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Fórmulas de integración

G. Edgar Mata Ortiz

න𝒇 𝒙 𝒅𝒙

න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏

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Función elevada a un exponente constante

Esta fórmula se emplea cuando la expresión que se va a integrar es una expresión, generalmente entre paréntesis, elevada a un exponente constante.

Es necesario completar el diferencial, y el valor de n debe ser diferente de -1.

න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏

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Fórmula para el cociente de dos funciones

La fórmula se lee:

La integral de 𝒗 a la 𝒏, diferencial de

𝒗 es igual a:

𝒗 elevada a la 𝒏 + 𝟏, entre 𝒏 + 𝟏

Más la constante de integración C

Se emplean colores para identificar la función y el exponente.

න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏

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Ejemplo

Resolver

La fórmula es:

Es necesario identificar claramente la función 𝒗, el

exponente 𝒏 y revisar si está completo el diferencial

𝒅𝒗

න𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙=

න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝑪, 𝒏 ≠ −𝟏

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Ejemplo

Resolver

A primera vista, la expresión algebraica no parece corresponder a la fórmula que se propone para resolver el problema, pero si se reordena como se muestra en seguida queda claro que sí es posible emplear dicha fórmula

න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝑪

න𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙=

න𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙=න 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙

−𝟏𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙

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Ejemplo

Resolver

Identificamos la variable 𝒗 para calcular el 𝒅𝒗

El diferencial que se ha obtenido no es igual al diferencial que se encuentra en la integral

𝒗 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒅𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙

න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝑪

න𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙=න 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙

−𝟏𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙

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Ejemplo

Resolver

Identificamos la variable 𝒗 para calcular el 𝒅𝒗

El diferencial que se ha obtenido no es igual al diferencial que se encuentra en la integral.

Para poder integrar, el diferencial “debe estar completo”, es decir, ambos diferenciales deben ser iguales.

𝒗 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒅𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙

න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝑪

න𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙=න 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙

−𝟏𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙

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Ejemplo

Resolver

Identificamos la variable 𝒗 para calcular el 𝒅𝒗

𝒗 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒅𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙

A primera vista, da la impresión que no es posible completar el

diferencial, sin embargo, obteniendo factor común en el diferencial

obtenemos:

𝒅𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙𝒅𝒗 = 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙

න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝑪

න𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙=න 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙

−𝟏𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙

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Ejemplo

Resolver

Identificamos la variable 𝒗 para calcular el 𝒅𝒗

𝒗 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒅𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙𝒅𝒗 = 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙

Se completa el diferencial agregando el dos que falta.

න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝑪

න𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙=න 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙

−𝟏𝟐𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙

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Ejemplo

Resolver

Identificamos la variable 𝒗 para calcular el 𝒅𝒗

𝒗 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒅𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙𝒅𝒗 = 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙

El dos se agrega porque es necesario completar el diferencial, sin

embargo, es evidente que modifica el valor de la expresión origina, que

se multiplica por dos al agregar el dos que completa el diferencial.

Debemos “compensar”, ¿cómo hacerlo?

න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝑪

න𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙=න 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙

−𝟏𝟐𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙

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Ejemplo

Resolver

Identificamos la variable 𝒗 para calcular el 𝒅𝒗

𝒗 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒅𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙𝒅𝒗 = 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙

Puesto que la expresión original se multiplicó por dos, podemos

cancelar este efecto dividiendo entre dos, o multiplicar por un medio.

න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝑪

න𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙=𝟏

𝟐න 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙

−𝟏𝟐𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙

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Ejemplo

Resolver

El “un medio” que se agregó se coloca fuera de la integral, ya que las constantes no se integran.

Y entonces se aplica la fórmula de integración.

=𝟏

𝟐

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙−𝟏𝟐+𝟏

−𝟏𝟐+ 𝟏

+ 𝑪

La fórmula indica “sumar uno” al exponente y dividir entre

ese mismo valor.

න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝑪

න𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙=𝟏

𝟐න 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙

−𝟏𝟐𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙

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Ejemplo

Resolver

=𝟏

𝟐

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙−𝟏𝟐+𝟏

−𝟏𝟐+ 𝟏

+ 𝑪

Se efectúan operaciones:

=𝟏

𝟐

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙+𝟏𝟐

+ 𝟏𝟐

+ 𝑪

න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝑪

න𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙=𝟏

𝟐න 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙

−𝟏𝟐𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙

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Ejemplo

Resolver

=𝟏

𝟐

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙−𝟏𝟐+𝟏

−𝟏𝟐+ 𝟏

+ 𝑪

=𝟏

𝟐

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝟏𝟐

𝟏𝟐

+ 𝑪

Simplificando y expresando el exponente fraccionario como raíz:

= 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝑪

න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝑪

න𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙=𝟏

𝟐න 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙

−𝟏𝟐𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙

Raíz cuadrada

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Ejemplo

Resolver

=𝟏

𝟐

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙−𝟏𝟐+𝟏

−𝟏𝟐+ 𝟏

+ 𝑪

=𝟏

𝟐

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝟏𝟐

𝟏𝟐

+ 𝑪

Simplificando y expresando el exponente fraccionario como raíz:

= 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝑪

න𝒗𝒏𝒅𝒗 =𝒗𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝑪

න𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙

𝒙𝟐 − 𝟐𝒙=𝟏

𝟐න 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙

−𝟏𝟐𝟐 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙

Solución

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