INTEGRALES CURVILÍNEAS DE FUNCIONES ESCALARES

(((( )))) (((( ))))∫∫∫∫∫∫∫∫ ========CC

dsz,y,xfIódsy,xfI

Donde C es una curva plana o alabeada cuyas ecuaciones paramétricas son respectivamente:

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))(((( ))))

bta

tzz

tyy

txx

:Cóbtatyy

txx:C ≤≤≤≤≤≤≤≤

============

≤≤≤≤≤≤≤≤

========

Y cuyas ecuaciones vectoriales son respectivamente:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) bta;ktzjtyitxtr:Cóbta;jtyitxtr:C ≤≤≤≤≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====≤≤≤≤≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

Teniendo en cuenta que:

(((( )))) dttrds ′′′′====

Se tiene:

Interpretación geométrica de la integral curvilínea

Sea A el área de la lámina vertical limitada inferiormente por la curva C y

superiormente por la gráfica de C según la función: z = f( x, y)

Se tiene:

(((( ))))∫∫∫∫====C

dsy,xfA

C

z = f ( x, y)

A

x

y

z

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]]

(((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]]∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫

′′′′++++′′′′++++′′′′⋅⋅⋅⋅====′′′′⋅⋅⋅⋅====

========∗∗∗∗

′′′′++++′′′′⋅⋅⋅⋅====′′′′⋅⋅⋅⋅====

========∗∗∗∗

b

a

222b

a

C

b

a

22b

a

C

dttztytxtz,ty,txfdttrtz,ty,txf

dsz,y,xfI

dttytxty,txfdttrty,txf

dsy,xfI

x

y

C

x

y

z

C

ECUACIONES PARAMÉTRICAS

Sea C el segmento rectilíneo comprendido entre el punto (xi, yi) y el (xf, yf):

1t0t)yy(yy

t)xx(xxC

ifi

ifi ≤≤≤≤≤≤≤≤

−−−−++++====

−−−−++++========

Sea C el segmento circular de la circunferencia 222 R)by()ax( =−+− comprendido entre los argumentos α y

β vistos desde el centro de la circunferencia

ββββ≤≤≤≤≤≤≤≤αααα

++++====++++====

==== ttsenRby

tcosRaxC ;

Sea C el segmento elíptico de la elipse 1m

)by(

n

)ax(2

2

2

2

=−+− comprendido entre los argumentos α y β vistos

desde el centro de la elipse

ββββ≤≤≤≤≤≤≤≤αααα

++++====++++====

==== ttsenmby

tcosnaxC ;

Sea C el segmento parabólico de la parábola 2)ax(pby −=− comprendido entre el punto (xi, yi) y el (xf, yf):

fi2 xtx)at(pby

txC ≤≤≤≤≤≤≤≤

−−−−++++====

======== ;

Sea C el arco de la gráfica de la función y = f(x) comprendida entre el punto (xi, yi) y el (xf, yf):

fixtx

)t(fy

txC ≤≤≤≤≤≤≤≤

========

==== ;

(xi, yi)

(xf, yf)

C

ββββ αααα

( a, b)

C

αααα

(a, b)

ββββ

C

(xi, yi)

(xf, yf)

C

(xi, yi)

(xf, yf) y = f(x)

C

• Ejemplo:

Calcula ∫∫∫∫

C

2ds 3z + y- x

Siendo C = C 1 ∪∪∪∪ C2, donde C 1 es el segmento rectilíneo que une el punto O = ( 0 , 0, 0) con el

A = ( 1, 2, 1) y C 2 el que une el punto A con el B = ( 2, 0, 0).

Se parametrizan ambos segmentos de la forma expuesta anteriormente

C1:

x = xO + t ( xA - xO) = 0 + (1 - 0) t = t

y = yO + t ( yA - yO) = 0 + (2 - 0) t = 2t ; 0 ≤ t ≤ 1 1z2y1x =′=′=′⇒

z = zO + t ( zA - zO) = 0 + (1 - 0) t = t

I1 = 6

5...dt 1 + 2 + 1 3t + 2t - tds 3z + y - x

2221

0

2

C

2

1

==

=

∫∫

C2:

x = xA + t ( xB - xA) = 1 + (2 - 1) t = 1 + t

y = yA + t ( yB - yA) = 2 + (0 - 2) t = 2 - 2t ; 0 ≤ t ≤ 1 1z2y1x −=′−=′=′⇒

z = zA + t ( zB - zA) = 1 + (0 - 1) t = 1 – t

I2 =6

17...dt (-1) + (-2) + 1 t)-3(1 + 2t)- (2 - t) + (1ds 3z + y - x

2221

0

2

C

2

2

==

=

∫∫

⇒ I = I1 + I2 = 6

22

O

B

C1

C2

A