UNIDAD No. 2 Métodos de integración Integración por sustitución Trigonométrica Alarcon cruz...
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UNIDAD No. 2Métodos de integración
Integración por sustitución
Trigonométrica
Alarcon cruz juan jhosep
INTEGRACIÓN MEDIANTE SUSTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA
• Cuando un integrando contiene potencias enteras de x y potencias enteras de alguna de las expresiones:
, o bienes posible que se puedan evaluar por medio de una sustitución trigonométrica.
22 xa 22 xa 22 ax
CASO 1 Integrandos que contienen
22 xa
22 xa
En este caso utilizaremos la siguiente representación:
A partir de ella, definimos x
a
)(aSenx
CASO 2 Integrandos que contienen
22 xa
22 xa
En este caso utilizaremos la siguiente representación:
A partir de ella, definimos x
a
)(aTanx
CASO 3 Integrandos que contienen
22 ax
22 ax
En este caso utilizaremos la siguiente representación:
A partir de ella, definimos x
a
)(aSecx
PROCESO DE INTEGRACIÓN MEDIANTE SUSTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA
• Para resolver una integral mediante el método de sustitución trigonométrica hay que seguir el siguiente proceso:
1. Proponer la sustitución adecuada.
2. Reemplazar los términos en la integral a partir de la sustitución propuesta.
3. Resolver la integral equivalente obtenida al reemplazar los términos a partir de la sustitución propuesta.
4. Expresar la solución de la integral equivalente en términos de la sustitución original.
EJEMPLO:• Resolver:
Seguiremos paso a paso con el proceso indicado.Como el radical tiene la forma con a = 4, tenemos una integral del CASO 2 y:
1. El cambio indicado es:
Con ello, tenemos la siguiente representación gráfica:
216 xx
dx
22 xa
)(4 Tanx
SOLUCIÓN:
2. Reemplazando los términos en la integral propuesta tenemos:
)(4 Tanx
216 xx
4
22 161616 Tanx
)1(16 2Tan
SecSec 416 2
dSecdx 24
SecTan
dSec
xx
dx
44
4
16
2
2
SOLUCIÓN…
Simplificando:
Esta última representa la integral equivalente.
dCscxx
dx
4
1
16 2
d
Send
CosSen
Cos
xx
dx 1
4
1
/
/1
4
1
16 2
SecTan
dSec
xx
dx
44
4
16
2
2
Tan
dSec
xx
dx
4
1
16 2
SOLUCIÓN…
3. Enseguida procedemos a resolver la integral equivalente. Como:
Entonces:
4. Expresando lo anterior en función de los términos originales, tenemos finalmente que:
cCotuCscuCscudu ln
cCotCscdCscxx
dx
ln4
1
4
1
16 2
cxx
x
xx
dx
416
ln4
1
16 2
PROBLEMAS:
• Resolver:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
dxx
x 2
2
25
dxx
x
29
2/32 )1( x
dx
dxx
x
4
2 9
dxx 21 42x
dx