MAT

EMÁT

ICA

FINA

NCIE

RA INTERÉS COMPUESTO

Expositor: Daniel Robles Fabián

𝑴𝒐𝒏𝒕𝒐

=𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂

𝒍 (𝟏+𝑻𝒂𝒔𝒂𝒅

𝒆 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒆

𝒔 )𝑻𝒊𝒆

𝒎𝒑𝒐

𝑺=𝑷(𝟏+𝒊)

𝒏

MAT

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ICA

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NCIE

RAINTERÉS COMPUESTO

Concepto.- Es un proceso donde un capital en una unidad de periodo, genera intereses y luego los suma para formar un nuevo capital, a este proceso se le llama capitalización.

Donde: P1 + I1 = S1 Pn + In = Sn

P1 P2S1= P3S2

P4S3PnSn-1 SnS4

= = =

I1 I2 I3 I4 In-1

i

0 1 2 3 4 n-1 n

MAT

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NCIE

RA P + I

i

Cuando se va acumulando intereses en varias

unidades de periodos consecutivos el capital

crece geométricamente.

Este proceso de capitalización

periódica es efecto de la tasa de

interés compuesto.

MAT

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NCIE

RA Un caso:

Si recibimos un préstamo de S/. 1000 a pagarse en 4 meses fijado a una tasa del 10% mensual.

P1=1000

S1=1100=P2

I1=1000x0.1

I1=100

I2=1100x0.1 I3=1210x0.1 I4=1331x0.1

I2=110 I3=121 I4=133.10

S2=1210=P2 S3=1331=P2 S4=1464.10

i = 10%(tasa de interés)

0 2 3 41

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NCIE

RATASAS DE INTERÉS COMPUESTO

1. Tasas Efectiva Periódica (i, if, ip).- Es aquella tasa que capitaliza una vez cada periodo definido.

Ejemplo:ia = tasa efectiva anual =TEA

is = tasa efectiva semestral =TES

it = tasa efectiva trimestral =TET

ib = tasa efectiva bimestral =TEB

im= tasa efectiva mensual =TEM

iq= tasa efectiva quincenal =TEQ

id = tasa efectiva diario =TED

P S

n1 n2

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NCIE

RA 2. Tasa Nominal (J).- Es una tasa anual, pero capitaliza varias veces al año.

P S

0n= 1 año

1 2 3 4

m = 4

Si el número de capitalizaciones al año es 4, entonces es capitalización trimestral.

J

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NCIE

RATiempo(n) Capitalización # de Capitalizaciones

al año(m)1 año Anual 1

6 meses Semestral 2

3 meses Trimestral 4

2 meses Bimestral 6

1 mes Mensual 12

½ mes Quincenal 24

1 día Diaria 360

Periódo Sistema Financiero Calendarioaño 360 días 365 /366 según el añomes 30 días 28 /29/30/31 según el mes

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RAMONTO A TASA EFECTIVA PERIÓDICA(S)

Es el Valor futuro o capital acumulado que se obtiene a partir de la capitalización que impone una tasa efectiva de un periodo determinado.

Periodo(n) Capital(P) Interés(I) Monto(S)1 P Pxi P+Pxi = P(1+i)

2 P(1+i) P(1+i)xi P(1+i)+P(1+i)xi = P(1+i)2

3 P(1+i)2 P(1+i)2xi P(1+i)2+P(1+i)2

xi = P(1+i)3

4 P(1+i)3 P(1+i)3xi P(1+i)3+P(1+i)3

xi = P(1+i)4

. . . .

. . . .n P(1+i)n-1 P(1+i)n-1

xi P(1+i)n-1+P(1+i)n-1xi =P(1+i)n

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NCIE

RA Entonces para cualquier periodo “n” el valor futuro o monto se obtiene con la siguiente formula deducida:

Donde: S Valor futuro o montoP Valor presente o capital iniciali Tasa efectiva periódican Tiempo

Nota: Para aplicar correctamente la formula, la tasa de interés y el tiempo deben estar a la misma unidad de periodo.

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RAEjemplo1:

Un crédito personal de S/.5000 debe ser cancelado a 1 año y 3 meses a una TEA=35,5%. Calcular el monto a pagarse en ese plazo indicado.Solución:

Datos

P=5000Ia = 0,355 anualn = 15/12 años

Por formula:𝑆=𝑃 (1+ 𝑖𝑎)𝑛

Aplicando los datos tenemos:

𝑆=5000 (1+0,355)15 /12

𝑺=𝟕𝟑𝟎𝟗 ,𝟔𝟏

PS

0 1 año 1 a y 3 m

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RAEjemplo2:

Una cuenta a plazos de S/. 20000 debe permanecer en el banco por 8 meses ganando intereses a una TET=1,8%. Calcular el monto a retirarse al vencimiento del plazo.Solución:

Datos

P= 20000it = 0, 018 trimestraln = 8/3 trimestres

Por formula:𝑆=𝑃 (1+ 𝑖𝑡)𝑛

Aplicando los datos tenemos:

𝑆=20000 (1+0,018)8/3

𝑺=𝟐𝟎𝟗𝟕𝟒 ,𝟒𝟔

PS

0 1 t 2 t y 2 m2 t

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RAMONTO A TASA NOMINAL ANUAL

Es el Valor futuro o capital acumulado que se obtiene a partir de una tasa nominal que capitaliza varias veces al año en un periodo determinado.Se calcula con la siguiente formula:

𝑺=𝑷 (𝟏+𝑱𝒎 )

𝒏 𝒙𝒎

Donde: S Valor futuro o montoP Valor presente o capital inicialJ Tasa Nominal Anualm Número de capitalizaciones al añon Tiempo en años

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RAEjemplo3:Un bono hipotecario adquirido a S/. 9000 con un plazo de vencimiento de 1 año y 6 meses debe pagar intereses a una J=25,2%. Capitalizable semestralmente. Calcular el monto a cancelarse.Solución:

Datos

P= 9000J = 0, 252m= 2 (cap. Semestral)n = 1,5 año

Por formula:

𝑆=𝑃 (1+ 𝐽𝑚 )

𝑛𝑥𝑚

Aplicando los datos tenemos:

𝑆=9000(1+ 0,2522

)1 , 5𝑥 2

𝑺=𝟐𝟎𝟗𝟕𝟒 ,𝟒𝟔P S

0 1 s 3s2 s

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RA

𝒊𝒂=(𝟏+𝑱𝒎 )

𝒎−𝟏

𝑱=𝒎(𝒎√𝟏+𝒊𝒂−𝟏)

TEORÍA DE CONVERSIÓN DE TASASDE INTERÉS COMPUESTO

Caso 1: Conversión de Tasa Efectiva Anual a Tasa Nominal Anual

Si: 𝑆=𝑃 (1+ 𝑖𝑎)𝑛=𝑃 (1+ 𝐽𝑚 )

𝑛 𝑥𝑚

1+𝑖𝑎=(1+ 𝐽𝑚 )

𝑚

Despejando tenemos:

Tasa Efectiva Anual (ia)

Tasa Nominal Anual(J)

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RA Ejemplo: A que tasa efectiva anual será equivalente la tasa nominal del 21% capitalizable mensualmente.

Solución:

Datos:

ia= ?J = 0,21m=12 (cap. mensualmente)

Como:

Remplazando tenemos:

𝒊𝒂=(𝟏+𝑱𝒎 )

𝒎−𝟏

𝒊𝒂=(𝟏+𝟎 ,𝟐𝟏𝟏𝟐 )

𝟏𝟐−𝟏

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RA Ejemplo: A que tasa nominal que sea capitalizable trimestralmente será equivalente a la tasa efectiva anual del 24;6%

Solución:

Datos:

J = ?m = 4 (cap. trimestralmente)ia= 0,246

Como:

Remplazando tenemos:

-1)

𝑱=𝒎(𝒎√𝟏+𝒊𝒂−𝟏)

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RATEORÍA DE CONVERSIÓN DE TASAS

DE INTERÉS COMPUESTO Caso 2: Conversión de Tasa Nominal Anual a Tasa Efectiva

Periódica

𝒊𝒙=𝑱𝒎 Donde “x” depende de m

Ejemplo1:

J=20%m= 4 (cap. trim.)

5%

Ejemplo2:

J=18,6%m= 24 (cap. quinc.)

0,775%

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RATEORÍA DE CONVERSIÓN DE TASAS

DE INTERÉS COMPUESTO

Caso 3: Conversión de Tasas Efectivas Periódicas

Si: 𝑆=𝑃 (1+ 𝑖𝑎)𝑛=𝑃 (1+ 𝐽𝑚 )

𝑛 𝑥𝑚

𝟏+𝒊𝒂=(𝟏+𝑱𝒎 )

𝒎

Analógicamente:

𝟏+𝒊𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓=(𝟏+𝒊𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓)𝒎

Despejando se deduce:Tasa Efectiva Mayor:

Tasa Efectiva Menor:

𝒊𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓=(𝟏+𝒊𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 )𝒎−𝟏

𝒊𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓=𝒎√𝟏+𝒊𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓−𝟏

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RAEjemplo1: A que tasa efectiva semestral equivale la tasa efectiva bimestral del 4,52%.

Solución:Datos:iS = ? (mayor)Ib = 0,0452m = 3

𝒊𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓=(𝟏+𝒊𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 )𝒎−𝟏

𝒊𝒔=(𝟏+𝟎 ,𝟎𝟒𝟓𝟐 )𝟑−𝟏𝒊𝒔=𝟏𝟒 ,𝟏𝟖%

Ejemplo2: A que tasa efectiva mensual equivale la tasa efectiva anual del 18,15%.Solución:Datos:im = ? (menor)Ia = 0,1815m = 12

𝒊𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓=𝒎√𝟏+𝒊𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓−𝟏

𝒊𝒎=𝟏𝟐√𝟏+𝟎 .𝟏𝟖𝟏𝟓−𝟏𝒊𝒎=𝟏 ,𝟒𝟎%

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RAFORMULAS DERIVADAS DEL MONTO

A partir de: 𝑷 (𝟏+𝒊𝒑)𝒏=𝑺 Despejando tenemos:

1. Valor Actual o Capital (P) 𝑷=𝑺

(𝟏+𝒊𝒑)𝒏

2. Tasa Efectiva Periódica (ip) 𝒊𝒑=𝒏√ 𝑺𝑷 −𝟏3. Tiempo(n)

𝒏=𝑳𝒐𝒈 (

𝑺𝑷 )

𝑳𝒐𝒈 (𝟏+𝒊𝒑)

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RAProblema 1: ¿Qué préstamo debe realizarse a 6 meses y 18 días para poder cobrar las suma de S/.12640 fijado a una TEM=4,5%.Solución:

Datos:

P = ?n = 6 m y 18 dim=0,045S = 12640 𝑃=

𝑆(1+𝑖𝑚)𝑛

Sabemos que:

Remplazando:

𝑃=12640

(1+0,045)6,6

18 días convertir a meses mediante el método de la unidad.

= 0,6 m

𝑃=9453,22

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RAProblema 2: ¿ A qué tasa efectiva bimestral debe otorgarse un crédito de S/.6800 para cobrara la suma de S/.9120 en el plazo de 1 año, 5 meses y 3 días.

Solución:

Datos:

ib=0,045P = 6800S = 9120n = 1a,5m y 3d

𝑖𝑏=8 , 55√ 91206800−1

𝑖𝑏=0,034929 𝑥100%

𝑖𝑏=3,49%

Convirtiendo el tiempo en bimestres

n = 1a, 5m y 3d = 513 d (

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RAProblema 3: Durante que plazo debe depositarse una cuanta de ahorros de S/.4910 a una TET=1,89% para tener un saldo de S/.7084.

Solución:

Datos:

n = ?P = 4910it = 0,0189S = 7084

𝑛=𝐿𝑜𝑔(

𝑆𝑃 )

𝐿𝑜𝑔(1+𝑖𝑝)Sabemos que:

𝑛=𝐿𝑜𝑔(

70844910 )

𝐿𝑜𝑔 (1+0,0189)

Remplazando:

𝑛=19,57767225 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠( 90 𝑑1 𝑡 )𝑛=1761𝑑 í 𝑎𝑠𝑛=4 𝑎 ,10𝑚𝑦 21𝑑

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RA4. Interés(I)

Problema 4: Calcular los interés a pagarse en una deuda de S/. 7500 fijado a una TEQ = 2% y un plazo de 10 meses y 10 días.Datos:

I= ? P = 7500iq = 0,02n = 10 m y 10 d

𝐼=𝑆−𝑃𝐼=𝑃 ¿𝑰=𝑷 ¿

𝑛=10𝑚𝑦 10𝑑=310𝑑 ( 1𝑞15𝑑 )=20,666….Aplicando :𝐼=𝑃 ¿

𝐼=7500 ¿𝐼=3792,71𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 .

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RADESCUENTO A INTERES COMPUESTO

1. DESCUENTO RACIONAL COMPUESTO(DRC).- Es un descuento matemático exacto establecido a partir de la tasa efectiva periódica por el pago anticipado de una deuda.

Donde:DRC = Descuento Racional Compueston = tiempo de descuentoVa = Valor ActualVn = Valor Nominal

P Va Vn

n0 n1 n2

ip

DRC

𝑫𝑹𝑪=𝑽 𝑵 [𝟏−(𝟏+𝒊𝒑)−𝒏 ]𝑽 𝑨=𝑽 𝑵−𝑫𝑹𝑪

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RAProblema: Un préstamo se acordó pagar a 8 meses y 24 días la suma de S/. 18400 pero transcurrido 6 meses y 27 días de su aceptación se decide cancelar. Calcular el descuento racional que debe realizarse y el valor de pago si la operación se lleva a la TEM=1,6%.

Datos:

DRC = ? Vn = 18400im = 0.016n1 = 8 m y 24 dn2 = 6 m y 27 d

Solución: P Va=? Vn=18400

n=1m y 27d0 n1 n2

im=1,6%

n = 1,9 mAplicando:

𝑫𝑹𝑪=𝟓𝟒𝟔 ,𝟔𝟓

𝑫𝑹𝑪=𝑽 𝑵 [𝟏−(𝟏+𝒊𝒑)−𝒏 ]𝑫𝑹𝑪=𝟏𝟖𝟒𝟎𝟎 [𝟏−(𝟏+𝟎 ,𝟎𝟏𝟔 )−𝟏 ,𝟗 ]

𝑽 𝑨=𝟏𝟖𝟒𝟎𝟎−𝟓𝟒𝟔 ,𝟔𝟓𝑽 𝑨=𝟏𝟕𝟖𝟓𝟑 ,𝟑𝟓

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RADESCUENTO A INTERES COMPUESTO

2. DESCUENTO BANCARIO COMPUESTO(DBC).- Es un descuento comercial establecido a partir de la tasa adelantada periódica por el pago anticipado de una deuda.

Donde:DBC = Descuento Bancario Compueston = tiempo de descuentoVa = Valor ActualVn = Valor Nominal

P Va Vn

n0 n1 n2

ip

DBC

𝑫𝑩𝑪=𝑽 𝑵 [𝟏−(𝟏−𝒅)𝒏 ]𝑽 𝑨=𝑽 𝑵−𝑫𝑩𝑪

𝒅=𝒊

𝟏+𝒊

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RAProblema: Una letra de cambio se acepto pagar a 90 días el valor de S/.12300 pero faltando 24 días para el vencimiento se decide cancelar. Calcular el valor de pago si la operación se lleva a una tasa de descuento bimestral del 3,2%

Datos:

DBC = ? Vn = 12300db = 0,032n = 24 d

Solución:P Va=? Vn=12300

n=24 d0 n1 n2

db=3,2%

DBC

n = 0,4 bim

𝑫𝑩𝑪=𝑽 𝑵 [𝟏−(𝟏−𝒅)𝒏 ]Aplicando:

𝑫𝑩𝑪=𝟏𝟐𝟑𝟎𝟎 [𝟏−(𝟏−𝟎 ,𝟎𝟏𝟑)𝟎,𝟒 ]𝑫𝑩𝑪=𝟔𝟒 ,𝟐𝟏𝑽 𝑨=𝟏𝟐𝟐𝟑𝟓 ,𝟕𝟗

MAT

EMÁT

ICA

FINA

NCIE

RA

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