-den2(2))*num2(2)^2*num2(3)-den2(3)*num2(2)^3;

r00=(1/D)*((P1(2)*(den2(2)-1)-P1(3)+den2(2)-1-den2(2)^2+den2(3))*num2(3)^2+den2(3)*(den2(2)-1-P1(2))*num2(2)^2+(P1(2)*(den2(3)-den2(2))-den2(2)-den2(3)*den2(2)+den2(2)^2)*num2(3)^2);

r11=(1/D)*((P1(3)*(den2(2)-den2(3))+P1(2)*den2(3)+(den2(2)-den2(3))^2)*num2(2)*num2(3)+(-P1(3)*den2(3)+den2(3)^2-den2(2)*den2(3))*num2(2)^2+(P1(2)*(den2(3)-den2(2))-den2(2)-den2(3)*den2(2)+den2(2)^2)*num2(3)^2);

r22=(1/D)*((den2(3)*(den2(2)+P1(3)-den2(3)))*num2(2)*num2(3)+(den2(2)*(den2(2)-P1(2)-1))*num2(3)^2-den2(3)^2*num2(2)^2);

s11=(1/D)*((P1(3)+den2(2)-den2(3))*num2(2)*num2(3)^2-(1+P1(2)-den2(2))*num2(3)^3-den2(3)*num2(2)^2*num2(3));

sim('compara2'); %simula el diagrama de bloques para comparar resultados de modelo identificado contra planta de adams.

figure(3)%Gráfica de comparación del modelo de 2do orden identificado contra el modelo real.

plot(tidentifica,planta)

hold

plot(tidentifica,modelo1,'r')

xlabel('Tiempo (seg)')

ylabel('Deformación (mm)')

title('Respuesta planta vs modelo identificado de 2do. orden')

hold off

figure(4)%Gráfica del comparación del modelo de 4to orden identificado contra el modelo real.

plot(tidentifica,planta)

hold

plot(tidentifica,modelo2,'r')



title('Respuesta planta vs modelo identificado de 4to. orden')

hold off

sim('pertlibre2')%Simula respuesta a perturbación sin control.

sim('rst2')%Simula el control RST del segundo orden.


103

% sim('rst2b')%Simula el control RST del cuarto orden.

sim('pid2')%Simula el control PID.

figure(5)%Diagrama de bode de los modelos identificados de 2do y 4to orden.

bode(tf(num2,den2,.005))

hold

bode(tf(num3,den3,.005),'r')

hold off

figure(6)%Gráfica de comparación del control en lazo abierto y lazo cerrado con control de 2 orden.

plot(trst,pertlibre,'-.')

hold

plot(trst,plantarst,'r')

plot(trst,plantapid,'g')



title('Respuesta en lazo cerrado por un modelo de 2do. orden')

hold off

% figure(7)% Gráfica de comparación del control en lazo abierto y lazo cerrado con control de 4 orden.

% plot(trst,pertlibre,'-.')

% hold

% plot(trst,plantarstb,'r')

% xlabel('Tiempo (seg)')

% ylabel('Deformación (mm)')

% title('Respuesta en lazo cerrado por un modelo de 4to. orden')

% hold off

%%%%%%Para graficar el bode de lazo cerrado del rst del 2do orden

boderst1b=conv(R21,num2);

boderst1=conv(S21,[1 -1]);

boderst1a=conv(boderst1,den2);

%%%%%%Para graficar el bode de lazo cerrado del rst del 4to orden

boderst2b=conv(R11,num3);

boderst2=conv(S11,[1 -1]);


104

boderst2a=conv(boderst2,den3);

%%%%%%Para graficar el bode de lazo cerrado del pid

bodepidb=conv([r00 r11 r22],num2);

bodepida=conv([1 s11],den2);

figure(8)

bode(tf(boderst1b,boderst1a,.005))

hold

bode(tf(boderst2b,boderst2a,.005),'r')

bode(tf(bodepidb,bodepida,.005),'m')

hold off

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