Departamento De Ciencias Cajamarca Facultad De Ingeniera

SEMANA 8

CURSO : Clculo II

Tema :

INTRODUCCIN

En la sesin anterior descubrimos la relacin entre el proceso de integracin y las sumas de

Riemann

n

k

kkP xcfS1

)(

asociadas con una particin P del intervalo cerrado finito [a,b]. Ah aprendimos que, para

una funcin continua f en [a,b], el lmite de PS cuando la norma de la particin P se

aproxima a cero es el nmero

)()()( aFbFdxxf

b

a

donde F es cualquier antiderivada de f. Aplicamos esto a los problemas en que se nos pidi

calcular el rea entre el eje x y la grfica de )(xfy para bxa y para determinar el

rea comprendida entre dos curvas.

En esta sesin veremos cmo la aplicacin de estos conceptos nos permite determinar

volmenes, longitudes de curvas planas, centros de masas, rea de superficies de

volmenes, trabajo y fuerzas de fluido sobre paredes planas. Todas estas medidas son

lmites de sumas de Riemann de funciones continuas en intervalos cerrados, esto es,

integrales definidas que pueden evaluarse mediante el Teorema Fundamental del Clculo.

SLIDOS DE REVOLUCIN: MTODO DE LOS DISCOS

El slido generado al hacer girar una regin plana alrededor de un eje se denomina slido

de revolucin. Para determinar el volumen de un slido como el que se muestra en la

figura, slo necesitamos tener en cuenta que el rea de la seccin transversal )(xA es el

rea de un disco con radio )(xR , la distancia entre la frontera de la regin plana y el eje de

rotacin. En consecuencia, el rea es

22 )()( xRradioxA

Clculo de volmenes de slidos de revolucin: mtodo del disco y de las arandelas

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De este modo, la definicin de volmenes nos da

b

a

b

a

dxxRdxxAV2

)()(

A este mtodo para calcular el volumen de un slido de revolucin se le denomina con

frecuencia mtodo de los discos, ya que la seccin transversal es un disco circular con

radio ).(xR

Si el eje de giro es la recta y = p , el radio del circulo en un punto de abscisa x es pxf )(

y el volumen queda entonces

b

a

b

a

dxpxfdxxAV2

)()(

Ejemplo (Un slido de revolucin alrededor del eje x)

La regin entre la curva xy , 40 x , y el eje x se hace girar alrededor del eje x para

generar un slido. Determinar su volumen.

Solucin

Dibujamos figuras que muestren la regin, un radio tpico y el slido generado (ver figura

anterior). El volumen es

b

a

b

a

dxxdxxRV22

)( 82

)4(

2

24

0

2

x

xdx

b

a

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Ejemplo (Volumen de una esfera)

La circunferencia 222 ayx se hace girar alrededor del eje x para generar una esfera.

Determinar el volumen de esta ltima.

Solucin

Imagine que cortamos la esfera en delgadas rebanadas por medio de planos perpendiculares

al eje x (ver figura) El rea de la seccin transversal en un punto representativo x, entre

a y a es

222)( xayxA Por lo tanto, el volumen es

33

222

3

4

3)( a

xxadxxadxxAV

a

a

a

a

a

a

Figura: La esfera generada por la rotacin de la circunferencia 222 ayx alrededor del eje x. El radio es

22)( xayxR

El eje de rotacin en el ejemplo siguiente no es el eje x, pero la regla para calcular el

volumen es la misma: Integrar 2radio entre lmites apropiados.

Ejemplo (un slido de revolucin: rotacin alrededor de la recta y = 1)

Determinar el volumen del slido resultante al hacer girar, alrededor de la recta y = 1, la

regin acotada por xy y las rectas y = 1, x = 4 .

Solucin

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Dibujamos figuras que muestren la regin, el radio tpico y el slido resultante.

El volumen es

6

7

3

2.2

212

1)(

4

1

2/324

1

4

1

24

1

2

xxx

dxxx

dxxdxxRV

Ejemplo (rotacin alrededor del eje y)

Determinar el volumen del slido resultante al hacer girar la regin comprendida entre el

eje y y la curva yx /2 , 41 y , alrededor del eje y.

Solucin

Dibujamos figuras que muestren la regin, un radio tpico y el slido resultante.

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El volumen es

34

34

14

4

2)(

4

1

4

1

2

4

1

24

1

2

ydy

y

dyy

ydyRV

Ejemplo (Rotacin alrededor de un eje vertical)

Determinar el volumen del slido resultante al hacer girar la regin comprendida entre la

parbola 12 yx y la recta x = 3 alrededor de la recta x = 3.

Solucin

Dibujamos figuras que muestren la regin, un radio tpico y el slido resultante. Observe

que las secciones transversales son perpendiculares a la recta x = 3.

El volumen es 22 213)( yyyR

15

264

53

4444

2)(

2

2

53

2

2

42

2

2

22

2

2

2

yyyydyy

ydyydyRV

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SLIDOS DE REVOLUCIN: EL MTODO DE LAS ARANDELAS

Si la regin que se hace girar para generar un slido no se acerca al eje de rotacin ni est

en l, el slido tendr un agujero (ver figura). En lugar de discos, las secciones

transversales perpendiculares al eje de rotacin son arandelas (la superficie circular en la

parte central de la imagen de la figura).

Las secciones transversales del slido de revolucin generado son arandelas, no discos, por

lo que la frmula cambia ligeramente. Las dimensiones de una arandela representativa son

Radio exterior: )(xR

Radio interior: )(xr

El rea de la arandela es

2222 )()()()()( xrxRxrxRxA

En consecuencia, la definicin de volumen nos da

b

a

b

a

dxxrxRdxxAV22

)()()(

Este mtodo para calcular el volumen de un slido de revolucin se denomina mtodo de

las arandelas, ya que cada pieza es una arandela circular con radio exterior )(xR y radio

interior )(xr .

Anlogamente, si el eje de giro es la recta y = p,

b

a

b

a

dxpxgpxfdxxAV22

)()()(

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Ser necesario conocer la posicin relativa de las funciones f y g para lo cual es

fundamental tener una idea de las grficas de las mismas.

Ejemplo (Arandelas como secciones transversales: rotacin alrededor del eje x)

Para generar un slido se hace girar la regin acotada por la curva 12 xy y la recta

3 xy alrededor del eje x. Determinar el volumen del slido.

Solucin

1. Dibuje la regin y haga el bosquejo de un segmento de recta que la cruce y sea

perpendicular al eje de rotacin (el segmento en la parte central de la figura).

2. Determine los radios exterior e interior de la arandela que se generara al hacer girar

este segmento alrededor del eje x.

Estos radios son las distancias entre los extremos del segmento de recta y el eje de rotacin

(ver figura)

Radio exterior: 3)( xxR

Radio interior: 1)( 2 xxr

3. Determine los lmites de integracin determinando las coordenadas x de los puntos de

interseccin de la curva y la recta de la figura.

02

31

2

2

xx

xx

1 ,2

0)1)(2(

xx

xx

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4. Evale la integral del volumen

5

117

5338

68

13)()(

1

2

532

1

2

42

1

2

22222

xxxx

dxxxx

dxxxdxxrxRV

b

a

Para determinar el volumen de un slido formado al hacer girar una regin alrededor del eje

y utilizamos el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior, pero integramos respecto

de y en lugar de hacerlo respecto de x. En esta situacin, el segmento de recta barre una

arandela representativa perpendicular al eje y (el eje de rotacin), y los radios exterior e

interior de la arandela son funciones de y.

Ejemplo (Arandelas como secciones transversales : rotacin respecto del eje y)

Para generar un slido, se hace girar la regin acotada por la parbola 2xy y la recta

xy 2 en el primer cuadrante alrededor del eje y. Determinar el volumen del slido.

Solucin

Primero bosquejamos la regin y trazamos un segmento de recta en la regin, que sea

perpendicular al eje de rotacin (eje y). Ver figura

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Los radios de la arandela barrida por el segmento de recta son yyR )( , 2/)( yyr . La

recta y la parbola se intersecan en y = 0 y y = 4, por lo que los lmites de integracin son

0c y 4d . Integramos para determinar el volumen:

3

8

1224

2

)()(

4

0

324

0

2

4

0

22

22

yydy

yy

dyy

y

dyyryRV

d

c

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EJERCICIOS PROPUESTOS

Mtodo del disco. I. En los siguientes ejercicios, determine los volmenes de los slidos

generados al hacer girar las regiones acotadas por las rectas y curvas alrededor del eje x.

1. 2,0,2 xyxy 2. 0,9 2 yxy 3. 2,0,3 xyxy

4. 0,2 yxxy 5. 44,0,8

22

xyx

y 6. 0,0,962 yxxxy

7. 0,2, xyxy 8. 3,1,0 ,/1 xxyxy 9. 1 ,0 ,0 , xxyey x

II. En los siguientes ejercicios, determine el volumen de cada uno de los slidos generados

al hacer girar la regin acotada por las rectas y curvas dadas alrededor del eje y.

1. 1,1,0,5 2 yyxyx 2. 3,0,0),1/(2 yyxyx

3. 0,4 2 yxy 4. 0,4,3

2

xyx

y

5. 0,2, xyxy 6. 0,0),2(3 xyxy

7. 3,2,0,9 2 xxyxy 8. 6,,2 xyxyx

Mtodo de las arandelas. I. En los siguientes ejercicios, determine el volumen del slido

generado al hacer girar las regiones acotadas por las rectas y las curvas dadas alrededor del

eje x.

1. 0,1, xyxy 2. 0,2,2 xyxy 3. 3,12 xyxy

4. xyxy 2,4 2 5. 24 xy , 2xy 6. 2 yx , 0x ,

1y

II. Determine el volumen del slido generado al hacer girar cada regin alrededor del eje y.

1. La regin circundada por el tringulo con vrtices (1,0), (2,1) y (1,1). 2. La regin en el primer cuadrante, acotada en la parte superior por la parbola

2xy , en la inferior por el eje x, y a la derecha por la recta x = 2.

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3. La regin en el primer cuadrante, acotada a la izquierda por la circunferencia

322 yx , a la derecha por la recta 3x , y en la parte superior por la recta

3y .

Volumen de slidos de revolucin. En los siguientes ejercicios determine el volumen del

slido generado al hacer girar cada regin alrededor del eje dado.

1. La regin en el primer cuadrante, acotada en la parte superior por la curva 2xy ,

en la parte inferior por el eje x, y a la derecha por la recta 1x , alrededor de la

recta 1x .

2. La regin en el segundo cuadrante, acotada en la parte superior por la curva 3xy , en la parte inferior por el eje x, y a la izquierda por la recta 1x ,

alrededor de la recta 2x .

3. Determine el volumen del slido generado al hacer girar la regin acotada por

xy y las rectas 0,2 xy alrededor de la recta

a) y = 2 b) x = 4

4. Determine el volumen del slido generado al hacer girar la regin acotada por la

parbola 2xy y la recta y = 1, alrededor de

a) la recta y = 1 b) la recta y =2 c) la recta y = 1

III. Diseo de un sartn Se le pide disear una

sartn con forma de tazn esfrico con asas.

Su experiencia domstica le indica que

puede obtener una sartn con capacidad

para 3 L si la construye con 9 cm de

profundidad y un radio de 16 cm. Para

asegurarse de ello, imagine la sartn como

un slido de revolucin semejante al que se

muestra a continuacin y calcule su

volumen con una integral. Qu volumen

tiene la sartn realmente? Redondee la

respuesta al centmetro cubico ms cercano

(1L=1000 3cm )

IV. Diseo de una plomada se le ha pedido que se

disee una plomada que pese alrededor de 190

g. Para cumplir su cometido, decide que su

forma debe ser parecida a la del slido de

revolucin que se muestra a continuacin.

Determine el volumen de la plomada. Si para

su fabricacin elige latn que tiene un peso de

8.5 3/g cm , Cunto pesar la plomada

(redondee al gramo ms cercano)?

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11. El volumen de un tanque de combustible Un tanque en el ala del avin de motor de

reaccin tiene la forma de un slido de revolucin generado al girar la regin acotada por la

grfica de y el eje x alrededor del eje , donde y son medidos en metros. (Fig. 8)