Instituto Universitario de Tecnología “Antonio José de Sucre”

Extensión Barquisimeto

Aplicación e importancia de los circuitos, del algebra de boole y compuertas

lógicas.

Alumno:

Brayer Yepez

24.925.335

Aplicación e importancia de los circuitos, del algebra de boole

Los circuitos que componen una computadora son muy diversos: los hay destinados aportar energía necesaria para las distintas partes que componen la maquina y los hay dedicados a generar, procesar y propagar señales que contienen información. Dentro de este segundo grupo se distinguen a su vez circuitos que trabajan con información analógica y los que tratan con valores digitales como la algebra booleana.

Álgebra Booleana

El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana.Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iníciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:

Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.

Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B.

Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.

Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.

Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " º " si A º I = A.

Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.

Para nuestros propósitos basaremos el álgebra booleana en el siguiente juego de operadores y valores:- Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo llamaremos a éstos valores respectivamente como falso y verdadero.- El símbolo ·  representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de variables de una sola letra se eliminará el símbolo ·,  por lo tanto AB representa la operación lógica AND entre las variables A y B, a esto también le llamamos el producto entre A y B.- El símbolo "+" representa la operación lógica OR, decimos que A+B es la operación lógica OR entre A y B, también llamada la suma de A y B.- El complemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario, en éste texto utilizaremos el símbolo " ' " para denotar la negación lógica, por ejemplo, A' denota la operación lógica NOT de A.

Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresión booleana, el resultado de la expresión depende de la procedencia de los operadores, la cual es de mayor a menor, paréntesis, operador lógico NOT, operador lógico AND y operador lógico OR. Tanto el operador lógico AND como el OR son asociativos por la izquierda. Si dos operadores con la misma procedencia están adyacentes, entonces se evalúan de izquierda a derecha. El operador lógico NOT es asociativo por la derecha.Utilizaremos además los siguientes postulados:

P1 El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT P2 El elemento de identidad con respecto a ·  es uno y con respecto a +  es cero. No

existe elemento de identidad para el operador NOT P3 Los operadores ·   y + son conmutativos. P4 ·   y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A· (B+C) = (A·B)+

(A·C) y A+ (B·C) = (A+B) ·(A+C). P5 Para cada valor A existe un valor A' tal que A·A' = 0 y A+A' = 1. Éste valor es el

complemento lógico de A. P6 ·   y + son ambos asociativos, esto es, (AB) C = A (BC) y (A+B)+C = A+

(B+C).

Es posible probar todos los teoremas del álgebra booleana utilizando éstos postulados, además es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas más importantes de los cuales podemos mencionar los siguientes:

Teorema 1: A + A = A Teorema 2: A · A = A Teorema 3: A + 0 = A Teorema 4: A · 1 = A Teorema 5: A · 0 = 0 Teorema 6: A + 1 = 1 Teorema 7: (A + B)' = A' · B' Teorema 8: (A · B)' = A' + B' Teorema 9: A + A · B = A Teorema 10: A · (A + B) = A Teorema 11: A + A'B = A + B Teorema 12: A' · (A + B') = A'B' Teorema 13: AB + AB' = A Teorema 14: (A' + B') · (A' + B) = A' Teorema 15: A + A' = 1 Teorema 16: A · A' = 0

Los teoremas siete y ocho son conocidos como Teoremas de De Morgan en honor al matemático que los descubrió.

Características:Un álgebra de Boole es un conjunto en el que destacan las siguientes características:1- Se han definido dos funciones binarias (que necesitan dos parámetros) que llamaremos aditiva (que representaremos por x

+ y) y multiplicativa (que representaremos por xy) y una función manaría (de un solo parámetro)  que representaremos por x'.2- Se han definido dos elementos (que designaremos por 0 y 1)Y 3- Tiene las siguientes propiedades:

Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + xConmutativa respecto a la segunda función: xy = yxAsociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z)Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x(yz)Distributiva respecto a la primera función: (x +y)z = xz + yz Distributiva respecto a la segunda función: (xy) + z = (x + z)( y + z)Identidad respecto a la primera función: x + 0 = xIdentidad respecto a la segunda función: x1 = xComplemento respecto a la primera función: x + x' = 1Complemento respecto a la segunda función: xx' = 0

Propiedades Del Álgebra De Boole

1. IDE potente respecto a la primera función: x + x = xIDE potente respecto a la segunda función: xx = xMaximalidad del 1: x + 1 = 1Minimalidad del 0: x0 = 0Involución: x'' = xInmersión respecto a la primera función: x + (xy) = xInmersión respecto a la segunda función: x(x + y) = xLey de Morgan respecto a la primera función: (x + y)' = x'y'Ley de Morgan respecto a la segunda función: (xy)' = x' + y'

Compuerta OR-EX o XOR

Es OR Exclusiva en este caso con dos entradas (puede tener más) y lo que hará con ellas será una suma lógica entre a por b invertida y a invertida por b.*Al ser O Exclusiva su salida será 1 si una y sólo una de sus entradas es 1*

2.

Compuertas Lógicas Combinadas

Al agregar una compuerta NOT a cada una de las compuertas anteriores los resultados de sus respectivas tablas de verdad se invierten, y dan origen a tres nuevas compuertas llamadas NAND, NOR y NOR-EX. Veamos ahora como son y cuál es el símbolo que las representa...

Compuerta NANDResponde a la inversión del producto lógico de sus entradas, en su representación simbólica se reemplaza la compuerta NOT por un círculo a la salida de la compuerta AND.

3.Compuerta NOREl resultado que se obtiene a la salida de esta compuerta resulta de la inversión de la operación lógica o inclusiva es como un no a y/o b. Igual que antes, solo agregas un círculo a la compuerta OR y ya tienes una NOR.

4.Compuerta NOR-EXEs simplemente la inversión de la compuerta OR-EX, los resultados se pueden apreciar en la tabla de verdad, que bien podrías compararla con la anterior y notar la diferencia, el símbolo que la representa lo tienes en el siguiente gráfico.

5.Buffer'sEn realidad no realiza ninguna operación lógica, su finalidad es amplificar un poco la señal (o refrescarla si se puede decir). Como puedes ver en el siguiente gráfico la señal de salida es la misma que de entrada.

6.