Integración de Funciones Racionales de Seno y Coseno
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Integración de funciones racionales de seno y coseno.
Eleazar José García. [email protected]
1. Deducción de fórmulas para realizar las sustituciones.
2. Teorema.
3. Ejercicios resueltos.
4. Ejercicios propuestos.
5. Respuestas de ejercicios propuestos.
Deducción de fórmulas para realizar las sustituciones.
Si el integrando es una función racional de sen u y cos ,u se puede reducir a una función
racional de z mediante la sustitución tg .12
z u=
Con la finalidad de obtener la fórmula para senu y cosu en términos de z se utilizan las
identidades siguientes: sen sen cos1 12 2
2u u u= y cos cos .2 12
2 1u u= −
Entonces se tiene,
sen sen cos
sen cos
cos
tgsec
tg
tag
1 12 2
21 12 2
12
12 2 1
2
12
2 12
2
2
2
12
2
1
2
1
u u u
u u
u
uu
u
u
z
z
=
=
=
=+
=+
cos cos
sec
tg
2 12
2 12
12
2
2
2
2 1
21
21
1
21
1
1
1
u u
u
u
z
z
z
= −
= −
= −+
= −+−
=+
Como tg ,12
z u= entonces, ( ) ( )sec tg ,2 21 1 1 1 12 2 2 2 2
1 1dz u du u du z du= = + = + por lo tanto,
.2
2
1
dzdu
z=
+
Los resultados anteriores se establecen como el siguiente teorema.
Teorema.
Si tg ,12
z u= entonces, se verifican las siguientes igualdades, las cuales pueden ser usadas
para la integración de funciones racionales de seno y coseno:
sen , cos y .z z dx
u u dxz z z
−= = =
+ + +
2
2 2 2
2 1 2
1 1 1
Lic. Eleazar J. García
Ejercicios resueltos.
1) Evalúe sen cos1
dx
x x+ −∫
Solución.
Haciendo el cambio sen , cos , ,2
2 2 2
2 1 2
1 1 1
z z dxu u dx
z z z
−= = =
+ + +entonces,
( )
( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
sen cos
Descompongamos en fracciones simples :
2
2 2
2 2
2
1
1 12 11
1 1
1
1
1 11 1
1 1 1 1
1 1 1
dz
dx dz dzz
x x z zz z z z
z z
z z
A B A Bz z z z
z z z z z z z z
A z Bz A B z A
A B
+= = =+ − +− +
+ −+ +
+
= + ⇒ + = + + + + + +
⇒ = + + ⇒ = + +
+⇒
∫ ∫ ∫ ∫
( )
( ) ( )
y
Luego,
ln ln ln ln
tgln ln ,
tg
Por lo tanto :
tgln
sen cos tg
1 2 1 2
12
1 2 1 212
12
12
01 1
1
1 1
1 1 1
1 1
1 1
1 1
A BA
dz dz dzdz
z z z z z z
z C z C C z z C C
xzC C C C C C
z x
xdxC
x x x
=⇒ = = −
=
= − = − + + +
= + − + + + = − + + −
= + − = + = −+ +
= + ◊+ − +
∫ ∫ ∫ ∫
∫
Lic. Eleazar J. García
2) Calcule sec x dx∫
Solución.
Puesto que, sec ,cos
dxxdx
x=∫ ∫ y sec , ,
cos
2
2 2
1 1 2
1 1
z dxx dx
x z z
+= = =
− + entonces:
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )( )( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
sec
Descomponer : en fracciones simples :
y
2
2 2 2
2 2 21
1 11 1 1
2
1 1
2
1 1 1 1
21 1 1 1 2 1 1
1 1 1 1
0
22
2 2 1 1
dz dz dzzx dx
z zz z z
dz
z z
A B
z z z z
A Bz z z z A z B z
z z z z
A B
A BA B z A B
A A B
+ = = = − +− + −
− +
= + ⇒− + − +
− + = − + + ⇒ = + + − − + − +
− =+ =⇒ = − + + ⇒
= ⇒ = =
∫ ∫ ∫ ∫
( )( )
( ) ( )
( )( )
Luego,
ln ln
ln ln ln ln
ln tg
Por ende :
sec ln tg
1 2
2
1 2 1 2
2 12
2 12
2 1 1
1 1 1 1
1 11 1
1 1 1 1 1
1
1
dzdz
z z z z
dz dzz C z C
z z
z z C C z z C C z C
x C
xdx x C
= + − + + −
= + = + + + − ++ −
= + + − + + = + − + + = − +
= − +
= − + ◊
∫ ∫
∫ ∫
∫
Lic. Eleazar J. García
3) Evalúe sen cos4 3
dx
x x−∫
Solución.
Haciendo el cambio sen , cos , ,2
2 2 2
2 1 2
1 1 1
z z dxu u dx
z z z
−= = =
+ + +entonces:
( ) ( )
( ) ( )
( )
sen cos
ln
ln ln ln ln
tln ln
2
22
2 2
31 1 115 5 5 5
1 1 1 1 1 1 12 1 1 25 5 5 5 5 5 5
1 1 1 11 25 5 5 5
2
2 21
4 3 3 1 33 8 32 14 3
1 1
3 13
3 3 1 3 1
3 3 1 3 3 1
3
3 1
dz
dz dzdx z
x x z zz zz z
z z
d zdz dzz C
z z z
z z C C z z C C
zC C
z
+= = =− + −− − − − + +
+= − = − + −
− + +
= − − + + + = − − + + −
−= + − =
+
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
( )( )
( )( )
g,
tg
Por consiguiente :
tgln
sen cos tg
2 1 11 25 5
2
215
2
3
3 1
3
4 3 3 1
x
x
x
x
C C C C
dxC
x x
−+ = −
+
−= + ◊
− +∫
Resuelva :
sen cos) ) ) ) sen ) csc
sen sen cos cos
cotg sen cos) ) ) ) )
sen tg sen sec cossen
se) ) )
sen sen
2
1 2 3 4 52 1 1
6 7 8 9 103 2 5 4 11
11 12 131 2 5 3
x xdx dxdx x dx x dx
x x x x
dx x x dy xdx dx dx
x x x y xx
dx dx
x x
+ + + −
+ + + ++
− +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫
Ejercicios propuestos.
n) )
cos sen cossen214 15
2 11
x dx dx dx
x x xx − + −+∫ ∫ ∫
( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2223
21 12 4 2 2 2
2 1221
3 4 2 12
1 45
2 tg 11) arctg 2) ln 1 tg 3) cos ln 1 cos
3
4) 2sen 2 cos 5) ln tg 6) sec ln tg
tg 3 2 2sen7) ln 8) ln
3 2sen tg 3 2 2
9)
Respuestas de ejerciciospropuestos.
x
x
x x x
C C x x C
x x x C C C
xxC C
x x
y
+ + + + + − +
− + + − + +
+ −+ +
+ + +
+( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( )
( )( )( )
( )
( )
2 2 23
15 2 2
22 2
2
2 221 22 4 232
2
2
2
3cos sen tg 2 3ln 10) tg 11) ln
tg 2 33cos sen
5 tg 3 tg 3 2 212) arctg 13) ln 14) arctg 3tg
4 tg 3 2 2
tg15) ln
tg 1
y y x
x
y y x
x x
x
x
x
x
C x C C
C C C
C
− − −+ − + +
− ++
+ + − + + + + +
++