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INTERACCIÓN ELÉCTRICA. LEY DE COULOMB.

Existe una propiedad de la materia que influye en la materia

que la rodea y que definimos como carga eléctrica, un número con el cuál

somos capaces de explicar ciertas “influencias” o interacciones entre

cuerpos que poseen este número como indicativo de una de sus

propiedades fundamentales. Visto esto, se sabe que hay dos tipos de

carga que definimos una como positiva y otra negativa y se sabe que

cuando dos cargas están “cerca” se atraen si son de signo contrario o se

repelen si son del mismo signo. La unidad de este número llamado carga

es el Culombio. Además conocemos el módulo de esta fuerza, Ley de

Coulomb:

|�⃗�| = 𝐾𝑞1𝑞2

|𝑅12⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|

2

Donde |𝑅12⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|

2 es la distancia entre ellas (módulo del vector que

va desde la posición de una carga a la posición de la otra) y 𝐾 una

constante que depende del medio en el que están las cargas.

La unidad de fuerza sigue siendo el Newton y la de distancia el

metro, Sistema Internacional.

+𝑞1 +𝑞2

−𝑞1 −𝑞2

+𝑞1 −𝑞2

Como se ve en la figura, se cumple la ley de acción y reacción.

Hacemos notar algo fundamental: en la fórmula dada como ley de

Coulomb recalcamos que dicha fórmula se refiere claramente al

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MÓDULO de la fuerza eléctrica; NO PONDREMOS POR ELLO EL SIGNO DE

LAS CARGAS, quedando reflejado EL CARÁCTER VECTORIAL EN EL DIBUJO

y después en los cálculos analíticos. Lo veremos en los ejemplos.

La constante K que aparece en la ley Coulomb no es universal,

como en la ley de la gravedad la constante G, y su valor depende del

medio. En el vacío 𝐾0 = 9 109

Algo a resaltar sobre K es que, por comodidad matemática y

otras razones que ahora no vienen al caso, se pone en función de otra

constante, 𝜀:

𝐾 =1

4𝜋𝜀

En el caso del vacio: 𝐾𝑜 = 9109 =1

4𝜋𝜀0→ 𝜀0 =

1

4𝜋9109

Se consigue por ejemplo que el teorema de Gauss, fundamental

en el estudio de la electricidad, tenga una expresión más sencilla.

CAMPO ELÉCTRICO

Las cargas eléctricas, como las masas, modifican el espacio en el

que están de tal manera que es muy distinto el comportamiento de otras

masas y cargas en sus alrededores que fuera de su alcance, lejos de ellas.

Cuando un bolígrafo se cae sobre el suelo de la habitación no es porque

conozca la ley de Newton evidentemente, sino porque el espacio en el que

está tiene unas propiedades muy distintas a las que posee a 10000 Km por

encima de la superficie terrestre. Lo mismo ocurre con las cargas

eléctricas. Por ello, para explicar ese espacio y sus propiedades

SE DEFINE el vector campo eléctrico en un punto cualquiera

producido por un sistema de cargas como la fuerza que esas cargas

ejercerían en ese punto a la unidad de carga positiva +1C si allí estuviera.

Se recalca la necesidad de tener clara la definición.

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CALCULO DEL CAMPO ELECTRICO

Para calcular el vector campo eléctrico en un punto tendremos

que utilizar distintos medios matemáticos según sea la distribución de

cargas:

A) Campo debido a cargas puntuales. Por ser la distribución más

sencilla en este caso utilizaremos solamente la ley de Coulomb y

sumaremos, vectorialmente claro, el campo ejercido por cada una

de las cargas.

B) Campo debido a distribuciones de carga continua: una varilla

cargada, un anillo o parte de él fundamentalmente. Aquí

calcularemos las contribuciones infinitesimales de cargas puntuales

infinitamente pequeñas (diferenciales) y la integral nos sumará esas

contribuciones infinitesimales.

C) Campo debido a planos, hilos o cilindros infinitos y esferas. Aquí

utilizaremos siempre uno de los teoremas fundamentales del

electromagnetismo, el teorema de Gauss.

No nos olvidemos nunca de estas tres distribuciones de carga y

de las distintas formas matemáticas utilizadas en cada una de ellas para

calcular el campo eléctrico creado por ellas, como vamos a ver en los

siguientes ejemplos.

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A) CAMPO ELÉCTRICO PRODUCIDO POR UNA DISTRIBUCIÓN DE

CARGAS PUNTUALES:

A1) Calcular el campo eléctrico en el punto P por las cargas de la figura

�⃗⃗�+3𝜇𝐶

𝑷

0,2 𝑚 �⃗⃗�−3𝜇𝐶 +1𝐶

60° 60°

+3𝜇𝐶 −3𝜇𝐶

En la figura se han exagerado los tamaños de las cargas,

recordar que son “puntuales”, y lo que queremos es calcular el campo

eléctrico creado por ambas, que están en la base del triángulo equilátero

de 𝟎, 𝟐 𝒎 de lado, en el punto P. Para ello calculamos, aplicando la

definición de campo eléctrico, la fuerza que en ese punto se ejercería a

+1C por cada una de las cargas:

𝐶𝑎𝑚𝑝𝑜 �⃗⃗�+3𝜇𝐶 𝑐𝑟𝑒𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 + 3𝜇𝐶

Primero, calculamos el módulo de ese vector (figura)

|�⃗⃗�+3𝜇𝐶| = 𝑘𝑜𝑞1𝑞2

𝑑2= 9109 310−6∗1

0,22=

27

4105 𝑁

𝐶 .

Sabiendo el módulo, estamos ya en condiciones de:

Segundo, tenemos que calcular sus componentes. Lo

hacemos claramente sabiendo que el vector forma 60 grados con la

horizontal (ver figura), por lo tanto:

𝐸𝑥 =27

2105𝑐𝑜𝑠60 =

27

2105

1

2=

27

4105

𝐸𝑦 =27

2105𝑠𝑒𝑛60 =

27

2105 √3

2=

27√3

4105

Quedándonos ya en forma vectorial:

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�⃗⃗⃗�𝟑𝝁𝑪 =𝟐𝟕

𝟒𝟏𝟎𝟓𝒊 +

𝟐𝟕√𝟑

𝟒𝟏𝟎𝟓𝒋

𝐶𝑎𝑚𝑝𝑜 �⃗⃗�−3𝜇𝐶 𝑐𝑟𝑒𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 − 3𝜇𝐶

El campo creado por la carga negativa como antes, calculamos

primero su módulo y después sus componentes:

|�⃗⃗�−3𝜇𝐶| = 𝐾0310−6

0,22=

27

4105 𝑁

𝐶

Como se ha dicho, fijarse que no hemos puesto el signo de la

carga (es negativa) porque ésta fórmula, insistimos, nos da el módulo del

campo y no tiene sentido que digamos que el módulo de un vector es

negativo. SÍ tenemos en cuenta cuál es el vector en el dibujo y para

calcular sus componentes tenemos que ver claramente, en el dibujo

insistimos, que forma 60 grados con la horizontal pero hacia abajo. Por lo

tanto:

𝐸𝑥 =27

2105𝑐𝑜𝑠60 =

27

2105

1

2=

27

4105

𝐸𝑦 = −27

2105𝑠𝑒𝑛60 = −

27√3

4105

Donde el signo menos viene simplemente de que, según se ve

en la figura y se ha dicho, este vector va hacia abajo.

Por lo tanto, en forma vectorial:

�⃗⃗⃗�−𝟑𝝁𝑪 =𝟐𝟕

𝟒𝟏𝟎𝟓𝒊 −

𝟐𝟕√𝟑

𝟒𝟏𝟎𝟓𝒋

Y el campo total la suma de ambos:

�⃗⃗⃗� = �⃗⃗⃗�𝟑𝝁𝑪 + �⃗⃗⃗�−𝟑𝝁𝑪 =𝟐𝟕

𝟒𝟏𝟎𝟓𝒊 +

𝟐𝟕√𝟑

𝟒𝟏𝟎𝟓𝒋 +

𝟐𝟕

𝟒𝟏𝟎𝟓𝒊 −

𝟐𝟕√𝟑

𝟒𝟏𝟎𝟓𝒋

Quedándonos finalmente:

�⃗⃗⃗� = 𝟐𝟐𝟕

𝟒𝟏𝟎𝟓𝒊

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Veamos ahora otro ejemplo que generaliza al anterior y que

utilizaremos cuando no tengamos ángulos conocidos o el problema se

complique (Por ejemplo si estamos en tres dimensiones). Para ello,

consultar conceptos básicos sobre vectores, sobre todo en cuanto a

vector unitario en la dirección de otro se refiere.

A2) CAMPO CREADO EN EL PUNTO P por las cargas 𝑞1, 𝑞2 𝑦 𝑞3 DE LA

FIGURA

𝑷(𝟑, 𝟑) �⃗⃗�2

𝐵(0,3) • �⃗⃗�3

𝑞3 = +4𝜇𝐶 �⃗⃗�1

𝑂 • •

𝑞2 = +6𝜇𝐶 𝐴(2,0) 𝑞1 = −2𝜇𝐶

Queremos calcular el campo eléctrico en el punto P creado por

las tres cargas 𝑞1 = −2𝜇𝐶 𝑞2 = +6𝜇𝐶 𝑦 𝑞3 = +4𝜇𝐶

Lo primero que hacemos, como siempre, es dibujar los tres

vectores campo eléctrico creado por cada una de ellas, teniendo en

cuenta que en el punto P hay +1C y el signo de cada una de las cargas: 𝑞1

atrae a +1C porque es negativa. Las otras dos lo repelen porque son

positivas.

El segundo paso es calcular los vectores unitarios en las

direcciones y sentidos indicados por esos tres vectores:

𝑞1: 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (2 − 3,0 − 3) = (−1, −3) → |𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(−1)2 + (−3)2

= √10 → 𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗ =1

|𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =

𝟏

√𝟏𝟎(−𝟏, −𝟑) = 𝒖𝟏⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

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Este último vector 𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗ es el vector unitario en la dirección del

campo creado por la carga q1,que llamaremos evidentemente 𝐸1⃗⃗⃗⃗⃗. Para

calcular el vector 𝐸1⃗⃗⃗⃗⃗ basta con calcular su módulo:

|𝐸1⃗⃗⃗⃗⃗| = 𝑘

2 10−6

(√10)2= 9 109

2 10−6

10= 18 102𝑁/𝐶

Y multiplicarlo por 𝒖𝟏⃗⃗ ⃗⃗ ⃗: 𝐸1⃗⃗⃗⃗⃗ = 18 102𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗ = 18 102 1

√10(−1, −3)

𝑬𝟏⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝟏, 𝟖√𝟏𝟎𝟏𝟎𝟐(−𝟏𝒊 − 𝟑𝒋)

Análogamente se calculan los otros dos vectores campo

eléctrico producidos por las otras dos cargas:

𝑞2: vector unitario según 𝐸2⃗⃗⃗⃗⃗: 𝑂𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (3 − 0,3 − 0) = (3,3); |𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ |

= √32 + 32 = √18 = 3√2 → 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗ =1

3√2(3,3) = (

1

√2,

1

√2)

Módulo de |𝐸2⃗⃗⃗⃗⃗| = 𝐾

610−6

(√18)2 = 𝐾10−6

3

Por lo tanto:

𝑬𝟐⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑲

𝟏𝟎−𝟔

𝟑(

𝟏

√𝟐,

𝟏

√𝟐)

De la misma forma se calcula el tercer vector campo eléctrico y

el problema termina sumando esos tres vectores (se aconseja acabarlo).

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B.-CAMPO ELÉCTRICO CREADO POR UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE

CARGA. VARILLAS Y AROS

Cuando tenemos una distribución continua de cargas, una

varilla cargada por ejemplo, es evidente que no podemos aplicar la ley de

Coulomb ya que no tenemos cargas puntuales y no podemos hablar de

una distancia única al punto donde queremos calcular el campo. La idea

fundamental es la siguiente (se utiliza en muchos casos en física):

elegimos un trozo muy pequeño (infinitesimal) genérico definido por su

posición (normalmente para definir esa posición será suficiente con una

variable en nuestros problemas) y calculamos el campo eléctrico creado

por esa carga infinitesimal (ya es puntual) y después sumaremos las

contribuciones de todas esas cargas infinitesimales por medio de una

integral. Esta es la idea que con varios ejemplos creemos quedará clara.

Veamos:

B1). CAMPO CREADO POR UNA VARILLA: Campo en P

𝑑𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑌

𝑃(0, 𝑦)

𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

𝑄(𝑥, 0)

−𝐿

2 𝑥 𝑑𝑥

𝐿

2 𝑋

El punto 𝑃 tiene de coordenadas (0, 𝑦)

Aquí tenemos una distribución continua de cargas (varilla roja)

sobre el eje 𝑋 que va desde 𝑥 =−𝐿

2 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑥 =

𝐿

2

La varilla tiene por lo tanto una longitud L.

Empezamos definiendo una carga puntual genérica en una

posición genérica definida por, en este caso, la variable 𝑥 (en el dibujo el

origen de coordenadas está en el medio de la varilla roja) y, como tiene

que ser puntual o muy pequeña, su longitud es dx. El punto donde está lo

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llamaremos Q. Una vez definida la carga puntual procedemos como en los

casos anteriores:

Primero, vector unitario en la dirección del campo:

→ Vector QP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (misma dirección y sentido que el campo):

𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (0 − 𝑥, 𝑦 − 0) = (−𝑥, 𝑦); |𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | = √(−𝑥)2 + 𝑦2 = √𝑥2 + 𝑦2 →

�⃗⃗� =1

|𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ |𝑄𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ →

�⃗⃗⃗� =𝟏

√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐(−𝒙, 𝒚)

Segundo, módulo del campo creado por la carga infinitesimal

de longitud 𝒅𝒙

𝑑𝑞 = 𝛾𝑑𝑥

(𝛾 es la carga que hay por unidad de longitud: densidad de carga)

Aplicando la ley de Coulomb a esta carga puntual:

|𝑑𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 𝑘𝑑𝑞

𝑟2= 𝑘

𝛾𝑑𝑥

𝑥2 + 𝑦2

Sabiendo el módulo del campo y su vector unitario nos queda:

𝑑𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝑑𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |�⃗⃗� = 𝑘𝛾𝑑𝑥

𝑥2 + 𝑦2

1

√𝑥2 + 𝑦2(−𝑥𝑖 + 𝑦𝑗)

𝒅𝑬⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝒌𝜸𝒅𝒙

(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)𝟑𝟐

(−𝒙𝒊 + 𝒚𝒋)⃗⃗⃗ ⃗

Sólo queda sumar estas contribuciones infinitesimales para

calcular el campo total. No preocuparse: LA INTEGRAL NOS SUMA TODAS

LAS CONTRIBUCIONES INFINITESIMALES: idea FUNDAMENTAL.

Tendremos entonces:

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�⃗⃗� = ∫ 𝑘𝛾𝑑𝑥

(𝑥2 + 𝑦2)32

(−𝑥𝑖 + 𝑦𝑗)

𝐿2

−𝐿2

= ∫ 𝑘𝛾𝑑𝑥

(𝑥2 + 𝑦2)32

(−𝑥𝑖)

𝐿2

−𝐿2

+ ∫ 𝑘𝛾𝑑𝑥

(𝑥2 + 𝑦2)32

𝑦𝑗

𝐿2

−𝐿2

= −𝑘𝛾𝑖 ∫𝑥𝑑𝑥

(𝑥2 + 𝑦2)32

+ 𝑘𝛾𝑦𝑗 ∫𝑑𝑥

(𝑥2 + 𝑦2)32

𝐿2

−𝐿2

𝐿2

−𝐿2

Donde se han sacado fuera de la integral las constantes (fijarse

que “y” es la altura del punto P y por lo tanto una constante, la variable es

x).

El problema físico ya está acabado. Queda integrar pero eso no

es la intención de este capítulo (además hay muchos programas que las

hacen muy bien)

B2). CAMPO CREADO POR UN ARO O PARTE DE ÉL EN SU CENTRO

𝒅𝜶 𝒅𝒒 en el punto 𝑷

5𝜋

6 𝛼

𝑂

𝑑�⃗⃗�

El arco es de 5π/6 5 𝜋6⁄ 𝑅𝑑 , su radio es R y su densidad de

carga es 𝜇 𝐶

𝑚

Vamos a utilizar, en esencia, el mismo método que en las

varillas: vamos a coger un elemento infinitesimal de carga (podremos

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entonces tratarla como puntual y aplicar la ley de Coulomb) y después

calcularemos su contribución al campo. Para finalizar sólo tendremos que

sumar las contribuciones infinitesimales por medio de una integral (vieja

idea que no nos importa repetir).

La diferencia con la varilla es que la posición genérica de la

carga infinitesimal está definida por el ángulo 𝜶 y la carga infinitesimal

está encerrada en un ángulo también infinitesimal 𝒅𝜶.

El siguiente proceso es similar al de la varilla y anteriores:

1º Dibujamos el campo eléctrico creado por la carguita en el punto O,

vector llamado 𝑑�⃗⃗� en la figura y el vector unitario en su dirección, la del

vector 𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ . Para ello calculamos el punto P

𝑷 𝒅𝒒 en el punto 𝑷

𝑅 𝛼

𝑂

𝑑�⃗⃗�

Coordenadas del punto P

𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝑎; 𝑦 = 𝑅𝑠𝑒𝑛𝛼. →

𝑃(𝑅𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑅𝑠𝑒𝑛𝛼)

𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (0 − 𝑅𝑐𝑜𝑠𝑎, 0 − 𝑟𝑠𝑒𝑛𝑎) = (−𝑅𝑐𝑜𝑠𝑎, −𝑅𝑠𝑒𝑛𝑎)

|𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | = 𝑅

�⃗⃗� =1

|𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ |𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ =

1

𝑅(−𝑅𝑐𝑜𝑠𝑎, −𝑅𝑠𝑒𝑛𝑎)

�⃗⃗⃗� = (−𝒄𝒐𝒔𝒂, −𝒔𝒆𝒏𝒂)

Vector unitario en la dirección del campo

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Ahora calculamos el modulo del vector 𝑑�⃗⃗�

|𝑑𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 𝑘𝜇𝑅𝑑𝑎

𝑅2

Donde 𝑅𝑑𝑎 es la longitud infinitesimal abarcada por el ángulo

𝑑𝛼 y 𝜇 la densidad lineal de carga por lo que 𝑑𝑞 = 𝜇𝑅𝑑𝛼. Sólo nos queda

expresar el vector 𝑑𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ multiplicando su módulo por el vector unitario en su

dirección y sentido:

𝒅𝑬⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝒌𝝁𝑹𝒅𝒂

𝑹𝟐(−𝒄𝒐𝒔𝒂𝒊 − 𝒔𝒆𝒏𝒂𝒋)

De donde, integrando:

�⃗⃗� = ∫ 𝑘𝜇𝑑𝑎

𝑅(−𝑐𝑜𝑠𝑎𝑖 − 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑗)⃗⃗⃗ ⃗ = −𝑘

𝜇

𝑅𝑖 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑑𝑎

5𝜋

60

5𝜋

60

− 𝑘𝜇

𝑅𝑗 ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎

5𝜋

60

Las integrales son muy sencillas.

B3) CAMPO CREADO POR UN ANILLO EN PUNTOS DE SU EJE

PERPENDICULAR

𝑃(0,0, 𝑧)

𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑄 𝑌

𝑋 𝛼 𝑑𝛼

Sea el anillo de radio 𝑅 situado en el plano 𝑋𝑌. Queremos

hallar el campo eléctrico generado por dicho anillo en el punto 𝑃 a una

altura z en el eje 𝑍 como se ve en la figura. Como en el caso anterior

empezamos posicionando una carga infinitesimal 𝑑𝑞 por medio del ángulo

α que empieza en el eje 𝑋 y acaba en el punto Q del anillo donde tenemos

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la carga 𝑑𝑞 entre dos líneas que forman 𝑑𝛼. Dibujamos el vector d�⃗⃗� que

tiene su origen en el punto P como indica la figura y continuamos como en

los ejemplos anteriores. El punto 𝑄, como se desprende de la figura, tiene

de coordenadas:

𝑄(𝑟𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑟𝑠𝑒𝑛𝛼, 0)

Primero calculamos el vector unitario en la dirección de 𝑑�⃗⃗�:

un vector que va en su misma dirección y sentido es el vector

𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (0,0, 𝑧) − (𝑟𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑟𝑠𝑒𝑛𝛼, 0) = (−𝑟𝑐𝑜𝑠𝛼, −𝑟𝑠𝑒𝑛𝛼, 𝑧)

De módulo

|𝑄𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | = √(−𝑟𝑐𝑜𝑠𝛼)2 + (−𝑟𝑠𝑒𝑛𝛼)2 + 𝑧2 = √𝑟2 + 𝑧2

Por lo tanto, el vector unitario en la dirección del campo es:

�⃗⃗� =1

|𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ |𝑄𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ =

𝟏

√𝒓𝟐 + 𝒛𝟐(−𝒓𝒄𝒐𝒔𝜶, −𝒓𝒔𝒆𝒏𝜶, 𝒛) = �⃗⃗⃗�

Segundo, como siempre insistimos, calculamos el módulo del

vector

|𝒅�⃗⃗⃗�| = 𝑲𝝁𝒓𝒅𝜶

(√𝒓𝟐+𝒛𝟐)𝟐

Donde 𝑑𝑞 = 𝜇𝑑𝑙 = 𝜇𝑟𝑑𝛼

Estando ya en condiciones de escribir el vector 𝑑�⃗⃗�:

𝑑�⃗⃗� = 𝐾𝜇𝑟𝑑𝛼

𝑟2 + 𝑧2∙

1

√𝑟2 + 𝑧2(−𝑟𝑐𝑜𝑠𝛼, −𝑟𝑠𝑒𝑛𝛼, 𝑧)

Quedándonos integrar ésta expresión para sumar todas las

contribuciones infinitesimales y calcular el campo total:

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�⃗⃗� = ∫ 𝐾𝜇𝑟𝑑𝛼

(𝑟2 + 𝑧2)32

(−𝑟𝑐𝑜𝑠𝛼𝑖 − 𝑟𝑠𝑒𝑛𝛼𝑗 + 𝑧�⃗⃗�)2𝜋

0

= −𝑘𝜇𝑟2

(𝑟2 + 𝑧2)32

𝑖 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑑𝛼2𝜋

0

− 𝑘𝜇𝑟2

(𝑟2 + 𝑧2)32

𝑗 ∫ 𝑠𝑒𝑛𝛼𝑑𝛼 + 𝑘𝜇𝑟𝑧

(𝑟2 + 𝑧2)32

�⃗⃗� ∫ 𝑑𝛼2𝜋

0

2𝜋

0

Donde se han sacado fuera de la integral las constantes (no

olvidar que la “z” del punto es constante). Además las dos primeras

integrales valen cero (resultado que no está mal recordar) quedando el

campo sólo en dirección vertical (si en un principio nos hubiéramos dado

cuenta que la componente paralela al plano XY del vector 𝑑�⃗⃗� queda

contrarrestada por la que crea la carguita infinitesimal situada en frente

de la nuestra podíamos habernos ahorrado parte del cálculo pero

intentamos no presuponer ninguna característica del ojo del lector.

Finalizando, el campo nos queda:

�⃗⃗� = 𝐾𝜇𝑟𝑧

(𝑟2 + 𝑧2)32

�⃗⃗� ∫ 𝑑𝛼 = 𝐾𝜇2𝜋𝑟𝑧

(𝑟2 + 𝑧2)32

�⃗⃗� = |𝜇2𝜋𝑟 = 𝑄𝑎𝑛𝑖𝑙𝑙𝑜|2𝜋

0

= 𝐾𝑄𝑎𝑧

(𝑟2 + 𝑧2)32

�⃗⃗�

�⃗⃗⃗� = 𝑲𝑸𝒂𝒛

(𝒓𝟐 + 𝒛𝟐)𝟑𝟐

�⃗⃗⃗�

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3.-CAMPOS CREADOS POR PLANOS Y PLACAS INFINITAS, HILOS Y

CILINDROS INFINITOS Y ESFERAS. TEOREMA DE GAUSS.

TEOREMA DE GAUSS:

Introducción

Veamos un ejemplo familiar pero que encierra la misma idea y

que nos puede ayudar a entender mejor el teorema. Sea la tubería de la

figura en cuyo interior no hay fuentes de producción de agua (no hay

“grifos” ni “sumideros”)

Evidentemente la cantidad de agua que entra por la izquierda

es la misma que la que sale por la derecha en la unidad de tiempo

(recordar que en el interior de la tubería no hay fuentes ni sumideros de

agua). Vamos a definir una magnitud matemática que nos permita, según

sea su valor, saber si dentro de la tubería hay “productores” de caudal o

no. Esta magnitud la vamos a llamar flujo en una superficie y se define de

la siguiente manera:

Vector superficie:

Vector superficie𝑆: perpendicular a

La Superficie y de módulo el valor

De su área (en 𝑚2)

Si por esa superficie “pasa” una cantidad de agua o viento o

cualquier característica vectorial definida por el vector �⃗⃗�

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𝑆 �⃗⃗�

Ángulo 𝛼 que forman 𝑆 𝑦 �⃗⃗�

Se define el flujo ∅ del vector �⃗⃗⃗� a través de la superficie �⃗⃗⃗�

como el producto escalar de ambos vectores:

∅ = �⃗⃗⃗� ∙ �⃗⃗⃗� = |�⃗⃗⃗�| ∙ |�⃗⃗⃗�| ∙ 𝒄𝒐𝒔𝜶

Si el ángulo que forman es 90 el flujo será cero porque

realmente no entra ni sale nada hacia adentro o hacia afuera de la

superficie pues el vector Q pasa “de perfil” por la superficie; imaginemos

que el vector �⃗⃗� representa la dirección del aire y la superficie es una vela,

si el ángulo es 90 el flujo será cero y el aire no moverá la vela.

Si la superficie es cerrada convenimos que el vector superficie

va siempre hacia afuera y de esta manera podemos distinguir el flujo de

entrada que será negativo del flujo de salida que será positivo. Veámoslo

con el ejemplo de la tubería:

Vector superficie Vector superficie

Vector caudal entrada vector caudal salida

Flujo de entrada: ∅𝑒 = 𝑄 ∙ 𝑆 ∙ 𝑐𝑜𝑠180 = −𝑄 ∙ 𝑆

Flujo de salida: ∅𝑠 = 𝑄 ∙ 𝑆 ∙ 𝑐𝑜𝑠0 = 𝑄 ∙ 𝑆

Donde, como hemos dicho antes, al no haber fuentes en el

interior de la tubería los vectores Q son iguales. Por lo tanto vemos en

este ejemplo que el flujo total es cero porque lo que entra es igual a lo

que sale por no haber fuentes de producción de agua en el interior. El

teorema de Gauss diría en este caso que si la suma de los flujos no es

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cero es porque hay una fuente de producción de agua en el interior de

esa tubería.

Hemos intentado con este ejemplo explicar dos cosas

importantes:

Primero la definición de flujo por una superficie y segundo

que cuando dentro de una tubería, superficie cerrada, no hay fuentes de

producción de agua el flujo total es cero. Pretendemos con ello que el

teorema de Gauss del que vamos a hablar ahora no nos parezca tan

abstracto como suele ocurrir en los libros. Veamos.

Sea una superficie cerrada cualquiera como la de la figura

En cuyos puntos puede haber un campo eléctrico

representado por los vectores azules de la figura. Los vectores pequeños

representan los vectores superficie, perpendiculares a ella en cada punto

y hacia afuera como hemos quedado. Para calcular el flujo a través de esa

superficie calculamos los flujos infinitesimales de cada vector campo

eléctrico sobre una superficie pequeña en donde están aplicados. El flujo

total será la suma de todos los “flujitos”, o sea su integral.

El teorema de Gauss nos dice que si el flujo total no es cero

es que hay productores de campo eléctrico, cargas eléctricas, en su

interior (igual que en la tubería de la que hemos hablado). La fórmula

expresa la dependencia entre el flujo total en una superficie cerrada y la

carga en su interior:

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∅ = ∫ 𝑬 ∙⃗⃗ ⃗⃗⃗ 𝒅�⃗⃗⃗� =𝒒𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓

𝜺

Fórmula que representa al teorema de Gauss

Veamos con varios ejemplos como se utiliza para calcular

campos eléctricos producidos por:

a) planos o cortezas planas infinitas

b) hilos o cilindros infinitos

c) Bolas

PAUTAS PARA LA APLICACIÓN DEL Tª DE GAUSS

Es fundamental seguir unas pautas para llegar al resultado.

Vamos a decirlas primero y después las aplicaremos a rajatabla en los

ejemplos:

1º Por el punto en el que queramos calcular el campo eléctrico

hacemos pasar una superficie cerrada (llamada gaussiana) en la cual se

cumpla que el módulo del campo sea constante (aunque obviamente

desconocido) o bien en alguna de sus partes el flujo sea cero. Esto es

necesario como vamos a ver para poder calcular el flujo primero por la

definición. Estas superficies serán siempre cilindros excepto en las

esferas que también serán esferas.

2º Se calcula el flujo aplicando la definición

3º Se calcula el flujo aplicando el teorema de Gauss

4º Se igualan ambas expresiones y es entonces cuando podremos

deducir el valor del módulo del campo eléctrico.

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CAMPO ELECTRICO PRODUCIDO POR UN PLANO INDEFINIDO

Sea la superficie plana de la figura cargada con una densidad

superficial de carga 𝜎 𝐶𝑚2⁄

Queremos calcular el campo en el punto P de la figura situado

a una distancia h de él.

1º paso: por él hacemos pasar el cilindro cerrado que se muestra.

𝑆 P

�⃗⃗�

h

�⃗⃗�

𝑆

Veamos como en dicho cilindro se cumplen las pautas de las

que hemos hablado y por ello podemos calcular el flujo aplicando la

definición:

En las dos tapas el campo es vertical (no puede estar “torcido”

hacia la derecha o hacia la izquierda porque el plano es infinito y hay la

misma carga a la derecha que a la izquierda) y su módulo ha de ser el

mismo (aunque desconocido) porque ambas está a la misma distancia del

plano. En la superficie lateral del cilindro el flujo es cero porque al ser el

campo vertical pasa de perfil por la superficie y no entra ni sale de ella.

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2º paso: calculamos ya el flujo aplicando la definición:

∅𝑡𝑎𝑝𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 𝐸 ∙ 𝑆 ∙ 𝑐𝑜𝑠0 = 𝐸 ∙ 𝑆

∅𝑡𝑎𝑝𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 𝐸 ∙ 𝑆 ∙ 𝑐𝑜𝑠0 = 𝐸 ∙ 𝑆

∅𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟐𝑬𝑺

3º paso: calculamos el flujo aplicando Gauss

∅ =𝑄𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟

𝜀= |𝑄𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜, 𝑒𝑛 𝑟𝑜𝑗𝑜

= 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 = 𝜎 ∙ 𝑆| =𝝈 ∙ 𝑺

𝜺

4º paso: igualamos ambos flujos y despejamos 𝐸

2𝐸𝑆 =𝜎𝑆

𝜀→ 𝑬 =

𝝈

𝟐𝜺

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CAMPO ELECTRICO CREADO POR UN HILO INDEFINIDO

Sea el hilo de la figura cargado con una densidad de carga 𝛾𝐶

𝑚.

Queremos calcular el campo en el punto P de la figura definido por su

distancia “r” al cable:

∙ 𝑃

𝑟

Por el punto P hacemos pasar una superficie cerrada que

cumpla las condiciones, otro cilindro de longitud L y radio r:

𝐸1⃗⃗⃗⃗⃗ P

∙

𝐸2⃗⃗⃗⃗⃗ A

𝐸3⃗⃗⃗⃗⃗ r

𝐸4⃗⃗⃗⃗⃗ Q

𝐸5⃗⃗⃗⃗⃗

L

Para dibujar el campo en la superficie del cilindro se han

cogido los puntos de la semicircunferencia PQ que vista mirando al

cilindro desde la derecha y de frente a su tapa queda:

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P

Q

Como vemos, el campo eléctrico en cada punto de la superficie

lateral del cilindro es perpendicular a la superficie y de módulo constante

por lo que no tendremos que integrar para calcular el flujo y su valor será

𝐸 ∙ 𝑆. Por las tapas del cilindro el flujo será cero porque el campo pasa “de

perfil” y es perpendicular al vector superficie. Por lo tanto, estamos en

condiciones de calcular el flujo total por el cilindro aplicando la definición:

∅𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑆. 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = |∫ �⃗⃗�𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗⃗ = ∫ 𝐸 ∙ 𝑑𝑠 ∙ 𝑐𝑜𝑠0 = 𝐸 ∫ 𝑑𝑠 = 𝐸 ∙ 𝑆|

= 𝐸 ∙ 𝑆𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 𝐸 ∙ 2𝜋𝑦𝐿

Ahora, en un segundo paso, calculamos el flujo aplicando el

teorema de Gauss

∅𝑔𝑎𝑢𝑠 =𝑞𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟

𝜀=

𝛾𝐿

𝜀

En donde la carga interior al cilindro (en rojo) está en la

longitud 𝐿 del cable y será, con 𝛾 la densidad lineal de carga del cable, 𝛾𝐿

Por último, igualamos ambas expresiones:

𝐸 ∙ 2𝜋𝑦𝐿 =𝛾𝐿

𝜀

De donde despejando E, nos queda:

𝑬 =𝜸

𝟐𝝅𝜺𝒚