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P e a r s o n E d u c a c i ó n

2014

Aplicaciones de las Derivadas

NOMBRE Soterano Yeffersson

Novena edición

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Tabla de contenido Derivada de Orden Superior .................................................................................................................................................. 1

Derivación de funciones implícitas ..................................................................................................................................... 2

Pasos para clasificar puntos críticos de acuerdo al criterio de la primera derivada ..................................................... 3

Concavidad y criterio de la derivada .................................................................................................................................... 4

Chistes de matemática ........................................................................................................................................................ 5

Razón de Cambio ............................................................................................................................................................ 6

Ejemplos .............................................................................................................................................................................. 8

Curiosidades .................................................................................................................................................................. 11

Aplicaciones de las Derivadas

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Al derivar una función real de variable real continua, se obtiene como resultado una nueva función, la

cual se puede derivar nuevamente. A la derivada de la derivada de una función se le llama segunda derivada y

a las derivadas obtenidas a partir de la segunda, se llaman derivadas de orden superior o derivadas sucesivas,

siendo la primera derivada la ordinaria.

1) Obtenga la tercera derivada de la función

( )

La primera derivada de la función es:

( )

La segunda derivada

( )

La tercera derivada

( )

*Los extremos absolutos se denominan también extremos globales.

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Una función real de variable real es implícita cuando en su regla de correspondencia ninguna variable

está despejada en términos de la otra. La derivada de una función implícita se puede determinar con

respecto a la variable independiente x o con respecto a la variable dependiente y mediante el proceso

denominado derivación implícita. Al derivar funciones implícitas, es común aplicar la regla de la cadena.

1) Mediante derivación implícita, obtenga la derivada con respecto a x de la función

Derivando con respecto a x

( ) ( ) ( )

Aquí se debe tener en cuenta que para derivar los términos y se debe aplicar el teorema de

la derivada de un producto.

Calculando las derivadas y representando por y ´ la derivada de y con respecto a x.

( )

Reordenando y como se desea obtener el valor de y´, los términos que contiene a y´ se agrupan en el primer

miembro, factorizando los términos

( )

Despejando y’, se tiene la derivada de la función con respecto a x.

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5

Concavidad y criterio de la derivada.

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2 + 2 = ?

Ingeniero3.9968743 Físico: 4.000000004 ± 0.00000006

Matemático: Espere, solo unos minutos más, ya he probado que la solución existe y

es única, ahora la estoy acotando... Filósofo: ¿Qué quiere decir 2+2?

Lógico: Defina mejor 2+2 y le responderé. Contador: ¿Cuánto quiere que dé?

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Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el

tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t),

siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo

El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)

La cantidad de dinero en una cuenta en un banco

El volumen de un globo mientras se infla

La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje

El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+∆t, es el incremento

)()( tfttfQ

La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio

∆Q en Q con respecto del cambio ∆t en t, por lo que es el cociente

t

tfttf

t

Q

)()(

Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de esta

razón promedio cuando ∆t→0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Q es

t

tfttf

t

Q

tt

)()(limlim

00

Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q=f(t) es

la derivada

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)´(tfdt

dQ

La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P(t,f(t)) se

mueve a lo largo de la gráfica de la función Q=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a

lo largo de la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria

recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.

También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positiva ésta es

ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así

Q es creciente en el instante t si

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Q es decreciente en el instante t si

La derivada de cualquier función, no solamente una función del tiempo, puede interpretarse como

una razón de cambio instantánea con respecto de la variable independiente. Si y=f(x), entonces la razón

de cambio promedio de y (por un cambio unitario en x) en el intervalo [x,x+∆x] es el cociente

x

xfxxf

x

y

)()(

La razón de cambio instantánea de y con respecto de x es el límite, cuando ∆x→0, de la razón de

cambio promedio. Así, la razón de cambio instantánea de y con respecto de x es

)x´(fdx

dy

x

ylimx

0

1) Al arrojar una piedra a un estanque de agua tranquila se forman ondas circulares concéntricas

cuyos radios aumentan de longitud al paso del tiempo. Cuando la onda exterior tiene un radio de 3 m,

éste aumenta a una rapidez (velocidad) de 50 cm=s. ¿A qué rapidez (velocidad) aumenta el área del

círculo formado por dicha onda?

Se pide calcular la rapidez (velocidad) a la que está aumentando el área de un círculo, cuando su

radio mide 3 m y la longitud de éste aumenta a razón de 0,5 m/s. Es decir, si consideramos un círculo que

(en cierto instante t ) tiene un radio r(t) y un área A(t), entonces lo que se desea es calcular la velocidad

con que cambia (razón de cambio) el área A(t), cuando el radio r(t)es de 3 m y la razón de cambio del

radio es de 0.5 m/s. Esto es, se pide calcular la derivada

cuando r = 3 y cuando

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El área del círculo es A = πr2. La razón de cambio de A con respecto al tiempo t se obtiene derivando ambos

miembros con respecto al tiempo:

( )

En el caso particular en que r(t) = 3 m y

Esto es, en el preciso instante en que el radio es de 3 m, éste tiene un cambio de 0.5 m/s y el área tiene un

cambio de 3π m2/s ≈ 9,4248 m2/s.

2) Dos barcos salen simultáneamente de un puerto; uno viaja hacia el sur a una velocidad de 30 km/h y el otro

hacia el este a una velocidad de 40 km/h. Después de 2 h ¿cuál es la velocidad de separación de los dos barcos?

Se pide calcular la velocidad a la que se están separando los barcos después de 2 h de haber partido del mismo

puerto. Es decir, si consideramos que z(t) es la distancia que separa a los barcos en cierto instante t , entonces lo que se

desea es calcular la rapidez con que cambia (razón de cambio) la distancia z(t) al paso del tiempo. Esto es, se pide

calcular la derivada

cuando el tiempo t transcurrido es de 2 h.

La posición de los barcos después de haber iniciado su desplazamiento es:

( ) ( )

( ) ( )

Entonces:

( ) √

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Por lo que:

( )

[ ( ) ( ) ]

Luego:

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

Sustituyendo:

( )

( )

( )

( )

A las 2 horas los barcos se alejan con una rapidez de 50km/h.

x(t)

y(t) 𝑧(𝑡) x(t) y(t)

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La derivada es un concepto muy útil para aplicar a cuestiones

cotidianas, como por ejemplo la variación de la velocidad que

sufre en cada instante de tiempo un maratonista a lo largo de

su carrera. Esto quiere decir que a través de la utilización de las

derivadas es posible calcular exactamente a qué velocidad

corría este maratonista en cada instante de tiempo y saber así

los cambios en su rendimiento.

En la prestigiosa Universidad de Cambridge (Reino Unido) hay un popular puente de madera llamado

el Puente Matemático (Mathematical Bridge), muy fotografiado por los visitantes.

A primera vista, el puente hace honor al nombre, pues en su estructura se observan varias tangentes

a la curva sobre el río, dando una buena plasmación visual de cómo, de izquierda a derecha, las

pendientes van en disminución: al subir el puente (derivadas positivas) y en su descenso (derivadas

negativas), siendo cero en el punto más alto (máximo).

Aunque el nombre y la fama le vienen de una leyenda, según el cual el puente fue construido por Sir

Isaac Newton sin usar tornillos y los estudiantes eran sometidos a una prueba consistente en tener

que reconstruir el puente previamente desmontado.

Pero la cronología desmonta la leyenda: Newton moría en 1727 y el puente fue construido en 1749.

Además, el tamaño y el peso de sus piezas de madera hacen inviable la reconstrucción "a mano".

Una tradición conservada hasta 1909 era la concesión de un premio honorífico al estudiante de

Matemáticas que obtuviera las más altas calificaciones finales. El premio consistía en una cuchara de

madera, de1 m de longitud. Se conservaba un registro de todos los ganadores de la cuchara, siendo

un honor figurar en dicha lista.