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CÁLCULO INTEGRAL

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CÁLCULO INTEGRAL

Gustavo Guerrero Torres

PRIMERA EDICIÓN EBOOKMÉXICO, 2014

GRUPO EDITORIAL PATRIA


Dirección editorial: Javier Enrique CallejasCoordinadora editorial: Estela Delfín RamírezSupervisor de prepensa: Gerardo Briones GonzálezDiseño de portada: Juan Bernardo Rosado SolísFotografías: © Thinkstockphoto

Revisión técnica:Hugo Gustavo González HernándezInstituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey-Campus Puebla

Cálculo integralDerechos reservados:© 2014, Gustavo Guerrero Torres© 2014, Grupo Editorial Patria S.A. de C.V.Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca, Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro núm. 43

ISBN ebook: 978-607-438-901-2

Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Impreso en MéxicoPrinted in México

Primera edición ebook: 2014


v

PRÓLOGO

El cálculo diferencial es una herramienta esencial para todos los que cursan alguna ingeniería. El presente texto tiene como objetivo que el estudiante conozca y aprenda los conceptos fundamentales del cálculo diferencial, a través de problemas clave resueltos, en los cuales se explica con detalle, usando un lenguaje claro y lo más sencillo posible, los pormenores del ejercicio en cuestión. Con este objetivo en mente, se parte de problemas simples que paulatinamente incrementan su nivel de dificultad.

Asimismo, también se realiza un análisis gráfico, con el fin de que los ejercicios sean lo más objetivos que se pueda y restarles, en la medida de lo posible, ese rigor matemático que en ocasiones vuelve complejo y tedioso al cálculo diferencial.

Uno de los propósitos que tiene este libro no es que el alumno recuerde algunos conceptos indispensables de álgebra estudiados con anterioridad en cursos correspondientes, por esta razón se hace un recordatorio de estos en el momento en que se requieren.

El presente trabajo es el resultado de muchos años de experiencia, los cuales han motivado esta inquietud de plasmar lo aprendido, con la finalidad de ayudar al estudiante en el aprendizaje y el empleo del cálculo diferencial como una herramienta fundamental que deberá usar día a día durante sus estudios y el desempeño de su carrera profesional.


vi

Mi agradecimiento a Grupo Editorial Patria por brindarme la oportunidad de ver publicado una parte de todo lo que escrito durante el camino que he recorrido a lo largo de mi práctica docente.

Gustavo Guerrero Torres

AGRADECIMIENTOS


vii

Grupo Editorial Patria©

Unidad 1 Teorema fundamental del cálculo 1

1.1 Notación sumatoria 2

1.2 Suma de Riemann 3

1.3 Primer teorema fundamental del cálculo 5

1.4 Segundo teorema fundamental del cálculo 5

1.5 Teorema de existencia 5

1.6 Teorema del valor medio del cálculo integral 5

Problemas para resolver 7

Unidad 2 Métodos de integración Parte 1 9

2.1 Propiedades lineales de la integración 10

2.2 Integrales inmediatas 10

2.3 Integral por cambio de variable 18

2.5 Integral de funciones exponenciales 24

2.6 Integral de funciones que dan como resultado un logaritmo natural 40

2.7 Integral de funciones trigonométricas 54


CONTENIDO

00_CALCULO_INTEGRAL_CH00.indd 7 2/27/13 11:28:06 AM

viii

Contenido

Unidad 3 Métodos de integración Parte 2 105

3.1 Integral por partes 106

3.2 Integral por fracciones parciales 126

3.3 Integral por sustitución trigonométrica 167

3.4 Integración por fórmula 187


Unidad 4 Aplicaciones de la integral definida 211

4.1 Área bajo la curva 212

4.2 Longitud de curvas planas 232

4.3 Sólidos de revolución 241

4.4 Momentos y centros de masa 260

4.5 Centro de masa de una región plana 262

4.6 Espacio recorrido en el movimiento rectilíneo 270

4.7 Trabajo 272



ObjetivOs

Aprender el concepto del término sumatoria y sus propiedades. Aplicar la suma de Riemann como un método para el cálculo de áreas. Conocer el teorema fundamental del cálculo.

¿Qué sabes?

¿El concepto de sumatoria es la suma de un determinado número de términos o números? ¿La suma de Riemann es la suma de un número finito de rectángulos para calcular el área

de una figura? ¿La integral y la derivada son operaciones contrarias?

UNIDAD 1

Teorema fundamental del cálculo


2

UNIDAD Teorema fundamental del cálculo11.1 Notación sumatoriaLa operación de suma es un operador matemático que permite representar sumas de muchos términos, los cuales pueden ser números naturales, números complejos o, en su caso, objetos matemáticos más compli-cados. Una sumatoria puede tener un número finito de términos o, por el contrario, un número infinito, en cuyo caso se denomina serie infinita. La sumatoria se representa con la letra griega sigma: ∑.

Por ejemplo, la representación para la suma 11 x ii

n

=∑ es la siguiente:

1 1 1 1 1

1 1 2 3x x x x xii

n

n=∑ = + + +…

Sin embargo, la notación sumatoria suele emplearse también para expresiones numéricas, por ejemplo:

1 11

12

13

14

15

137601

5

x ii=∑ = + + + + =

Propiedades de la notación sumatoria❚❚Para dos sucesiones dadas por x1, x2, x3, x4, … y y1, y2, y3, y4,…, para todo número n entero positivo y para cualquier número real c, se cumple lo siguiente:

a) x y x yi ii

n

ii

n

ii

n

+( )= += = =∑ ∑ ∑

1 1 1

b) x y x yi ii

n

ii

n

ii

n

−( )= −= = =∑ ∑ ∑

1 1 1

c) cx c xi

n

ii

n

= =∑ ∑=

1 1

Problema resuelto

Solución

Resolver la siguiente sumatoria:

kkk 2 11

4

+=∑

Primero, se sustituye desde K = 1 hasta K = 4 y luego se realizan las operaciones:

kk

k

k 2 11

2 1 12

2 2 13

2 3 14

2 4 11

4

+=

( )++

( )++

( )++

( )+=∑

22 15063151

4

kk +=

=∑

Problema resuelto

Solución


42 1

2

20

5 xxx +=

∑

Al sustituir los valores para x se tiene:

42 1

4 0

2 0 1

4 1

2 1 1

4 22

20

5 2

2

2

2x

xx +=

( )

( ) ++

( )

( ) ++

(

=∑ ))

( ) ++

( )

( ) ++

( )

( ) ++

( )2

2

2

2

2

2

2

2 2 1

4 3

2 3 1

4 4

2 4 1

4 5

2 55 1

42 1

284 78831 977

2

2

20

5

( ) +

+=

=∑ x

xx


3


Problema resuelto

Solución


32 10

6 nnn +=

∑

32 1

3 02 0 1

3 12 1 1

3 22 20

6 nnn +

=( )( )+

+( )( )+

+( )( )+=

∑ 113 3

2 3 13 4

2 4 13 5

2 5 13 6

2 6+

( )( )+

+( )( )+

+( )( )+

+( )( ))+

+=

=∑

1

32 1

113 62315 0150

6 nnn

Problema resuelto

Solución

Expresar la siguiente suma en notación sumatoria y obtener el resultado de la suma.

3 4 5 6 7+ + + +

La expresión quedaría como

x ix=∑ = + + + + =

3

7

3 4 5 6 7 25

Problema resuelto

Solución


2 3 4 52 2 2 2+ + +


jij

( ) =( ) +( ) +( ) +( ) ==∑ 2

2

52 2 2 2

2 3 4 5 54

1.2 Suma de RiemannLa suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irre-gular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlas para obtener el área total. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se puede obtener un margen de error muy amplio, dependiendo del ancho de la base del rectángulo.

Problema resuelto

Solución


13

24

35

46

57

68

+ + + + +


kkk +

=+

++

++

++

++

++

==∑ 2

11 2

22 2

33 2

44 2

55 2

66 2

4991

6

1140


4

UNIDAD Teorema fundamental del cálculo1Problema resuelto

Solución

Calcular mediante sumas de Riemann el área de la región bordeada por la gráfica de las funciones y x x x= − =− =15 3 32, , y el eje x.La representación gráfica de las funciones en cuestión se muestra en la figura 1.1.

2

1-1-2-3-4 2 3 4-2

4

6

8

10

12

14

16y

x

x = 3

y = 15 – x2

x = –3

Primero, se divide al intervalo −[ ]3 3, en una partición de una unidad ∆x =( )1 , con lo que se obtiene la serie de rectángulos a los cuales se calculará su área, para eso se sustituye el punto medio de la base de cada rectángulo en la función y x= −15 2, luego se realiza una tabla y al final se elabora una gráfica (véase figura 1.2).

xi yi = 15 – x2

±2.5 8.75

±1.5 12.75

±0.5 14.75

8.75 8.75

12.75 12.75

14.75 14.75

2

1-1-2-3-4 2 3 4-2

4

6

8

10

12

14

y

x

Así, el área aproximada total es la sumatoria del área de todos los rectángulos:

Área x yi ii

n

= ⋅=∑∆

1

Figura 1.1

Figura 1.2


5


Es importante resaltar que conforme aumenta el número de rectángulos, el valor del área en el intervalo considerado es cada vez más real.

1.3 Primer teorema fundamental del cálculoSea una función f (x ) integrable en el intervalo a b,[ ], es posible definir F (x ) sobre el mismo intervalo como:

F x f t dta

x

( )= ( )∫

Siempre que f (x ) sea continua en c a b∈( ), , entonces F (x ) es una función derivable en c y F c f c'( )= ( ).De acuerdo con lo anterior, es posible establecer el primer teorema fundamental del cálculo como:

La derivada y la integral de una función son operaciones inversas.

Desde otro punto de vista, sean F (x ) y f (x ) dos funciones definidas sobre el mismo intervalo, entonces F (x ) es la función primitiva de f (x ) si y solo si f (x ) es la derivada de F (x ), aunque también se suele emplear el término antiderivada.

Mientras que la derivada de una función (cuando existe) es única, que no es el caso de la primitiva, pues si F (x ) es una primitiva de f (x ), también lo es F x k( )+ , donde k es cualquier constante real.

1.4 Segundo teorema fundamental del cálculoSi f es continua en a b,[ ], entonces F es la antiderivada de f en el mismo intervalo a b,[ ], con lo cual se cumple la siguiente integral:

f x dx F b F a

a

b

( ) ( ) ( )∫ = −

1.5 Teorema de existenciaEl teorema fundamental del cálculo consiste en la afirmación de que la derivada y la integral son operaciones contrarias. El teorema es fundamental porque el cálculo aproximado de áreas que databa de tiempos de Ar-químedes constituía una rama de las matemáticas que seguía por separado al cálculo diferencial, el cual a la postre desarrollarían Newton y Leibniz en el siglo xviii y que dio lugar a conceptos como el de la derivada.

En aquella época, las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en este punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del área bajo una fun-ción estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, lo que dio como resultado que la integración fuera determinada como la operación inversa a la derivación.

1.6 Teorema del valor medio del cálculo integralSea una función real y f x= ( ), que es continua en el intervalo a b,[ ], entonces es posible afirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dicho intervalo para el cual se cumple:

f x dx f c b aa

b

( ) = ( ) −( )∫

Donde al valor f (c) se le conoce como el valor medio de la función f (x ) en el intervalo a b,[ ]. Cabe aclarar que el punto c puede no ser único en dicho intervalo, debido a que el teorema asegura la existencia de más puntos con la misma propiedad; además, este teorema no indica cómo determinar el valor de c y solo garantiza la existencia de algún número c en el intervalo. Por otro lado, el término valor medio de la función f (x ) no se refiere a una tasa de variación; hablando de integral su concepto es diferente al obtenerse este mediante una integral definida. En este caso, se observa lo siguiente:

Solución (continuación)

Por último, se sustituyen los valores de todos los rectángulos:

Área

Área

= ( )( )+( )( )+( )( )[ ]2 1 8 75 1 12 75 1 14 75. . .

== 72 5 2. u

Cabe mencionar que como se trata de un área, sus unidades corresponden a unidades cuadradas (u2).

Alerta


6

UNIDAD Teorema fundamental del cálculo1 a) El rectángulo está inscrito; esto es, el área es menor que la de la región (véase figura 1.3).

y = f (x)

ma b

y

xFigura 1.3

b) Rectángulo del valor medio; esto es, el área es igual que la de la región (véase figura 1.4).

y = f (x)

f (c)

f (c)

a bc

y

xFigura 1.4

c) El rectángulo está circunscrito; esto es, el área es mayor que la de la región (véase figura 1.5).

y = f (x)

M

a b

y

x

Figura 1.5

El teorema proporciona una interpretación interesante para el caso en que f es una función positiva en el

intervalo a b,[ ], con lo cual la integral f x dxa

b

( )∫ representa el área bajo la gráfica de f en el intervalo de a a b;

por esta razón, el teorema asegura la existencia de un valor c de dicho intervalo al que está asociado f (c) y que corresponde a la altura del rectángulo de longitud de la base b a−( ), además de que su área coincide con la de la región.

y = f (x)

f (c)

f (c)

a bc

y

x

Figura 1.6

El valor de f (c) obtenido con el teorema del valor medio para integrales coincide con el valor promedio de una

función; es por esto que a f cb a

f x dxa

b

( )=−

( )∫1 se le conoce como el valor medio de f en el intervalo a b,[ ].

Área mdx m b aa

b

= = −( )∫

Área f x dxa

b

= ( )∫

Área Mdx M b aa

b

= = −( )∫

Área f x dx f c b aa

b

= ( ) = ( ) −( )∫


7


Problema resuelto

Solución

Calcular el valor promedio de f x x x( )= −2 32 en el intervalo 2 5,[ ].

La gráfica correspondiente a la función es la que se muestra a continuación.

f (x) = 2x2 – 3x30

y

x

20

10

1 2 3 4 5

Figura 1.7

Mediante la integral f c f f x dxprom b aa

b

( )= = ( )− ∫1 , tenemos:

f x x dx x xprom

a

b

=−

−( ) =+−

+∫+ +1

5 22 3 1

32

2 13

1 12

2 1 1 1(( )

= −( ) = ( ) −( )

−

2

5

3 2

2

53 31

323

32

13

23

5 2 3x x22

5 2

13

23

125 8 32

25 4

2 2( ) −( )

= −( )− −( ))

= ( )− ( )

= =

13

23

117 32

21

312

15f prom ..5

Cuya gráfica, queda de la siguiente manera:

Promedio =15.5

15.5

30

y

x

20

10

1 2 3 4 5Figura 1.8

Expresar las siguientes sumas en notación sumatoria y obtener el resultado de la suma.

1.1

1.2

1.3

2 3 4 5

1 2 3 4 5 6

1 12

1

2 2 2 2

3 3 3 3 3 3

+ + +

+ + + + +

+ +33

14

15

16

17

18

22

33

44

55

662 2 2 2 2

+ + + + +

+ + + +1.4

Obtener el valor de las siguientes sumatorias.

1.5

1.6

1.7

1

22

3 2

54 1

0

6

0

4

1

6

i

nn

xx

i

n

x

+=

+=

−=

=

=

=

∑

∑

∑

..8

1.9

12 1

7 43 2

1

6

2

20

5

n n

kk

n

k

−( )=

−+

=

=

=

∑

∑

Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver con tecnología

Problemas para resolver❚❚


8

UNIDAD 1 Problemas para resolver

2

4

6

8

10

12

14

16

1 2 3 4 5 6

Figura 1.9

Problemas aplicados a la realidad Problemas para resolver con tecnología

1.10

1.11

1.12

48 7

54 2

12 1

0

4

1

6

−=

+=

+−

=

=

∑

∑

i

nn

kk

i

n

k==

=

∑

∑

=

+ =

0

5

2

1

7 11.13 xxx

1.14 Calcular la suma de Riemann para f x x x( )= − +2 5 10 en el in-tervalo − ≤ ≤1 6x para una partición de una unidad. La gráfica es la si-guiente.

problemA reto

1

Mediante el concepto de suma de Riemann, considere la región delimitada por la relación

f x x( )= y el eje x en el intervalo [0, 1], calcu-

lar el límite lím f c xn i i

i→∞

=

∞

( )∑ ∆1

, donde es el extre-

mo izquierdo de cada subintervalo dado por

x in

xi i=2

2 y ∆ es la longitud de dicho subinter-

valo.

Figura 1.10

refereNcIAs

Ayres Jr., Frank, (1992) Cálculo diferencial e integral, 3a edición, México: McGraw-Hill.

Leithold, Louis, (1992) El cálculo, 7ª edición, México: Oxford University Press.

Purcell, Edwin J., (2001) Cálculo, México: Pearson Educación.

http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/capitulo4PDF.pd■■ f

http://webspersoais.usc.es/export/sites/default/persoais/rodrigo.lopez/IFUVR5.pd■■ f

DIreccIoNes electróNIcAs

0.2

0.4

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.6

0.8

1

y

x

f (x)= x

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