INTERVALOS DE CONFIANZA PARA PRESENTAR.docx

ESTADISTICA APLICADA 2014

TERVALOS DE CONFIANZA

PRIMER BLOQUE

EJERCICIO 1. De 50000 válvulas fabricadas por una compañía, se retira una muestra aleatoria de 400 válvulas, y se obtiene una media de 800 horas y una desviación estándar de 100 horas.

SOLUCIÓN

n=400x=800σ=100

a) ¿Cuál es intervalo de confianza de 99% para la media población.

P (Z0<Z )=1+992

→Z0=2.576

x−z0S

√n≤μ≤ x+

z0S

√n

800−2,576∗100

√400≤μ≤800+ 2,576∗100

√400

∴787,12≤μ≤812,9

b) ¿con que coeficiente de confianza se diría que la vida media está en <799,11:800,98> Rpta 16%.

c) ¿Qué tamaño debe tener la muestra para que el intervalo de la media<792,16;807,84> sea 95% de confianza?

x−z0S

√n≤μ≤ x+

z0S

√n

800−1,960∗100

√625≤ μ≤800+1,960∗100

√625∴792,16≤ μ≤807,84

EJERCICIO 2. Un investigador está estudiando la resistencia de un determinado material bajo determinadas condiciones. El sabe que esta variable tiene una distribución normal con una desviación estándar de 2 unidades

x−T 0S

√n≤ μ≤x+

T 0S

√n


a) Utilizando los siguientes valores obtenidos de una muestra de tamaño 9. Determinar el intervalo de confianza para la resistencia media con un coeficiente de confianza de 90%: 4.9; 7.0; 8.1; 4.5; 5.6; 6.8; 7.2; 5.7; 6.2 unidades.n=9

x=6. 22σ=1.161gl=8γ=0.90

P (T 0<T )=1+γ2

→T 0=1.860

∴5.501≤μ≤6.942b) ¿Cuál es el tamaño necesario de la muestra si quisiéramos que el

erro cometido. Al estimar la resistencia media, no sea superior a 0.1 unidades con probabilidad de 0.90?e=0.1σ=2γ=0.9z=1.64485

n=( Z0σe )

2

n=1082.217 ∴n=1083

EJERCICIO 3. Fueron retiradas 25 piezas de la producción diaria de una maquina; se encontró para una cierta medida una media de 5,2 mm.se sabe que las medidas tienen distribución normal con desviación estándar de 1,2 mm. Construir el intervalo de confianza para la media con coeficiente de confianza de 99%.

SOLUCIÓN

n=925x=5,2S=1,2

gl=25−1=24

P (T 0<T )=1+0.992

→T 0=2.797

Formula:

x−T 0S

√n≤ μ≤x+

T 0S

√n

[Escribir texto] Página 2


5,2−2,797∗1,2

√25≤μ≤5,2−2,797∗1,2

√25

∴4,529≤μ≤5,871

EJERCICIO 4. Suponga que las alturas de los alumnos de la facultad de economía tienen distribución normal con f=15cm.fue retirada una muestra de 100 alumnos obteniéndose x=175cm.construir el intervalo de confianza para la verdadera altura media de los alumnos con 95% de confianza?

SOLUCIÓN

n=100x=175σ=15

x−Z0δ

√n≤μ≤ x+

Z0δ

√n175−1,960∗15

√100≤ μ≤175+ 1,960∗15

√100

∴172,06≤ μ≤177,94

EJERCICIO 5.Extraída una muestra de 30 piezas, dio los siguientes pesos: 250,265,267,269,271,277,281,283,284,287,289,291,293,293,293,298,301,303,306,307,307,309,311,315,319,322,324,328,335,339,275.Por medio de la construcción del intervalo de confianza, responder si esta muestra satisface la especificación por la cual el peso medio debe ser 300 kg.use α=5%.

SOLUCIÓNn=30,

x=∑ x in =296.633

s=22.2299632Hallamos z0 : α=5%



γ=0.95

P ( z0<z )=1+γ2

=1+0.952

=0.975→z0=1.96

El intervalo está determinado por:

x−z0S

√n≤μ≤ x+

z0S

√n¿296.63−1.96∗22.2299632

√30≤ μ≤296.63+ 1.96∗22.2299632

√30>¿

∴288.675≤ μ≤304.585

Rpta: Si satisface por la cual el peso medio debe de ser 300kg

EJERCICIO 6. En una fábrica al seleccionar una muestra de cierta pieza, se obtuvo las siguientes medias para los diámetros: 10,11,11,11,12,12,12,12,13,15,13,13,13,13,13,13,13,13,13,13,13,14,14,14,14,14,15,15,15,16,16.

a) Estimar la media y la varianza.SOLUCION:

x=∑ x in

s2=∑ (x i−x )n−1

x=39430

=13 . 133 s=1 .432

b) Construir el intervalo de confianza para la media.SOLUCIÓN:

Hallamos z0 : γ=0.95

P ( z0<z )=1+γ2

=1+0.952

=0.975→z0=1.96

n=30

x−z0S

√n≤μ≤ x+

z0S

√n

13.133−1.96∗1.432

√30≤ μ≤13.133+ 1.96∗1.432

√30


0,4S

8X

10n

1

1

1

0,2S

6X

12n

1

1

1


∴EJERCICIO 7. Sea X una tal que X~N (µ,σ

2), donde µ y σ

2son

desconocidas .Una muestra de tamaño 15, dio los valores

∑i=1

15

X i=8.7 y∑i=1

15

X i2=27.3

Determine un intervalo de confianza de 95% para σ2.

n=15n<30

γ=0.95

α=0.05 => ∝2=0.025

I=¿(n−1)S2

X1−∝

2

2 ;(n−1)S2

X ∝2

2 >¿

X1−

∝2

2 =X0.9752 =26.1

X ∝2

2 =X 0.0252 =5.63

I :<(14 )(1,5896)

26.1;

(14 )(1,5896)5.63

>¿

I=¿0,853 ;3,953>¿

EJERCICIO 8. Diez lotes de siembra son tratados con fertilizante “A” y 12 con el fertilizante “B”. El rendimiento de los primeros lotes fue de 8 con una desviación estándar de 0.4. El rendimiento de Los segundos lotes fue de 6 con una desviación estándar de 0.2.Construir el intervalo de confianza para la diferencia de medias al 95% y 98%.

A B


S2=∑ X i

2−(∑ X i )2 /n

n−1

S2=27 .3−(8 .7 )2 /1514

S2= 1 .5896

gl=( S1

2 /n1+S22 /n2 )

2

( S12 /n1 )

2/( n1−1 )+( S22 /n2 )

2/ (n2−1)

gl=(0,016+0,003 )2

(0,0000284 )+(0,0000008 )

gl=0,0003610,0000292

gl=12,36=12

5S

75X

18n

1

1

1

6S

70X

15n

1

1

1


PARA γ=0.95

P (t ≤ t 0)=1,952

=0.975

t 0=2,179

μ1−¿ μ2=(X 1−X 2)± t0√ S1

2

n1

+S2

2

n2

¿

μ1−¿ μ2=2± (2,179 )(0,1378404)¿

1.69≤μ1−¿ μ2≤2.3¿

PARA γ=0.98 t 0=2.681

μ1−¿ μ2=(X 1−X 2)± t0√ S1

2

n1

+S2

2

n2

¿

μ1−¿ μ2=2± (2,681) (0,1378404 )¿

1.63≤μ1−¿ μ2≤2.37¿

EJERCICIO 9. Un curso de inglés fue dado a 18 estudiantes por medio del método tradicional obteniéndose una media de 75 y una desviación estándar de 5. Para otro grupo de 15 estudiantes dio el mismo curso por medio de un método más moderno obteniéndose una media de 70 y una desviación estándar de 6. Construir el intervalo para la diferencia de las medias, use γ=97.5 %.

I grupo II grupo

γ=0.95

[Escribir texto] Página 6gl=

( S12 /n1+S2

2 /n2 )2

( S12 /n1 )

2/( n1−1 )+( S22 /n2 )

2/ (n2−1)

gl=(1,3888+2,4 )2

(0,11347131 )+(0,41428571 )

gl=14,355679010,52775702

gl=27,3=27


P (t ≤ t 0)=1,9752

t 0=2,473

μ1−¿ μ2=(X 1−X 2)± t0√ S1

2

n1

+S2

2

n2

¿

μ1−¿ μ2=5± (2,473 )(1,9465)¿

0,2≤μ1−¿ μ2≤ 9,8¿

EJERCICIO 10. La Gerencia Comercial Moderno ha comercializado una nueva pila para las unidades "flash" de cámaras de 35mm con el lema. ¿Por que no usar lo mejor? En promedio muestras baterías producen 20000 destellos. El gerente de comercialización se criticaba el reclamo publicitario de la compañía al día para refutar las críticas, el gerente seleccionó al azar 23 unidades de destellos diferentes y comprobó con ellos la pila, los resultados fueron:


Número de destellos (en miles) Número de destellos (en miles)15 1619 1814 1716 2012 1617 1516 1718 1617 1322 1518 179

gl=( S1

2 /n1+S22 /n2 )

2

( S12 /n1 )

2/( n1−1 )+( S22 /n2 )

2/ (n2−1)

gl=(1,3888+2,4 )2

(0,11347131 )+(0,41428571 )

gl=14,355679010,52775702

gl=27,3=27


a) Obtener un estimador puntual de la media verdaderan=23n<30X=16,22

El estimado puntual para la media es: μ=X=16,22

b) Obtener un Intervalo de confianza de 95% para la media verdadera. Con base a estos resultados, ¿podría el gerente de comercialización refutar las críticas al anuncio que hace el lema de la compañía?

γ=0.95

gl=n−1=22

P (t ≤ t 0)=1,952

t 0=2,074

I :<X ± tn−1s

√n>¿

I :<16,22± (2,074) 2,6794,796

>¿

I :<16,22±1,1594>¿

I :<15,0606 ;17,379>EnMiles

R: No, porque 20000 no está en el intervalo de confianza

EJERCICIO 11. Los alumnos de la fac8ultad de Ingeniería Industrial puede escoger entre dos cursos de física, uno de 3 horas semanales sin laboratorio. El examen final es el mismo para ambos cursos. Si 12 estudiantes del curso con laboratorio obtienen una calificación promedio de 84 con una desviación estándar de 4 y 18 del curso sin laboratorio obtienen una calificación promedio de 77 con una desviación estándar de 6, encuentre un intervalo de confianza al 99% para la diferencia entre las calificaciones promedio para los 2 cursos.


S2=∑ (X i−X

−)2

n−1

S2=[(15−16 ,22)2+(19−16 ,22 )+.. .+(17−16 ,22)]22

S2= 7 ,178S=2,679

4S

84X

21n

1

1

1

6S

77X

18n

1

1

1


Suponga que las poblaciones tienen distribuciones aproximadamente normales.

Lab Sin Lab

γ=0.99

P (t ≤ t 0)=1,952

t 0=2,074

μ1−¿ μ2=(X 1−X 2)± t0√ S1

2

n1

+S2

2

n2

¿

μ1−¿ μ2=7± (2,771 )(1,8257418 )¿

1,49≤μ1−¿ μ2≤12,06 ¿

EJERCICIO 12. Un agente de compras de una compañía se vio confrontado con dos tipos de máquinas para realizar cierta operación. Se le permitió probar ambas máquinas a lo largo de cierto periodo de pruebas. Es deseo del agente comprar la máquina que tiene mayor rendimiento. Se le asignaron aleatoriamente 40 tareas, 20 a cada máquina con los siguientes resultados:

X1=30horas , S12=135 n1=n2=20

X2=30horas , S22=80

a) ¿Qué máquina decidirá comprar el agente?


gl=( S1

2 /n1+S22 /n2 )

2

( S12 /n1 )

2/( n1−1 )+( S22 /n2 )

2/ (n2−1)

gl=(1,3333333+2)2

(0,1616161)+(0,2352941)

gl=11,111110,3969102

gl=27,9=27


∝=0.2 ∝/2=0.01 I :<X1−X2± Z∝ /2 √ σ1

2

n1

+σ2

2

n2

>¿

I :<10±2,32√ 13520

+ 8020

>¿

I :<2,39 ;17,6>¿

Como ambos límites son positivos entonces μ1> ¿μ2¿

R: El agente deberá comprar la máquina 1

EJERCICIO 13. Una compañía de automóviles de alquiler está tratando de decidir la compra de neumáticos, entre las marcas A y B, para su flota de taxis. Para estimar la diferencia entre las dos marcas, se efectúa un experimento, empleando 12 de cada marca. Los neumáticos se usan hasta que se desgastan. Los resultados para la marca A son: x1

= 36300 km y s1= 5000 km. Y para la marca B; x2=38100 Km y s2 = 6100 km. Calcule un intervalo de confianza del 95% para µ1-µ2 (suponga que las poblaciones tienen distribuciones aproximadamente normales) r. -6522 < µ1-µ2 < 2922

SOLUCIÓN:

1. n<30, m<30, n=12 , m=12, =0.95γ2. hallamos t0 para n+m-2=22 grados de libertad

P [T≤ t0]= ( +1)/2=(0.95+1)/2=0.975γt0=2.074

3. el intervalo está determinado por :

[ ( x− y )−t0 Sc√ 1n+ 1m

≤( x− y )≤( x− y )+ t0 Sc√ 1n+ 1m

]

Sc=√ (n−1 )Sx2+(m−1)S y

2

n+m−2

Sc = √11∗5002+11∗61002

22 =5577.186

Hallamos t0Sc√ 1

n+ 1m =2.074*5577.186* √1/12+1/12=4722.24

Θ1= (36300-38100)-4722.24Θ2= (36300-38100)+4722.24

4. El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 95% es: [6522.24; 2922.24]



EJERCICIO 14. Una compañía de café está probando dos nuevos envases para su café instantáneo. Se eligieron 200 tiendas de abarrotes: en 100 de ellas se colocó un tipo de envases y en los 100 restantes el otro. El volumen mensual de ventas de los envases nuevos se expresó en forma de porcentaje de las ventas mensuales de los meses anteriores. Se llevó un registro para cada tienda. Para el envase A, el aumento del promedio de ventas fue del 3% con una desviación estándar del 20%. Para el envase B, el aumento del promedio de ventas fue de 8% con una desviación estándar de 24%. ¿Aumentó el promedio de ventas del envase B en forma significativa con respecto a A ? R. -0.0112324 < µ B - µ A < 0,11124El promedio de ventas de B no ha aumentado en forma significativa con respecto a A.

SOLUCIÓN:1. n=100 , m=100, =0.95 (opcional)γ2. Hallamos Z0, =0.99γ

P [Z≤ z0]= ( +1)/2=(0.99+1)/2=0.995γ Z0= 2.576


[ ( x− y )−Z0 √ σ x2

n+σ y

2

m≤( x− y )≤( x− y )+Z0 √ σ x

2

n+σ y

2

m]

Hallamos

Z0√ σ x2

n+σ y

2

m y Θ1 y Θ2

Para Z0 =2.576

1 .960 √ 0 .22

100+ 0 .242

100 =0.0611= (0.08-0.03)- 0.061Θ

Θ2= (0.08-0.03)+ 0.0614. El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 99% es: [-0.011;0.11]

El promedio de ventas de B no ha aumentado en forma significativa con respecto a A.

EJERCICIO 15. Se desea estimar el gasto promedio diario por turista extranjero en Lima y con dicho fin, se elige una muestra de 120 turistas supuestamente representativa, encontrándose un promedio de $800 diarios. Si por estudios anteriores se conoce que la desviación



estándar del gasto diario por turista extranjero en Lima es de $ 100 diarios.

a) Determine un intervalo de confianza al 99% para la media real de los gastos diarios.

SOLUCIÓN:

n=120, =0.99, γ x =800, =100σHallamos Z0 para P [Z≤ z0]= ( +1)/2=(0.99+1)/2=0.995γZ0= 2.5758

el intervalo está determinado por :

[ x−Z0σ

√n≤μ≤x+

Z0σ

√n]

Hallamos

Z0 σ

√n =2.5758*100*/ √120 =23.51Θ1= 120-23.51Θ2= 120+23.51El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 95% es: [96.49; 143.51]

b) Si quisiéramos disminuir el error de estimación a $10, aceptando una probabilidad del 5% de que el verdadero valor del parámetro caiga fuera del intervalo, ¿Cuántas observaciones adicionales se deben tomar?

SOLUCIÓN:=100, E=10, σ γ =1- =1-0.05=0.95α

Hallamos Z0 para P [Z≤ z0]= ( +1)/2=(0.95+1)/2=0.975γZ0= 1.960

la muestra está determinado por:

n=[Z0σ

E]2

= (1.960*100/10)2=384

Como la muestra que tenemos es 120, entonces faltarían 384-120=264 observaciones

adicionales.EJERCICIO 16. Dos universidades nacionales de Lima Metropolitana tienen métodos distintos para inscribir a sus postulantes para el examen de admisión. Las dos desean comparar el tiempo promedio que les toma a los estudiantes completar el trámite de inscripción. En cada universidad se anotaron los tiempos de inscripción para 100 alumnos



seleccionados al azar. Las medias y las desviaciones estándares muéstrales son las siguientes:

x1=50,2 x2=52,9s1 = 4,8 s2 = 5,4

Si se supone que el muestreo se llevó a cabo sobre dos poblaciones distribuidas normalmente e independientes, obtener los intervalos de confianza del 90, 95 y 99% para la diferencia entre las medias de tiempo de inscripción para las dos universidades. Con base a esta evidencia, ¿se estaría inclinando a concluir que existe una diferencia real entre los tiempos medios para cada universidad? R. -3,89 < µ1-µ2 <-1,51, <-4,12;-1,28 >, <-4,58;-0,82 >

SOLUCIÓN: n=100, m=100, =0.90 , =0.95 , =0.99γ γ γHallamos Z0 , =0.90γP [Z≤ z0]= ( +1)/2=(0.90+1)/2=0.95γZ0= 1.645

Hallamos Z0, =0.95γP [Z≤ z0]= ( +1)/2=(0.95+1)/2=0.975γZ0= 1.960

Hallamos Z0, =0.99γP [Z≤ z0]= ( +1)/2=(0.99+1)/2=0.995γZ0= 2.576

El intervalo está determinado por :

[ ( x− y )−Z0 √ σ x2

n+σ y

2

m≤( x− y )≤( x− y )+Z0 √ σ x

2

n+σ y

2

m]

Hallamos

Z0√ σ x2

n+σ y

2

m y Θ1 y Θ2

Para Z0 =1.645

1 .645√ 4 . 82

100+ 5. 42

100 =1.1851= (50,2 - 52,9)-1.185Θ

Θ2= (50,2 - 52,9)-1.185

Para Z0 =1.960

1 .960 √ 4 . 82

100+ 5 . 42

100 =1.416Θ1= (50,2 - 52,9)- 1.416



Θ2= (50,2 - 52,9)+1.416

Para Z0 =2.576

2 .576√ 4 . 82

100+ 5 . 42

100 =1.861

Θ1= (50,2 - 52,9)- 1.861Θ2= (50,2 - 52,9)+ 1.861El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 90% es: [-3.89; -1.51]El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 95% es: [4,12;-1,28]El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 99% es: [-4,58;-0,82]

EJERCICIO 17. Una compañía que vende maquinaria a una planta pretende que una nueva máquina, costosa, desarrollada recientemente duplicara la producción respecto a las máquinas antiguas. La planta instala una de estas nuevas maquinas y la pone a producir al lado de las antiguas por un período de seis semanas consecutivas. Se obtiene los siguientes resultados (en unidades redondeadas a un millón).

Producción promedio de máq. Antigua

2 2 3 4 5 4

Producción promedio de máq. Nuevas

4 4 8 6 8 6

Con base a estos datos, ¿se estaría inclinando a justificar a la gerencia que declara que la nueva máquina no tuvo el desempeño que se pretendía?

SOLUCIÓN:

x1=3.33 x2=6s1 = 1.21 s2 = 1.63

1. n<30, m<30, n=6 , m=6, =0.95γ2. hallamos t0 para n+m-2=10 grados de libertad

P [T≤ t0]= ( +1)/2=(0.95+1)/2=0.975γt0=2.228


[ ( x− y )−t0 Sc√ 1n+ 1m

≤( x− y )≤( x− y )+ t0 Sc√ 1n+ 1m

]

Sc=√ (n−1 )Sx2+(m−1)S y

2

n+m−2

Sc = √ 6∗1 . 212+6∗1.632

10 =1.572



Hallamos t0Sc√ 1

n+ 1m =2.228*1.572* √1/6+1/6 =2.022

Θ1= (6-3.33)-2.022Θ2= (6-3.33)+2.022

4. El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 95% es: [0.648;4.692] Existe una diferencia significativa entre la producción de maquinas nuevas con respecto las maquinas antiguas.

EJERCICIO 18. Cierto metal se produce, por lo común, mediante un proceso estándar. Se desarrolla un nuevo proceso en el que se añade una aleación a la producción del metal. Los fabricantes se encuentran interesados en estimar la verdadera diferencia entre las tensiones de ruptura de los metales producidos por los dos procesos. Para cada metal se selecciona 12 especímenes y cada uno de estos se somete a una tensión hasta que se rompa. La siguiente tabla muestra las tensiones de ruptura de los especímenes en kilogramos por centímetro cuadrado.

Proc. Estándar

428

419

458

439

441

456

463

429 438 445 441 463

Proc. Nuevo 462

448

435

465

429

472

453

459 427 468 452 447

Si se supone que el muestreo se llevó a cabo sobre dos distribuciones normales e independientes, obtener los intervalos de confianza estimados del 90; 95 y 99% para µ s y µ N. Con base a los resultados ¿se estaría inclinando a concluir que existe una diferencia real entre µ s y µ N?R. <-18,3262; 2,1594 >, < -20,4559; 4,2891 >, <-24,9003; 8,7335 >, NO

SOLUCIÓN:

x1=443.333333 x2=451.416667s1 = 14.278613 s2 = 14.9390175

1. n<30, m<30, n=12 , m=12, =0.95, =0.90, =0.99γ γ γ2. hallamos t0 para n+m-2=22 grados de libertad y , =0.90γ

P [T≤ t0]= ( +1)/2=(0.90+1)/2=0.95γt0=1.717

3. hallamos t0 para n+m-2=22 grados de libertad y , =0.95γP [T≤ t0]= ( +1)/2=(0.95+1)/2=0.975γt0=2.074

4. hallamos t0 para n+m-2=22 grados de libertad y , =0.99γP [T≤ t0]= ( +1)/2=(0.99+1)/2=0.995γt0=2.819




[ ( x− y )−t0 Sc√ 1n+ 1m

≤( x− y )≤( x− y )+ t0 Sc√ 1n+ 1m

]

Sc=√ (n−1 )Sx2+(m−1)S y

2

n+m−2

Sc = √11∗14 .282+11∗14 . 942

22 =14.614Luego:

Para t0=1.717 hallamos

t0Sc√ 1n+ 1m =1.717*14.614* √1/12+1/12=10.24

Θ1= (443.33-451.42)-10.24Θ2= = (443.33-451.42)+10.24El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 90% es: [-18.09; 2.15]


t0Sc√ 1n+ 1m =2.074 *14.614* √1/12+1/12=12.37

Θ1= (443.33-451.42)- 12.37Θ2= = (443.33-451.42)+ 12.37El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 95% es: [-20,46; 4,29]


t0Sc√ 1n+ 1m =2.819 *14.614* √1/12+1/12=16.816

Θ1= (443.33-451.42)- 16.816Θ2= = (443.33-451.42)+16.816El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 99% es: [-24,90; 8,73]

6. No diferencia una diferencia real entre µ s y µ N

EJERCICIO 19. Un fabricante de TV esta desarrollando un nuevo modelo de televisor a color, y para este fin se pueden utilizar dos tipos de esquemas transistorizados. El fabricante selecciona una m.a de esquemas transistorizados del primer tipo de tamaño 12, y otra del segundo tipo de tamaño 11. Los datos muestrales con respecto a la vida de cada esquema son los siguientes:

X1=2000h, S1=15

X2=2500h, S2=10



Con base a estos datos ¿se estaría inclinando a concluir que la vida media del esquema del primer tipo es mayor que la del segundo? use γ=90 %

Solución

n1=12 , n2=11

Como las muestras son de tamaño pequeño, y las varianzas poblacionales son desconocidas, pero no nos dicen si son iguales o distintas, por eso primero

construiremos el intervalo de confianza para σ 12/σ2

2.

Para γ=1−α=0.90 yα2=0.05 , buscamos en la tabla de distribución F, y se

encuentra:F∝/2 (n2−1 ;n1−1 )=F0.05 (10,11 )=2.85

F1−∝ /2 (n2−1 ;n1−1 )= 1F∝/2 (n1−1; n2−1 )

= 1F0.05 (11,10 )

= 12.94

=0.3401

Luego el intervalo de confianza del 90% para σ 12/σ2

2 es:

I=¿S1

2

S22 .

1F∝/2 (n1−1 ;n2−1 )

;S1

2

S22 .F∝/2 (n2−1 ;n1−1 )>¿

I=¿ 225100

.(0.3401); 225100

. (2.85 )>¿

I=¿0.765225 ;6.4125>¿Como 1∈ I , concluimos que σ A

2 =σB2 . Entonces el intervalo de confianza a

utilizar para el análisis de la diferencia de medias μ1−μ2 es:

I=¿ (X 1−X2 )± t∝/2 (n1+n2−2 )√SP2 ( 1n1

+ 1n2

)>¿

Donde:

SP2 =

(n1−1 ) S12+(n2−1 )S2

2

n1+n2−2=

(12−1 )152+(11−1 ) 102

12+11−2

SP2 =165.4761905

Ahora para γ=1−α=0.90 yα2=0.05 , en la tabla de distribución T encontramos:

t∝/2 (21 )=1.721

Por lo tanto, el intervalo de confianza del 90% para la diferencia de medias μ1−μ2 es:

I=¿ (2000−2500 )±1.721√165.4761905( 112

+ 111

)>¿

I=¿ (−500 )±1.721√28.83297259>¿



I=¿ (−500 )±1.721(5.369624307)>¿I=←509.2411;−490.7589>¿

Se observa que el intervalo no incluye al cero, luego del hecho de que ambos intervalos son negativos, concluimos que la vida media del esquema del primer tipo es menor que la del segundo tipo.

EJERCICIO 20. En las ciudades de Arequipa y Ayacucho se llevo a cabo una encuesta sobre el costo de la vida para obtener el gasto promedio en alimentación en familias constituidas por 4 personas. De cada ciudad se selecciono aleatoriamente una muestra de 20 familias y se observaron sus gastos semanales en alimentación. Las medias y las desviaciones estándares muestrales fueron las siguientes:

X1=135 ( Arequipa ), S1=15

X2=122(Ayacucho ), S2=10

Si se supone que las dos poblaciones son independientes con distribución normal cada uno, obtener el intervalo de confianza de 99% para μ1−μ2 ¿se estaría inclinando a concluir que existe una

diferencia real entre μ1−μ2.

Solución n1=20 , n2=20

Como las muestras son de tamaño pequeño, y las varianzas poblacionales son desconocidas, pero no nos dicen si son iguales o distintas, por eso primero

construiremos el intervalo de confianza para σ 12/σ2

2.


encuentra:F∝/2 (n2−1 ;n1−1 )=F0.005 (19,19 )=3.4318

F1−∝ /2 (n2−1 ;n1−1 )= 1F∝/2 (n1−1; n2−1 )

= 1F0.005 (19,19 )

= 13.4318

=0.2914


2 es:

I=¿S1

2

S22 .

1F∝/2 (n1−1 ;n2−1 )

;S1

2

S22 .F∝/2 (n2−1 ;n1−1 )>¿

I=¿ 225100

.(0.2914); 225100

. (3.4318 )>¿

I=¿0.65565 ;7.72155>¿



Como 1∈ I , concluimos que σ 12=σ2

2. Entonces el intervalo de confianza a utilizar

para el análisis de la diferencia de medias μ1−μ2 es:

I=¿ (X 1−X2 )± t∝/2 (n1+n2−2 )√SP2 ( 1n1

+ 1n2

)>¿

Donde:

SP2 =

(n1−1 ) S12+(n2−1 )S2

2

n1+n2−2=

(20−1 )152+ (20−1 ) 102

20+20−2

SP2 =162.5

Ahora para γ=1−α=0.99 yα2=0.005 , en la tabla de distribución T encontramos:

t∝/2 (38 )=2.712

Por lo tanto, el intervalo de confianza del 99% para la diferencia de medias μ1−μ2 es:

I=¿ (135−122 )±2.712√162.5 ( 120

+ 120

)>¿

I=¿ (13 )±2.712√16.25>¿I=¿ (13 )±2.712(4.031128874)>¿

I=¿2.0676 ;23.9324>¿Se observa que el intervalo no incluye al cero y con el hecho de que ambos límites de confianza sean positivos, se puede concluir que μ1>μ2.

Por lo tanto existe una diferencia real entre μ1 y μ2

EJERCICIO 21. Una agencia estatal tiene la responsabilidad de vigilar la cantidad del agua para la cría de peces con fines comerciales. Esta agencia se encuentra interesada en comprar la variación de cierta sustancia toxica en dos estuarios cuyas aguas se encuentran contaminadas por desperdicios industriales provenientes de una zona industrial cercana. En el primer estuario se seleccionaron 11 muestras y en el segundo 8, las cuales se enviaron a un laboratorio para su análisis. Las mediciones en ppm que se observaron en cada muestra se exponen en la siguiente tabla. Si se supone que el muestreo se hizo sobre dos poblaciones independientes con distribución normal. ¿se podría concluir que las dos varianzas son diferentes al 95% de confianza?

Estuario 1

10

10

12

13

9 8 12

12

0 14 8

Estuario 2

11

8 9 7 10

8 8 10



SoluciónX1=9.8181(Estuario1), S1=3.816233269 , n1=11

X2=8.875(Estuario2) , S2=1.356202682 , n2=8

Para saber si las varianzas son diferentes construimos el intervalo de

confianza para σ 12/σ2

2.


encuentra:F∝/2 (n2−1 ;n1−1 )=F0.025 (7,10 )=3.9498

F1−∝ /2 (n2−1 ;n1−1 )= 1F∝/2 (n1−1; n2−1 )

= 1F0.025 (10,7 )

= 14.761

=0.210


2 es:

I=¿S1

2

S22 .

1F∝/2 (n1−1 ;n2−1 )

;S1

2

S22 .F∝/2 (n2−1 ;n1−1 )>¿

I=¿ 14.56361.839285715

.(0.210); 14.5636101.839285715

. (3.9498 )>¿

I=¿1.6628 ;31.27489>¿Como el intervalo no incluye a la unidad, entonces, las varianzas

poblacionales son distintas, es decirσ 12≠σ2

2, al 95% de confianza.

EJERCICIO 22. La compañía A produce focos pequeños de 1.5 voltios y se desea analizar la variabilidad del proceso de producción, se tomo una m.a de 16 focos y se obtuvo una media de duración igual a 120 horas, y un coeficiente de variabilidad a 25%. Halle el intervalo de confianza del 98% para la desviación estándar poblacional.

Soluciónn=16 focos , X=120horas ,CV=25 % , γ=98 %

gradoslibertad=n−1Del coeficiente de variabilidad deducimos:CV=25 %

CV= SX

=25 %

S=30

Paraγ=1−∝=0.98 ,∝2=0.01 y1−∝

2=0.99 , buscamos en la tabla de distribución

CHI-CUADRADO y obtenemos:



X ∝2

2 (n−1)=X0.012 (15)=30.58 y X

1−∝2

2 (n−1)=X 0.992 (15)=5.229

Habiendo deducido el valor de S=30 , y los valores para∝2y 1−∝

2, hallamos

entonces el intervalo de confianza al 98% para la desviación estándar:

I=¿√ (n−1 )S2

X∝ /22 ;√ (n−1 )S2

X1−∝/22 >¿

I=¿√ (15 )302

30.58; √ (15 ) 302

5.229>¿

I=¿21.01176;50.81098>¿

EJERCICIO 23. Se planea una encuesta para medir la cantidad de tiempo que los niños miran la televisión. Un chequeo preliminar indica que el tiempo promedio por semana es cerca de 15 horas con una desviación estándar de 5 horas. Se desea estimar el tiempo promedio por semana con una precisión de media hora, al nivel de confianza del 99%.

a) Si el costo de administración de la encuesta es de S/50000, más S/100 por entrevista, ¿Cuál es el costo total que se debe presupuestar para la encuesta?

b) Después de completar la encuesta, se encuentra que la media es de 18 horas y la desviación estándar es de 6 horas. ¿Qué costo adicional (si es que hay alguno) debe presupuestarse, excluyendo la administración para conseguir una estimación revisada del tiempo promedio, a la luz de esta nueva información?

EJERCICIO 24. Se sospecha que un laboratorio de medidas de viscosidad obtenidas en la mañana eran menores que en la tarde. Para confirmar esta sospecha se toman dos muestras una por la mañana y otra por la tarde.

Viscosidad

mañana tarde

n 10 9

56.8 58



X

∑i=1

n

(X i¿−X)2 ¿ 1273.6 284

¿Existe evidencia estadística para afirmar que la variabilidad de la viscosidad difiere en ambos turnos?

Solución

S12→mañana ,S2

2→tarde

S12=

∑i=1

n

(X i¿−X )2

n−1=1273.6

9=141.51111¿

S22=

∑i=1

n

(X i¿−X )2

n−1=284

8=35.5¿

Suponiendo que trabajamos con un nivel de confianza del 95% para hallar la

variabilidad de la viscosidad, para γ=1−α=0.95 yα2=0.025 , buscamos en la

tabla de distribución F, y se encuentra:F∝/2 (n2−1 ;n1−1 )=F0.025 (8,9 )=4.1019

F1−∝ /2 (n2−1 ;n1−1 )= 1F∝/2 (n1−1; n2−1 )

= 1F0.025 (9,8 )

= 14.3572

=0.2295


2 es:

I=¿S1

2

S22 .

1F∝/2 (n1−1 ;n2−1 )

;S1

2

S22 .F∝/2 (n2−1 ;n1−1 )>¿

I=¿ 141.5111135.5

.(0.2295); 141.5111135.5

. (4.1019 )>¿

I=¿0.91484 ;16.35111>¿Como el intervalo incluye a la unidad, entonces, la variabilidad de las

viscosidades son iguales (σ 12≠σ2

2 ¿, al 95% de confianza.

EJERCICIO 25. Un gran fabricante de aparatos eléctricos necesita una estimación actualizada y precisa de las ventas al por menor de sus productos, como información auxiliar para la planeación de la producción. Para ello el fabricante piensa tomar una m.a. de sus distribuidores al por menor y estimar las ventas mensuales. Para



ayudarse en la planeación de la investigación, seleccionar una muestra preliminar de 60 distribuidores de su producto. Los resultados fueron

Donde X representa las ventas de aparatos (en unidades) por distribuidor, en el mes pasado.

a) El fabricante desea que la estimación muestral de la media de las ventas mensuales por distribuidor sea precisa con un margen de 1 aparato, con un nivel de 95% de confianza ¿Qué tamaño debe tener la muestra para obtener esta precisión?

b) El costo de la investigación se estima en S/. 200000 más S/. 4000 por distribuidor muestreado ¿Cuál será el costo total de la encuesta en base a la respuesta dada en a).?

SOLUCIÓNa) Haciendo uso de los datos dados obtenemos lo siguiente:

m.a. = 60 Error de estimación (E = 1)

Varianza (²) = 29.159 P [Z < Z0] = (1+ 0.95)/2Nivel de confianza ( = 95%) Z0 = 1.96

Para hallar el tamaño muestral usamos la siguiente fórmula:

n = [Z0*/E]² = [1.96]²*[29.159]/1 = 112El tamaño muestral es 112

c) Costo total = S/. 200000 + S/. 4000*112 = S/. 648000

EJERCICIO 26.Un analista económico realiza un estudio y decide proponer al gobierno que apoye las exportaciones de algodón y hierro, mediante préstamos promocionales tomados de un fondo de dinero que el gobierno de Canadá tiene intención de donar al Perú. El analista resuelve tomar aleatoriamente los promedios mensuales de exportaciones de ambos productos correspondientes a 10 meses del gobierno, con la intención de observar cuál de los dos productos han generado una mayor cantidad de divisas al país en los últimos años. Si



el promedio mensual de uno de los productos es mayor que el otro, este producto obtendrá las dos terceras partes de los fondos, en caso contrario el fondo se repartirá en partes iguales. En la siguiente tabla aparecen las exportaciones en millones de dólares de algodón y hierro.

En base a los datos, ¿Qué recomendaría el analista al gobierno? Use =99%

SOLUCIÓNIntervalo de confianza para el algodón y también para el hierro usando la siguiente fórmula:

n = 10 n = 10Promedio = 0.442 Promedio = 1.151Desv. Est. (s) = 0.396 Desv. Est. = 0.907Grado libertad (gl) = n - 1 = 9 gl = n – 1 = 9=99% =99%t0 = 3.25 t0 = 3.25IC (Algodón) = (0.035, 0.849) IC (Hierro) = (0.219, 2.083)

Observando el promedio de algodón y hierro se deduce que el promedio de hierro es mayor que del algodón y analizando los intervalos de confianza de ambos se deduce que el hierro ha generado


Meses de Gobierno

Exportaciones en millones de dólares

Algodón Hierro

Enero 1986 0.01 0.01

Marzo 1986 0.17 0.44

Junio 1986 0.31 0.55

Julio 1986 0.36 1.03

Setiembre 1986 0.98 0.81

Febrero 1987 0.98 1.51

Junio 1987 1.03 0.79

Julio 1987 0.26 0.97

Agosto 1987 0.22 2.63

Setiembre 1987 0.1 2.77


mayor cantidad de divisas para el país, por lo tanto el analista recomendará al gobierno prestar los 2/3 de fondos para exportaciones de hierro.

EJERCICIO 27. El desarrollo económico debe ser entendido a partir de sus dos premisas fundamentales; el crecimiento económico y luego la mejor distribución del ingreso. No se puede distribuir mejor la riqueza si es que no se logran adecuadas tasas de crecimiento, porque sino sería como repartir la pobreza entre los pobres. Con esta idea, un grupo de economistas decide realizar un estudio respecto a la situación económica del Perú desde la década de los sesenta. Para este fin, se presenta una de las principales variables utilizadas en el estudio.

TASA DE

CRECIMIENTO DEL PBI (%)

Considerando los datos aquí presentados. Que podría afirmar respecto de las siguientes conclusiones elaboradas por este grupo de economistas


AÑOS PBI AÑOS PBI AÑOS PBI1960 9.19 1970 7.31 1980 2.881961 8.42 1971 5.13 1981 3.061962 9.03 1972 5.84 1982 0.891963 4.07 1973 6.2 1983 -11.981964 7.14 1974 6.86 1984 4.731965 4.88 1975 2.39 1985 1.951966 7.05 1976 3.33 1986 8.61967 3.51 1977 0.26 1987 6.871968 0.03 1978 -1.77 1988 -81969 4.14 1979 4.31 1989 1.95


a) Se puede afirmar que el Perú ha alcanzado el promedio mínimo de crecimiento necesario para lograr el desarrollo, es decir, que históricamente ha crecido como mínimo en promedio 6%

SOLUCIÓN:Para responder esta pregunta es necesario hacer una prueba de hipótesis y se usará la siguiente fórmula y el siguiente gráfico:

Hipótesis:

Ho: μo > 0.06 (Perú alcanzo el promedio

mínimo de 0.06)

H1: μo < 0.06 (Perú no alcanzó el promedio mínimo de 0.06)

Datos calculados de la tabla: n = 30Promedio = 3.61Desv. Est. = 4.667Asumiendo = 95%Zo = 1.96 (se tomará -1.96 para comparar con Z)

Calculando Z, tenemos que Z = 4.165, se tomara el negativo Z = -4.165

Observamos que Z < Zo (-4.165 < -1.96), Z se encuentra en la zona de rechazo, por lo tanto NO se puede afirmar que el Perú ha crecido como mínimo en promedio 6%

b) Tratando a nivel de lo observado en los dos últimos gobiernos democráticos (1980 -1985) y (1986 - 1989), es posible aseverar que existe diferencias en las tasas promedio de crecimiento alcanzadas por uno y por otro, siendo esta diferencia favorable al régimen de (1986 – 1989), y se espera que la diferencia observada crezca cada vez más en el mismo sentido.

SOLUCIÓN:Como en el caso anterior se hace una prueba de hipótesis y se usa las siguientes fórmulas y el siguiente gráfico:


Z=x−μo

s√n

c2=s2

2

nc1=

s12

mgl=

( c1+c2)2

c12

m−1+

c22

n−1

t= x− y

√ s12

m+s2

2

n


Hipótesis:

Ho: μ1 <

μo (desfavorable al gobierno 1986 – 1989)

H1: μ1 > μo (favorable al gobierno 1986 – 1989)

Datos calculados de la tabla: n0 = 6 (periodo 80 – 85), n1 = 4 (periodo 86 – 89) Promedio0 = 0.26 Desv. Est. = 6.128Promedio1 = 2.36Desv. Est. = 7.456 Asumiendo = 95% gl = 6 aprox.To = 2.447

Calculando T = 0.467, entonces 0.467 < 2.447, se acepta Ho y se rechaza H1, por lo cual quiere decir que la tasa promedio de crecimiento del periodo (1986 – 1989) no es favorable.

EJERCICIO 28. Considere Ud. El problema de un inversionista nacional que desea colocar su capital dentro del sector industrial. Dicho agente se guiará, para tomar la decisión respecto de donde invertir sus recursos, del criterio de maximizar la rentabilidad promedio derivada de la operación realizada. Con este fin se selecciona 10 observaciones de la industria textil y 15 de la industria papelera, encontrándose una rentabilidad promedio de 3% y 8% respectivamente, con desviaciones típicas de 20% y 24% en cada caso. ¿En que sector le recomendaría invertir al agente en cuestión? (=97%)

SOLUCIÓN: Haciendo uso del Minitab obtenemos lo siguiente:T de una muestra (industria textil) Media del Error N Media Desv.Est. estándar IC de 97%10 0.0300 0.2000 0.0632 (-0.1328, 0.1928) T de una muestra (industria papelera) Media del Error N Media Desv.Est. estándar IC de 97%15 0.0800 0.2400 0.0620 (-0.0696, 0.2296)



Observando los intervalos de confianza y analizando se llega a la conclusión que el agente debe invertir en cualquiera de los dos sectores, ya que en ambas se pierde y se gana.

EJERCICIO 29. Al tomar una m.a. de 50 focos se registró la vida útil de cada una de ellos en una tabla de frecuencias de cinco intervalos con Xmin = 600, Xmax = 1100h, además f1 = 12, F2 = 25, h3 = 0.18 y F4 = 46. Con estos datos construir e interpretar un intervalo del 95% de confianza para la media poblacional.

SOLUCIÓN:Construir el cuadro de frecuencias

Intervalo Marca clase fi Fi

600 - 700 650 12 12

700 - 800 750 13 25

800 - 900 850 9 34

900 - 1000 950 12 46

1000 - 1100 1050 4 50

Haciendo los cálculos tenemos lo siguiente:N = 50Promedio = 816Desv.Est. = 129.0116 Zo = 1.96

Hacemos uso de la siguiente fórmula:

Haciendo los cálculos el IC = (780.24, 851.76)

Interpretación: Al 95% de confianza la vida útil de los focos se encuentra entre 780.24 y 851.76.

EJERCICIO 30. Debido a la escasez de agua producida por el calor severo en las ciudades de Lima, Trujillo, Piura y Chiclayo, el gobierno observa el consumo mensual promedio por vivienda. Si ui representa el consumo mensual promedio por vivienda, de la i - ésima ciudad, siendo i = 1, 2, 3, 4, entonces el costo mensual esperado debido al consumo en estas cuatro ciudades es:

C=5u1 + 7u2 + 8u3 + 2u4

Con base a estudios previos, se cree que el costo mensual esperado es S/. 257. El gobierno lleva a cabo una encuesta a través del INEI en la que seleccionando m.a. independientes de cada una de las ciudades se obtuvo lo siguiente:


[ x−Zα /2δ

√n≤μ≤ x+Zα /2

δ

√n ]


n1 = 50 x1 = 15 S1² = 4

n2 = 50 x2 = 10 S2² = 10

n3 = 50 x3 = 13 S3² = 8

n4 = 50 x4 = 12 S4² = 7

Empleando un intervalo de confianza del 99.8% para C, ¿se podrá afirmar que la evidencia apoya al estudio previo?

SOLUCIÓN:Hallamos C = 5*15 + 7*10 + 8*13 + 2*12 = 273Varianza = 5²S1²/n1 + 7²S2²/n2 + 8²S3²/n3 + 2²S4²/n4Varianza = 25*4/50 + 49*10/50 + 64*8/50 + 4*7/50Varianza = 25Des.Est. = 5Zo = 3.09IC = <273 - 3.09*5 , 273 + 3.09*5> = <257.55, 288.45>

Se observa en el intervalo de confianza que el costo mensual esperado de S/. 257 no se encuentra entre (257.55; 288.45), por lo tanto la evidencia no apoya al estudio previo.

EJERCICIO 32. Una empresa importadora de automóviles tiene cuatro puntos de venta, dos de ellos ubicados en lima y los otros dos en el interior del país (provincias). Cada uno de estos puntos de venta cuenta con un determinado número de vendedores a los cuales se les paga un porcentaje de comisión sobre el nivel de ventas realizadas. Las

comisiones son de 4% den lima y de 6% en provincias. Si μi representa el nivel de ventas semanal promedio, en miles de soles del i- ésimo punto de venta (i= 1, 2, 3, 4) y de acuerdo a la información histórica registrada, se sabe que la desviación estándar del nivel de ventas asciende a 50 miles de soles y es la misma para todos los puntos de venta. Por lo anterior, el costo semanal esperado por la empresa importadora por concepto de comisiones pagadas a los vendedores de Lima y provincias es:

C=0 . 04 μ1+0. 04 μ2+0 .06μ3+0 .06 μ4

Se cuenta con información sobre el nivel de ventas promedio, en miles de soles, efectuadas por la empresa durante las últimas semanas en los distintos puntos de ventas que son:

n1=50, n2=50

, n3=50

, n4=50

X1=50, X 2=50

, X3=60

, X 4=70

a) Estime en forma puntual el costo semanal esperado C de la empresa importadora por concepto de pago de comisiones a los vendedores de lima y provincias.



Para la solución de este problema utilizaremos la siguiente fórmula:

u=< X−Z 0σ

√n; X+

Z 0σ

√n>¿ ¿

Además tomaremos un intervalo de confianza al 90%, entonces:

P(Z , z0 )=1+0.9

2 De donde z0=1. 64(utilizando tabla)Ahora trabajaremos por cada punto de venta con sus respectivos datos.

PUNTO DE VENTA 1

u1 =<50−1 .64 x50

√50;50+

1 . 64 x50

√50>¿ ¿

u1 =<38.40;61.60>PUNTO DE VENTA 2

u2=< 50−1 .64 x50

√50;50+

1 . 64 x50

√50>¿ ¿

u2=<38.40;61.60>PUNTO DE VENTA 3

u3 =<60−1.64 x50

√50;60+

1. 64 x 50

√50>¿ ¿

u3=<48.40;71.60>PUNTO DE VENTA 4

u4 =< 70−1 .64 x 50

√50;70+

1 .64 x 50

√50>¿ ¿

u4=<58.40;81.60>

Luego según la fórmula C=0 . 04 μ1+0. 04 μ2+0 .06μ3+0 .06 μ4

C min=0 . 04x38. 4+0 . 04x38 . 4+0 .06x48 . 4+0 . 06x58 . 4

C min=9.48

C max=0 .04x61 . 6+0 .04x61 . 6+0 .06x71. 6+0 . 06x81.6

C max =14.12

C=cmin+cmax

2



C = 11.80

b) Estime el costo semanal esperado C de la empresa importadora por concepto de pago de comisiones a los vendedores de lima y provincias, con un intervalo de confianza al 95% asumiendo que el nivel de ventas tiene una distribución normal.

P(Z , z0 )=1+0.95

2 De donde z0 =1. 96(utilizando tabla)PUNTO DE VENTA 1

u1 =<50−1 .96 x50

√50;50+

1 . 96 x50

√50>¿ ¿

u1 = <36.14;63.86>PUNTO DE VENTA 2

u2=< 50−1 .96 x50

√50;50+

1 . 96 x50

√50>¿ ¿

u2= <36.14;63.86>PUNTO DE VENTA 3

u3 =<60−1.96 x50

√50;60+

1. 96 x50

√50>¿ ¿

u3= <46.14;73.86>PUNTO DE VENTA 4

u4 =< 70−1 .96 x 50

√50;70+

1 .96 x 50

√50>¿ ¿

u4 = <56.14;83.86>

Luego según la fórmula C=0 . 04 μ1+0. 04 μ2+0 .06μ3+0 .06 μ4

C min=0 . 04x36 .14+0 .04x36 .14+0 . 06x46 .14+0 .06x56 .14

C min =9.038

C max=0 .04x63 . 86+0 .04x63. 86+0 .06x73 . 86+0 .06x83. 86

C max =14.572

u4 =<9.038;14.572>

c) ¿Qué sucedería con el error de estimación si se cuenta con una muestra constituida por un numero mayor de datos para cada uno de los puntos de venta de la componía importadora?



Puesto que el error es inversamente proporcional a la cantidad de datos de la muestra, este error será menor si es que la cantidad de datos es mayor.

EJERCICIO 34. Por definición, el concepto elasticidad-precio de la demanda nos mide el grado de sensibilidad de la demanda ante una variación de precios. Asimismo se define también que la demanda es menos elástica cuanto menor sea ese grado de sensibilidad. Por ello, la demanda puede ser clásica, inelástica o clásica unitaria.

Al respecto cuantificaremos el promedio mensual de la elasticidad-precio de la demanda de arroz del país ZZZ, para ello contamos con los siguientes datos:

Se sabe que la demanda total de arroz esta conformada por la demanda de arroz en el norte y la demanda en el sur. Según datos históricos la demanda en el norte representa un 20% de la demanda total y el resto se destina al sur de la región, esta participación se mantiene invariable durante un año.

Se cuenta con una muestra de 12 meses representativos de un año en el cual el mercado no

Presentó perturbaciones graves, los datos que se obtuvieron son los siguientes:

Para calcular la elasticidad-precio de la demanda total de arroz,

emplearemos el concepto de elasticidad total: ET=a1 EN+a2 ES donde a1

y a2 son las respectivas ponderaciones (o participación) y EN y ES clasificación del Norte y del Sur.

a) Por lo general se espera que las elasticidades mensuales en las regiones sean homogéneas, sin embargo, no siempre es la misma en las dos regiones. Se pide: determinar si existe una diferencia significativa entre la homogeneidad de las elasticidades existente en el norte y el sur de la región, presente los supuestos del caso.


Elasticidad-precio en el NORTE Elasticidad-precio en el SUR

X1=−1 .320S1=0 .335

X 2=−0. 50S2=0 . 212


i=< X−

t 0σ

√n; X+

t 0 σ

√n>¿ ¿

P(T ,t 0)=1+0 .9

2 de donde t 0 =1.769En la región NORTE

unorte=<−1 .320−1. 769 x0 . 335

√12;−1 .320+

1 .769 x 0. 335

√12>¿ ¿

unorte=<-1. 49;-1.15>¿ ¿

En la región SUR

usur =<−0 . 5−1. 769 x0 . 212

√12;−0 .5+

1 .769 x 0. 212

√12>¿ ¿

usur=<-0.61;-0 . 39>¿ ¿Luego

ET−min=0 . 2(−1 . 49 )+0 .8 (−0 .61)ET−min=−0 .786

ET−max=0 .2 (−1 . 45 )+0. 8(−0 . 39)ET−max=−0 .542 Por tanto entre ambas elasticidades totales (máxima y mínima) no existe una diferencia significativa

b) Suponga que después de revisar varios años representativos se encontró que la variabilidad de las elasticidades debe ser de 0.12 (unidades al cuadrado) para el norte y 0.05 (unidades al cuadrado) para el sur. Se pide: con esta nueva información determine el intervalo de confianza para la elasticidad total del país ZZZ conformado por las regiones Note y Sur. Con los resultados identifique el tipo de elasticidad-precio hallado (elástica, inelástica, unitaria) y determine si se puede afirmar que la demanda total es altamente sensible a la variación de precios. Presente los supuestos estadísticos necesarios.

snorte

2

=0 .12 Entoncessnorte=0 .346

s sur

2

=0. 05 Entoncess sur=0. 224



Con estos nuevos datos calculamos de manera similar a la parte “a” de donde:

unorte=< -1.5;-1 .14>¿ ¿ y usur =< -0.616;-0 .384>¿ ¿

Luego

ET−min=0 . 2(−1 . 5)+0 .8(−0 .616 )ET−min=−0 .793

ET−max=0 .2 (−1 . 4 )+0 . 8(−0. 384 )ET−max=−0 .535De acuerdo a los datos obtenidos estamos ante una elasticidad-precio tipo INELASTICA

EJERCICIO 35. Un circuito eléctrico tiene 3 resistencias de diferente tipo. Las pruebas en 100 piezas del tipo 1 mostraron una resistencia promedio de 9.1 ohmios, con desviación de 0.2 ohmios, las pruebas de 80 resistencias de tipo 2 dieron una resistencia promedio de 14.3 ohmios con desviación estándar de 0.4 ohmios, las pruebas de 120 resistencias del tipo 3 dieron un promedio de 5.6 ohmios con desviación igual a 0.1 ohmios. Determinar un intervalo de confianza

del 95% para μ1+μ2+μ3 .¿ Bajo qué condiciones resuelve usted este problema?

SOLUCIÓN

Resistencia n X σ

1 100 9.1 0.2

2 80 14.3 0.4

3 120 5.6 0.1

Utilizaremos en todos los caso la siguiente formula:

u=< X−Z 0σ

√n; X+

Z 0σ

√n>¿ ¿

,

P(Z , z0 )=1+0.95

2 De donde z0 =1. 96(utilizando tabla)

u1 =< 9 . 1−1.96 x 0. 2

√100; 9. 1+

1 . 96 x0 . 2

√100>¿ ¿

u1=<9 . 0608 ;9 . 1392>¿ ¿

u2=< 14 . 3−1 . 96 x 0 . 4

√80;14 .3+

1 . 96 x0 . 4

√80>¿ ¿

u2=< 14 . 2123 ;14 .3877>¿ ¿



u3 =<5 . 6−1 . 96x 0 . 4

√120;5. 6+

1 . 96x 0 . 4

√120>¿ ¿

u3=<5 . 5821 ;5 . 6179>¿ ¿

Luego:

μ1+μ2+μ3=< 28 . 8552;29 . 1448>¿ ¿

SEGUNDO BLOQUE

EJERCICIO 1.Se quiere probar la efectividad de un antigripal en reducir la fiebre, con tal fin se tomo la temperatura a 10 niños de dos años afectados de gripe, antes o inmediatamente después de la administración del antigripal y los resultados fueron:

Paciente

Temperatura antes

Temperatura después

1 38,8 37,82 39,6 383 39,8 38,14 39,4 38,25 40,1 37,96 39,7 37,67 39,3 38,38 40,0 37,09 39,9 38,510 39,5 38,7

Suponiendo que la característica en estudio tiene distribución normal, obtener el intervalo de confianza del 95% para la diferencia de medias de temperaturas. Con base en los resultados. ¿Se estaría inclinando a concluir que el antigripal reduce la fiebre?

SOLUCIÓN:n=10



D =temperatura antes-temperatura despuésD=−1,6S D=0,678

Para γ=1−α=0.95 y α /2¿0.025tα/2 (n-1) t0.025 (9)¿2,262

Luego el intervalo de confianza del 95% para µD¿ µV- µN

I=¿D−T ∝2(n−1)

.Sd

√n;D+T ∝

2(n−1)

.Sd

√n>¿

I=¿1,6−2,262.0,678

√10;1,6+2,262.

0,678

√10>¿

∴ I=¿1,11486 ;2,08514>¿ Se puede concluir que el antigripal reduce la fiebre, ya que ambos límites del intervalo son positivos

EJERCICIO 2.Veinte estudiantes de matemática I de la facultad de ingeniería industrial de la universidad de lima fueron divididos en 10 parejas, teniendo cada miembro de la pareja aproximadamente el mismo coeficiente de inteligencia. Uno de cada pareja se selecciona al azar y se asigna a una sección que utiliza videos. El otro miembro se asigna a una sección que cuenta con un profesor. Al finalizar el ciclo ambos grupos se presentan al mismo examen, obteniéndose los resultados.

Pareja Con videoCon profesor

1 15 162 12 103 17 174 11 145 18 176 15 167 16 188 13 129 14 15

10 10 11

Suponiendo que la característica en estudio tiene, distribución normal, obtener el intervalo del 98%, para la diferencia real en el promedio de



calificación de los productos de enseñanza con base en los resultados. ¿Se puede concluir que el procedimiento de enseñanza con profesor es mejor que con el de video?

SOLUCIÓN:

n=10D =Con Video-con profesorD=¿-0.5S D=¿1.509Para γ =1-α=0.98 y α /2¿0.01t α /2 (n-1) t0.01( 9)¿2.821

Luego el intervalo de confianza del 95% para µD¿ µV- µN

I=¿D−T ∝2(n−1)

xSD

√n;D+T ∝

2(n−1)

xSD

√n>¿

∴ I=←1.846 ;0.846>¿Como el intervalo incluye al cero, entonces μ2=μ1, y se concluye que la enseñanza con profesor no es mejor que con el de video.

EJERCICIO 3.Se desea comparar dos nuevas líneas de trigo, para esto se toman 10 fincas al azar, plantando en cada una de ellas, y en dos parcelas distintas, ambas líneas. La producción en las 10 fincas fue (en fanegadas por hectárea)

línea A: 57 ; 49 ; 60 ; 55 ; 57 ; 48 ; 50 ; 61 ; 52 ; 56línea B: 55 ; 48 ; 58 ; 56 ; 54 ; 48 ; 52 ; 56 ; 50 ; 58

Suponiendo que la característica en estudio tiene una distribución normal, ¿podemos aceptar que la producción en las fincas fue (en fanegadas por hectárea)

Di=X i−Y i : 2 ; 1 ; 2 ; -1 ; 3 ; 0 ; -2 ; 5 ; 2 ; -2



D=∑i=1

10

Di

10

= D=1010

=1

SD2=∑i=1

10

¿¿¿¿=SD2=46=

SD❑=6,7823

∝=0.05 ∝/2=0.025

t ∝2

=t 0,025=0,5142I :<D±X 2± t∝2

(n−1)SD

√n>¿

I :<1± (4,6278) 6,78233,1623

>¿

I :←8,93 ;10,93>¿

Como en el intervalo incluye el 0 => μ1 ¿μ2, por lo tanto la producción es la misma

EJERCICIO 4.Se dice que una nueva dieta reduce el peso de una persona un promedio de 4,5 Kg en un periodo de 2 semanas. Los pesos de 7 Mujeres que siguieron esa dieta, fueron anotados antes y después de un período de 2 semanas.

Suponiendo que la característica en estudio tiene distribución normal, ¿podemos concluir que la dieta es eficaz al 95% de confianza?Di=X i−Y i : -1.5, 5.4, 3.6, 6.9, 5.5 2.7 2.3

D=∑i=1

10

Di

10D=3.557


Mujer 1 2 3 4 5 6 7Peso anterior

58.5 60.3 61.7 69 64 62.6 56.7

Peso posterior

60 54.9 58.1 62.1 58.5 59.9 54.4


Como el intervalo, los límites son positivos, decimos que la dieta es eficaz.

EJERCICIO 5.Un banco se especializa en préstamos a industrias pequeñas, para lo cual debe hacer una evaluación minuciosa de la situación financiera de cada una de ellas. Con este propósito, un agente de crédito analiza los estados financieros y las solicitudes e inclusive entrevista al solicitante si así lo desea; así se forma una opinión respecto a la tasa de crédito del mismo. El resultado de su análisis se evalúa mediante un número entero comprendido entre 0 y 9, usando el 9 para una tasa excelente y el 0 para una tasa mala.

El agente del banco, deseaba estar seguro de que ambos agentes de crédito, el señor Alcalá y el señor Meza, estaban usando el mismo estándar al evaluar las tasas de crédito. Se escogieron 25 clientes al azar y ambos agentes fueron enviados por separado con cada uno de ellos, siendo los resultados de sus respectivas investigaciones lo siguiente:

Número de Solicitud

Evaluación del Evaluación del

de crédito Sr. Alcalá Sr. Meza1 8 72 5 33 6 74 9 95 1 26 4 27 5 58 8 69 7 4

10 5 611 2 112 2 213 1 014 6 715 5 416 3 3



17 6 618 6 519 4 520 3 121 6 622 5 42.1 4 424 5 525 4 3

La gerencia sabia que habría diferencias entre ambas evaluaciones, pero deseaba que los agentes de crédito diesen la misma evaluación en promedio. ¿Los resultados muestran una diferencia significativa?

SOLUCIÓN:1. Con los datos

anteriores hallamos di:


Número de Solicitud de

crédito

Evaluación del Sr. Alcalá

Xi

Evaluación del Sr. Meza

YiDi=Xi- Yi

1 8 7 -12 5 3 -23 6 7 14 9 9 05 1 2 16 4 2 -27 5 5 08 8 6 -29 7 4 -3

10 5 6 111 2 1 -112 2 2 013 1 0 -114 6 7 115 5 4 -116 3 3 017 6 6 018 6 5 -119 4 5 120 3 1 -221 6 6 022 5 4 -12.1 4 4 024 5 5 025 4 3 -1

promedio Di -0.52Desv. Típica 1.1224


2. n=120 , =0.99, γ D =-0.52, =1.124σHallamos t0 para n-1= 24 grados de libertad, =0.95 (opcional)γP [T≤ t0]= ( +1)/2=(0.95+1)/2=0.975γt0=2.064

3. el intervalo para datos pareados está determinado por :

[D−t0 S

√n≤μ≤D+

t0 S

√n]

Hallamos

t0 S

√n =2.064*1.1224/ √25 =0.46331= -0.52-0.4633Θ2= -0.52+0.4633Θ

El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 95% es: [-0.983;-0.057]Como ambos límites son negativos, Los resultados no muestran una diferencia significativa

EJERCICIO 6.Se selecciona al azar 5 secretarias de la Universidad de Lima y se procede a registrar la velocidad en mecanografiar un texto (palabras por minuto) para cada secretaria. Luego, se les envía a un curso de perfeccionamiento y se vuelve a realizar la misma prueba. Los resultados obtenidos en ambos casos son los siguientes:

Secretaria Antes Después del curso de perf.

1 80 822 70 773 85 794 62 685 82 84

Suponiendo que la característica en estudio tiene distribución normal, ¿se puede afirmar con un 95% de confianza, que la velocidad de mecanografiado es superior luego de haber realizado el curso?

SOLUCIÓN:1. Con los datos anteriores hallamos di:

Secretaria Antes (Xi) Después del curso de perfeccionam. (Yi)

Di=Xi-Yi

1 80 82 22 70 77 73 85 79 -64 62 68 6



5 82 84 2promedio Di 2.2Desv. Típica 4.57820926

1. n=5 , =0.99, γ D =2.2 , =4.5782σHallamos t0 para n-1= 4 grados de libertad, =0.95 γP [T≤ t0]= ( +1)/2=(0.95+1)/2=0.975γt0=2.776

2. el intervalo para datos pareados está determinado por :

[D−t0 S

√n≤μ≤D+

t0 S

√n]

Hallamos

t0 S

√n =2.776*4.5782/√4 =6.351= 2.2-6.35θ 2=2.2+6.35θ

El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 95% es: [-4.15; 8.55]El intervalo incluye el cero µ1=u2 no hay diferencias en la velocidad de mecanografiado después de haber realizado el curso.

EJERCICIO 7. Un equipo de investigación medica esta interesado en ver si una nueva droga reduce el colesterol en la sangre. Con tal fin toma una muestra de diez pacientes y determina el contenido del colesterol en la sangre ante y después del tratamiento. Los datos muestrales expresados en miligramos por 100 mililitros son los siguientes:

Paciente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Antes(xi)217

252

229

200

209

213

215

260

232

216

Después(yi)

209

241

230

208

206

211

209

228

224

203

Di= yi- xi -8 -11 1 8 -3 -2 -6 -32 -8 -13

Suponiendo que la característica en estudio tiene distribución normal, ¿se puede afirmar con un 95%de confianza que la nueva droga reduce el colesterol en la sangre?

Soluciónμ1=¿contenidode colesterol enla sangreantesdel tratamiento ¿



μ2=¿contenido decolesterol enla sangredespuesdel tratamiento ¿

Como el contenido del colesterol en la sangre, se determina en los dos casos (antes y después), y es en el mismo paciente, estamos frente a un caso de datos pareados.

n=10

D=∑i=1

n

Di

n=∑i=1

10

Di

10=∑i=1

10

(Y i¿−X i)

10=−74

10=−7.4¿

SD=√∑i=1

n

(D¿¿i−D)2

n−1=√∑i=1

10

(D¿¿ i−D)2

9=10.58510484¿¿

Para γ=1−α=0.95 yα2=0.025 , buscamos en la tabla de distribución T, y se

encuentra:

t ∝2

(n−1 )=t0.025 (9 )=2.262

Luego el intervalo de confianza al 95% para μD=μ2−μ1 es:

I=¿D−t∝2

(n−1 )SD

√n;D+t ∝

2

(n−1 )SD

√n>¿

I=←7.4−2.26210.58510484

√10;−7.4+2.262

10.58510484

√10>¿

I=←7.4−7.571601776 ;−7.4+7.571601776>¿

I=←14.97160178 ;0.171601776>¿Como el intervalo incluye al cero, entonces μ2=μ1, y se concluye que la nueva droga no reduce el colesterol en la sangre.

EJERCICIO 8. El año 1986 se vio caracterizado por el auge de la bolsa de valores producto de las medias de política económica aplicadas por el gobierno las cuales promovieron un incremento de rentabilidad relativa de los valores transados en bolsa respecto de otras alternativas de inversión. Este fenómeno observado llega a ser cúspide en el mes de abril de dicho año periodo en el cual se transan 576.4 millones de soles de acciones u obligaciones. A continuación se



presenta un cuadro resumen del movimiento bursátil para 1986, en los meses de abril y diciembre, respectivamente.Suponiendo que la característica en estudio tiene distribución normal ¿será cierta la supremacía del mes de abril respecto del mes de diciembre en cuanto al movimiento bursátil promedio se refiere?

SoluciónComo el movimiento bursátil se dio en el mismo sector, tanto en el mes de abril como en el mes de diciembre, estamos frente a un caso de datos pareados:μ1=¿movimiento bursatil promedio enelmes deabril ¿

μ2=¿movimiento promedio bursatil enelmes dediciembre¿

n=10

D=∑i=1

n

Di

n=∑i=1

10

Di

10=∑i=1

10

(Y i¿−X i)

10=−93.3

10=−9.33¿

SD=√∑i=1

n

(D¿¿i−D)2

n−1=√∑i=1

10

(D¿¿ i−D)2

9=83.88914709¿¿

Para γ=1−α=0.95 yα2=0.025 , buscamos en la tabla de distribución T, y se

encuentra:

t ∝2

(n−1 )=t0.025 (9 )=2.262

Luego el intervalo de confianza al 95% para μD=μ2−μ1 es:


SECTORES ABRIL(Xi) DICIEMBRE(Yi) Yi - Xi

Bancos 10.8 35.0 24.2Financieras 2.4 9.5 7.1Industriales 267.8 31.1 -236.7Mobiliarias 0.0 0.0 0Mineras 10.7 6.9 -3.8Seguros 2.6 14.8 12.2Servicios Públicos 0.1 0.1 0Diversas 4.1 27.6 23.5Industria laborales 113.6 196.2 82.6Mineras laborales 14.0 11.6 -2.4


I=¿D−t∝2

(n−1 )SD

√n;D+t ∝

2

(n−1 )SD

√n>¿

I=← 9.33−2.26283.88914709

√10;−9.33+2.262

83.88914709

√10>¿

I=←9.33−60.00651148 ;−9.33+60.00651148>¿I=¿69.3365 ;50.6765>¿

Nótese que ambos límites de confianza del intervalo son positivos, en consecuencia μ2>μ1 , es decir que el movimiento bursátil promedio del mes de abril es menor que del mes de diciembre, por lo tanto no es cierta la supremacía del mes de abril respecto del mes de diciembre.

EJERCICIO 9.A fin de medir el efecto de una campaña de ventas sobre artículos “quedados”, el director de investigación tomó una m.a. de 13 pares de tiendas que se hicieron concordar según el volumen semanal promedio de ventas. Una tienda de cada par (el grupo experimenta) fue expuesta a la campaña de ventas, la otra tienda del par no lo fue. Los siguientes datos indican los resultados en un periodo semanal.

VENTA (EN MILES) DE ARTICULOS QUEDADOS

¿Puede el director de investigaciones llegar a la conclusión de que la campaña de ventas ha aumentado la venta de los artículos?

SOLUCIÓN:Promedio (Con campaña de venta) = 62.08Promedio (Sin campaña de venta) = 59.19


TIENDA CON CAMPAÑA DE VENTA

SIN CAMPAÑA DE VENTA

1 67.2 65.3

2 59.4 54.7

3 80.1 81.3

4 47.6 39.8

5 97.8 92.5

6 38.4 37.9

7 57.3 52.4

8 75.2 69.9

9 94.7 89.0

10 54.3 58.4

11 31.7 33.0

12 49.3 41.7

13 54.0 53.6


Sólo analizando los promedios se puede concluir que haciendo campaña de ventas la venta de artículos ha aumentado.

EJERCICIO 10.Un empresario desea invertir parte de las utilidades de su empresa en la compra de bonos tipo (C de COFIDE). Para lo cual contrata los servicios de una compañía consultora para que investigue si la rentabilidad promedio de las cotizaciones de los Bonos ha sufrido una variación significativa de un periodo a otro o no. La compañía consultora toma una muestra aleatoria de 12 meses de los años 87 y 88 respectivamente. En la siguiente tabla aparecen las rentabilidades promedio de las cotizaciones de los Bonos Tipo C de Cofide de los años 1987 y 1988.

1987 49% 51% 51.9%

48.5% 56%

44.9% 50.2% 50.2% 50.8%

49.7%

50.3% 53.1%

1988

53.9%

54.3% 69.3%

70.8% 66%

51.2% 90.2% 87.8%

124.5%

95.3%

65.4%

125.5%

La compañía consultora afirma que si las rentabilidades promedio de las cotizaciones de los Bonos tipo C de Cofide del periodo 1988 es mayor que la del periodo 1987 aconsejará invertir. En base a los datos, ¿qué le sugiere la empresa consultora al empresario?

SOLUCIÓN:Promedio (1987) = 50.467%Promedio (1988) = 79.517%

Sólo analizando los promedios se deduce que Promedio (1988) > Promedio (1987), por lo que la empresa consultora va a sugerir invertir al empresario.

EJERCICIO 11.Para planear una estrategia de política económica en el futuro, el gobierno realiza un estudio con el fin de determinar los niveles de producción industrial en el país.

Durante el año 1998 el gobierno consideró prudente no intervenir en el sector de bienes de consumo. Resultando si de importancia el potenciar en el sector de bienes de capital por encima de la producción de consumos.

Los resultados en estos últimos sectores fueron lo siguientes:

Producción Industrial 1998 (en miles de nuevos soles)



¿Los resultados estadísticos evidencian que la política empleada por el gobierno fue efectiva?

SOLUCIÓN

Meses insumos bienes diferencia

enero 0.14 0.12 -0.02

febrero 0.15 0.14 -0.01

marzo 0.18 0.17 -0.01

abril 0.20 0.19 -0.01

mayo 0.17 0.17 0.00

junio 0.18 0.19 0.01

julio 0.19 0.20 0.01

agosto 0.20 0.19 -0.01

septiembre 0.26 0.25 -0.01

octubre 0.26 0.25 -0.01

noviembre 0.33 0.31 -0.02

diciembre 0.32 0.31 -0.01

n=12

De la tabla:

D=−0 .01 ; SD=0 . 01


Meses Producción de Consumos

Producción de Bienes de Capital

Enero 0,14 0,12Febrero 0,15 0,14Marzo 0,18 0,17Abril 0,20 0,19Mayo 0,17 0,17Junio 0,18 0,19Julio 0.19 0.20

Agosto 0.20 0,19Septiembre 0.26 0,25

Octubre 0,26 0,25Noviembre 0,33 0,31Diciembre 0,32 0,31


Utilizaremos la siguiente formula

P(Z , z0 )=1+0.9

2 , gl=n−1=11

Entonces

z0=1. 796

l=<−0 .01−1 .7690 .01

√12;−0 .01+1 .769

0 .01

√12l=<−0 . 013 ;−0 .002>¿ ¿El hecho que ambos límites de confianza sean negativos indica que la producción de los bienes de insumo es mayor que la producción de los bines de capital; por tanto la política no fue efectiva

EJERCICIO 12.Considere usted el siguiente caso. En el país Omega (el cual se ha distinguido por la estabilidad en materia de política económica y social) una empresa dedicada a la importación y comercialización de productos de consumo masivo SUPERMER, que además posee una cadena de tiendas a nivel nacional; con el propósito de incrementar sus ventas, aplicó dos diferentes mecanismos de promoción de ventas durante un periodo determinado (A: mecanismo conservador, B: mecanismo innovador). Estos mecanismos de promoción fueron adoptados e implementados con éxito en países con similares características socioeconómicas.Después de un tiempo, con la finalidad de medir el impacto de los mecanismos de promoción adoptados por SUPERMER, se registró el nivel de ventas de 34 de las tiendas de la empresa ubicadas en la capital y provincias durante un mes típico del año antes de que la empresa implementará algún mecanismo de promoción y durante un mes típico del año correspondiente al periodo de tiempo en el cual estuvo vigente cada uno de los mecanismos de promoción adoptados por la Cia. Los datos se presentan en las tablas siguientes

VENTAS CIA. SUPERMER (en unidades monetarias u.m)

TIENDAANTES DE LA APLICACIÓN

MEC. DE PROM.

DESPES DE LA APLICACIÓN MEC.

CONSERVADOR

ANTES DE LA APLICACIÓN MEC.

INNOVADOR

1 100 205 230

2 134 205 300



3 132 204 250

4 145 206 230

5 156 208 250

6 135 199 250

7 140 198 220

8 140 179 230

9 122 180 260

10 145 160 160

11 176 203 190

12 187 203 180

13 197 201 220

14 150 240 230

15 170 233 240

16 146 244 250

17 154 233 215

MEDIA 148.76 206.24 229.71

DESV. ESTANDAR 23.05 21.36 31.55

VENTAS CIA. SUPERMER (en unidades monetarias u.m)

TIENDA

ANTES DE LA APLICACIÓN MEC. DE

PROM.

DESPES DE LA APLICACIÓN

MEC .CONSERVADOR

ANTES DE LA APLICACIÓN MEC.

INNOVADOR

1 111 120 180

2 124 130 150

3 126 140 240

4 204 144 250

5 210 155 220

6 240 166 230



7 230 170 215

8 180 150 218

9 190 160 260

10 199 153 250

11 187 123 250

12 179 165 260

13 167 174 235

14 164 180 302

15 150 164 307

16 170 165 170

17 150 180 189

MEDIA 175.35 155.24 230.94

DESV. ESTANDAR 35.03 18.00 41.21

TOTAL MEDIA 162.06 180.74 230.91

DESV. ESTANDAR 32.98 32.74 32.22

Con la información presentida . verifique usted la verdad o falsedad de los siguientes enunciados empleando intervalos de confianza del 95%

"A nivel de la totalidad de las tiendas de la empresa (capital y provincias) separadamente los mecanismos de promoción de ventas (conservador e innovador) dieron resultados positivos, en términos del nivel de ventas promedio, en comparación con la situación que se registraba antes de que la empresa decidiera implementar algún mecanismo de promoción de ventas; sin



embargo, cabe señalar que el efecto positivo del mecanismo innovador fue mayor".

TIENDAANTES DE LA APLICACIÓN

DESPUES DE LA APLICACIÓN

MEC. DE CONSERV.

DIFERENCIAANTES DE LA APLICACIÓN

DESPUES DE LA APLICACIÓN

MEC. INNOV

DIFERENCIA

1 100 205 105 100 230 1302 134 210 76 134 300 1663 132 204 72 132 250 1184 145 206 61 145 230 855 156 208 52 156 250 946 135 199 64 135 250 1157 140 198 58 140 220 808 140 179 39 140 230 909 122 180 58 122 260 13810 145 160 15 145 160 1511 176 203 27 176 190 1412 187 203 16 187 180 -713 197 201 4 197 220 2314 150 240 90 150 230 8015 170 233 63 170 240 7016 146 244 98 146 250 10417 154 233 79 154 215 6118 111 120 9 111 180 6919 124 130 6 124 150 2620 126 140 14 126 240 11421 204 144 -60 204 250 4622 210 155 -55 210 220 1023 240 166 -74 240 230 -1024 230 170 -60 230 215 -1525 180 150 -30 180 218 3826 190 160 -30 190 260 7027 199 153 -46 199 250 5128 187 123 -64 187 250 6329 179 165 -14 179 260 8130 167 174 7 167 235 6831 164 180 16 164 302 13832 150 164 14 150 307 15733 170 165 -5 170 170 034 150 180 30 150 189 39



MECANISMO DE CONSERVADOR

DPROM=18 .68

sD=50 . 36

l=<18 . 68−1 .6450 .36

√34;18 . 68+1 .64

50 . 36

√34l=< 4 .51 ;32 .84>¿ ¿

MECANISMO INNOVADOR

D INNOV=68 .26

sD=49 .20

l=<68 . 26−1 . 6449 .20

√34;68 .26+1.64

49 .20

√34l=<54 . 43 ;82 .10>¿ ¿

Verdadero. Ambos mecanismos dieron efectos positivos. En temimos del nivel de ventas promedio, fue mayor en el caso del mecanismo innovador

TERCER BLOQUE

EJERCICIO 1.Una m.a. de 400 domicilios mostro que 25% de ellos son casas de alquiler hallar un intervalo de confianza del 98% para la proporción p.

SOLUCION:

n=400, =0.98,γ

Hallamos Z0, =0.98γP [Z≤ z0]= ( +1)/2=(0.98+1)/2=0.99γ

Z0= 2.33



EJERCICIO 2.En 50 lanzamientos de una moneda, fueron obtenidas 30 caras. A partir de una intervalo de confianza del 95%, ¿Se puede decir que la moneda no esta cargada?

EJERCICIO 3.Una muestra de 300 habitantes de una ciudad mostro que 180 deseaban agua filtrada. Encontrar los límites de confianza de 90% y 95% para la proporción de la población favorable a la filtración.

Solución

Agua f 180

α 90% y 95%

Para



EJERCICIO 4.Una determinada comunidad esta compuesta de 1200 unidades habitacionales de una muestra elegida al azar de 200 unidades resulto que 50 necesitaban reparaciones urgentes, construir el intervalo de confianza del 90% para la proporción real de las unidades que necesitan reparación.

SOLUCION:

n=400, =0.98,γ

Hallamos Z0, =1- =0.90 , /2=γ α α 0.05 e n la tabla I =1.645

Por tanto , el intervalo de confianza del 90%.

EJERCICIO 5.Supongamos que estamos interesados en estimar el porcentaje de consumidores de cierto producto. si una muestra de tamaño de 300 dio 100 individuos que consumían dicho producto, determine:

Solución

a) El intervalo de confianza par p, con coeficiente de confianza del 95%.

Para y /2 0.025Z α/2=1,960



b) El tamaño de la muestra para que el error de estimación no exceda a 0.02 unidades con probabilidad de 95%.

SOLUCION:

Para y /2 0.025Z α/2=1,960

n=(1.960)( 1.960)(0.333)(0.667)/(0.02)( 0.02)=2134

EJERCICIO 6.En una encuesta para verificar las actitudes de los empleados ante el boletín mensual, se les pidió a 500 empleados de una organización nacional que indicaran con que frecuencia leían el boletín de noticias.de los 500; 75 informaron que leían todas las ediciones. construir el intervalo de confianza del 95% para la proporción real de los que leen todas las ediciones.

Solución:

n =500, x=75,

Hallamos Z0, =1- =0.95 , /2=γ α α 0.025 e n la tabla I =1.96

EJERCICIO 7.Se recibe un lote muy grande provenientes de un fabricante que asegura que el porcentaje de artículos defectuosos en la



producción es de 1% .Al seleccionar una m.a de 200 artículos y después de inspeccionarlos, se descubre 8 defectuosos. Obtener un intervalo de confianza aproximando del 99% para la verdadera proporción de artículos defectuosos en el proceso de manufactura del fabricante. Con base a estos resultados. ¿Qué se puede concluir con respecto a la afirmación del fabricante?n=200

γ=0. 99p=8/200=0. 04P(Z≤z0 )=0 . 995z0=2.576

I =< { p±z0√0 . 04(1−0. 04 )200

>¿

I =<0 . 04±(2 .276 )√0. 04 (1−0 . 04 )200

>

I =<0 . 0043≤π≤0 .0757>Existe razón para creer que existen artículos defectuosos.

EJERCICIO 8.En una investigación de mercado para estudiar la preferencia de la población de una población de una cuidad en relación a un determinado producto , se selecciona una muestra de 300 individuos , de los cuales 180 prefieren ese producto.

a) Determine un intervalo de confianza para la proporción de la población que prefieren el producto en estudio.

n=300γ=0. 95p=180 /300=0 . 6P(Z≤z0 )=0 . 975z0=1.96

I =< { p±z0√ p(1− p )n

>¿

I =< 0 . 6±(1.96 )√0 .6(1−0 .6 )300

>

I =< 0 . 54456≤π≤0. 655437>

b) ¿es posible obtener un estimador puntual de esa proporción que no difiera del valor verdadero en mas de 0.0005 con probabilidad de 0.95? caso contrario , determine que es lo que debe hacerse?

n=300x=180

p= xn=≫ p=0.6



γ=0.95

P (Z0<Z )=1+γ2

→Z0=1.96

∴0.46≤ p≤0.735

EJERCICIO 9.Un medico investigador desea estimar la proporción de mujeres, en edad madura , que fuman en exceso y que desarrollaran cáncer pulmonar en los siguientes 5 años . El investigador desea seleccionar un acierta cantidad de mujeres que ayan fumado por lo menos dos cajetillas de cigarros al día durante 20 años y observarlos durante los próximos 5 años para saber cuantos desarrollaran cáncer pulmonar ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra que el investigador debe seleccionar de manera que con una probabilidad de 0.95 la proporción maestral se encuentre a no más de 0,02 unidades de la proporción verdadera.

γ=0.95

P ( z≤ z0 )=1,952

z0=1.96

n=(Z¿¿0)2

4e2 ¿

n=(1.96)2

4(0.02)2 =3,84160,0016

=2401

EJERCICIO 10.Una muestra de 10000 piezas de un lote de producción fue inspeccionada, y el número de defectuosos por cada pieza fue registrado en la siguiente tabla.

No. defectuosos

0 1 2 3 4

Cantidad de 6000 3200 600 150 50



piezas Determine los límites de confianza para la proporción de piezas defectuosos en la población, con coeficientes de confianza del 98 %.

Solución:Para productos con cero defectos:

p1−Z0 √ p1 (1− p1 )n1

≤p≤ p1−Z0√ p1(1− p1)n1

n=6000p=600/10000=0 . 6α=0 . 02Z0=2 . 33

¿0 .6−2 .33√0 . 4 x 0 . 610000

≤p≤0 .6−2 .33 √0 . 4 x 0 . 410000

>

I =<0 . 59;0 . 61>Para productos con 1 defecto:

p1−Z0 √ p1 (1− p1 )n1

≤p≤ p1−Z0√ p1(1− p1)n1

n=3200p=3200 /10000=0 . 32α=0 . 02Z0=2 . 33

¿0 .32−2 .33√0 .32 x 0. 6810000

≤p≤0 . 32+2. 33√0 .32 x0 . 6810000

>

I =< 0 . 30; 0. 33>Para productos con 2 defectos

p1−Z0 √ p1 (1− p1 )n1

≤p≤ p1−Z0√ p1(1− p1)n1

p=600/10000=0 . 06α=0 . 02Z0=2 . 33

¿0 .06−2. 33√0 . 06∗0 . 9410000

≤p≤0 . 06+2 . 33√0 . 06 x 0. 9410000

>

I =< 0 . 054 ;0 . 066>Para productos con 3 defectos:



p1−Z0 √ p1 (1− p1 )n1

≤p≤ p1−Z0√ p1(1− p1)n1

n=150p=150 /10000=0 . 015α=0 . 02Z0=2 . 33

¿0 .015−2 . 33√0 .015 x0 .98510000

≤p≤0 . 015+2 .33√0 . 015x 0 . 98510000

>

I =<0 . 012;0 . 017>Para productos con 4 defectos:

p1−Z0 √ p1 (1− p1 )n1

≤p≤ p1−Z0√ p1(1− p1)n1

n=50p=50 /10000=0 . 005α=0 . 02Z0=2 . 33

¿0 .005−2 . 33√0 .005∗0 .99510000

≤p≤0 .005+2.33√0. 005∗0 . 99510000

>

I =< 0 . 0033 ;0.0064>EJERCICIO 11. Antes de una elección en que existan 2 candidatos A y B se hizo una encuesta con 400 electores seleccionados al azar, y se verifico que 208 de ellos pretendían votar por el candidato A. Construya un intervalo de confianza del 95 %, para la proporción de electores favorables al candidato A en la época de las elecciones.

n=900

PA=208400

=0,52

γ=95%

P ( z≤ z0 )=1,952

z0=1.96

¿ p±z0 √P(1−P )n

>¿ ¿<0 . 52±(1,96 )√0,52(1−0,52 )400

>

¿0 .47≤π≤0 . 569>[Escribir texto] Página 59


EJERCICIO 12.Las compañías de auditoría generalmente seleccionan una muestra aleatoria de los clientes de un banco y verifican los balances contables reportados por el banco. Si una compañía de este tipo se encuentra interesada en estimar la proporción de cuentas para las cuales existe una discrepancia entre el cliente y el banco, ¿cuántas cuentas deberán seleccionarse de manera tal que con una confiabilidad del 99% la proporción muestral se encuentre a no más de 0,02 unidades de la proporción real? R. 4147

Solución:1. =0.99 , E=0.02γ

Hallamos Z0, =0.99γP [Z≤ z0]= ( +1)/2=(0.99+1)/2=0.995γ

Z0= 2.576El tamaño muestral para estimar una proporción esta dado por (si no se conoce la proporción):

n=Z0

2

4 E2=2.5762/(4*0.022)=4147.36

Respuesta: El total de cuentas seria 4147

EJERCICIO 13.Una compañía de TV quería estimar la proporción de sus suscriptores que comprarían su revista con la programación. La compañía quería tener 95% de confianza de que su estimación está correcta con aproximación de +0,05 de la proporción real. La experiencia previa en otras áreas indica que el 30% de los suscriptores comprarían la revista. ¿Qué tamaño de muestra se necesita? R. 323

Solución:

1. =0.99, E=0.05, γ p =0.3Hallamos Z0, =0.95γP [Z≤ z0]= ( +1)/2=(0.95+1)/2=0.975γ

Z0= 1.9602. El tamaño muestral para estimar una proporción esta dado por:

n=Z0

2 p(1− p )

E2=1.9602*0.3*(0.7)/(0.05)2=322.69

Respuesta: necesita un tamaño de muestra de 323 suscriptores.

EJERCICIO 14.Se desea realizar una encuesta de mercado para estimar la proporción de amas de casa que prefieren una nueva pasta dental. Asimismo, se desea que el error al estimar la proporción no sea mayor que 2% con un coeficiente de confianza de 95.45%. El departamento de ventas hace la hipótesis preliminar de que cerca del 25% de las amas



de casa podrían preferir el producto. Si cuesta S/. 500000 poner en marcha la encuesta y S/. 5000 por entrevista, ¿cuánto debería costar toda la encuesta? R. 9375000

Solución:

1. =0.9545 , E=0.02 , γ p =0.25Hallamos Z0, =0.9545γP [Z≤ z0]= ( +1)/2= (0. 9545+1)/2=0.97725γ

Z0= 2.00000244

2. El tamaño muestral para estimar una proporción esta dado por:

n=Z0

2 p(1− p )

E2=2.000002442*0.25*(0.75)/(0.02)2=1875

Respuesta: El total de amas de casa son 1875, y el gasto en encuestas es 1875* 5000=9375000 soles.

EJERCICIO 15.se planea una encuesta para estimar la proporción de los profesores de la Universidad de San Marcos que desean tener seguro médico familiar.También, se desea que el error de estimación no sea mayor que 6%, con un coeficiente de confianza de 0,96844. El director de personal hace la hipótesis preliminar de que cerca del 70% de los profesores podrían preferir el seguro médico familiar. Si la Universidad debe pagar S/. 10000 por cada entrevista, ¿cuánto debería costar toda la encuesta? R. 2700000

Solución:

1. =0.96844 , E=0.06 , γ p =0.70Hallamos Z0, =0. 96844γP [Z≤ z0]= ( +1)/2= (0. 96844 +1)/2=0.98422γ

Z0= 2.14993951

2. El tamaño muestral para estimar una proporción esta dado por:

n=Z0

2 p(1− p )

E2=2.149939512*0.70*(0.30)/(0.06)2=269.63

Respuesta: El total de profesores son 270, y el gasto en encuestas es 270* 100000=2700000 soles.

EJERCICIO 16.Debe obtenerse una estimación de la proporción de artículos útiles en el inventario de excedentes almacenados en



condiciones desfavorables. La estimación deberá ser correcta dentro de un margen de tolerancia de +0,05 y confiable al 95%. El inventario total consta de 10000 artículos y se cree que la proporción de artículos utilizables todavía es 0.30. ¿Qué tamaño de muestra es necesario para obtener un estimador con la exactitud requerida? R. 323Solución:

1. =0.95 , E=0.05, γ p =0.30Hallamos Z0, =0.95γP [Z≤ z0]= ( +1)/2=(0.95+1)/2=0.975γ

Z0= 1.9602. El tamaño muestral para estimar una proporción esta dado por:

n=Z0

2 p(1− p )

E2=1.9602*0.70*(0.30)/(0.05)2=322.69

Respuesta: artículos útiles=223 de un total de 10000 artículos.

EJERCICIO 17. El director de la biblioteca de la universidad de Lima quiere calcular el porcentaje de libros de que dispone con fechas de publicación de 1980 o anteriores ¿De que tamaño debe tomar la m.a para que se tenga un 97% de seguridad de quedar dentro del 4% de la proporción real?

Para γ=1−α=0.97 yα2=0.005 , se encuentra:Zα /2=2.17

n=(Z α

2

)2

4 e2

n=(2.17)2

4(0.04)2 =4.70890.0064

=735.765625≈736

n=736La muestra debe de ser de 736 libros para tener un 97% de seguridad de quedar dentro del 4% de la proporción real.

EJERCICIO 18. Una librería recibe un embarque de cierta marca de bolígrafos baratos del fabricante. El propietario desea estimar la proporción de bolígrafos que están defectuosos. Se prueba con una m.a de 400 bolígrafos y se encuentra 40 defectuosos. Hallar el intervalo de confianza del 97% para la proporción de bolígrafos defectuosos en el embarque. Si el embarque se puede devolver en caso de que aparezcan más de 6% de defectuosos, entonces con base en los resultados de la muestra, ¿puede el dueño devolver el embarque?



SOLUCIÓN


n=400El estimador de p es:

p=40=10 %p=40=0.1Luego, intervalo de confianza del 97% pedido es:

I=¿ p−Zα /2 √ p (1− p)n

; p+Zα /2√ p (1− p)n

>¿

I=¿0.1−2.17√ 0.1(0.9)400

;0.1+2.17√ 0.1(0.9)400

>¿

I=¿0.06745 ;0.13255>¿Como el intervalo no incluye 0.06, entonces, el dueño si puede devolver el embarque.

EJERCICIO 19. Para determinar cuantas en un pueblo joven de 1000 familias califican para recibir canastas alimentarias del ministerio de agricultura, se tomo una muestra aleatoria de 360 familias. Se encontró que 98 de esas 360 familias calificaron. Calcular límites de confianza del 90% para el número total de familias de este pueblo joven que califican para las canastas alimentarias.

SOLUCIÓN


El estimador de p es: p= 98360

=0.27222

Luego, intervalo de confianza del 90% pedido es:

I=¿ p−Zα /2 √ p (1− p)n

; p+Zα /2√ p (1− p)n

>¿

I=¿0.27222−1.645√ 0.27222(0.72778)360

;0.27222+1.645√ 0.27222(0.72778)360

>¿

I=¿0.23363 ;0.31081>¿



EJERCICIO 20. Un departamento de mercadotecnia se interesa en determinar el tamaño de un mercado para un nuevo producto que tiene poco atractivo para el público, pero cuya utilidad unitaria es especialmente alta. Una encuesta de consumidores sobre 2000 familias indico que 30 de ellas comprarían el nuevo producto. El área de mercado considerado comprende 5000000 de familias. Estímese el numero de familias que comprarían el producto. Use los resultados de la encuesta para determinar el intervalo de confianza del 97% para el número de familias que comprarían el nuevo producto.

SOLUCIÓNN=5000000 n=2000

Para γ=1−α=0.97 yα2=0.015 , se encuentra:Z α

2

=2.17

El estimador de p es:

p= 302000

=0.015


I=¿ p ±Zα /2 √ p (1− p)n

.N−nN−1

>¿

I=¿0.015±2.17√ 0.015(0.985)2000

.5000000−2000

4999999>¿

I=¿0.015±0.00589686869>¿I=¿0.009103 ;0.020897>¿

EJERCICIO 21. Se afirma que tan solo 700 de 2000 proyectos serán llevados a cabo por el gobierno, debido a un recorte presupuestal. Sin embargo, es muy importante que se prevea esto, en tal sentido.

a) Construya un intervalo de confianza para la proporción de proyectos que se llevaran a cabo, con una probabilidad del 10% de que el verdadero valor del parámetro caiga fuera de los límites.

b) Supóngase ahora, que de 4000 posibles proyectos, se extrae una muestra de 2300, determinándose que de tales solo podrían llevarse a cabo 600 (debido al recorte presupuestario). ¿Cuál seria el intervalo de confianza para la proporción de proyectos que no se podrán llevar a cabo?

SOLUCIÓN

a) Para γ=1−α=0.90 yα2=0.05 , se encuentra:Z α

2

=1.645



El estimador de p es: p= 7002000

=0.35


I=¿0.35−1.645√ 0.35(0.65)2000

;0.35+1.645√ 0.35(0.65)2000

>¿

I=¿0.35−1.645√ 0.35(0.65)2000

;0.35+1.645√ 0.35(0.65)2000

>¿

I=¿0.35−0.01754452461 ;0.35+0.01754452461>¿I=¿0.332461 ;0.367539>¿

b) N=4000 n=2300

Para γ=1−α=0.10 yα2=0.45 , se encuentra:Z α

2

=0.125661347

El estimador de p es:

p= 6002300

=0.02608695652

Luego, intervalo de confianza del 10%, es decir para la proporción de proyectos que no se podrán llevar a cabo es:

I=¿ p ±Zα /2 √ p (1− p)n

.N−nN−1

>¿

I=¿0.02608695652±0.125661347√ 0.02609(0.73913)2300

.4000−2300

2299>¿

I=¿0.026087±0.125661√ 0.0254062300

.17002299

>¿

I=¿0.026087±0.125661(0.00285800279)I=¿0.02608695652±0.00035914048>¿

I=¿0.02573 ;0.02645>¿

EJERCICIO 23. Una empresa de estudios de mercado quiere estimar las proporciones de hombres y mujeres que conocen un producto promocionado a escala nacional. En una m.a. de 100 hombres y 200 mujeres se determina que 20 hombres y 60 mujeres están familiarizados con el artículo indicado. Construya el intervalo de confianza del 95% para la diferencia de proporciones de hombres y mujeres que conocen el producto. Con base en los resultados, ¿Se estaría inclinando a concluir que existe una diferencia significativa entre las dos proporciones?

Solución:P1 = 20/100 = 0.2P2 = 60/200 = 0.3



Zo = 1.96Para hallar el intervalo de confianza se hace el uso de la siguiente fórmula:

Haciendo el cálculo respectivo IC = (-0.20089, 0.000897)

Como el intervalo de confianza incluye al cero, no hay una diferencia significativa entre hombres y mujeres que conocen un producto.

EJERCICIO 24. Una compañía tabacalera afirma que sus cigarrillos marca A se venden un 9% más que sus cigarrillos marcan B. Si se encuentra que 45 de 200 fumadores prefieren los cigarrillos marca A, y 21 de 150 fumadores prefieren los cigarrillos marca B, calcule un intervalo de confianza del 97% para la diferencia entre las proporciones de ventas de las dos marcas de cigarrillos y decida si la diferencia del 9% es una afirmación valida

Solución:P1 = 45/200 = 0.225P2 = 21/150 = 0.14Zo = 2.17IC = (-0.00379; 0.17379)

Como el intervalo de confianza incluye al cero, no hay una diferencia significativa entre ambas marcas

EJERCICIO 25. Una muestra de tamaño de 600 seleccionado entre los alumnos que habían consultado al Servicio Médico de la Universidad Mayor de San Marcos durante el año pasado indicó que 160 tenían una enfermedad de naturaleza psicosomática. ¿Con qué grado de confianza se puede afirmar que de 20% a 28% de todos los alumnos que consultaron el Servicio médico el año pasado tenían una enfermedad psicosomática?Solución:

P1 = 160/600 = 0.26Limite inferior = 0.20Límite superior = 0.280.26 – Zo*S(0.26*0.74/600) = 0.200.26 + Zo*S(0.26*0.74/600) = 0.28Haciendo los cálculos Zo = 2.233F (z) = 0.98713 = (1+)/2


[ p1−p2−z1−α /2√ p1 q1

m+p2 q2

n≤π1−π 2≤p1−p2+ z1−α /2√ p1 q1

m+p2 q2

n ]


Grado de confianza () = 0.97426

EJERCICIO 26. De una m.a. de 150 universitarios, 105 dijeron que en alguna parte del universo tenía que haber vida. De otra m.a. de 200 jóvenes de la misma edad pero que no eran universitarios, 120 dijeron lo mismo. Construir el intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las dos proporciones poblacionales.

Solución: P1 = 105/150 = 0.7P2 = 120/200 = 0.6Zo = 1.96Haciendo uso de la fórmula del problema 23 para el intervalo de confianza para dos proporciones: IC = (0.00004; 0.19996)

EJERCICIO 27. La empresa de muebles Sancos S.A. ofrece a sus clientes dos opciones de pago: la opción A consiste en pagar a 30 días con un descuento de 5% y la opción B consiste en pagar a 60 días sin que se otorgue ningún tipo de descuento. La gerencia de la empresa desea recopilar información acerca de cada opción de pago y estudiar las diferencias entre ellas. Le interesa el monto promedio de las facturas de los clientes y el porcentaje de facturas superiores a S/. 10000.

Si se seleccionó una m.a. de 15 facturas de la opción A y de 14 facturas de la opinión B con los siguientes resultados.

OPCION A OPCION B

n1 =15

x1 = .S/. 9500

S1 = .S/.1500

5 facturas mayores a S/. 10000

n 2 =14X 2 = S I . 12000

S2 =S7.12507 facturas mayores a SI. 10000

¿Cuáles son sus conclusiones acerca de:

a) La proporción de facturas de la opción A mayores a S/. 10000?

p¿= 5

15=0 . 33

α=0 . 05GL=14T0=2.145

I=<0 .33−2 .145 √ 0 .33( 0. 67 )

15;0 . 33+2. 145√ 0 . 33(0 .67)

15 >



I=<0,0947; 0,5719>

b) ¿Es la media de todas las facturas de la opción A igual a S/. 10500?

I=< X−Z0 σ

√n; X+

Z 0 σ

√n>¿ ¿

I=< X−Z0 σ

√n; X+

Z 0 σ

√n>¿ ¿

I=<8669.24,10330.75>R. Es diferente

c) ¡Es la proporción de facturas superior a S/. 10000 de la opción B igual a 0.45?

p¿= 7

14=0 .5

α=0 . 05GL=13T0=2.16

I=<0 .5−2 .16 √ 0 .5 (0. 5 )

14;0 .5+2 . 16√ 0 . 5(0 .5 )

14 >I=<0.21; 0.758> 0.45 está dentro del intervalo

d) ¿Existe una diferencia en el monto promedio de las facturas entre las dos opciones de pago? Si

i=< (x− y )−t0√ Sx2

n+S y

2

m≤( x− y )≤( x− y )+t0√ Sx

2

n+S y

2

m>¿ ¿

i=< (9500−12000 )−2 . 048√15002

15+12502

14≤(9500−12000 )+2. 048√15002

15+12502

14>¿ ¿

I=<-3547.50;-1452.49> si existe una diferencia

e) ¿Hay alguna diferencia entre la opción A y la B en la proporción de facturas con un monto mayor a S/. 10000?

( p1

¿

−p2

¿

)−t0√ p1q1

n1

+p2 q2

n2

;( p1

¿

−p2

¿

)+ t0 √ p1q1

n1

+p2q2

n2



(0 .33−0 . 5)−2. 048√ 0 . 33(0 . 67)15

+0.5(0 . 5)14

; (0 .33−0 . 5)+2 .048 √ 0 .33 (0. 67 )15

+0 .5 (0 .5 )14

I=<-0.54; 0.20> este intervalo incluye al valor cero (0) por tanto no existe ninguna diferencia

EJERCICIO 28. Una compañía tabacalera desea determinar la efectividad de su nuevo proceso de producción, entendida esta como la consecución de mayores clientes de su marca dentro de los hombres y no de las mujeres. De 600 mujeres encuestadas, 300 indicaron que fumaban dicha marca; de 400 hombres fumadores encuestados. 200 indicaron que estaban fumando esa marca. ¿A qué conclusiones podría llegar Ud.?

SoluciónUtilizaremos:

( p1

¿

−p2

¿

)−t0√ p1q1

n1

+p2 q2

n2

;( p1

¿

−p2

¿

)+ t0 √ p1q1

n1

+p2q2

n2

n x proporción

mujeres 600 300 0.5

hombres 400 200 0.5

I=(0 .5−0 . 5)−1 . 96√ 0 . 5 x0 .5

600+ 0 .5 x 0 .5

400;(0 .5−0 . 5)+1 .96√ 0 .5 x 0 .5

600+ 0 .5 x0 . 5

400I=<-0.06; 0.06> este intervalo incluye el valor cero por tanto no se ha logrado los resultados esperados.

EJERCICIO 29. El sindicato de los empleados de la Universidad de Lima sospecha que hay más hombres que mujeres que trabajan horas extras en las distintas oficinas de la universidad. El sindicato plantea su queja a la Oficina de Personal sobre la discriminación de las mujeres al asignar el tiempo extra. El Sindicato y la Oficina de Personal acuerdan usar una muestra aleatoria de 175 mujeres y una muestra aleatoria de 250 hombres usando los registros del año anterior para decidir sobre el asunto. En las ¡nuestras aleatorias se encontraron que 23 mujeres y 32 hombres trabajaron tiempo extra.

a) Con un coeficiente de confianza de 97%. ¿se puede concluir que las mujeres están trabajando menos horas extras que los hombres? R. No

n x proporción

mujeres 175 23 0.131

hombres 250 32 0.128



( p1

¿

−p2

¿

)−z0√ p1q1

n1

+p2q2

n2

;( p1

¿

−p2

¿

)+z0√ p1q1

n1

+p2 q2

n2

I=<(0 .131−0 .128 )−2 . 17√ 0 .131( 0. 869 )

175+

0 .128 (0. 872 )250

;(0 .131−0 .128)−2. 17√ 0 .131(0 .869 )175

+0 .128(0 . 872)250 >

I=<-0.069; 0.075> este intervalo incluye al cero entonces no existe diferencia entre las horas extras de hombres y mujeres

b) Determine mediante un intervalo de confianza, el porcentaje total de empleados de la Universidad de Lima que trabajaron tiempo extra. ¿Puede afirmarse que el porcentaje total de empleados que trabajaron horas extras supera la tercera parte de los empleados

n x proporción

mujeres 175 23 0.131

hombres 250 32 0.128

| Total425

550.129

p¿− t0 √ p (1−p )

¿

n; p

¿+ t0 √ p(1−p )

¿

n

0 .129−2 .17 √ 0 .129( 0. 871 )425

;0 .129−2. 17√ 0 .129(0 .871)425

I= <0,0975013; 0,161322185>; No supera la tercera parte

EJERCICIO 30. En un estudio para evaluar los efectos de incluir una modelo en los anuncios de automóviles, se mostró a 100 hombres las fotografías de dos automóviles de precio, color y tamaño similares, pero de distintas marcas. A 50 de los 100 hombres (grupo A) se les mostró uno de los autos con una modelo y el otro sin la modelo, mientras que a los restantes 50 hombres (grupo B) los dos autos se les presentaron sin la modelo. En el grupo A. el auto mostrado con la modelo fue considerado más caro por 37 personas, mientras que en el grupo B el misino auto fue considerado más caro por 23 personas. ¿Indican éstos resultados que incluir una modelo influye en la percepción del cosió por automóvil? Use y =98,172%



n x proporción

Grupo A 50 37 0.74

Grupo B 50 23 0.46

i=( p1

¿

−p2

¿

)−z0 √ p1q1

n1

+p2q2

n2

; ( p1

¿

−p2

¿

)+z0 √ p1q1

n1

+p2q2

n2

i=<0 .74−0 .46)−2.36√ 0 .74 (0.26 )50

+0 . 46(0 .54 )50

;(0 . 74−0 . 46 )−2 .36√ 0. 74 (0 .26 )50

+0 .46 (0. 54 )50

>¿ ¿

i=< 0 .05841; 0. 501887>¿ ¿ Si influye

EJERCICIO 31. La empresa Cepsi S.A.. el año pasado inició una campaña intensiva de publicidad basada en el "reto Cepsi". donde cada consumidor decidía su preferencia entre esta bebida y la de la competencia. Al final de la promoción la empresa Cepsi S.A. en su publicidad afirmó lo siguiente: "Se ha demostrado con un error máximo de 1% y con 95% de con Habilidad, en una muestra de 5000 entrevistados, el 51% de las personas sometidas a la prueba de degustación prefirieron la bebida Cepsi, por lo tanto, se verificó la preferencia de más de la mitad de las personas en la población".Revisando los cálculos necesarios, el INDECOPI acusó a Cepsi S.A. de emplear una falsa publicidad que ocasiona competencia desleal entre ambas marcas.

a) ¿Cuáles fueron los argumentos estadísticos que empleó el INDECOP1 para presentar la acusación contra la Cepsi S.A.?

n=Z0

2 p(1− p )

E2

Reemplazando datos:

5000=1 . 962 x 0.51(0 . 49 )

E2

E=0 .0139 ; El error no fue de 1% sino del 1.39%

b) Si la proporción muestral se mantiene, ¿con que tamaño de muestra como mínimo, la firma se hubiese librado de la acusación?



n=Z0

2 p(1− p )

E2

n=1 . 962 x 0 .51(0 . 49 )

0. 012

n=9601 se necesita una población mínima de 9601 personas

EJERCICIO 32. En una encuesta de opinión pública se invita a 100 personas de 1000 a expresar su preferencia por los productos A y B. 30 personas prefieren A: de esto se concluyó que entre 210 y 390 personas de la población prefieren el producto A ¿Qué coeficiente de confianza se usó en este informe?

El intervalo es <0.21; 0.39> despejandoLa proporción es 0.3

p¿−z0 √ p(1−p )

¿

n; p

¿+t0√ p(1−p )

¿

n

0 .21=0 . 3−z0√ 0. 3(0 . 7 )100

0 .21=0 . 3−z00 . 046z0=1.960

De donde γ=0. 95

CUARTO BLOQUE

EJERCICIO 1. Sea x1…..x una m.a. extraída de una población Bernoulli B1;p),supongamos que se conoce que p <=¼

a) Probar que p−√3Zα /2

4√n; p+

√3Zα /2

4 √n es una aproximación del

intervalo de confianza para p al (1-α) 100% de confianza.SOLUCIÓN:

p−Zα /2 √ p (1−P)n

; p−Zα /2 √ p (1−P)n

p−Zα /2 √ 1/4 (3/4 )n

; p+Zα /2 √ 1/4 (3 /4)n



p−Zα /2√n

4 √n; p+Zα /2

√n4√n

p−√3Zα /2

4√n; p+

√3Zα /2

4 √n

b) Cuál es el tamaño de la muestra necesario para garantizar que este intervalo tenga longitud a lo mas de 0.02SOLUCIÓN:

p−Zα /2 √ p (1−P )n

−( p−Z α2 √ p (1−P )

n)=0.02

Zα /2√ p (1−P )n

∗Zα /2 √ p (1−P )n

=(0.01 )∗(0.01)

Zα /2 p (1−P )

0.01∗0.01=n

Zα /2 (1 /4 ) (3 /4 )

0.01∗0.01=n=1875

Respuesta: n=1875Zα /2

EJERCICIO 5. Una compañía productora de combustible asegura que más de la quinta parte de los hogares en la ciudad X se calientan con petróleo y por ello estima que será necesario incrementar sus gastos operacionales. Si en una m.a. de 1000 hogares de esta ciudad, se encuentran que 236 se calientan con petróleo.a) ¿Cuál es la probabilidad que la compañía llegue a incrementar

sus gastos operacionales? Presente los supuestos empleados. Solución:

p =236/1000=0.236

1- p =0.764Utilizaremos:

( p1 )−Z0√ p1(1− p1 )n1

≤p≤( p1 )−Z0√ p1 (1− p1 )n1

( p1 )−Z0√ p1(1− p1 )n1

>=1 /5

Reemplazando y resolviendo la ecuación: la probabilidad Z0 se aproxima casi a 1.

b) La compañía también abastece a la ciudad W, de la cual se sabe que el 21% de los 1200 hogares encuestados en otra muestra se



calientan con petróleo. Suponiendo que la compañía productora de combustible sólo abastece a las ciudades X y W se pide: Estimar por intervalo de confianza de longitud mínima, el porcentaje total de hogares que se calientan con petróleo en la ciudades X y W. ¿Puede decirse que ahora el porcentaje total de hogares que se calientan con petróleo supera la tercera parte de todos los hogares a los que se puede abastecer entre las ciudades X y W? Solución:El intervalo para la diferencia de proporciones es: El promedio de proporciones es: (0.236+0.21)/2=0.223 para un n=2200

( p1 )−Z0√ p1(1− p1 )n1

≤p≤( p1 )−Z0√ p1 (1− p1 )n1

Reemplazando tenemos ( =0.05):α

[ 0. 223−1.960√ 0 . 223 x0 . 7772200

;0 .223−1 . 960√ 0 . 223x 0 .7772200

]

El intervalo es: [ 0. 20 ;0 .24 ]

Por lo tanto el porcentaje total de hogares que se calientan con petróleo no

supera la tercera parte de todos los hogares de las ciudades X y W.

EJERCICIO 6. Un grupo de 20 empresas recibe una propuesta de fusión de 5 empresas que pretenden agregarse al grupo inicial.

PARTE I: ANALISIS INICIALDicha propuesta es analizada en base a los datos o resultados económicos obtenidos el año pasado, siendo estos los siguientes.

GRUPO DE 20 GRUPO DE 5 EL CONJUNTO DE

EMPRESAS EMPRESAS LAS EMPRESASVENTAS

x 1380,714 1290,796 1360,9304S 376,0658 199,3835 283,3392

PRODUCCIONx 2028,95 1456,36 1914,432S 155,96653 119,06072 147,08353



(Las ventas y la producción se encuentran en unidades monetarias)Luego, para el grupo de 20 empresas esta propuesta resultada conveniente en

Los siguientes casos: 1ero. Si existe eficiencia en los niveles de la producción cuantificada en términos de similar variabilidad de dicha variable. 2do.Si existe similar rendimiento de ventas por grupos de

empresas, expresándose Esto en el ratio:

ratio= ventasproducci ón

De acuerdo con este estudio, si los rubros anteriores son favorables para el grupo de 20 empresas, entonces debe fusionarse con las otras 5 empresas.a) Al verificar el primer rubro (eficiencia)a1) ¿Puede usted explicar la asociación entre eficiencia y variabilidad?

Solución:La unión solo se hará si existe eficiencia e igual variabilidad, esto se refiere a que la producción y las ventas de las 5 empresas son constantes y no han sufrido cambios como bajas y altas en su producción.

a2) Con los resultados de la tabla, ¿puede usted afirmar que un grupo de empresas tiene mayor eficiencia en los niveles de producción que el otro grupo?

Solución:S A

2

SB2

=

155 . 966532

119. 060722=1. 72

=0.05, /2=0.025 con nα α 1=20 y n2=5 F /2α (n1-1; n2-1)=F2.5%(19; 4)=8.58F 1- /2α (n1-1; n2-1)=1/ F2.5%(19; 4) =1/8.58=0.12


I=[ S A2

SB2

.1

Fα2

( n1−1 ;n2−1 );S A

2

SB2

.Fα2

(n1−1 ;n2−1)]I=[ 1.72 x0 . 12;1 .72 x8 . 58 ]I=[ 0 .20 ;14 . 76 ]Puesto que el intervalo incluye al 1, Tienen similar eficiencia.

b) Al verificar el segundo rubro (rendimiento de ventas)b1) Con los resultados de la tabla, ¿puede usted afirmar que las

empresas tienen similar rendimiento de ventas Solución:



S A2

SB2

=

(376,0658/155.96653 )2

(199,3835/119 .06072)2=2 .07

=0.05, /2=0.025 con nα α 1=20 y n2=5 F /2α (n1-1; n2-1)=F2.5%(19; 4)=8.58F 1- /2α (n1-1; n2-1)=1/ F2.5%(19; 4) =1/8.58=0.12


I=[ S A2

SB2

.1

Fα2

( n1−1 ;n2−1 );S A

2

SB2

.Fα2

(n1−1 ;n2−1)]I=[ 2.07 x 0 .12 ;2. 07 x 8 .58 ]I=[ 0 .24 ;17 .76 ]

Puesto que el intervalo incluye al 1, Según su variabilidad, Tienen similar Rendimiento de ventas.

b2) ¿Puede usted confiar en la precisión de su estimador obtenido en b1?, ¿por qué? Sustente cuantitativamente.

Solución:No, puesto que el grupo de las 20 empresas, tiene un promedio de ventas= 1380,714 y mucho mayor que el promedio de ventas de las 5 empresas.

c) En base a los resultados obtenidos en a) y b), ¿deben fusionarse las empresas?

Solución:Deben fusionarse.

PARTE II: ANALISIS FINALPosteriormente, un análisis acerca del mercado reconoció que el año pasado fue un "año normal" en el comportamiento de la demanda de los productos que ofertan las empresas, y por ello tomaron los datos del año pasado como representativos del nivel de demanda del siguiente año. Lo mismo se puede decir EL nivel de producción. Con esta información se puede realizar un ejercicio de simulación cómo se comportarían los dos grupos de empresas ya unidas y tomar una. Decisión definitiva a fin de fusionarse o no las empresas. Luego, la decisión definitiva sería: “Los grupos de empresas deben unirse si la demanda es mayor a la producción", en caso contrario no le conviene fusionarse.

d) Explique el criterio de decisión en términos económicosSolución:Deben fusionarse cuando las ventas son mayores que la producción.

e) ¿Tiene datos suficientes para cuantificar estadísticamente si deben o no fusionarse el grupo de empresas? Si son afirmativos, presentes los



supuestos y explíquelos y tome la decisión. Si es negativa, plantee, cuáles serían los datos faltantes y de tenerlos, ¿cómo obtendría los respectivos intervalos de confianza? Solución:

Los datos no son suficientes, puesto que no hay las del año pasado Las ventas promedio de las 5 empresas=1290,796La producción de las 5 empresas=1456,36Promedio de ventas menor que promedio de producción, luego no deben fusionarse.

EJERCICIO 7. El objetivo de esta pregunta es analizar el efecto que tienen los impuestos sobre el ahorro de las familias.La teoría económica dice lo siguiente: “…Cuanto mas baja sea la tasa de interés real después de impuestos, mayor será el numero de personas que desearan sustituir consumo presente por consumo futuro y menor será la posibilidad de ahorro con un determinado nivel de ingresos. En consecuencia las altas tasas de impuestos (a los activos financieros) desestimulan el ahorro.”…Sin embargo, puede considerarse que, “la gente ahorra para afrontar las necesidades económicas futuras” (retiro por ejemplo). Una tasa de retorno mas baja después de impuestos podría presionarlos a ahorrar mas, dado un mismo nivel de ingresos. Por tanto, no es posible decidir en forma teórica cual será el efecto neto de tasas de tributación más altas sobre el ahorro personal.Con el fin de probar lo anterior, analizaremos lo que sucede en dos países, realizando una comparación entre el ahorro de un país durante 31 meses antes y 31 meses después de aplicarse un incremento de la tasa de impuestos que afectan a la tasa de interés real.Para ello tomaremos dos países: el país 1 caracterizado por tener el mismo entorno económico, social y político estable antes y después de aplicado el incremento de impuestos, mientras que el país 2 presenta un contexto económico, social y político igualmente inestables antes y después de la aplicación de dicho cambio.NO OLVIDAR: En las siguientes preguntas establezca los supuestos económicos y estadísticos adecuados para plantear la evidencia empírica por medio de los correspondientes intervalos de confianza.

a) Según la información anterior y los cuadros que a continuación se presentan, ¿Los datos muestrales en términos promedio, sustentan la afirmación anterior en cada uno de los países?

b) Después de aplicarse los impuestos, ¿puede afirmarse que la política económica fue más eficiente en el país 1 con respecto al país 2 en términos de estabilidad y nivel de ahorro promedio?

c) Si los niveles de ahorro se consideran bajos cuando estos son menores o iguales a 11000 dolares ¿Es cierto que el porcentaje



de meses en el que el ahorro estuvo bajo el país 2 antes de impuestos supera ampliamente al similar porcentaje calculado en el país 1 en las mismas condiciones?

AHORRO MENSUAL DEL PAIS 1 (En dólares)

MESES ANTES DE IMPUESTOS

(X)

MESES DESPUES DE

IMPUESTOS(Y)

DIFERENCIA Y-X

1 11000 1 12000 10002 10500 2 15000 45003 10900 3 16000 51004 10900 4 16500 56005 10950 5 17000 60506 10990 6 16000 50107 10985 7 15000 40158 11800 8 12002 2029 11800 9 13000 1200

10 12005 10 11005 -100011 12600 11 11300 -130012 13000 12 10000 -300013 14000 13 9000 -500014 14500 14 9000 -550015 14300 15 8500 -580016 15500 16 8400 -710017 16000 17 8400 -760018 16000 18 8350 -765019 16000 19 8300 -770020 17400 20 8200 -920021 18000 21 8100 -990022 17500 22 8000 -950023 18100 23 8000 -1010024 18200 24 7900 -1030025 18500 25 7800 -1070026 18000 26 7800 -1020027 18050 27 7500 -1055028 18000 28 7445 -1055529 19500 29 7500 -1200030 19300 30 7400 -11900



31 19200 31 7350 -11850MEDIAS 14951 10250 -4701

DESV ESTANDAR

3159 3203 6185

SOLUCIÓNComo el ahorro se da en el mismo país 1 antes y después del incremento de la tasa de impuestos, estamos frente a un caso de datos pareados.De los datos de la tabla obtenemos:

n=31D=−4701SD=6185

Para γ=1−α=0.95 yα2=0.025 , buscamos en la tabla, y se encuentra: Z α

2=1.96

Luego el intervalo de confianza al 95% para μD=μDespues−μAntes es:

I=¿D−Z α2

.SD

√n;D+Z α

2

SD

√n>¿

I=← 4701−1.96( 6185

√31 );−4701+1.96( 6185

√31)>¿

I=←4701−2177.283234 ;−4701+2177.283234>¿I=←6878.283 ;−2523.7168>¿

Como ambos límites de confianza del intervalo son negativos concluimos que: μDespues<μAntes .

AHORRO MENSUAL DEL PAIS 2 (En dólares)

MESES ANTES DE IMPUESTOS

(X)

MESES DESPUES DE

IMPUESTOS(Y)

DIFERENCIA Y-X

1 9000 1 10000 10002 8500 2 10500 45003 10550 3 11000 51004 10600 4 12000 56005 9500 5 13000 60506 10500 6 12000 50107 10985 7 13000 40158 11001 8 12002 2029 10500 9 13000 1200

10 12005 10 11005 -1000



11 12600 11 11300 -130012 12000 12 10000 -300013 14000 13 9000 -500014 14500 14 9000 -550015 12500 15 8500 -580016 15500 16 8400 -710017 16000 17 8400 -760018 17000 18 8350 -765019 15000 19 8300 -770020 17400 20 8200 -920021 18000 21 8100 -990022 15000 22 8000 -950023 18100 23 8000 -1010024 18200 24 7900 -1030025 17500 25 7800 -1070026 21000 26 7800 -1020027 19100 27 7500 -1055028 19000 28 7445 -1055529 19500 29 7500 -1200030 18000 30 7400 -1190031 20000 31 7350 -11850

MEDIAS 14614 9411 -5202.90322

6DESV

ESTANDAR3724 1906 5453.31547

SOLUCIÓNComo el ahorro se da en el mismo país 2 antes y después del incremento de la tasa de impuestos, estamos frente a un caso de datos pareados.De los datos de la tabla obtenemos:

n=31D=−5202.903226SD=5453.31547


2=1.96


I=¿D−Z α2

.SD

√n;D+Z α

2

SD

√n>¿



I=¿−5202.903226−1.96 ( 5453.31547

√31 );−5202.903226+1.96( 5453.31547

√31 )>¿

I=¿−5202.903226−1919.710969 ;=¿−5202.903226+1919.710969>¿I←7122.6142 ;−3283.1923>¿

Como ambos límites de confianza del intervalo son negativos concluimos que: μDespues<μAntes .

a) Después del incremento de la tasa de impuestos, la gente del país 1 y del país 2 tiene un promedio de ahorro mensual más bajo.

b) Debido a la anchura del intervalo de confianza tanto en el análisis del país 1 como en el país 2, podemos afirmar que la política económica es mas eficiente en el país 1, que en el país 2.

c) p1=porcentaje de mesesenel queel ahorro estuvobajoantes de impuestos el país 1

p2=porcentaje de mesesenel que elahorro estuvobajoantes de impuestos el país 2

p1=¿ 7

31∗100%=22.580645 % p

2=¿ 831

∗100%=25.80645% ¿¿

Entonces podemos concluir que el porcentaje de meses en el que el ahorro estuvo bajo en el país 2, supera al del país 1.

EJERCICIO 8. Se cree que la vitamina C puede ser útil para reducir la cantidad de colesterol de las arterias. Se observo el nivel de colesterol de 50 personas antes y después de un tratamiento de un mes, bajo un régimen de 500 mg de vitamina C por día. Los datos obtenidos produjeron una media y una desviación estándar de la disminución del nivel de colesterol de 64.3 mg y 18.9 mg respectivamente. Estime la disminución promedio por persona del nivel de colesterol, usando una confianza del 95%.

SOLUCIÓNComo la observación del nivel de colesterol se hizo en la misma persona antes y después del tratamiento, estamos frente a un caso de datos pareados.De los datos de la tabla obtenemos:

n=50D=64.3SD=18.9


2=1.96




I=¿D−Z α2

.SD

√n;D+Z α

2

SD

√n>¿

I=¿64.3−1.96( 18.9

√50 );64.3+1.96( 18.9

√50 )>¿

I=¿64.3−5.23881272;64.3+5.23881272

La disminución promedio por persona de colesterol se encuentra al 95% dentro del intervalo:

I<59.06118728;69.53881272>¿

EJERCICIO 9. Al medir el tiempo de reacción, un psicólogo estima que la desviación típica del mismo es de 0.05 segundos. ¿Cuál será el número de medidas que deberá hacer para tener una confianza del 99% que el error de su estimación no excederá los 0.01 segundos?

Solución:

Zo = 2.576, = 0.05, E = 0.01n = (2.576*0.05/0.01)²n = 166 (número de medidas)

EJERCICIO 10. 50 familias de un total de 500 que habitan en un conjunto residencial fueron seleccionadas para hacer un estudio sobre ingresos mensuales. Los datos obtenidos fueron tabulados en un cuadro de frecuencias de 5 intervalos de ancho constante, observándose un ingreso mínimo de S/. 1000 y un ingreso máximo de S/. 3500, Las frecuencias absolutas simples de los intervalos son: 6, 8, 16, 12, 8, respectivamente.

a) Estime con 95% de confianza el total de ingresos mensuales del conjunto.

Intervalo Marca clase fi

1000 - 1500 1250 6

1500 - 2000 1750 8

2000 - 2500 2250 16

2500 - 3000 2750 12

3000 - 3500 3250 8



Promedio = 2330Desv. Est. = 617.4337Zo = 1.96IC = (2167.47;2492.52), para la población total de 500 IC = (1083738;1246260)

EJERCICIO 11.Una compañía de TV por cable desea estimar la proporción de familias de un sector de Lima que desearían tener este servicio.

a) Si en un estudio similar en otro sector de la ciudad encontró que 1 de cada 5 familias, desean tener TV por cable. ¿Que tamaño de muestra necesita para la estimación empleando 95% de confianza y un margen de error de ±4

p¿=1

5=0 .2

n=Z0

2 p(1− p )

E2

n=1 . 962 x 0 .2(0 . 8 )

0 . 042

n=385

b) Si la compañía no dispone de información previa sobre la verdadera proporción, ¿cuál debe ser el tamaño de la muestra de a)?

n=Z0

2

4 E2

n=1 .962

4 x 42

n=600

c) Si en el sector habitan 50000 familias, usando el tamaño de muestra obtenido en a) se encontró que el 22% respondió afirmativamente. Con esta información, estime el total de familias que desearían tener TV por cable en el sector usando un nivel de confianza del 98%.

p¿−z0 √ p(1−p )

¿

n; p

¿+t0√ p(1−p )

¿

n



i=<0 .22−2 .33√ 0. 22(0 .78)385

; 0.22+2 .33√ 0.22(0 . 78)385

>¿ ¿

i=<0 .17 ,0. 26>¿ ¿ multiplicando por la población total obtenemos

IN


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