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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CIUDAD VALLES DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS APUNTES ING. ANTONIO MARBAN PAZ ENERO DEL 2011
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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CIUDAD VALLES
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS
APUNTES
ING. ANTONIO MARBAN PAZ
ENERO DEL 2011
UNIDAD 1.- LA INTEGRAL DEFINIDA.
1.- CALCULO DE AREAS DE FIGURAS AMORFAS.
ACTIVIDAD: TRAZAR EN SU CUADERNO UN SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS Y DIMENSIONARLO, DEFINIR UN INTERVALO CERRADO EN X Y DIBUJAR EN LOS CUADRANTES 1 Y 2 (ARRIBA DEL EJE DE LAS X) UNA CURVA QUE JUNTO CON EL INTERVALO Y EL EJE XX GENEREN UNA FIGURA AMORFA (QUE NO TIENE UNA FORMULA GEOMETRICA PARA OBTENER SU AREA) Y APROXIMEN EL AREA COMO PUEDAN.
EL AREA PUEDE SER APROXIMADA FORMANDO DENTRO DE LA REGION, FIGURAS CONOCIDAS (CUADRADOS, RECTANGULOS, TRIANGULOS ETC.)TAMBIEN SE PODRIA SI SE HA UTILIZADO PAPEL CUADRICULADO, CONTAR EL NUMERO DE CUADROS ENTEROS Y LAS FRACCIONES PARA APROXIMAR UN TOTAL.
UN PROBLEMA DE AREA DE UN TERRENO EN LA ANTIGUEDAD FUE LO QUE ORIGINO EL CALCULO INTEGRAL.PARA TRABAJAR LA TIERRA SE NECESITABA SACAR UNA AUTORIZACION CON LOS GOBERNANTES, LOS CUALES REQUERIAN DE EFECTUAR UNA MEDICION DE LA SUPERFICIE PARA COBRAR EN ESPECIE DEL PRODUCTO A OBTENER, CUANDO LA FORMA DEL TERRENO SOLICITADO ERA DE UNA FIGURA CONOCIDA SU AREA SE OBTENIA APLICANDO LA FORMULA CORRESPONDIENTE.
Y
0X
-2 5
7
EL PROBLEMA SURGE CUANDO ALGUIEN SOLICITO UN TERRENO JUNTO AL RIO Y LA FORMA DE DICHO TERRENO NO TENIA UNA FORMULA PARA CALCULAR SU AREA, ENTONCES UNA DE LAS FORMAS CON LA QUE RESOLVIERON EL PROBLEMA FUE DIVIDIR EN UN CIERTO NUMERO DE RECTANGULOS DE UN MISMO ANCHO, PERPENDICULARES AL RIO Y LUEGO SE MEDIAN SUS ALTURAS PARA SACAR UN PROMEDIO Y DESPUES SUMAR LAS AREAS DE TODOS LOS RECTANGULOS PARA OBTENER EL TOTAL.
POR TAL MOTIVO SE TOMA COMO SIMBOLO DE LA INTEGRAL QUE ES UNA ESE DE SUMA ALARGADA Y DEFORMADA POR EL PRIMER INTENTO POR MEDIO DE SUMAS DE RESOLVER EL PROBLEMA.
NOTACION SUMATORIA: LA SUMA DE “N” TERMINOS SE EXPRESA ASI.
EJEMPLOS:
ENCONTRAR LA SUMA DE:
SE SUSTITUYE EN EL LUGAR DE i LOS NUMEROS DEL UNO AL SEIS Y SE SUMAN, DANDO COMO RESULTADO 21.
EJERCICIOS
PROPIEDADES DEL SUMATORIO
1.- DONDE K ES UNA CONSTANTE
2.-
FORMULAS PARA LA SUMA
1.-
2.-
3.-
4.-
EJEMPLOS:
DIRECTO POR FORMULA
DIRECTO
DESARROLLADO
DESARROLLANDO Y APLICANDO LAS FORMULAS
EJERCICIOS:
APLICACIONES
UTILIZANDO LA REGLA DEL PUNTO MEDIO CALCULAR UN VALOR APROXIMADO DEL AREA DEFINIDA POR LA CURVA , EL EJE “X” EN EL INTERVALO DIVIDIDO EN CUATRO RECTANGULOS.
SE GRAFICA LA FUNCION QUE EN ESTE CASO ES UNA HOJA POSITIVA DE UNA PARABOLA VERTICAL, ASI MISMO SE UBICA EL INTERVALO Y LOS CUATRO RECTANGULOS (EN ESTE EJEMPLO INTENCIONALMENTE SE HA
0X
Y2XY
1 2 3 4
1
_
X
DECIDIDO QUE EL NUMERO DE RECTANGULOS COINCIDA CON LO LARGO DE LA REGION EN “X”, PARA QUE LO ANCHO DE CADA RECTANGULO SEA ENTERO, ESTO EN LA PRACTICA NO SUCEDE SIEMPRE).
LO QUE MEDIRA DE ANCHO CADA RECTANGULO Y QUE SE OBTIENE
ES NECESARIO CALCULAR LAS COORDENADAS en “X” DE LOS PUNTOS MEDIOS DE CADA RECTANGULO, EN ESTE EJEMPLO SEÑALADOS POR LAS FLECHAS Y POR , QUE SE OBTIENEN AL SUMAR LA X DE INICIO Y FIN DE CADA RECTANGULO Y DIVIDIENDOLA ENTRE DOS.
EL AREA GENERAL DE UN RECTANGULO SERA Y EN ESTE CASO APLICANDO LAS SUMATORIAS TENEMOS
QUE:
PODEMOS SACAR DE LA SUMATORIA A =1
CALCULAR EL AREA ENTRE , EL EJE X POSITIVO EN EL INTERVALO , DIVIDIENDO EN 5 RECTANGULOS.
LA MEDIDA DE LA REGION EN X ES DE TRES UNIDADES, ENTONCES COMO SE VA A DIVIDIR EN CINCO RECTANGULOS LO ANCHO DE CADA
RECTANGULO ES:
AHORA VAMOS A CALCULAR LAS COORDENADAS EN X DE LOS PUNTOS MEDIOS SUMANDO EL INICIO Y EL FIN DE LAS COORDENADAS EN X DE CADA RECTANGULO Y DIVIDIENDO ENTRE DOS.
ENTONCES EL AREA DE UN RECTANGULO ES LA BASE=3/5 POR LA ALTURA QUE ES Y=2X Y COMO EL AREA TOTAL ES LA SUMA DE LAS AREAS DE TODOS LOS RECTANGULOS, ENTONCES TENEMOS QUE:
0
Y=2X
3/5 6/5 9/5 12/5 3
1X 5X
EJERCICIOS
CALCULAR EL AREA ENTRE LA FUNCION DADA, EL EJE X, EN EL INTERVALO DADO Y PARA EL NUMERO DE RECTANGULOS SEÑALADO.
LA SUMATORIA APLICADA EN LOS EJEMPLOS ANTERIORES PARA DEFINIR EL AREA DE LA REGION, HACIENDO EL NUMERO DE RECTANGULOS INFINITO SE LE CONOCE COMO LA SUMA DE RIEMANN (JORGE FEDERICO BERNARDO RIEMANN- 1826-1866).
LO QUE DA LUGAR A LA INTEGRAL DEFINIDA INTERPRETADA COMO EL AREA BAJO UNA CURVA.
a b
AREA dxxfAb
a
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA:
SEA UNA FUNCION CONTINUA Y SEAN VALORES DE X EN EL DOMINIO DE LA FUNCION Y ADEMAS SIEMPRE
1)
2)
3)
4)
5)
TEOREMA PARA EVALUAR UNA INTEGRAL DEFINIDA:
¿QUÉ HACER ANTE UNA INTEGRAL DEFINIDA?
1. INTEGRAR(OBTENER LA FUNCION)
2. EVALUAR LA FUNCION EN EL LIMITE SUPERIOR “b” F(b)
3. EVALUAR LA FUNCION EN EL LIMITE INFERIOR “a” F(a)
4. RESTAR EL VALOR OBTENIDO EN F(b)- F(a)= UN NUMERO
EL NUMERO OBTENIDO ES EL VALOR DE LA INTEGRAL DEFINIDA Y SIGNIFICARA LO QUE CORRESPONDA SEGÚN EL PROBLEMA QUE DIO ORIGEN A LA INTEGRAL, COMO PUEDE SER AREA, VOLUMEN, TIEMPO, DISTANCIA ETC…
LA INTREGRAL COMO OPERACIÓN INVERSA A LA DERIVADA
EN ESTUDIOS ANTERIORES NOS HAN ENSEÑADO DIVERSAS OPERACIONES MATEMATICAS, ALGUNAS DE ELLAS LLAMADAS DIRECTAS Y OTRAS INVERSAS.
DIRECTAS----------------------------------------------------INVERSAS
SUMA ______________________________________RESTA
MULTIPLICACION____________________________DIVISION
POTENCIA___________________________________RAIZ
DERIVADA__________________________________INTEGRAL
ENTONCES INTEGRAR ES, DADO EL DIFERENCIAL DE UNA FUNCION, ENCONTRAR LA FUNCION.
ENTONCES CUANDO INTEGRAMOS (EL DIFERENCIAL DE UNA FUNCION) PODEMOS COMPROBAR EL RESULTADO, CALCULANDO EL DIFERENCIAL DE LA FUNCION OBTENIDA, QUE DEBE COINCIDIR CON EL DIFERENCIAL DADO.
FUNCION
PROCESO DE DERIVACION
DIFERENCIAL
PROCESO DE INTEGRACION
LAS INTEGRALES INDEFINIDAS SON EJERCICIOS QUE SIRVEN PARA PRACTICAR EL USO DE FORMULAS BASICAS, PROCEDIMIENTOS Y METODOS PARA INTEGRAR.
FORMULAS BASICAS DE INTEGRACIÓN
SIMBOLOGIA: K, C, N =CONSTANTES U, V, W =DIFERENCIALES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
SIGNIFICADO DE LA CONSTANTE “C” DE INTEGRACION
LAS FUNCIONES SON DIFERENTES POR EL +3 Y EL -1 ADEMAS POR TENER GRAFICAS DIFERENTES, PERO TIENEN ALGO EN COMUN, UN MISMO DIFERENCIAL
ENTONCES SI NOS PIDEN INTEGRAR NO SE SABE CUAL DE LAS DOS FUNCIONES ES LA QUE BUSCAMOS Y POR TAL MOTIVO LA RESPUESTA CORRECTA SERIA , DONDE “C” REPRESENTA EL +3 O EL -1 QUE AL CALCULAR EL DIFERENCIAL SE HACE CERO.
POR TAL MOTIVO SE DICE QUE AL INTEGRAR UN DIFERENCIAL DE UNA FUNCION LA QUE SE OBTIENE ES UNA FAMILIA DE CURVAS O FUNCIONES QUE SOLO DIFIEREN DE LA CONSTANTE “C” DE INTEGRACION.
EJERCICIOS DE INTEGRALES BASICAS.
FORMULA 1
Y=
12 XY
3
-1
FORMULA 4
AQUÍ EMPLEAMOS LA REGLA DE CONVERSION DE RADICALES A EXPONENTES FRACCIONARIOS
FORMULA 3
ESTA FORMULA NOS INDICA QUE SI TENEMOS QUE INTEGRAR UN POLINOMIO LA INTEGRAL SERA LA SUMA O RESTA EN SU CASO DE LAS INTEGRALES DE CADA UNO DE LOS TERMINOS DEL POLINOMIO.
EJEMPLOS.
AQUÍ EMPLEAMOS LAS FORMULAS 4 Y 1 VISTAS ANTERIORMENTE
AQUÍ EMPLEAMOS LAS FORMULAS 4 Y 1, ADEMAS OBSERVE QUE NO ES NECESARIO INDICAR LA INTEGRACION DE CADA TERMINO, ESTO SE PUEDE HACER DIRECTO COMO EN EL EJEMPLO
FORMULA 2
ESTA FORMULA NOS ENSEÑA QUE SI EN UNA INTEGRAL ENCONTRAMOS UNA CONSTANTE “K” MULTIPLICANDO O DIVIDIENDO, LA PODEMOS SACAR DE LA INTEGRAL MULTIPLICANDO O DIVIDIENDO SEGÚN EL CASO.
ENTENDIENDOSE QUE LO QUE SE ENCUENTRE A LA DERECHA DEL SIMBOLO DE INTEGRACION SE DICE QUE ESTA DENTRO DE LA INTEGRAL Y LO QUE SE ENCUENTRA A LA IZQUIERDA DEL SIBOLO DE INTEGRACION ESTA AFUERA, Y SOLO PODEMOS SACAR O COLOCAR A LA IZQUIERDA DEL SIMBOLO DE INTEGRACION CONSTANTES QUE ESTEN MULTIPLICANDO O DIVIDIENDO, NUNCA SUMANDO O RESTANDO Y MUCHO MENOS VARIABLES.
EJEMPLOS.
AQUÍ EL CUATRO ESTA MULTIPLICANDO DENTRO DE LA INTEGRAL Y POR LA FORMULA 2 LO PODEMOS COLOCAR AFUERA Y AL INTEGRAR EL RESULTADO QUEDA MULTIPLICADO POR EL CUATRO.
AQUÍ ENCONTRAMOS UN CINCO MULTIPLICANDO Y UN TRES DIVIDIENDO, POR TAL MOTIVO SACAMOS LA FRACCION CINCO TERCIOS DE LA INTEGRAL, INTEGRAMOS Y EL RESULTADO DE LA INTEGRAL QUEDA MULTIPLICADO POR ESA FRACCION.
AQUÍ SACAMOS LA FRACCION UNO SOBRE DIECISIETE Y OBSERVE QUE EN ESTE EJEMPLO SE HA INCLUIDO EL NUMERO IRRACIONAL , COMO PARTE DEL POLINOMIO Y SE INTEGRA IGUAL COMO SI FUERA UN DOS O UN SEIS.
FORMULA 5
EN ESTA FORMULA ENCONTRAMOS QUE LA EXPRESION A INTEGRAR DEBE DE SER UN PRODUCTO, UNO DE LOS FACTORES DEL PRODUCTO SERA LA FUNCION “V” Y ESTA DEBERA DE ESTAR ELEVADA A UN EXPONENTE DIFERENTE DEL NUMERO , ADEMAS LA FUNCION DEBE ESTAR MULTIPLICANDO A SU DIFERENCIAL. SI ESTO SUCEDE SE DICE QUE LA INTEGRAL ESTA COMPLETA Y SE ESCRIBE LA RESPUESTA.UNA VEZ IDENTIFICADA LA FUNCION “V” SE PROCEDE A CALCULAR EL DIFERENCIAL DE “V” ES DECIR , CON EL OBJETIVO DE VERIFICAR SI EL DIFERENCIAL ESTA COMPLETO O NO, PARA ESTE FIN NO SE TOME EN CUENTA EL VALOR DEL EXPONENTE “N” ESTE DEBE CUMPLIR SOLO CON SER .
EJEMPLOS COMPLETOS.
AQUÍ
AQUÍ OBSERVAMOS QUE:
E
N ESTE EJEMPLO SE TRANSFORMO EL RADICAL A EXPONENTE FRACCIONARIO Y ESA EXPRESION A LA POTENCIA UN MEDIO, NECESARIAMENTE DEBE DE SER
N= ½ Y dv=(4X+5) TENEMOS ENTONCES UN PROBLEMA COMPLETO PARA LA FORMULA 5.EL RESULTADO PUEDE DEJARSE EN TERMINOS DE EXPONENTES FRACCIONARIOS O REGRESAR A LOS RADICALES QUE ES LO MISMO.
EN ESTE PROBLEMA SE TRANSFORMO EL RADICAL A EXPONENTE FRACCIONARIO Y SE PASO AL NUMERADOR CON EXPONENTE NEGATIVO, UBICANDOLO PRIMERO PARA QUE SEA Y DE IGUAL MANERA SE OBSERVA QUE EL ESTA COMPLETO Y SE INTEGRA
CASOS INCOMPLETOS DE LA FORMULA 5CUANDO HACE FALTA EN EL DIFERENCIAL UNA CONSTANTE (UN NUMERO) MULTIPLICANDO O DIVIDIENDO.
EN ESTE CASO Y EL DIFERENCIAL DE “V” DEBERIA DE SER Y NOS DAMOS CUENTA DE QUE HACE FALTA EL “3” PARA QUE ESTE COMPLETO, ENTONCES SE LE AGREGA EL “3” AL DIFERENCIAL Y FUERA DE
LA INTEGRAL SE MULTIPLICA POR , A ESTE PROCESO SE LE LLAMA
COMPLETAR EL DIFERENCIAL DE LA FUNCION (SIEMPRE LO AGREGADO DENTRO Y FUERA DEBE DE DAR ).
UNA VEZ QUE EL DIFERENCIAL ESTA COMPLETO SE INTEGRA Y EL RESULTADO DE LA INTEGRAL QUEDA MULTIPLICADO POR LA CONSTANTE QUE SE COLOCO AFUERA DE LA INTEGRAL.
AQUÍ FALTABA UN EN EL DIFERENCIAL POR TAL MOTIVO SI LO AGREGAMOS
ES NECESARIO MULTIPLICAR LA INTEGRAL POR ( ) Y ASI YA PODEMOS USAR
LA F-5 Y EL RESULTADO QUEDA MULTIPLICADO POR .
OBSERVE QUE SI MULTIPLICAMOS
AQUÍ PRIMERO TRANSFORMAMOS EL RADICAL A EXPONENTE FRACCIONARIO Y LO COLOCAMOS EN EL NUMERADOR MULTIPLICANDO LO QUE YA ESTABA AHÍ, ESA EXPRESION QUE MOVIMOS SERA “V”.LUEGO SACAMOS EL Y OBSERVAMOS QUE PARA QUE EL DIFERENCIAL ESTE COMPLETO, FALTA UN 3, EL CUAL AL AGREGARLO NOS OBLIGA A DIVIDIR EL -7 ENTRE 3, AHORA UNA VEZ QUE HEMOS COMPLETADO EL DIFERENCIAL YA PODEMOS INTEGRAR CON F-5
AQUÍ SI ENTONCES SI DIVIDIMOS EL dx
ENTRE 8 HAY QUE MULTIPLICAR LA INTEGRAL POR UN 8
FORMULA 6
CASOS COMPLETOS.- EN ESTA FORMULA LA EXPRESION QUE ACOMPAÑA A LA FUNCION COSENO (ANGULO DE LA FUNCION) SE LE LLAMA “U” Y DEBE ESTAR MULTIPLICADA POR SU DIFERENCIAL du PARA ESTAR COMPLETA, DE SER ASI SE INTEGRA.
AQUÍ U=4X Y du=4dx ENTONCES COMO ESTA COMPLETO SE INTEGRO.
EN ESTE EJEMPLO
Y ENTONCES COMO ESTA COMPLETO SE INTEGRO.
CASOS INCOMPLETOS
EN ESTA INTEGRAL ENTONCES
Y NOS DAMOS CUENTA QUE HACE FALTA Y SI LO AGREGAMOS DENTRO DE
LA INTEGRAL, AFUERA HAY QUE MULTIPLICAR POR UN 2.
AQUÍ DEBERIA SER, ENTONCES HACE FALTA UN , SI LO AGREGAMOS DENTRO HAY QUE MULTIPLICAR LA
INTEGRAL POR PARA QUE ESTE COMPLETA.
FORMULA 7
AQUÍ =12Xdx Y COMO ESTA COMPLETO SE INTEGRO
EN ESTA INTEGRAL ENTONCES NOS DAMOS CUENTA QUE AL DIFERENCIAL LE HA CE FALTA EL 15 E IGUAL SI LO AGREGAMOS DENTRO, AFUERA HAY QUE MULTIPLICAR LA INTEGRAL POR
PARA QUE ESTE COMPLETA.
FORMULA 8
ESTE CASO ESTA COMPLETO Y SE INTEGRO
AQUÍ EL CUAL TAMBIEN ESTA COMPLETO Y SE INTEGRO.
EN ESTA INTEGRAL Y EL du DEBERIA SER NOS DAMOS CUENTA QUE HACE FALTA EL SIGNO MENOS DENTRO Y FUERA DE LA INTEGRAL.
FORMULA 9
ESTE ES UN PROBLEMA COMPLETO
EN ESTE CASO AL DIFERENCIAL
LE FALTA UN 7 Y TENEMOS QUE COMPLETARLO HACIENDO LO CORRESPONDIENTE DENTRO Y FUERA DE LA INTEGRAL.
=
FORMULA 10
COMPLETO
FORMULA 11
COMPLETO
FORMULA 12
EL EXPONENTE DEL NUMERO e ES U=5X, POR TAL MOTIVO EL du=5dx LO TENEMOS COMPLETO Y SE INTEGRO.
EN ESTE EJEMPLO NOS DAMOS CUENTA QUE SI u=3X, ENTONCES du=3dx Y COMO SOLO TENEMOS EL dx, NOS HACE FALTA EL 3 EN EL DIFERENCIAL.
=
FORMULA 13
EN ESTE EJEMPLO ENCONTRAMOS LA FUNCION
“U”=7X-5 EN EL DENOMINADOR Y EL DIFERENCIAL du=7dx EN EL NUMERADOR POR TAL MOTIVO EL PROBLEMA ESTA COMPLETO Y SE INTEGRO (SE ACOSTUMBRA A COLOCAR LA EXPRESION ENTRE BARRAS DE VALOR ABSOLUTO, CUANDO ESTÁ AFECTADA POR LOGARITMO).
EN ESTE EJEMPLO Y DEBERIA DE ESTAR EN EL NUMERADOR Y OBSERVE QUE LE FALTA UN -3, POR TAL MOTIVO SE COMPLETA EL DIFERENCIAL DENTRO Y FUERA DE LA INTEGRAL PARA POSTERIORMENTE INTEGRAR.EJERCICIOS DE INTEGRACION BASICA
=
INTEGRALES DEFINIDAS
AQUÍ INTEGRAMOS CON LA F-1
AQUÍ EMPLEAMOS LA F- 3
AHORA EMPLEAREMOS LA F- 5, EN EL MISMO PROBLEMA Y DA LO MISMO,
EN ESTE PROBLEMA USAMOS LA F-3, LUEGO EN LOS PRIMEROS DOS TERMINOS LA F-4 Y PARA EL TERCER TEMINO SE USO LA F-1
EN ESTE PROBLEMA TRANSFORMAMOS EL RADICAL A EXPONENTE FRACCIONARIO Y LUEGO INTEGRAMOS CON LA F-4, SIMPLIFICANDO Y EVALUANDO COMO SE INDICO ANTERIORMENTE.
EN ESTE PROBLEMA TAMBIEN TRANSFORMAMOS EL RADICAL Y LO SUBIMOS AL NUMERADOR, REUBICANDO EL DOS PARA QUE EL DIFERENCIAL ESTE COMPLETO Y PODER INTEGRAR USANDO LA F-5.
EN ESTA INTEGRAL USAMOS LA F-13 Y EL PROBLEMA ESTA COMPLETO.
EN ESTA INTEGRAL REACOMODAMOS EL DIFERENCIAL -2Xdx PARA PODER USAR LA F-12.AL EVALUAR HAY QUE RECORDAR QUE EL NUMERO e=2.718 Y QUE
EN ESTA INTEGRAL DEBE RECORDARSE QUE LOS LIMITES DE UNA FUNCION TRIGONOMETRICA REPRESENTAN UN ANGULO Y QUE EL ANGULO PUEDE ESTAR EN GRADOS O EN RADIANES Y AL EVALUAR, LA CALCULADORA DEBE DE ESTAR EN EL MODO DE OPERACIÓN COORRESPONDIENTE.
EJERCICIOS
INTEGRALES IMPROPIAS
SE LES LLAMA ASI A LAS INTEGRALES DEFINIDAS QUE:
1.- TENGAN UNO O LOS DOS LIMITES DE INTEGRACION INFINITOS.
EJEMPLOS
2.- PRESENTEN EN EL INTERVALO DE INTEGRACION DISCONTINUIDADES (ES DECIR QUE SU GRAFICA SE INTERRUMPE).
EJEMPLOS
ESTA FUNCION PRESENTA DISCONTINUIDAD EN X=1
EN ESTA FUNCION LA DISCONTINUIDAD SE PRESENTA EN X= -1
AQUÍ LA DISCONTINUIDAD EXISTE EN X=2
EN ESTE EJEMPLO LA DISCONTINUIDAD SE PRESENTA EN X= 0
FORMATOS PARA EL PRIMER TIPO DE INTEGRALES IMPROPIAS
LIMITES DE INTEGRACION INFINITOS.
1).-
2).-
3).-
PROCEDIMIENTO: SE INTEGRA Y SE APLICAN LOS CONCEPTOS DE LIMITES, SI SE LLEGA A UN RESULTADO CONCRETO (UN NUMERO), SE DICE QUE LA INTEGRAL IMPROPIA CONVERGE, DE LO CONTRARIO DIVERGE.
EJEMPLO:
LA INTEGRAL IMPROPIA CONVERGE.
LA INTEGRAL IMPROPIA CONVERGE.
LA INTEGRAL DIVERGE.
LA INTEGRAL IMPROPIA CONVERGE.
FORMATOS PARA EL SEGUNDO TIPO DE INTEGRALES IMPROPIAS.
CUANDO HAY DISCONTINUIDAD EN ALGUN NUMERO DEL INTERVALO DE INTEGRACION.
1.- SI ES CONTINUA EN Y CUANDO ENTONCES:
2.- SI ES CONTINUA EN Y CUANDO ENTONCES:
3.- SI , CUANDO PARA ALGUN “C” ENTRE Y ES CONTINUA EN TODOS LOS DEMAS NÚMEROS DE ENTONCES:
EJEMPLOS:
NOTA: COMO CUANDO ESTE ES UN PROBLEMA
DEL SEGUNDO TIPO Y SE REQUIERE EL FORMATO 2.
LA INTEGRAL CONVERGE.
EN ESTE PROBLEMA ES NECESARIO OBSERVAR QUE EL
DENOMINADOR SE HACE CERO PARA X=1 LO
CUAL INDICA QUE ES UN PROBLEMA DEL TIPO 2 Y QUE REQUIERE EL FORMATO 3.
LA INTEGRAL SE DESCOMPONE EN DOS INTEGRALES Y LAS RESOLVEMOS.LA PRIMERA QUEDA ASI.
Y LA SEGUNDA ASI.
AHORA SUMAMOS LOS RESULTADOS OBTENIDOS POR SEPARADO Y:
LA INTEGRAL DIVERGE
SI PASAMOS POR ALTO LA NOTA INICIAL, INTEGRAMOS Y EVALUAMOS:
LO CUAL ES DIFERENTE E INCORRECTO.
EJEMPLO:
NOTA: CUANDO
ESTE PROBLEMA ES DEL SEGUNDO TIPO DE INTEGRALES IMPROPIAS Y DEL FORMATO TRES.
LA INTEGRAL IMPROPIA DIVERGE:
Y DE IGUAL FORMA SI NO CONSIDERAMOS LA NOTA INICIAL Y RESOLVEMOS COMO UNA INTEGRAL DEFINIDA CUALQUIERA, OBTENEMOS:
QUE ES DIFERENTE E INCORRECTO.
EJERCICIOS:
