INTERVALOS CARACTERÍSTICOS

@ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS 1

INTERVALOS CARACTERÍSTICOS

• Si la variable x tiene una distribución de media μ, se llama intervalo característico correspondiente a una probabilidad p a un intervalo centrado en la media, (μ - k, μ + k), tal que la probabilidad de que x pertenezca a dicho intervalo es p:

• P(μ – k < x < μ + k) = p

Área=0,9 Área=0,05 Área=0,05

- k 0 k



• Ejemplo_1

• Hallemos el intervalo característico de una distribución normal N(0, 1) correspondiente a la probabilidad p=0,9.

• Si dentro del intervalo hay un área de 0,9, fuera de él habrá 0,1.

• Puesto que el intervalo es simétrico, el área de cada una de las dos colas es de 0,05. Por tanto: P (z > k) = 0,05 P (z ≤ k) = 0,95

• En las tablas encontramos p(1,64) = 0,9495, p (1,65) = 0,9505.

• Por tanto, asignaremos a k el punto medio de los valores 1,64 y 1,65. Es decir, k = 1,645 y, por tanto, P (-1,645 < z < 1,6451) = 0,9.

• Hemos encontrado un intervalo [-1,645; 1,6451], simétrico respecto al O, dentro del cual hay un área del 90% del total.


• En una distribución normal N(0, 1), si (-k, k) es el intervalo característico correspondiente a una probabilidad p, diremos que k es el valor crítico correspondiente a p.

• Principales valores críticos

• 1 – α α/2 zα/2

• 0,9 0,05 1,645• 0,95 0,025 1,96• 0,99 0,005 2,575

PRINCIPALES VALORES CRÍTICOS

- k 0 k=zα/2


• Ejemplo_2• Hallemos el intervalo característico de una distribución normal

N(0, 1) correspondiente a la probabilidad p=0,95.


• Puesto que el intervalo es simétrico, el área de cada una de las dos colas es de 0,025.

• Por tanto: P (z > k) = 0,025 P (z ≤ k) = 1 – P (z > k) = 0,975

• En las tablas encontramos p(1,96) = 0,975.




• Ejemplo_3• Hallemos el intervalo característico de una distribución normal N(0, 1)

correspondiente a la probabilidad p=0,99.


• Puesto que el intervalo es simétrico, el área de cada una de las dos colas es de 0,005. Por tanto: P (z > k) = 0,005 P (z ≤ k) = 0,995

• En las tablas encontramos Ф(2,57) = 0,9949 y Ф(2,58) = 0,9951

• Tomamos un valor intermedio entre ambos: k = 2,575, que nos asegure o aproxime a que su probabilidad sea p=0,9950




Intervalos en N(μ, σ)• A efectos prácticos podemos convertir una distribución normal N( μ, σ )

en una distribución normal tipificada o estándar N( 0, 1) , mediante el cambio de variable:

• X - μ• Z = ---------• σ• Operando tenemos: X - μ = Z.σ X = μ + Z.σ• • En una distribución N( μ, σ ) el intervalo característico correspondiente a

una probabilidad p=1 – α es:• (μ – Zα/2.σ , μ + Zα/2.σ)

• Ejemplo

• Para el 90% y una distribución N(50, 6), hallar el intervalo.• (μ – Zα/2.σ , μ + Zα/2.σ) = (50 – 1,645.6 , 50 + 1,645.6) = • = ( 50 – 9,87, 50 + 9,87) = (40,13, 59,87)


• En una distribución normal N(0, 1), si (-k, k) es el intervalo característico correspondiente a una probabilidad p, diremos que k es el valor crítico correspondiente a p.

• Probabilidades Valor crítico Intervalos característicos

• 1 – α α/2 zα/2 (μ – Zα/2.σ , μ + Zα/2.σ)

• 0,9 0,05 1,645 (μ – 1,645.σ , μ + 1,645.σ)• 0,95 0,025 1,96 (μ – 1,965.σ , μ + 1,96.σ)• 0,99 0,005 2,575 (μ – 2,575.σ , μ + 2,575.σ)

INTERVALOS Y VALORES CRÍTICOS


0,05 0,90 0,05

- k 0 k=zα/2

INTERVALOS Y NIVEL DE CONFIANZA

0,025 0,95 0,025

0,005 0,99 0,005

• – 4.σ – σ μ + σ + 4.σ

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