MATEMTICAS FINANCIERAS

Inters y Tasas de Inters

Inters y Tasas de intersDefinicinEl rendimiento que proporciona el enajenamiento temporal del dinero, es decir, el importe del alquiler del dinero.

Como importe de alquiler que es, el inters debe referirse a perodos de tiempo y segn el capital comprometido.

La expresin porcentual del inters se denomina TASA DE INTERES.

Modalidades de IntersCuando los intereses se acumulan dan lugar a dos modalidades de acumulacin:

Inters Simple los intereses se acumulan en una cuenta aparte.Inters Compuesto los intereses se acumulan en la misma cuenta del capital, es decir, son objeto de generar ms intereses una vez capitalizados.

El inters compuesto capitaliza los intereses mientras que el simple no lo hace.

Inters SimpleCapital principal =$100,000,000Tiempo =6 mesesTasa de inters =2% mensual

MesCapitalInicial ($)Intereses generados ($)Capital final ($)Intereses acumulados ($)1100,000,0002,000,000100,000,0002,000,0002100,000,0002,000,000100,000,0004,000,0003100,000,0002,000,000100,000,0006,000,0004100,000,0002,000,000100,000,0008,000,0005100,000,0002,000,000100,000,00010,000,0006100,000,0002,000,000100,000,00012,000,000Final en cuentas100,000,00012,000,000Total por cancelar112,000,000

Inters CompuestoCapital principal =$100,000,000Tiempo =6 mesesTasa de inters =2% mensual

MesCapitalInicial ($)Intereses generados ($)Capital final ($)Intereses acumulados ($)1100,000,0002,000,000102,000,0002102,000,0002,040,000104,040,0003104,040,0002,080,800106,120,8004106,120,8002,122,416108,243,2165108,243,2162,164,864110,408,0806110,408,0802,208,162112,616,242Total por cancelar112,616,242

Inters Simple - FrmulasMonto de Intereses

I = P * i * tdonde:I:Monto de inters ($)P:Monto de capital principal ($)i:Tasa de inters por perodo (%)t: Nmero de perodos (das, meses, aos, etc.)

Ejemplo:

Calcular el monto de inters que paga un prstamo de $500,000 al 1.5% mensual por 18 meses:

Capital:$500,000Tasa de inters:1.5% = 0.015Tiempo:18 meses

I = $500,000 * 0.015 * 18 = $135,000Inters Simple - Frmulas

Relacin entre valor presente y valor futuroVF = P + I VF = P + P*i*t = P (1 + i * t)

Ejemplo:Calcular el valor a pagar en 18 meses cuando se cumpla un prstamo por $500,000 al 1.5% mensual simple.I = $500,000 * 0.015 * 18 = $135,000VF = $500,000 + $135,000 = $635,000 oVF = $500,000 * (1 + 0.015 * 18) = $635,000Inters Simple - Frmulas

Relacin entre valor presente y valor futuroVP = F / (1 + i * t)

Ejemplo:Calcular el valor presente de una deuda que debe cancelar $3,000,000 dentro de 18 meses si el inters pactado es del 3% mensual:

VP = $3,000,000 / (1 + 0.03 * 18) = $1,948,052

Inters Simple - Frmulas

Clculo de Tasa de Intersi = (VF/P -1)/t

Ejemplo:Calcule la tasa de inters mensual que se aplica a un prstamo de $1,948,052 que cancela $3,000,000 a los 18 meses:

i = ($3,000,000/ $1,948,052 1)/18 = 0.03 = 3% mensualInters Simple - Frmulas

Clculo de Tiempot = (VF/P -1)/i

Ejemplo:Calcule el tiempo necesario para que una deuda de $1,948,052 de convierta en $3,000,000 al 3% mensual:

t = ($3,000,000/ $1,948,052 1)/0.03 = 18 mesesInters Simple - Frmulas

Equivalencia de tasas:

Tasa nominal o anual (in) = ip*nDonde n el nmero de perodos en un ao.

Igualmente, Tasa peridica (ip) = in/n Inters Simple - Frmulas

Relacin entre valor presente y valor futuro

Inters CompuestoVFn = P(1+i)n

PerodoCapital al inicio del perodoInters del perodoCapital al final del perodo1PP*iP + P*i = P(1+i)2P(1+i)P(1+i)iP(1+i)+P(1+i)i=P(1+i)(1+i)=P(1+i)23P(1+i)2P(1+i)2iP(1+i)2+P(1+i)2i=P(1+i)2(1+i)=P(1+i)3**nP(1+i)n-1P(1+i)n-1iP(1+i)n-1+P(1+i)n-1i = P(1+i)n-1(1+i) = P(1+i)n

Ejemplo:Un depsito de $5,000,000 se mantiene por cuatro aos en una fiducia que capitaliza intereses y ofrece una tasa de inters del 1.5% mensual. Cunto se retira al final de los cuatro aos?

VF = $5,000,000*(1+0.015)4*12VF = $10,217,391Inters Compuesto

Similarmente:VP = F / (1 + i)n

Ejemplo:Cunto debo invertir en la misma fiducia anterior si quiero retirar $1,000,000 en 12 meses (i=1.5% mes)?

VP=$1,000,000/(1.015)12=$836,387.42Inters Compuesto

Similarmente, despejando para ii = (F / P)1/n 1

Ejemplo:Qu tasa de inters mensual triplica una inversin en un ao?

i = (3P / P)1/12 1 = 31/12 1 = 0.0959 = 9.59% mensualInters Compuesto

Finalmente despejando para nn = log(F / P) / log(1 + i)

Ejemplo:En cuanto tiempo se triplica una inversin al 3% mensual?

n = log(3P/P) / log(1+0.03) = log(3)/log(1.03) = 37.17 mesesInters Compuesto

Inters CompuestoFlujos de Fondos MltiplesHasta ahora hemos trabajado solamente con un flujo de fondos. En la vida real generalmente son flujos mltiples:

FF001234nFF1FF2FFnFF3FF4

Inters CompuestoFlujos de Fondos MltiplesClculo de valor presente:

VP01234nFF1FF2FFnFF3FF4

Inters CompuestoFlujos de Fondos MltiplesClculo de valor futuro:

01234nFF1FF2VFFF3FF4

Ejemplo Flujos Mltiples:Un padre requiere pagar las cuotas universitarias de sus hijos en Enero, Marzo y Abril (ltimo da del mes) por valor de $5, $7 y $12 millones respectivamente. El 31 de Diciembre recibe la prima y quiere saber cuanto debe ahorrar de ella para poder cubrir las cuotas si su inversin renta 2.5% mensual?

Inters CompuestoVP = $22.25 MM

VP01234125712

Ejemplo Flujos Mltiples:Un pobre empleado puede ahorrar $30, $40, $50 y $50 millones en uno, dos, tres, cuatro meses respectivamente para un viaje al exterior que tiene planeado dentro de un ao. Si la inversin le da el 3% mensual, cunto tendr para su viaje?

Inters CompuestoVF = $223.86 MM

VF012341230405050

Como caso especial de lo anterior que pasa cuando los flujos son todos iguales:Inters Compuesto

VP0123n-1nAAAAAA

Inters Compuesto

Despejando de la ecuacin anterior podemos encontrar la formula para A (alicuota)

para futuros, como VFn=P(1+i)n Inters Compuesto

Si usted compra un automvil de $40,000,000 con una cuota inicial del 20%, con el saldo a 60 meses al 1% mensual, cul es el monto de las cuotas mensuales?

P = $40,000,000 menos la cuota inicial = $32,000,000i = 1% mensualn = 60 mesesA (cuota) = Inters Compuesto

Si ahorra mensualmente $700,000 en una corporacin que le ofrece un rendimiento mensual del 0.7%, cunto tendr en dos aos?

A = $700,000i = 0.7% mensualn = 24 mesesF = A((1+i)n 1)/i =Inters Compuesto

Estudiemos ahora el caso cuando los flujos aumentan en un porcentaje cada perodo. Se le llama gradiente geomtrico.

Inters Compuesto

12345nBB(1+j)b(1+j)2b(1+j)3b(1+j)4b(1+j)n-1

Inters Compuesto

Ejemplo:Calcular el valor del prstamo cuya primera cuota es de $100,000 que aumenta en un 1% mensual y que tiene como tasa de inters 2% mensual a 12 meses.B = 100,000; i = 0.02; j = 0.01; n = 12

VP = B/(j-i) * {[(1+j)/(1+i)]n-1} VP = 100,000/(0.01-0.02)*{[(1+0.01)/(1+0.02)]n -1}VP = $1,115,062

Inters Compuesto

En el caso de proyectos que no tienen caducidad, el tiempo podra ser infinito por lo cual se requiere saber el valor presente de una serie infinita de flujos. En principio supongamos que dichos flujos son iguales:Inters Compuesto

Cul es el valor presente del costo de mantenimiento y actualizacin ($4,000,000 anuales) que cobra una empresa de desarrollo por un aplicativo a su cliente suponiendo que el cliente lo usar indefinidamente y que el costo de oportunidad de la empresa es del 15% anual?

VP = A/i = $4,000,000 / 0.15 = $26,666,667Inters Compuesto

Igualmente, se puede aplicar la teora a gradientes geomtricos infinitos. Inters Compuesto

Igualmente, se puede aplicar la teora a gradientes geomtricos infinitos. Inters Compuesto

Cul es el valor presente del costo de mantenimiento ($4,000,000 anuales que sube con el IPC anualmente) que cobra una empresa de desarrollo por un aplicativo a su cliente suponiendo que el cliente lo usar indefinidamente y que el costo de oportunidad de la empresa es del 15% anual? Suponga un IPC del 4,5%.

VP = B/(i-j) = $4,000,000 / (0.15-0.045) = $38,095,238Inters Compuesto

Plazo MuertoPeriodo en el cual no se hacen pagos ni se contabilizan intereses pero si se toma en cuenta el tiempo transcurrido del plazo muerto dentro del plazo total del prstamo.

Inters Compuesto

Periodo de GraciaPerodo en el cual no se hacen pagos pero s se contabilizan intereses. Igualmente el tiempo transcurrido de gracia cuenta en el tiempo total.

Inters Compuesto

AmortizacinFrmulas:INTt = SIt * iABt = Ct INTtSFt = SIt ABt SIt+1 = SFt donde:INTt = Monto de los intereses del perodo tABt = Abono a capital perodo tCt = Monto de pago o cuota perodo tSIt = Saldo inicial del perodo tSFt = Saldo final del perodo ti = Tasa de inters a aplicar en cada perodo

Ejemplo en Excel (alicuota):

Amortizacin

P100,000,000i30%n5

PeriodoSaldo iniinteresescapitalcuotasaldo fin1100,000,00030,000,00011,058,15541,058,15588,941,845288,941,84526,682,55414,375,60141,058,15574,566,244374,566,24422,369,87318,688,28241,058,15555,877,962455,877,96216,763,38924,294,76641,058,15531,583,196531,583,1969,474,95931,583,19641,058,1550

Ejemplo en Excel (gradiente geomtrico):

Amortizacin

P100,000,000i30%j10%n5

PeriodoSaldo iniinteresescapitalcuotasaldo fin1100,000,00030,000,0005,320,53535,320,53594,679,465294,679,46528,403,83910,448,75038,852,58984,230,715384,230,71525,269,21517,468,63342,737,84866,762,082466,762,08220,028,62526,983,00847,011,63339,779,074539,779,07411,933,72239,779,07451,712,7960

Tasas de inters

Denominaciones de la Tasa de Inters Segn como proponga la informacin de los perodos de tiempo:

Peridica corresponde al periodo de composicin (da, mes, trimestre, etc.)Nominal la expresin anualizada de la tasa peridica, es decir, la tasa peridica multiplicada por el nmero de perodos al aoEfectiva la expresin equivalente a una tasa peridica pero con perodo igual a un ao

Denominaciones de la Tasa de IntersSegn la causacin:

Anticipada cuando el inters se causa en forma anticipada en el perodo.Vencida - cuando el inters se causa en forma vencida en el perodo. La tasa efectiva solamente se expresa como vencida.

Ejemplos de Tasas de IntersTasa peridica:

2% m.v. 2% mes vencido, es decir, paga de inters el 2% del valor prestado al final de cada mes.

3% t.a.3% trimestre anticipado, es decir, paga anticipadamente el 3% del valor prestado cada tres meses empezando desde el mes cero.

Ejemplos de Tasas de IntersTasa nominal:

24% a.m.v.24% anual compuesto mensualmente causado al final del mes, es decir, equivalente al 2% m.v. de la pgina anterior (2%*12)

12% a.t.a.12% anual compuesto trimestralmente con pago anticipado, equivalente al 3% t.a. anterior (3%*4).

Ejemplos de Tasas de IntersTasa efectiva:

Frmulas de conversin de tasas peridicas y nominales a efectivas:

de peridica anticipada a peridica vencida: ipv = ipa/(1-ipa)de peridica vencida a peridica anticipada: ipa = ipv/(1+ipv)de peridica vencida a efectiva: ie = (1 + ipv)n 1de efectiva a peridica vencida: ipv = (1 + ie)1/n 1

Ruta de Equivalencia de Tasasm periodos por ao periodos por ao

invipvieipvinv

inaipaipainaipv=ipa/(1-ipa)ipa=ipv/(1+ipv)ipa=ina/minv=ipv*ina=ipa*ie=(1+ipv)m-1ipv=(1+ie)1/-1ipv=inv/m

Ejemplos de Tasas de IntersTasa efectiva:

24% a.m.v. = 24% / 12 m.v. = 2% m.v. = (1 + 2%)12 - 1 e.a. =(1.02)12 1 = 0.2682 = 26.82% e.a.

12% a.t.a. = 12% / 4 t.a. = 3% t.a. = 3% / (1 3%) t.v. =0.03/0.97 t.v. = 0.0309 t.v. = 3.09% t.v. = (1 + 3.09%)4 -1 e.a. =(1.0309)4 1 e.a. = 0.1296 e.a. = 12.96% e.a.

Tasa realTasa de inters sobre moneda constante, es decir, libre del efecto de la inflacin.

Frmula: iR = (1 + ie) / (1 + if) - 1

Ejemplo 1: 20% e.a. con inflacin del 5% e.a.Tasa real = (1 + 20%)/(1 + 5%) -1 = 14.29% e.a.

Tasa realEjemplo 2Hoy Tengo : $10,000Precio panela : $100Puedo comprar : 100 panelas

Inflacin = 5% e.a.Tasa inversin = 20% e.a.

En un aoTengo : $10,000*(1+20%)=$12,000Precio panela : $100*(1+5%)=$105Puedo comprar : $12,000 / $105 = 114.29 panelas

Tasas MixtasUna tasa es mixta cuando se declara como la suma de dos tasas, generalmente una variable o de referencia y una fija.

Las dos tasas deben referirse al mismo perodo antes de sumarse. Normalmente se acepta como gua la declaracin de la fija a menos que sta no se defina y en ese caso se toma la declarada por la variable.

Ejemplo: DTF + 5% a.t.v. (si el DTF est en 7% ea)Pasar la DTF a a.t.v.7% e.a. -> (1+7%)(1/4)-1 t.v.=1.706% t.v.=6.823% a.t.v.Sumar las tasas6.823% + 5% = 11.823% a.t.v.3)Pasar la tasa a efectiva anual para comparacin:11.823% a.t.v. -> 2.956% t.v. -> (1+2.956%)4-1 e.a. = 12.358% e.a.Otras tasas de referencia: Libor, Prime rate

Tasas Mixtas

Tasas CompuestasCuando la tasa se define entre dos o ms tasas y una de ellas se declara sobre una base monetaria diferente a la base de declaracin de la tasa original.

Frmula: i = (1 + iu)(1 + ic) - 1

Ejemplo 1: Inversin que gana 9% e.a. en dlares tasa equivalente en pesos si la devaluacin es del -2% e.a.

i = (1 + 9%)(1 2%) 1 = 6.82% e.a.

Tasas CompuestasEjemplo 2:Hoy:Tengo : $100,000,000 COPTRM : $2,500 COP/USDCompro: $40,000 USD

Tasa inversin USD : 9% e.a.Devaluacin : -2% e.a.

En un ao:Tengo : $40,000*(1+9%) = $43,600 USDTRM: $2,500*(1-2%) = $2,450 COP/USDCompro : $43,600*2,450 = $106,820,000 COPUtilidad : ($106,820,000 / $100,000,000 )-1 = 6.82%

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