INTERES  COMPUESTO  

Definición

“El interés compuesto se caracteriza porque el interés generado en un

período de tiempo ,siempre que no se retire, se suma al capital y este nuevo valor vuelve a ganar intereses y se acumula al nuevo capital. Y

así sucesivamente tanta veces como períodos de capitalización se hayan establecido. En este método, se dice que los intereses se

capitalizan.”

2

COMPARACION CON EL INTERES SIMPLE Ejemplo •  Calcular el Monto a interés simple y el interés compuesto de un

capital de $ 4.000.000 invertido a una tasa de interés del 10% durante 6 períodos.

a) Interés simple. I= Cit = 4.000.000 (0,10) (6) = $ 2.400.000 M = C (1+it) = 4.000.000 [1 + 0,10(6)] = $ 6.400.000.-

3

b) Interés compuesto •  Para el primer período M= 4.000.000 [1 + 0,10(1)] = $ 4.400.000 •  Para el segundo período M = 4.400.000 [1 + 0,10(2)] = $ 4.840.000.

•  Para el tercer período M = 4.840.000 [1 +0,10(3)] = $ 5.324.000.

•  Para el cuarto período M = 5.324.000 [1 + 0,10(4)] = $ 5.856.400.

•  Para el quinto período M = 5.856.400 [1 + 0,10(5)] = $ 6.442.040.

•  Para el sexto período M = 6.442.040 [1 + 0,10(6)] = $ 7.086.244.-

4

Note la diferencia: •  El Monto final a Interés simple = $ 6.400.000. •  El Monto final a Interés Compuesto = $ 7.086.244.

CONCLUSIONES: El interés simple es constante durante todo el período El interés compuesto es creciente a través del tiempo porque los interese

se van capitalizando a través del tiempo Mientras más períodos se capitalice, mayor será la diferencia entre el IS y

el IC

5

VARIABLES DEL INTERES COMPUESTO

•  Período de capitalización = n: es el espacio de tiempo en el que el interés se adiciona o acumula al capital. Este período puede ser anual, semestral, trimestral, mensual, etc.

•  Tasa de interés = i: es la tasa de capitalización del período que puede ser anual, semestral, trimestral, mensual, diaria, etc.

6

Ejemplo: •  Calcular el número de períodos de capitalización y la tasa de interés por

período de capitalización de un capital invertido a interés compuesto durante 7 años, a una tasa de interés de 15% anual capitalizable semestralmente.

•  t = 7 años

•  Entonces:

•  n= número total de meses / número de meses del período de capitalización

•  n = 7(12)/6 = 14 semestres

7

•  i= tasa anual/ numero de capitalizaciones al año= tasa anual /m en donde

•  m= 360 / Nº de días del período = 360/ 180 = 2

•  i = 0,15 anual / 2 (semestres) = 0,075 = 7,5% semestral

8

Ejemplo:

•  Calcular el número de períodos de capitalización(n) y la tasa de interés por período de capitalización (i) de un capital colocado a interés compuesto durante 5 años, a una tasa de interés anual del 15%, capitalizable trimestralmente

•  t = 5 años

•  i= 15%

•  n= 5 (12/3) = 20 trimestres

•  m= 360 / 90 = 4 significa que se capitaliza 4 veces al año.

•  I = 0,15/ 4 (trimestres) = 0,0375 = 3,75% trimestral

9

FORMULA DEL MONTO A INTERES COMPUESTO

•  El Monto (M) de un capital invertido a interés compuesto, o monto compuesto, es el valor del capital final, o capital acumulado, después de sucesivas adiciones de los intereses.

IC = MC – C En donde

•  IC = interés compuesto •  MC= Monto Compuesto •  C= Capital original

10

11

Ejemplo:

•  Calcular el monto (M) a interés compuesto de un capital de $ 100.000 a 4 años plazo invertidos a una tasa del 12% anual.

•  Si tenemos que I = Cit

•  Primer año: •  I = 100.000(0,12) (1) = $ 12.000. •  M= 100.000 + 12.000 = $ 112.000.

•  Segundo año: •  I = 112.000(0,12) (1)= $ 13.440 •  M= 112.000 + 13.440= $ 125.440

12

•  Tercer año: •  I = 125.440(0,12) (1)= $ 15.052,80 •  M = 125.440 + 15.052,80 = $ 140.492,80

•  Cuarto año: •  I = 140.492,80(0,12) (1)= $ 16.859,14 •  M= 140.492,80 + 16.859,14 = $ 157.351,94 Entonces, •  C= Capital •  i = Tasa de interés por período de capitalización •  n= número de períodos de capitalización

Entonces para n períodos de capitalización tenemos

13

Período   Capital  al  inicio  del  período  

Interés   Monto  

1   C   Ci   C  +  Ci  =  C(1  +  i)  

2   C(1+i)   C  (  1  +  i)i   C(1+i)  +  C(1+i)i=  C(1+i)2  

3   C(1+i)2   C(1+i)2  i   C(1+i)2  +  C(1+i)2  i=  C(1+i)3  

4   C(1+i)3   C(1+i)3  i  

n   C  (  1  +  i  )  n-­‐1   C  (  1  +  i  )  n-­‐1  i   C  (  1  +  i  )  n-­‐1  +  C  (  1  +  i  )  n-­‐1  i  =  C(  1+  i  )  n  

Entonces, para cualquier período de capitalización y tasa de interés por período, se obtiene la fórmula del monto a interés compuesto:

M= C (1 + i)n

La fórmula del Monto también puede expresarse tomando en cuenta los períodos de capitalización menor de un año: semestral, trimestral, mensual,

diaria.

14

Entonces, el INTERES será

I = M-C

15

Fórmula del Monto a interés compuesto en función de m y t

M = C (1 + i/m) mn En donde: •  M = Monto

•  C = Capital inicial

•  i = Tasa de interés nominal que puede ser capitalizable varias veces en un año

•  m = número de capitalizaciones al año

•  n = número de años

16

•  Si la capitalización es anual, la fórmula del monto en un año es:

M = C (1+i)n •  Si la capitalización es semestral

M = C (1 + i/2)2 •  Si la capitalización es trimestral

M = C (1 + i/4)4

17

•  Si la capitalización es bimestral

M = C (1 + i/6)6 •  Si la capitalización es mensual

M = C (1 + i/12)12 •  Si la capitalización es quincenal

M = C (1 + i/24)24 •  Si la capitalización es diaria

M = C (1 + i/360)360

18

Ejemplo •  Calcular el monto de un capital de $ 200.000 invertido al 12% interés anual

compuesto durante 5 años capitalizable en la siguiente manera:

•  Anualmente ( o tasa efectiva)

M= 200.000(1+0,12)5 = $ 352.468,34 •  Capitalizable semestralmente

M = 200.000(1+0,12/2)10 = $ 358.169,54 •  Capitalizable trimestralmente

M = 200.000(1+0,12/4)20 = $ 361.222,25

19

•  Capitalizable bimestralmente

M = 200.000(1+0,12/6)30 = $ 362.272,32 •  Capitalizable mensualmente

M = 200.000(1+0,12/12)60 = $ 363.339,34 •  Capitalizable diariamente

M = 200.000(1+0,12/360)1.800 = $ 364.387,33 OBSERVE QUE CUANDO EL PERIODO DE CAPITALIZACION AUMENTA,

AUMENTA EL MONTO PORQUE AUMENTA EL INTERES COMPUESTO

20

Ejemplo: •  Una empresa obtiene un préstamo de $ 3.000.000 a 6 años plazo a una

tasa de interés anual del 15% capitalizable semestralmente. Calcular el monto que debe pagar al vencimiento y el interés pagado.

•  M= 3.000.000(1+0,15/2)12 = 3.000.000(1,075)12 •  = 3.000.000(2,381780)= $ 7.145.338,80 •  Interés que debe pagar: •  I = M – C •  I = 7.145.338,80 – 3.000.000 = $ 4.145.338,80

21

Monto Compuesto con períodos de capitalización fraccionarios

Cuando el tiempo de pago no coincide con el período de capitalización, se

presenta este caso Ejemplo: Calcular el valor de una deuda de $ 4.000.000 contraída a interés

compuesto durante 6 años y 3 meses plazo, a una tasa de interés anual del 14% capitalizable semestralmente.

22

•  Resolucion Toma el valor exacto de n en la fórmula del Monto compuesto Entonces tenemos: •  n = 6(12) + 3 / 6 = 75/6 = 12, 5 semestres •  i = 0, 14/2= 0, 07 semestral (7% semestral) •  M = 4.000.000 (1 +0, 07)12.5 = 4.000.000(2, 329685)= $ 9.318.740,34

23

Ejemplo: •  Calcular el Monto compuesto de un capital de $ 2.000.000 invertido a 7

años y 8 meses plazo a una tasa anual del 18% capitalizable trimestralmente

Calculo n e i •  n= 7(12)+8/ 3 = 84+8 /3 = 30,6667 trimestres •  i = 0,18/4 = 0,045 trimestral M= 2.000.000(1+0,045)30,6667= $ 7.713.714,13

24

EJERCICIOS 1.- Una empresa obtiene un préstamo de $ 4.000.000. a 10

anos plazo a una tasa de interes del 15% anual capitalizable semestralemente . Calcule el interés y el Monto que debe pagar en la fecha de vencimiento.

2.- Una persona toma un depósito a plazo en su libreta de

ahorros de $ 3.000.000. al 12% de interés anual capitalizable trimestralmente. Cuanto habrá en su libreta ala cabo de 8 años y 6 meses.

25

3.- Calcule el Monto a interes compuesto de un Capital de $ 1.000.000 invertido al 12% anual durante 10 años.

4.- Rubén abre una cuenta de ahorros hoy, con $ 800.000.

a una tasa de interés del 14% capital izable semestralmente .Calcule cuanto habrá en la cuenta al cabo de 7 años y 7 meses.

26

CALCULO DE LA TASA DE INTERES

LA TASA NOMINAL O EFECTIVA DE INTERES SE PUEDE CALCULAR PARTIENDO DE LA FORMULA DEL MONTO

M = C ( 1 + i ) n ; M= C ( 1 + i/m)mn

Y DESPEJAMOS APLICANDO LOGARITMOS

27

M C M C

28

log (1 + i ) n

n log (1 + i )

M C n log (1 + i )

log

log

log

O TAMBIEN i =

29

M  C  

1/ n

- 1

EJEMPLO A qué tasa efectiva se convertirá un capital

de $ 300.000 en un monto de $ 450.000 al cabo de 6 anos? M = C ( 1 + i ) n M/C = ( 1 + i )n

30

450.000 / 300.000 =( 1 + i ) 6

1,5 = ( 1 + i ) 6 Aplicamos logaritmos log1,5 = log( 1 + i ) 6

log1,5 = 6 log( 1 + i )

log1,5 /6 = log( 1 + i ) 0,029348= log( 1 + i ) antilog 0,029348= 1 + i

31

1, 069913 = 1 + i

0,069913 = i

i = 6,99132 %

32

ACTIVIDADES DE EJERCITACION

•  A q u é t a s a a n u a l c a p i t a l i z a b l e trimestralmente, un capital de $ 400.000 se convertirá en ¾ veces más al cabo de 5 años?

•  A qué tasa efectiva es equivalente la tasa del 11,35037% anual capital izable trimestralmente?

33

•  A qué tasa efectiva se convertirá un capital de $ 500.000 en un Monto de $ 900.000 en 9 anos y 6 meses?

•  A que tasa de interés annual capitalizable

trimestralmente se debe colocar un capital de $ 1.000.000 para que produzca un Monto de $ 5.500.000 en 6 anos y 9 meses.A qué tasa efectiva equivale?

34

CALCULO DEL TIEMPO

A INTERES COMPUESTO

PARA CALCULAR EL TIEMPO, SE DEBE CALCULAR PRIMERO n, POR LO CUAL SE APLICA LA FORMULA DEL MONTO

M = C ( 1 + i ) n ; M= C ( 1 + i/m)mn

M = C ( 1 + i ) n

35

36

               M                          C                    M                                C        

log (1 + i )

n log (1 + i )

n

log

log

log

M C

log (1 + i ) n

EJEMPLO En qué tiempo un capital de $ 1.000.000. se

convertirá en $ 1.500.000. a una tasa de interés efectiva del 18%?

Tenemos: •  M = $ 1.500.000 •  C = $ 1.000.000 •  i = 18%

37

•  M/C = ( 1 + i )n •  1.500.000 / 1.000.000 = ( 1 + 0,18)n •  1,5 = ( 1 + 0,18)n •  log 1,5 = log ( 1 + 0,18 )n •  log 1,5 =n log ( 1 + 0,18) •  n=log 1,5 / log (1+0,18) •  n = 0,176091/0,071882 •  n= 2,449726 anos (1 ano = 360 días, 0,449726 son x

días) •  n= 2 anos, 5 meses, 12 días

38

EJERCICIOS

•  En qué tiempo un capital de $ 700.000 se duplicará invertido a una tasa del 18% capitalizable semestralmente?

•  En qué tiempo un capital de $ 2.500.000 , se

convertirá en $ 5.625.000 invertido a una tasa de interés anual del 24% capitalizable semestralmente?

39

•  En cuantos anos aumentará en ¾ su valor un capital de $ 600.000 invertido a una tasa de interés del 17% capitalizable semestralmente ?

40

VALOR ACTUAL A INTERES COMPUESTO

•  El VAC es el valor de un documento, inversión o deuda, antes de la fecha de su vencimiento, considerando determinada tasa de interés

•  VAC significa el valor de un pago futuro en una determinada fecha antes de su vencimiento

41

Responde por ejemplo a : •  Cuanto vale HOY día una deuda de $ 1.000.000

que vencerá en 5 anos mas ? •  En cuanto se puede vender HOY un documento

de $ 5.000.000 que en vence en 4 anos más?

42

•  Si tenemos que: M= C(1 + i )n

Despejamos C C = para tasa efectiva

Para tasa nominal =

43

M

(1  +  i  )n  

C M

(1  +  i/m  )mn  

•  Para el cálculo del VAC (entre la fecha de suscripción y la fecha de vencimiento) pueden haber dos casos generales:

•  Caso 1: Cuando conocemos el valor que tendrá un documento al cabo de n periodos ( o sea, conocemos el Monto)

•  Caso 2 : Cuando conocemos el valor hoy día del documento que gana interés. En este caso desconocemos el Monto (hay que calcularlo).

44

Ejemplo Caso 1: •  Cual es el VAC de un pagaré cuyo valor al

vencimiento al final de 4 años es $ 3.500.000, considerando una tasa de interés del 12% anual capitalizable semestralmente?

Entonces tenemos que : •  M=$ 3.500.000.- •  J = 0,12 •  m = 2 •  t = 4

45

•  C= M ( 1 + j/m)

•  C = M ( 1 + 0,12/ 2)

•  C = 3.500.000 ( 1 + 0,06)

•  C = 3.500.000 (0,627412) = $ 2.195.943,30

46

- mt

-(2)4

-8

1 0 2 3 4

$ 2.195.943,30 $ 3.500.000

47

Ejemplo Caso 2: •  Cual es el VAC de un pagaré cuyo valor nominal

es $ 500.000 a 6 años plazo considerando una tasa de interés del 12% anual capitalizable semestralmente desde su suscripción si se vende dos años antes de la fecha de vencimiento , considerando una tasa anual del 14% capitalizable semestralmente?

Solución gráfica

48

0 1 2 3 4 5 6

$ 500.000 M= ? C= ?

Entonces primero se calcula el Monto a 6 anos: •  M = C ( 1 + i/m) •  M = 500.000 ( 1 + 0,12/ 2)

•  M = 500.000 ( 2,012196)

•  M = $ 1.006.098,236

49

mn

2(6)

Ahora calculamos el VAC 2 anos antes de su vencimiento

C = M (1 + i/m) C = 1.006.098,236 ( 1 + 0,14/ 2) C = 1.006.098,236 (0,762895) C = $ 767.547,58 ( VAC)

50

-mn

-2(2)

VAC CON TIEMPO FRACCIONARIO

Para calcular el VAC con períodos de capitalización fraccionarios, utilizamos la fórmula del interés compuesto

C = o lo que es lo mismo C = M ( 1 + i )

51

M

(1 + i ) n

-n

Ejemplo El valor de un pagaré al cabo de 7 anos será $3.400.000. Calcular su VAC luego de transcurridos 3 años y

4 meses de la fecha de suscripción , considerando una tasa de interés del 14% capitalizable semestralmente

M = $ 3.400.000 i/2 = 0,14 /2 = 0,07

52

Calculamos primero el tiempo n Aplicamos la fórmula: C C = $ 2.070.131,25

53

= (7)(12) – [ (3)(12) + 4 ]

6 = 44/ 6 = 7,3333

= $ 3.400.000( 1 + 0,14/2) - 7,3333

EJEMPLO Luego de 3 años y 3 meses de la fecha de

suscripción se negocia un documento suscrito el día de hoy por $ 2.800.000 a 6 años 9 meses con una tasa de interés del 12% capitalizable semestralmente. Calcular el valor actual a dicha fecha considerando una tasa de interés del 11,25% efectiva.

54

•  Se calcula el Monto al final de los 6 años y 9 meses

n M 2.800.000 ( 1 + 0,12/2) M $ 6.148.755,355

55

= (6)(12)+ 9

6 =

81

6 = 13 3/6 = 13,5

= 13,5

=

Ahora se calcula el valor actual a los 3 años y 3 meses, si la tasa de interés es del 11,25% efectiva

El tiempo que falta para el vencimiento del documento es:

n C = $ 6.145.755,355 (1+0,1125) C = $ 4.233.866,90

56

= [6(12) +9] – [3(12)+3]

6 = 3,5 anos

- 3,5

EJERCICIOS

•  Calcule el VAC de un pagaré cuyo valor al término de 3 años y 6 meses será de $ 2.100.000 considerando una tasa de interés del 16% anual capitalizable semestralmente.

•  Un documento suscrito hoy por $ 950.000 a 5 años plazo a una tasa del 17% anual capitalizable semestralmente , se vende dos anos antes de la fecha de su vencimiento considerando una tasa del 18% anual capitalizable semestralmente. Calcule el VAC a esa fecha

57