VARIABLE COMPLEJAINGENIERA ELECTRONICA

Captulo IIIINTEGRACION COMPLEJAIntroduccin: La integracin compleja es una de las teoras matemticas ms importantes debido a su gran accesibilidad porque integrales reales que son muy complicadas de evaluar son bastante fciles por integracin compleja, adems algunas de las propiedades bsicas de las funciones analticas tales como la existencia de derivadas de orden superior no pueden demostrarse por otros mtodos que no sea mediante la integracin compleja. Esta es la principal diferencia entre el clculo real y el clculo complejo.Curvas en el Plano Complejo: Una curva C en el plano complejo es el conjunto de puntos tal que:

Dnde: son funciones continuas de la variable en el intervalo . Como , entonces la curva C se puede expresar de la forma:

(Grfico)Clculo de Integrales: Consideremos una funcin compleja de la forma:

Entonces definimos la integral compleja, de la siguiente forma:

Integrales Curvilineas en C: Denominada tambin integral compleja de lnea. Sea continua en todos los puntos de una curva C que es una curva rectificable es decir que tiene una longitud finita, definiremos la integral como:

Si es analtica en todos los puntos de la regin R y si C es una curva en R, entonces es integrable a lo largo de C. Si definiremos la integral como:

Para el clculo de integrales utilizamos las mismas propiedades, tablas y tcnicas de integracin del clculo real.Propiedades y Tablas de Integracin: (Copiar las tablas de integracin, son 36 las frmulas fundamentales)Ejem. 1 Evaluar las siguientes integralesTeorema de Green en el Plano: Sea R una regin simplemente conexa con frontera C suave a trozos, orientado en sentido contrario al de las agujas del reloj, si son continuas en una regin abierta que contiene a R entonces:

Ejem.2Teorema de Green en la Forma Compleja: Sea una funcin compleja continua y sus derivadas parciales continuas en una regin R y sobre su frontera C donde: El teorema de Green se puede escribir en forma compleja como:

Teorema de Cauchy para Integrales de Lnea en el Plano Complejo: Sea

Frmula Integral de Cauchy: La frmula integral de Cauchy indica que si f es una funcin analtica en el interior y sobre los puntos de una curva cerrada simple C, los valores interiores de C estn completamente determinadas por los valores de f sobre C.Teorema: Sea una funcin analtica en el de una regin R y de C una curva simple, si es un punto exterior a la curva, entonces:

Ejem. 3 Calcular las siguientes integralesFrmula Integral de Cauchy para Derivadas Parciales: Si es analtica dentro y sobre la frontera de la curva C de una regin R simplemente conexa, entonces:

Ejem. 4. Evaluar las siguiente integralesEjercicios:

Ing. DAEN. Rosio Carrasco MendozaPgina 4