Integración Por Sustitución Trigonométrica (Página 2) - Monografias
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Ejercicios de Integracion por sustitucion
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Integración por sustitución trigonométrica (página 2)Enviado por Luis Teschi
Partes: 1, 2
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida:
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"Examen Ceneval Resuelto"Tenemos Las Preguntas Y Respuestas Para Todos Los Examenes Cenevales
S o l u c i o n e s
Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:
(Fig.1)
Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:
Integración por sustitución trigonométrica
Las sustituciones que involucran funciones trigonométricas se pueden llevar a cabo en aquellas integrales cuyo integrando contiene una expresión de laforma:
con y
La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que contiene funciones trigonométricas cuyo proceso de integración es mássencillo.
Estudiaremos cada uno de los casos como sigue:
A .       El integrando contiene una función de la forma con
Se hace el cambio de variable escribiendo
donde
Si entonces
Además:
pues y como
entonces por lo que
Luego:
Como entonces
Para este caso, las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:
Ejemplos:
1.
Sea con
Luego:
Sustituyendo:
Como entonces y
Además por lo que
Estos resultados también pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:
Por último:
2.
Sea
Luego
Sustituyendo
Como entonces por lo que puede utilizarse la siguiente figura para dar el resultado final:
Luego:
3.
Sea
Además:
Sustituyendo:
4.
Sea
Luego
Sustituyendo
pues y
También puede utilizarse:
5. Ejercicio para el estudiante
6. Ejercicio para el estudiante
7. Ejercicio para el estudiante
B)Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â El integrando contiene una expresión de la forma con
Hacemos un cambio de variable escribiendo donde y
Si entonces
Además
Como y entonces es positiva
y por tanto
Las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la siguiente figura:
Ejemplos:
1.
Sea
Luego:
Sustituyendo
2.
Sea
Luego:
Sustituyendo
3.
Sea
Luego
Sustituyendo
Como
de la sustitución inicial
Por tanto:
4.
Sea
Luego
Sustituyendo
Como entonces
Por lo que:
se obtiene:
Por último:
5. Ejercicio para el estudiante
6. Ejercicio para el estudiante
c.
El integrando contiene una expresión de la forma con y
En este caso la sustitución adecuada es:
donde
y
Si entonces
Además
de donde
pues y para
Como entonces por lo que
Utilizando el siguiente triángulo puede obtenerse las otras funciones trigonométricas:
Ejemplos:
1.
Sea
Luego
Sustituyendo:
2.
Sea
Luego
Sustituyendo:
3.
Sea
Luego
Sustituyendo:
Como puede utilizarse la siguiente figura para determinar
Por último:
4. Ejercicio para el estudiante
5.
Ejercicio para el estudiante
Otras integrales en las que se utiliza alguna de las sustituciones trigonométricas que hemos estudiado, son aquellas que contienen una expresión de la
forma . En los siguientes ejemplos se ilustra el procedimiento a seguir:
Ejemplos:
1.
Podemos escribir como o sea
Luego es la integral que debemos calcular
Sea
Luego
Sustituyendo:
2.
Se tiene que:
Luego la integral se convierte en:
y se utiliza la sustitución de donde:
Luego:
Sustituyendo:
con o sea
3.
Se tiene que
por lo que , con
sea de donde
Luego y
Sustituyendo
4.
Se tiene que (completando cuadrados)
Luego la integral que se debe determinar es:
Sea
Luego
Sustituyendo
Como entonces y utilizando que
se obtiene finalmente que
con
En cada caso determine el intervalo sobre el cual es válido el resultado.
5. Ejercicio para el estudiante
6. Ejercicio para el estudiante
7. Ejercicio para el estudiante
8. Ejercicio para el estudiante
Autor:
Luis Teschi
Partes: 1, 2
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Miercoles, 30 de Marzo de 2011 a las 20:48 | 0
Mostrando 11 de un total de 1 comentarios. Páginas: 1
Comentariosleimar javier mosquera murilloque buna pagina es lo mejor muchas gracias
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