Interacción y El Principio de Cruce Factorial
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Interacción y el Principio de Cruce
Factorial
Glenn Méndez Ortiz
MATH 6400
Dr. B. García
Introducción
Diseños con estructura de tratamiento
factorial te proveen la información necesaria
para medir la interacción entre dos grupos de
condiciones que influencian tu respuesta.
El concepto de interacción es uno de los
más importantes en ciencias porque es la parte
de cómo las cosas trabajan.
1. Cruce Factorial y el Diseño Factorial
Básico de Dos Maneras
Si quieres dos o más grupos de condiciones
en el mismo experimento y quieres estudiar
cómo interactúan, tu diseño debe incluir todas
las posibles combinaciones de las condiciones.
Dos grupos de tratamientos son cruzados si
todas las combinaciones posibles de tratamiento
ocurren en el diseño. El diseño es llamado
factorial de dos maneras y tiene una estructura
de tratamiento factorial.
Ejemplo de engordar cerdos:Es natural pensar que añadir vitaminas a la dieta de los
cerdos puede hacerlos engordar de forma rápida. Pero
ellos tienen bacterias en sus intestinos que pueden
prevenir el uso de las vitaminas. Por lo tanto, podemos
añadir antibióticos a la dieta de los cerdos para controlar
las bacterias.
Los factores en las filas y en las columnas están cruzados: cada combinación
posible está presente.
Antibióticos
0 mg 40 mg
B 12 0 mg 1: Control 3: Antibióticos
5 mg 2: B 12 4: Ambos
Factores Básicos y Compuestos
Reservamos la palabra “tratamiento” para
condiciones que puedes asignar.
Un factor es compuesto si sus niveles vienen de
cruzar otros dos (o más) factores.
x =
Primer Factor Básico (Filas)
Segundo Factor Básico(Columnas)
Factor Compuesto(Columnas)
Diseño Factorial Básico de Dos
Maneras “Qué Haces”
Si tus condiciones vienen de cruce factorial y puedes asignarlas usando un recurso de posibilidad, consigues el experimento completamente aleatorio de dos maneras.
Experimento Completamente Aleatorio de Dos Maneras
• Las combinaciones de tratamiento vienen del cruce de dos factores de tratamiento básico.
• Las combinaciones de tratamiento son asignados a unidades completamente al azar.
• Para balance, cada combinación de tratamiento es asignada al mismo número de unidades.
• Si quieres medir interacción en un diseño de dos maneras, tienes que tener más de una observación por celda.
Aquí presentamos aleatorización completa con el
ejemplo de los cerdos:
Respuesta: Promedio de
peso ganado en libras.
Combinación de
Tratamientos: 4 dietas
Unidades
Experimentales: 12 cerditos
Diseño de
Aleatorización Completa: Asignar al azar una dieta a cada
cerdito, con cada dieta a 3 cerditos.
Factor de Estructura del Diseño Factorial
Básicos de Dos Maneras: “Qué Consigues”
Cada Diseño Factorial Básico de Dos Maneras
tiene tres factores estructurales:
1. Factor del primer tratamiento
2. Factor del segundo tratamiento
3. Interacción
Antibióticos0 mg 40 mg
0 mg 1.30 1.051.19 1.001.08 1.04
5 mg 1.26 1.521.21 1.561.19 1.54
B 12
Antibióticos
0 mg 40 mg
B 12 0 mg 1.19 1.03
5 mg 1.22 1.54
Peso ganado (lbs.) de cerdos
Promedios de dietas
Promedio mayor: 1.245
Forma Reducida
1. Punto de Referencia: Promedio Mayor
2. Dietas: Promedio separado para cada uno de los
grupos de las 4 dietas.
3. Error Residual: Comparar los valores observados
individualmente.
Forma Expandida:
Factor
Factor
0 mg
5 mg
Averages
1.11
1.38
0 mg 40 mgAverages
1.205(0 mg)
1.285(40 mg)
3. B 12 X Antibióticos . (Interacción)
PromedioMayor Vitamina B 12 Antibióticos Interacción Error Residual
Diseño completamente aleatorio de dos maneras
2. Interacción y la Gráfica de
Interacción
Interacción de cómo una diferencia de diferencias
Una manera de medir el efecto de los antibióticos
es restando: promedio con antibióticos – promedio
sin antibióticos.
Para los cerdos que recibieron antibióticos sin
vitaminas B 12 obtuvieron un 0.16 de peso ganado
por día. Y los que recibieron antibióticos y B 12
aumentaron su peso por 0.32 al día. Promedio con B
12 – Promedio sin B 12.
Antibióticos Diferencia
0 mg 40 mgProm. con - Prom
sin
B 12 0 mg 1.19 1.03 -0.16
5 mg 1.22 1.54 0.32
En los cerdos que no recibieron antibióticos y sí
vitaminas B 12 casi no vimos efecto. En los cerdos
que recibieron antibióticos y vitaminas B 12 vemos
media libra ganada por día.
Antibióticos
0 mg 40 mg
B 12 0 mg 1.19 1.03 Cada diferencia es igual
5 mg 1.22 1.54 al promedio con B 12 -
Diferencia 0.03 0.51 promedio sin B 12
La Estructura de Interacciones
Factor 1: B 12 , a dos niveles (0 mg y 5 mg)
Factor 2: Antibióticos, a dos niveles
(0 mg y 40 mg)
Respuesta: Promedio diario de peso ganado en libras.
Interacción: La diferencia en promedio de peso ganado debido a antibióticos es diferente dependiendo de que si la B 12 está presente o no.
Gráfica de Interacción para los Datosde los Cerdos
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
No Antibióticos Antibióticos
No B12
B12
3. Descomposición y ANOVA (Análisis de
Varianza) para el Diseño de Dos Direcciones
Utilizaremos lo que los estadísticos llaman “codificar” para
cambiar la escala de respuesta en el ejemplo de los cerditos.
Cada observación es igual a “1 . algo ”. Dejamos fuera los 1’s y
multiplicamos cada decimal restante por 100. En vez de medir en
libras estaremos midiendo en centésimas de libras por encima de 1
libra.
Datos Originales
Antibióticos0 mg 40 mg
0 mg 1.3 1.05
B 12 1.19 1
1.08 1.04
5 mg 1.26 1.52
B 12 1.21 1.56
1.19 1.54
El codificar los datos de los cerditos hace que
los diseños sean más fáciles de ver.
Datos Codificados
Antibióticos
0 mg 40 mg
0 mg 30 5
B 12 19 0
8 4
5 mg 26 52
B 12 21 56
19 54
Promedio de las Celdas
19 3
22 54
Descomposición
Descomposición para los datos codificados
de los cerdos.
Paso 1. Descomponga cada valor observado en
promedio de celda más el residual.
30 5
19 0
8 4
26 52
21 56
19 54
19 3
19 3
19 3
22 54
22 54
22 54
11 2
0 -3
-11 1
4 -2
-1 2
-3 0
Paso 2. Descomponer el promedio de las celdas en
cuatro partes, en dos pasos:
a. Usa la tabla del promedio de las celdas para
calcular los promedios de los dos factores
básicos, luego el promedio mayor, y luego los
efectos principales estimados ( = Promedio del
factor – promedio mayor).
Antibióticos Filas
0 mg 40 mg Total Prom Efecto
0 mg 19 3 22 11 -13.5
5 mg 22 54 76 38 13.5
Total 41 57 98
Prom 20.5 28.5 24.5 Promedio Mayor
Efecto -4 4
C
O
L
B 12
b. Interacción. Calcular ajuste principal =
promedio mayor más el efecto para el factor
básico 1 más el efecto para el factor básico 2;
entonces el efecto de interacción = promedio de
celdas – ajuste parcial.
Promedio Mayor
24.5 24.5
24.5 24.5
Efecto del Antibiótico
-4 4
-4 4
Efecto de B 12
-13.5 -13.5
13.5 13.5
Ajuste Parcial
7 15
34 42+ + =
Efecto de Interacción Estimado
Promedio de Celdas
19 3
22 54
Ajuste Parcial
7 15
34 42
Efecto de Interacción
12 -12
-12 12- =
Descomposición completa
Obs30 519 08 4
26 5221 5619 54
PromedioMayor
24.5 24.524.5 24.524.5 24.524.5 24.524.5 24.524.5 24.5
B 12-13.5 -13.5-13.5 -13.5-13.5 -13.513.5 13.513.5 13.513.5 13.5
Antibióticos
-4 4
-4 4
-4 4
-4 4
-4 4
-4 4
Interacción12 -1212 -1212 -12-12 12-12 12-12 12
Residual
11 2
0 -3
-11 1
4 -2
-1 2
-3 0
= + + + +
Grados de Libertad
Hay tres formas en que puedes
encontrar grados de libertad (g1):
contando números libres, por la regla
general basada en factores de adentro y de
afuera o por formulas de atajo para el
Diseño Factor Básico de Dos Maneras.
Grados de Libertad para Diseño
Balanceado de Dos Direcciones
Factor Grados de Libertad
Punto de Referencia 1
Cada factor básico número de niveles – 1
Interacción (grados de libertad para el primer
factor) x (grados de libertad para el
segundo factor)
Error de chance (número de celdas) x (número de
observaciones por celda – 1)
Grados de Libertad para los Datos de los
Cerdos: Contando Números Libres
gl Mayor = 1 ,
gl B 12 = (2 – 1) = 1 ,
gl Anti = (2 – 1) = 1 ,
gl Inter = (2 – 1) (2 – 1) = 1 ,
gl Res = 4 (3 – 1) = 8
Medidas Cuadradas, Desviación Estándar y Pruebas - F
Ejemplo: La Desviación Estándar y la Suposición de Normalidad para los Datos de los Cerdos
Calcularemos un estimado para la Desviación Estándar de los errores de chance y verificaremos la suposición de normalidad comparando los residuos con la Desviación Estándar estimada.
MSRes = SSRes = 290 = 36.25dfRes 8
SD = √MSRes = √36.25 = 6.02
Tabla de Análisis de Varianza para los Datos Codificados de los Cerdos
FuenteSuma de
Cuadrados gl Media Cuadrada Razón FValor de la
tablaPromedio Mayor 7,203 1 7,203B 12 2,187 1 2,187 60.33 5.32Antibióticos 192 1 192 5.30 5.32Interacción 1,728 1 1,728 47.67 5.32Residual 290 8 36.25Total 11,310 12
--l---l---l---l---l---l---l---l---l---l---l---l---l---l---l---l---l---l---l---l---l---l---l---l--
DE DE----------------------------l-----------------------------
10 de 12, ó 83%
DE DE DE DE-----------------------l---------------------------l---------------------------l-----------------------
12 de 12, ó 100%
0 5 10-5-10
Bibliografía
George W. Cobb (1998) Introduction to Design and Analysis of Experiments. Springer