Matemáticas Financieras Empresariales · PDF fileAnualidad vencida ... Anualidades...

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Juan Antonio Flórez Uribe

Administrador de empresas de la Universidad Externado de Colombia, con estudios sobre Promoción Industrial en ciudades intermedias de la Universidad de los Andes. Tiene más de 24 años de experiencia profesional en el sector empresarial, especialmente en el área financiera. Docente de la cátedra universitaria Creación y Formulación de Proyectos de la Universidad Autónoma de Colombia, así como de otros temas en el ámbito financiero como el de matemáticas financieras, gerencia y gestión financieras. Asesora en el sector financiero, empresas privadas y de carácter gubernamental.

Autor de: Proyectos de inversión para las PYME.

Otros textos de su interés

• Análisis financiero y de gestión, Rodrigo Estupiñán Gaitán

• Aproximación a la economía política, Gilberto Vásquez Ramírez

• Diccionario de comercio internacional, Cristóbal Osorio A.

• Diccionario de logística y negocios internacionales, Ruben Darío Muñoz, Luis Aníbal Mora

• Diccionario de términos financieros y bancarios,

Robert Marcuse

• Economía colombiana, Alfonso Ortega

• Estadística básica aplicada, Ciro Martínez B.

• Estadística y muestreo, Ciro Martínez B.

• Fundamentos de Estadística, Mireya Ardila

• Hacienda pública, Alfonso Ortega

• Ideas económicas mínimas, Ramón Abel Castaño T.

• Información financiera IFRS (NIIF) - Estándares/Normas internacionales, Samuel Alberto Mantilla

• Matemáticas financieras aplicadas, Jhonny de Jesús Meza O.

• Matemáticas financieras empresariales,

Juan Antonio Flórez U.

• Modelos financieros con excel, Jairo Gutiérrez Carmona

• Operaciones bancarias internacionales, Robert Marcuse

• Teoría de riesgo, Evaristo Diz

A través de mi experiencia en el sector financiero y luego en el académico, he notado en estudiantes de las diferentes áreas administrativas y contables, así como en personas, quienes de una u otra forma tienen la necesidad de abordar y aclarar conceptos relacionados con el comportamiento del dinero a través del tiempo, la dificultad en la asimilación de conceptos financieros que permitan aclarar los resultados económicos y monetarios para poder llegar a la toma de una decisión, cuando se tiene en cuenta consideraciones como modo, tiempo, tasas de interés, etc. En esta segunda edición se han ampliado algunos conceptos que considero importantes para los estudiosos del tema, pero sin perder el horizonte de hacer más sencillo y comprensible, el manejo de las matemáticas aplicadas al sistema financiero. Su forma de estudiarlas se inicia con la identificación del procedimiento que permita identificar la fórmula que, al aplicarla, facilite la interpretación y contribuya a la solución de problemas financieros presentados con frecuencia en toda empresa.

En la parte final de esta obra, se agrupan las fórmulas más importantes aplicadas a los diferentes ejemplos y ejercicios propuestos en los capítulos del libro. Su forma de abordarlas, en su mayoría, han sido propuestas en forma matricial, es decir, en el eje horizontal del respectivo cuadro se identifica la información que se conoce y en el vertical, la que se va hallar.

Colección: Ciencias AdministrativasÁrea: Economía y Finanzas

Juan Antonio Flórez Uribe

Administrador de empresas de la Universidad Externado de Colombia, con estudios sobre Promoción Industrial en ciudades intermedias de la Universidad de los Andes. Tiene más de 24 años de experiencia profesional en el sector empresarial, especialmente en el área financiera. Docente de la cátedra universitaria Creación y Formulación de Proyectos de la Universidad Autónoma de Colombia, así como de otros temas en el ámbito financiero como el de matemáticas financieras, gerencia y gestión financieras. Asesora en el sector financiero, empresas privadas y de carácter gubernamental.

Autor de: Proyectos de inversión para las PYME.

Com

plemento Virtual

Colección: Ciencias AdministrativasÁrea: Finanzas

Primera edición: Bogotá, D.C., agosto de 2008Reimpresión: Bogotá, D.C., noviembre de 2009Segunda edición: Bogotá, D.C., 20011

© Juan Antonio Flórez Uribe

© Del contenido del Complemento virtual en el SIL (Sistema de Información en Línea) en www.ecoeediciones.com Juan Antonio Flórez Uribe

© Ecoe Ediciones E-mail: [email protected] www.ecoeediciones.com Carrera 19 No. 63C-32, Pbx. 2481449, fax. 3461741

Coordinación editorial: Alexander Acosta QuinteroAutoedición: Raúl Rodríguez CaicedoCarátula: Edwin Nelson Penagos

Catalogación en la publicación – Biblioteca Nacional de Colombia

Flórez Uribe, Juan Antonio Matemáticasfinancierasempresariales/JuanAntonioFlórezUribe.– 2a. ed. -- Bogotá : Ecoe Ediciones, 2011. p.–(Cienciasadministrativas.Economíayfinanzas) Incluye bibliografía

1.MatemáticasfinancierasI.TítuloII.Serie

CDD: 658.152 ed. 20 CO-BoBN– a759377

Dedicatoria

Les dedico este libro a las personas que han colaborado de una u otra forma en su elaboración. A mi esposa, Cecilia, quién con su comprensión

y paciencia, me permitió dedicar largo tiempo a esta labor. A mis hijos Jairo y Juan Carlos, quienes me dan fortaleza en el día a día para seguir adelante en el camino de la vida. A mi madre Elisa, hermanos y sobrinos,

quienes con su apoyo familiar, han aportado la fuerza espiritual para la realización de esta obra.

Tabla de contenidoPrólogo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XICapítulo 1. Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Leyes de los exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. Multiplicación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. División . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. Exponentes fraccionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. Exponente negativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35. Exponente cero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Definiciones básicas de matemáticas financieras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Representación gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Simbología utilizada en el SIL para resolver ejemplos del libro . . . . . . . . . . . . . 7

Conversión de tasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Anualidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Anualidad vencida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Anualidad anticipada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Gradiente lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Gradiente lineal vencido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Gradiente lineal anticipado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Gradiente geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Gradiente geométrico vencido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Gradiente escalonado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Gradiente lineal escalonado vencido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Gradiente geométrico escalonado vencido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Capítulo 2. Tasas de interés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Interés simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Clases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Valor presente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Interés compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Cálculo del tiempo y de la tasa de interés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Cálculo del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Cálculo de la tasa de interés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

VIII

Matemáticas financieras empresariales

Conversión de tasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Tasas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Conversión de tasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Ejercicio integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Interpolación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Tiempo equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Aplicaciones prácticas de las tasas de interés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Certificado de depósito a término . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Devaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Revaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Tasas combinadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Tasa de interés ponderada (Tp) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Capítulo 3. Anualidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Anualidades vencidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Cálculo del número de períodos (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Plan de amortización de obligaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Solución ejercicios aplicando la formulación del SIL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Anualidades anticipadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Cálculo del número de períodos (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Anualidades diferidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Anualidades perpetuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Valor actual de las anualidades perpetuas vencidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Valor actual (P) de las anualidades perpetuas anticipadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Valor presente de las anualidades perpetuas que se pagan al final de cada cierto número de períodos de capitalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Costos capitalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Costo anual uniforme equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Capítulo 4. Gradientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Gradiente aritmético, lineal o uniforme (L) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Cálculo de gradientes lineales (L) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Gradiente lineal (L) vencido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104Gradiente lineal (L) anticipado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Gradiente geométrico (G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Cálculo de gradientes geométricos (G) vencidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Saldo deudas en los gradientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Ejemplos propuestos desarrollados con el apoyo del SIL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Gradientes escalonados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

1 . Gradiente lineal (L) escalonado vencido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312 . Gradiente geométrico (G) escalonado vencido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Saldo de un gradiente geométrico escalonado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146


Tabla de Contenido

IX

Capítulo 5. Sistemas amortización de créditos . . . . . . . . . . . . . . . . 111Sistemas de amortización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

1 . Unidades de valor real – UVR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163Cálculo de la UVR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Capacidad de pago . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Sistemas amortización de créditos de vivienda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Sistema de cuota fija en UVR o de amortización gradual en UVR . . . . . . . . . . . 168Sistema de amortización constante a capital en UVR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Sistema de cuota decreciente mensual en UVR cíclica por períodos anuales . . 185

2 . Sistemas de amortización de créditos en pesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Sistema 4. Abono fijo a capital en pesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Sistema 5. Amortización de cuota fija en pesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Otros sistemas de amortización de créditos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206Cuota fija periódica con abonos extraordinarios durante la vigencia del crédito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Amortización crédito con período de gracia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209Amortización de créditos mediante el sistema de gradiente lineal creciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211Amortización de créditos mediante el sistema de gradiente lineal decreciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212Amortización de créditos mediante el sistema de gradiente geométrico creciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Amortización de créditos mediante el sistema de gradiente geométrico decreciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Capítulo 6. Las matemáticas financieras en la evaluación de proyectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

Valor presente neto – VPN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216Tasa interna de retorno – TIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219Tasa interna de retorno modificada (TIRM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Período promedio de recuperación de la inversión (PPRI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Valor económico agregado – EVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222


Anexos. Resumen de fórmulas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

X


Presentación del sil -(sistema de información en línea)Complemento virtual en www.ecoeediciones.com

Como punto de apoyo para la realización de los cálculos matemáticos, el libro incluye un complemento virtual SIL que puede consultar en la página www.ecoeediciones.com, cuyo contenido es el siguiente:

Hoja de cálculo titulada “Matemáticas financieras” cuya finalidad es la • de realizar los cálculos de tasa de interés simple, conversión de tasas (anticipadas, vencidas y efectiva anual), anualidades (anticipadas y vencidas), gradientes (lineal vencidos, lineal anticipados, geométrico vencidos) y gradientes escalonados (vencidos y anticipados) .Préstamos de vivienda en UVR, el cual incluye los tres sistemas • vigentes en Colombia: Cuota fija en UVR o de amortización gradual en UVR, Amortización constante a capital en UVR y Cuota decreciente mensual en UVR cíclica por períodos anuales .Préstamos de vivienda en pesos: abono fijo a capital en pesos y cuota • fija en pesos.Amortización cuota fija periódica.• Amortización gradiente lineal vencido .• Amortización gradiente geométrico vencido .• Amortización gradiente geométrico escalonado vencido .• Evaluación financiera de inversión.•

La metodología para realizar los cálculos en el SIL se basa en la plena identificación de la información que se conoce y la que se necesita hallar. Sobre su forma de utilización, a partir del capítulo tercero, se propone solución de ejercicios aplicando la formulación del SIL .

Prólogo

A través de mi experiencia en el sector financiero y luego en el académico, he notado en estudiantes de las diferentes áreas administrativas y contables, así como en personas, quienes de una u otra forma tienen la necesidad de abordar y aclarar conceptos relacionados con el comportamiento del dinero a través del tiempo, la dificultad en la asimilación de conceptos financieros que les permita, aclarar los resultados económicos y monetarios para poder llegar a la toma de una decisión, cuando se tiene en cuenta consideraciones como modo, tiempo, tasas de interés, etc .

Esta segunda edición que someto a consideración de los lectores, incluye la ampliación de una serie de conceptos básicos, que permiten definir de manera clara, el interés del período y la interpretación del tiempo en año, meses y días, proponiendo una metodología sencilla para diferenciar el manejo del tiempo y la tasa de interés .

La metodología propuesta busca la forma de hacer más sencilla y comprensible el manejo de las matemáticas aplicadas al sistema financiero, partiendo de la existencia de fórmulas que, al identificarlas y utilizarlas, contribuyan a facilitar la solución de problemas financieros presentados frecuentemente en toda empresa .

Con regularidad aparecen en el mercado herramientas que facilitan los cálculos de propuestas financieras, algunas de ellas con un costo significativo. Como aporte a la solución rápida de problemas se ha diseñado en el SIL (Sistema de Información en Línea), un programa en Excel que, bajo unos simbolismos, realiza los respectivos cálculos para apoyar la toma de decisiones en las empresas .

XII


Las fórmulas que contiene el libro, en su mayoría, han sido propuestas en forma matricial, es decir, en el eje horizontal del respectivo cuadro se identifica la información que se conoce y en el vertical, la que se va hallar.

El libro a través de los seis capítulos presenta aspectos generales para realizar el despeje de fórmulas, con el apoyo de expresiones algebraicas, facilitando con la toma de decisiones financieras en la empresa.

En el manejo del concepto de tasas de interés, se incluyen las dos formas de identificarlas, que de acuerdo con las condiciones de pago se puede aplicar el concepto de interés simple o interés compuesto; por la forma como se reconocen y pagan, pueden ser anticipada o vencida, facilitando la forma de convertirlas de anticipadas a vencidas o viceversa . Así mismo, se desarrolla un sistema de interpolación, herramienta que permite obtener información que de otra forma haría compleja su forma de calcularla. Finaliza el capítulo proponiendo el concepto de tiempo equivalente .

En el manejo del concepto de anualidades, exponen los sistemas de cuotas fijas periódicas utilizadas en el estudio de las matemáticas financieras.

Se explica el manejo del tema de gradientes, el cual se considera como la forma abreviada de solucionar anualidades, que dependiendo del comportamiento de la información, se pueden utilizar los conceptos de gradiente lineal o geométrico . De acuerdo con su comportamiento, se puede identificar si se está en presencia de un gradiente anticipado, vencido o si es escalonado y vencido. Con esta herramienta se explican los conceptos de préstamos para adquirir vivienda .

Dada la importancia de conocer la forma de aplicación de los pagos periódicos que se realizan a un préstamo para vivienda, se incluye la forma de realizar las tablas de amortización de los diferentes sistemas de amortización de créditos vigentes en Colombia, así como otros métodos aplicados en el sistema financiero.

Por la importancia que presenta la aplicación de las matemáticas financieras en la evaluación de proyectos de inversión, se propone la aplicación de algunos conceptos en la evaluación financiera de proyectos.

Para la comprensión de los diferentes temas del libro, se incluyen ejemplos realizados por el autor, así como una serie de ejercicios con sus respectivas respuestas para que sean realizados por los estudiosos del tema .

Aspectos generalesPor su importancia en el desarrollo del tema y ejercicios sobre matemáticas financieras, a continuación se hará una breve reseña sobre la forma de realizar despejes de fórmulas, con el concurso de expresiones algebraicas, así como se contextualiza los conceptos básicos de interés y su representación gráfica.

EXPONENTESToda expresión algebraica se compone de tres elementos: coeficiente, base y exponente. Ejemplo: 3X6, en donde 3 es el coeficiente, X es la base y 6 el exponente Exponente

3X6 Base

Coeficiente

El coeficiente numérico indica las veces que ésta se toma como sumando. Ejemplo: 3X6, quiere decir que la base X se suma tres veces, así:

3X6 =X6 +X6 + X6 = X6 (1+1+1) = X6 (3) = 3X6

Cuando la base no tenga coe ficiente escrito, se sobreentiende que éste es 1. El exponente numérico que se escribe arriba y a la derecha de la base, indica las veces que ésta se toma como factor . En el mismo ejemplo, 3X6, quiere decir que la base X se multiplica 6 veces por sí misma, así:

3X6 = (3)(X)(X)(X)(X)(X)(X)

Cuando la base no tenga expo nente escrito, se sobreentiende que éste es 1 .

CAPÍTULO 1

2


LEYES DE LOS EXPONENTES

Multiplicación1 .

Cuando se tenga la misma base los exponentes se suman .

Ejemplo: X4X5X6 =X4+5+6 =X15

División2 .

En la división de fraccionarios que tienen la misma base se presentan dos casos:

Si el exponente del numerador es mayor que el del denominador, • réstese del exponente del numerador, el exponente del denominador, dividiendo primero sus coeficientes.

Ejemplo: 6

6-4 24

25X= 5X = 5X

5X;

5 7 65-2 7-6 6-3 3 3

2 6 3

12X Y Z= 3X Y Z = 3X YZ

4X Y Z

Si el exponente del denominador es mayor que el del numerador, • réstese en el exponente del denominador, el exponente del numerador .

Ejemplo: 9

11 11-9 2

12X 3 3= =

4X X X

Se puede observar que X9, que estaba en el numerador, está ahora en el denominador con el signo del exponente cambiado . Por lo tanto, toda cantidad que esté en el numerador puede pa sar al denominador con sólo cambiar el signo a su exponente .

Ejemplo: 5 10

7 12 7-5 12-10 2 2

7X Y 1 1= =

14X Y 2X Y 2X Y

Exponentes fraccionarios3 .

Todo exponente fraccionario se puede representar mediante un radical, cuyo denominador es el índice del radical y el numerador es el exponente entero de la base y viceversa . Cuando un radical no tenga índice escrito, se tra ta de una raíz cuadrada .

Ejemplos: 2 2

233 3X = X = X ; ( ) ( ) ( )7 7

799 9X+1 = X+1 = X+1

Aspectos generales

3

1

Exponente negativo4 .

Todo exponente negativo es igual a una fracción cuyo numerador esta rá representado por el coeficiente de la base y el denominador es la base con el exponente positivo .

Ejemplos: -1010

33X =

X; ( )

( )-5

5

33 X-1 =

X-1

Exponente cero5 .

Toda cantidad elevada a la cero potencia es igual a 1 .

Ejemplos: 2

2 -2 2-2 02

2= 2 *2 = 2 = 2 =1

2

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )10

10 -10 10-10 0

10

X+1= X+1 * X+1 = X+1 = X+1 = 1

X+1

LOGARITMOSEl logaritmo de un número es el exponente al cual debemos elevarlo, llamado base, para obtener el número dado. Ejemplo: 30 = 1, en donde la base es 3, el exponente es 0 y el número es 1.

PROPIEDADES

Los números negativos no tienen logaritmo.•

La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa .•

El logaritmo de 1 es cero (0), ya que cero (0) es el exponente al cual • debe elevarse la base tres (3) para obtener el número uno (1).

Todo número elevado a un exponente cero (0) da como resultado • el número uno (1).

Todo número dividido por sí mismo da como resultado el número • uno (1). Así:

1

=11 ;

2=1

2 ; a

=1a ;

b=1

b

Todo número mayor que 1 tendrá logaritmo positivo.•

Todo número menor que 1 tendrá logaritmo negativo.•

4


El • logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

Log (2)(4) = Log 2 + Log 4

El • logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador:

4Log = Log4 - Log2

2

El • logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base, log 68 = 8 log 6

El • logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividida por el índice de la raíz:

3 Log4Log 4 =

3 .

También se puede expresar: 6 . 13 34 = 4 , luego 13 1 Log4

Log4 = log4 =3 3

Los sistemas de logaritmos más usados son el decimal, cuya base es 10, y neperianos o naturales, cuya base es e = 2 .71828182845 .

DEFINICIONES BÁSICAS DE MATEMÁTICAS FINANCIERASINTERÉS: es el rendimiento monetario que recibe una persona por el alquiler de un dinero, durante un tiempo determinado a una tasa de interés establecida. Este se representará con la letra (I) .

INTERÉS SIMPLE: es el beneficio monetario reconocido sobre una inversión inicial, en un período durante el cual los intereses no se capitalizan o se reinvierten, cancelándose al final del plazo de la negociación.

INTERÉS COMPUESTO: es el rendimiento monetario que produce la inversión inicial, más la capitalización acumulada y sucesiva de intereses, producidos por la inversión inicial en un período de tiempo .

TASA DE INTERÉS: es el valor que se reconoce por unidad de tiempo, expresado en porcentaje. Se representará con la letra (i) .

TIEMPO: es el período mediante el cual permanece la inversión o préstamo recibido. Se representará con la letra (n) .

VALOR PRESENTE: es la inversión inicial o préstamo recibido en el período inicial. Se conoce con el nombre de valor presente, valor actual, hoy y se representará con la letra (P) .

Aspectos generales

5

1

VALOR FINAL: es el resultado de adicionar al valor inicial, los intereses (I) reconocidos en un tiempo determinado . Se conoce con el nombre de valor futuro, valor final, monto y se representará con la letra (S) .

CÁLCULO DE INTERÉS: es una función directa del capital, tiempo y la tasa de interés: (I) = P*i*n.

▼ EJEMPLO 1: una persona le presta a otra la suma de $1 .000 .000 con la condición deque esta última le devuelva la suma de $1.040.000 dos meses después . Lo anterior implica que la persona que prestó el $1 .000 .000 se ganó $40 .000 durante dos meses, o sea $20 .000 mensuales . Por lo tanto:

P = $1 .000 .000

n = 2 meses

i = 24% N . A .

S = $1 .040 .000

Es necesario tener en cuenta que la tasa de interés debe estar dada en función del período en el cual se trabaja el tiempo de las transacciones financieras. Ejemplo: si el pago de interés es mensual, la tasa periódica debe ser mensual; si los pagos son trimestrales, la tasa de interés periódica debe ser trimestral .

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Permite visualizar el problema a estudiar, facilitando su análisis y la proposición de la alternativa de solución más indicada. Su forma de representación es a través de un diagrama, el cual consta de lo siguiente:

Una línea horizontal que representa los períodos en los cuales se • ha dividido tiempo y la tasa de interés.

Convencionalmente, las flechas dibujadas en la parte superior del • gráfico, representan los ingresos; las flechas ubicadas hacia la parte inferior del gráfico, representan los egresos. Sin embargo, algunas personas toman los valores de las flechas hacia abajo como ingresos y los egresos hacia arriba. Lo importante es tener claro el concepto de ingreso y de egreso y no mezclarlos en su representación gráfica.

6


Ingresos

0 1 2 3 … . . . . 34 35 n períodos

Egresos

TASA DE INTERÉS NOMINAL: es aquel valor que expresa la forma de reconocimiento de los intereses, expresándose en forma anual. Ejemplo: 21% nominal anual. Es de anotar que la tasa del ejemplo no especifica la periodicidad (mensual, bimestral, trimestral, semestral, etc .) ni la convertibilidad (anticipada o vencida) . En la gran mayoría de los casos, no se incluye el calificativo de nominal anual y simplemente se expresa en porcentaje: 21%, entendiéndose que es nominal (N) anual (A).

TASA DE INTERÉS EFECTIVA: es el interés que realmente se reconoce (se cobra o se paga) en una operación financiera por un período de tiempo determinado . Es la verdadera rentabilidad de una operación, por tanto, no hay necesidad de calcularla, por cuanto esta tasa ya la incluye.

TASA DE INTERÉS EQUIVALENTE: es aquella tasa que reconociendo diferente período de pago o exigibilidad, genera una misma tasa efectiva en un período dado . Una tasa de interés en un período determinado, tiene varias equivalencias, de acuerdo con el período de causación de los intereses y su exigibilidad puede ser anticipada o vencida .

CUOTA FIJA: es el valor que se paga en forma periódica, el cual incluye un reconocimiento de interés durante un determinado período de tiempo y un abono parcial a una obligación adquirida . Es importante anotar que la parte correspondiente al pago de intereses tiene un comportamiento decreciente en el tiempo; en tanto que el abono a capital es creciente en la medida que se avance en el tiempo .

Aspectos generales

7

1

SIMBOLOGÍA UTILIZADA EN EL SIL (SISTEMA DE INFORMACIÓN EN LÍNEA) PARA RESOLVER EJEMPLOS DEL LIBRO

Conversión de tasas

Tasa de interés (i• J): la tasa que se conoce o la que se necesita hallar, viene expresada en forma periódica vencida .

Tasa de interés (i• F): la tasa que se conoce o la que se necesita hallar, viene expresada en forma periódica anticipada .

Tasa efectiva anual• (IEA): la tasa que realmente se reconoce o se paga en un período anual .

Tasa de interés N. A. M• A: tasa de interés expresada en forma nominal anual, capitalizable mensualmente anticipada .

Tasa de interés N. A. M• v: tasa de interés expresada en forma nominal anual, capitalizable mensualmente vencida .

Tasa de interés N. A. Q• A: tasa de interés expresada en forma nominal anual, capitalizable bimensualmente (quincenalmente) anticipada .

Tasa de interés N. A. Q• v: tasa de interés expresada en forma nominal anual, capitalizable bimensualmente (quincenalmente) vencida .

Tasa de interés N. A. B• A: tasa de interés expresada en forma nominal anual, capitalizable bimestralmente anticipada .

Tasa de interés N. A. B• v: tasa de interés expresada en forma nominal anual, capitalizable bimestralmente vencida .

Tasa de interés N. A. T• A: tasa de interés expresada en forma nominal anual, capitalizable trimestralmente anticipada .

Tasa de interés N. A. T• v: tasa de interés expresada en forma nominal anual, capitalizable trimestralmente vencida .

Tasa de interés N. A. S• A: tasa de interés expresada en forma nominal anual, capitalizable semestralmente anticipada .

Tasa de interés N. A. S• v: tasa de interés expresada en forma nominal anual, capitalizable semestralmente vencida .

8


Anualidades

(RP): cuota fija periódica relacionada con el valor presente (P) .

(RS): cuota fija periódica relacionada con valor final (S) .

(PV): valor presente (P) de una anualidad vencida .

(PA): valor presente (P) de una anualidad anticipada .

(SV): valor futuro (S) de una anualidad vencida .

(SA): valor futuro (S) de una anualidad anticipada .

Anualidad vencida

Conocido (P• V,iJ,n) Hallar (SV): se conoce el valor presente de una anualidad vencida, la tasa de interés periódicamente vencida y el número de períodos y se necesita hallar el monto (valor futuro) de una anualidad vencida (SV) .

Conocido (S• V,iJ,n) Hallar (PV): se conoce el monto de una anualidad vencida, la tasa de interés periódicamente vencida y el número de períodos y se necesita hallar el valor presente (valor actual) de una anualidad vencida (PV) .

Conocido (P• V,SV,iJ) Hallar (n): se conoce el valor presente de una anualidad vencida, el monto (S) de una anualidad vencida y la tasa de interés periódicamente vencida y se necesita hallar el número de períodos (n) .

Conocido (R• P,iJ,n) Hallar (PV): se conoce la cuota fija periódicamente vencida, la tasa de interés periódicamente vencida y el número de períodos (n) y se necesita hallar el valor presente de una anualidad vencida (PV) .

Conocido (P• V,iJ,n) Hallar (RP): se conoce el valor presente de una anualidad vencida, la tasa de interés periódicamente vencida y el número de períodos (n) y se necesita hallar la cuota fija periódicamente vencida (RP) .

Conocido (P• V,RP,iJ) Hallar (n): se conoce el valor presente de una anualidad vencida, la cuota fija periódicamente vencida y la tasa de interés periódicamente vencida y se necesita hallar el número de períodos (n) .

Aspectos generales

9

1

Conocido (R• S,iJ,n) Hallar (SV): se conoce la cuota fija periódicamente vencida, la tasa de interés periódicamente vencida y el número de períodos (n) y se necesita hallar el monto de una anualidad vencida (SV) .

Conocido (S• V,iJ,n) Hallar (RS): se conoce el monto de una anualidad vencida, la tasa de interés periódicamente vencida y el número de períodos (n) y se necesita hallar la cuota fija periódicamente vencida (RS) .

Conocido (S• V,RS,iJ) Hallar (n): se conoce el monto de una anualidad vencida, la cuota fija periódicamente vencida y la tasa de interés periódicamente vencida y se necesita hallar el número de períodos (n) .

Anualidad anticipada

Conocido (P• A,iF,n) Hallar (SA): se conoce el valor presente de una anualidad anticipada, la tasa de interés periódicamente anticipada y el número de períodos y se necesita hallar el valor futuro de una anualidad anticipada (SA) .

Conocido (S• A,iF,n) Hallar (PA): se conoce el valor final de una anualidad anticipada, la tasa de interés periódicamente anticipada y el número de períodos y se necesita hallar el valor actual de una anualidad anticipada (PA) .

Conocido (R• P,iF,n) Hallar (PA): se conoce la cuota fija periódicamente anticipada, la tasa de interés periódicamente anticipada y el número de períodos (n) y se necesita hallar el valor presente de una anualidad anticipada (PA) .

Conocido (P• A,iF,n) Hallar (RP): se conoce el valor presente de una anualidad anticipada, la tasa de interés periódicamente anticipada y el número de períodos (n) y se necesita hallar la cuota fija periódicamente anticipada (RP) .

Conocido (R• S,iF,n) Hallar (SA): se conoce la cuota fija periódicamente anticipada, la tasa de interés periódicamente anticipada y el número de períodos (n) y se necesita hallar el monto de una anualidad anticipada (SA) .

Conocido (S• A,iF,n) Hallar (RS): se conoce el valor final de una anualidad anticipada, la tasa de interés periódicamente anticipada y el número de períodos (n) y se necesita hallar la cuota fija periódicamente anticipada (RS) .

10


Gradiente lineal

(RP): valor de la primera cuota relacionada con el valor presente (P) .

(RS): valor de la primera cuota relacionada con el valor futuro (S) .

(LP): gradiente lineal relacionado con el valor presente (P) .

(LS): gradiente lineal relacionado con el valor final (S) .

(iJ): tasa de interés del período vencido .

(iF): tasa de interés del período Anticipado.

(Rn): valor de la cuota fija periódica en un período determinado.

Gradiente lineal vencido

Conocido (R• P,LP,iJ,n) Hallar (P): se conoce la cuota fija del primer período relacionada con el valor presente, el gradiente lineal relacionado con el valor presente, la tasa de interés vencida del período y el número de períodos (n) y se necesita hallar el valor presente (P) del gradiente lineal .

Conocido (P,L• P,iJ,n,) Hallar (RP): se conoce el valor presente (P) del gradiente lineal, el gradiente lineal relacionado con el valor presente, la tasa de interés vencida del período y el número de períodos (n) y se necesita hallar la cuota fija del primer período relacionada con el valor presente .

Conocido (R• P,P,iJ,n,) Hallar (LP): se conoce la cuota fija del primer período relacionada con el valor presente, el valor presente (P) del gradiente lineal, la tasa de interés vencida del período y el número de períodos (n) y se necesita hallar el gradiente lineal relacionado con el valor presente (LP) .

Conocido (R• S,LS,iJ,n) Hallar (S): se conoce la cuota fija del primer período relacionada con el valor final, el gradiente lineal relacionado con el monto, la tasa de interés vencida del período y el número de períodos (n) y se necesita hallar el valor futuro, monto, valor final (S) del gradiente lineal .

Conocido (S,L• S,iJ,n,) Hallar (RS): se conoce el valor futuro (S) del gradiente lineal, el gradiente lineal relacionado con el monto, la tasa de interés vencida del período y el número de períodos (n) y se necesita hallar la cuota fija del primer período relacionada con el valor futuro (RS) .

Aspectos generales

11

1

Conocido (R• S,S,iJ,n,) Hallar (LS): se conoce la cuota fija del primer período relacionada con el valor futuro (RS) del gradiente lineal, el monto (S), la tasa de interés vencida del período y el número de períodos (n) y se necesita hallar el gradiente lineal relacionado con el monto (LS) .

Gradiente lineal anticipado

Conocido (R• P,LP,iF,n) Hallar (P): se conoce la cuota fija del primer período relacionada con el valor presente, el gradiente lineal relacionado con el valor presente, la tasa de interés anticipada del período y el número de períodos (n) y se necesita hallar el valor presente (P) del gradiente lineal .

Conocido (P,L• P,iF,n,) Hallar (RP): se conoce el valor actual (P) del gradiente lineal, el gradiente lineal relacionado con el valor presente, la tasa de interés anticipada del período y el número de períodos (n) y se necesita hallar la cuota fija del primer período relacionada con el valor presente .

Conocido (R• P,P,iF,n,) Hallar (LP): se conoce la cuota fija del primer período relacionada con el valor presente, el valor presente (P) del gradiente lineal, la tasa de interés anticipada del período y el número de períodos (n) y se necesita hallar el gradiente lineal relacionado con el valor presente (LP) .

Conocido (R• S,LS,iF,n) Hallar (S): se conoce la cuota fija del primer período relacionada con el valor futuro, el gradiente lineal relacionado con el monto, la tasa de interés anticipada del período y el número de períodos (n) y se necesita hallar el valor futuro (S) del gradiente lineal .

Conocido (S,L• S,i,iF,) Hallar (RS): se conoce el valor final (S) del gradiente lineal, el gradiente lineal relacionado con el monto, la tasa de interés anticipada del período y el número de períodos (n) y se necesita hallar la cuota fija del primer período relacionada con el valor futuro (RS) .

Conocido (R• S,S,iF,n) Hallar (LS): se conoce la cuota fija del primer período relacionada con el valor final (RS) del gradiente lineal, el monto (S), la tasa de interés anticipada del período y el número de períodos (n) y se necesita hallar el gradiente lineal relacionado con el monto (LS) .

12


Gradiente geométrico

(RP): valor de la primera cuota relacionada con el valor presente (P) .

(RS): valor de la primera cuota relacionada con el valor futuro (S) .

(GP): gradiente geométrico relacionado con el valor presente (P) .

(GS): gradiente geométrico relacionado con el valor futuro (S) .

(iJ): tasa de interés del período vencido .

(Rn): valor de la cuota fija periódica en un período determinado.

Gradiente geométrico vencido

Conocido (R• P,GP,iJ,n) Hallar (P): se conoce la cuota fija del primer período relacionada con el valor presente, el gradiente geométrico relacionado con el valor actual, la tasa de interés vencida del período y el número de períodos (n) y se necesita hallar el valor actual (P) del gradiente geométrico .

Conocido (P, G• P, iJ, n) Hallar (RP): se conoce el valor presente (P) del gradiente Geométrico, el gradiente geométrico relacionado con el valor actual, la tasa de interés vencida del período y el número de períodos (n) y se necesita hallar la cuota fija del primer período relacionada con el valor presente .

Conocido (P,R• P,GP,iJ) Hallar (n): se conoce el valor presente (P) del gradiente geométrico, la cuota fija del primer período relacionada con el valor actual, el gradiente geométrico relacionado con el valor presente, la tasa de interés vencida del período y se necesita hallar el número de períodos (n) .

Conocido (R• S,GS,iJ,n) Hallar (S): se conoce la cuota fija del primer período relacionada con el valor final, el gradiente geométrico relacionado con el monto, la tasa de interés vencida del período y el número de períodos (n) y se necesita hallar el valor futuro (S) del gradiente geométrico .

Conocido (S,G• S,iJ,n) Hallar (RS): se conoce el valor final (S) del gradiente geométrico, el gradiente geométrico relacionado con el monto, la tasa de interés vencida del período y el número de períodos (n) y se necesita hallar la cuota fija del primer período relacionada con el valor futuro (RS) .

Aspectos generales

13

1

Gradiente escalonado

(PL): valor presente de un gradiente lineal

(PG): valor presente de un gradiente geométrico .

(RL): valor de la primera cuota del gradiente lineal relacionado con el valor presente (P) .

(RG): valor de la primera cuota del gradiente geométrico relacionado con el valor presente (P) .

(LP): valor de la primera cuota del gradiente lineal relacionado con el valor presente (P) .

GP): valor de la primera cuota del gradiente geométrico relacionado con el valor presente (P) .

(iP): tasa de interés vencida del período .

(iEA): tasa de interés Efectiva Anual

(n): número de años en el gradiente escalonado.

(nP): número de períodos en el gradiente escalonado.

Gradiente lineal escalonado vencido

Conocido (R• P,LP,iP,iEA,n,nP) Hallar (P): se conoce el valor de la primera cuota de un gradiente lineal relacionado con el valor presente (P), gradiente lineal relacionado con el valor presente (P), la tasa de interés vencida del período, la tasa de interés Efectiva Anual, el número de años y el número de períodos de un gradiente escalonado y se va hallar el valor presente (P) .

Conocido (P,L• P,iP,iEA,n,nP) Hallar (RL): se conoce el valor presente (P), el gradiente lineal relacionado con el valor presente (P), la tasa de interés vencida del período, la tasa de interés Efectiva Anual, el número de años y el número de períodos de un gradiente escalonado y se hallar el valor de la primera cuota del gradiente lineal relacionado con el valor presente (P) .

14


Gradiente geométrico escalonado vencido

Conocido (R• G,GP,iP,iEA,n,nP) Hallar (P): se conoce el valor de la primera cuota de un gradiente geométrico relacionado con el valor presente (P), gradiente geométrico relacionado con el valor presente (P), la tasa de interés vencida del período, la tasa de interés efectiva anual, el número de años y el número de períodos de un gradiente escalonado y se va hallar el valor presente (P) .

Conocido (P,G• P,iP,iEA,n,nP) Hallar (RG): se conoce el valor presente (P), el gradiente geométrico relacionado con el valor presente (P), la tasa de interés vencida del período, la tasa de interés Efectiva Anual, el número de años y el número de períodos de un gradiente escalonado y se va hallar el valor de la primera cuota del gradiente geométrico relacionado con el valor presente (P) .

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