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Unidad 7

Anualidades diferidas

Objetivos

Al finalizar la unidad, el alumno:

• Calcularáelmontoproducidoporunaanualidaddiferida.• Calcularáelvalorpresenteoactualdeunaanualidaddiferida.• Calcularáelvalordelarentadeunaanualidaddiferida.• Calcularáeltiempooplazodeunaanualidaddiferida.

209

Introducción

En la actualidad estamos muy acostumbrados a promociones en tiendas departamentales,

donde nos ofrecen mercancía, para pagar con mensualidades fijas durante 3 o 6 meses,

realizando el primer pago tres meses después de realizada la compra, o promociones en agencias

de viajes que ofrecen paquetes de viaje, con el eslogan “viaje ahora y pague después”; pues bien,

situaciones como éstas, desde el punto de vista de las matemáticas financieras, se conocen como

anualidades diferidas.

Revisaremos a lo largo de esta unidad los elementos de las anualidades diferidas,

asimismo estudiaremos cómo calcular el valor de las rentas, el número de pagos y el valor

presente de la anualidad.

7.1. Cálculo del monto

En la unidad 5 se definieron las anualidades diferidas como una serie de pagos iguales

realizados en periodos de tiempos iguales, siempre que el primer pago se efectúe cierto tiempo

después de la firma del convenio, por ejemplo: cuando se adquiere un compromiso de pago

el día de hoy, mediante abonos mensuales, pero realizando el primero de ellos dentro de 6

meses, esto lo podemos apreciar mejor si observamos la gráfica 7.1.

Figura 7.1.

R R R R R

Firma del

contrato

Periodos diferidos otiempo de aplazamiento

210

matemáticas Financieras

Si observas con cuidado la figura 7.1, podrás darte cuenta que los pagos se inician cierto

tiempo después de pactada la operación. Al tiempo que se deja antes de pagar se le conoce como

tiempo de aplazamiento, el cual representaremos con la letra m, y para efecto de operaciones,

debe estar expresado en las mismas unidades de tiempo que los pagos, es decir, si los pagos

son mensuales el tiempo de aplazamiento debe expresarse en meses.

Al igual que en el caso de las anualidades anticipadas, su monto y algunos otros de sus

valores, se pueden calcular por medio de las fórmulas para anualidades vencidas. La figura 7.2

nos permite visualizar la relación entre las anualidades vencidas y las diferidas.

Figura 7.2.

Si observas la figura 7.2, cuando se calcula el monto, el tiempo de

aplazamiento no afecta el resultado, debido a que, al tratarse de tiempo

previo a los depósitos, durante ese tiempo no se ganaron y ni se pagaron

intereses, lo que nos permite definir el monto de una anualidad diferida

de la misma forma que el de una anualidad vencida; aunque en la realidad

es poco usual el cálculo del monto de una anualidad diferida, se puede

realizar con la misma fórmula que para una anualidad vencida:

Donde:

M es el monto de la anualidad

M Ri

i

n

=( )1+ −1

R es la renta

i es la tasa por periodo de capitalización

n es el número de pagos

¿Por qué no afecta el tiempo de aplazamiento

para el cálculo del monto?

R R R R R

Firma del

contrato


Anualidad vencida

uniDaD 7

211

Ejemplos

1. Una tienda departamental pone en el mes de mayo su plan de ventas “Compre ahora

y pague hasta agosto”. El señor Gómez decidió aprovechar la oferta y adquirir 3 trajes que

le entregaron inmediatamente. Si acordó pagar mediante 4 mensualidades de $975 cada

una a partir de agosto, con un cargo de 18% anual convertible mensualmente, ¿cuál es

el precio que se tendría que haber pagado por sus trajes si se comprara en la misma fecha

que se realizará el último pago?

Solución

Se identifican los datos:

R=$975

i = =0 18

120 015

..

n=4 pagos mensuales

Se sustituyen los datos en la fórmula para el cálculo del monto de una anualidad

diferida y se realizan las operaciones,

M Ri

i

n= + −( )1 1

M = + −975

1 0 015 1

0 015

4( . )

.

M = − = − =9751 015 1

0 01575

1 061363551 1

0 015975

0 061363551

0

4

9( ).

.

.

.

.

..( . )

015975 4 0909034=

M = 3 988.63

Los trajes tendrán un costo de $3 988.63 para cuando termine de pagarlos.

2. Armando Rodríguez adquirió un equipo de cómputo, para lo cual le dieron la

oportunidad de liquidar con 5 pagos mensuales de $2 700 cada uno, realizando el primero

212


de ellos 6 meses después de efectuada la compra. Si Armando liquidara su equipo con un solo

pago el día que corresponde al último pago, ¿con cuánto pagará su deuda, considerando una

tasa de interés de 18% anual compuesto mensualmente?

Solución


R=$2 700

i = =0 18

120 015

..

n=5 pagos mensuales


diferida y se realizan las operaciones:

M Ri

i

n= + −( )1 1

M = + −2 700

1 0 015 1

0 015

5

( . )

.

M = = =− −2 700

1 015 1

0 0152 700

1 077284004 1

0 0152 700

0 07725

( ).

.

.

.

. 884004

0 015.=

= 2 700(5.152266933)

M = 13 911.12

El equipo tendrá un costo de $13 911.12 para cuando termine de pagarlos.

7.2. Cálculo del valor presente

Para el caso del valor presente, se considera como si se tratara de una anualidad vencida,

sin embargo es de suma importancia no perder de vista el tiempo diferido, que en este caso

uniDaD 7

213

genera intereses en este periodo, ya que el dinero se trasladó en el tiempo hacia el pasado, lo

cual podemos observar de manera sencilla en la figura 7.3.

Figura 7.3.

Si obtenemos el valor presente como si se tratara de una

anualidad vencida, tendríamos después que trasladar dicho valor al

momento del inicio de la anualidad, es decir, a la fecha de la firma

del convenio, lo cual podemos lograr realizando un traslado de

valores tal como lo hicimos en la unidad 4 (ecuaciones de valor),

utilizando la fórmula para el cálculo del valor presente de una

cantidad dada:

CM

iM i

n

n = + = + −( )

( )1

1

Donde n en realidad corresponde al tiempo diferido, el cual, como ya se mencionó,

se identifica con la letra m, y el monto (M) está determinado por el valor presente de una

anualidad vencida ( Ri

i

n1 1− + −( ))

Se sustituyen estos elementos (monto y m) en la fórmula para valor presente:

C=M(1+i)–n

¿Cómo afecta el valor del tiempo diferido para calcular el valor presente de una anualidad diferida?

R R R R R

Firma del

contrato


Pagos

Anualidad vencida

214


C Ri

ii

nm= − + +− −

1 11

( )( )

Donde:

C es el valor presente de la anualidad

R es la rentaC R

i

ii

nm= − + +− −

1 11

( )( )



m es el número de periodos diferidos

Para poder definir el valor de m (periodos diferidos), es necesario trazar la gráfica

de tiempo.

Ejemplos

1. Calcula el valor actual de una renta semestral de $3 200 efectuada durante 6 años,

si el primer pago se debe realizar dentro de año y medio, si consideramos una tasa de 32%

capitalizable semestralmente.

Solución

Se identifican los datos y se traza la gráfica del tiempo (figura 7.4) para determinar

el valor de m:

R=$3 200

i = =0 32

20 16

..

n=6 (2)=12 pagos semestrales durante 6 años

m=2 semestres

uniDaD 7

215

Figura 7.4.

Se sustituyen los datos en la fórmula para calcular el valor presente de una anualidad


C Ri

ii

nm= − + +− −

1 11

( )( )

C = − + +− −3 2001 1 0 16

0 161 0 16

122

( . )

.( . )

C = − +− −3 2001 1 16

0 161 0 16

122

( . )

.( . )

C = −3 200

1 0 168462844

0 160 743162901

( )( )

.

..

C = =3 2000 831537156

0 160 743162901 3 200 5 197107225

.

.. ( . )( ) (( . ) .0 743162901 =

C = 12 359.35

Significa que el valor actual es $12 359.35.

2. ¿Cuál es el precio de contado de una recámara que se compró con pagos mensuales

de $2 150 durante 24 meses, comenzando a pagarlos 6 meses después de entregada, con una

tasa de interés de 19.2% anual capitalizable mensualmente?


Anualidad vencida

R1

R2

R3

R4 R

11 R12

m = 2

0 1 2

Valor

actual

n = 12

Semestres

216


Solución


el valor de m:

R=$2 150

i = =0 192

120 016

..

n=24

m=5

Figura 7.5.



C Ri

ii

nm= − + +− −

1 11

( )( )

C = − + +− −2 1501 1 0 016

0 0161 0 016

245

( )

.

.( . )

C = − − −21501 1 016

0 0161 016

245

( . )

.( . )


Anualidad vencida

R1

R2

R3

R4

m = 5

0 1 2

Valor

actual

n = 24

3 4 5 6

R23

R24

Meses

uniDaD 7

217

C = −2 150

1 0 683204957

0 0160 923701098

( )( )

.

..

C = 2 1500 316795043

0 0160 923701098

.

..( )

C = 2 150(19.79969019) (0.923701098)=39 321.34

El precio de contado de la recámara es $39 321.34.

Ejercicio 1

1. La Señora Gómez pretende realizar 8 depósitos bimestrales de $8 000 en el banco,

realizando el primero de ellos dentro de 10 meses. ¿Cuál será el saldo en la cuenta después de

realizar el último depósito si el banco le paga 12% anual capitalizable bimestralmente?

2. Un ganadero estima que su ganado comenzará a producir dentro de seis meses,

con una producción con valor de $120 000 mensuales y que se mantendrá durante 10

años. ¿Cuál es el valor actual de la producción si se fija una tasa de 16% anual capitalizable

mensualmente?

3. Si se compra una camioneta mediante un programa de financiamiento que consiste

en realizar 48 pagos mensuales de $5 400 cada uno, realizando el primero de ellos 6 meses

después de entregada la camioneta, ¿cuál es el precio de contado del automóvil si la tasa de

interés es de 18% anual capitalizable mensualmente?

4. Adrián compró un equipo de sonido el cual se comprometió a liquidar con 10

pagos mensuales de $1 200 cada uno, realizando el primero de ellos 3 meses después de

adquirido el equipo, con una tasa de interés de 24% anual convertible mensual. ¿Cuál es

el precio de contado del equipo?

5. ¿Cuánto ahorrará una persona que realiza 20 depósitos mensuales de $9 000 cada

uno, si realiza el primero dentro de 8 meses en un banco que paga un interés de 30%

anual con capitalización mensual?

218


7.3. Cálculo de la renta

Como ocurre con las anualidades vencidas y las anticipadas, en

las anualidades diferidas se presentan situaciones en las que se

requiere conocer el valor de las rentas a realizar, esto se puede

determinar despejándolo de las fórmulas para calcular el monto,

o calcular el valor presente, esto en función de los datos con

que se cuente; aunque ya se ha mencionado que en el caso de las anualidades diferidas

la mayoría de los cálculos se realizan en función del valor presente, por lo cual en esta

parte nos limitaremos a explicar el cálculo del valor de las rentas cuando se conoce el

valor presente de la anualidad.

Ejemplos

1. El señor Ramírez deposita el día de hoy $370 000 en una institución bancaria

que paga 18% anual convertible mensualmente para que dentro de año y medio pueda

disponer de una cantidad mensual para gastos personales durante 3 años. ¿Cuál es el valor

de cada retiro mensual?

Solución

Se traza el diagrama de tiempo y se identifican los datos (figura 7.6):

Figura 7.6.

¿Cómo se puede determinar el valor de la renta de una

anualidad diferida?


Anualidad vencida

R1

R2

R3

R4

0 1

Valor

actual

n = 36

16 17 18

R35 R

36

m = 17

Meses

uniDaD 7

219

C=$370 000

i = =0 18

120 015

..

n=36

m=17

Se sustituyen los datos en la fórmula:

C Ri

ii

n

m= − + +− − 1 1

1( )

( )

370 0001 1 0 015

0 0151 0 015

3617 = − + +− −R

( . )

.( . )

370 0001 0 585089735

0 0150 77638526

= −R

( )( )

.

..

370 0000 414910265

0 0150 77638526 = R

.

..( )

370 000= R(27.6606843)(0.77638526)

370 000= R(21.4753476)

R = =370 000

21 475347617 229 06

..

Lo que significa que se pueden realizar retiros de $17 229.06.

.

2. Ana Patricia González contrajo una deuda con valor actual de $742 000, la cual

se comprometió a cubrir con 24 pagos bimestrales, realizando el primero de ellos un año

después de adquirida la deuda. Si la tasa de interés pactada es de 13.8% anual convertible

bimestralmente, ¿cuánto pagaría Ana Patricia cada bimestre?

Solución


220


Figura 7.7.

C=$742 000

i = =0 138

60 023

..

n=24

m=5


C Ri

ii

nm= − + +− −1 1

1( )

( )

742 0001 1 0 023

0 0231 0 023

245 = − + +− −R

( . )

.( . )

742 0001 0 579408405

0 0230 892527962

= −R

( )( )

.

..

742 0000 420591595

0 0230 892527962 = R

.

..( )

742 000 = R(18.28659109)(0.892527962)

742 000 = R(16.32129388)

R = =742 000

16 3212938845 462 08

..

Los pagos deben ser de $45 462.08 cada uno.


Anualidad vencida

R1

R2

R3

R4

0 1

Valor

actual

n = 24

R R

m = 5

Bimestres4 5 6

uniDaD 7

221

Ejercicio 2

1. Ricardo Pereira solicita un crédito para comprar una casa con valor de $1 536 000.

Si acuerda liquidarlo con pagos mensuales durante 15 años, y el banco le permite iniciar

sus pagos 6 meses después de otorgado el crédito, con una tasa de interés de 21% anual

convertible mensual, ¿de cuánto debe ser cada pago mensual?

2. Lupita decide comprar un equipo de cómputo con valor de $28 750. La tienda ofrece

una promoción que consiste en realizar 18 pagos mensuales, iniciando los pagos 3 meses

después de realizada la compra. ¿Cuál es el importe de cada pago si la tienda aplica una tasa

de interés de 18% anual capitalizable mensualmente?

3. Una persona que se va a jubilar dentro de 6 años actualmente tiene depositados

$250 000 en una cuenta bancaria que le paga 15% de interés anual convertible semestralmente.

¿Cuánto podrá retirar semestralmente durante los 15 años siguientes a su jubilación?

4. Al realizar un estudio acerca del rendimiento de una plantación de café, se estima que

ésta tardará 4 años en producir, manteniendo dicha producción durante 20 años. Si el dueño de

la plantación considera que actualmente tiene un valor de $150 000 000, y se supone una tasa

de interés de 7% anual con capitalización anual, ¿de cuánto será la producción anual de dicha

plantación de café durante los 20 años que se mantendrá la producción?

5. Una inmobiliaria ofrece unos departamentos con valor de $520 000 en preventa,

mediante un crédito que consiste en mensualidades fijas durante 30 años, las cuales se

comenzarán a pagar cuando se entregue el departamento, lo cual se espera sea 10 meses

después de la firma del convenio. Si la inmobiliaria trabaja con una tasa de interés de 24%

anual compuesto mensualmente, ¿de cuánto debe ser cada pago mensual?

7.4. Cálculo del tiempo o plazo de una anualidad diferida

Cuando se requiere conocer el número de pagos o plazo de una anualidad diferida se puede

recurrir a las fórmulas para calcular su valor presente o el monto, sin embargo, tal como

ocurre con el valor de la renta, el monto se comporta como una anualidad vencida, por lo

tanto, la mayoría de los cálculos se enfocará al valor presente; en nuestro caso nos referiremos

únicamente a cálculos en los cuales el valor presente es un dato conocido.

222


Para determinar el número de rentas, simplemente despejaremos su valor de la fórmula

del valor presente C Ri

ii

nm= − + +− −1 1

1( )

( )

Ejemplo

1. Rosario Luna guarda en una cuenta bancaria $240 000 con una tasa de interés de

15% anual capitalizable bimestralmente. ¿Cuántos retiros bimestrales de $12 000 podrá

realizar, comenzando dentro de 2 años?

Solución

Se identifican los datos y se realiza la gráfica de tiempo (figura 7.8):

C=$240 000

R=$12 000

i = =0 15

60 025

..

m=11 bimestres

Figura 7.8.


Anualidad vencida

R1

R2

R3

R4

0 1

Valor

actual

n

m = 11

Bimestres10 11 12

Rn

uniDaD 7

223

Se sustituyen los datos en la fórmula para el cálculo de una anualidad diferida:

C Ri

ii

nm= − + +− −1 1

1( )

( )

240 000 12 0001 1 0 025

0 0251 0 025 11 = − + +− −( . )

.( . )

n

240 000

12 000

1 1 025

0 0251 025 11

= − − −( . )

.( . )

n

201 1 025

0 0250 762144782= − −( . )

.( . )

n

20

0 762144782

1 1 025

0 025

.

.

.

( )= − −n

26 241733161 1 025

0 025.

.

.

( )= − −n

(26.24173316)(0.025)=1–(1.025)–n

(1.025)–n=1–0.656043329

(1.025)–n=0.343956671

Ya que esto es una ecuación exponencial, se aplican logaritmos en ambos lados de la

igualdad y se utilizan sus propiedades:

log(1.025)–n=log 0.343956671

(–n)log1.025=log 0.343956671

− = = − = −nlog .

log .

.

..

0 343956671

1 025

0 463496263

0 01072386543 22

multiplicando por –1:

n=43.22

Se requieren aproximadamente 44 pagos.

224


nota: cuando el resultado es decimal, normalmente se ajusta el valor del último pago y se

redondea el número de pagos al entero inmediato. en este curso no se realizará el ajuste del

último pago, simplemente se redondeará el número de pagos al entero inmediato.

Otra opción es despejar primero el valor de n de la fórmula para calcular el valor

presente de la anualidad, obteniendo con esto una fórmula que nos permita calcular de

manera directa el número de rentas.

De esta forma el despeje quedaría:

C Ri

ii

nm= − + +− −1 1

1( )

( )

Ri

i

C

i

n

m

1 1

1

− + = +−

−( )

( )

1 1

1

− + = +−

−( )

( )

i

i

C

R i

n

m

− + = + −−−( )

( )1

11i

Ci

R i

n

m

Multiplicando por –1 y aplicando logaritmos en ambos lados de la igualdad obtenemos:

− + + − −−−=

( )

( )( )1

11 1i

Ci

R i

n

m

( )( )

1 11

+ − +−

−=iCi

R i

n

m

log log( )

( )1 11

+ = − +−

−

i

Ci

R i

n

m

( ) log( ) log( )

− + = − + −

n i

Ci

R im

1 11

( )( )

log

log( )− =

− ++

−

n

Ci

R i

i

m1

1

1

uniDaD 7

225

Multiplicando por –1 para que n sea positiva se tiene que:

Donde:


C es el valor presente de la anualidad

n

Ci

R i

i

m= −− +

+−

log

( )

log ( )

11

1 R es la renta


m es el número de periodos diferidos

Ejemplo

Regina Luna compró una videograbadora con valor de $2 700, la cual acordó

pagar mediante pagos mensuales de $350 cada uno con un interés de 24% capitalizable

mensualmente. ¿Cuántos pagos mensuales se deben realizar para liquidar la videograbadora,

si el primero se realiza 3 meses después de haberla adquirido?

Solución

Se identifican los datos y se traza la gráfica de tiempo (figura 7.9):

C=$2 700

R=$350

i = =0 24

120 02

..

m=2

Figura 7.9.

Periodos diferidos o tiempo de aplazamiento

Anualidad vencida

R1

R2

R3

R4

m = 2

0 1 2

Valor

actual

n Meses

Rn

3

226


Se sustituyen en los datos en la fórmula que tiene despejado el número de rentas:

n = −− +

+ = −−−

log

( . )

( . )

log( . )

log12 700 0 02

350 1 0 02

1 0 02

154

2

3350 0 961168781

1 02

( . )

log .

= − −

n = −− +

+ = −−−

961168781 1 0 160518857

1 02

) log( . )

log .

= − −

n = − = − − = − −log( . )

log .

.

.(

0 839481143

1 02

0 075989054

0 00860017176288 84 8 84. ) .=

Por lo cual sabemos que se requieren aproximadamente 9 pagos.

Ejercicio 3

1. La Señora Flores compra un automóvil con valor de $195 620, mediante un crédito

que se liquidará con pagos bimestrales de $11 500 cada uno con una tasa de interés de 18%

compuesto bimestralmente, con el acuerdo de realizar el primer pago un año después de

otorgado el préstamo. ¿Con cuántos pagos saldará su deuda la señora Flores?

2. Si solicitas un crédito por $150 000, el cual te comprometes a pagar mediante

abonos trimestrales de $9 750 cada uno y realizar el primero de ellos 6 meses después de

otorgado el crédito, con una tasa de interés de 20% anual compuesto trimestralmente, ¿con

cuántos pagos se saldará tu deuda?

3. Una empresa comercializadora requiere comprar una bodega para almacenaje, la

cual tiene un precio de $750 000. Si le otorgan un crédito hipotecario, la empresa pagará

con mensualidades de $8 750 cada una con una tasa de interés de 10.8% capitalizable

mensualmente. ¿Cuántos pagos se deben realizar para liquidar el crédito si además acuerda

realizar el primero 8 meses después de entregada la bodega?

4. Para pagar una sala que tiene un costo de $18 000 se debe realizar una serie de

pagos mensuales por $6 500 cada uno, iniciando 6 meses después de la compra. ¿Cuántos

pagos se deben realizar para liquidar la sala si la tasa de interés es de 15% anual convertible

mensualmente?

uniDaD 7

227

5. La señora Martínez compró una cocina con valor de $35 000 mediante un crédito

que consiste en pagos mensuales de $4 500 cada uno, realizando el primero de ellos 3 meses

después, con una tasa de interés de 10.2% anual convertible mensualmente. ¿Cuántos pagos

hay que realizar para saldar la deuda?

Problemas resueltos

1. Durante el mes de noviembre una tienda departamental anuncia su promoción anual

“compre ahora y pague hasta febrero”. La señora Urquiza decidió aprovechar la oferta y

comprar ropa que le entregaron inmediatamente (en noviembre). Si acuerda pagar mediante

6 mensualidades de $523 cada una (iniciando en febrero por la promoción), con un cargo de

21% anual convertible mensualmente, ¿cuál es el precio que se tendría que haber pagado por la

ropa si se comprara en la misma fecha en que se realizará el último pago?

Solución


R=$523

i = =0 21

120 0175

..

n=6 pagos mensuales

Como se pide determinar el valor de la ropa en el momento del último pago, significa que se

debe calcular el monto de las rentas, por lo tanto el tiempo diferido no afecta para nada.



M Ri

i

n= + −( )1 1

M = + −523

1 0 0175 1

0 0175

6( . )

.

228


M = − = − =5231 0175 1

0 0175523

1 109702354 1

0 0175523

0 10970236( ).

.

.

.

. 554

0 0175523 6 268705943

.( . )=

M = 3 278.53

La ropa tendrá un costo de $3 278.53 para cuando termine de pagarla.

2. Calcula el valor actual de una renta semestral de $8 645 efectuada durante 10

años, si el primer pago se debe realizar dentro de 4 años y consideramos una tasa de 18%

capitalizable semestralmente.

Solución


el valor de m:

R=$8 645

i = =0 18

20 09

..

n=10 (2)=20 pagos semestrales durante 10 años

m=7

Figura 7.10.



m = 7

6

Periodos diferidos o tiempo de aplazamiento

Anualidad vencida

R1

R2

R3

R4

0 1

Valor

actual

n = 20

7 8 Semestres

R19

R20

uniDaD 7

229

C Ri

ii

nm= + +− − −1 1

1( )

( )

C = + +− − −8 6451 1 0 09

0 091 0 09

207

( )( )

.

..

C = − − −8 6451 1 09

0 091 09

207

( )( )

.

..

C = −8 645

1 0 178430889

0 090 547034244

( )( )

.

..

C = =8 6450 821569111

0 090 547034244 8 645 9 128545678 0 54

.

.. ( . ) .( ) ( 77034244) =

C = 43 169.91

Significa que el valor actual es $43 169.91.

3. Alberto deposita el día de hoy $150 000 en una cuenta bancaria que le paga

18% anual convertible trimestralmente, para que dentro de 5 años pueda disponer de

una cantidad trimestral fija para gastos personales durante 7 años. ¿Cuál es el valor de

cada retiro trimestral?

Solución


Figura 7.11.

m = 19


Anualidad vencida

R1

R2

R3

R4

0 1

Valor

actual

n = 7(4) = 28

R27

R28

18 19 20 Trimestres

230


C=$150 000

i = =0 18

40 045

..

n=28

m=19


C Ri

ii

nm= + +− − −1 1

1( )

( )

150 0001 1 0 045

0 0451 0 045

2819

= + +− − −R

( )( )

.

..

150 0001 0 291570691

0 0450 433301788

= −R

( )( )

.

..

150 0000 708429309

0 0450 433301788 = R

.

..( )

150 000 = R(15.74287353)(0.433301788)

150 000 = R(6.82141525)

R = =150 000

6 8214152521 989 57

..

Lo que significa que se pueden realizar retiros de $21 989.57.

4. ¿Cuántos retiros bimestrales de $10 420 se podrán realizar, comenzando dentro

de año y medio, si la cuenta tiene actualmente $240 000 y gana un interés de 18% anual

capitalizable bimestralmente?

Solución

Se identifican los datos y se realiza la gráfica de tiempo (figura 7.12):

uniDaD 7

231

C=$240 000

R=$10 420

i = =0 18

60 03

..

m=8

Figura 7.12.

Se sustituyen los datos en la fórmula para el cálculo de una anualidad diferida:

C Ri

ii

nm= + +− − −1 1

1( )

( )

240 000 10 4201 1 0 03

0 031 0 03 8 = + +− − −( )

( ).

..

n

240 000

10 420

1 1 03

0 031 03 8= − − −( )

( ).

..

n

23 03262956

1 1 03

0 030 789409234.

.

..

( )( )= − −n

23 03262956

0 789409234

1 1 03

0 03

.

.

.

.

( ) = − −n

29 177046031 1 03

0 03.

.

.

( )= − −n


Anualidad vencida

R1

R2

R3

R4

0 1

Valor

actual

n

Rn

m = 8

7 8 9 Bimestres

232


(29.17704603) (0.03) = 1–(1.03)–n

(1.03)–n = 1–0.87531138

(1.03)–n = 0.12468862

Ya que esto es una ecuación exponencial, se aplican logaritmos en ambos lados de la

igualdad y se utilizan sus propiedades,

log(1.03)–n = log0.1248862

(–n)log 1.03 = log0.12468862

− = = − = −nlog .

log .

.

..

0 1248862

1 03

0 904173181

0 01283722470 43

Multiplicando por –1:

n=70.43

Se requieren aproximadamente 71 pagos.

nota: cuando el resultado es decimal, normalmente se ajusta el valor del último pago y se

redondea el número de pagos al entero inmediato. en este curso no se realizará el ajuste del

último pago, simplemente se redondeará el número de pagos al entero inmediato.

5. Una empresa compró equipo con valor de $985 620, el cual acordó liquidar mediante

pagos semestrales de $250 000 cada uno, con un interés de 32% capitalizable semestralmente.

¿Cuántos pagos se necesitan realizar para liquidar el equipo, si el primero de ellos se realiza

18 meses después de haberlo adquirido?

Solución

Se identifican los datos y se traza la gráfica de tiempo (figura 7.13):

C=$985 620

R=$250 000

uniDaD 7

233

i = =0 32

20 16

..

m=2

Figura 7.13.

Recuerda que puedes sustituir los valores en la fórmula para determinar el valor presente

de la anualidad, y posteriormente se despeja el número de rentas (tal como el ejercicio anterior)

o bien se sustituyen los datos en la fórmula que tiene despejado el número de rentas, que

es lo que se presenta a continuación:

n

Ci

R i

i

m

= −− +

+−

log

( )

log( )

11

1

n = −− +

+ = −−

log

( . )

( . )

log( . )

l1985 620 0 16

250 000 1 0 16

1 0 16

2

oog

.

( . )

log .

1157 699 2

250 000 0 743162901

1 16

−= − −

= −− +

+ = −−

) log( .743162901 1 0 8

−= − −

448800174

1 16

)

log .

n = − = − − = − −log( . )

log .

.

.( .

0 151199826

1 16

0 820448708

0 06445798912 773 12 73) .=

Por lo cual sabemos que se requieren aproximadamente 13 pagos.


Anualidad vencida

R1

R2

R3

R4

0 1 2

Valor

actual

3

n

Rn

m = 2

Semestres

234


Problemas propuestos

1. Se estima que un pozo petrolero comenzará a producir dentro de 2 años, con

una producción con valor de $982 000 anuales y que se mantendrá durante 32 años.

¿Cuál es el valor actual de la producción, si se fija una tasa de 19% anual capitalizable

anualmente?

2. ¿Cuál es el monto de una deuda que se cubre con 10 pagos semestrales de $16 500,

si el primero de ellos se realiza 2 años después de formado el convenio con una tasa de interés

de 15% anual compuesto semestralmente?

3. La señora Martínez pretende realizar 7 depósitos de $68 000 trimestrales en

el banco, realizando el primero de ellos dentro de 12 meses. ¿Cuál será el saldo en la

cuenta después de realizar el último depósito si el banco le paga 24% anual capitalizable

trimestralmente?

4. Una persona que se jubilará dentro de 8 años actualmente tiene depositados $1 250 000

en una cuenta bancaria que genera 25% de interés anual convertible semestralmente. ¿Cuánto

podrá retirar semestralmente durante los 30 años siguientes a su jubilación?

5. El señor Fernández compra un automóvil con valor de $216 585, mediante un crédito

que se liquidará con pagos mensuales de $14 500 cada uno con una tasa de interés de 12%

anual compuesto mensualmente, acordando realizar el primer pago 6 meses después de que le

entregan el automóvil. ¿Con cuántos pagos saldará su deuda el señor Fernández?

uniDaD 7

235

Respuestas a los ejercicios

ejercicio 1

1. $68 663.75

2. $6 704 567.55

3. $170 641.90

4. $10 360.54

5. $229 901.92

ejercicio 2

1. $30 666.18

2. $1 889.86

3. $46 899.59

4. $17 345 308.95

5. $12 438.93

ejercicio 3

1. 31 pagos, aproximadamente.





236


Respuestas a los problemas propuestos

1. $4 326 603.32

2. $233 426.94

3. $570 780.96

4. $915 120.72


Matemáticas inancieras Unidad 7. Anualidades diferidas

Nombre:

Grupo: Número de cuenta:

Profesor: Campus:

237

Autoevaluación

1. El señor Ramírez piensa depositar $500 mensuales en una cuenta de ahorros comenzando

dentro de 8 meses. Si el banco paga 18% de interés anual capitalizable mensualmente, la cantidad que

habrá reunido después de 15 depósitos es:

a ) $6 341.04

b) $7 341.07

c ) $8 341.07

d) $9 341.07

2. Alberto compró un equipo de sonido en una promoción de compre ahora y comience a

pagar dentro de seis meses, con 12 pagos mensuales de $378. Si la tasa de interés es de 21% anual

con capitalización mensual, el precio actual del equipo de sonido que compró Alberto es:

a ) $3 722.25

b) $4 222.25

c ) $4 722.25

d) $5 222.25

3. Indica el número de pagos semestrales por $3 000 que se requieren para liquidar una deuda

de $50 243.64, si la tasa de interés es de 9.1% convertible semestralmente y si el primer pago se realiza

2 años después de autorizado el crédito:

a ) 44 pagos.

b) 45 pagos.

c ) 46 pagos.

d) 47 pagos.

238

4. El señor Martínez desea pagar un crédito con valor actual de $570 000 mediante 20 pagos

trimestrales, realizando el primero dentro de dos años. Si la tasa de interés es de 28% anual con

capitalización trimestral, el valor de los depósitos es:

a ) $86 397.41

b) $863 974.14

c ) $96 397.41

d) $963 974.14

5. ¿Cuántos pagos mensuales por $8 960 se requieren para pagar un automóvil con valor

de $258 300, si la agencia concede al comprador realizar el primer pago 7 meses después de que le

entregan el automóvil y una tasa preferencial de 12% anual compuesta mensualmente?

a) 34 pagos.

b) 35 pagos.

c) 36 pagos.

d) 37 pagos.

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