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Carlos Mario Morales C ©2012

Introducción a las Matemáticas Financieras

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UNIDAD 3: ANUALIDADES Y GRADIENTES OBJETIVO

Al finalizar la unidad los estudiantes estarán en capacidad de calcular operaciones financieras en las cuales la contraprestación se hace a través de cuotas periódicas. Para esto deducirá los modelos matemáticos para calcular el valor actual, futuro, interés y número de pagos para diferentes tipos de operaciones y aplicará estos en situaciones de la vida empresarial.

CONTENIDO

1. Anualidades 2. Anualidades anticipadas 3. Anualidades diferidas 4. Anualidades perpetuas 5. Gradientes 6. Ejercicios resueltos 7. Ejercicios propuestos

Anualidades y gradientes

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Introducción

Es corriente que se pacte entre el deudor y acreedor el pago de una obligación financiera

en cuotas periódicas a una tasa de interés, durante un tiempo determinado. Cuando las

cuotas son constantes la operación recibe el nombre de anualidad, por el contrario si las

cuotas son cambiantes se le denomina gradiente. Cuando, por ejemplo, una persona

compra un automóvil pagado una cuota inicial y el resto del dinero en cuotas mensuales

iguales durante un tiempo determinado, se configura una operación financiera de

anualidades; si por el contrario las cuotas crecen con la inflación por ejemplo, la operación

se denomina gradiente.

Anualidad o gradiente es un sistema de pagos a intervalos iguales de tiempo; de esta

forma, no significa pagos anuales, sino pagos a intervalo regular; definida así en la vida

cotidiana se encuentran innumerables ejemplos de este tipo de operaciones: el pago de

dividendos, los fondos de amortización, los pagos a plazos, los pagos periódicos a las

compañías de seguros, los sueldos, y en general todo tipo de renta son, entre otros,

ejemplos de anualidades o gradientes.

En este tipo de operaciones se distinguen los siguientes elementos: la renta o pago, el

periodo de pago o de renta, el tiempo o plazo y la tasa de interés. La renta se define como

el pago periódico, también denominado como cuota o deposito. El periodo de renta es el

tiempo que se fija entre dos pagos consecutivos; el tiempo o plazo de la operación es el

intervalo de tiempo que sucede desde el inicio del primer periodo de pago y el final del

último. Finalmente la tasa de interés es el tipo de interés que se acuerda en la operación.

Dependiendo de la forma como se pacten los montos y periodos de pago las operaciones

se pueden clasificar en ordinarias, variables, anticipadas, diferidas, perpetuas. En esta

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unidad de aprendizaje se analizan cada una de ellas determinándose los modelos

matemáticos que permiten simular y analizar estos tipos de operación financiera.

1. Anualidades

Son operaciones financieras en las cuales se pacta el cubrimiento de las obligaciones en

una serie de pagos periódicos iguales que cumple con las siguientes condiciones:

Los pagos (rentas) son de igual valor.

Los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo

A todos los pagos (rentas) se les aplica la misma tasa de interés

El número de pagos y periodos pactados es igual

Las anualidades que cumplen con estas condiciones son las ordinarias o vencidas y las

anticipadas. Los modelos matemáticos que se deducen para el cálculo y análisis de este

tipo de anualidades tienen en cuenta las anteriores condiciones; por lo cual, es necesario

que al momento de aplicarse las formulas a situaciones particulares, se asegure que se

cumplan dichas condiciones.

Ejemplo 1.

Determinar si el siguiente sistema de pagos corresponde a una anualidad.

Respuesta El sistema de pagos no corresponde a una anualidad ya que no obstante los pagos son iguales y se hacen a intervalos de tiempo igual, el número de pagos no es igual al número de periodos

0 1 2 3 4 5 6

A A A A A A A

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Ejemplo 2.


Respuesta Si se supone que la tasa de interés que se aplica a cada pago es la misma, se puede afirmar que el sistema corresponde a una anualidad teniendo en cuenta que los pagos son iguales, se hacen a intervalo de tiempo igual y los periodos pactados corresponden al número de pagos. Es la forma general de una anualidad ordinaria o vencida

Ejemplo 3.


Respuesta El sistema de pagos no corresponde a una anualidad ya que no obstante que el número de pagos es igual al número de periodos y los intervalos de tiempo son iguales los pagos no son iguales.

Ejemplo 4.


0 1 2 3 4 5 6

A A A A A A

0 1 2 3 4 5 6

A A A´ A´´ A A

0 1 2 3 4 5 6

A A A A A A

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Respuesta Si se supone que la tasa de interés que se aplica a cada pago es la misma, se puede afirmar que el sistema corresponde a una anualidad teniendo en cuenta que los pagos son iguales, se hacen a intervalo de tiempo igual y los periodos pactados corresponden al número de pagos. Es la forma general de una anualidad anticipada

1.1 Valor presente de la anualidad

Para la deducción del modelo matemático se considera una operación en la cual un

préstamo se paga en cuotas iguales , a una tasa de interés efectiva por periodo ,

durante periodos. La situación se muestra en la grafica No 7.

GRAFICA NO 7 – VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD

Para calcular el valor presente se utiliza la formula (12), considerando cada valor de A

como un valor futuro y sumando todos los resultados en 0.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Factorizando A, se obtiene:

[

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ] ( )

Multiplicando esta por el factor

( ) , esto da como resultado la siguiente ecuación:

0 1 2 3 n-2 n-1 n

A

Vp

i

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7

( ) [

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ] ( )

Restando la ecuación (a) de la (b), se obtiene:

( ) [

( )

( ) ]

Despejando de este resultado el Vp, se obtiene:

[

( ) ]

La cual también se puede expresar como:

[ ( )

] ( )

Donde:

El factor [ ( )

] suele nombrarse como: ( ⁄ ). Este significa el factor para

hallar , dado el pago o renta , la tasa de interés efectiva a la cual son trasladados los

pagos al valor inicial y el número de pagos . La formula (23) se puede escribir en notación

clásica, como:

( ⁄ ) ( )

Ejemplo 5.

Un pequeño empresario para reponer su equipo de producción hoy, está en capacidad de realizar 36 pagos de $2´000.000 mensuales, a partir del próximo mes; si el banco que financia la operación cobra una tasa de interés del 24% N-m. ¿De cuánto dinero dispondrá para la reposición de los equipos?

Solución

Parámetros

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o Pagos: $2´000.000 o Numero de pagos: 36 o Tasa de interés: 24% N-m

Representación gráfica

Para determinar lo que el pequeño empresario tendrá disponible para reposición de equipos, se debe hallar el valor presente de los pagos mensuales. En la siguiente gráfica se representa la operación:

Cálculos

Para determinar el valor presente, lo primero que se debe hacer es hallar la tasa efectiva mensual a partir de la tasa nominal, para esto se utiliza la formula (15):

Teniendo la tasa efectiva de interés se procede a calcular el valor presente, considerando ( ⁄ ). Nótese que la tasa efectiva de interés coincide

los periodos en los cuales se realiza los pagos. El calculo se realiza utilizando la formula (23)

[ ( )

]

[ ( )

]

Respuesta El pequeño empresario dispondrá de para la reposición de los equipos.

0 1 2 3 34 35 36

2´000.000

Vp =¿?

j = 24%N-m

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1.2 Pagos o renta a partir del valor presente

De la ecuación (23) se puede deducir el factor para hallar , dado el valor presente , o lo

que es igual ( ⁄ ).

[

( ) ] ( )

( ⁄ ) ( )

Los símbolos tienen el mismo significado que en la ecuación (23)

Ejemplo 6.

Una persona desea comprar un automóvil que tiene un precio de $64´000.000 a través de un crédito. Si la empresa de financiamiento ofrece las siguientes condiciones: préstamo del 90% del valor total en cuotas iguales durante 60 meses y una tasa efectiva de interés del 0,95% EM, ¿Cuál será el valor de la cuota mensual?

Solución

Parámetros o Valor del automóvil: $64´000.000 o Financiación: 90% del valor total o Numero de pagos: 60 o Tasa de interés: 0,95% EM


Considerando que solo se financia el 90% del valor del vehículo el préstamo debe ser por un valor de:

𝑃

En la siguiente gráfica se representa la operación:

Cálculos

Para determinar el valor de los pagos mensuales, ( ⁄ ), para lo cual se aplica

0 1 2 3 58 59 60

A= ¿?

Vp =57´600.000

i = 0,99% EM

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directamente la formula (25), considerando la tasa efectiva de interés mensual:

[

( ) ]

[

( ) ]

Respuesta El valor de la cuota mensual será de $

1.3 Pagos o renta con base en el valor futuro

Igual que se hizo en el la deducción anterior, para determinar este modelo, se considera

una operación en la cual el valor final es equivalente a pagos iguales , a una tasa de

interés efectiva por periodo , durante periodos. La situación se muestra en la grafica No

8.

GRAFICA NO 8 – VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD

Para determinar el valor futuro ( ⁄ ) remplazamos en la formula (24) el valor

presente en función del valor futuro, formula (12).

( ) ( )

[

( ) ] ( )

Remplazando ( ) en ( ), se obtiene:

( ) [

( ) ]

0 1 2 3 n-2 n-1 n

A

Vf

i

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[

( ) ] ( )

( ⁄ ) ( )

Ejemplo 8.

De cuánto deberá ser el ahorro mensual de una persona que proyecta adquirir una casa de $100´000.000 dentro de cinco años, si la fiducia le asegura una tasa de interés efectiva mensual del 0,7%.

Solución

Parámetros o Valor futuro: $100´000.000 o Numero de pagos: 5 años = 60 meses (inicia un mes después de tomar la decisión) o Tasa de interés: 0,7% EM



Cálculos

Para determinar los pagos del ahorro ( ⁄ ) se aplica directamente la formula

(26), considerando la tasa efectiva de interés mensual:

[

( ) ]

[

( ) ]

Respuesta Se deberá realizar un ahorro de $ mensual

0 1 2 3 58 59 60

A= ¿?

Vf =100´000.000

i = 0,7 EM

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1.4 Valor futuro de la Anualidad

De la formula (26) se puede determinar el valor futuro en función de los pagos, así:

[( )

] ( )

( ⁄ ) ( )

Ejemplo 7.

Un padre de familia quiere conocer de cuánto dispondrá para la educación superior de su hijo, si inicia un ahorro mensual de 300.000, un mes antes de que cumpla 10 años y hasta cuando cumpla 18, edad en la cual estima iniciara los estudios universitarios; la fiducia donde se realiza el ahorro asegura una de interés del 10% N-m

Solución

Parámetros o Valor de los pagos: $300.000 o Numero de pagos: 8 años = 96 meses o Tasa de interés: 10% N-m



Cálculos

Para determinar el valor futuro del ahorro ( ⁄ ) inicialmente se debe hallar la

tasa de interés efectiva mensual, para esto se aplica la formula (15), considerando que la tasa de interés que ofrece la fiducia esta expresa en nominal:

Con esta tasa de interés efectiva se puede calcular, ( ⁄ ), para lo cual se aplica

directamente la formula (28), considerando la tasa efectiva de interés mensual:

0 1 2 3 94 95 96

A= 300.000

Vf =¿?

j = 10% N-m

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[( )

]

[( )

]

Respuesta El Padre de familia dispondrá de $ cuando su hijo cumpla 18 años

1.5 Número de pagos con base en el valor futuro

Si se conocen el , los pagos , y la tasa de interés , de la ecuación (28) se puede

determinar el valor de ; es decir, el número de pagos. Lo mismo se podría hacer a partir

de la ecuación (23) cuando se conocen , los pagos , y la tasa de interés . A

continuación se deduce la formula para calcular el valor de , a partir de la ecuación (28).

[( )

]

( )

( )

Aplicando logaritmo en ambos lados de la ecuación se obtiene:

( ( ) ) ( )

Por propiedades de los logaritmos, se obtiene:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Despejando , se obtiene:

( )

( ) ( )

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Ejemplo 8.

Cuántos pagos semestrales de $600.000 deberá realizar un padre de familia para pagar la universidad de su hijo que en futuro estima le costará $4´500.000; el banco reconoce por este tipo de ahorros una tasa de interés del 7% N-s

Solución

Parámetros o Valor futuro: 4´500.000 o Valor de los pagos: $600.000 o Tasa de interés: 7% N-s



Cálculos

Inicialmente se hallar la tasa de interés efectiva semestral aplicando la formula (15), considerando que la tasa de interés nominal que cobra el banco:

Con esta tasa de interés efectiva, el valor futuro , y el valor de los pagos se puede

determinar el valor de para lo cual se aplica directamente la formula (30), considerando la tasa efectiva de interés semestral:

( )

( )

( ) ( )

( )

Esta respuesta indica que deben hacerse 6,77 pagos semestrales. No obstante, desde el punto de vista practico el ahorrador (deudor) tiene dos opciones: a) Terminar de ahorrar (pagar) en el semestre 6, aumentando el último pago

0 1 2 3 n-2 n-1 n

A= 600.000

Vp=4´500.000

j = 7% N-s

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b) O terminar de ahorrar (pagar) en el semestre 7, disminuyendo el ultimo pago Respuesta Se deben realizar 6 o 7 pagos.

1.6 Número de pagos con base en el valor presente

Si se conocen el , los pagos , y la tasa de interés , de la ecuación (23) se puede

determinar el valor de ; es decir, el número de pagos. A continuación se deduce la

fórmula para calcular el valor de , a partir de la ecuación (23).

[ ( )

]

[ ( ) ]

( )

( )

( )

Aplicando logaritmo en ambos lados de la ecuación, se obtiene:

( ) ( )

( )

( ) ( )

Ejemplo 9.

Cuántos pagos semestrales de $600.000 deberá realizar un padre de familia para pagar la universidad de su hijo que hoy día cuesta $4´500.000; el banco cobra tasa de interés del 3,5% ES

Solución

Parámetros o Valor presente: 4´500.000 o Valor de los pagos: $600.000 o Tasa de interés: 3,5% ES

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Cálculos

El número de pagos se puede calcular directamente de la formula (31), considerando la tasa efectiva de interés semestral:

( )

( )

( )

( )

Esta respuesta indica que deben hacerse 8,85 pagos semestrales. No obstante, desde el punto de vista practico el ahorrador (deudor) tiene dos opciones: a) Terminar de ahorrar (pagar) en el semestre 8, aumentando el último pago b) O terminar de ahorrar (pagar) en el semestre 9, disminuyendo el último pago Respuesta Se deben realizar 8 o 9 pagos.

1.7 Tasa efectiva de interés a partir del valor presente

Cuando se tienen los demás elementos de la anualidad, es decir: el valor presente o

valor futuro , el valor y numero de pagos se puede determinar el valor de la tasa de

interés a partir de la formula (23) o (28). No obstante por tratarse de ecuaciones con más

de una raíz, no es posible hallar la solución analíticamente; por esta razón se debe utilizar

un método de tanteo y error.

[ ( )

]

0 1 2 3 n-2 n-1 n

A= 600.000

Vp=4´500.000

i = 3,5% ES

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[( )

]

La forma de proceder en estos casos, es la siguiente:

a) Se asigna un valor inicial a la tasa de interés y se calcula la ecuación.

b) Si el valor es menor que la igualdad entonces se disminuye la tasa y se vuelve

a calcular, en caso contrario se aumenta la tasa y se vuelve a calcular

c) Cuando se logre determinar dos valores, uno mayor y otro menor, suficientemente

aproximados a los valores de la igualdad, se procede a calcular la tasa de interés por

interpolación.

Con el siguiente ejemplo se ilustra el anterior procedimiento:

Ejemplo 10.

Si una compañía de pensiones ofrece, por un pago inmediato de $90 millones, una renta de $5 millones durante 30 años. ¿Qué tasa de interés está reconociendo?

Solución

Parámetros o Valor presente: 90´000.000 o Valor de los pagos: $5´000.000 o Numero de pagos: 30 anuales



Cálculos

Para determinar la tasa de interés se parte de la formula (23):

[ ( )

]

0 1 2 3 28 29 30

A= 5´000.000

Vp=90´000.000

i = ¿? EA

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De acuerdo al procedimiento descrito se le da valor inicial a la tasa (efectiva anual) y se calcula el valor del lado derecho, así para un valor de , se obtiene:

Considerando que el valor de la derecha es mucho mayor al lado izquierdo, aumentamos el valor de y se vuelve a calcular. En este caso se calcula para , obteniendo:

Considerando que el valor de la derecha es mayor al lado izquierdo, aumentamos el valor de y se vuelve a calcular. En este caso se calcula para , obteniendo:

Considerando que en este caso el valor de la menor al lado derecho, se puede concluir que la tasa de interés está entre 3% y 4%. El valor exacto se calcula por interpolación como se indica a continuación:

98´002.206,75 3%

90´000.000 X

86´460.166,50 4%

Aplicando una sencilla regla de tres: si para una diferencia entre 98´002.206,75 y 86´460.166,50, existe una diferencia del 1%; que diferencia en % habrá para diferencia entre 98´002.206,75 y 90´000.000, así se obtiene la fracción que sumada a 3% completa la tasa de interés.

Sumando el resultado a 3%, se obtiene la tasa de interés buscada: 3,693%

Este resultado se puede comprobar remplazando este valor en la ecuación (23) y verificando que se cumple la igualdad.

[ ( )

]

Respuesta La compañía de pensiones reconoce una tasa efectiva anual de: 3,693%

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2. Anualidades anticipadas

En los negocios es frecuente que los pagos se efectúen al comienzo de cada periodo; es el

caso de los arrendamientos, ventas a plazos, y contratos de seguros, este tipo de

operaciones financieras reciben el nombre de anualidades anticipadas.

Una anualidad anticipada es una sucesión de pagos o rentas que se efectúan o vencen al

principio del periodo del pago. En la gráfica No 9 se comparan las anualidades vencidas y

anticipadas

GRAFICA NO 9 – COMPARACIÓN DE ANUALIDADES VENCIDAS Y ANTICIPADAS

2.1 Valor presente de las anualidades anticipadas


préstamo se paga en cuotas iguales , a una tasa de interés efectiva por periodo ,

durante periodos, desde el periodo 0. La situación se muestra en la grafica No 10.

GRAFICA NO 10 – VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA

Si se analiza la operación se puede afirmar que el valor presente en este caso se puede

determinar como la suma de y el valor presente de una anualidad durante n-1 periodos.

. . . 0

1 2 3 n-2 n-1 n

Anualidad Vencida

2 3 1 n-1 n

Anualidad Anticipada

0 1 2 3 n-2 n-1 n

A

𝑽 𝒑

i

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[ ( ) ( )

]

[ ( ) ( )

] ( )

Ejemplo 11.

El contrato de arriendo de una oficina fija pagos de $4´000.000 mensuales al principio de cada mes, durante de un año. Si se supone un interés del 2,5% efectivo anual; ¿Cuál será el pago único al inicio del contrato que cubre todo el arriendo?

Solución

Parámetros o Valor de los pagos anticipados: $4´000.000 o Numero de pagos: 12 mensuales o Tasa de interés efectiva mensual: 2,5%



Cálculos

Para determinar el valor presente de la anualidad anticipada se aplica directamente la formula (32):

[ ( ) ( )

]

[ ( ) ( )

]

Respuesta El valor total del contrato al momento de su firma es:

0 1 2 3 10 11 12

A= 4´000.000

𝑉𝑝 =¿?

i = 2,5% EM

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2.2 Valor futuro de las anualidades anticipadas

Para la deducción del modelo matemático se considera una operación en la cual un ahorro

se paga en cuotas iguales , a una tasa de interés efectiva por periodo , durante

periodos, desde el periodo 0. La situación se muestra en la grafica No 11.

GRAFICA NO 11 – VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA

Si se analiza la operación se puede afirmar que el valor futuro de la anualidad anticipada

es igual al valor futuro de la anualidad durante n periodos (desde -1 hasta n-1) trasladada

1 periodo, ha través de la formula (11), hasta el periodo n.

[( )

] ( ) ( )

Ejemplo 12.

Una empresa arrienda una bodega que tiene de sobra por $5´000.000 mensuales, los cuales se pagan de manera anticipada. Si cada que recibe el arriendo lo coloca en un fondo de inversiones que promete una tasa de interés del 2% EM. ¿Cuánto podrá retirar al cabo de un año?

Solución

Parámetros o Valor de los pagos anticipados: $5´000.000 o Numero de pagos: 12 mensuales o Tasa de interés efectiva mensual: 2%



0 1 2 3 n-2 n-1 n

A

𝑽 𝒇

i

-1

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Cálculos

Para determinar el valor futuro de la anualidad anticipada se aplica directamente la formula (33):

[( )

] ( )

[( )

] ( )

Respuesta El valor ahorrado por el empresario al cabo de un año es:

3. Anualidades diferidas

Hasta el momento se ha considerado que el pago de las rentas se inicia inmediatamente

después de que se plantea la operación; no obstante, existen transacciones donde los

pagos o rentas se realizan después de haber pasado cierta cantidad de periodos, en estos

casos la operación se denomina anualidad diferida. En la gráfica No 12 se ilustran este tipo

de actividades.

GRAFICA NO 12 –ANUALIDAD DIFERIDA

0 1 2 3 10 11 12

A= 5´000.000

𝑉𝑓 =¿?

i = 2% EM

1 2 3 n-3 n-2 n-1 n

A

𝑽𝒑

i

0

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3.1 Valor presente de las anualidades diferidas

En este caso se halla el valor presente de la anualidad en un periodo antes de iniciarse los

pagos, utilizando para ello la formula (23), el valor hallado se traslada al periodo 0

utilizando para ello la formula (12)

Ejemplo 12.

Una empresa acepta que un cliente le pague el valor de una compra realizada el día de hoy, en seis cuotas mensuales de $800.000 a partir del séptimo mes. Si la empresa aplica una tasa efectiva de interés del 2,5% EM, ¿Cuál será el valor de la venta?

Solución

Parámetros o Valor de los pagos: $800.000 o Numero de pagos: 6 mensuales, a partir del mes 7 o Tasa de interés efectiva mensual: 2,5%



Cálculos

Para determinar el valor presente inicialmente calculamos el valor presente de la anualidad en el periodo 6, utilizando para ello la ecuación (23):

[ ( )

]

[ ( )

]

Este valor se traslada al periodo 0, para esto se utiliza la formula (12)

1 2 3 7 8 9 10

800.000

𝑽𝒑 ¿ ?

i = 2,5%

0 11 12

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( )

( )

Respuesta El valor de la venta realizada por la empresa es:

3.2 Valor futuro de las anualidades diferidas

En este caso se halla el valor presente de la anualidad un periodo antes de iniciarse los

pagos, utilizando para ello la formula (23), el valor hallado se traslada al periodo n

utilizando para ello la formula (11)

Ejemplo 13.

Si un padre inicia un ahorro mensual de $50.000, cuando su hijo cumple 1 año, ¿Cuál será el valor ahorrado, cuando este cumpla 18 años, si el banco donde hace el deposito le reconoce un interés anual del 0,6% EM?

Solución

Parámetros o Valor de los pagos: $50.000 o Numero de pagos: 204 mensuales, a partir del mes 12 o Tasa de interés efectiva mensual: 0,6%



Cálculos

Para determinar el valor futuro inicialmente calculamos el valor presente de la

1 11 12 211 212 213 214

50.000

𝑽𝒇 ¿ ?

i = 0,6%

0 215 216

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anualidad en el periodo 11, utilizando para ello la ecuación (23):

[ ( )

]

[ ( )

]

Este valor se traslada al periodo 216, para esto se utiliza la formula (11)

( )

( )

Respuesta El valor del ahorro cuando el hijo cumpla 18 años es :

4. Anualidades perpetuas

Cuando el número de pagos de una anualidad es muy grande, o cuando no se conoce con

exactitud la cantidad de pagos se dice que la anualidad es perpetua.

Al deducirse los modelos matemáticos se debe tener en cuenta que solo existe el valor

presente ya que por tratarse de una anualidad perpetua el valor futuro de este tipo de

anualidades sería infinito.

Partiendo del valor presente de la anualidad formula (23) se puede hallar el limite cuando

n tiende a infinito, teniendo en cuenta la definición de anualidad perpetua.

[ ( )

]

im A →∞

[ ( )

] im

→∞

( )

Ejemplo 14.

El consejo municipal de Santa Fe de Antioquia resuelve crear un fondo para proveer a perpetuidad las reparaciones del puente colonial de esa población que se estima tendrá un costo anual de $91 millones de pesos, doce años después de una reparación general. ¿Cuánto se deberá colocar en el fondo al momento de terminar la reparación general, si

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la tasa de interés de colocación del mercado es del 7% anual?

Solución

Parámetros o Valor de los pagos: $91 millones o Numero de pagos: infinitos, a partir del año 12 o Tasa de interés efectiva anual: 7%



Cálculos

Lo que habrá que depositar en el fondo será igual al valor presente de la anualidad perpetua calculada en el año 11, para lo cual se utiliza la formula (34), y este valor trasladado al momento 0, que es donde se supone se termino la reparación general, para esto se utiliza la formula (12):

( )

( )

Respuesta En el fondo se deben colocar:

1 11 12 13 14 15 n-2

91 millones

𝑽𝒑 ¿ ?

i = 7% EA

0 n-1 ∞

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5. Gradientes

Son operaciones financieras en las cuales se pacta cubrir la obligación en una serie de

pagos periódicos crecientes o decrecientes que cumplen con las siguientes condiciones:

Los pagos cumplen con una ley de formación

Los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo

A todos los pagos (rentas) se les aplica la misma tasa de interés

El número de pagos y periodos pactados es igual

La ley de formación, la cual determina la serie de pagos, puede tener un sinnúmero de

variantes; no obstante, en la vida cotidiana las más utilizadas son el gradiente aritmético y

el geométrico; las cuales a su vez pueden generar cuotas crecientes o decrecientes.

Como el lector ya lo habrá deducido, las anualidades son casos particulares de los

gradientes donde el crecimiento es cero, lo que causa que los pagos sean todos iguales;

entonces igual que el caso de la anualidad los modelos matemáticos que se deducen para

el cálculo y análisis de los gradientes tienen en cuenta las anteriores condiciones por lo

cual, es necesario que al momento de aplicarse las formulas a situaciones particulares, se

asegure que se cumplan dichas condiciones

5.1 Gradiente aritmético

Para el gradiente aritmético, la ley de formación indica que cada pago es igual al anterior,

más una constante ; la cual puede ser positiva en cuyo caso las cuotas son crecientes,

negativa lo cual genera cuotas decrecientes. En el caso de que la constante sea cero, los

pagos son uniformes, es decir se tiene el caso de una anualidad.

5.1.1 Ley de formación

Considerando que los pagos en cada periodo serán diferentes, entonces estos se

identificaran con un subíndice que indica el consecutivo del pago.

De acuerdo a la ley de formación, en este caso, cada pago será igual al anterior más una

constante, así como se muestra a continuación:

Glo

sari

o d

e té

rmin

os

28

𝑃

( )

5.1.2 Valor presente de un gradiente aritmético


préstamo se paga en una serie de cuotas formada a través de un gradiente aritmético, a

una tasa de interés efectiva por periodo , durante periodos. La situación se muestra en

la grafica No 13.

GRAFICA NO 13 – VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMÉTICO

Para calcular el valor presente se utiliza la formula (12), considerando cada valor de las

cuotas y sumando todos los resultados en 0.

( )

0 1 2 3 n-2 n-1 n

𝑨𝟏

Vp

i

𝑨𝟏 𝒌 𝑨𝟏 𝟐𝒌

𝑨𝟏 (𝒏 𝟑)𝒌

𝑨𝟏 (𝒏 𝟐)𝒌 𝑨𝟏 (𝒏 𝟏)𝒌

Glo

sari

o d

e té

rmin

os

29

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

Rescribiendo la ecuación se obtiene el siguiente resultado:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

De la anterior expresión se puede concluir que la primera parte, las fracciones con

numerador corresponde al valor presente de la anualidad y que las otras expresiones

tienen como factor común K; de esta forma la ecuación se puede escribir como:

[ ( )

] [

( )

( )

( )

( ) ] ( )

Supongamos que el factor de es igual , es decir:

[

( )

( )

( )

( ) ]

Si multiplicamos la ecuación anterior por ( ), entonces se obtiene:

( ) [

( )

( )

( )

( )( )]

Si se resta ( ) de , se obtiene:

( ) [

( )

( )

( )

( )( )] [

( )

( )

( )

( ) ]

( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

[ ( )

]

( )

Glo

sari

o d

e té

rmin

os

30

[ ( )

]

( ) ( )

Remplazando (b) en (a), se obtiene:

[ ( )

]

[ ( )

( ) ] ( )

Ejemplo 15.

Un padre de familia esta dispuesto a realizar el ahorro que se muestra en la grafica; de cuánto debería ser la inversión hoy para igualar dicho ahorro, sí el banco reconoce una tasa de interés del 5% semestral.

Solución

Parámetros o Valor del pago inicial: $800.000 o Numero de pagos: 6 semestrales o Tasa de interés efectiva anual: 5% ES o El gradiente tiene un crecimiento de $200.000, es decir

Cálculos

Para hallar el equivalente del ahorro se debe calcular el valor presente del gradiente, para lo cual se utiliza la formula (35):

[ ( )

]

[ ( )

( ) ]

0 1 2 3 4 5 6

𝟖𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎

Vp = ¿?

i =5%

𝟏 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟏 𝟐𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎

𝟏 𝟒𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎

𝟏 𝟔𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟏 𝟖𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎

Glo

sari

o d

e té

rmin

os

31

[ ( )

]

[ ( )

( ) ]

Respuesta El valor equivalente del ahorro al día de hoy es:

5.1.3 Valor futuro de un gradiente aritmético

Para hallar el valor futuro ( ), basta remplazar el valor presente ( ) del gradiente,

formula (37), en la formula (11).

( )

[ ( )

]

[ ( )

( ) ]

[( )

]

[( )

] ( )

Ejemplo 15.

¿Qué valor recibirá una persona que realiza el ahorro semestral que se indica en la gráfica? El banco donde se realiza el ahorro reconoce una tasa de interés del 6% semestral.

Solución

Parámetros o Valor del pago inicial: $800.000 o Numero de pagos: 6 semestrales

0 1 2 3 4 5 6

𝟖𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎

Vf = ¿?

i

𝟏 𝟑𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟏 𝟖𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎

𝟐 𝟑𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎

𝟐 𝟖𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟑 𝟑𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎

Glo

sari

o d

e té

rmin

os

32

o Tasa de interés efectiva anual: 6% ES o El gradiente tiene un crecimiento de $500.000, es decir

Cálculos

Para hallar el valor final del ahorro se debe calcular el valor futuro del gradiente , para lo cual se utiliza la formula (38):

[( )

]

[( )

]

[( )

]

[( )

]

Respuesta El valor final del ahorro es:

5.1.4 Valor presente de un gradiente aritmético infinito

Cuando se habla de pagos de gradientes matemáticos infinitos, solo tiene sentido hablar

del valor presente, como equivalente de dichos pagos. La principal aplicación de dicha

serie es el cálculo del costo de capital.

GRAFICA NO 14 – VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMÉTICO INFINITO

Modelo matemático

0 1 2 3 4 … ∞

𝑨𝟏

Vp = ¿?

i

𝑨𝟐 𝑨𝟑

𝑨𝟒

Glo

sari

o d

e té

rmin

os

33

Planeando la ecuación de valor de la serie se obtiene:

im →∞

[ [ ( )

]

[ ( )

( ) ]]

im →∞

[ ( )

] im

→∞

[ ( )

] im

→∞

[

( ) ]

[ ]

( )

Ejemplo 16.

¿Qué valor deberá cancelar una persona un año antes de su retiro para recibir anualmente una pensión de 30 millones, la cual se incrementara 2 millones cada año? El fondo de pensiones reconoce una tasa de interés del 6,5% anual.

Solución

Parámetros o Valor del pago inicial: $30´000.000 o Numero de pagos: infinitos o Tasa de interés efectiva anual: 6,5% EA o El gradiente tiene un crecimiento de $2´000.000, es decir

Cálculos

Para hallar el valor inicial que debe colocar la persona se debe calcular el valor presente del gradiente infinito , para lo cual se utiliza la formula (37):

0 1 2 3 4 … ∞

𝟑𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎

Vp = ¿?

i = 6,5 %

𝟑𝟐 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟑𝟒 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎

𝟑𝟔 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎

Glo

sari

o d

e té

rmin

os

34

( )

Respuesta El futuro pensionado deberá cancelar :

5.2 Gradiente geométrico

Para el gradiente aritmético, la ley de formación indica que cada pago es igual al anterior,

multiplicado por una constante (1+G); si G es positiva el gradiente será con cuotas

crecientes, si G es negativo el gradiente será decreciente y si G es igual a 0, los pagos son

uniformes, es decir se tiene el caso de una anualidad.

5.2.1 Ley de formación

Considerando que los pagos en cada periodo serán diferentes, entonces estos se

identificaran con un subíndice que indica el consecutivo del pago.

De acuerdo a la ley de formación, en este caso, cada pago será igual al anterior

multiplicado por una constante, así como se muestra a continuación:

𝑃

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

5.2.2 Valor presente de un gradiente geométrico


préstamo se paga en una serie de cuotas formadas a través de un gradiente

Glo

sari

o d

e té

rmin

os

35

geométrico, a una tasa de interés efectiva por periodo , durante periodos. La situación

se muestra en la grafica No 14.

GRAFICA NO 14 – VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO

Para calcular el valor presente se la ecuación de valor, para lo cual se utiliza la formula

(12), considerando cada valor de las cuotas y sumando todos los resultados en 0.

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Multiplicando la ecuación anterior por ( )

( ), se obtiene:

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

Restando ( ) de ( ), se obtiene:

( )( )

( )

( )

( )

0 1 2 3 n-2 n-1 n

𝑨𝟏

Vp

i

𝑨𝟏(𝟏 𝑮)

𝑨𝟏(𝟏 𝑮)𝟐

𝑨𝟏(𝟏 𝑮)𝒏 𝟑

𝑨𝟏(𝟏 𝑮)𝒏 𝟐

𝑨𝟏(𝟏 𝑮)𝒏 𝟏

Glo

sari

o d

e té

rmin

os

36

[( )( )

]

( )[( )

( ) ]

[( )( )

]

( )[( )

( ) ]

( )[( )

( ) ] ( )

Si el valor presente es indeterminado; no obstante, esta situación se puede aclarar

usando la regla de L´ôpital y derivando la expresión con respecto a ; así como se muestra

a continuación:

im →

( )

[( )

( ) ]

im →

( )

[( )

( ) ]

im →

[( )

( ) ]

( ) ( )

De ( ) y ( ) se puede concluir que:

( )[( )

( ) ]

( )

( )

Ejemplo 17.

¿Cuál será el valor hoy de una pensión de un trabajador que le pagaran durante su época de jubilación 24 pagos anuales iniciando en 2´000.000 y con incrementos del 10% anual? Suponga que se reconoce una tasa de interés del 7% EA

Solución

Parámetros

Glo

sari

o d

e té

rmin

os

37

o Valor del pago inicial: $2´000.000 o Numero de pagos: 24 anuales o Tasa de interés efectiva anual: 7% EA o El gradiente tiene un crecimiento del 10% anual, es decir

Representación grafica

Cálculos

Para hallar el valor inicial de la pensión que se deberá pagar se aplica la formula (38) cuando , considerando que se trata de un gradiente geométrico con un crecimiento del 10%.

( )[( )

( ) ]

( )[( )

( ) ]

Respuesta El valor presente de la pensión es :

Ejemplo 18.

¿Cuál será el valor hoy de una pensión de un trabajador que le pagaran durante su época de jubilación 24 pagos anuales iniciando en 2´000.000 y con incrementos del 10% anual? Suponga que se reconoce una tasa de interés del 10% EA

Solución

Parámetros o Valor del pago inicial: $2´000.000

0 1 2 3 … … 24

𝟐 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎

Vp = ¿?

i = 7 %

𝟐 𝟐𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟐 𝟒𝟐𝟎 𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟕 𝟗𝟎𝟖 𝟔𝟎𝟒 𝟖𝟕

Glo

sari

o d

e té

rmin

os

38

o Numero de pagos: 24 anuales o Tasa de interés efectiva anual: 10% EA o El gradiente tiene un crecimiento del 10% anual, es decir


Cálculos

Para hallar el valor inicial de la pensión que se deberá pagar se aplica la formula (38) cuando , considerando que se trata de un gradiente geométrico con un crecimiento del 10%.

( )

( )

Respuesta El valor presente de la pensión es :

5.2.3 Valor futuro de un gradiente geométrico

Para hallar el valor futuro ( ), basta remplazar el valor presente ( ) del gradiente,

formula (40), en la formula (11).

( )

( )[( )

( ) ] ( )

0 1 2 3 … … 24

𝟐 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎

Vp = ¿?

i = 7 %

𝟐 𝟐𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟐 𝟒𝟐𝟎 𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟕 𝟗𝟎𝟖 𝟔𝟎𝟒 𝟖𝟕

Glo

sari

o d

e té

rmin

os

39

( )[( ) ( ) ]

De otro lado,

( )( )

( )

De esta manera,

( )[( ) ( ) ]

( )

( )

Ejemplo 19.

¿Cuál será el valor final de un ahorro que se realiza durante 36 semestres iniciando con un pago de 3´000.000 e incrementos del 4%? Suponga que se reconoce una tasa de interés del 3,5% ES

Solución

Parámetros o Valor del pago inicial: $3´000.000 o Numero de pagos: 36 semestrales o Tasa de interés efectiva semestral: 3,5% ES o El gradiente tiene un crecimiento del 4% anual, es decir


Glo

sari

o d

e té

rmin

os

40

Cálculos

Para hallar el valor final del ahorro se aplica la formula (39) cuando , considerando que se trata de un gradiente geométrico con un crecimiento del 4%.

( )[( ) ( ) ]

( )[( ) ( ) ]

Respuesta El valor del ahorro es:

Ejemplo 20.

¿Cuál será el valor final de un ahorro que se realiza durante 36 semestres iniciando con un pago de 3´000.000 e incrementos del 4%? Suponga que se reconoce una tasa de interés del 4% ES

Solución

Parámetros o Valor del pago inicial: $3´000.000 o Numero de pagos: 36 semestrales o Tasa de interés efectiva semestral: 4% ES o El gradiente tiene un crecimiento del 4% anual, es decir


0 1 2 3 … … 36

𝟑 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎

Vf = ¿?

i = 3,5%

𝟑 𝟏𝟓𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟑 𝟑𝟎𝟕 𝟓𝟎𝟎

𝟏𝟔 𝟓𝟒𝟖 𝟎𝟒𝟔 𝟏𝟎

Glo

sari

o d

e té

rmin

os

41

Cálculos

Para hallar el valor final del ahorro se aplica la formula (39) cuando , considerando que se trata de un gradiente geométrico con un crecimiento del 4%.

( )

( )


5.2.4 Valor presente de un gradiente aritmético infinito

Cuando se habla de pagos de gradientes geométricos infinitos, solo tiene sentido hablar

del valor presente, como equivalente de dichos pagos. La situación se ilustra en la grafica

No 16.

0 1 2 3 … … 36

𝟑 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎

Vf = ¿?

i = 4%

𝟑 𝟏𝟓𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟑 𝟑𝟎𝟕 𝟓𝟎𝟎

𝟏𝟔 𝟓𝟒𝟖 𝟎𝟒𝟔 𝟏𝟎

Glo

sari

o d

e té

rmin

os

42

GRAFICA NO 16 – VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO INFINITO

Modelo matemático

De la ecuación ( ) para cuando , se obtiene:

( )[( )

( ) ]

im →∞

( )[( )

( ) ]

( ) im →∞

[(( )

( ))

]

Si entonces la expresión (( )

( ))

es mayor que 1, y no tendrá límite cuando

tiende a ∞.

Si entonces la expresión (( )

( ))

es menor que 1, y por consiguiente el límite será

igual , cuando tiende a ∞.

( ) [ ]

( ) ( )

De la ecuación ( ) para cuando , se obtiene:

im →∞

( ) ( )

En este caso, no hay límite

0 1 2 3 4 … ∞

𝑨𝟏

Vp = ¿?

i

𝑨𝟐 𝑨𝟑

𝑨𝟒

Glo

sari

o d

e té

rmin

os

43

De ( ) y ( ) entonces se puede escribir el valor presente de un gradiente geométrico

infinito, como:

( )

( )

∞

Ejemplo 21.

¿Cuál será el valor de la prima de un seguro que pretende realizar pagos de forma indefinida, iniciando en 4´000.000 con incrementos mensuales del 1%? Suponga que se reconoce una tasa de interés del 1,5% EM

Solución

Parámetros o Valor del pago inicial: $4´000.000 o Numero de pagos: infinitos o Tasa de interés efectiva mensual: 1,5% EM o El gradiente tiene un crecimiento del 1% mensual, es decir


Cálculos

Para hallar el valor de la prima del seguro se debe calcular el valor presente de la serie infinita de la formula (42), considerando que ≤ , y teniendo en cuenta que se trata de un gradiente geométrico con un crecimiento del 1%.

0 1 2 3 … ∞

𝟒 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎

Vp = ¿?

i = 1,5%

𝟒 𝟎𝟒𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟒 𝟎𝟖𝟎 𝟒𝟎𝟎

Glo

sari

o d

e té

rmin

os

44

( )

( )


Glo

sari

o d

e té

rmin

os

45

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