Introdu˘c~ao a Computa˘c~ao Qu^antica · 2019. 10. 25. · Postulado 1: Espa˘co do sistema...

Introducao a Computacao Quantica

Evandro Chagas Ribeiro da Rosa

IATeGCQ-UFSC

Setembro de 2019

Conteudo programatico

Bit Quantico

Circuitos quantico

Notacao de Dirac

Postulado 1: Espaco do sistema

Postulado 4: Sistemas composto

Postulado 2: Evolucao do sistema

Porta logica quantica

Postulado 3: Medida

Exemplos de circuitoEstados de BellTeletransporte quanticoAlgoritmo de Shor

Obrigado

Bit Quantico

Circuitos quantico

Notacao de Dirac





Postulado 3: Medida


Obrigado

Bit QuanticoQubit

|1〉

|0〉+|1〉√2

x

|0〉+i|1〉√2

y|0〉−i|1〉√2

|0〉z

|ψ〉

φ

θ

Figura: Esfera de Bloch.

Bit Quantico

Circuitos quantico

Notacao de Dirac





Postulado 3: Medida


Obrigado

Circuitos quantico

|q0〉 X XLL✙✙✙✙✙✙ ❴❴❴❴❴❴❴❴

✤✤✤✤✤✤✤

❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴

✤✤✤✤✤✤✤

|q1〉 H Z HLL✙✙✙✙✙✙ ❴❴❴❴❴❴❴❴

✤✤✤✤✤✤✤

❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴

✤✤✤✤✤✤✤

|q2〉 H •LL✙✙✙✙✙✙ ❴❴❴❴❴❴❴❴

✤✤✤✤✤✤✤

❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴

✤✤✤✤✤✤✤

•

|q3〉 X ⊕LL✙✙✙✙✙✙ ❴❴❴❴❴❴❴❴

✤✤✤✤✤✤✤

❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴

✤✤✤✤✤✤✤

•Figura: Exemplo de circuito quantico.

Bit Quantico

Circuitos quantico

Notacao de Dirac





Postulado 3: Medida


Obrigado

Notacao de DiracNotacao braket

I |ψ〉 =

α0...αn

I 〈ψ| = |ψ〉† =[α∗0 · · · α∗n

]

I 〈ψ|ϕ〉 =[α0 · · · αn

]β0...βn

= z

I || |ψ〉 || =√〈ψ|ψ〉

Bit Quantico

Circuitos quantico

Notacao de Dirac





Postulado 3: Medida


Obrigado

Postulado 1Espaco do sistema

Postulado 1: Associado a cada sistema quantico fechado ha umespaco de Hilbert, e o estado do sistema etotalmente representado por um vetor unitariopertencente a esse espaco.

Base Computacional

|0〉 =[10

]|ψ〉 = α |0〉+ β |1〉 =

[αβ

]

|1〉 =[01

]|| |ψ〉 || =

√α2 + β2 = 1

Bit Quantico

Circuitos quantico

Notacao de Dirac





Postulado 3: Medida


Obrigado

Postulado 4Sistemas composto

Postulado 4: O estado de um sistema composto e dado peloproduto tensorial dos seus componentes, ou seja, umsistema composto por n sistemas quanticos, nosestados |ψ0〉, |ψ1〉, . . . , |ψn−1〉, tem seu estado totalrepresentado por |ψ0〉 ⊗ |ψ1〉 ⊗ · · · ⊗ |ψn−1〉.

Produto tensorial

|ψ〉 ⊗ |ϕ〉 =[α0

α1

]⊗[β0β1

]=

α0

[β0β1

]

α1

[β0β1

]

=

α0β0α0β2α1β0α1β1

Bit Quantico

Circuitos quantico

Notacao de Dirac





Postulado 3: Medida


Obrigado

Postulado 2Evolucao do sistema

Postulado 2: A evolucao de um sistema quantico fechado edescrita pela aplicacao de um operador unitario, ouseja, a transicao de um estado |ψ〉0 no tempo t0 parao estado |ψ〉1 no tempo t1 pode ser totalmentedescrita por um operador unitario U , sendoU |ψ〉0 = |ψ〉1.

Operador unitario

U †U = UU † = I

Bit Quantico

Circuitos quantico

Notacao de Dirac





Postulado 3: Medida


Obrigado

Portas logicas quanticaPortas de Pauli

X

[0 11 0

]X |0〉 = |1〉X |1〉 = |0〉

Z

[1 00 −1

]Z |0〉 = |0〉Z |1〉 = − |1〉

Y

[0 −ii 0

]Y |0〉 = i |1〉Y |1〉 = −i |0〉

Portas logicas quanticaPortas de fase e Hadamard

S

[1 00 i

]S |0〉 = |0〉S |1〉 = i |1〉

T

[1 0

0 eiπ/4

]T |0〉 = |0〉

T |1〉 = 1+i√2|1〉

H1√2

[1 11 −1

]H |0〉 = (|0〉+ |1〉)/

√2

H |1〉 = (|0〉 − |1〉)/√2

Portas controlada

|ψ〉 • |ψ〉

|ϕ〉 U U |ϕ〉 if |ψ〉 == |1〉 else |ϕ〉

b • b

|ψ〉 U U |ψ〉 if b == 1 else |ψ〉

•X

=•⊕

Bit Quantico

Circuitos quantico

Notacao de Dirac





Postulado 3: Medida


Obrigado

Postulado 3: Uma medida quantica e descrita por um conjunto deoperadores de medida {Mm}, onde o ındice m indicao possıvel resultado da medida. Sendo |ψ〉 o estadologo antes da medida, a probabilidade de medir m e

p(m) = 〈ψ|M †mMm |ψ〉 . (1)

E o estado logo apos a medida igual a

Mm |ψ〉√〈ψ|M †mMm |ψ〉

. (2)

Os operadores de medida precisam satisfazer aseguinte equacao de completude

∑

m

p(m) =∑

m

〈ψ|M †mMm |ψ〉 = 1. (3)

Medida na Base Computacional

Operadores de medida

I M0 =

[1 00 0

]

I M1 =

[0 00 1

]

α |0〉+ β |1〉

p(0) = |α|2 ⇒ α

|α| |0〉

p(1) = |β|2 ⇒ β

|β| |1〉

Bit Quantico

Circuitos quantico

Notacao de Dirac





Postulado 3: Medida


Obrigado

Estados de BellExemplos de circuitos

|x〉 H •

|y〉 ⊕

|βxy〉

Figura: Circuito para gerar os estados de Bell

Teletransporte quanticoExemplos de Circuitos

|ψ〉 • HLL✙✙✙✙✙✙ ❴❴❴❴❴❴❴❴

✤✤✤✤✤✤✤

❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴

✤✤✤✤✤✤✤

•

⊕LL✙✙✙✙✙✙ ❴❴❴❴❴❴❴❴

✤✤✤✤✤✤✤

❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴

✤✤✤✤✤✤✤

•

X Z |ψ〉

↑ ↑ ↑

|ψ0〉 |ψ1〉 |ψ2〉

|β00〉

|ψ0〉 = |ψ〉 |β00〉 =1√2[α |0〉 (|00〉+ |11〉) + β |1〉 (|00〉+ |11〉)]


|ψ〉 • HLL✙✙✙✙✙✙ ❴❴❴❴❴❴❴❴

✤✤✤✤✤✤✤

❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴

✤✤✤✤✤✤✤

•

⊕LL✙✙✙✙✙✙ ❴❴❴❴❴❴❴❴

✤✤✤✤✤✤✤

❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴

✤✤✤✤✤✤✤

•

X Z |ψ〉

↑ ↑ ↑

|ψ0〉 |ψ1〉 |ψ2〉

|β00〉

|ψ0〉 = |ψ〉 |β00〉 =1√2[α |0〉 (|00〉+ |11〉) + β |1〉 (|00〉+ |11〉)]

|ψ1〉 =1√2[α |0〉 (|00〉+ |11〉) + β |1〉 (|10〉+ |01〉)]


|ψ〉 • HLL✙✙✙✙✙✙ ❴❴❴❴❴❴❴❴

✤✤✤✤✤✤✤

❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴

✤✤✤✤✤✤✤

•

⊕LL✙✙✙✙✙✙ ❴❴❴❴❴❴❴❴

✤✤✤✤✤✤✤

❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴

✤✤✤✤✤✤✤

•

X Z |ψ〉

↑ ↑ ↑

|ψ0〉 |ψ1〉 |ψ2〉

|β00〉

|ψ1〉 =1√2[α |0〉 (|00〉+ |11〉) + β |1〉 (|10〉+ |01〉)]

|ψ2〉 =1

2[α(|0〉+ |1〉)(|00〉+ |11〉) + β(|0〉 − |1〉)(|10〉+ |01〉)]


|ψ〉 • HLL✙✙✙✙✙✙ ❴❴❴❴❴❴❴❴

✤✤✤✤✤✤✤

❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴

✤✤✤✤✤✤✤

•

⊕LL✙✙✙✙✙✙ ❴❴❴❴❴❴❴❴

✤✤✤✤✤✤✤

❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴

✤✤✤✤✤✤✤

•

X Z |ψ〉

↑ ↑ ↑

|ψ0〉 |ψ1〉 |ψ2〉

|β00〉

|ψ2〉 =1

2[|00〉 (α |0〉+ β |1〉) + |01〉 (α |0〉 − β |1〉)+ |10〉 (α |1〉+ β |0〉) + |11〉 (α |1〉 − β |0〉)]

QSystemA quantum computing simulator for Python

I pip install QSystem==1.2.0b1

I pip install jupyter

I jupyter notebook

Algoritmo de ShorExemplos de circuito

Entrado: n ∈ N a ser fatorado

1. Selecione aleatoriamente um numero a coprimo a n

2. Ache o perıodo r da funcao f(x) = ax mod n

|reg1〉 = |0〉 H

U

QFTLL✙✙✙✙✙✙ ❴❴❴❴❴❴❴❴

✤✤✤✤✤✤✤

❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴

✤✤✤✤✤✤✤

|reg2〉 = |0〉LL✙✙✙✙✙✙ ❴❴❴❴❴❴❴❴

✤✤✤✤✤✤✤

❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ❴

✤✤✤✤✤✤✤

Figura: U : |x〉 |0〉 → |x〉 |ax mod n〉

3. p = gcd(ar/2 + 1, n), q = gcd(ar/2 − 1, n)

Retorno: p, q

Bit Quantico

Circuitos quantico

Notacao de Dirac





Postulado 3: Medida


Obrigado

Obrigado

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