Intro Calculo2

Notas de Introduccin al Clculo o a

julio/2006

Un iv

ersi d

(Versin Preliminar) o

ad

de

Alberto Castao n

An

tioq uia

2

Un iv ersi d ad de An

tioq uia

Indice general

Un iv ersi d ad de An

i

tioq uia

Prefacio

Un iv

Se ha dicho, con fundamento, que la puerta de entrada a las ideas del Clculo la constituye el concepto de l a mite. Estas notas quieren hacer honor a dicho concepto teniendo como objetivo llegar con un proceso constructivo a la denicin precisa de l o mite de funciones de una variable real. Tal vez una razn para eludir esta denicin precisa en los cursos habituales de Clculo, o o a sea la necesidad de llevar a cabo toda una serie de ideas bsicas que le a permitan al estudiante un feliz arribo a este extraordinario concepto, bsico a para todos aquellos que quieran ir un poco ms all de frmulas y anhelen a a o adquirir un conocimiento de calidad en Clculo, cuanto con mayor razn para a o los que estn ingresando en reas de investigacin, llmese F a a o a sica, Qu mica, Econom o de Ingenier y obviamente para los Matemticos. a as a El recorrido que se ha querido hacer en estas notas para llegar a la nocin o de l mite, propuesta en el prrafo anterior, se inicia con la denicin de a o operacin binaria, concepto que se aprovecha para familiarizar al estudiante o con las leyes bsicas del campo algebraico. Razones para hacerlo as sobran, a pus una parte central del trabajo matemtico es la actividad permanente con e a operaciones de diferente naturaleza. Baste decir aqu que desde un principio estaremos comprometidos con operaciones de tipo lgico, operaciones con o conjuntos, con relaciones y funciones, y con los nmeros reales. u Se ingresa a continuacin en el terreno de la demostracin matemtica, o o a proponiendo las principales operaciones con enunciados, pero con la idea de proporcionarle al estudiante los diferentes mtodos de razonamiento matemtie a co. Claro est que no es aqu el lugar para desarrollar toda la estructura a terica de la lgica. Lo que se espera es que el estudiante adquiera las tcnio o e cas necesarias para comprender textos demostrativos y que adems llegue a a elaborarlos por su propia cuenta. El procedimiento recurre al mtodo eur e stico, complementado con ejemplos que sirvan de modelo apropiado a cada uno

ersi d

ad

deii

An

tioq uia

iii de los diferentes mtodos de demostracin. Para ello se han introducido dese o de un comienzo, (ver prembulo), deniciones y teoremas elementales de los a nmeros enteros, supuesto que el estudiante tiene alguna familiaridad con u ellos gracias a sus estudios anteriores. En esta parte se enuncian algunos teoremas sobre nmeros enteros como el llamado Algoritmo de la divisin, el u o Teorema Fundamental de la Aritmtica, el hermoso resultado griego soe bre la innitud de los nmeros primos, y adems, algunas nociones como u a nmeros pares e impares, nmeros primos y compuestos, Mximo Comn u u a u Divisor y primos relativos. Esto se hace con el propsito de tener algunos o elementos de la Aritmtica para realizar desde un principio ejemplos de dee mostraciones sencillas. Sigue un desarrollo elemental pero bsico de la Teor de Conjuntos. Este a a tema nos ofrece una oportunidad de poner en prctica conceptos descritos a en la parte anterior, tales como operaciones con conjuntos y sus respectivas leyes algebraicas, as como tambin demostraciones que tengan el sello de e bien constru das, empleando los principales mtodos de razonamiento lgico. e o En este punto damos por terminado el primer cap tulo . En el segundo cap tulo se complementa el tema anterior con las ideas de Relaciones y funciones, conceptos centrales en el estudio del Clculo. a Aqu nuevamente salen a relucir importantes operaciones como inversin de o relaciones y la importante composicin de relaciones y sus leyes de asociao tividad, no conmutatividad, etc. En este tema se parte del conocimiento y la familiaridad que tiene el estudiante con los nmeros reales, as sea ste leve u e y quiz un tanto confuso. Lo que se espera es que el estudiante vaya mejorana do este conocimiento a medida que se desenvuelve el curso. Para dar un paso en este sentido se abre aqu un parntesis para hacer un recuento de las leyes e algebraicas de la suma y producto usuales con nmeros reales y se inicia el u tema del orden en Matemticas, las tcnicas de resolucin de desigualdades, a e o el reconocimiento de la recta numrica y de los llamados intervalos reales. e Se incluye en este momento la idea de distancia entre puntos de la recta, utilizando el concepto de valor absolutode un nmero real. Tambin se expone u e en trminos de correspondencia biun e voca, el hecho fundamental de que todo intervalo real no trivial tiene tantos puntos como la recta numrica y se seala e n la posibilidad de expresar distancias entre puntos reales, tan pequeas como n se quiera, recurriendo a la presentacin centro-radio de cualquier intervalo o no trivial escribindolo en trminos de una desigualdad con valor absoluto. e e Se inicia el cap tulo tres con la presentacin de un buen nmero de funo u ciones bsicas entre nmeros reales, (polinmicas, racionales, exponenciales, a u o

Un iv

ersi d

ad

de

An

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iv

PREFACIO

logar tmicas y trigonomtricas), destacando el aspecto operacional por medio e del cual se obtienen nuevas funciones generadas mediante sumas, diferencias, productos, cocientes y composicin. Se insiste en el aspecto grco de o a funciones como l neas rectas, parbolas, curvas exponenciales, logar a tmicas, 1 trigonomtricas, y funciones del tipo x, x , |x|, funciones por tramos, etc., e que sern una reserva para ms adelante ilustrar las ideas de l a a mite, continuidad y diferenciabilidad, informando al estudiante que toda la complejidad que encierra la forma de estas curvasse ir aclarando con el transcurrir a de los temas. En el cap tulo cuatro consideramos que todo est preparado para denir a el concepto de l mite de una funcin, lo cual se har desde el punto de vista o a intuitivo de aproximacin sistemtica a un cierto nmero a prejado en el o a u ambiente determinado por una funcin. Una vez desarrollado este proceso de o tipo eur stico se est en condiciones de presentar en trminos formales sta, a e e no solo importante sino magn ca, construccin del ingenio matemtico: o a Para todo > 0 existe > 0 tal que para todo x, 0 < |x a| < = |f (x) L| < , cuya abreviatura es usualmente representada como

Un iv

ersi d

Llegados a este punto, sigue un proceso de manejo tcnico de esta exe presin, incluyendo modelos demostrados de l o mites de funciones bsicas, a exponiendo leyes y propiedades de los l mites y aprovechando el momento para denir las ideas de continuidad y derivacin. o Terminamos el curso en el quinto cap tulo, presentando las tcnicas bsicas e a de derivacin que se extienden hasta la importante Regla de la cadena. o

ad

dexa

l f (x) = L. m

An

tioq uia

0.1. ALGUNOS CONJUNTOS DE NUMEROS PREAMBULO.

Como es usual, x A signica: x no pertenece a A. /

0.1.

Algunos conjuntos de n meros u

Las diferentes clases de conjuntos numricos que estaremos utilizando son: e El conjunto de los nmeros naturales { 1,2,3,... }, que se representa con u la letra especial: N.

El conjunto de los nmeros racionales: Q, nmeros que son de la forma u u a con a, b enteros, b = 0. Nmeros como 3 , 7 , 0, 2, 3 1416, son u b 5 4 racionales.

Un iv

El conjunto de los nmeros enteros { 0, 1, 2, 3, }, que se reu presenta con la letra especial: Z. Se utiliza el s mbolo Z+ , (enteros positivos), como otra manera de representar el conjunto N.

ersi d

ad

x es un elemento del conjunto A, x pertenece a A, x en A.

de

En este prembulo mencionamos, sin entrar en mayores detalles, los conjuna tos numricos de nuestro mayor inters e inclu e e mos algunas deniciones y resultados sobre los nmeros enteros. u Se inicia el primer cap tulo con el concepto de operacin binaria acompaado o n de las leyes bsicas del Algebra. Viene enseguida una presentacin, acoma o paada mas de intuicin que de rigor, de las leyes lgicas y principales n o o mtodos de demostracin y se ofrecen algunos modelos de razonamiento, e o demostrando resultados referidos a los nmeros enteros. u El cap tulo naliza con una introduccin elemental de la Teor de Conjuntos o a que incluye las operaciones usuales con conjuntos. Muy pronto, en la seccin 0.2., inclu o mos los conectivos lgicos, , (imo plicacin), con el signicado Si ...entonces, y , (equivalencia), con el o signicado Si y solo si. As mismo, a partir de la seccin 1.1. inclu o mos expresiones del estilo x A que tiene los siguientes signicados:

An

tioq uia

1

El conjunto de los nmeros irracionales, es decir, nmeros que no se u u pueden expresar en forma racional. Este conjunto lo vamos a representar con el s mbolo Q. El uso recomienda aproximar un nmero irracional por medio de uno u racional. Nmeros como 3 1416, e 2 71828 y 2 1 4142, son ejemplos u de nmeros irracionales aproximados a valores racionales. u El conjunto de los nmeros reales se representa con la letra especial R u y consta de la reunin de los racionales, Q, con los irracionales, Q. o Finalmente, el conjunto C de los n umeros complejos, nmeros que son u u de la forma (a + bi), siendo i = 1 y a, b, nmeros reales; por 1 ejemplo, (2 + 3 i), ( 2 i 3), (0 + i), son nmeros complejos. Todo u nmero real a se puede escribir como un complejo de la forma (a + 0 i). u

0.2.

DEFINICIONES Y TEOREMAS.

Ejemplos:

La igualdad a = 2k 1, donde k es un entero, signica que a es un entero impar. Ejemplo: 7 es de la forma 2k 1 con k = 4, por lo tanto 7 es nmero impar. u La expresin a | b con a, b enteros, a = 0, signica lo siguiente: o

ersi d

6 es de la forma 2k con k = 3; 0 es de la forma 2k con k = 0; 10 es de la forma 2k con k = 5, por lo tanto 6, 0, 10 son nmeros pares. u

Un iv

o tambin, e

ad

La igualdad a = 2k, donde k es un entero, signica que a es un entero par.

de

a divide a b, a es un divisor de b,

b es un mltiplo de a. u

An

tioq uia

2

PREFACIO

0.2. DEFINICIONES Y TEOREMAS. Escribimos:

a | b b = ka, siendo k un entero.

Ejemplos: 3 | 15, 5 | 20. En cambio, 5 12, (5 no divide a 12.)

Un entero positivo d se llama Mximo Com n Divisor de los ena u teros a, y b si d es el mayor de los divisores comunes de a y b, donde a, b son no ambos ceros. Escribimos:

Ejemplos: M CD(18, 30) = 6, M CD(14, 45) = 1, M CD(0, 20) = 20. Dos enteros a, b son primos relativos si y solo si M CD(a, b) = 1. Por ejemplo 14 y 45 son primos relativos.

Por ejemplo, reducida.

14 45

de0 r < b.

Un nmero racional u

a b

presenta forma reducida si y solo si M CD(a, b) = 118 30

est en forma reducida; en cambio a

An

d = M CD(a, b).

2, 3, 5, 7, 11, 523, son primos. En cambio 6, 8, 9, 10, 91, 731, no son primos. Todo entero > 1, que no sea primo, se llama nmero compuesto. 731 u es un nmero compuesto. u El siguiente teorema se llama Algoritmo de la divisin: o Teorema 0.2.1. Si a, b son dos enteros, b = 0, se pueden hallar dos enteros q, r, unicos, tales que se cumplen las dos condiciones siguientes: a = bq + r

Un iv

ersi d

Un entero positivo p = 1 es un nmero primo u si y solo si sus unicos divisores positivos son: 1 y el mismo p.

ad

Se puede demostrar que todo nmero racional se puede representar en u 3 18 su forma reducida, por ejemplo, 30 = 5 .

tioq uia

3

no est en forma a

En el anterior teorema, a se llama Dividendo, b es el divisor, q es el cociente y r, el residuo. Ejemplo: 87 = 15 5 + 12

donde 87 es el dividendo, 15 el divisor, 5 el cociente y 12 el residuo. Ejemplo: 17 = 4 5 + 3

donde 17 es el Dividendo, 4 el divisor, 5 el cociente y 3 el residuo. Los siguientes dos resultados (teoremas) se reeren al MCD: i. Si d es el MCD de a, b, se pueden hallar dos enteros x, y tales que d = xa + yb Por ejemplo, .

Los siguientes dos teoremas se reeren a los nmeros primos. u Teorema 0.2.2. Todo entero mayor que 1 se puede descomponer como un producto de factores primos, repetidos o no, y estos primos son unicos, salvo cambio de lugar de los factores en el producto. El Teorema 0.2.2 se conoce como el teorema fundamental de la Aritmtica. e Corolario 0.2.3. Todo entero mayor que 1 tiene algn divisor primo. u Ejemplo: 2924 = 22 17 43.

Un iv

Por ejemplo, 43 es un divisor primo de 2 924 (y no es el unico!) Teorema 0.2.4. No existe un primo que sea el mayor de todos los nmeros primos. u (En otras palabras, este teorema dice que la cantidad de nmeros primos u es innita).

ersi d

ad

Por ejemplo, 8 | 48, (3 16 = 48), y como 8 y 3 son primos entre si, se concluye que 8 | 16.

ii. Si a, c son primos relativos y c | ab, entonces c | b .

de

M CD(15, 20) = 5 = (5)15 + (4)20

An

tioq uia

4

PREFACIO

Cap tulo 1

1.1.

Operacin binaria o

Veamos algunos ejemplos:

Las siguientes dos tablas ilustran dos operaciones binarias denidas en un conjunto A = {e, a, b, c} e a b cTabla #1

Un iv

ersi d

para indicar que la operacin entre a, b ha dado como resultado, c. (c A.) o

adab=c 5

Escribimos:

de

Denicin 1.1.1. Una operacin binaria denida en un conjunto A, es o o una regla que asigna a dos elementos a, b de A, un unico resultado c que es tambin elemento del mismo conjunto A. e

En la Tabla #1 se leen, entre otros, los siguientes . resultados: a e = a b b = e b a = c.

An

Lgica - Teor de Conjuntos o a

tioq uiae a b c e a b c a e c b b c e a c b a e

En la Tabla #2 se leen, entre otros, los siguientes resultados: a e = a e a = a a b = a b c = b.

El siguiente esquema muestra como se obtienen resultados en una tabla de operacin binaria: (Ver Tabla #2.) o

An de a : : . . b b : : b a=b

LEYES BASICAS DEL ALGEBRA Clausurativa - uniforme - asociativa - conmutativa - modulativa - invertiva - distributiva. Consideremos una operacin binaria denida en un conjunto A. o

Un iv

1. L. Clausurativa: El resultado de efectuar la operacin con dos eleo mentos de A es tambin un elemento de A. e Para nes prcticos es bueno tener esta ley en forma de implicacin: a o a, b A = (a b) A .

ersi d

La suma y la multiplicacin usuales con toda clase de nmeros, desde o u los enteros, (Z), hasta los complejos (C), son operaciones binarias, por ejemplo, sumar o multiplicar enteros nos d como resultado un nmero a u entero unico.

ad

tioq uia e a b cTabla #2

6

CAP ITULO 1. LOGICA - TEOR DE CONJUNTOS IA e a b c e a b c a a a a b b b b c c c c

1.1. OPERACION BINARIA

2. L. Uniforme: Todo resultado obtenido por medio de la operacin es o unico. Dicho en otras palabras, si se opera con elementos iguales, se obtienen resultados iguales. Puesta en forma de implicacin esta ley se puede escribir as o : Sean a, b, c, d A : a=c b=d

Estas dos primeras leyes denen una operacin binaria, a falta de una de o ellas no se considera como operacin binaria. (Ver Denicin 1.1.1). o o

Esta ley tambin es vlida cuando los nmeros a operar son ms de e a u a tres, en cuyo caso la operacin se puede realizar agrupndolos de 3 o a en 3. Por ejemplo: a + b + 2 + x + y + z + 5 = (a + b + 2) + (x + y + z) + 5.

En trminos de implicacin, esta ley se expresa de la siguiente manera: e o a, b, c A = (a b) c = a (b c).

Esta propiedad se extiende a cualquier nmero nito de elementos. u Puesta en trminos de implicacin queda as e o : a, b A = a b = b a.

Un iv

4. L. Commutativa: El orden en que se realice la operacin con dos o elementos no modica el resultado.

ersi d

3. L. Asociativa: El resultado de realizar la operacin con 3 elementos o es el mismo en cualquiera de las dos maneras en que es posible llevarla a cabo sin cambiar el orden en que se tomen los elementos.

ad

Las leyes que siguen son opcionales, es decir, una operacin puede o cumplirlas o no.

de

Un caso particular de esta ley ocurre cuando se tiene una igualdad, digamos a = b, y se opera en ambos miembros por un mismo elemento c. En tal caso se obtiene a c = b c o bien, c a = c b.

An

= a b = c d.

tioq uia

7

5. L. Modulativa: Hay en el conjunto A por lo menos un elemento, que denotaremos con e, que operado, (por derecha o por izquierda), con cada elemento a de A, da como resultado el mismo a, es decir: a A = (a e = a y e a = a).

El elemento e se llama el mdulo o elemento neutro de . o

6. L. Invertiva:

En trminos de implicacin: e o

Aqu tambin es claro que si es commutativa, es suciente una sola e igualdad en la implicacin anterior. o

7. L. Distributiva:

Esta ley requiere que en el conjunto A estn denidas dos operaciones, e digamos y . Decimos que distribuye con respecto a si se cumple la siguiente implicacin: o

Un iv

a, b, c A = a (b c) = (a b) (a c)

ersi d

El elemento a1 se llama el inverso de la operacin . o

ad

(a A y en A existe mdulo) = (En A existe a1 tal que aa1 = e y a1 a = e). o

de

Si el conjunto A tiene un mdulo e y para cada elemento a de A hay o un elemento (por lo menos uno) en A , que denotaremos con a1 , tal que, al operar a con a1 en cualquier orden, el resultado es el mdulo o e, entonces la operacin cumple la L. Invertiva. o

Nuevamente, si es commutativa, es suciente que se cumpla una de las igualdades en la implicacin anterior ya que tambin se eso e tar cumpliendo la otra. a

An

Claro que si es commutativa, es suciente que se cumpla una sola de las igualdades en la anterior implicacin para que tambin se cumpla o e la otra.

tioq uia

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CAP ITULO 1. LOGICA - TEOR DE CONJUNTOS IA

y (b c) a = (b a) (c a) .

1.1. OPERACION BINARIA Ejemplos:

Los nmeros racionales, (Q), los reales, (R), y los complejos, (C), con u las operaciones usuales de suma (+) y multiplicacin () satisfacen las o 7 leyes mencionadas anteriormente, razn por la cual se llaman campos o o algebraicos. Tngase en cuenta que slo la multiplicacin distribuye e o con respecto a la suma, es decir: a (b + c) = (a b) + (a c), a + (bc) = (a + b)(a + c).

Pero la suma no distribuye con respecto a la multiplicacin, es decir, o

de

Un ejemplo numrico aclara lo dicho: 3 + (2 5) = (3 + 2) (3 + 5) . e13 40

La siguiente tabla resume la notacin y nombres relacionados con las o operaciones usuales en Q, R y C.

Operaciones. +

mdulos. o 0 1

Los Enteros con no cumplen la L. Invertiva, (cuando a = 1 es 1 / un entero, a1 no es entero. Por ejemplo, 31 = Z.) 3

Tngase en cuenta que los Naturales con + no cumplen la L. Modue lativa, (0 N), ni la L. Invertiva, (cuando a N, a N.) / /

Un iv

ersi d

ad

Nombres y s mbolos relacionados con las operaciones + y . notacin y nombre para inversos. o a (opuesto de a) 1 , a=0 (rec proco de a.) a

An

En la Tabla #3, la operacin cumple o con las leyes 1, 6. El mdulo es e. o Los inversos son: e1 = e, a1 = b, b1 = a.

tioq uia e a bTabla #3

9

e a b e a b a b e b e a

tioq uia e a b cTabla

10

CAP ITULO 1. LOGICA - TEOR DE CONJUNTOS IA La operacin denida en la Tabla , verica o las Leyes bsicas 1 6. a Para esta operacin el mdulo es e. o o Inversos: e1 = e a1 = a. b1 = b. c1 = c. En cambio la Tabla verica las Ls. clausurativa, uniforme, asociativa y modulativa, (mdulo (e)), o pero no, las leyes conmutativa e invertiva. e a b c e a b c a e c b b c e a c b a e

An 1 2 3 4

e a b c

e a b c e a b c a a a a b b b b c c c c

Tabla

Operaciones mdulo n. (n un entero > 1) o Son dos operaciones de la mayor importancia en Algebra y Teor de a Nmeros. Veamos un ejemplo con n = 5. u Denimos en el conjunto B = {0, 1, 2, 3, 4, }. una suma y una multiplicacin as o :

Las Tablas # 4 y # 5 muestran sendos resultados. 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3 1 1 2 3 4 2 2 4 1 3

ersi d

x y = residuo r que queda despus de dividir (x + y) por 5. e x y = residuo r que queda despus de dividir (xy) por 5. e

Para x, y B,

ad

de

3 3 1 4 2

4 4 3 2 1

Un ivTabla #4

Tabla #5

Las dos operaciones y desplegadas en las tablas #4 y #5 cumplen todas las leyes bsicas del Algebra y por tanto constituyen un campo algebraico a con 5 elementos a saber: 0, 1, 2, 3, 4.

1.1. OPERACION BINARIA

No se incluye el 0 en la tabla #5 ya que ste no tiene inverso para el producto e . Sin embargo es posible re-incluirlo por medio del teorema, a0=0 Ejemplos-: (Vericar cada ejemplo en las tablas #4 y #5.) 4 (5 2) = (4 5) (4 2) = 3.3 0 3

Ley Distributiva.

42 = 1, ya que 42 signica 4 4 = 1 3 (2 3 ) = 4, ya que 2 3 = 3.

El rec proco de 3 es 2 y esto lo expresamos as 31 = 2. : (Note que 3 2 = 1; Ley Invertiva de ).

Un iv

ersi d

ad

de

An

El opuesto de 2 es 3 y esto lo expresamos as 2 = 3. : (Note que 2 3 = 0; Ley Invertiva de ).

tioq uia

11

1.2.

Nociones de Lgica. o Mtodos de demostracin. e o

Trminos y Enunciados: e

Son los elementos bsicos de una Teor Matemtica. a a a

Los trminos matemticos son los objetos que son motivo de estue a dio, tales como conjuntos, nmeros, funciones, guras geomtricas y u e un grande etctera. e

Ejemplos:

An

Representaremos los trminos con letras y s e mbolos especiales.

e El punto P, el conjunto A, la funcin f, la integral a f, son trminos o matemticos que pertenecen a diferentes disciplinas de la matemtica. a a

Ejemplos -:

Un enunciado de la Geometr es: a

En todo tringulo issceles, los ngulos de la base son iguales. a o a

Un iv

Representaremos los enunciados con letras maysculas, en particular P, u Q, R, S, T, etc. Existen diferentes tipos de enunciados: verdaderos, falsos, contradictorios, conjeturas e indecidibles pero slo nos o ocuparemos de los tres primeros. Un enunciado slo se considera verdadero, (tambin se dice TEOREo e MA ) cuando ha sido objeto de una prueba o demostracin matemtica, o a slo en este caso pasa a ser parte de la teor o a. Para indicar que un enunciado es verdadero, utilizaremos la letra v.

ersi d

Un enunciado de la Aritmtica es: e

Todo nmero entero > 1 tiene algn divisor primo. u u

ad

Los enunciados corresponden a las propiedades y relaciones que ocurren entre los trminos; los denominamos con esta palabra porque empiezan e a tener existencia matemtica una vez que se enuncien. a

de

Excepto en unos pocos casos, (que se mencionarn en la pgina sia a guiente), los trminos entran a hacer parte de la teor por medio de e a deniciones.

tioq uiab

12


1.2. NOCIONES DE LOGICA.

METODOS DE DEMOSTRACION.

Para nuestros nes en este curso, una demostracin consiste en una aro gumentacin basada en leyes lgicas muy precisas, leyes que aqu preo o sentaremos sin entrar en detalles mayores, que son propios de un curso de Lgica. o Sin embargo agreguemos que la demostracin de un enunciado utiliza o teoremas y deniciones que, en el momento de demostrarlo, estn hae ciendo parte de la teor a. TERMINOS PRIMITIVOS - AXIOMAS.

Ejemplos -: Conjunto y pertenecer son trminos primitivos de la e Teor de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. a

En cambio n mero primo es un trmino denido de la Aritmtica. u e e La demostracin de los teoremas se hace recurriendo a teoremas que o previamente hallan sido demostrados. Sin embargo los primeros teoremas no se pueden demostrar ya que son independientes entre si y no existen teoremas anteriores que permitan llevar a cabo su demostracin. o La solucin a este impase es que se admitan algunos teoremas sin ser o demostrados a condicin de que se expresen claramente y que se reeran o a propiedades de los trminos primitivos. Estos enunciados admitidos e sin demostracin se llaman los axiomas y cada rama de la Matemtica o a empieza con una lista de ellos. Ejemplos -: Un axioma de la Teor de conjuntos es el siguiente: aSi los conjuntos A y B tienen los mismos elementos, entonces son conjuntos iguales.

Un iv

ersi d

ad

Punto, recta y plano son trminos primitivos de la Geometr Eue a clidiana.

de

La denicin de los trminos se hace recurriendo a trminos anterioro e e mente denidos. Sin embargo algunos trminos bsicos no se pueden e a denir ya que son independientes entre si y no existen trminos anterioe res que los denan. La solucin a este impase consiste en admitir, sin o denicin, los primeros trminos de la teor a cambio de que sea dada o e a la lista denida de ellos. Estos son los llamados trminos primitivos. e Los otros sern trminos denidos. a e

An

tioq uia

13

Un axioma de la Geometr es el siguiente: a

Por dos puntos pasa una recta y slo una. o

Veamos a continuacin, y a la par con las operaciones bsicas con o a enunciados, las leyes lgicas que se necesitan para elaborar demostrao ciones que reciban el reconocimiento de correctas. Operaciones con Enunciados (Negacin - Disyuncin - Conjuncin - Implicacin -Equivalencia.) o o o o La negacin -: Es la operacin que d lugar a un enunciado que es o o a el contrario de otro enunciado P. El resultado es el enunciado que denotaremos noP. Como cuando decimos: La recta l no pasa por el puntoA., enunciado que constituye la negacin de: o la recta l pasa por el puntoA.

Se indicar que un enunciado es falso por medio de la letra f. a Recuerde -: Armar de (noP) que es un enunciado verdadero, es equivalente a armar que (P) es un enunciado falso. Enunciado contradictorio -: Es aquel que es verdadero y falso simultneaa mente. Un enunciado contradictorio presenta la siguiente forma: (P y noP). Un principio lgico prohibe que una teor matemtica tenga enunciao a a dos contradictorios. Se llama Principio de no contradiccin y queda o resumido en la siguiente Tabla #6.

Un iv

ersi d

Enunciado falso -: Es aquel cuyo contrario (o negacin), es verdadero o (es decir, teorema.) En otras palabras, el enunciado P es falso slo o cuando noP es verdadero.

ad

denoP P.

An

tioq uia

14



METODOS DE DEMOSTRACION. P v f noP f v

Tabla #6

La Disyuncin -: Es la operacin que expresa la posibilidad de que sea o o verdadero al menos uno de entre dos o ms enunciados, como cuando a decimos, (3 es primo) o (6 es par).

Para nes tericos representamos la disyuncin de dos enunciados P, Q, en o o la forma (P o Q). Esta es una operacin binaria cuyo signo de operacin es la palabra o. Dicha o o operacin se rige por el siguiente principio: oen que los enunciados P y Q no sean ambos falsos. En el caso de ser P y Q ambos falsos, (P o Q) tambin es falso. e

Note que una disyuncin verdadera tiene verdadero al menos uno de sus o enunciados. Tambin es suciente que uno de sus enunciados sea verdadero, e para que la disyuncin sea verdadera. o

Un iv

ersi d

P v v f f

Tabla #7.

adQ v f v f

Este principio queda resumido en la Tabla #7. P oQ v v v f

de

Un enunciado (P o Q) es verdadero en todos los casos

An

tioq uia

15

En la Tabla #7 se pueden vericar las dos primeras leyes lgicas, a saber: o Ley de adicin con o: o

Siendo P un enunciado verdadero y Q cualquier tipo de enunciado verdadero o falso, se obtiene otro enunciado tambin verdadero e que se expresa en la forma (P o Q) o en la forma (Q o P). Observe, por ejemplo, la segunda l nea de la Tabla #7 donde Q es un enunciado falso (f) pero como P es verdadero (v), el enunciado (P o Q) aparece verdadero (v). Ejemplo -: Al ser verdad que 5 > 3, tambin es verdad que e (5 > 3) o (5=3). Ntese que 5 = 3 es falso. No obstante, la disjuncin que se obtuvo, es o o verdadera, usualmente resumida en la forma 5 3. Ejemplo -: A partir del enunciado verdadero (5 > 3) se obtiene verdadero enunciado al adicionar el tambin verdadero (4 < 5), resultado que se exe presa as :

En adelante llamaremos premisa a todo enunciado que, en principio, se tome como verdadero para obtener, mediante deduccin lgica, otros o o enunciados verdaderos.

La Ley de adicin con o se resume en el siguiente esquema: o Premisa. P PoQ QoP

Un iv

Ley de cancelacin de los enunciados falsos en la Disjuncin. o o A toda disjuncin verdadera se le pueden cancelar los enunciados que o presente falsos, y los enunciados que queden sin cancelar son verdaderos.

ersi d

Utilizaremos esquemas de tipo premisa(s) - conclusin(es) para reo presentar algunas leyes lgicas. o

ad

de

(5 > 3) o (4 < 5.)

Conclusin 1: o Conclusin 2: o

An

tioq uia

16




Observe, por ejemplo, la segunda l nea de la Tabla #7, donde Q es falso (f) pero como (P o Q) es verdadero (v), P aparece verdadero (v), es decir, al cancelar el enunciado Q(f), el que queda, P, es verdadero. Situacin similar se repite para la tercera l o nea, esta vez con P(f) y Q(v): se cancela P(f) y queda Q(v). Ejemplo -: Siendo claro que (5 < 3) o (5 > 4)

Presentacin esquemtica de la L. de Cancelacin: o a o Premisas. PoQ noP Q.

An

es una armacin verdadera, cancelamos la parte falsa, (5 < 3), y la o que queda, (5 > 4), es verdadera.

(3 es primo) y (6 es par). La conjuncin de dos enunciados P, Q se representa en la forma o (P y Q)

Esta es tambin una operacin binaria cuyo signo de operacin es la palabra e o o y . Dicha operacin se rige por el siguiente principio: o Un enunciado (P y Q) slo es verdadero o en el unico caso en el que tanto P como Q son ambos verdaderos. En los dems casos (P y Q) es enunciado falso. a

Este principio queda resumido en la Tabla #8.

Un iv

ersi d

ad

La Conjuncin -: Es la operacin que expresa la simultaneidad de dos o o o ms enunciados, como cuando decimos, a

de

1. 2. Conclusin: o

1. 2. Conclusin: o

tioq uiaPremisas. PoQ noQ P.

17

P v v f f

Q v f v f

Tabla #8

En la Tabla #8 se pueden vericar otras dos leyes lgicas, que son las sio guientes: Ley de simultaneidad.

Verique el lector esta ley en la 1a l nea de la Tabla #8 Ley de simplicacin. o

En la 1a l nea de la Tabla #8 se puede constatar esta ultima ley. Presentacin esquemtica de las Ls. de simultaneidad y simplicacin. o a o simultaneidad. Premisas. P Q (P y Q) simplicacin. o Premisa. PyQ P Q

Un iv

ersi d1. 2. Conclusin: o

Siendo verdadero un enunciado de la forma (P y Q), se pueden concluir, independientemente, tanto la verdad de P, como la verdad de Q.

ad

de

Si tanto el enunciado P como el enunciado Q son verdaderos, se obtiene un enunciado verdadero que se representa en cualquiera de las dos formas siguientes: (P y Q) o (Q y P)

An

tioq uia(P y Q) v f f f Conclusin 1. o Conclusin 2. o

18




La Implicacin -: Es la operacin binaria entre enunciados P, Q que o o establece la disjuncin entre la negacin de P o la armacin de o o o Q como cuando decimos:Un entero a (no es mltiplo de 6) o (es divisible por 3). u

La implicacin de dos enunciados P, Q se representa en la forma: o P = Q. El enunciado P se llama

Los enunciados que toman la forma de implicacin, (P = Q), reciben o las siguientes lecturas: Si P entonces Q. P implica a Q. Q siempre que P. P es una condicin suciente para Q. o Q es una condicin necesaria para P. o

y se lee, entre otras maneras, as : Si un entero a es mltiplo de 6, entonces a es divisible por 3. u (Un entero a es mltiplo de 6) implica que (a es divisible por 3). u a es divisible por 3 siempre que lo sea por 6. Una condicin suciente para que un entero a sea divisible por 3, es o que a sea mltiplo de 6. u Una condicin necesaria para que un entero a sea mltiplo de 6, es o u que a sea divisible por 3.

Un iv

ersi d

Por ejemplo, el enunciado antes sealado con se representa por n 6 | a = 3 | a

ad

de

An

antecedente y el enunciado Q, consecuente.

tioq uia

19

Una gran parte de los enunciados matemticos estn asociados a la a a forma de implicaciones, las cuales pueden estar, o no estar, presentes en forma expl cita. En estas notas haremos expl cita la implicacin de o cada enunciado que no presente dicha forma, esto por razones de orden prctico en el proceso de demostracin que nos ocupe. De hecho ya lo a o hemos puesto en prctica a partir de la seccin 1.1, (pgina 6), con a o a motivo de las leyes bsicas del lgebra. a a Por ejemplo, el teorema: El producto de nmeros impares d como u a resultado otro nmero impar est asociado a la implicacin: u a o (a y b son nmeros impares) = (ab es impar.) u

REC IPROCA y CONTRARREC IPROCA. Asociadas a toda implicacin nos ser util considerar otras dos implio a caciones, las cules se indican en el siguiente esquema: a Q = P P = Q

noQ = noP

Si el entero a es mltiplo de 6, entonces a es divisible por 3. uP = Q (v)

Implicacin rec o proca : Si el entero a es divisible por 3, entonces a es mltiplo de 6. uQ = P (f )

Un iv

Implicacin contrarrec o proca : Si el entero a no es divisible por 3, entonces a no es mltiplo de 6. unoQ = noP (v)

ersi d

Ejemplo -: Implicacin inicial : o

ad

de

CONTRARRECIPROCA.

An

RECIPROCA

tioq uia

20




NOTA : Como puede verse en el ejemplo anterior, el hecho de que la implicacin o inicial sea verdadera, (es decir, teorema), no asegura que la rec proca sea verdadera pus en este caso es falsa, como se puede constatar por medio del e siguiente contraejemplo: 15 es divisible por 3 (recuerde, 3 | 15) pero 15 no es mltiplo de 6, (6 15). u Sin embargo, la implicacin inicial y su contrarrec o proca siempre sern ama bas verdaderas o ambas falsas. (Ley del contrarrec proco, ver ms adelante, a pgina 31). En el ejemplo considerado, ambas son verdaderas, lo cual dea mostraremos un poco ms adelante, (pginas 26 y 31.) a a La implicacin es como ya se dijo, una operacin binaria cuyo signo de opeo o racin est representado por dos palabras, Si entonces . Dicha opeo a racin se rige por el siguiente principio -: o El unico caso en que un enunciado de la forma P = Q es falso, se d cuando el antecedente, P, es verdadero a y el consecuente, Q, es falso.

La Tabla #9 registra este principio: P v v f f Q v f v f

Ley del Antecedente Falso: Toda implicacin con antecedente falso es verdadera, es decir, teorema. o

Un iv

En la Tabla#9 se pueden vericar las siguientes dos nuevas leyes lgicas y o el importante Mtodo Directo para hacer demostraciones. e

ersi d

Tabla #9

ad

En los otros casos la implicacin es verdadera. o

dePQ v f v v

An

tioq uia

21

Ejemplos -: 1.(falso)

(6 es primo) = (6 es par)(=verdadera)

2.

(falso)

(6 es primo) = (6 es impar)

Un iv

Es el procedimiento ms utilizado para efectuar demostraciones matemticas. a a Su explicacin puede seguirse en las las 1 y 2 de la Tabla #9. o Consideremos que se quiere demostrar un enunciado de la forma P = Q.

A continuacin describimos el procedimiento. o

ersi d

Esta importante ley es de uso continuo no slo en el razonamiento matemtico, o a sino en el uso del lenguaje corriente. Ella indica las condiciones (premisas) bajo las cuales se puede deducir (poner?) el consecuente de una implicacin. o

ad

De una implicacin vero dadera con antecedente verdadero, se puede concluir que el consecuente es verdadero.

de

Ley del Modus ponens.

An

(=verdadera)

1. 2. Conclusin: o

Mtodo Directo e

tioq uia(verdadero.) (falso)

22


Forma esquemtica: a Premisas: P = Q P Q.



Presentacin esquemtica del mtodo directo: o a e Hip. P. Deducc/s. Interm/s. P1 , P2 Pn .

En el siguiente teorema se tiene un modelo de aplicacin del mtodo directo. o e Demostracin. Empezamos por expresar el enunciado en forma de implio cacin: o (a, b enteros impares) = (ab es impar) Esto no es indispensable pero nos ayuda a entender mejor el procedimiento directo, que empieza as : Supongamos que a y b son impares, (hiptesis). Queremos demostrar que ab o tambin es impar, (tesis). e Al ser a y b impares,

Por ley uniforme,

Un iv

ersi d

Teorema 1.2.1. El producto de nmeros impares d resultado impar. u a

a = 2k + 1, con k Z b = 2h + 1, con h Z ab = (2k + 1)(2h + 1)

ad

Es bueno aclarar que no es el enunciado Q el que queda demostrado sino el enunciado (P = Q). Hecha esta aclaracin, cuando se realice una o demostracin por mtodo directo, sta se puede dar por terminada en el o e e punto en que se obtenga la deduccin nal Q. o

de

Deducc./Final. Q.

An

Partamos del supuesto (hiptesis) de que P es un enunciado verdadero, ver o las 1 y 2 de la Tabla #9. All se observan 2 opciones para Q. La 1a la nos indica que Q puede llegar a ser enunciado verdadero, en cuyo caso la implicacin resultar verdadera. La 2a la nos indica que el enunciado Q o a puede llegar a ser falso, en cuyo caso la implicacin resultar falsa. o a Si una sucesin de deducciones (lgicas) intermedias nos llevan a la conclusin o o o nal de que Q es verdadero, hemos llegado a buen puerto, pus la consecuene cia inmediata es que P = Q es una implicacin verdadera y el o enunciado ha quedado demostrado. Cabe aqu preguntarse, porqu no suponer inicialmente que P es falso? e La respuesta es inmediata: Con antecedente falso toda implicacin es (trio vialmente) verdadera y no se tienen que hacer ms razonamientos. a

tioq uiaDemostrado: P = Q

23

Por ley distributiva,

ab = 2k 2h + 2k + 2h + 1 Agrupando y sacando un factor comn, u ab = 2 (2kh + k + h) + 1

En este punto, llamemos 2kh + k + h = t, t Z, lo cual se justica por la ley clausurativa. Reemplazando en , obtenemos nalmente, ab = 2t + 1 lo cual signica que ab es impar y la demostracin termina. o Veamos otro ejemplo sencillo. Demostremos por el mtodo directo la implicacin mencionada en la pgie o a na 23:

Dm: Supongamos que 6 | a. Por denicin, o a = 6k, k Z.

ersi d

Hagamos 2k = h, (L. clausurativa), luego, a = 3h, h Z.

Esta ultima igualdad equivale (por denicin) a 3 | a. La implicacin queda o o demostrada. 2 La Equivalencia -: Esta operacin binaria se reduce a una combinacin o o de conjuncin y dos implicaciones, pus se dene como la conjuncin o e o de una implicacin y su rec o proca, es decir, (P = Q) y (Q = P).

Un iv

El signo convenido para denotar la equivalencia es . El enunciado anterior se representa as : P Q

ad

Esta igualdad se puede re-escribir en la forma, a = 3(2k).

de

6 | a = 3 | a

An

tioq uia

24




Analizamos en la siguiente tabla, cuando es verdadero, y cuando falso, un enunciado en forma de equivalencia: (P = Q) v v f f v f f v y (Q v f f v = P) v f v f P v v f f Q

Cuando un enunciado de la forma P Q es verdadero, (ver las 1 y 2), se dice de los enunciados P, Q que son equivalentes. El enunciado P Q recibe, entre otras, las siguientes lecturas:

Una conclusin vlida es que todos los enunciados verdaderos son equivao a lentes entre si y tambin todos los falsos son equivalentes entre si. e Demostrar que dos enunciados P, Q son equivalentes obliga a demostrar dos implicaciones, (en cualquier orden): I) Demostrar P = Q. II) Demostrar la rec proca, Q = P Ejercicio -: Completar la tabla anterior en las 3 columnas que estn a vac as. NOTA: Es importante tener en cuenta que en lgica matemtica no existen o a enunciados iguales. El signo = pertenece a la teor de conjuntos. a Por lo dems, el signo hace las veces del signo = en el sentido de que dos a enunciados equivalentes se reemplazan, a conveniencia, el uno por el otro. La siguiente ley justica la anterior armacin: o

Un iv

ersi d

ad

En resumen, vemos que dos enunciados son equivalentes cuando ambos son simultneamente verdaderos, (1a la de la tabla anterior), a o simultneamente falsos, (2a la de la tabla anterior). a

de

P si y solo si Q. P sii Q. P es condicin suciente y necesaria para Q. o

An

tioq uia

25

MODUS PONENS EN EQUIVALENCIAS. 1. 2. Conclusin: o LAS DEFINICIONES. Premisas P Q P Q

DEFINICION. DEFINICION.

Veamos a continuacin un teorema que agrupa las principales propiedades o algebraicas de las operaciones lgicas que hasta ahora hemos considerado. o Teorema 1.2.2. (Equivalencias bsicas.) a 1. (P = Q) y (Q = R) = (P = R) (Silogismo o transitividad de )

Un iv

(P Q) y (Q R) = (P R)(Ley del medio exclu do).

ersi d

(P Q)

ad

(P = Q)

de

El papel que cumplen las deniciones es el de poner un nombre a cada trmino e nuevo que se vaya presentando en una teor Una aplicacin de la equivaa. o lencia es el uso, expl cito o impl cito, que de ella se hace para presentar las deniciones. En el prembulo, (seccin 0.2), ya hab a o amos adelantado algunas deniciones: nmero par, nmero impar, nmero primo, divisor-mltiplo, u u u u MCD(a, b), y primos relativos. Recordemos aqu que implicacin y equivalencia son otros trminos que ya o e hemos denido, si bien de un modo informal, pero que ahora presentamos formalmente as :

An

( (P = Q) y (Q = P) ).

2. (noR o R)

(Ley que tambin equivale a (R = R); ver def. de .) e(Ley de la doble negacin). o

3. no(noR) R

(negar 2 veces equivale a armar).

tioq uia1. 2. Conclusin: o ( (noP) o Q ).

26


Premisas P Q Q P

(Transitividad de )



4. Diferentes maneras de negar enunciados: no(R o S)negacin indicada o

(noR) y (noS)negacin ejecutada o

no(R y S)negacin indicada o

(noR) o (noS)negacin ejecutada o

no(R = S) negacin indicada o

R y (noS)

5. Leyes conmutativas: (R o S) (S o R) (R y S) (S y R) 6. Leyes asociativas: (R o S) o T (R y S) y T

R o (S o T )

R y (S y T )

R o (S y T) R y (S o T)

(R o S) y (R o T) (R y S) o (R y T) (R = S) = (R = T )

R = (S = T )

Ejemplos-: Negar los siguientes enunciados. 1. 6 es primo y 7 es par.

negacin: 6 no es primo o 7 no es par. o 2. 7 no es primo o 7 es par. negacin: 7 es primo y 7 no es par. o 3. Si 7 es primo entonces es par. negacin: 7 es primo y no es par. o

Un iv

ersi d

ad

7. Leyes distributivas:

de

An

negacin ejecutada o

tioq uia

27

4. 6 es primo y 7 es impar o 7 no es primo.

Enunciado ambiguo. No se puede responder por la falta de un parntee sis. Se puede corregir de dos maneras de acuerdo a la ubicacin del ( ). Ver o los dos ejercicios siguientes: 5. (6 es primo y 7 es impar) o 7 no es primo.

negacin: (6 no es primo o 7 no es impar) y 7 si es primo. o 6. 6 es primo y (7 es impar o 7 no es primo).

negacin: 6 no es primo o (7 no es impar y 7 si es primo). o 7. Por los puntos A y B pasa una recta y pasan innitos planos.

8. (P y Q) = R. negacin: o 9. P = (Q y R). negacin: o

10. (P = Q) o (P = noQ). negacin: o (P y noQ) y (P y Q).

11. Si 6 no es primo entonces es un nmero compuesto. u

Un iv

negacin: 6 no es primo y no es un nmero compuesto. o u

12. Si un pol gono es tringulo entonces no tiene diagonales. a negacin: Un pol o gono es tringulo y tiene diagonales. a

ersi d

ad

de

negacin: Por los puntos A y B no pasan rectas o no pasan innitos o planos.

(P y Q) y noR.

P y (noQ o noR).

An

tioq uia

28




Teorema 1.2.3. Ley del contrarrec proco

Toda implicacin y su contrarrec o proca, son equivalentes. En s mbolos:

(P = Q) (noQ = noP)

I. II.

(P = Q) = (noQ = noP)

(noQ = noP) = (P = Q)

Demostracin. Veamos la prueba de I. Se deja para el lector la parte II. o Mtodo directo. e P = Q (noP) o Q Q o (noP)

noQ = noP

Si el entero a es mltiplo de 6, entonces a es divisible por 3. . uP = Q (v)

Si el entero a no es divisible por 3, entonces a no es mltiplo de 6., u

Un iv

ersi d

El anterior teorema justica una armacin que hicimos en la pgina 23, o a segn la cual las implicaciones, u

adnoQ = noP

(no(no)Q) o (noP)

son ambas verdaderas, pus segn se demostr en la pgina 26, la primera lo e u o a es.

de(hiptesis.) o(v)

(def. de =). (L. doble negacin.) o (def. de =).

(L. conmutativa.)

An

Veamos una prueba esquemtica de esta ley. a Como se trata de una equivalencia debemos demostrarla en 2 partes, i.e.,

tioq uia

29

El mtodo del contrarrec e proco

Teorema 1.2.4. Todo entero, cuadrado perfecto, que sea par tiene ra ces cuadradas que tambin son nmeros pares. e u

Cambiamos esta implicacin por la contrarrec o proca: y demostremos sta por mtodo directo. e e

Un iv

Este es un poderoso mtodo auxiliar que debemos utilizar cuando en medio e de un razonamiento se presentan dos o ms opciones o posibilidades. Decimos a entonces que se presentan 2, 3, o ms casos. Veamos, en forma esquemtica, a a el teorema para 2 casos en dos versiones, donde una es un caso particular de la otra.

ersi d

Supongamos que a no es un entero par, (hiptesis). Queremos demostrar que o 2 a tampoco es par. No siendo a par, entonces es impar y en consecuencia, a2 = a a es producto de impares e invocando el teorema 1.3.1., conclu mos que a2 es impar, luego 2 a no es par. Queda demostrado el contarrec proco y por tanto, el enunciado inicial. Mtodo de Disyuncin de casos e o

ad

(a no es par) = (a2 no es par ).

de

Demostracin. Para llevar a cabo la demostracin, presentemos la implio o cacin asociada. o Sea a un entero. (a2 es par) = (a tambin es par ). e

An

Es un mtodo de demostracin indirecto basado precisamente en la ley del e o contrarrec proco que acabamos de enunciar. Consiste en dejar de lado el enunciado que tenemos por demostrar y jar su contrarrec proco para ponernos a la tarea de demostrarlo. Veamos, en el siguiente teorema, un ejemplo que nos sirve de modelo para comprender el procedimiento. Ntese que el nmero 36 es un cuadrado perfecto par y que sus dos ra o u ces cuadradas, 6, tambin son nmeros pares. Este es un ejemplo al cual se e u reere nuestro prximo teorema. o

tioq uia

30




Versin general. o Premisas. 1. P o Q Teorema 1.2.5. 2. P = R 3. Q = S Conclusin: (R o S) o

El mtodo de Reduccin al Absurdo e o

I. Suele suceder que, tras una secuencia de pasos lgicos, T resulte hao ciendo parte de la teor como enunciado verdadero; se sigue, por la ley de a simultaneidad, que el enunciado es verdadero, pero sta es una contradiccin que la teor no presentaba antes e o a de la injerencia de (noT). Conclu mos que (noT) es el causante del derrumbe de la teor y de inmediato lo descartamos como falso lo cual quiere decir a que el contrario de (noT), o sea T, es verdadero. Nuestro enunciado ha sido demostrado.!! II. Otra posibilidad que puede ocurrir consiste en que la presencia de (noT) como un teorema, conduce, despus de una secuencia de pasos intermedios, e a un resultado contradictorio de la forma R y (noR), donde R es un teorema antiguo (o reciente) de nuestra teor Igual que en I a. conclu mos que (noT) es falso, lo que es equivalente a: T es un enunciado verdadero. Nuestro enunciado ha sido demostrado. !! Veamos un hermoso y antiguo teorema (Euclides - siglo III adC.) que nos ilustra el mtodo de la contradiccin. e o

Un iv

ersi d

ad

(T y noT)

de

Tambin llamado el mtodo de la contradiccin, est basado en el hecho e e o a de que una teor matemtica no puede contener contradicciones (Principio a a de no contradiccin - sec. 1.3, pgina 16). o a Describamos el mtodo: Sea T el enunciado que se quiere demostrar. Ade mitamos, en principio, que T es falso lo cual equivale, (por denicin), a o decir que (noT) es verdadero y, por lo tanto, entra a hacer parte de la teor a. Aqu pueden ocurrir 2 posibilidades:

An

tioq uiaCaso particular.

31

Premisas. 1. P o Q 2. P = R 3. Q = R Conclusin: R o

Teorema 1.2.6. Aceptado que

2 es un nmero real, u

Puesto en forma de implicacin, este teorema nos queda as o : 2 R = 2 Q . Demostracin. Aceptado que 2 R y razonando por contradiccin, supono o gamos que 2 es racional. Esto signica que

Recordemos que todo racional se puede escribir en forma reducida, (Prembua lo, secc. 0.2); entonces, sin prdida de generalidad, supongamos que e MCD(a, b) = 1.

Regresando a , y despus de multiplicar por b, e (L. uniforme.) b 2 = a. Elevemos al cuadrado.

b2 (2) = a2 , Esto quiere decir que,

ad

de(1)

ersi da2 = 4k 2

a2 es par,

y por tanto,

a tambin es par, e

En consecuencia podemos escribir,

Un iv

a = 2k, k Z

De donde

(L. uniforme.)

Y reemplazando en (1) obtenemos, b2 (2) = 4k 2 .

An

a 2= , b

donde a, b Z, b = 0.

(teorema 1.3.4., pgina 32). a

tioq uia (L. uniforme).

32

CAP ITULO 1. LOGICA - TEOR DE CONJUNTOS IA 2 es irracional.



Si cancelamos un factor 2, obtenemos, b2 = 2 k 2

Y ahora podemos decir que b2 es par y que por tanto, b tambin es par e

(otra vez, teorema 1.3.4).

Finalmente conclu mos que tanto a como b son nmeros pares, luego u

pus se conforma una contradiccin con . e o

Premisas: 1. p o (q y r) 2. s o t 3. s = no(p o q) Conclusin: t. o

ersi d

IVeamos un ejercicio resuelto de 2 maneras, con las cules se ilustra el a empleo de las leyes lgicas vistas. o 1.De las premisas dadas obtener la conclucin propuesta. o SOLUCION 1: 4. (p o q) = no(s) 5. (p o q) y (p o r) 6. (p o q) 7. no(s) 8. t. Contrarrec proco en 3. L.Distributiva en 1. L. de simplicacin en 5. o Modus ponens entre 4. y 6. Cancelacin de la falsa en 2. o

Un iv

IIVeamos otra solucin del mismo ejercicio empleando el mtodo de disyuno e cin de casos: Como la premisa 1. nos ofrece dos opciones, es oportuno o entrar aqu en dicho mtodo. e En el primer caso se quiere obtener la implicacin p = t. o En el segundo, se quiere obtener la implicacin (q y r) = t. o Veamos ambos casos:

ad

DEMOSTRACIONES VARIAS. (A manera de modelos.)

de

El teorema ha quedado demostrado! El nmero real 2 tiene el recordde ser el primer nmero del cual se supo u u con certeza que no era racional, es decir, que no se pod expresar en trminos a e o de dos enteros como a . En efecto, se dice que los Pitagricos, (siglo IV adC b ?.), lograron realizar la hazaa de demostrarlo. n

An

MCD(a, b) 2

Absurdo!

tioq uia

33

SOLUCION 2: Caso I

4. p 5. p o q 6. (p o q) = no(s) 7. no(s) 8. t 9. p = t

Hiptesis, o

(1a opcin). o

Adicin con o en 4. o Contrarrec proco en 3. Modus ponens entre 5. y 6. Cancelacin de la falsa en 2. o

Mtodo Directo entre 4. y 8. e

Any P,

DEMOSTRACION. Razonando por el absurdo, supongamos que hay un entero P que es el nmero u primo ms grande que existe. a Denamos un nmero N , as u : donde N = (p1 p2 p3 pk ) P + 1 p1 , p2 , p3 , , pk (1.)

Un iv

son todos los primos posibles ya que primos ms grandes que P , hemos a supuesto que no hay. Segn el corolario 0.2.3., N tiene un divisor primo, u digamos q y por lo tanto, N = qA + 0, A Z (2.)

ersi d

La demostracin se realiza por el mtodo de reduccin al absurdo y para ello o e o se requiere utilizar en cierto momento el teorema llamado Algoritmo de la divisin(teorema 0.2.1) y el corolario 0.2.3, (ver pginas 3 y 4): o a

ad

IIIVeamos una prueba clsica del teorema 0.2.4, enunciado en el prembua a lo de estas notas, (pgina 4), y debida a la matemtica de la Grecia Antigua a a (Euclides, siglo III adC.), el cual asegura que, no existe un primo que sea el mayor de todos los primos.

de

Finalmente, de 1., 9., y 10., conclu mos, por disyuncin de casos, la verdad o de t.

tioq uiaCaso II4. q y r 5. q 6. p o q 8. no(s) 9. t 10. (q y r) = t

34


Hiptesis, (2a opcin). o o Simplicacin en 4. o Adicin con o en 5. o

7. (p o q) = no(s) Contrarec proco en 3. Modus ponens entre 6 y 7.

Cancelacin de la falsa en 2. o

Mtodo Directo entre 4 y 9. e



Este primo q tiene que ser alguno de los primos de la lista ().

Pero q = p1 , ya que de ser q = p1 , se tendr por sustitucin en (2.) y a, o re-agrupando en (1.), N = p1 A + 0. N = p1 (p2 p3 pk P ) + 1.

El mismo procedimiento permite descartar las dems posibilidades: con q = a p2 ; q = p3 ; ; q = pk ; o q = P , se llega a la misma imposibilidad. Por ejemplo para q = P se tendr las igualdades, an N = P A + 0. N = P (p1 p2 p3 pk ) + 1.

IVVeamos una prueba de las llamadas Leyes cancelativas, propiedad que se cumple en todo conjunto que tenga dos operaciones binarias que cumplan todas las leyes del lgebra, (seccin 1.3, pgina 6), como es el caso de la a o a suma y la multiplicacin en los racionales, los reales y los complejos. o Como es lo usual, representemos las dos operaciones por + y TEOREMA:- (i) a + c = b + c = a = b. (ii) (a c = b c y c = 0) = a = b. DEMOSTRACION:- (mtodo directo) e Parte (i). Supongamos a + c = b + c.

Un iv

ersi d

Por tanto q no est en la lista ( ) y esto es una contradiccin con lo armaa o do en , contradiccin que proviene de haber supuesto que P era el mayor o entre los primos. Conclu mos que P no es el mayor primo y que por tanto no existe un mayor primo. El teorema queda demostrado. 2

ad

donde la divisin entre N y P est dejando nuevamente los residuos 0 y 1. o a

de

An

y esto no puede ser posible pus est mostrando que la divisin entre N y p1 e a o est dejando residuos distintos 0 y 1, y el Algoritmo de la divisin(teorema a o 0.2.1) arma que el residuo es slo uno. o

tioq uia

35

En esta igualdad apliquemos en secuencia, diferentes leyes algebraicas, empezando por sumar el opuesto de c : (a + c) + (c) = (b + c) + (c) a + (c + (c)) = b + (c + (c)) a+0=b+0 a = b. L.UNIFORME. L.ASOCIATIVA. L.INVERTIVA(+). L. MODULATIVA(+).

Queda demostrada la primera parte del enunciado. 2

a c = b c y c = 0.

Apliquemos nuevamente algunas leyes del lgebra. a Como c = 0, existe su inverso c1 . Empecemos multiplicando por c1 : (a c) c1 = (b c) c1 a (c c1 ) = b (c c1 ) a1=b1 a = b.

Queda demostrada la segunda parte del enunciado. 2

1. Negar los siguientes enunciados: a.) (noR) o Q; Resp. : R y (noQ). l.) P = (R y T); m.) (P = R) y T; n.) (P = Q) y (Q = P); o.) (R y S) = (T o R); p.) (noR) y (T o S); q.) (M o L) y H; r.) P = (Q = T); s.) (P = Q) = T); t.) (noP) = (noT).

Un iv

b.) (T y R) y S; c.) (R y R); d.) R y (noQ); e.) (noR) o (noT); f.) (noR o T) y Q; g.) (R y S) o T); h.) (R y (S o T); i.) (R y noT) y S; j.) (noR) o (T y Q); k.) ((T y R) y S).

ersi d

1.3.

Ejercicios

ad

de

L. UNIFORME. L.ASOCIATIVA. L.INVERTIVA. L.MODULATIVA.

An

Parte(ii). Supongamos

tioq uia

36


1.3. EJERCICIOS 2. Negar los siguientes enunciados: a.) x es racional y z no es entero. b.) 3 es par y 7 es primo. c.) 3 es impar o 7 no es primo.

Resp. : x no es racional o z es entero.

d.) (3 es impar y 7 es primo) o 6 es par. e.) x no es racional o z no es entero.

proco y la negacin de las siguientes o 3. Dar el rec proco, el contrarrec implicaciones: a.) Si un entero es mayor que 1, entonces tiene un divisor primo.Respuesta : Rec proco. ; que 1.

Si un entero tiene un divisor primo, entonces es mayor Si un entero no tiene un divisor primo, entonces

Contrarrec proco. ;

Negacin. ; Un entero es mayor que 1 y no tiene un divisor primo. o

d.) Si un tringulo est inscrito en media circunferencia, entonces tiene a a un ngulo recto. a

f.) Si x (A B), entonces (x A) o (x B).

h.) Si un numero real es 0 o es negativo, entonces no tiene logaritmo. i.) Si una matriz es cuadrada y su determinante es cero, entonces no tiene inversa. j.) Si una funcin es continua y uno a uno, entonces es montona. o o l.) Si p es primo o divisor de 10, entonces p|20. m.) Si un tringulo es issceles, entonces tiene dos ngulos iguales. a o a k.) Si a | b y b | c, entonces a | c.

g.) Si (x, w) A B, entonces (x A) y (w B).

Un iv

ersi d

e.) Si un entero es nmero compuesto, entonces tiene 2 o ms factores u a primos.

ad

c.) Si el cuadrado de un entero es par, entonces dicho entero tambin e es par.

b.) Si a es impar, entonces el producto (c a) es impar.

de

no es mayor que 1.

An

tioq uia

37

4. Suponga que P es un enunciado falso y descubra cules de los siguientes a enunciados son verdaderos, cules falsos y de cules no se puede decir a a nada: P y Q; R o P; R y noP; S o noP; R = P; P = Q; noP = (P o S); P = (P y S); noP = P; S = noP; (P o Q) o R; noP o (P y R); R = (S = P); noP = (P = R); (P y S) = (Q y noR). 5. En el ejercicio anterior, descubra como son los enunciados propuestos, (verdaderos, falsos o imposible decidir), en el supuesto de que P sea verdadero y Q y R falsos. 6. En i) a xiii) se d una lista de premisas y se pide obtener la conclusin a o propuesta empleando leyes lgicas apropiadas. o i) Premisas: 1. no(r = q) Conclusin: no(q) o iv) Premisas: 1. (r y q) = no(s) 2. s

An

de

ii) Premisas: 1. no(r) = q 2. no(q) Conclusin:(r o t.) o

ad

Conclusin: (no(r) o no(q)) o vi) Premisas: 1. p = no(q) 2. (no(q)) = h

ersi d

Un iv

Conclusin: (no(h))= (no(p)) o viii) Premisas: 1.(r y q) = no(s) 2. s 3. q Conclusin: no(r). o

tioq uia

38


iii) Premisas: 1. no(r = q) 2. no(r) Conclusin: Sistema ocontradictorio.

v) Premisas: 1. (no(r) y p) = (r o q) 2. no(p = r) Conclusin: (r o q). o vii) Premisas: 1. no(r) o t 2. r Conclusin: t. o ix) Premisas: 1. p o (q y r) 2. s o t 3. s = no(p o q) Conclusin: t. o

1.3. EJERCICIOS x) Premisas: 1. p = s 2. q = r 3. (s y r) = k 4. p y q Conclusin: k. o xii) Premisa: 1. no (q) Conclusin1 : q = p. o Conclusin2 : r = no(q). o xi) Premisas: 1. no(p o no(r)) 2. q o p 3. r = s 4.(q y s) = (t y s) Conclusin: t. o

7. De las premisas: P = Q; (noR) = (S = T ); obtener la conclusin: Q o S. o

An

xiii) Premisas: 1. p y q 2. no(r) = (no(p) o no(q)) Conclusin: (r.) o R o (P o T ); noR.

9. Escribir el enunciado (P o Q) en forma de =.

de

8. Completar la tabla de la equivalencia, (pgina 27.). aResp.: (noP = Q).

Nota: En los ejercicios que siguen las letras que representan nmeros, u se reeren a nmeros enteros. u De 11 a 16, completar cada enunciado y demostrarlo. 11. Si se suman dos nmeros pares, el resultado es uEscriba el enunciado como implicacin: o

(a y b son nmeros pares) = (a + b) u 13. Si se suman tres nmeros impares, el resultado es u 14. Si se suman n nmeros impares el resultado es par o impar, depenu diendo de n; cmo es el resultado si n es par?. Y si n es impar?. o 15. Si se suma un nmero par con uno impar, el resultado es u

Un iv

12. Si se suman dos nmeros impares, el resultado es u

ersi d

ad

10. Demostrar la parte II., (teorema, pgina 31), de la L. del contra rrec a proco: (noQ = noP ) = (P = Q). (Sugerencia: Utilizar la parte I del teorema y la L. de la doble negacin.) o

tioq uia

39

16. Si a es par, b, y c impares, a (b + c) es

De los siguientes enunciados, 17 a 32, seale con F, (y justique), los n que son falsos y redacte una demostracin de los que son ciertos: o 17. Si todos los mltiplos de un entero a son pares, entonces a tambin es u e par. (v.) (Justicar por reduccin al absurdo o contrarrec o proco).(m Z)(ma es par) = a es par.

19. Si (a + b) es impar, entonces a es impar o b es impar. 20. Si ab es par, entonces a es par o b es par.

21. El producto de tres enteros consecutivos siempre es un nmero par. uSugerencia: (k) y (k+1) representan dos enteros consecutivos. Represente 3 enteros consecutivos.

22. El producto de tres enteros consecutivos siempre es mltiplo de 4. u

24. Todo nmero par es mltiplo de 4 o de 5. u u

26. Todo nmero impar es de una de las formas (4k + 1) o (4k + 3.) (Veru dadero. Utilizar el Algoritmo de la divisin. Considere un entero arbio trario n como dividendo siendo 4 el divisor.(Son 4 casos porque son 4 los posibles residuos: 0, 1, 2, 3.) 27. Todo entero de las formas (4k + 1) o (4k + 3), es impar.

Un iv

28. Si 5 divide a (m + n), entonces 5 divide a m o 5 divide a n. 29. Si 5 divide a mn, entonces 5 divide a m o 5 divide a n.

30. Si 5 divide a mn, entonces 5 divide a m y 5 divide a n.

31. Si a | b, entonces a | bc cualquiera que sea el entero c.

ersi d

25. Todo nmero impar es mltiplo de 3 o de 5. u u

ad

23. La suma de 3 enteros consecutivos siempre es mltiplo de 3. u

de

An

18. Si (a + b) es par, entonces a es par o b es par.

tioq uia

40


1.3. EJERCICIOS

32. Demostrar: si un nmero entero es divisible por 2 y por 3, entonces u tambin es divisible por 6. (v.) e Sugerencia: Segn el Algoritmo de la divisin, (teorema 0.2.1., pgina u o a 3), todo entero n es de la forma 6k + r donde r puede ser cualquiera de los nmeros 0, 1, 2, 3, 4, o 5. Descomponga a n en las formas 2 (3k) + r u y 3 (2k) + r. Terminar descartando todos los r = 0. Demostrar los siguientes enunciados, 33 a 46, por el mtodo directo. e

34. Si a, b, c son impares, entonces a(b c) es par.

35. Demostrar que todo nmero impar se puede escribir en la forma 2k 7 u donde k es un entero.

37. Si m + n = m + k entonces n = k.

38. Si am = an, con a = 0, entonces m = n.

40. Si a | (b c) y a | c demostrar que a | b 41. Dos enteros consecutivos siempre sern primos relativos. a 42. Si 3 es un divisor de 5c, demostrar que 3 | c 43. Si d | bc y M CD(d, c) = 1, entonces d | b.lineal de c y d ; 1 = xc + yd, con x, y Z. y tenga en cuenta que d | bc, por hiptesis. Termine. o Sugerencia: El 1 es combinacin o (Ver teorema I, pgina 4). Ahora multiplique por b a

44. Si el cuadrado de un entero es par, el entero tambin es par. e

46. Si un entero es divisible por 6, entonces es divisible por 2 y por 3. (rec proco del ejercicio 31.) Demostrar los siguientes enunciados, 47 a 52 , por el mtodo de Ree duccin al absurdo: o

Un iv

45. Si el cuadrado de un entero es impar, el entero tambin es impar. e

ersi d

ad

39. Si a | b y b | c entonces a | c.

de

36. El producto de tres nmeros pares es mltiplo de 8. u u

An

33. Si 3 | a y 5 | b, entonces 15 | ab.

tioq uia

41

47. Si 3 divide a un cuadrado perfecto, entonces 3 tambin divide a su raiz e cuadrada. 48. 3 es irracional. [Sugerencia: Utilice el anterior ejercicio.] 49. 6 es irracional. 50. ( 3 2) es irracional. 51. El nmero de enteros pares es innito. u 52. El nmero de primos es innito. u

1.4.

Cuanticadores

(Universal, Existencial, de Unicidad, de Existencia Unica.) Son palabras o expresiones que se reeren a la cantidad de objetos (matemticos) a o elementos de algn conjunto, que verican una propiedad. u Ya hemos mencionado en lugares anteriores de estas notas, enunciados con cuanticadores, apelando al sentido comn del lector. En lo que sigue hareu mos una presentacin donde se enuncian las principales caracter o sticas y tcnicas para el manejo de estas expresiones pero sin entrar a demostrare las ya que ello no est contemplado en estas notas. a

Un iv

B.) - Un enunciado est afectado por un cuanticador Existencial cuando a en l aparecen expresiones como alguno, por lo menos un, hay un, existe e por lo menos un (trmino) tal que u otras que expl e cita o impl citamente tengan este mismo signicado, como cuando decimos, Existe por lo menos un nmero primo que es par. u Hay tringulos con sus 3 lados iguales. a

ersi d

A.) - Un enunciado est afectado por un cuanticador Universal cuando a en l aparecen expresiones como todos, cada uno u otras que tengan ese e mismo signicado, como cuando decimos, Todo nmero real elevado al cuadrado d resultado positivo. u a Cada uno de los nmeros primos = 2, es impar. u Para cada real x, x + 0 = x. Para x, y, reales arbitrarios, x + y = y + x.

ad

de

An

tioq uia

42


1.4. CUANTIFICADORES

Para alg n x R, x2 1 = 0. u Por dos puntos pasa por lo menos una recta. Un entero es par si es de la forma 2k, siendo k un entero. (En otros trminos, a Z es par si existe k Z tal que a = 2k.) e (Est impl a cito el cuanticador existencial en la frase, es de la forma). C.) - Un enunciado est afectado por un cuanticador de Unicidad cuana do en l aparece una expresin al estilo de A lo sumo hay un, cuando e o ms hay un, no puede haber 2 u otras expresiones que puedan tener este a mismo signicado, como cuando decimos, En un conjunto A en el cual est denida una operacin binaria modulativa, e o a lo sumo hay un elemento neutro. Entre 24 y 28 hay, cuando ms, un primo. a Entre 24 y 30 no hay dos primos.

Por un punto exterior a una recta dada pasa una y solo una recta paralela a la recta dada. Al dividir entre si dos nmeros enteros, el cociente y el residuo son unicos. u Para cada nmero real = 0 existe exactamente un inverso multiplicativo. u

Slamente para efectos de enunciar las leyes de los cuanticadores y algunas o expresiones de tipo terico, utilizaremos las siguientes abreviaturas: o P (x) signica un enunciado o propiedad matemtica referida a un a trmino x. Similarmente, P (x, y, u, , z.) representa un enunciado que e se reere a dos o ms trminos, representados por las letras x, y, u, ...z. a e

Para el c. Existencial (x)P (x), que signica existe un x tal que P (x). Para el c. de Unicidad ( x)P (x), que signica existe a lo sumo un x tal que P (x).

Un iv

Para el c. Universal (x)P (x), que signica para todo x, P (x).

ersi d

LEYES DE LOS CUANTIFICADORES.

ad

de

D.) - Un enunciado est afectado por un cuanticador de Existencia Unica a cuando en l aparecen expresiones al estilo de Uno y slo uno, unicamente e o uno, exactamente uno, como cuando decimos,

An

tioq uia

43

Para el c. de Existencia Unica ( ! x)P (x), que signica existe un unico x tal que P (x). Algunas observaciones relacionadas con los cuanticadores:

Para todo > 0 existe > 0 talque para todo real x, |x a| < = |f (x) f (a)| < , donde a es un nmero jo. u Cuando un enunciado presenta una variable no cuanticada, se asume que est afectada por el cuanticador . Por ejemplo, en el enunciado, a (donde a R+ y m, n Z+ ), se sobrentiende que las letras a, m, n estn a afectadas, cada una, por un c. universal. En el siguiente teorema utilizamos el s mbolo (T |x)P para indicar la operacin que consiste en reemplazar en el enunciado P , letra x por un trmino o la e espec co T . Por ejemplo, si P es x R y T es 2, en tonces (T |x)P es 2 R.

Un iv

(es decir, con un solo objeto que cumpla la propiedad P , se puede armar: existen objetos que cumplen la propiedad P .

Teorema 1.4.1. (i.) (T |x)P (x) = (x)P (x).

(es decir, de lo general se sigue lo particular.

ersi d

(ii.) (x)P (x) = (T |x)P (x).

ad

(iii.) (x)P (x) = (x)P (x).

(Silogismo entre (ii.) y (i.)).

de

(an )m = anm ,

An

En las abreviaturas anteriores se debe tener en cuenta que el cuanticador va acompaado de una letra que slo puede ser una variable o sea un trmino n o e sin especicar y no una constante que representa un trmino espec e co. Se acostumbra abreviar expresiones cuanticadas doblemente con cuanticadores del mismo tipo, como (x)(y)P (x, y) en la forma (x, y)P (x, y). De la misma manera se procede con los dems cuanticadores y cuando el a nmero de variables sea 3 o ms. u a Un enunciado puede contener el nmero y variedad de cuanticadores que u sean necesarios. El siguiente enunciado tiene 3 cuanticadores:

tioq uiaRec proco falso.)

44


1.4. CUANTIFICADORES Teorema 1.4.2 (Negacin de enunciados cuanticados). o (i.)

no((x)P (x)) (x)(no(P (x))).negacin indicada o negacin efectuada o

La negacin se efecta cambiando el cuanticador Universal por cuanticador o u Existencial y negando el enunciado P. (ii.) no((x)P (x)) (x)(no(P (x))) .negacin indicada o

La negacin se efecta cambiando el cuanticador Existencial por cuantio u cador Universal y negando el enunciado P.

8.-Todo entero es primo y todo primo es impar. Respuesta: Hay enteros que no son primos o hay primos que no son impares. 9.-Si algn entero es impar, entonces es primo. u Respuesta: Algn entero es impar y no es primo. u

En los enunciados que siguen haremos una simplicacin de la notacin o o n (cuanticador-letra) P(letra) , suprimiendo la letra que acompaa a la P. Por ejemplo (x)P (x) se ver simplicada como (x)P . a

Un iv

10.-Todo mltiplo de 3 tambin es mltiplo de 6. u e u Respuesta: Hay al menos un mltiplo de 3 que no es mltiplo de 6. u u

ersi d

7.-Existen rombos que no tienen los lados iguales. Respuesta: Todos los rombos tienen los lados iguales.

ad

1.-(x)(y)P (x, y). 2.-(x)(y)P (x, y). 3.-(a)(R(a) = S(a)). 4.-(b)(P (b) y S(b)). 5.-(w)R(w) o (z)Q(z). 6.-(x)P (x) = (y)Q(y).

Respuesta: (x)(y) noP (x, y). Respuesta: (x)(y) noP (x, y). Respuesta: (a)(R(a) y noS(a)). Respuesta: (b) (noP (b) o noS(b).) Respuesta: ((w) noR(w)) y ((z) noQ(z).) Respuesta: ((x) P (x)) y ((y) noQ(y).)

de

Ejemplos: Negar los siguientes enunciados:

An

negacin efectuada o

tioq uia

45

Teorema 1.4.3 (Reglas de empleo de los cuanticadores). (1.) LEYES DISTRIBUTIVAS :

a) (x)(R = S) = ((x)R = (x)S). b) (x)(R = S) = ((x)R = (x)S).

d) (x)(R y S) ((x)R y (x)S). e) ((x)(R y S) = ((x)R y (x)S). f ) ((x)R o (x)S) = (x)(R o S). (2.) LEYES CONMUTATIVAS :

Un iv

El resultado en (j) pide tener cuidado de no intercambiar los cuanticadores cuando se presentan en el orden porque el enunciado obtenido con el intercambio puede ser falso. En cambio el resultado en (i) arma que el orden puede modicarse sin que se afecte la verdad del enunciado. Veamos un ejemplo relacionado con los literales (i), (j). Mientras que el enunciado, para todo entero n > 1, existe un primo que divide a n (cor.

ersi d

ad

g) (x)(y)R (y)(x)R.

h) (x)(y)R (y)(x)R. i) (x)(y)R = (y)(x)R. j) El rec proco de (i) es falso.

de

An

c) (x)(R o S) ((x)R o (x)S).

tioq uia

46



0.2.3.), es verdadero, el enunciado que cambia la posicin de los cuantio cadores, existe un primo que divide a todo entero n > 1, es falso. Justicamos esta armacin algunas pginas ms adelante,(pgina 58), emo a a a pleando un argumento del tipo reduccin al absurdo: o Por supuesto que cada una de las anteriores propiedades dadas en los teoremas 1.7.1, 1.7.2, 1.7.3., se demuestran en un curso de Lgica, pero nosotros o las tendremos en consideracin para cuando sea del caso aplicarlas. o Una propiedad adicional que tendremos a mano es la siguiente. Si z es una letra que no aparece en un enunciado P , se verica la equivalencia, P (z)P.

COMO DEMOSTRAR ENUNCIADOS CON CUANTIFICADORES.

Todo nmero real multiplicado por 0, da como resultado, 0. u x R = x 0 = 0

Regla:- Para demostrar un enunciado referido a cuanticador Universal , basta demostrar la implicacin asociada a dicho cuanticador. o

As mismo debemos sealar que el cuanticador existencial est asociado a n a una conjuncin, como cuando decimos, o Para dos enteros a, b, no ambos cero, existe un entero positivo d tal que M CD(a, b) = d. En este ejemplo, el enunciado con la respectiva conjuncin toma la preo sentacin, o ((d Z + ) y (M CD(a, b) = d)).

Un iv

ersi d

Note que al hacer expl cita la implicacin, recurrimos al empleo de una variao ble (letra cualquiera) que representa el trmino al cual se reere el enunciado, e (en este caso la x se reere a un nmero real.) u

ad

La implicacin asociada es, o

de

Lo primero es sealar que el cuanticador Universal est asociado a una n a implicacin que usualmente aparece impl o cita en el enunciado, como cuando decimos,

An

tioq uia

47

Otro ejemplo: Existe un nmero primo que a su vez es par. En trminos u e de una conjuncin toma la presentacin, o o p((p es nmero primo)y (p es par)). u

La demostracin de un enunciado referido a un cuanticador existencial, se o puede efectuar por alguno de los siguientes mtodos: e a)- Basta comprobar el enunciado con un trmino espec e co para que ste e quede demostrado.

1. 2. Conclusin: o

PREMISAS: (T |x)P (x) = (x)P (x).

b)- Por el absurdo, demostrando que la no existencia de un trmino que verie que el enunciado, conduce mediante deduccin lgica, a una contradiccin. o o o Veamos dos aplicaciones de este importante mtodo. e Ejemplo 1.- Para todo entero n > 1 existe un primo p n. Demostracin: Fijado cualquier entero n > 1, la no existencia de un primo o p n conducir al resultado contradictorio de que todos los primos son a menores que n, en particular para n = 2, todos los primos ser menores an que 2, es decir no existir los nmeros primos. an u Tambin puede pasar que la existencia de un trmino que verique el enune e ciado, conduzca a contradiccin, lo cual probar que el enunciado es falso. o a Como en el siguiente ejemplo.

Un iv

ersi d

Ejemplo:- Existe por lo menos un nmero primo entre 10 y 20. u Demostracin:- Es suciente presentar, digamos el 17, ya que este es un primo o entre 10 y 20. Claro que hay otros nmeros primos entre 10 y 20 y que por lo tanto se u pueden exhibir como prueba pero repetimos que uno cualquiera de stos, es e suciente.

ad

de

An

Este mtodo es consecuencia del teorema 1.7.1. (i) y de la regla lgica del e o modus ponens segn se comprueba a continuacin: u o

(T |x)P (x). (x)P (x).

tioq uia

48



Ejemplo:- El nmero 247 tiene por lo menos un divisor primo. u Demostracin:- Un conocido teorema, (cor. 0.2.3, pgina 4), nos garantiza o a que todo entero > 1 tiene por lo menos un divisor primo y esto es suciente argumento para concluir que el enunciado es verdadero, pus e 247 > 1. 2

Se empieza suponiendo que existen dos trminos (objetos matemticos dise a tintos), digamos x1 , x2 , que verican el enunciado. Las consecuencias de aqu en adelante pueden conducir a una de dos posibilidades contradictorias: a)- Usualmente ocurre que, despues de un razonamiento apropiado, x1 y x2 resultan iguales y esto es una contradiccin con el supuesto inicial. Con esta o contradiccin el teorema queda demostrado. o Ejemplo:- En un conjunto A con una operacin binaria a lo sumo existe o un mdulo. o Demostracin:- Supongamos que enA hay dos mdulos, digamos e1 y e2 . o o

Un iv

ersi d

Para demostrar un enunciado con cuanticador de Unicidad, se emplea un argumento de reduccin al absurdo pues la expresin A lo sumo un o o es equivalente, como ya se dijo, a la expresin No hay dos . o

ad

de

c)- Cuando el enunciado por demostrar es un caso particular de un teorema de caracter universal. En este caso basta sealar que lo universal implica lo n particular y de un caso particular verdadero se sigue una armacin de tipo o existencial. Este mtodo es consecuencia del teorema 1.7.1. (iii.) y de la regla lgica del e o modus ponens. Se deja al estudiante la vericacin de lo dicho. o

An

Ejemplo 2.- Este ejemplo se reere al intercambio de cuanticadores mencionado en la pgina 55, teorema 1.7.3., literal j. a Veamos que el enunciado, existe un primo que divide a todo entero mayor que 1, es falso. Demostracin: Supongamos que el enunciado es verdadero. Sea p un primo o que divide a todos los enteros mayores que 1, en particular dividir enteros a consecutivos n y n + 1. Pero un conocido resultado arma que dos enteros consecutivos siempre sern primos relativos, (ejercicio 40 en la pgina 43). a a Se obtiene as una contradiccin con un teorema anterior, lo cual prueba que o nuestro enunciado es falso.

tioq uia

49

Entonces, por el carcter de mdulo de e1 , a o

e1 e2 = e2 . e1 e2 = e1 . Segn estas dos igualdades, u e1 = e2 .

As mismo, por el carcter de mdulo de e2 , a o

Es de anotar que una operacin binaria puede no ser modulativa, en cuyo o caso no existe mdulo, pero esto no quiere decir que el enunciado anterior o haya dejado de cumplirse. b)- Tambin puede suceder que se concluya una armacin contraria a un e o teorema anterior de la teor generndose as una contradiccin cuya unica a, a o causa es el supuesto inicial. La conclusin obligada es que no pueden existir o los dos trminos mencionados en el supuesto inicial, lo cual quiere decir que e a lo sumo existe uno, armacin que incluye la posibilidad de que no haya o ninguno. Los enunciados de Existencia Unica se reducen a enunciados de Existencia y Unicidad. Por tal motivo, su demostracin se hace en dos partes. o a)- Demostracin de existencia. Con esta parte se est asegurando que hay o a por lo menos un trmino que verica el enunciado. e b)- Demostracin de unicidad. Con esta parte se est asegurando que a lo o a sumo hay un trmino, y no dos, que verica el enunciado. e Est claro que la conjuncin de estas dos armaciones garantizan que es uno a o y slo uno, el trmino que verica el enunciado. o e

Un iv

Ejemplo:- Si se quiere demostrar que hay un unico primo que es par se asegura la parte de existencia presentando al nmero 2 como un trmino que asegura u e la existencia de primos pares. Para demostrar la parte de unicidad se comienza suponiendo que hay dos primos pares, digamos p y el 2.Como p es par entonces, p = 2k, con k Z,

ersi d

ad

de

An

Luego no pueden existir dos mdulos en A, pus se concluy que se reducen o e o a uno solo. El enunciado ha sido probado. 2

tioq uia

50


1.5. EJERCICIOS SOBRE CUANTIFICADORES.

pero como p es primo, entonces k = 1, de donde resulta p = 2. De esta manera se concluye que a lo sumo hay un primo par. La demostracin queda completa. o 2 CONTRAEJEMPLOS. (x)P es falso.

A veces es necesario demostrar que un enunciado de la forma,

(x)noP

1.5.

Ejercicios sobre cuanticadores.

Expresar la implicacin asociada a cada uno de los siguientes enunciados. o (1 a 5.) Sugerencia: Utilizar letras para representar la(s) variable(s) afectada(s) por el cuanticador Universal. 1. Todo entero mayor que 1, tiene divisores primos. Respuesta: (a Z y a > 1) = (a tiene por lo menos un divisor primo.) 2. Todos los nmeros primos son impares. u 3. Todo entero es primo y todo primo es impar.

Un iv

ersi d

ad

Los contraejemplos ya se hab mencionado antes en este texto, (ver por an ejemplo NOTA en la pgina 23). Lo que se ha hecho en este punto es presentar a su justicacin lgica. o o

de

El procedimiento consiste en presentar un trmino espec e co t para el cual se hace verdadero el enunciado contrario de P , i.e. noP . Este trmino espec e co t se llama un contraejemplo. Como cuando armamos: Todos los nmeros u primos, son impares, armacin que es falsa pues t = 2 es un contraejemplo, o ya que 2 es primo y es par.

An

La demostracin es una simple aplicacin del numeral 1. del teorema 1.7.2 o o (negaciones, pgina 54), en el cual se arma que lo contrario del enunciado a es

tioq uia

51

4. Para todo entero k, existen primos de la forma 4k + 1. 5. El producto de todo nmero par por un impar, es par. u Negar los siguientes enunciados (6 a 16)

6. Si todos los mltiplos de un entero n son pares, entonces n es par. u 7. Algunos primos son de la forma 4k + 1 donde k es un entero.

9. Todo tringulo que sea issceles, tambin es equiltero. a o e a 10. Para algn x R, x + 0 = x. u

11. Existen rombos que no tienen los lados iguales. 12. Existen rombos con 5 lados o existen cuadrados con 3 diagonales. 13. Todas las funciones son continuas y algunas son diferenciables.

15. Todo mltiplo de 3 tambin es mltiplo de 6. u e u

Para el ejercicio siguiente, (el 17), considere el conjunto: B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.}.

como conjunto de referencia.

Un iv

17. Entre los siguientes enunciados (a... q) dar un contraejemplo para los que sean falsos y dar una justicacin para los verdaderos. o b)A lo sumo un x B es tal que x + 1 = 2. c)A lo sumo un x B es tal que 3x = 8. a)Para todo x B, x + 9 < 18.

ersi d

16. a) (x)(y)Q; b) (x)(y)S; c) (x)(y)P .

ad

14. Si algn entero es impar, entonces todos los nmeros primos son imu u pares.

de

An

8. Todo entero es primo y algunos primos son pares.

tioq uia

52


1.5. EJERCICIOS SOBRE CUANTIFICADORES. d)A lo sumo un x B es tal que 4 + x = 9.

f)Existe un z B, y slo uno, tal que z + 3 = 8. o h)Cada elemento de B es < 9. i)Cada elemento de B es > 1. j)Todo elemento de B es primo o es par. k)Para todos los a, b B, a + b > 4. g)Existe un z B tal que z + 2 = 12.

e)Existe a lo sumo un x B y a lo sumo un y B tal que x + y = 12.

n)Existe un c B tal que para todo a B, o)Existe un unico z B tal que z + 2 = 3.

m)Para todo a B existe un c B tal que a + c = 11.

l)Existe un unico x B tal que x es mltiplo de 5. u

q)Existe por lo menos un x B tal que para algn z B, u

p)Existe por lo menos un x B tal que para algn z B, u

de

An

19. Demostrar: Todo entero n 2 que no sea divisible por ningn primo u menor que n, es primo. 20. En este ejercicio considere aquellas letras que representan nmeros, u como nmeros enteros. u Demostrar que los siguientes enunciados (a,... ,m) son falsos: a)Si (a + b) es par, entonces a es par o b es par. b)Si 5 divide a (m + n), entonces 5 divide a m o 5 divide a n. d)Todo nmero impar es mltiplo de 3 o de 5. u u e)Todo nmero par es mltiplo de 4, o de 6, o de 8. u u f)El producto de 3 enteros consecutivos es siempre mltiplo de 4. u g)Entre 5 enteros consecutivos, siempre hay uno que es primo. c)Si 5 divide a mn, entonces 5 divide a m y 5 divide a n.

Un iv

ersi d

ad

18. Demostrar que entre 3 enteros consecutivos, uno y slo uno es divisible o por 3.

tioq uiaa + c = 11.

53

xz 81.

xz 25.

h)Todo nmero par se puede escribir en la forma n2 + 2. u j)Todo nmero par se puede escribir en la forma 4n + 2. u l)Si a | bc entonces ((a | b) o (a | c)).

i)Todo nmero impar se puede escribir en la forma 3n + 1. u k)Si un producto de la forma mn es par, entonces m y n son pares. m)Existe por lo menos un primo que divide a todos los enteros mayores que uno. 21. Sean a y b enteros pares y c y d enteros impares. De las siguientes armaciones, demostrar las que considere verdaderas y dar un contraejemplo para las falsas.

(ac ad) es par;

1.6.

Demostraciones por Induccin. o

Un iv

El mtodo de induccin se emplea para demostrar enunciados que se reeren e o a un conjunto innito de nmeros enteros. Nosotros lo restringiremos a los u enteros positivos, Z+ .

Se puede describir de la siguiente manera: Si un conjunto A de nmeros tiene entre sus elementos al 1 y si cada vez que u en A est el entero positivo k, se puede asegurar que tambin est el siguiente, e e a (k + 1), podemos fcilmente concluir que A contiene a Z. La conclusin es a o

ersi d

9 es divisor de (a2 + b2 ) 9 es divisor de (2a + b)(a 2b)

ad

22. Sea 3 un divisor de a y de b. De las siguientes armaciones, demostrar las que considere verdaderas y dar un contraejemplo para las falsas. 9 es divisor de (a + b2 ) 9 es divisor de a(a + b) .

de

(ab cd) es par; (ac bd)es par; (abc d)es par; (ab cd) es impar; (abc)es mltiplo de 4; (bcd + a)es impar; u

An

(ac + bd)es impar; (ac d b )es impar.

tioq uia

54


fcil si partimos de un conjunto A que satisfaga ambas condiciones, pus al a e estar el 1 en A, tiene que estar el siguiente o sea el 2. De la misma manera, como el 2 est en A tiene que estar el siguiente o sea el 3; como est el 3, a a tambin est el 4 y siguiendo de la misma manera se concluye que en A e a estn el 5, el 6, y as se puede continuar indenidamente, llegndose a la a a conclusin de que en A est cualquier entero positivo por grande que sea, o a i.e., Z est contenido en A. a El mtodo de demostracin por induccin est basado en las dos condiciones e o o a descritas en el prrafo anterior y lo podemos expresar de la siguiente manera: a

1 A. k A = (k + 1) A,

cuyo signicado es el siguiente:

Si la propiedad se verica para un entero positivo k, (esto queda representado por P(k)), entonces tambin se verica para el siguiente (k+1), (lo cual queda e representado por P(k + 1)).

Un iv

Para demostrar esta implicacin, se puede emplear cualquiera de los mtodos o e de demostracin, en particular el mtodo directo, empezando por suponer o e que el enunciado P se cumple para el entero k. Este supuesto es llamado hiptesis de induccin. El propsito que sigue es deducir que la propiedad o o o P se cumple para el entero (k + 1) y una vez logrado este propsito, queda o demostrada la propiedad para todos los enteros positivos.

ersi d

entonces se puede asegurar que el conjunto A es Z+ o contiene a Z+ . La primera de estas condiciones se llama base para la induccin; y la segunda o se llama paso de induccin. o Veamos como se utiliza este principio para demostrar enunciados (propiedades) que se reeren a nmeros enteros. u Sea P una propiedad que tiene que ver con nmeros enteros. Para demostrar u por el mtodo de induccin que esta propiedad P la cumplen, digamos, todos e o los enteros positivos nos aseguramos de que se verique para el 1. Este hecho lo representamos por P(1). Enseguida nos ocupamos de demostrar la implicacin, o P (k) = P (k + 1)

ad

de

An

Si en un conjunto A se verican las dos condiciones siguientes:

tioq uia

1.6. DEMOSTRACIONES POR INDUCCION.

55

Veamos tres ejemplos: Ejemplo 1. (Suma de cuadrados consecutivos.) Demostrar que la suma de n cuadrados consecutivos est dada por la frmula, a o n(n + 1)(2n + 1) 6 siendo n 1; as por ejemplo: Para n = 3, el resultado es

En efecto,

1 + 22 + 32 = 14

Para n = 4 verique la frmula con el resultado de la suma: (1 + 22 + 32 + o 2 4 = 30). Pasemos a la demostracin:- Sea P el enunciado propuesto en . o Vericar el primer punto de la induccin, P(k = 1), es trivial ya que la o suma tiene solamente el primer sumando, lo cual conduce al resultado cierto: 12 = 123 6 El segundo punto de la induccin, llamado el paso de k a (k + 1), consiste en o demostrar la implicacin o

12 +22 +32 + +n2 =

ersi d

Empleando el mtodo directo, supongamos cierto P(k = n), es decir, e n(n + 1)(2n + 1) 6

Intro Calculo2

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