Integrales dobles
-
Upload
cristian-rosas-castillo -
Category
Documents
-
view
7 -
download
2
description
Transcript of Integrales dobles
Prof: Nancy Andrades
Integrales dobles
Cálculo III (A, C y E)
Repaso de la situación en una variable
Sea f, función continua y no negativa sobre [a,b] que se divide en n subintervalos de igual longitud x. Si xj
es el extremo izquierdo del j-esimo subintervalo entonces, la integral de f en [a,b] se define:
Gráficamente representa el área bajo la gráfica de f en [a,b]
F(a)-F(b)dxxn
)f(xlimb
a
f(x)1j
jn
Δ
a bxj xj+1
Cálculo III (A, C y E)
La integral dobleSea f, continua en una región R del plano xy . Usando líneas paralelas a los ejes para aproximar R por medio de n rectángulos de área A. Sea (xj,yj) un pto del j-esimo rectángulo, entonces la integral doble de f sobre R es:
R
ΔAn
lim1j
)jy,jf(xn
y)dAf(x,
( xJ, xj+1)
Cálculo III (A, C y E)
Interpretación gráfica
La integral doble de una función no negativa en dos variables se interpreta como el volumen bajo la superficie z = f(x,y) y sobre la región R del plano xy.
Región R
z = f(x,y)
Cálculo III (A, C y E)
La integral doble de f sobre la región R, está dada por el valor común de las dos integrales iteradas.
Donde a, b, c y d son los límites de integración de la región R.
Para resolver la integral doble, se mantiene fija una variable y se integra con respecto a la otra variable.
Cálculo de integrales dobles
b
a
d
c
d
c
b
aR
y)dydxf(x,y)dxdyf(x,y)dAf(x,
Cálculo III (A, C y E)
Propiedades
RR
y)dAf(x,Ky)dAK.f(x,a)
1 2R RR
y)dAf(x,y)dAf(x,y)dAf(x,
sobreponenseno2R y 1Rdonde,2R1RRSid)
R RR
y)dAg(x,y)dAf(x,y)dAg(x,y)f(x,b)
R
0y)dAf(x,Ry)(x,0,y)f(x,Sic) ,
Cálculo III (A, C y E)
Límites de integración
Secciones transversales verticales: La región R está limitada por las gráficas de g1 y g2 en el intervalo [a, b]. Si R es descrita por
R: a x b , g1(x) y g2(x)
y = g1(x)
y = g2(x)
a b
R
b
a
(x)g
(x)gR
2
1
y)dydxf(x,y)dAf(x,
Cálculo III (A, C y E)
Límites de integración
Secciones transversales horizontales: La región R está limitada por las gráficas de h1 y h2 en el intervalo [c, d]. Si R es descrita por
R: c y d , h1(y) x h2(y)x = h1(x)
x = h2(x)
c
d
R
d
c
(y)h
(y)hR
2
1
y)dxdyf(x,y)dAf(x,