ÍÍÍÍ nnnn dddd iiii cccceeee

PRÓLOGO AL LIBRO.................................................................................................................................................. 7

INTRODUCCIÓN....................................................................................................................................................... 11

Capítulo 1. INTRODUCCIÓN A LA IDEA DE DERIVADA Y PREPARACIÓN PARA SU CÁLCULO....................................... 15

Capítulo 2. DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIAL .............................................................................................. 33

Capítulo 3. DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL.......................................................................................... 57

Capítulo 4. DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIAL-EXPONENCIAL........................................................................ 71

Capítulo 5. OPERACIONES CON DERIVADAS.......................................................................................................... 81

Capítulo 6. DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.......................................................................................... 111

Capítulo 7. DERIVACIÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.......................................................................... 155

Capítulo 8. DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS................................................................... 185

Capítulo 9. DERIVADAS SUCESIVAS....................................................................................................................... 209

Capítulo 10. DERIVADAS IMPLÍCITAS...................................................................................................................... 217

Capítulo 11. REGLA DE LA CADENA ....................................................................................................................... 235

Capítulo 12. DERIVADA LOGARÍTMICA................................................................................................................... 257

PPPPrrrr óóóó llll oooo gggg oooo aaaa llll llll iiii bbbbrrrroooo

Cuando conocí, hace algunos años, al profesor José Manuel Casteleiro Villalba, desconocía que ese asiduodeportista, con el que en ese tiempo coincidí regularmente en el local de un céntrico gimnasio madrileño,

fuera catedrático, matemático, escritor, historiador y, algebrista-alcahuete, por divulgador, bienintencionado yapasionado, de sistemas de ecuaciones, inecuaciones, binomios perfectos, logaritmos, porcentajes y demás, para unpúblico de letras, amén de Doctor Ingeniero Industrial, Licenciado en Ciencias Físicas, Director de un Departa-mento de Matemáticas y Catedrático de Aeronaves, entre otros Títulos que jalonan una brillante carrera intelec-tual. Ni que fuese autor de numerosos libros sobre Cálculo Integral, Álgebra, Matemáticas…

Es ésta una ciencia antigua que se inició en la edad del bronce: en Egipto y en Babilonia se resolvían en esetiempo ecuaciones de 1º y 2º grado y otras operaciones matemáticas que permitieron la elaboración de su ini-gualable arquitectura. Una ciencia que fue cultivada y engrandecida por sabios griegos en época helenística y queluego fue semíticamente difundida en la oscura Edad Media europea por sefarditas, merced a la oleada árabe quedurante más de una centuria asoló y fecundó también el decaído occidente romano con sabia nueva importadade Oriente… una ciencia para la que yo, a pesar de esos antecedentes tan antiguos y nobles, confieso que nuncame sentí especialmente atraído o dotado.

Durante años me expliqué esa carencia afectiva hacia las “mates” con algunas razones o sinrazones muy ele-mentales: la primera, porque soy español, nacido en una Nación que, yo pensaba –porque así lo escuchaba–,poseía escasa tradición matemática, ya que desconocía que no siempre había sido así. Y la segunda el haber tenidounos profesores de ”mates” con poca paciencia o habilidad para enseñarme la bondad de esa asignatura , tanto enel Liceo Francés, donde inicié mis estudios, como en los otros centros donde cursé posteriormente el Bachillerato.Un bachillerato de ciencias, elegido solamente porque el de letras me hubiera impedido estudiar Medicina. Unavez superado el Preuniversitario decidí alejarme del todo y la olvidé por completo.

Con motivo de ese regalo recordé que, a pesar de mi ignorancia matemática, yo mismo soy algebrista, (com-ponedor de huesos quebrados y zafados –como el traumatólogo pueblerino que por ventura hallaron Don Qui-jote y Sancho tras su monumental manteo–) porque desde la Baja Edad Media, cuando se latinizó “Al-Yabr” dellibro árabe Al-yab wa´l muqabalah, en álgebra; con el mismo nombre: recomponer, se conocía , tanto a matemá-ticos como su autor Al-Jwarizmi, que trabajaron la “Ciencia de la reducción y del equilibrio”, como a los modes-tos barberos locales que, como pretendo hacer yo, “restituían a su lugar los huesos dislocados”. Reducción y equi-librio, la misma pretensión que movía a los matemáticos.

Derivar es fácil8

Y repasé la historia de los brillantes médicos, astrónomos, matemáticos, alquimistas, filósofos… de nuestrahistoria: Averroes, Cadí de Sevilla en el siglo XII, un brillante médico, filósofo y matemático. El Rabí de Tudela,Ibn Ezra, El Sabio, poeta, filósofo, astrónomo, gramático, matemático… el hebreo del siglo XII Maimónides,médico, teólogo, rabino. El persa del siglo XI Avicena, también médico, matemático, filósofo, músico, astrónomo,místico…Albucasis, un cirujano cordobés del Califato, especialista en fracturas y luxaciones… el estadista Ibn Jal-dún. Hasta llegar a tiempos más recientes con el liberal granadino, José Mariano Vallejo que, en 1808, publicóMemoria sobre las curvas (un estudio sobre la trayectoria de las granadas que lanzaban sobre Cádiz los francesesdel Cerco, y con las que se hacían las gaditanas sus famosos tirabuzones, según la vieja copla) y que después, exi-liado en París durante la “Década Ominosa”, subsistió escribiendo manuales de divulgación matemática. O con elnavarro Zoël García de Galdeano, maestro del eminente riojano Rey Pastor, un viajero por el mundo queimplantó la ciencia matemática en España durante el siglo XX y cuyo nombre bautiza hasta un cráter de la Luna,o el ingeniero y matemático Leonardo Torres Quevedo, de joven defensor de Bilbao en su cerco durante la terceraguerra carlista, y posteriormente inventor de aeronaves y máquinas analógicas de cálculo…

Hoy no sucede lo mismo porque en la práctica, un médico o cirujano, o un abogado, pueden llegar a ser “exce-lentes” profesionales sin saber matemáticas, ni física, ni astronomía, ni historia, ni filosofía, ni nada de nada,excepto Medicina o Derecho, ya que nuestra profesión –súper especializada– está hoy más alejada de las huma-nidades y de las ciencias exactas de lo que estuvo en tiempos no muy lejanos, los del dr. Marañón, por ejemplo.Hemos avanzado mucho desde los tiempos del chamanismo, de los sacerdotes sanadores, de los conjuros y de lacreencia en el castigo divino como fuente de la enfermedad. Hipócrates nos inició en la razón y en la ciencia, perotambién hemos perdido conocimientos que un día (cuando sabíamos menos) fueron básicos para conseguirnuestro propósito de aliviar el dolor, y nos defendemos, cuando no conseguimos nuestro propósito, explicando alos pacientes que la medicina es todavía una ciencia inexacta.

Pues bien, hoy día el avance, el desarrollo de la medicina en múltiples campos requiere, cada vez más, al menosde una formación matemática más cuidada, no en balde desde los años sesenta del siglo pasado se incorporó enEspaña, en 1º año de la carrera, un selectivo en el que abunda la estadística, la física. Los cálculos de gradientesdel flujo de la sangre a través de las válvulas, la ecografía, los análisis estadísticos, los cálculos de resistencia demateriales…la histología y otras materias no se pueden entender bien sin conocimientos matemáticos.

Bien aleccionado por la afirmación entusiasta del profesor Casteleiro Villalba sobre que “no existen materiasdifíciles sino mal explicadas” y convencido desde antiguo de que el “éxito en el estudio de una materia es una fun-ción del tiempo empleado en ella” y desde luego en la idea de que “yo no sirvo para las matemáticas” he empren-dido la tarea de superar mis propios límites con la lectura detenida de su Manual de Matemáticas que espero com-pletar con el siguiente:

La derivada es fácil 9

Deseo que su lectura nos acerque algo a la gente de letras o de ciencias que, como yo, desconocemos el álge-bra, esa parte de la matemática que estudia las estructuras, relaciones y cantidades, y nos oriente un poco por elcampo de la geometría y los senderos del análisis matemático. Con la finalidad de que nuestra ciencia sea cada vezmás exacta.

Majadahonda, 21 de febrero de 2009

José Ignacio CIMARRA DÍAZ

Consultor Senior de Traumatología y OrtopediaHospital Ramón y Cajal.Profesor de Patología Quirúrgica,Universidad de Alcalá de Henares

.

IIIInnnn tttt rrrroooo dddd uuuu cccccccc iiii óóóó nnnn

DE LOS PROBLEMAS CON LAS MATEMÁTICAS

Aun determinado nivel no existen materias difíciles, sino materias o mal explicadas o explicadas de formacompleja. Un ejemplo de esto lo tenemos en el desarrollo del cálculo diferencial, de la teoría de la relatividad,

el cálculo integral, o de cualquier otra teoría física o matemática desarrollada en los siglos XVII, XVIII y XIX. Por ejem-plo, respecto al cálculo, integral, sólo los muy avezados de la época eran capaces de entender lo que, genios de lacategoría de Leibniz, Gauss o Newton y otros, se hallaban desarrollando. Hoy en día se podría decir que cualquierestudiante de bachillerato es muy capaz de entender estos conceptos. Esto debería bastar a cualquiera que pretendaobtener resultados en una materia científica. Otra cosa bien distinta, son aquellas personas que nacen con unacapacidad excepcional, estos son los llamados superdotados, y en un plano superior, los genios.

Por otra parte, hay que recordar a toda persona que se interese por el aprendizaje de las matemáticas, que esimprescindible utilizar no sólo la comprensión y el análisis, sino también, y en gran cantidad, la memoria deduc-tiva. Casi con toda seguridad se puede decir, que gran parte de los fracasos en esta materia se deben a que no sehan aprendido de memoria los conceptos básicos de las matemáticas. Siempre he oído decir: de esto no meacuerdo, observando que cuando se lo recuerdas debidamente entiende lo que estas tratando de explicarle. Muchagente estudia concienzudamente un día antes del examen y se enfrenta a él con la memoria temporal o de tra-bajo, es decir, la que sirve para mantener una conversación y no sabe que estos conocimientos se quedan alma-cenados por poco tiempo. En general, para poder recordar una fórmula o un proceso deductivo, es necesariorepetirlo muchas veces, es decir estudiarlo. Para ello disponemos de una ayuda inestimable que no poseen otrasdisciplinas y que permiten almacenar estos conceptos de forma permanente. Estos son los problemas, que sirvenpara entender mejor la teoría y para ayudarnos a pensar, por tanto es preciso insistir en la necesidad de volver ahacer varias veces los mismos problemas, sobre todo los más complicados y comprobarlos una y otra vez.

DEL LIBRO

Este no es un libro de grandes teorías, ni siquiera un libro completo que incluya todos los teoremas relativosal tema, sino simplemente un libro para aprender a manejar con cierta soltura las derivadas, de forma que cons-tituya un MÉTODO DIDÁCTICO para enseñar a derivar de forma fácil y sistemática. Además es un LIBROSECUENCIAL, por tanto conviene no avanzar excesivamente si no se tienen bien cimentado los conocimientos

Derivar es fácil12

anteriores. Este es, por tanto, un libro que sólo pretende un objetivo: ENSEÑAR A DERIVAR y de paso a OPE-RAR, para ello se ha insistido en las simplificaciones, que han sido realizadas con todo lujo de detalles, es decir,paso a paso, pero eso sí, es necesario recordar que lo importante es la derivada no la simplificación que en muchoscasos es más difícil, por otra parte dichas simplificaciones pueden ser realizadas con menos pasos de los utiliza-dos o incluso de forma diferente.

Todas las derivadas se realizan de igual forma, en base a tres patrones, en función de su estructura, esto es,derivada de la FUNCIÓN POTENCIAL, derivada de la FUNCIÓN EXPONENCIAL y derivada de la FUNCIÓNPOTENCIAL-EXPONENCIAL, que al fin y al cabo en la práctica, es la suma de las dos anteriores

Además es un LIBRO AUTODIDÁCTICO, de manera que lo que pretende es facilitar el estudio de los diver-sos tipos de derivadas que aborda, de forma que no se necesite ayuda alguna para su comprensión, por lo se hautilizado la literatura más sencilla posible, aunque en ocasiones resulte prolija, pero se ha seguido el consejo delgenial físico teórico L.Boltzman que dijo: “Cuando se hace ciencia, la elegancia se dejará para sastres y zapateros”.En este sentido, se ha realizado un esfuerzo considerable para explicar las cosas de una forma lo más clara posi-ble. Este es el hilo conductor que ha servido de guía en la exposición de las teorías básicas de las matemáticas, por-que si a la dificultad intrínseca de las ideas en las que se basan las matemáticas, se le añade, además, el idiomaestructurado que le es propio, se le está añadiendo una dificultad más, es decir, que es necesario una traduccióna nivel de ideas lo que en términos rigurosos se haya perfectamente estructurado, pero que para una personaque se inicia en estos estudios le resulta a veces de una gran complejidad entender y en ocasiones le incita a dejaresta materia en aras al estudio de materias mas comprensibles, trastocando su vocación inicial de ser economista,ingeniero o científico, por otra carrera, cuando en realidad lo único que ocurre es que su escasa preparación enmatemáticas básicas le hace concluir que no está capacitado para estos campos del saber. En algunos casos, muypocos, esto es así, por desgracia, pero en la mayoría es simplemente una cuestión de dedicarle las horas necesariaspara que el panorama cambie radicalmente, cosa que he comprobado en multitud de ocasiones en alumnos quese autocalificaban de “poco aptos para la matemática” y que acababan aprobando con cierta holgura y enmuchos casos, llegaban a la máxima calificación.

Algunos problemas han sido resueltos de varias maneras, es decir, además de la resolución correspondiente altipo de derivada de que se trate, se han resuelto mediante la regla de la cadena y el método de la derivada loga-rítmica.

Al principio, los problemas elegidos parecen casi los mismos, pero tienen alguna diferencia, es decir, que estossiguen un ORDEN CRECIENTE DE DIFICULTAD. Por otra parte se ha utilizado repetidamente la raíz cuadradaen vez de raíces con índices mayores que solo aumentarían la complejidad de las simplificaciones.

La derivada es fácil 13

Además, siempre existen varias formas diferentes de operar y de simplificar una expresión o una ecuación,por lo que en ocasiones se realiza un determinado cálculo de varias formas distintas.

Es necesario advertir que, por lo general, es preciso realizar una PREPARACIÓN previa de las expresionesmatemáticas, de forma que si se transforman las RAÍCES EN POTENCIAS y se ELEVAN LOS DENOMINA-DORES A LOS NUMERADORES MEDIANTE EXPONENTES NEGATIVOS, las derivadas resultan más fácilesde hallar.

Por último quisiera agradecer a las siguientes personas su apoyo, ayuda y comprensión: Simón Reyes Martí-nez Córdova (Director General de ESIC) y a Francisco Javier Larrea Pascual (Secretario General de ESIC), a losque dedico este libro, así como a la Escuela Superior de Gestión Comercial y Marketing y a su gran editorial porhaber hecho posible la edición de este libro. Por otra parte quisiera agradecer a la profesora Teresa Freire, su ayudaen la corrección literaria del manuscrito.

José Manuel CASTELEIRO VILLALBA

Capítulo 1

IIIInnnn tttt rrrroooo dddd uuuu cccccccc iiii óóóó nnnn aaaa llll aaaa iiii ddddeeee aaaa ddddeeee ddddeeee rrrr iiii vvvv aaaa dddd aaaa yyyy pppp rrrreeee pppp aaaa rrrr aaaa cccc iiii óóóó nnnnpppp aaaa rrrr aaaa ssssuuuu cccc áááá llll cccc uuuu llll oooo

1.0 INTRODUCCIÓN

El concepto de derivada de una función es de crucial importancia en matemáticas y da lugar al llamado CálculoDiferencial. Este nació del estudio de problemas como el de hallar los máximos y mínimos en funciones rea-

les, el estudio de la velocidad y la aceleración de un móvil, el cálculo de la tangente a una curva cualquiera en unpunto o el cálculo de áreas. La derivación, en síntesis, viene a significar lo rápido que varía una determinada can-tidad cuando se incrementa un poco la función de la que procede.

1.1 FORMA PRÁCTICA DE ABORDAR LA DERIVACIÓN

El estudio que vamos a realizar será eminentemente práctico, poniendo especial atención en la operatoriabásica aprendida en el libro “NANUAL DE MATEMÁTICAS PARA GENTE DE LETRAS” de la misma editorial.Esto es esencial para la correcta comprensión de la operatoria de los problemas, por lo que se recomienda repa-sar los conceptos de POTENCIACIÓN y RADICACIÓN de los capítulos 3 y 4 del citado manual.

No es necesario saber ni la definición de derivadas, ni su demostración, para saber utilizarlas como “herra-mienta practica”. Todos estos conceptos se hallan perfectamente explicados en el libro “INTRODUCCIÓN ALANÁLISIS MATEMÁTICO I ” de la misma editorial. No obstante, en el siguiente apartado se dará una ligera ideade la derivada en relación con la tangente a una curva en un punto, pero es preciso señalar que si no se entiendedel todo, no importa, se continua el estudio a través de los problemas, recordando que lo importante, en princi-pio, es conseguir una cierta destreza en el manejo de la técnica de la derivación.

1.2 RECTA TANGENTE A UNA CURVA

Lo que vamos a tratar de hacer, como ya hemos apuntado, es explicar el concepto de derivada a través de unode los problemas que dio origen al cálculo diferencial. Este es el de hallar la tangente a una curva en un punto

definido. Supongamos que dibujamos la gráfica de una función cualquiera, como por ejemplo y = f (x), y sequiere hallar la tangente en un punto cualquiera (A), como se muestra en la siguiente figura:

Como para dibujar una recta basta conocer un punto y el ángulo que forma con la horizontal, bastará pueshallar dicho ángulo, que es la derivada, para dibujar la tangente de forma fácil.

Por otra parte se podría hallar de la misma forma la tangente a otro punto, como el (B), sin más que derivarla función y sustituir la coordenada (x) del citado punto. En el ejemplo 12 de la NOTA 5 del siguiente capítulo,realizaremos un cálculo de la tangente a una curva en un punto definido.

1.3 PLANTEAMIENTO GENERAL DEL ESTUDIO DE LAS DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLES REALES

Didácticamente el proceso de derivación lo realizaremos en los tres pasos siguientes:

Derivar es fácil16

y

y2

y1

0

a

x + a x

y = f (x)B

Tangente a la curva en el punto A

A

x1

n

Tangente a la curva en el punto B

1) Preparación

2) Derivación

3) Simplificación

El primer paso, en derivadas sencillas, no será necesario. A veces la simplificación es la más engorrosa de lastres operaciones antes apuntadas.

1.4 CLASIFICACIÓN DE LAS DERIVADAS

Las funciones a derivar, en principio, siempre tendrán la forma:

y = AB

donde, tanto (A) como (B), pueden ser funciones potenciales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, etc.Para un estudio sistemático empezaremos por definir, de forma práctica, las citadas funciones:

Función potencial es la que tiene la forma:

y = uB

donde la (x) esta en la base (u) y (B) es una constante. Un ejemplo sería: y = x3

Función exponencial es la que tiene la forma:

y = Au

donde la (x) esta en el exponente (u) y (A) es una constante. Un ejemplo sería: y = 3x

Función potencial-exponencial es la que tiene la forma:

y = uv

donde la (x) esta en la base (u) y en el exponente (v). Un ejemplo sería: y = (3x)3x

De esta forma solo tendremos que preguntarnos DONDE SE HALLA LA VARIABLE (X) para clasificar fácil-mente la derivada.

Introducción a la idea de derivada y preparación para su cálcul0 17

Es evidente que el exponente (B) puede ser a su vez una función potencial exponencial o potencial - expo-nencial, como por ejemplo y = x(3x)xx

, pero para estas derivadas recurriremos a métodos de cálculo específicos,como pueden ser la DERIVADA LOGARÍTMICA y la REGLA DE LA CADENA, estudiadas ambas en los capítu-los 11 y 12 de este libro.

De acuerdo con todo esto, estudiaremos las derivadas por el siguiente orden:

1) Derivada de la función potencial

2) Derivada de la función exponencial

3) Derivada de la función potencial- exponencial

A continuación, estudiaremos las OPERACIONES CON DERIVADAS. Estas son:

4) Derivada de la suma o diferencia de funciones

5) Derivada del producto de funciones

6) Derivada del cociente de funciones

Una vez conocidas las anteriores derivadas, continuaremos estudiando las siguientes derivadas:

7) Derivada de la función logarítmica

8) Derivada de las funciones trigonométricas

9) Derivada de las funciones circulares

Y cada una de ellas se tratará como función potencial, como función exponencial o como función potencial-exponencial.

1.5 PREPARACIÓN DE LAS FUNCIONES ANTES DE DERIVAR

Como se indicó en la introducción, para que el proceso de hallar la derivada de una función sea lo más fácil ycómodo posible, es esencial PREPARAR ésta antes de derivarla, según las dos siguientes reglas:

Derivar es fácil18

1.5.1 PRIMERA REGLA

Los denominadores de las funciones se transformarán en numeradores, simplemente cambiado el signo desu exponente, es decir:

También se puede realizar la operación inversa, esto es:

1.5.2 SEGUNDA REGLA

La raíz de cualquier función (u) se transformará en potencia, sabiendo que el índice de la raíz (D) es el deno-minador del exponente, es decir:

Hagamos unos ejemplos sencillos para demostrar la necesidad de preparar las funciones antes de ser deriva-das. En los ejemplos que se realizan a continuación, no es necesario saber como se han obtenido las derivadas,simplemente se observaran las soluciones correspondientes a las dos formas de derivar, una sin preparar la fun-ción y otra con la preparación adecuada, de forma que se podrá comprobar la gran diferencia entre ellas.

Ejemplo 1

Supongamos que se quiere derivar la siguiente expresión:

y

x x

x= +3 2

5

5

3

u = uNDN

D

u =1

ua

-a

1

u= u

a-a

Introducción a la idea de derivada y preparación para su cálcul0 19

(1)

(1)

(2)

1.ª forma

Cualquier persona que sepa derivar, sabrá que consultando una tabla de derivadas se podrá escribir:

La simplificación, que es larga y complicada y no la vamos a abordar en este momento.

2.ª forma

De esta segunda forma lo que se hará es aplicar las fórmulas (1), de manera que al subir al numerador el tér-mino (x3), con su correspondiente signo negativo, se obtendrá:

Nótese que el (5) del denominador se deja donde está, es decir, que por regla general, los números o constan-tes de los denominadores no se suben al numerador.

A continuación, operando el binomio, quedará:

Ya solo resta sumar o restar los exponentes de las variables (x), obteniéndose:

de donde:

y x x= + −3

5

2

52 2

y x x x x= +[ ] = +[ ]− − −15

3 215

3 25 3 1 3 2 2

y

x x

x

x x x= + =

+( ) −3 2

5

3 2

5

5

3

5 3

′ =+( )( )− +( )( )

[ ]y

x x x x x

x

15 2 5 3 2 15

5

4 3 5 2

32

Derivar es fácil20

y x x x x x xx= +( ) = +[ ]− − −1

53 2

1

53 25 3 5 3 3

La función se halla preparada para su derivación, es decir:

De esta segunda forma, aunque no se sepa derivar, se apreciará que la derivada, además de más fácil, ha resul-tado simplificada.

Hagamos otro ejemplo un poco más complicado para dejar claro, que es preciso preparar la función antes dederivar.

Ejemplo 2

Supongamos que se quiere derivar la siguiente expresión:

1.ª forma

Cualquier persona que sepa derivadas sabrá que consultando una tabla de derivadas, al igual que se hizo en elproblema anterior, podrá escribir:

La simplificación que es larga y complicada, como en el anterior ejemplo, tampoco la vamos a abordar en estemomento.

′ =

+( )

− +

y

x

x x

x x xx

x

x

35

2

2

3 2

5 3 215

2 5

5

4

5 23

3 5 32

3

32

yx x

x= +3 2

5

5 3

3

′ = − −y x x

6

5

4

53

Introducción a la idea de derivada y preparación para su cálcul0 21

2.ª forma

En primer lugar, lo que se hará es aplicar la formula (2) para transformar las raíces en potencias, esto es:

A continuación, aplicando la formula (1) se subirá al numerador el término , con su correspondientesigno negativo, obteniéndose:

Los números (5) y (2) se podrán reescribir con sus correspondientes raíces, puesto que su derivada en nula,como tendremos ocasión de comprobar más adelante.

Multiplicando el binomio, quedará:

A continuación sumando los exponentes de las variables (x), obtendremos:

La función se halla preparada para su derivación, esta será:

′ = −

−y x

1

53

7

623

1

6

y x x x x= +

= +

− − −1

53 2

1

53 2

5

2

3

2 31

3

3

2 37

6

y x x x x x x= +

= +

− −1

5

3 21

53 2

1

2

5

2

1

3

1

3

3

2

5

2 31

3

3

2

yx x

x

x x

x

=+( )

( )= +3 2

5

3 2

5

5

21

3

31

2

5

2

1

3

1

3

1

2

3

2

Derivar es fácil22

y x x x x x x x= +

= +

− − −1

53 2

1

53 2

5

2 31

3

3

2

5

2

3

2 31

3

3

2

x3

2

Volviéndose a comparar ambas formas de derivación, se apreciará que esta segunda forma es claramente másfácil que la primera.

NOTA 1

Como norma general, cuanto más complicado es el enunciado de la función a derivar, más necesario se haceprepararla.

NOTA 2

Insistimos en la necesidad de recordar o estudiar previamente las operaciones de RADICACIÓN y POTEN-CIACIÓN.

NOTA 3

Por otra parte, también es necesario recordar que para subir al numerador un denominador constituido porun binomio o un polinomio, este se deberá subir entero. Veamos con un par de ejemplos como se realizará la pre-paración.

Ejemplo 3

Preparar la siguiente función:

Subiendo todo al numerador, quedará:

y x x= +[ ] −

3 521

y

x x=

+1

3 52

Introducción a la idea de derivada y preparación para su cálcul0 23

Seria un error realizarlo de la siguiente forma:

Ejemplo 4

Preparar la siguiente función:

Transformando la raíz en potencia y subiéndola al numerador, quedará:

1.6 PROBLEMAS RESUELTOS

Realizar la preparación de las siguientes expresiones, transformando las raíces en potencias y, cuando sea pre-ciso, subir los denominadores a los correspondientes numeradores:

Problema nº 1

17

7

xx= −

y

x x

x x=

+[ ]= +[ ] −1

3 5

3 52

5

3

25

3

y

x x

=+[ ]

1

3 525

3

y x x= +− −1

3

1

52 1

Derivar es fácil24

Problema nº 2

Problema nº 3

Problema nº 4

Problema nº 5

Solución:

1.ª Forma

2.ª Forma

3

5 5

3

55

2 3

2 3

( )( )

xx

x

x

−− −

+= +

3

5 52 3( )x x− +

1

3 33 3 1

x

x

+= + −( )

1

xx

x

x= −

1

33

x

x= −

Introducción a la idea de derivada y preparación para su cálcul0 25

3

5 5

3

51

5

3

51 5

3

51 52 3

2

32

2

3 2 3

2 3

( ) ( )

( )

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

− +=

+

=+

=+

=

=+

= + −3

5 1 5

3

51 5

2 3

2 3

6 2 3( )

( )( )

x

xx x

x

x

x x

Para derivar es mejor la primera forma, puesto que la segunda dar lugar a un producto.

Problema nº 6

Solución:

1.ª Forma

2.ª Forma

Para derivar es mejor la primera forma, puesto que la segunda dar lugar a un producto.

=

+= +

++ −3

5 3 2

3

53 2

3

2 1 3

3 2 1 3x

xx x

x

x

( )( )

3

53 2

3

5 32

3

53 2

2

3

2

3 2 3

3x x

xx

x x

xx

x

x

−+

=

+

=+

=( )

3

53 2

3

5 3 2

3

53 2

2

3 2 1 3

2 1 3

x x

x xx x

x

x

x

−

−− −

+

=+

= +( )

( )

3

53 22

3

x xx−+

Derivar es fácil26

Problema nº 7

Problema nº 8

Problema nº 9

Problema nº 10

Problema nº 11

1

3

1

3

373 7

3

7

3 1

xx

x+

=

+

= + −( )

1 173 7

3

7

3

xx

x= =−

x x737

3=

1 11

2

1

2

xx

x= =−

x x=1

2

Introducción a la idea de derivada y preparación para su cálcul0 27

Problema nº 12

Problema nº 13

Problema nº 14

Problema nº 15

Problema nº 16

1

3 33 3 1

x

x

+= + −( )

1

3

1

3

33

3

3

x x

x

= =−

3 33 3xx

=

1

3

1

3

37 73

77

3

77

3

( )( )

( )x

x

x+

=

+

= +−

1

3

1

3

37

71

2

71

2

x x

x+

=+

= +−

( )

( )

Derivar es fácil28

Problema nº 17

Problema nº 18

Problema nº 19

Problema nº 20

Problema nº 21

x x

x

5 33

4

x

xx x− = −4

3

4

3

2 1

2 2

1

3

1

3

373 7

3

7

3

( )( )

( )x

x

xx

x

x

+=

+

= +−

1

33 1

xx

x

x

+= + −( )

1 13

3

3

xx

xx x

x

= =−

Introducción a la idea de derivada y preparación para su cálcul0 29

Solución:

Problema nº 22

Solución:

Problema nº 23

Este problema también será resuelto en el problema nº 4 del capítulo 5, parágrafo (5.1.1).

x x

x x

− −+2 3

3

x x

x

x x

xx x x x x x x x

−

−

−

−

− − − + +( )

=( )

= ( ) = = =

1 31

2

1

2

2

1

2 31

2

1

2

2

1

2 31

4 21

2

3

4 21

2

3

42

9

4

x x

x

−

−

1 3

2

x x

x

x x

x

x x

x

x x

xx x x x x

5 31

2

1

3

4

2

51

3 31

2

1

3

2

5

3 31

6

2

5

3

3

6

2

5

3

3

6 25

3

1

22

1

6

[ ]

=[ ]

=[ ]

= = = =

−+ −

Derivar es fácil30

Solución:

Introducción a la idea de derivada y preparación para su cálcul0 31

x x

xx

x x

x x

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x

x x x− − − − − −

+

− −

+

− −

+

− − − −− −

−+

= + = + = + = + = + = + = + =2 3

1

2

1

3

2 3

1

3

1

6

2 3

1

3

1

6

2 3

2

6

1

6

2 3

2 1

6

2 3

3

6

2 3

1

2

2 31

2( )

= + = + = +−−

−− − − − − − −

x x x x x x x x21

2 31

22

1

23

1

2

5

2

7

2