Revista CENIC Ciencias Biológicas, Val. 29, No. 1, 1998.

INTEGRACION NUMERICA DE EDO QUE DESCRIBEN LA EVOLUCION DE SISTEMAS BIOLOGICOS: EL METODO DE LINEALIZACION LOCAL CON TAMAÑO DE PASO VARIABLE Y JACOBIANO APROXIMADO L.M. Rodríguez Rodríguez y J.C. Jiménez Sobrino. Centro de Neurociencias de Cuba, Avenida 25 y 158, Playa, Apartado Postal 6880, Ciudad de La Habana, Cuba.

Recibido: 14 de marzo de 1997.

RESUMEN. La solución numérica de ecuaciones diferenciales or- dinarias (EDO) es una de las técnicas más usadas en el estudio de la dinámica de sistemas biológicos. Sm embargo, los métodos numéricos comúnmente usados con estos propósitos (Euler, Run- ge-Kutta, etc.) pueden presentar problemas de estabilidad numérica o dar soluciones con características cualitativas diferentes a aque- llas correspondientes a las soluciones exactas. Una alternativa vi- able a estos métodos es el método de linealización local, con el cual gran parte de esos problemas son superados. En este artículo se propone una variante al esquema de linealización local que re- sulta más efectivo para una determinada clase de EDO: las ecua- ciones de tipo sti#. El nuevo esquema numérico es esencialmente una versión adaptativa, con Jacobiano aproximado del esquema original. Las ventajas de este esquema para el caso de las EDO de tipo st@son ilustradas mediante un ejemplo que resulta de la mode lación de la actividd rítmica del corazkr.

ABSTBACT. The numeric solution of Ordinary Differential Equations (ODEs) is a technique widely used to study the dynam- ics of biological systems. However, the numeric methods com- monly used for this goal, such that Euler, Runge-Kutta, etc., may have some numeric stability problems or provide solutions whose qualitative characteristics differ from those corresponding to the extact solutions. A viable alternative to them is the local lineariza- tion method, which overcomes some of these problems. In this pa- per, a variant of the original local linearization scheme is introduced which results more effective for the class of stiff ODEs. The new numerical scheme is essentially a version of the original ones with adaptative step size and approximate Jacobian matrix. Its advan- tages for the class of stiff ODEs are illustrated by means of an ODE that models some rhythm activities of the heart.

INTRODUCCION En la actualidad, la modelación a través de sistemas

dinámicos no lineales es usada para el estudio de la evolu- ción temporal de diversos fenómenos del mundo real, en par- ticular biológicos. Son variados los fenómenos de este tipo que son modelados mediante ecuaciones diferenciales ordi- narias (EDO) no lineales, por ejemplo: los latidos del corazón mediante las ecuaciones de Van der Pol,’ los impulsos ner- viosos que se propagan a través del axón de una neurona mediante las ecuaciones de Hodgkin-Huxley,” el comporta- miento de la población de un sistema “depredador-presa” me- diante la ecuación de Volterra,3 etcétera.

Por lo general, las EDO que describen la dinámica de sistemas biológicos reales carecen de soluciones explícitas conocidas. Por esta razón, se hace necesario buscar solucio- nes aproximadas mediante algún esquema numérico. Entre los esquemas numéricos más conocido: se encuentran los de Euler, Runte-Kutta, Adamas, etcétera. Srn embargo, es bien conocido’- que éstos pueden presentar problemas de esta- bilidad numérica o dar soluciones con características cualitati- vas diferentes a aquellas correspondientes a las soluciones exactas.

Un método numérico alternativo es el método de lineali- zación local (LL), el cual fue introducido originalmente por Ozakig para la integración numérica de Ecuaciones Diferen- ciales Estocásticas y fue adaptado posteriormente por Jimé- nezyc 01.” para EDO. En ese trabajo se demuestra que el esquema LL para ODE supera varias de las desventajas de los esquemas clásicos antes mencionados.

La predicción de un paso con el esquema LL se obtiene a partir de la linealización del campo vectorial de la EDO en

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torno de un punto del espaciode estadoy de la soluciónexacta de la EDO lineal resultante. El esquema LL original aproxima la solución de la EDO con tamaño de paso fijo y asume cono- cida la forma exacta del jacobiano del campo vectorial. Sin embargo, a pesar de las buenas propiedades teóricas antes señaladas y de los buenos resultados obtenidos en los estu- dios de simulaciones realizados,” el esquema numérico origi- nal tiene dos inconvenientes: 1) no tiene control del error de integración, el cual puede ser muy grande si la curva a inte- grar no es muy suave; 2) requiere de la expresión explícita del jacobiano del miembro derecho de la EDO, lo cual puede ser en mayor o menor medida complicado.

Para solucionar estos problemas, en este trabajo se pro- pone un nuevo esquema numérico. Este es, esencialmente, una versión adaptativa y con jacobiano aproximado del es- quema de linealización local original. Además, se presenta un estudio de simulación que compara las soluciones del nuevo esquema con las del original en el caso de la ecuación de Van der Pol.

METODO

La solución aproximada del sistema de EDO

du_ cft

- fw), con tE [b,Tl YE 3”

mediante el método de Linealización Local, está dada por la expresión:

ytn+, = yt, + G (Y!,) f (yr,). (1)

donde tn =t 0 + nh, h es el tamaño de paso de integración pre- viamente fijado, n = O,l,. . . , y G(y) es una matriz de rrx n elementos definida por

r0 GI r0 z 1 10 FJ =exqo f’(yJJ) t2)

f ‘(yr,) es el jacobiano de f evaluado en el punto yr,,, Undenota a la matriz identidad de rtx n elementos y 0 denota a la matriz de nxn ceros.

En este trabajo, el esquema numérico que se propone también está definido por las expresiones (l)-(2), pero con las modificaciones siguientes:

1) en (l), el tiempo fn+l es calculado por la expresión tn+f =t n +h “, donde el tamaño de paso hn es estimado en cada paso de la integración. 2) en (2), el jacobiano exacto f’(yr,) es reemplazado por una aproximación. En el nuevo esquema numérico, el tamaño de paso hn

es controlado a través de la estimación del error local usando la fórmula de extrapolación de Richardson’ de la manera siguiente: Primeramente, a partir de yr,, se calcula yt,,+, con un tamaño de paso hn. A continuación, se calcula yF,,+, em- pleando dos veces el tamaño de paso hr/2,e sd ecir,s ec al- cula primero ytwhn,2 y a partir de este, se calcula y$+, con tamaño de paso h,J2. La diferencia entre estos dos valores da un estimado del error de discretización en la forma

donde p es el orden de convergencia del método no adapta- tivo, en este caso p =2.

Si q > 1, el tamaño de paso hn no es aceptado y la inte- gración a partir de tn es repetida con hJ2yh &. Una vez que hn es aceptado, se propone un hn+l para el próximo paso, el cual se calcula a partir de la fórmula empírica

hn+l =h n min[(4qJ O’*53]

propuesta por Michelsen.‘*

Una diferencia importante del esquema adaptativo aquí introducido con respecto a los tradicionales es que, para avanzar un paso, sólo requiere de la evaluación de la función en dos puntos, en lugar de tres como ocurre usualmente. Esto es posible debido a que, para cualquier matriz C, se cumple la identidad matricial siguiente:

exp(Chn) = exp(Chd2) exp(Chd2).

De ahí que para calcular ~t~,,,,,~, se usa la expresión (2) sustituyendo h por hn/2 y para calcular yr,, se usa la identidad matricial antes mencionada.

El cálculo aproximado del jacobiano fue realizado usan- do los algoritmos sugeridos por Salanel

RESULTADOS Y DISCUSION

Simulaciones

Para probar las características del esquema numérico propuesto, se realizaron varias simulaciones con la ecuación de Van der Pol:

dyl -= dt h(l- Ys)Y,-y2

dY2 (3)

y = Yl

En esta clase de EDO, el valor del parámetro h deter- mina si el sistema es .sfiHo no. En este trabajo, ambos casos son considerados.

En las simulaciones realizadas se comparó la aproxima- ción obtenida mediante el esquema adaptativo con la del esquema LL original con tamaño de paso fijo h,e Ic uals es e-

leccionó de forma tal que los errores máximos obtenidos por ambos esquemas fueran similares. Como la solución exacta de la ecuación (3) no es conocida, los errores de las aproxi- maciones antes mencionadas se estimaron con respecto a la solución aproximada de (3) obtenida por el esquema LL origi- nal con un tamaño de paso muy pequeño (h = %&o).

Los resultados de las simulaciones se muestran en las figurasly2ye nl aT abla 1.

h= 10 25

-2.5 I -I 0 5 10 15 20

Fig. 1. Solución numérica de y2 para el caso h =l 0.

h- 100

SolucIón con paso fip

0 Soluc~on con paso

-251 I 0 01 02 03 04 05 06 07 08

Fig. 2. Solución numérica de p para el caso h = 100.

La figura 1 muestra las soluciones del esquema LL origi- nal con tamaño de paso fijo h= '/35 (línea continua) y del esquema LL con tamaño de paso variable (círculos) para la ecuación de Van der Pol con h =l 0( cason o sti@

La figura 2 muestra las soluciones del esquema LL origi- nal con tamaño de paso fijo h = 1/2~~ (línea continua) y del esquema LL con tamaño de paso variable (círculos) para la ecuación de Van der Pol con h = 1 OO(c aso stjff).

En ambas figuras, se puede apreciar cómo el esquema con tamaño de paso variable, para mantener un adecuado nivel de precisión, utiliza una mayor cantidad de puntos en la integración de aquellas regiones donde hay un cambio brusco en la curvatura de la solución.

Los resultados de la Tabla I muestra que el esquema LL adaptativo no aventaja en eficiencia al esquema LL original cuando el sistema a resolver no es sfiff. Esto se debe a que, para poder controlar el error, en cada paso de integración la solución es calculada dos veces. Sin embargo, para los siste- mas de tipo stifi la eficiencia del esquema adaptativo es con- siderablemente mayor que la del esquema con tamaño de paso fijo, lo cual fundamenta su recomendación para esta clase de EDO.

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TABLA I Comparación de la eficiencia de los esquemas LL en la integración de la ecuación de Van der Pol (3)

Aspectos h=lO

Esquema LL (h = V35)

Tiempo de ejecución (s) 2,48 6,15

Número de puntos 700 653

Máximo error 0,059 0 0,058 9

h=lOO

Esquema LL (h = %OO)

Tiempo de ejecución (s) 12,41 3,63

Número de puntos 4 000 460

Máximo error 0,044 7 0,050 5

La programación de los algoritmos y las simulaciones se realizaron usando la versión 4.2 del sistema MATLAB.

AGRADECIMIENTOS

La realización de este trabajo fue parcialmente finan- ciada por el Proyecto de Investigación No 96-206 RG/MATHS /LA de la TWAS (Third World Academy of Sciences).

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