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IINNTTEEGGRRAALL DDEE UUNNAA FFUUNNCCIIÓÓNN Por: Ing. Mario René De León García.

1. ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN En las unidades anteriores se estudió el concepto de la derivada de una función, así como sus aplicaciones, ahora se introducirá al estudiante a temas de Cálculo Diferencial, suponga la siguiente función:

Cuya grafica es la siguiente:

Para obtener la primera derivada de la función , se aplica el operador

a ambos lados de la igualdad:

Aplicando las reglas correspondientes, se obtiene la derivada de la función:

La derivada de una función es otra función a la que se le llamara en este caso:

Para derivar los términos de la función se aplicó entre otras, la siguiente fórmula de derivación:

x

y

Integral de una función

Preparado por: Ing. Mario René De León García

2

La regla para derivar indica que el exponente pasa a multiplicar, mientras que el exponente en la variable se reduce

en uno. La mayor parte de funciones matemáticas tiene una función inversa, por ejemplo: la función exponencial y el logaritmo; coseno y el coseno inverso; raíz cuadrada y potencia cuadrada; tangente inversa y tangente, entre otras. Dos funciones que son inversas entre sí deben cumplir con:

Esta propiedad indica que la función inversa cancela la acción de la función, regresando al valor inicial, por ejemplo:

. A continuación se estudia el proceso inverso que permite anular las acciones de la derivación para regresar a la función

inicial. La operación que anula las acciones de derivación, se llama “antiderivación” o “integración indefinida”, cuya notac ión es la siguiente:

Regresando al ejemplo inicial, se establecerá el procedimiento para encontrar la función de Antiderivada de , la cual

debería ser . Según lo discutido previamente, se debe cumplir que:

Recuerde la función que es el resultado de la derivada de :

O bien:

Para antiderivar realizamos las acciones contrarias a la de derivación, esto sería: aumentar el exponente en uno y

dividir el término sobre este valor, es decir:

. Si se deriva

se obtiene nuevamente , lo que demuestra que el proceso de

antiderivación explicado es correcto. Siguiendo estas ideas se podría encontrar la Antiderivada de , iniciando por trasladar

al lado derecho de la ecuación de derivada anterior:

Aplicando el operador de integración:

Se obtiene que:

Observe que al final de la función de Antiderivada debe haber un número, ya que la derivada de una constante es cero, por lo que en el proceso de antiderivación o integración se debe considerar que al final hay un cero y su Antiderivada es un valor contante, ¿pero qué valor? Pues no se conoce y solo se sabe que debe ser un valor constante, por esta razón, la Antiderivada más general de es:

Donde es un valor constante que pertenece a los números reales



3

Como es un valor que pertenece a los reales, la Antiderivada no es una función única, es una “familia de funciones”,

una diferente para cada valor de , las cuales pueden representarse por una “familia de graficas”. Todas las graficas tienen la

misma forma pero trasladadas verticalmente, debido a los valores de que distinguen a cada Antiderivada particular.

Para obtener una Antiderivada particular, se debe conocer al menos un par ordenado de la función que se quiere encontrar. Para la función dada inicialmente, se puede utilizar el punto que permitirá encontrar el valor que particulariza la Antiderivada:

Se obtiene:

Por lo tanto, la Antiderivada particular cuya grafica pasa por el punto está dada por:

En este caso se conocía la ecuación de la función estudiada en el ejemplo, así como su grafica. En general cuando se busca la Antiderivada de una función no se conoce su grafica o ecuación, por lo que se obtendrá una función o Antiderivada general. Las siguientes definiciones son útiles en el estudio del Cálculo integral:

ANTIDERIVADA O PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN

1. Definición de Antiderivada o primitiva: es una Antiderivada o Primitiva de en un intervalo , siempre que se cumpla que para todo valor de en el intervalo .

2. Forma de la Antiderivada o primitiva: Si es una Antiderivada o Primitiva de en un intervalo

, entonces la Antiderivada mas general de sobre viene dada por:

Siempre que

La expresión anterior se lee como “Antiderivada o primitiva de con respecto a ”, donde el

diferencial sirve para idetificar a como la variable de integración. Antiderivada e integral indefinida

se utilizan como sinónimos.

x

y



4

Al igual que en la derivada, es necesario conocer reglas o fórmulas que permitan el proceso de integración para obtener la función de Antiderivada. A continuación se presentan aquellas que son las más usuales:

REGLAS GENERALES

1)

3)

2)

4)

REGLAS DE INTEGRACIÓN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

5)

7)

6)

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

8)

14)

9)

15)

10)

16)

11)

17)

12)

13)

LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES

14)

16)

15)

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

17)

19)

18)

2. ECUACIONES DIFERENCIALES Dada la siguiente ecuación:

A este tipo de ecuaciones se les llama “ecuaciones diferenciales” (de primer orden) y se dice que la misma tiene una solución particular o “solución singular” cuando se conoce un punto o condición de la solución. Observe que no es más

que encontrar la Antiderivada de cuya grafica pasa por un punto particular .



5

Las ecuaciones diferenciales son de mucha utilidad en problemas de aplicación, principalmente en fenómenos físicos, como por ejemplo en descomposición radioactiva, electromagnetismo, crecimiento poblacional y otros. Por otra parte, la primera derivada de una función permite calcular la pendiente de la recta tangente a una curva para un valor de , por esta razón la expresión:

Representa los valores de la pendiente de las rectas tangentes a la función , si esta es una solución particular o singular de la

ecuación diferencial. Si no existen condiciones o al menos un punto conocido de , la solución de la ecuación es general y la

misma representa el conjunto de todas las pendientes de todas las soluciones posibles de la ecuación. Este caso puede ser representado por lo que se denomina un “campo de pendientes”. Para el ejercicio que se viene estudiando:

O simplemente:

Al representar esta ecuación mediante un campo de pendientes se obtiene:

El campo de pendientes permite visualizar en forma aproximada, la forma de la grafica de que es solución de la

ecuación, tomando como referencia un punto y siguiendo la trayectoria marcada por las pendientes. Esta grafica consiste en pequeños segmentos de recta que se dibujan en puntos del plano cartesiano y que representan las rectas tangentes a la

curva con pendiente

. Si en lugar de segmentos de recta se utilizan vectores, la grafica se denomina “campo de vectores”,

tal como se muestra en la grafica anterior y que se compara con algunas soluciones particulares de la ecuación.

Para dibujar un campo de vectores con Scientific Notebook, la ecuación diferencial de la forma

, se escribe de

forma vectorial:

Luego se sigue la siguiente ruta:

Compute + Plot 2D + Vector Field

-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-10

-5

5

10

x

y

x

y



6

ÁÁRREEAA BBAAJJOO LLAA CCUURRVVAA YY LLAA IINNTTEEGGRRAALL DDEEFFIINNIIDDAA

1. APROXIMANDO EL ÁREA BAJO LA CURVA Dada la función siguiente:

La grafica de esta función en el intervalo es:

Una de las aplicaciones del Cálculo Integral es calcular el área de la región formada por la curva de una función y el eje de las abscisas, que equivale a decir “el área bajo la curva”. Para entender el tema, se calculará de forma aproximada el área bajo de la curva de la función dada, para esto se dividirá la región en 8 rectángulos de ancho constante y cuya altura coincida con el punto medio del ancho del rectángulo. Observe esto en la siguiente grafica:

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.00

10

20

30

x

y

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.00

10

20

30

x

y



7

En la figura se ilustra el quinto rectángulo cuya altura es igual al valor de la función valuada en el punto medio del ancho del rectángulo. En este caso particular el valor del punto medio es , la altura del rectángulo y su

ancho . El área del rectángulo es solo una parte del área bajo la curva, por lo que se denotara como cuyo valor para

el quinto rectángulo se calcula de la forma siguiente:

Para estimar el área bajo la curva en el intervalo se debe determinar el área de los ocho rectángulos y sumarlas.

El valor obtenido de esta forma es una aproximación del valor del área real, ya que no se tiene seguridad de que las pequeñas regiones fuera de la curva compensen las regiones no tomadas en cuenta dentro de la misma. La siguiente tabla, elaborada en una hoja electrónica, muestra el cálculo de las áreas de los ocho rectángulos, así como el valor aproximado del área bajo la curva:

1 0.25 0.05859375 0.5 0.029296875 2 0.75 1.37109375 0.5 0.685546875 3 1.25 5.37109375 0.5 2.685546875 4 1.75 12.05859375 0.5 6.029296875 5 2.25 19.93359375 0.5 9.966796875 6 2.75 25.99609375 0.5 12.99804688 7 3.25 25.74609375 0.5 12.87304688 8 3.75 13.18359375 0.5 6.591796875

51.859375000

Ahora se buscará mecanizar este procedimiento para cualquier curva sobre el eje de las abscisas y que sea continua en un intervalo . Si se considera que el ancho de todos los rectángulos son iguales, su valor es igual a:

Donde es el número de rectángulos verticales en que se divide la región.

El valor del punto medio para el i – ésimo rectángulo viene dado por:

Estas fórmulas puede comprobarlas con el ejercicio anterior. Otra forma de calcular el área aproximada de la región es utilizando la notación de sumatoria, para lo cual se utiliza la letra griega mayúscula Sigma “ ”. La suma de las áreas de los ocho rectángulos se expresa de la forma siguiente:

Donde representa el área del rectángulo , cuyo valor se hace variar de 1 a 8, según los límites de la sumatoria. Si

, el área se puede expresar de la forma siguiente.

Sustituyendo el valor de indicado previamente se obtiene:



8

Si

, al sustituir en la expresión anterior se tiene:

Al simplificar:

El valor

es un valor constante y se puede sacar de la sumatoria y al sustituir en la función , se obtiene

Utilizando Scientific Notebook para resolver esta sumatoria se obtiene:

El dato obtenido coincide con el calculado previamente en la tabla. La aproximación del área bajo la curva mejora a medida que el número de rectángulos “ ” utilizados sea mayor, pero esto

hace que al mismo tiempo el ancho de los rectángulos “ ” decrezca. Esto se ilustra en las siguientes graficas:

Área aproximada con 20 rectángulos

Área aproximada con 30 rectángulos

Área aproximada con 50 rectángulos Para obtener el valor exacto del área bajo la curva es necesario hacer que , cuando esto sucede el ancho de los

rectángulos es muy cercano a cero, y por lo tanto este ancho se convierte en un diferencial, . Por lo anterior, el

área bajo la curva en forma exacta puede ser expresada de la forma siguiente:

O bien:

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.00

10

20

30

x

y

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.00

10

20

30

x

y

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.00

10

20

30

x

y



9

Esta sumatoria puede ser sustituida por una integral definida, como se indica en el siguiente teorema:

LA INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA DE UNA REGIÓN

Si una función es continúa y positiva (su grafica está por

encima del eje de las abscisas) en un intervalo , entonces, el área

de la región definida por la curva, el eje de las abscisas y las rectas

y viene dada por la siguiente integral definida:

2. CÁLCULO DE ÁREAS MEDIANTE SUMATORIAS

Previamente se estudió la forma de calcular el área bajo la curva de la función en el intervalo . Al usar un procedimiento de sumatorias se estableció que esta área puede calcularse al resolver la siguiente expresión.

El valor de la sumatoria se determinó con Scientific Notebook, pero al utilizar un procedimiento manual se requiere un buen conocimiento de algebra y de fórmulas que permita calcular las sumatorias de una forma sencilla. A continuación se presentan algunas.

REGLAS GENERALES

1)

3)

2)

Para todo valor

4)

Para todo valor

SUMATORIAS ESPECIALES

5)

7)

6)

Para calcular el área bajo la curva de una función con Scientific Notebook, basta con escribir la función, luego se sigue la siguiente ruta desde la barra de menús:

Compute + Calculus + Aproximate integrate . . . El Programa le preguntará que método de cálculo utilizará, para el ejemplo resuelto en este documento se utilizó “Punto Medio”, esto se selecciona en la ventana “Formula”. En la opción “subintervals” se selecciona el número de rectángulos que se desea incluir en la región; luego en la opción “Lower End of Range” se indica el límite inferior de la región, mientras que en “upper End of Range” se indica el límite superior. Luego de presionar el botón “OK” aparecerá la sumatoria que calcula el área con el método indicado; para obtener el valor numérico presione “Evaluate” o “Evaluate numerically”.

x

y

A



10

Además del punto medio existen otros métodos de cálculo, que están basados en el tipo de rectángulos que se colocarán dentro de la región a calcular, los que se muestran en las siguientes ilustraciones:

Rectángulos con vértice izquierdo sobre la curva

Rectángulos con vértice derecho sobre la curva

Rectángulos inscritos en la región. El área es menor al de la región.

Rectángulos circunscritos a la región

El área es mayor al de la región

Regla del Trapecio

Calcula el área utilizando trapecios en lugar de rectángulos, que es equivalente al promedio de los métodos del vértice izquierdo

y derecho.

Regla de Simpson

En lugar de utilizar segmentos de recta, utiliza una parábola para aproximar el área bajo la curva. Para el cálculo se requiere de tres puntos consecutivos dentro de cada intervalo .

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

-10

0

10

20

30

x

y

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

-10

0

10

20

30

x

y

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

-10

0

10

20

30

x

y

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

-10

0

10

20

30

x

y

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

-10

0

10

20

30

x

y

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

-10

0

10

20

30

x

y



11

Para generar estas graficas en Scientific Notebook, se sigue la siguiente ruta desde la barra de menús:

Compute + Calculus + Plot Aproximate integrate Entre a propiedades de la grafica y edite la grafica para observar la región de interés de la forma que guste. Se invita al lector a investigar más sobre estos métodos aproximados para el cálculo del área bajo la curva de una función positiva en un intervalo cerrado.

3. PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS Previamente se definió la integral como el área bajo la curva, por lo que su valor depende del comportamiento de la grafica de la función en un intervalo cerrado, de aquí algunas de las propiedades. 3.1 Si está definida en , entonces:

Razón: esta integral define una línea recta vertical que como consecuencia no

tiene área, solo longitud. 3.2 Si es integrable en el intervalo , entonces se cumple que:

La integral esta deducida para calcular el área bajo la curva de izquierda a derecha, de tal forma que los diferenciales

son positivos en ese sentido, si se invierten los límites de integración, los diferenciales se vuelven negativos. Como el área es una magnitud positiva, se le debe anteponer un signo negativo a la integral para que el valor de área sea el correcto. 3.3 Si es integrable en el intervalo , de tal forma que hay un valor

“ ” que cumple con , entonces:

La integral expresa que si una región se divide en dos sub regiones a partir de , el

área total de la región es igual a la suma de las áreas de las sub regiones. Vea la figura adjunta que ilustra esta propiedad. 3.4 Si es negativa (su grafica está por debajo del eje de las abscisas) e

integrable en el intervalo , el área bajo la curva de la función viene definida por la siguiente integral.

Siendo positivo, al estar la grafica por debajo del eje de las abscisas los

valores de son negativos, en este caso se le antepone a la integral un signo

negativo para obtener el valor correcto de área.

x

y

x

y

xy

A



12

3.5 Si es negativa en el intervalo y positiva en el intervalo

, entonces el área bajo la curva de la función en el intervalo viene dada por:

Razón: El área total de la región es igual a la suma de las áreas de las subregiones que la forman, anteponiéndole a cada integral el signo que le corresponde.

4. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Previamente se menciono la relación inversa que tienen la derivación y la integración, la cual fue estudiada en su tiempo por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, con trabajos separados pero con las mismas ideas. La relación entre el Cálculo diferencial y el Cálculo integral viene enunciada a través del teorema denominado “Teorema fundamental del Cálculo”, entre otras cosas, el teorema establece la forma de calcular áreas e integrales de una forma equivalente al del límite de una sumatoria.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Sea una función continua e integrable en el intervalo , entonces:

1. La integral de una función positiva es otra función , la cual puede ser interpretada como el área

bajo la curva de desde un valor fijo hasta el valor que se le quiera dar a esta variable,

siempre y cuando la función siga siendo positiva e integrable. Esto se expresa a través de:

para

En este caso se cumple que , o bien:

2. Si es una Antiderivada de , de tal forma que , entonces:

RREEGGLLAA DDEE LLAA CCAADDEENNAA PPAARRAA LLAA IINNTTEEGGRRAALL

1. ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA Sea continua y diferenciable en el intervalo , además, una función continúa en el mismo intervalo.

Si en una función compuesta de la forma y si es una antiderivada o primitiva de en ,

entonces:

Esta operación resulta ser la inversa de la regla de la cadena en la derivación.

x

y

Función Externa

Función Interna

Derivada de la función interna



13

Ejemplo: Dada la función.

La derivada de esta función es:

En esta ecuación es la derivada de la potencia cubica, mientras que es la derivada de la función interior.

Al realizar el proceso inverso se tiene:

En el proceso inverso, la función compuesta es , siendo la función externa una potencia cuadrada

de la forma , mientras que la función interna es y su derivada es . Si una antiderivada de es:

Entonces, por definición:

Siendo una antiderivada de la función .

2. CAMBIO DE VARIABLES PARA CÁLCULO DE INTEGRALES Para una integral de la forma:

Puede resolverse de forma sencilla utilizando un cambio de variable, donde:

Al derivar se obtiene:

Donde:

Al sustituir se obtiene:

Siempre y cuando . Resumiendo lo anterior se tiene:

Este procedimiento es útil para encontrar la antiderivada de una función compuesta acompañada de la derivada de la función interna.



14

AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS DDEE LLAA IINNTTEEGGRRAALL..

1. ÁREA BAJO LA CURVA Según lo estudiado en secciones anteriores, el área bajo la curva, definida como el área entre la curva y el eje x en un intervalo , siempre y cuando la función sea positiva en ese intervalo, viene dada por:

Sí la curva de la función aparece parcialmente o totalmente por debajo del eje de las abscisas, deben aplicarse las propiedades la integral vistas previamente. Los rectángulos pueden plantearse horizontalmente, de tal forma que el área de interés a calcular sea el de la región formada entre la curva y el eje de las ordenadas en un intervalo , siempre que la curva sea positiva (es decir, la curva

aparece a la derecha del eje de las ordenadas)

2. ÁREA DE UNA REGIÓN FORMADA ENTRE LAS CURVAS DE DOS O MÁS FUNCIONES En esta sección se extenderán los conceptos del cálculo del área bajo la curva de una función, para calcular el área de una región formada entre dos curvas. Suponga dos funciones y , continuas y diferenciables en el intervalo , de tal forma que todo el

intervalo se cumple que . El área de la región formada entre las dos curvas, se calcula como el área bajo la curva de

la función en menos el área bajo la curva de en el mismo intervalo, vea la siguiente figura.

Área bajo la curva de

Área bajo la curva de



15

El área de la región formada entre las dos curvas se puede calcular como la diferencia de las áreas bajo la curva de las funciones. Esto se muestra en la siguiente figura.

El área entre las curvas se calcula como

En términos de integrales, el área entre dos curvas se calcula como:

O bien:

SECCIÓN DE EJERCICIOS NÚMERO 1 I. Encuentre las funciones de Antiderivada de cada uno de los casos que se indican a continuación, graficando los casos

particulares que se piden. Para la elaboración de la grafica puede utilizar Scientific Notebook o una graficadora.

1. , si la grafica de la Antiderivada cumple con:

a) Pasa por b) Pasa por c) Corta al eje de las ordenadas en d) Un cero de la función es

2.

, si la grafica de la Antiderivada cumple con:

a) Tiene raíz

b)

c) Pasa por

3.

, si la grafica de la Antiderivada cumple con:

a)

b) Pasa por



16

II. Encuentre las soluciones singulares de las siguientes ecuaciones diferenciales, tomando en cuenta la o las condiciones

dadas. Grafique la solución, puede utilizas Scientific Notebook o una graficadora.

1. ; si la solución pasa por el punto .

2. ; si y

3.

; si

y

4.

; si .

SERIE DE EJERCICIOS NÚMERO 2 Calcule el área bajo la curva de las siguientes funciones en los intervalos indicados, planteando la integral definida que calcula el área en cuestión.

a)

b)

c)

d)

SERIE DE EJERCICIOS NÚMERO 3 En esta hoja de trabajo aprenderá a determinar el área de la región formada por dos o más curvas, por lo tanto siga el procedimiento que se da a continuación: 1. Grafique las dos funciones e identifique la región o regiones que se forman por las dos curvas. 2. Calcule los puntos de intercepción entre las curvas e indíquelos en la grafica. 3. Plantee la integral o integrales definidas que permiten determinar el área de la región o regiones formadas por las curvas,

luego calcule el valor del área.

a)

Utilice rectángulos horizontales y verticales.

b)

En el intervalo . Utilice rectángulos verticales.



17

c)

Rectángulos verticales

d)

Utilice rectángulos horizontales

e)

Utilice rectángulos horizontales y verticales

f)

g)

h)

Eje de las abscisas Para

SERIE DE EJERCICIOS NÚMERO 4 Resuelva cada problema según se indica o corresponda. 1. Calcule las siguientes integrales indefinidas:

a) dx)xx( 12 b)

dx)xcos()x(sen 332

c) dx

x

xx

2

42

4

d)

dxxx 24

1

e)

dxe

ex

x

12

4

f)

dx

xsen

xxsen

41

)4cos()4(4

g)

5 21x x dx h)

1 2( ) 1

dxdx

sen x x

i)

j)



18

k)

2. Calcule las siguientes integrales definidas:

a)

6

32 83

dxx

x

b)

0

2 dx)xcos(x

c)

3. Determine el área bajo la curva de la función dada (entre la curva de la función y el eje x) en el intervalo dado:

a) 42 x)x(f para 14 x b) 42 x)x(g para 41 x

4. Encuentre el área de la región (o regiones) comprendida entre las gráficas de las funciones:

& 5. Encontrar el volumen del sólido de revolución formado al girar la región acotada por las curvas:

, el eje x & la recta Alrededor de la recta:

a) y = – 1 b) x = – 2

6. Encontrar el volumen del sólido cuya base circular está acotada por el círculo , con secciones transversales

perpendiculares al eje x en forma de cuadrado. Dibuje la gráfica. 7. Dadas las siguientes curvas:

72 yx & 062 xyy

Encuentre: a) Las ecuaciones estándar de las curvas y calcule los interceptos a los ejes de coordenadas. b) Calcule los puntos que son comunes a las dos curvas. c) Grafique las dos curvas e identifique la región que encierran las mismas. d) Calcule el área encerrada por las dos curvas.

8. Encuentre el área bajo la curva de la función 232)( xxf , en el intervalo 6,1 . Grafique la función.

9. Dadas las siguientes curvas:

1)( xxf ; 1)( xxg & 4x

Entonces: a) Grafique las tres curvas e identifique la región R encerrada por las mismas.

b) Calcule el volumen del sólido de revolución al rotar la región R alrededor del eje 1x

c) Calcule el volumen del sólido de revolución al rotar la región R alrededor del eje 3y



19

10. Dadas las siguientes curvas:

22x y y & 2 4x y y

Encuentre: b) Calcule los puntos que son comunes a las dos curvas. c) Grafique las dos curvas e identifique la región que encierran las mismas. d) Calcule el área encerrada por las dos curvas.

11. Encuentre el volumen del sólido, cuya base S es la región encerrada por la parábola y el eje de las x. Las

secciones transversales perpendiculares al eje de las y son triángulos rectángulos isósceles, con hipotenusa sobre la base S.

12. Un depósito de agua de 8 metros de largo, cuyas secciones transversales tienen forma de triángulo isósceles invertido

(con el vértice hacia abajo) de 3 metros de ancho en la base y 3 metros de altura, se encuentra lleno de agua, cuyo peso específico es 9,800 Newton por metro cúbico (N/mt

3). Calcule:

a) El trabajo necesario al vaciar el tanque y sacar el agua a 2 metros sobre el nivel del tanque. b) Suponga que el tanque contiene agua con una profundidad de 2 metros, se inicia el bombeo para sacar el agua

hasta el nivel de la parte superior del tanque. Si se detiene el bombeo cuando el nivel de agua es de 50 centímetros, ¿cuál es el trabajo realizado?

13. Encuentre el área encerrada por las curvas:

1 xy & 622 xy

14. Un depósito tiene la forma de un cono circular recto invertido, de altura igual a 10 metros y radio de la base de 4 metros.

Se llena con agua hasta alcanzar una altura de 8 metros. Calcule el trabajo requerido que se requiere para vaciar el agua mediante bombeo hasta 4 metros por encima de la parte superior del depósito.

15. Mediante sumatorias, halle el área que está bajo de la curva en el intervalo .

16. La base de un sólido es la región circular dada por la curva y las secciones transversales perpendiculares al

eje x, son cuadradas. Halle el volumen del sólido. 17. Encuentre la derivada de la función:

18. Utilizando sumatorias, encuentre el área bajo la curva de la función en el intervalo .

19. Un tanque tiene la forma que se obtiene al girar la curva

alrededor del eje en el intervalo . Las

dimensiones del tanque vienen dadas en pies. Determine el valor de para que el volumen del tanque sea de

20. Una cadena que pesa 2 lb/pie se utiliza para sacar 40 lb de agua con una cubeta que pesa 4 lb de un pozo de 200 pies de

profundidad. Imagine que en el momento que empieza a levantarse la cubeta un mono de 20 lb se trepa a la cubeta y se baja justo cuando la cubeta está arriba. Halle el trabajo realizado al subir la cubeta por el pozo.

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