Prácticas de Matemáticas con Mathematica .

Fundamentos de Matemáticas III . Grado en Ingeniería Civil.

Práctica nº 3. Integración numérica.

Departamento de Matemática Aplicada.

E.P.S. de Zamora

Universidad de Salamanca

Ejemplo 1: Halle la integral aproximada de la función f HxL = e-x2 en el intervalo [0,2].

Consideremos la integración numérica de la función siguiente en el intervalo [0, 2] :

f@x_D := Exp@-x^2DEl valor exacto de la integral puede obtenerse con el comando Integrate del Mathematica

Integrate@f@xD, 8x, 0, 2<D1

2Π Erf@2D

Y la aproximación numérica del valor anterior se obtiene en la forma siguiente :

Exacto = NB1

2Π Erf@2D, 16F

0.8820813907624217

Si quisiermos utilizar 20 subintervalos en la Regla del Trapecio compuesto deberemos hallar los nodos deintegración :

n = 20; a = 0; b = 2;

h = Hb - aL � n

1

10

Table@x@jD = a + j * h, 8j, 0, n<D

:0,1

10,

1

5,

3

10,

2

5,

1

2,

3

5,

7

10,

4

5,

9

10, 1,

11

10,

6

5,

13

10,

7

5,

3

2,

8

5,

17

10,

9

5,

19

10, 2>

La fórmula del Trapecio se puede expresar en la forma :

T = N@h Hf@x@0DD � 2 + Sum@f@x@iDD, 8i, 1, n - 1<D + f@x@nDD � 2LD0.88202

Lo ideal es utilizar una sólo fórmula que evalúe directamente lo que queremos. Ello se puede conseguirintroduciendo todos los pasos anteriores en una función que llamamos Trapecio[n_, a_, b_] donde n será elnúmero de intervalos, y a, b los puntos extremos del intervalo de integración. La función f[x] ya estabadefinida previamente.

Trapecio@n_, a_, b_D :=

Hh = Hb - aL � n; Table@x@jD = a + j * h, 8j, 0, n<D;

N@h Hf@x@0DD � 2 + Sum@f@x@iDD, 8i, 1, n - 1<D + f@x@nDD � 2L, 16DLComprobamos el error que se comete al aplicar la función que acabamos de definir para distintos valores de n :

Exacto - Trapecio@20, 0, 2D0.000060950366861

Nótese que la fórmula del error nos proporciona una cota por exceso del error que se comete con el método, yen general , el error será menor que esa cota. En el caso de la fórmula del Trapecio compuesta es-1 �12 h3 f '' HΖLn, así que necesitamos una cota de la derivada segunda. Haciendo la representación gráficavemos que el mayor valor (en valor absoluto) se consigue en f ’’(0)

Plot@f''@xD, 8x, 0, 2<D

0.5 1.0 1.5 2.0

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

En el ejemplo que acabamos de ver h =1

10, así que una cota del error que se comete con la fórmula del

Trapecio es la siguiente:

1 � 12 H1 � 10L^3 Abs@f''@0DD 20 �� N

0.00333333

Exacto - Trapecio@800, 0, 2D3.8157541 ´ 10-8

2 4 FM III (2-10-2012) Integración Numérica.nb

Exacto - Trapecio@8000, 0, 2D3.81576 ´ 10-10

Lo mismo que hemos hecho para la Regla del Trapecio puede hacerse con la Fórmula de Simpson compuesta.Definimos la función Simpson[n_, a_, b_] teniendo en cuenta que ahora el número n de subintervalos tiene queser par.

Simpson@n_, a_, b_D :=

Hh = Hb - aL � n; Table@x@jD = a + j * h, 8j, 0, n<D;

N@h � 3 Hf@x@0DD + 4 Sum@f@x@iDD, 8i, 1, n - 1, 2<D +

2 Sum@f@x@iDD, 8i, 2, n - 2, 2<D + f@x@nDDL, 16DLLa aplicación de la función que acabamos de definir produce los siguientes errores

Exacto - Simpson@20, 0, 2D4.07167932 ´ 10-7

De nuevo la fórmula del error nos proporciona una cota por exceso del error que se comete con el método, y engeneral , el error será menor que esa cota. En el caso de la fórmula de Simpson compuesta es-1 �180 h5 f 4LHΖLn, así que necesitamos una cota de la derivada cuarta. Haciendo la representación gráficavemos que el mayor valor (en valor absoluto) se consigue en f 4L(0)

Plot@f''''@xD, 8x, 0, 2<D

0.5 1.0 1.5 2.0

-5

5

10

En el ejemplo que acabamos de ver h =1

10, así que una cota del error que se comete con la fórmula del

Trapecio es la siguiente:

1 � 180 H1 � 10L^5 Abs@f''''@0DD 20 �� N

0.0000133333

Exacto - Trapecio@800, 0, 2D3.8157541 ´ 10-8

Exacto - Simpson@800, 0, 2D1.59 ´ 10-13

Ejemplo 2: Halle la integral aproximada de la función f HxL = Sin@xD en el intervalo [0,Π].

f@x_D := Sin@xDExacto = Integrate@f@xD, 8x, 0, Pi<D2

4 FM III (2-10-2012) Integración Numérica.nb 3

Trapecio@300, 0, PiD1.999981722921408

Simpson@300, 0, PiD2.000000000133622

Errores cometidos con los métodos anteriores

Exacto - Trapecio@300, 0, PiD0.000018277078592

Exacto - Simpson@300, 0, PiD-1.33622 ´ 10-10

Ejemplo 3: Halle la integral aproximada de la función f HxL = x3 Sin@40 xD en el intervalo [0,2Π].

f@x_D := x^3 Sin@40 xDExacto = Integrate@f@xD, 8x, 0, 2 Pi<D

3 Π

16 000-

Π3

5

N@ExactoD-6.20067

Errores cometidos con los métodos anteriores

Exacto - Trapecio@1000, 0, 2 PiD-0.032676505857180

Exacto - Simpson@1000, 0, 2 PiD0.000138457268954

Ejemplo 4: Halle la integral aproximada de la función f HxL = x3 Sin@40 xD en el intervalo [0,2Π] utilizandoextrapolación con la regla del Trapecio y la fórmula de Simpson de 1/3.

f@x_D := x^3 Sin@10 xDExacto = Integrate@f@xD, 8x, 0, 2 Pi<D3 Π

250-

4 Π3

5

Ahora además de calcular la integral con los métodos anteriores aplicaremos el proceso de extrapolación para apartir de un número n y de un número 2 n de subintervalos obtener fórmulas mejoradas.

Nótese que con 3 n subintervalos no obtenemos mejor aproximación que con las mismas evaluaciones peroutilizando el proceso de extrapolación.

nint = 1000; A1 = Trapecio@nint, 0, 2 PiD;

A2 = Trapecio@2 nint, 0, 2 PiD; A3 = Trapecio@3 nint, 0, 2 PiD;

8Exacto - A1, Exacto - A2, Exacto - A3, Exacto - HA2 + HA2 - A1L � 3L<9-0.00816105947018, -0.00204016463848,

-0.00090673159070, 1.3363875 ´ 10-7=Con la fórmula de Simpson pasa algo parecido:

4 4 FM III (2-10-2012) Integración Numérica.nb

nint = 1000; A1 = Simpson@nint, 0, 2 PiD;

A2 = Simpson@2 nint, 0, 2 PiD; A3 = Simpson@3 nint, 0, 2 PiD;

8Exacto - A1, Exacto - A2, Exacto - A3, Exacto - HA2 + HA2 - A1L � 15L<

92.13896592 ´ 10-6, 1.3363875 ´ 10-7, 2.639607 ´ 10-8, -4.973 ´ 10-11=à Ejercicio:

Calcular el valor de la integral de la función 1

x3+4

en el intervalo [-1,1] utilizando las fórmulas del Trapecio y

de Simpson con n=1000. Utilice el Mathematica para hallar el valor exacto de la integral (observe la dificul-tad que presenta su cálculo).

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