Intervalo de confianza para la Media Poblacional

),(~,, 21 NXX n

nXXn

ii

1

)1(1

22

nXXSn

ii

Intervalo de Confianza del 100 (1-) %

Suposición sobre los parámetros

Intervalo de confianza

2

2

2

conocida

desconocida

desconocida

nzx

2

n

stx 2

n

szx 230n

30n

Peso verdadero

ii EX Peso medido en la pesada i

21 1.0,0~,, NEE n

21 1.0,~,, NXX n

22 1.0 conocida

Una balanza eléctrica da una lectura igual al peso verdadero más un error aleatorio que tiene una distribución normal con media cero y desviación estándar =0.1 mg. suponga que los resultados al pesar 5 veces el mismo objeto son: 3.142, 3.163, 3.155, 3.150, 3.114

Ejemplo 1

a)Determine una estimación para el peso verdadero con un intervalo de confianza del 95% .

b)Determine una estimación para el peso verdadero con un intervalo de confianza del 99% .

5

0.0188776.21448.3

0.023145.3 95.01

99.01 0.039145.3

n

stx 2

Error de la estimación de μ mediante la Media Muestral

nzx

2

nzx

2x

Error

El error no excederá de n

z

2

varianza conocidavarianza conocida

2

2

e

zn

Tamaño de la muestra

Con una confianza del 100 (1-) % e el error no excederá una cantidad específica e cuando el tamaño de la muestra es:

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIAS DE

MEDIAS

Comparando poblaciones...

Intervalos de confianza para la diferencia de medias

Población

Normal

Muestras

independientes

Muestras

dependientes.

Intervalos de confianza para la diferencia de medias

Muestras

independientes

Varianzas

conocidas

Varianzas

desconocidas

supuestas iguales.

Varianzas

desconocidas

supuestas distintas.

Estimación de la diferencia entre dos medias poblacionales

Sean dos poblaciones distribuidas normalmente con medias desconocidas 1 y 2 y varianzas σ1

2, σ22

respectivamente.

211111 ,~,,

1NXX n

222212 ,~,,

2NXX n

2

22

1

21

2121 ,~nn

NXX

211111 ,~,,

1NXX n

222212 ,~,,

2NXX n

1

21

11 ,~n

NX

2

22

22 ,~n

NX

Estadístico de prueba

1,0~)()(

2

22

1

21

2121 N

nn

XXZ

Distribución del Estadístico

1)()(

2

2

22

1

21

21212 z

nn

XXzP

2

22

1

21

221 )(nn

zxx

Construcción del intervalo de confianza para 1 - 2

222

21

Si las varianzas de las poblaciones son desconocidas pero se consideran iguales.

1,0~11

)()(

21

2

2121 N

nn

XXZ

Estimación de la diferencia entre dos medias poblacionales

21

12 ~

)1( 211

nSn

2

12

2 ~

)1( 222

nSn

Estimación de la varianza poblacional de las diferencias

22

2122 ~

)1(

)1( 222

2112

nnSnSn

SP

Varianza muestral pooled

se distribuye como una t con n1 + n2 - 2 grados de libertad.

2

11

11

)()(

212

222

211

21

2

2121

nn

SnSn

nn

XXT

Distribución del Estadístico

21

2121

11

)()(

nnS

XXT

p

1

11

)()(2

21

21212 t

nnS

XXtP

p

Construcción del intervalo de confianza para 1 - 2

21

)2,2/(2111

21 nnstxx pnn

22

2t2t

221 nnt

Intervalo de confianza del 100(1-) % para 1-2

Si las varianzas de las poblaciones no son iguales.

2

22

1

21

21

n

S

n

S

XXt

donde los grados de libertad gl son aproximados por la siguiente fórmula:

11

)(

2

22

1

21

221

n

c

n

c

ccgl

1

21

1 n

sc

2

22

2 n

sc

Comparación de medias de dos poblaciones usando muestras

pareadas

En este caso se trata de comparar dos métodos o tratamientos, pero se quiere que las unidades experimentales donde se aplican los tratamientos sean las mismas, ó lo más parecidas posibles, para evitar influencia de otros factores en la comparación.

Comparando medias de dos poblaciones usando muestras

pareadas

Sea Xi el valor del tratamiento I y Yi el valor del tratamiento II en el i-ésimo sujeto.

di =Xi-Yi

Diferencia de los tratamientos en el i-ésimo sujeto.

nddn

ii

1 1

2

n

dds i

i

d

)(

Las inferencias que se hacen son acerca del promedio poblacional d de las di.

Si d = 0, significa que no hay diferencia entre los dos tratamientos.

Estadísticos

Intervalo de Confianza para d

n

std

n

std d

nd

n 1,21,2 ,

Un intervalo de confianza del 100(1-)% para la diferencia poblacional d dada una muestra de tamaño n es de la forma

Intervalos de Confianza para la Varianza Poblacional de una

población normal

22

2

2

2

21

2

2/

2

22/1

2 )1(,

)1(

snsn

Un intervalo de confianza del 100 (1-) % para la varianza poblacional de una población normal es:

1

)1( 2

212

22

2

SnP

Donde y representan los valores de una Ji-Cuadrado con n-1 grados de libertad, el área a la izquierda de dichos valores son /2 y 1- /2 respectivamente.

22/ 1 2

2 /

Ejemplo 2

Los siguientes datos representan las edades que tenían al momento de morir por enfermedad una muestra de 20 personas de un pueblo:

80 90 85 82 75 58 70 84 87 81 87 61 73 84 85 70 78 95 77 52

Hallar un intervalo de confianza del 95 % para la varianza poblacional de la edad de muerte.

,19

(2

975.

2

s )

192

025.

2

s

n = 20 = .05

Intervalo de confianza del 95 % para 2 será de la forma:

El intervalo de confianza del 95 % para la varianza poblacional será (70.6253, 260.507).

9065.82025. 8523.322

975.