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Integrantes :
Garcia Melquiades Alec
Gonzales Argomedo Renzo
Prez Vizcarra, Pedro Mara Josu
Castillo Pulido, Marln
Vsquez Vsquez, Brenda
Curso : Matemtica IIITema : Integrales ri!le
Profesora : C"#ez Martnez $uc% &a%dee
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
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Integrales Triples
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's la a!licaci(n sucesi#a de tres !rocesos de integraci(n
de)inida sim!le a una )unci(n de tres #aria*les ) +, %, z-.
tomando en consideraci(n en )unci(n de que #aria*le se
encuentran los lmites !ara sa*er cual di)erencial +d, d%,
dz- se utilizar !rimero % cual des!us % cual al )inal/
INTEGRAL TRIPLE:
UTILIDAD DE LAS INTEGRALES TRIPLES:
Generalmente se utilizan !ara el clculo de #ol0menes de
cur#as es!aciales cerradas o de cuer!os es!aciales tales
como es)eras, eli!soides, cu*os, tetraedros o
com*inaciones de estas su!er)icies/
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1ea ) una )unci(n continua de tres #aria*lesen una regi(n s(lida acotada B
1u!ongamos !rimero que B es una ca2a rectangular
+!aralele!!edo rectangular-
RR13) 4
( ){ }qz!,d%c,*a5z,%,B =
[ ] [ ] [ ]q,!d,c*,aB =
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Primero di#idamos el rectnguloBen nsu*ca2as / Para esto di#idamos los treslados en n !artes iguales/'l inter#alo 6a,*7 quedar di#idido en n su*inter#alos, con una anc"o
igual a
6c,d7 quedar di#idido en n su*inter#alos con anc"o igual a
% el inter#alo 6!,q7 en su*inter#alos con anc"o igual a
[ ]i8i ,
[ ]282 %,% %[ ]989 z,z z
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Cada su*ca2a Bi29tiene un #olumen /
1i )ormamos la suma tri!le de Riemann
:e)inimos la integral tri!le como el limite de las sumas tri!les
riemannianas, !ara cuando la norma de la !artici(n tiende a cero
z%V =
( )
( ) i29i29i29i29
n
8i
n
82
n
89
i29i29i29
Benestz,%,muestra!untoeldonde
Vz,%,) = = =
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1ea ) una )unci(n continua de tres #aria*les, de)inida en una regi(ns(lida acotada B, si
eiste, decimos que ) es integra!een B/ Adems la
llamada la integra! tri"!ede ) en B, est dada entonces !or
:e)inici(n3 # La integra! tri"!e$
( ) Vz,%,)limn
8i
n
82
n
89
i29i29i29;
= = =
dV-z,%,+)B
( ) ( ) Az,%,)limdVz,%,)n
8i
n
82
n
89
i29i29i29;
B
= = = =
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1ean ) % g )unciones integra*les regi(n s(lida B, % sea c unaconstante/ 'ntonces ) < g % c) son integra*les %
#Pro"ie%a%es %e !a integra! tri"!e$
:onde B es la uni(n de dos regiones s(lidas B8% B= sinsola!amiento/
[ ] +=+B BB
dV-z,%,+gdV-z,%,+)-z,%,+g-z,%,+)
= BB dV-z,%,+)cdV-z,%,+c)
+=B BB =8
dV-z,%,+)dV-z,%,+)dV-z,%,+)
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#C&!'u!o %e integra!es tri"!es $
Teorema %e Fuini "ara !as integra!es tri"!es$>1i ) es continua en una ca2a rectangular
entonces, si eiste cualquier integral iterada es igual a la integraltri!le?
Al igual que con las integrales do*les, el mtodo !rctico !ara
e#aluar las integrales tri!les es e!resarla como integrales iteradas
As sucesi#amente +en total "a% seis ordenaciones-
[ ] [ ] [ ]q,!d,c*,aB =
==
==
*
a
q
!
d
c
q
!
*
a
d
c
q
!
d
c
*
aBB
d%dzd-z,%,+)
d%ddz-z,%,+)
dd%dz-z,%,+)dd%dz-z,%,+)dV-z,%,+)
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E(em"!os:
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E(em"!os:
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E(em"!os:
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E(em"!os:
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1ea 1 un con2unto cerrado % acotado en el es!acio
tridimensional/ 1ea B cualquier ca2a que contiene a 1
:ada ) de)inida % continua en 1, de)inimos una nue#a )unci(n @
con dominio B mediante
Defini'i)n:#La integra! sore regiones e!ementa!es$
=
B%-+,%1z-%,+,si;
1enest-z,%,+si-z,%,+)-%,+@
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Defini'i)n:#La integra! sore regiones e!ementa!es$
1i la integral tri!le de @ eiste so*re 1, entonces de)inimos laintegral tri!le de ) so*re 1 como
ota3 'sta integral eiste si ) es continua % la )rontera de 1 es
razona*lemente sua#e/
=B1
dV-z,%,+@dV-z,%,+)
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Regiones3#Ti"o * o +,sim"!es$1e dice que una regi(n s(lida B es de ti!o 8 si se "alla entre las
gr)icas de dos )unciones continuas de e % , es decir
donde :%es la !ro%ecci(n de 1 en el !lano / $a )ronterasu!erior del s(lido es la su!er)icie de
ecuaci(n en tanto que
la )rontera in)erior es la su!/ de
ecuaci(n
#La integra! tri"!e sore regiones e!ementa!es:Regiones ti"o *
1
( ) ( ){ }-%,+z-%,+,:%,5z,%,1 =8% =
-%,+z ==
-%,+z 8=
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'ntonces si 1 es una regi(n ti"o *
Adems, si la !ro%ec/D-.de 1 so*re el !lano es una regi(n ti"o*
la ecuaci(n anterior se con#ierte en
%Dg=+-%Dg8+-
1
=
%
=
8:
-%,+
-%,+1
dAdz-z,%,+)dV-z,%,+)
( ){ }-%,+z-%,+-,+g%-+g,*a5z,%,1 =8=8 =
=
*
a
-+g
-+g
-%,+
-%,+
1
=
8
=
8
d%ddz-z,%,+)dV-z,%,+)
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'2ercicioE'#al0e la integral tri!le
donde 1 es el tetraedro
s(lido acotado !or los cuatro !lanos
D; , %D; , zD; %
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Fna regi(n s(lida 1 es de ti"o / si es de la )orma
:onde :%z es el !ro%ecci(n so*re el !lano /
$a su!er)icie de atrs es , la su!er)icie de en)rentees as que tenemos
Regiones ti"o /
-z,%+ 8=
( ) ( ){ }-z,%+-z,%+,:%,5z,%,1 =8%z =
-z,%+ ==
=
%z
=
8:
-z,%+
-z,%+1
dAd-z,%,+)dV-z,%,+)
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Fna regi(n s(lida 1 es de ti"o 0 si es de la )orma
:onde :z es el !ro%ecci(n so*re el !lano /
$a su!er)icie de la izq/ es , la su!er)icie de laderec"a es as que tenemos
Regiones ti"o 0
-z,+% 8=
( ) ( ){ }-z,+%-z,+,:%,5z,%,1 =8z =
-z,+% ==
=
z
=
8:
-z,+
-z,+1
dAd%-z,%,+)dV-z,%,+)
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E(er'i'ios
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E(er'i'ios
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E(er'i'ios
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CONSIDERACIONES I1PORTANTES
A!licacionesde la integral tri!le
Fna )orma alternati#a del eorema de Green es la siguiente3
Anlogamente, el eorema de la di#ergencia, llamado tam*in
de Gauss relaciona una integral tri!le so*re una regi(n s(lida
H con una integral de su!er)icie so*re la su!er)icie de H/ Para
!oder a!licar este eorema es necesario que la su!er)icie
1 sea cerrada % que corres!onda adems, al *orde com!leto
del s(lido H/
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eorema de la di#ergencia
'n clculo #ectorial, el teorema %e !a %i2ergen'ia, tam*in llamado teorema %eGauss, teorema %e Gauss Ostrogra%s3., teorema %e GreenOstrogra%s3.o teorema %e Gauss Green Ostrogra%s3., relaciona el )lu2o deun cam!o #ectorial a tra#s de una su!er)icie cerrada con la integral de
su di#ergencia en el #olumen delimitado !or dic"a su!er)icie/ Intuiti#amente se
!uede conce*ir como la suma de todas las )uentes menos la suma de todos los
sumideros da el )lu2o de salida neto de una regi(n/ 's un resultado im!ortanteen )sica, so*re todo en electrosttica % en dinmica de )luidos/ :esde el !unto de
#ista matemtico es un caso !articular del teorema de 1to9es/
&istoria
'l teorema )ue descu*ierto originariamente !or Jose!" $ouis $agrange en 8=,e inde!endientemente !or Carl @riedric" Gauss en 8K84, !or George Green en
8K=L % en 8K48 !or Mi9"ail Vasilie#ic" strograds9%, que tam*in dio la
!rimera demostraci(n del teorema/ Posteriormente, #ariaciones del teorema de
di#ergencia se conocen como teorema de Gauss, el teorema de Green, % eorema
de strograds9%/
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'nunciado
'ste resultado es una consecuencia natural del eorema de 1to9es, el cual
generaliza el eorema )undamental del clculo/ 'l teorema )ue enunciado !or el
matemtico alemn Carl @riedric" Gauss en 8K4L, !ero no )ue !u*licado
"asta 8K/ :e*ido a la similitud matemtica que tiene el cam!o elctrico con
otras le%es )sicas, el teorema de Gauss !uede utilizarse en di)erentes !ro*lemas
de )sica go*ernados !or le%es in#ersamente !ro!orcionales al cuadrado de la
distancia, como la gra#itaci(n o la intensidad de la radiaci(n/ 'ste teorema
reci*e el nom*re de le% de Gauss % constitu%e tam*in la !rimera de
las ecuaciones de MaNell/
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'2em!lo de a!licaci(n
A!licando el teorema de la di#ergencia tenemos3
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APLICACI4NDEL TEORE1A DE LA DIVERGENCIA O DE GAUSS
'J'MP$ 83 1ea H la regi(n s(lida acotada !or los !lanos de
coordenadas % !or el !lano
1oluci(n3 'n la )igura de la derec"a #emosque H est acotada !or cuatro !orciones de
su!er)icie/ 'n consecuencia, seran
necesarias 'uatro integrales de su!er)icie
!ara calcular la %o!e integral anterior/
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1in em*argo, el teorema de la di#ergencia !ermite llegar al
resultado con s(lo una integra! tri"!e/ Realizando losiguiente3enemos que 3
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Cam*io de #aria*les en integrales tri!les/
'l teorema del cam*io de #aria*les !ara integrales tri!les esanlogo al de integrales do*les/ 'l resultado corres!ondiente es
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Vamos a descri*ir los cam*ios de #aria*les ms im!ortantes en R4
indicando a qu ti!o de recintos de integraci(n estn asociados/
'2em!los "a*ituales de cam*ios de #aria*les/
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Cam*ios de Varia*le usuales
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FACULTAD DE INFORMTICA ANLISISMATEMTICO DPTO. DE MATEMTICA APLICADA
2 CURSO-PRIMER CUATRIMESTRE.
GRADO DE INGENIERA AEROESPACIAL. CURSO201112. MATEMTICAS II. DPTO. DE
MATEMTICA APLICADA II Leccin 2. Ine!"#$e%&'$i($e%.
Bi!iograf5a
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Lin3ografia:
Integra!es 16!ti"!es . sus a"!i'a'iones"tt!355NNN/ing/uc/edu/#e5Ogcisneros5!d)5Intri!les/!d)
Integra!es Tri"!es "tt!355NNN/monogra)ias/com5tra*a2osK5integralesEtri!les5integrale
sEtri!les/s"tml
Integra!es Tri"!es "tt!355NNN/Ni9imatematica/org5inde/!"!titleDIntegralesQtri!les
E(er'i'ios %e Integra!es Tri"!es "tt!355NNN/e"u/eus5Omt!alez!5li*ros5;LQ/!d)
Teorema %e !a %i2ergen'ia "tt!s355es/Ni9i!edia/org5Ni9i5eoremaQdeQlaQdi#ergencia
E(er'i'io Integra!es Tri"!es , Ca!'u!o Integra!"tt!s355NNN/%outu*e/com5Natc"#DGLnN@="i*
http://www.ing.uc.edu.ve/~gcisneros/pdf/IntTriples.pdfhttp://www.ing.uc.edu.ve/~gcisneros/pdf/IntTriples.pdfhttp://www.monografias.com/trabajos78/integrales-triples/integrales-triples.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos78/integrales-triples/integrales-triples.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos78/integrales-triples/integrales-triples.shtmlhttp://www.wikimatematica.org/index.php?title=Integrales_tripleshttp://www.wikimatematica.org/index.php?title=Integrales_tripleshttp://www.ehu.eus/~mtpalezp/libros/05_4.pdfhttp://www.ehu.eus/~mtpalezp/libros/05_4.pdfhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_divergenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_divergenciahttps://www.youtube.com/watch?v=G5nwF2hibX4https://www.youtube.com/watch?v=G5nwF2hibX4https://www.youtube.com/watch?v=G5nwF2hibX4https://www.youtube.com/watch?v=G5nwF2hibX4https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_divergenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_divergenciahttp://www.ehu.eus/~mtpalezp/libros/05_4.pdfhttp://www.ehu.eus/~mtpalezp/libros/05_4.pdfhttp://www.ehu.eus/~mtpalezp/libros/05_4.pdfhttp://www.wikimatematica.org/index.php?title=Integrales_tripleshttp://www.wikimatematica.org/index.php?title=Integrales_tripleshttp://www.monografias.com/trabajos78/integrales-triples/integrales-triples.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos78/integrales-triples/integrales-triples.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos78/integrales-triples/integrales-triples.shtmlhttp://www.ing.uc.edu.ve/~gcisneros/pdf/IntTriples.pdfhttp://www.ing.uc.edu.ve/~gcisneros/pdf/IntTriples.pdf -
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